MECHANICS OF MATERIALS - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/ce/oldce/mechmat50/mech9.pdf · mechanics of materials by assoc. prof. dr. sittichai seangatith school of civil engineering institute

MECHANICS OF MATERIALSBy

Assoc. Prof. Dr. Sittichai SeangatithSCHOOL OF CIVIL ENGINEERING

INSTITUTE OF ENGINEERINGSURANAREE UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

การวบตของคานคอนกรตในรปไมไดเกดจากโมเมนตดดและแรงเฉอนโดยตรง แตเปนผลจากผลรวมของหนวยแรงเนองจากโมเมนตดดและแรงเฉอนกระทารวมกน

บทท 9Stress Transformation

วตถประสงค

2. เพอใหทราบและเขาใจถงลกษณะการวบตของชนสวนโครงสรางเนองจากหนวยแรงหลกและหนวยแรงเฉอนในระนาบสงสด

1. เพอใหทราบและเขาใจถงการแปลงหนวยแรง (stress transformation) ในระนาบทจดใดๆ บนชนสวนของโครงสราง เพอหาหนวยแรงหลก (principal stresses) และหนวยแรงเฉอนในระนาบสงสด (max. in-plane shear stress) ทเกดขนทจดดงกลาวโดยการใชสมการแปลงหนวยแรงและใชวงกลมมอร (Mohr’scircle)

9.1 Plane-Stress Transformationสภาวะของหนวยแรงทจดหนงบนโครงสรางมกเปนสภาวะของหนวยแรงในระนาบ (plane stress) ซงลดรปจาก 3 มตเหลอ 2 มตได

เมอหนวยแรง σz, τxz, และ τyz มคาเทากบศนย

ทศทางของหนวยแรงทเปนบวก การหมน stress element ทวนเขมฯ เปนบวก ซงหนวยแรงเปลยนคาไปตามคามมทหมน

9.2 General Equations of Plane-Stress TransformationSign Convention

คาหนวยแรงบน stress element ในระบบแกน x-y เปนคาททราบ

cos 2 sin 22 2

x y x yx xy

σ σ σ σσ θ τ θ′

+ −= + +

สมการ plane-stress transformation

sin 2 cos 22

x yx y xy

σ στ θ τ θ′ ′

−= − +

cos 2 sin 22 2

x y x yy xy


+ −= − −

เมอ θ = 0o แลวx xσ σ′ =

y yσ σ′ =

x y xyτ τ′ ′ =

cos 2 sin 22 2

x y x yx xy


+ −= + +

sin 2 cos 22

x yx y xy


−= − +

cos 2 sin 22 2

x y x yy xy


+ −= − −

0.2y xσ σ= 0.8xy xτ σ=x xσ σ=

การแปรผนของคาหนวยแรงตางๆ ตามคามม θ เมอ

ตวอยางท 9-2จงหาสภาวะหนวยแรงทกระทาอยบน stress element ทหมนตามเขมนาฬกาเปนมม 30o

80 MPaxσ = −

จาก sign convention: ใชหนาตดทางขวามอของ stress element เปนหลก

50 MPayσ = + 25 MPaxyτ = −

30oθ = −

จากสมการ plane-stress transformation

cos 2 sin 22 2

x y x yx xy


+ −= + +

80 502xσ ′

− +=

sin 2 cos 22

x yx y xy


−= − +

80 50sin 2( 30 )2

ox yτ ′ ′

− −= − −

80 MPaxσ = − 50 MPayσ = + 25 MPaxyτ = − 30oθ = −

80 50 cos 2( 30 )2

o− −+ − ( 25)sin 2( 30 )o+ − − 25.8 MPa= −

( 25)cos 2( 30 )o+ − − 68.8 MPa= −

cos 2 sin 22 2

x y x yy xy


+ −= − −

80 502yσ ′

− +=

เครองหมายลบ = หนวยแรงทเกดขนมทศตรงกนขามกบ sign convention ทใช

25.8 MPaxσ ′ = − 68.8 MPax yτ ′ ′ = −

80 50 cos 2( 30 )2

o− −− − ( 25)sin 2( 30 )o− − − 4.15 MPa= −

9.3 Principal Stresses and Maximum In-Plane Shear StressesIn-plane Principal Stresses - หนวยแรงตงฉากทมคาสงสดและนอยสด

ทเกดขนบน stress element ทถกกระทาโดยสภาวะของหนวยแรงสภาวะหนง (กอใหเกดการวบต) โดยเกดขนเมอ stress element หมนไปเปนมม

(2sin 2 ) 2 cos 2 02

x yxxy

ddx

σ σσ θ τ θ′ −= − + =

tan 2( ) / 2

xyp

x y

τθ

σ σ=

−

มม θp1 และมม θp2 ทหาไดเรยกวา principal angles ซงมคาตางกน 90o

cos 2 sin 22 2

x y x yx xy


+ −= + +

(cos 2 ) 2sin 2dd

θ θθ

= −

(sin 2 ) 2cos 2dd

θ θθ

=

เมอแทนคา sine และ cosine ของมม 2θp1 (หรอของมม 2θp2)ลงในสมการ

tan 2( ) / 2

xyp

x y

τθ

σ σ=

−

sin 2 cos 22

x yx y xy


−= − +

0x yτ ′ ′ =

ไมมหนวยแรงเฉอนเกดขนบน principal planes ทหมนไปเปนมม principal angles

22

sin 2

2

xyp

x yxy

τθ

σ στ

=−⎛ ⎞

+⎜ ⎟⎝ ⎠

22

2cos 2

2

x y

p

x yxy

σ σ

θσ σ

τ

−

=−⎛ ⎞

+⎜ ⎟⎝ ⎠

180o

เมอแทนคา sine และ cosine ของมม 2θp1 (หรอของมม 2θp2) ลงในสมการ

cos 2 sin 22 2

x y x yx xy


+ −= + +

22

21 22 xy

yxyx τσσσσ

σ +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −±

+=

22

sin 2

2

xyp

x yxy

τθ

σ στ

=−⎛ ⎞

+⎜ ⎟⎝ ⎠

22

2cos 2

2

x y

p

x yxy

σ σ

θσ σ

τ

−

=−⎛ ⎞

+⎜ ⎟⎝ ⎠

Maximum In-plane Shear Stress

(2)cos 2 (2)sin 2 02

x y x yxy

ddτ σ σ

θ τ θθ′ ′ −= − − =

xy

yxs τ

σσθ

2/)(2 tan

−−=

Note: มม θs1 และมม θs2 มคาแตกตางกน 90o และมคาตางจากมม θp1 และมม θp2 เทากบ 45o ตามลาดบ

sin 2 cos 22

x yx y xy


−= − +

(cos 2 ) 2sin 2dd

θ θθ

= −

(sin 2 ) 2cos 2dd

θ θθ

=

tan 2( ) / 2

xyp

x y

τθ

σ σ=

−

12 tan ( 2 /1) 63.43osθ−= − = −

12 tan (1/ 2) 26.56opθ−= =

(2, 1)(-2, 1)

180o

เมอแทนคา sine และ cosine ของมม 2θs1 (หรอของมม 2θs2) ลงในสมการsin 2 cos 2

2x y

x y xy


−= − +

22

plane-inmax 2 xy

yx τσσ

τ +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

เมอแทนคา sine และ cosine ของมม 2θs1 (หรอของมม 2θs2) ลงในสมการ

cos 2 sin 22 2

x y x yx xy


+ −= + +

2yx

avg

σσσ

+=

221

plane-inmax

σστ −=

เมอนา principal stress σ1 –σ2 จะได

22

1 2

22

2 2

2 2

x y x yxy

x y x yxy

σ σ σ σσ σ τ

σ σ σ στ

⎡ ⎤+ −⎛ ⎞⎢ ⎥− = + + −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎡ ⎤+ −⎛ ⎞⎢ ⎥− +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

1 2 maxin-plane

2σ σ τ− =

สรป: In-plane Principal Stresses2

2

21 22 xy

yxyx τσσσσ

σ +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −±

+=

tan 2( ) / 2

xyp

x y

τθ

σ σ=

−

เกดขนท principal angles มม θp1 และมม θp2 ซงจะมคาแตกตางกน 90o

โดยไมมหนวยแรงเฉอนเกดขน


22

plane-inmax 2 xy

yx τσσ

τ +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

221

plane-inmax

σστ −=

หรอ

โดยมหนวยแรงตงฉากเกดขนรวมดวย

2yx

avg

σσσ

+=

ตวอยางท 9-3จงหาสภาวะหนวยแรง principal stresses และ max. in-plane shear stress ของ stress element

80 MPaxσ = −

1. อานคาหนวยแรงจาก stress element

50 MPayσ = + 25 MPaxyτ = −

จาก sign convention : ใชหนาตดทางขวามอของ stress element เปนหลก

22

12 2 2

x y x yxy

σ σ σ σσ τ

+ −⎛ ⎞= ± +⎜ ⎟

⎝ ⎠

2280 50 80 50 ( 25)

2 2− + − −⎛ ⎞= ± + −⎜ ⎟

⎝ ⎠

15 69.64 MPa= − ±

2. หาสภาวะหนวยแรง principal stresses

2 84.64 MPaσ = −

1 54.64 MPaσ =

54.64, 84.64 MPa= −

80 MPaxσ = −

50 MPayσ = +

25 MPaxyτ = −2.1 หาคาหนวยแรง principal stresses2.2 มมทเกดหนวยแรง principal stresses

tan 2( ) / 2

xyp

x y

τθ

σ σ=

−

2 21.04opθ =

2 10.52opθ =

25( 80 50) / 2

−=

− −

ตรวจสอบ principal angles ทไดวาเปน θp1 หรอ θp2 ???

ดงนน principal stress σ2 เกดขนทมม

cos 2 sin 22 2

x y x yx xy


+ −= + +

80 50 80 50 cos21.04 ( 25)sin 21.042 2

o oxσ ′

− + − −= + + −

284.64 MPaxσ σ′ = − =

2 84.64 MPaσ = −1 54.64 MPaσ =

เครองหมาย + = มทศทางหมนทวนเขมนาฬกาจากแกน x ไปยงแกน x'

12 21.04 180 201.04o o opθ = + =

และ principal stress σ1 เกดขนทมม

1 100.52opθ =

12 21.04 180 158.96o o opθ = − = −

1 79.48opθ = −

หรอ

2 10.52opθ =

2 10.52opθ =

1 79.48opθ = −

2 84.64 MPaσ = −1 54.64 MPaσ =

Note: มม θp1 และมม θp2 มคาแตกตางกน 90o

2 84.64 MPaσ = −1 54.64 MPaσ =

2 10.52opθ =

2 10.52opθ =

2 84.64 MPaσ = −

1 54.64 MPaσ =

1 79.48opθ =

1 79.48opθ = −

2 84.64 MPaσ = −1 54.64 MPaσ =

2 10.52opθ =

2 84.64 MPaσ = −

1 54.64 MPaσ =

1 79.48opθ =

2 10.52opθ =

2 84.64 MPaσ = −

1 54.64 MPaσ =

1 79.48opθ =

2 10.52opθ =

2 84.64 MPaσ = −

1 54.64 MPaσ =

1 79.48opθ =

Note: ไมวาจะหมน stress element โดยใชมม θp1 หรอมม θp2 พบวา สภาวะของ principal stresses ทเกดขนจะเหมอนกน

3. หาสภาวะของหนวยแรง maximum in-plane shear stress

( 80 50) / 2tan 225sθ

− − −=

−

2 68.96osθ = −

34.48osθ = −

55.52osθ =

2 68.95 180 111.04o o osθ = − + =และ

Note: มม θs1 และมม θs2 มคาแตกตางกน 90o และมคาตางจากมม θp1 และมม θp2 เทากบ 45o ตามลาดบ

2 10.52opθ =1 79.48opθ = −

3.1 มมทเกดหนวยแรง maximum in-plane shear stresses

80 MPaxσ = − 50 MPayσ = + 25 MPaxyτ = −

xy

yxs τ

σσθ

2/)(2 tan

−−=

max80 50sin ( 68.96 ) ( 25)cos ( 68.96 )

2 69.64 MPa

o o

in planeτ

−

− −= − − + − −

= −

max80 50sin 111.04 ( 25)cos 111.04

2 69.64 MPa

o o

in planeτ

−

− −= − + −

= +

2 68.96osθ = − 2 111.04osθ =sin 2 cos 22

x yx y xy


−= − +

3.2 หาคาหนวยแรง maximum in-plane shear stresses และหนวยแรงตงฉากทเกดขนรวมกน

2x y

avg

σ σσ

+=

80 50 15.0 MPa2avgσ − +

= = −

หนวยแรงตงฉากทเกดขนบนระนาบทเกดหนวยแรงเฉอนสงสด

maxin-plane

69.64 MPaτ = +15.0 MPaavgσ = −

1 55.52osθ =2 111.04osθ = max

80 50sin 111.04 ( 25)cos 111.042

69.64 MPa

o o

in planeτ

−

− −= − + −

= +

maxin-plane

69.64 MPaτ = −

15.0 MPaavgσ = −2 34.48osθ = −2 68.96osθ = − max

80 50sin ( 68.96 ) ( 25)cos ( 68.96 )2

69.64 MPa

o o

in planeτ

−

− −= − − + − −

= −

Note: มม θs1 และมม θs2 มคาแตกตางกน 90o

Note: ไมวาจะหมน stress element โดยใชมม θs1 หรอมม θs2 พบวา สภาวะของ max. in-plane shear stresses ทเกดขนจะเหมอนกน

Note: มม θs1 และมม θs2 มคาตางจากมม θp1 และมม θp2 เทากบ45o ตามลาดบ

2 10.52opθ =

2 84.64 MPaσ = −

1 54.64 MPaσ =

1 79.48opθ =

Exampleจงหาสภาวะหนวยแรง principal stresses และ max. in-plane shear stress ของ stress element

จาก sign convention20 MPaxσ = − 90 MPayσ = 60 MPaxyτ =


22

12 2 2

x y x yxy

σ σ σ σσ τ

+ −⎛ ⎞= ± +⎜ ⎟

⎝ ⎠

2220 90 20 90 60

2 2− + − −⎛ ⎞= ± +⎜ ⎟

⎝ ⎠

35.0 81.4 MPa= ±

2 46.4 MPaσ = −

1 116.4 MPaσ =

2. หาสภาวะของหนวยแรง principal stresses2.1 หาคาของหนวยแรง principal stresses


ดงนน principal stress σ2 เกดขนทมม θp2 = -23.75o และ principal stress σ1 เกดขนทมม

tan 2( ) / 2

xyp

x y

τθ

σ σ=

−60

( 20 90) / 2=

− −

2 47.49opθ = −

cos 2 sin 22 2

x y x yx xy


+ −= + +

20 90) 20 90 cos( 47.79 ) 60sin( 47.49 )2 2

o oxσ ′

− + − −= + − + −

246.4 MPaxσ σ′ = − =

1 23.75 90 66.25 ,113.75o o o opθ = − ± =

2 46.4 MPaσ = −1 116.4 MPaσ =

2.2 มมทเกดหนวยแรง principal stresses 2 46.4 MPaσ = −1 116.4 MPaσ =

2 23.75opθ = −

xy

yxs τ

σσθ

2/)(2 tan

−−=

( 20 90) / 260

− − −=

2 42.51osθ =

21.26osθ =

21.26 90 111.26 , 68.74o o o osθ = ± = −

และ

3. หาสภาวะของหนวยแรง maximum in-plane shear stress3.1 มมทเกดหนวยแรง maximum in-plane shear stresses

xy

yxs τ

σσθ

2/)(2 tan

−−=

max20 90sin 42.51 60cos 42.51

2 81.4 MPa

o o

in planeτ

−

− −= − +

= +

หา maximum in-plane shear stress ทมม θs = 21.26o

20 90 35.0 MPa2 2

x yavg

σ σσ

+ − += = =

sin 2 cos 22

x yx y xy


−= − +

2 42.51osθ =

หนวยแรงตงฉากทเกดขนบนระนาบทเกดหนวยแรงเฉอนสงสด

Note: มม θs1 และมม θs2 มคาแตกตางกน 90o และมคาตางจากมม θp1 และมม θp2 เทากบ45o ตามลาดบ

สรป: In-plane Principal Stresses2

2

21 22 xy

yxyx τσσσσ

σ +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −±

+=

tan 2( ) / 2

xyp

x y

τθ

σ σ=

−

เกดขนท principal angles θp1 และ θp2 ซงมคาแตกตางกน 90o

โดยไมมหนวยแรงเฉอนเกดขน

pθ

จาก sign convention:


cos 2 sin 22 2

x y x yx xy


+ −= + +


22

plane-inmax 2 xy

yx τσσ

τ +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

221

plane-inmax

σστ −=หรอ

โดยมหนวยแรงตงฉากเกดขนรวมดวย2

yxavg

σσσ

+=

sθ

xy

yxs τ

σσθ

2/)(2 tan

−−=

หา maximum in-plane shear stress ทมม θs sin 2 cos 2

2x y

x y xy


−= − +

Note: มม θs1 และมม θs2 มคาแตกตางกน 90o และมคาตางจากมม θp1 และมม θp2 เทากบ45o ตามลาดบ

pθ

sθ

9.4 Mohr’s Circle-Plane Stress

θτθσσσσ

σ 2 sin2 cos22 xy

yxyxx +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−′

ทาการเขยนสมการ plane-stress transformation ใหมในรป

θτθσσ

τ 2 cos2 sin2 xy

yxyx +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=′′

ทาการกาจดตวแปร θ โดยยกกาลงสองสมการทงสอง แลวนามาบวกกน

22

22

22 xyyx

yxyx

x τσσ

τσσ

σ +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +− ′′′

[ ] 222 Ryxavgx =+− ′′′ τσσ

ซงอยในรปสมการวงกลมทเรยกวา Mohr’s circle

cos 2 sin 22 2

x y x yx xy


+ −= + +

sin 2 cos 22

x yx y xy


−= − + Mohr’s circle: C[σavg, 0] และรศม R

22

2x y

xy

σ στ

−⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠

σ

τ

2x yσ σ+⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

xσ

xyτ

xyτ−

yσ

2x yσ σ−

2θp12θs1

(σ1, 0)(σ2, 0)

(σavg, τmax)

(σavg, -τmax) 22

21 22 xy

yxyx τσσσσ

σ +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −±

+=

tan 2( ) / 2

xyp

x y

τθ

σ σ=

−

22

plane-inmax 2 xy

yx τσσ

τ +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

xy

yxs τ

σσθ

2/)(2 tan

−−=

Stress Components บนระนาบใดๆ ททามม θ กบระนาบ x-yC[σavg, 0] และรศม R

22

2x y

xy

σ στ

−⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠

step 1: (σavg,0)

step 2: (σx, τxy)

step 3: วาดวงกลมstep 4: ทวนเขมฯ 2θ

R (σx’, τx’y’)

Example

จาก sign convention

จดศนยกลางของ Mohr’s circle อยทพกด (σavg., 0)

รศมของ Mohr’s circle

จงหาสภาวะหนวยแรงทเกดขนบน stress element เมอ element หมนทวนเขมฯ เปนมม 30o


2. หาจดศนยกลางและรศมของ Mohr’s circle

22

2 xyyxR τ

σσ+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=

3. หาสภาวะหนวยแรงท element หมนทวนเขมฯ 30o

MPa 6 MPa 8 −=−= xyx τσMPa 66.11 MPa )0 ,2( =RC

step 1: (2,0)

step 2: (-8,-6)

step 4: ทวนเขมฯ 2(30o)

step 3: วาดวงกลม

step 5: คานวณหาพกดใหม

(-8.20,5.66)

y’

(-8.20,5.66)

(-8,-6)

30o

MPa 20.8−=′xσ

MPa 20.12=′yσ

MPa 66.5=′′yxτ

Principal StressesRavg +=σσ1

Ravg −=σσ 2

tan 2( ) / 2

xyp

x y

τθ

σ σ=

−

2x yσ σ−

(σx, τxy)

(σ1, 0)(σ2, 0)

Maximum In-Plane Shear Stressmaxin plane

Rτ−

=

maxin plane

Rτ−

= −

2x yσ σ−

( ) / 2tan 2 x y

sxy

σ σθ

τ−

= (σx, τxy)(τmax, σavg.)

(-τmax, σavg.)

ตวอยางท 9-4จงหาสภาวะหนวยแรง principal stresses และ max. in-plane shear stress ทเกดขนบน stress element ทจด A

20 MPaxσ = −

จาก sign convention90 MPayσ = + 60 MPaxyτ = +


2. หาจดศนยกลางและรศมของ Mohr’s circle และเขยน Mohr’s circle

A A

จดศนยกลางของ Mohr’s circle อยทพกด (σavg., 0)20 90 35 MPa

2 2x y

avg

σ σσ

+ − += = =

รศมของ Mohr’s circle2 2

2 220 90 60 81.4 MPa2 2

x yxyR

σ στ

−⎛ ⎞ − −⎛ ⎞= + = + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

step 1: (35,0)

step 2: (-20,60)


3. หาสภาวะหนวยแรง principal stresses1 35 81.4 116.4 MPaσ = + =

2 35 81.4 46.4 MPaσ = − = −

12 180opθ φ= −

1132.5 66.3

2

oo

pθ = =

1 60180 tan55

o −= −

180 47.5 132.5o o o= − =

ทวนเขมฯ1 116.4 MPaσ =

2 46.4 MPaσ = −

1 66.3opθ =

1 66.3opθ =

4. หาสภาวะหนวยแรง max. in-plane shear stress

max 81.4 MPain planeτ

−=

35 MPaavgσ =

12 90osθ φ= −

142.5 21.3

2

oo

sθ = =

90 47.5 42.5o o o= − =

(-20,60)

ทวนเขมฯ


−=

35 MPaavgσ =

1 21.3osθ =

1 21.3osθ =

Example




จงหาสภาวะหนวยแรง principal stresses ทเกดขนบน stress element A


2. หาจดศนยกลางและรศมของ Mohr’s circleA


step 1: (-6,0)

จดศนยกลาง (-6, 0)รศม = 8.49

step 2: (-12, -6) step 3: วาดวงกลม


4. หาสภาวะหนวยแรง max. in-plane shear stress

(-6, -8.49)

90-45 = 45oExample

1.1 เขยนแผนภาพ FBD และหา By

1.2 เขยนแผนภาพ FBD และหาแรงภายใน

จงหาสภาวะหนวยแรง principal stresses ทเกดขนบน stress element P ของคาน 6 467.4(10 )mI −=

1. หาสภาวะหนวยแรงบน stress element

1.3 หาหนวยแรงทจด P

1.4 Superposition และเขยน stress element

45.4 MPaxσ = − 0 MPayσ = 35.2 MPaxyτ = −



จดศนยกลางของ Mohr’s circle อยทพกด (σavg., 0)รศมของ Mohr’s circle 45.4 0 22.7 MPa

2avgσ − += = −

2245.4 0 ( 35.2) 41.9 MPa

2R − −⎛ ⎞= + − =⎜ ⎟

⎝ ⎠

-22.7 MPa



5. หาสภาวะหนวยแรง Maximum In-Plane Shear Stress

θs สาหรบ τmax = -41.9 MPa มคาเทากบเทาใด???

(90o-57.2o)/2 = 16.4o

ทศทาง??? ตามเขมฯ

max 41.9, 41.9 MPain planeτ

−= −

(-22.7, 41.9)

(-22.7, -41.9)


−= −

1 16.4osθ = −

22.7 MPaavgσ = −

(-22.7, -41.9)16.4o

16.4o

Example

1.1. เขยน FBD และหาแรงภายใน1.2. หาหนวยแรงทจด P

1.3. Superposition

จากรป ถาเพลาม dia. 40 mm จงหาสภาวะหนวยแรง principal stresses ทจด P บนผวของเพลา 1. หาสภาวะหนวยแรงบน stress element

2. อานคาหนวยแรงจาก stress element0 kPaxσ =

716.2 kPayσ = 198.9 kPaxyτ =

4. หาสภาวะหนวยแรง principal stresses และทศทาง



12

198.92 tan358.1

o

pθ−=

29.0o=

2 14.5opθ =


step 1: (358.1,0)

step 2: (0, 198.9)


ตามเขมฯ2 14.5opθ =

5. หาสภาวะหนวยแรง Maximum In-Plane Shear Stress

(358.1, 409.7)

max 409.7 kPain planeτ

−=

12 90 29.0 61.0o o osθ = − =

358.1 kPaavgσ =

1 30.5osθ = ทวนเขม

Example




จงหาสภาวะหนวยแรง max. in-plane shear stress ทเกดขนบน stress element

หา max. in-plane shear stress และทศทาง


End of Chapter 9

Documents

MECHANICS OF MATERIALS - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/ce/oldce/mechmat50/mech9.pdf · mechanics of materials by assoc. prof. dr. sittichai seangatith school of civil engineering institute