MECHANICS OF MATERIALSBy

Assoc. Prof. Dr. Sittichai SeangatithSCHOOL OF CIVIL ENGINEERING

INSTITUTE OF ENGINEERINGSURANAREE UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

บทท 4Axial Load

วตถประสงค1. เพอใหทราบและเขาใจถงการเปลยนแปลงรปรางแบบยดหยนของชนสวนของโครงสรางทรบแรงในแนวแกน (axial load)

4. เพอใหสามารถวเคราะหชนสวนของโครงสรางทรบแรงในแนวแกนเนองจากการเปลยนแปลงอณหภมได

3. เพอใหสามารถวเคราะหชนสวนของโครงสรางทรบแรงในแนวแกนแบบ statically indeterminate โดยวธ displacement method และ force method ได

2. เพอใหทราบและเขาใจถง Principle of Superposition

4.1 Saint-Venant’s Principleชวยใหการหาคาหนวยแรงและความเครยดทเกดขนทหนาตดของชนสวนโครงสรางทหางจากจดทม localized stress และ localized deformation มความงายขน

4.2 Elastic Deformation of an Axially Loaded Member ใหแรงกระทาผานจด centroid ของหนาตดของแทงวตถ ไมพจารณา localized deformation เกดขนทจดทแรงกระทา วสดมพฤตกรรมอยในชวง linear elastic

( )( )P xA x

σ = ddxδε =

Eσ ε=

( )( )P x dEA x dx

δ=

( ) ( )

P x dxdA x E

δ =

คาการเปลยนตาแหนง (displacement) ทเกดขนตลอดความยาว L

0

( )( )

L P x dxA x E

δ = ∫

ในกรณทพนทหนาตด A(x) = A และแรงกระทา P(x) = P และวสดเปนวสดเนอเดยว (homogeneous material) หรอ E(x) = E แลว

0

LP PLdxAE AE

δ = =∫

PLAE

δ =∑

ถาโครงสรางมชนสวนทแบงออกเปนชวงๆ ดงแสดงแลว

หรอในรปทวไป

1 2/

1 1 2 2

( )A A BA C

P L P P LAE A E

δ += +

Sign Convention ตวอยางท 4-12 2

1 2200 kN, 250 kN, 9218 mm , 13480 mm , 200 GPa, 250 MPa

AB BC

st y

P P A AE σ= = = =

= =

จงหา1. คาหนวยแรงกดอดในแนวแกนสงสด2. คาการเปลยนตาแหนงสมพทธของจด

A เทยบกบจด Cจาก FBD ของสวนทงสองของเสา

12 400 kNABP P= =

1 22 2 400 500 900 kNBCP P P= + = + =

คาหนวยแรงกดอดในแนวแกนสงสด3

6400(10 ) 43.4 MPa < O.K.

9218(10 )AB yσ σ−= =

3

6900(10 ) 66.8 MPa < O.K.

13480(10 )BC yσ σ−= =

คาการเปลยนตาแหนงสมพทธของจด A เทยบกบจด C

/BC BCAB AB

A CAB st BC st

P LP LA E A E

δ = +

แสดงวาจด A เคลอนทเขาหาจด C = 2.2 mm

3

6 9400(10 )4

9218(10 )200(10 )−

−=

3

6 9900(10 )4

13480(10 )200(10 )−

−+

= 0.0022 m 2.2 mm− = −

ตวอยางท 4-2ทอกลวง AB ทาดวย aluminum 2014-T6 มหนาตด 400 mm2

ลวด BC ทาดวยเหลก A36 ขนาดเสนผานศนยกลาง 25 mmจงหาคาการเปลยนตาแหนงทปลาย C เทยบกบจด A

70 GPaalE =

200 GPastE =

จาก FBD ของสวนของโครงสราง80 kNABP = −

80 kNBCP = +

(หด)

(ยด)เมอไดแรง PAB และ PBC แลว เราจะตองตรวจสอบอะไร?

เนองจากจด A ถกยดแนนเขากบผนง เราจะใชจด A เปนจดอางอง ดงนน

/ / /C C A B A C Bδ δ δ δ= = +

/AB AB

B AAB al

P LA E

δ =

/BC BC

C BBC st

P LA E

δ =

0.001143 0.000489 0.00163 m = 1.63 mmCδ = + = →

ดงนน คาการเปลยนตาแหนงทปลาย C เทยบกบจด A

3

6 980(10 )(0.4)

400(10 )70(10 )−

−= 0.001143 m= −

3

2 980(10 )(0.6)

(0.0125) 200(10 )π= 0.000489 m= +

Example

จาก FBD ของคานและจากสมการความสมดล

คานแกรง AB วางอยบนเสาเหลก AC เสนผานศนยกลาง 20 mm และเสา aluminum BD เสนผานศนยกลาง 40 mm จงหาคาการเปลยนตาแหนงทจด F ของคาน เมอ Est = 200 GPa และ Eal = 70 GPa

เสาเหลกเสา aluminum

คาการเปลยนตาแหนงของเสาเหลก AC

คาการเปลยนตาแหนงของเสา aluminum BD

เสาเหลกเสา aluminum

จากแผนภาพของการเปลยนตาแหนงของคาน AFB

Exampleแทงเหลกมพนทหนาตด AAB = 600 mm2 และ ABD = 1,200 mm2 จงหาคาการเปลยนตาแหนงทจด A และคาการเปลยนตาแหนงทจด B เทยบกบจด C เมอ Est = 200 GPaหาแรงภายในของสวนของโครงสรางจาก FBD และสมการความสมดล

คาการเปลยนตาแหนงทจด A เทยบกบ D

คาการเปลยนตาแหนงทจด B เทยบกบจด C+ แสดงวา δA มทศพงขน

+ แสดงวา ชวง BC เกดการยดตว

Example 4.3 Principle of Superposition

"คาการเปลยนตาแหนง/คาแรงลพธทจดใดจดหนงบนโครงสรางซงเกดจากแรงตางๆ จะหามาไดโดยการรวมทางพชคณตของคาการเปลยนตาแหนงหรอคาแรงทเกดขนจากแรงแตละแรงทกระทาอยบนโครงสรางนน"

เมอโครงสรางมพฤตกรรมอยในชวง linear elastic และการเปลยนแปลงรปรางของโครงสรางมคานอยมากแลว

1 1 2 2Pd Pd P d≠ +

กรณทไมสามารถใช princ. of superposition ได

4.4 The Displacement Method of Analysis for Statically Indeterminate Axially Loaded Member

โครงสรางแบบ statically determinate ถกวเคราะหไดโดยใชสมการความสมดลเพยงอยางเดยวโครงสรางแบบ statically indeterminate ไมไมสามารถถกวเคราะหโดยใชสมการความสมดลเพยงอยางเดยวได

ซงตองใชเงอนไขความสอดคลอง (compatibility conditions) และความสมพนธระหวางแรงและการเปลยนตาแหนง (force-displacement relationship) ชวยในการวเคราะห

0;yF+ ↑ =∑Equilibrium Equation;

0B AF F P+ − =

Compatibility Condition;/ 0A Bδ =

Force-Displacement Relationship;FLAE

δ =

0A AC B CBF L F LAE AE

+ − =

CBA

LF PL

= ACB

LF PL

=

เนองจากแรงทไดมคาเปนบวก ดงนน ทศทางของแรงทสมมตขนเปนทศทางทเกดขนจรง

จาก FBD

ตวอยางท 4-3แทง aluminum ในชวง AC มเสนผานศนยกลาง 10 mm

414 MPa, 70 GPaalY alEσ = =

แทงเหลก A36 ในชวง BC มเสนผานศนยกลาง 8 mm250 MPa, 200 GPast

Y stEσ = =

จงหาแรงปฏกรยาทจด A และจด B เมอ

จาก FBD และสมการความสมดล320(10 ) 0A BF F− − + =

สมการความสอดคลอง/ 0.001 mB Aδ =

278.540 mmACA =250.256 mmBCA =

alu. steel

A AC

AC al

F LA E

+

6 9(0.4)

78.540(10 )70(10 )AF

−+

7.276 7.959 100000 NA BF F− =

ทาการแกสมการ เราจะได 17.01 kNAF =

3

617.01(10 ) 216.6 MPa

78.540(10 )Aσ −= =

2.99 kNBF =3

62.99(10 ) 59.5 MPa

50.256(10 )Bσ −= =

จากความสมพนธของ load-displacement

6 9(0.8) 0.001

50.256(10 )200(10 )BF−− =

B BC

BC st

F LA E

− 0.001=

250 MPaYσ< =

414 MPaYσ< =

ยดหด

320(10 ) 0A BF F− − + =

δAC และ δBC เทากบ?

Example

จากFBD และสมการสมดลของแรง

สมการความสอดคลอง

เสา aluminum ถกเสรมดวยแกนทองเหลอง ถาแรง P กระทาตอเสาผานแผนรองหวเสาทแกรงมาก จงหาหนวยแรงตงฉากทเกดขนใน aluminum และทองเหลอง เมอ Eal = 70 GPa และ Ebr = 105 GPa

จากความสมพนธของ load-displacement

ทาการแกสมการ

ตรวจสอบ stress!

Example

จากFBD และสมการสมดลของแรง

แทงเหลก A36 3 แทงเชอมตอโดยหมดเขากบคานทแกรงมาก จงหาแรงทเกดขนในแทงเหลก เมอ AB และ EF ม พ.ท. 25 mm2 และ CD ม พ.ท. 15 mm2

สมการความสอดคลอง

จากความสมพนธของ load-displacement

ทาการแกสมการ ตรวจสอบ stress ทเกดขน!

δA δC และ δE เทากบ?

ตวอยางท 4-4

P

L

Concrete core

Steel pipe

Base plate

P

FC

FS

ทอเหลกกลวงมพนทหนาตด AS ถกเสรมดวย concrete ซงมพนทหนาตด ACmodulus of elasticity ของเหลกและ concrete คอ ES และ EC จงหา 1. หนวยแรงในทอเหลกและใน concrete2. คาการหดตวของทอจากFBD และสมการสมดลของแรง

0S CF F P+ − =

สมการความสอดคลองS Cδ δ=

จากความสมพนธของ load-displacementS C

S S C C

F L F LE A E A

=

S SS C

C C

E AF FE A

⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ทาการแกสมการ

C CC

S S C C

E AF PE A E A

⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠

S SS

S S C C

E AF PE A E A

⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠

S Cδ δ=

0S CF F P+ − =

เมอไดแรง FC และ FS แลว เราจะตองตรวจสอบอะไร? และ δS และ δC เทากบ?

0S CF F P+ − =

หนวยแรงทเกดขนในทอเหลกกลวงและใน concreteS S

SS S S C C

F EPA E A E A

σ⎛ ⎞

= = ⎜ ⎟+⎝ ⎠

C CC

C S S C C

F EPA E A E A

σ⎛ ⎞

= = ⎜ ⎟+⎝ ⎠Note:1. หนวยแรง σS ≤ σY ของเหลกและ σC ≤ σpl ของคอนกรต2. หนวยแรงทงสองแปรผนโดยตรงกบ modulus of elasticity ของเหลกและ

concreteคาการหดตวของทอเหลกกลวงเสรม concrete

S C

S S C C S S C C

F L F L PLE A E A E A E A

δ = = =+

ตวอยางท 4-5จงหาสมการของแรงทเกดขนในเสนลวด CD และเสนลวด EF

1E1d

2E

2d

จากFBD และสมการสมดลของแรง

1 2 (2 ) (3 ) 0Tb T b P b+ − =

2 12δ δ=

สมการความสอดคลอง

จากความสมพนธของ load-displacement1 1

11 1

T LAE

δ = 2 22

2 2

T LA E

δ =

กาหนดให 1

11 1

LfA E

= 22

2 2

LfA E

=

P

T2T1Ax

Ay

ดงนน1 1 1f Tδ = 2 2 2f Tδ =

และจาก

2 2 1 12f T f T=

ทาการแกสมการ

21

1 2

34f PTf f

=+

12

1 2

64f PTf f

=+

เนองจากแรงปฏกรยามคาเปนบวก ดงนน จงมทศทางตามทไดสมมตไว

2 12δ δ=

1 2 (2 ) (3 ) 0Tb T b P b+ − =

เมอไดแรง T1 และ T2 แลว เราจะตองตรวจสอบอะไร? และ δ1 และ δ2 เทากบ?

4.5 The Force Method of Analysis for Statically Indeterminate Axially Loaded Member จาก principle of superposition

Compatibility Condition;0 P Bδ δ= −

Force-Displacement Relationship;

ACPPLAE

δ = BBF LAE

δ =

0 AC BPL F LAE AE

= −

ACB

LF PL

=

Equilibrium Equation;

0;yF+ ↑ =∑0AC

ALP F PL

+ − =

CBA

LF PL

=

ACB

LF PL

=

equilibrium equations และ force-displacement relationships

displacementsDisplacement method

compatibility equations และ force-displacement relationships

forcesForce method

สมการทใชในการหาคาตอบตวแปรทไมทราบคา

วธการ

ตวอยางท 4-6 แทง aluminum AC ม dia. 10 mm

414 MPa, 70 GPaaly alEσ = =

แทงเหลก BC ม dia. 8 mm250 MPa, 200 GPast

y stEσ = =

สมการความสอดคลอง0.001 mP Bδ δ− =

จากความสมพนธของ load-displacement3

6 920(10 )0.4

78.540(10 )70(10 ) 0.0014551 m

ACP

AC al

PLA E

δ −= =

=

B BC B ACB

BC st AC al

F L F LA E A E

δ = +

ดงนน 60.001455 0.15235(10 ) 0.001 mBF−− =

2.99 kNBF =

จากFBD และสมการสมดลของแรง20 2.99 17.01 kNAF = − =

60.15235(10 )B BFδ −=

6 9(0.4)

78.540(10 )70(10 )BF

−+6 9(0.8)

50.256(10 )200(10 )BF−=

m 001455.0=Pδ

0.001 mP Bδ δ− =

ตรวจสอบ stress!δAC และ δBC เทากบ?

4.6 Thermal Stressการเปลยนแปลงอณหภมทาใหชนสวนของโครงสรางเกดการเปลยนแปลงขนาดและรปราง

T T Lδ α= ∆

เมอ α = linear coefficient of thermal expansion

คณสมบตทางกลของวสด

ถาชนสวนของโครงสรางเปนแบบ statically indeterminate แลว การยดหรอการหดตวของชนสวนของโครงสรางจะเกดขนไมได ซงจะกอใหเกด thermal stress ขนในชนสวนของโครงสราง

Example

จากFBD และสมการสมดลของแรงA BF F F= =

สมการความสอดคลอง

เมออณหภม T1 = 30oC แทงเหลกถกยดเขากบจดรองรบพอด เมออณหภมเพมขนเปน T2 = 60oC จงหาหนวยแรงตงฉากทเกดขนในแทงเหลก

อณหภมสง → ทาใหขยายแตแรง → ทาใหหด

จากความสมพนธของ load-displacement และ displacement-temperature

ขยาย หด

ตวอยางท 4-76

2

Steel : 17(10 ) / , 200 GPa, 250 MPa,

600 mm

ost st y

AB

AB C E

A

α σ−= = =

=6

2

Aluminum : 24(10 ) / , 70 GPa, 414 MPa,

1200 mm

oal al y

CD

CD C E

A

α σ−= = =

=

เมออณหภมของโครงสรางเพมขนจาก 25oC เปน 125oC จงหาคาเฉลยของหนวยแรงในชนสวน AB และ CD

จากFBD และสมการสมดลของแรงst alF F F= =

/ 0.001 mA Dδ =

สมการความสอดคลอง

จากความสมพนธของ load-displacement และ displacement-temperaturest AB

st ABAB st

F L TLA E

α− + ∆

Fst Fal

0.001=al CDal CD

CD al

F L TLA E

α− + ∆

แรง → ทาใหหด แตอณหภมสง → ทาใหขยาย

6 9(0.6)

600(10 )200(10 )F−−

99.762(10 ) 0.0011F− =

112.68 kNF =

st ABst AB

AB st

F L TLA E

α− + ∆ 0.001=al CDal CD

CD al

F L TLA E

α− + ∆

6

2

Steel : 17(10 ) / , 200 GPa, 250 MPa,

600 mm

ost st y

AB

AB C E

A

α σ−= = =

=6

2

Aluminum : 24(10 ) / , 70 GPa, 414 MPa,

1200 mm

oal al y

CD

CD C E

A

α σ−= = =

=

6 9(0.4)

1200(10 )70(10 )F

−−

617(10 )100(0.6)−+

627(10 )100(0.4) 0.001−+ =

หนวยแรงในชนสวน AB และ CD

6112.68 187.8 MPa

600(10 )ABσ −= =

6112.68 93.9 MPa

1200(10 )CDσ −= =

250 MPaYσ< =

414 MPaYσ< =

Example

จากFBD และสมการสมดลของแรง

สมการความสอดคลอง

คานแกรงถกยดเขากบเสาเหลก A36 และ aluminum 2014-T6 เมอไมมแรงกระทาและอณหภม T1 = 20oC เสามความยาว 250 mm จงหาแรงทเกดขนในเสาเมอแรงกระทามคา 150 kN/m และอณหภมเพมขนเปน T2 = 80oC

โครงสรางมความสมมาตร

จากความสมพนธของ load-displacement และ displacement-temperature

ดงนน

ทาการแกสมการ

เมอกาหนดให δ พงลงเปนบวก

End of Chapter 4