MECHANIKA, WYKŁAD 3

1. Tarcie.

1.1. Tarcie ślizgowe.

1.2. Tarcie toczenia.

1.3. Tarcie cięgna o nieruchomy krążek.

2. Geometria mas.

2.1. Momenty statyczne (punktu materialnego, układu punktów materialnych).

2.2. Środki ciężkości (układu punktów materialnych, bryły, figury płaskiej).

TARCIEM nazywamy zjawisko powstawania sił stycznych do powierzchni styku dwóch ciał. Są to siły bierne, czyli reakcje.

Podstawowe rodzaje tarcia.1. Tarcie ślizgowe ciała sztywnego o szorstką płaszczyznę.2. Tarcie toczenia ciała sztywnego w kształcie walca po płaszczyźnie.3. Tarcie ślizgowe cięgna o nieruchomy krążek.

TARCIE

σ𝐹𝑖𝑥 = 0 𝑃 − 𝑇 = 0

σ𝐹𝑖𝑦 = 0 𝑁 − 𝐺 = 0

TARCIE ŚLIZGOWE ciała sztywnego o szorstką płaszczyznę.

TARCIE ŚLIZGOWE ciała sztywnego o szorstką płaszczyznę.

TARCIE

Można wyróżnić dwie strefy tarcia. W strefie I ciało jest nieruchome, a zjawisko tarcianazywamy tarciem statycznym (spoczynkowym).

Dla każdej wartości 𝑃 ≤ 𝑃𝑔 mamy 𝑇 = 𝑃.

W punkcie równowagi granicznej A zarówno siła przesuwająca P jak i siła tarcia 𝑇osiągają wartości graniczne, przy czym 𝑃𝑔 = 𝑇𝑔 = 𝜇 ∙ 𝑁.

Współczynnik proporcjonalności nazywamy współczynnikiem tarcia ślizgowegorozwiniętego.

TARCIE ŚLIZGOWE ciała o szorstką powierzchnię.

1. Siła tarcia nie zależy od wielkości przesuwających się po sobie powierzchni.2. Siła tarcia skierowana jest zawsze przeciwnie do kierunku ruchu.3. Wartość współczynnika tarcia zależy od rodzaju materiału przesuwających się po

sobie powierzchni, stanu powierzchni styku, stopnia smarowania powierzchni i temperatury.

4. Współczynniki tarcia podane w tablicach dotyczą tarcia rozwiniętego.

Stożek tarcia.

TARCIE

𝑇 = 𝑇𝑔 𝑅𝑔 = 𝑇𝑔2+ 𝑁 2 tgφ =

𝑇𝑔

𝑁=𝜇 ∙ 𝑁

𝑁= 𝜇

𝑘ą𝑡 𝑡𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎՜ 𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑡𝑔𝜇)

TARCIE ŚLIZGOWE kinetyczne.

TARCIE

𝑇 𝑣 = 𝜇(𝑣) ∙ 𝑁

𝑗𝑒ż𝑒𝑙𝑖 𝑣 ≫ 0, 𝑡𝑜 𝜇 𝑣 =1

2𝜇 𝑜𝑟𝑎𝑧 𝑇 ≅

1

2𝜇𝑁 ≅

1

2𝑇𝑔

TARCIE TOCZENIAZjawisko tarcia tocznego dotyczy przetaczania walca, kuli, krążka po płaszczyźnie.Rozpatrzmy próbę przetoczenia ciała w kształcie krążka o promieniu r i ciężarze G popłaszczyźnie poziomej za pomocą siły poziomej P zaczepionej w środku ciężkości ciała.Pod wpływem obciążeń czynnych P i G następują mikroodkształcenia w strefie kontaktukrążka z podłożem. Reakcja R podłoża jest ukośna. Rozkładamy ją na składowe To i N. DlaP = 0 występuje tylko reakcja pionowa N w punkcie B. Przy wzroście siły P następujeprzesunięcie w prawo i pochylenie reakcji.

TARCIE

A

O x

y

P

To

r

f

RN

G

TARCIE TOCZENIAW punkcie równowagi granicznej krążek poddany jest działaniu pozostającego wrównowadze układu sił P, G, To, N.

Punkt A przez który przechodzi prosta działania całkowitej reakcji R o składowych N, To,nazywa się teoretycznym punktem podparcia przetaczanego krążka. Składowa poziomaTo nazywa się siłą tarcia toczenia lub siłą oporu toczenia. Siła oporu toczenia jest równaw punkcie równowagi granicznej:

f – współczynnik tarcia tocznego [m]

TARCIE

0Pn

1iix

0TP o

0Pn

1iiy

N G 0

0)P(Mn

1iiA

Gf Pr 0g

fP P G

ro o,g

fT T G

r

N G

o o,g

fT T G

r

A

O x

y

P

To

r

f

RN

G

TARCIE TOCZENIAPrzesunięcie f punktu A względem punktu B nazywamy współczynnikiem tarcia toczenialub ramieniem oporu toczenia. Współczynnik f jest wyrażony najczęściej w milimetrach.Po przekroczeniu punktu równowagi granicznej (P > Pg) ciało toczy się. Przesunięcie f

następuje zawsze w kierunku możliwego ruchu ciała.

TARCIE

A

O x

y

P

To

r

f

RN

G

TARCIE CIĘGNA O NIERUCHOMY KRĄŻEKRozpatrujemy próbę przesunięcia cięgna napiętego po krążku nieruchomym. Naciągicięgna po obu stronach krążka są różne, ponieważ trzeba pokonać jeszcze siły tarciacięgna o krążek.

TARCIE

𝑆2 - siła przesuwająca

𝑆1 - siła utrzymująca

𝛼 - kąt opasania

𝑟 ∙ 𝛼 - długość opasania

𝜇 - współczynnik tarcia ślizgowego

2 1S S e

MOMENT STATYCZNY PUNKTU MATERIALNEGO WZGLĘDEM PŁASZCZYZNY LUB OSIDana jest płaszczyzna p i punkt materialny A o masie m.Momentem statycznym punktu materialnego A o masie m względem płaszczyzny p

nazywamy iloczyn masy tego punktu i jego odległości od zadanej płaszczyzny.

GEOMETRIA MAS

AM m rp

MOMENT STATYCZNY UKŁADU PUNKTÓW MATERIALNYCHWZGLĘDEM PŁASZCZYZNY LUB OSI

GEOMETRIA MAS

n

A...N i i

i 1

M m rp

ŚRODEK CIĘŻKOŚCIŚrodkiem ciężkości (środkiem masy) nazywamy punkt S, w którym skupiona masacałkowita układu ma względem dowolnej płaszczyzny lub osi taki sam momentstatyczny jak dany układ materialny względem tej samej płaszczyzny lub osi.

GEOMETRIA MAS

n

C C i i

i 1

m r m r

ŚRODEK CIĘŻKOŚCIŚrodkiem ciężkości (środkiem masy) nazywamy punkt C, w którym skupiona masacałkowita układu ma względem dowolnej płaszczyzny lub osi taki sam momentstatyczny jak dany układ materialny względem tej samej płaszczyzny lub osi.

GEOMETRIA MAS

n

C C i i

i 1

m r m r

n

i ini 1

C C i i C

i 1 C

n

i ini 1

C C i i C

i 1 C

n

i ini 1

C C i i C

i 1 C

n

i i

i 1C

C

m x

m x m x xm

m y

m y m y ym

m z

m z m z zm

m r

rm

ŚRODEK CIĘŻKOŚCIBryły nie trzeba dzielić na punkty materialne. Wystarczy podzielić ją na bryły, którychpołożenie środków ciężkości można określić w przyjętym układzie współrzędnych.Konieczne jest także to, aby znać masy brył składowych.

GEOMETRIA MAS

ŚRODEK CIĘŻKOŚCIBryły nie trzeba dzielić na punkty materialne. Wystarczy podzielić ją na bryły, którychpołożenie środków ciężkości można określić w przyjętym układzie współrzędnych.Konieczne jest także to, aby znać masy brył składowych.

GEOMETRIA MAS

1 1 1 1

2 2 2 2

C C C

C x , y , z

C x , y , z

C x , y , z

współrzędne środka ciężkości układu brył

2

1 1 2 2

i 1C

C

2

1 1 2 2

i 1C

C

2

1 1 2 2

i 1C

C

(m x m x )

xm

(m y m y )

ym

(m z m z )

zm

ŚRODEK CIĘŻKOŚCI

W ogólnym przypadku bryłę można podzielić na n brył składowych, których środki mają współrzędne:

Wtedy korzystając z wcześniej wyprowadzonych zależności można napisać wzory na współrzędne środka ciężkości całej bryły.

GEOMETRIA MAS

n n n nC x , y , z

n

1 1

i 1C

C

n

1 1

i 1C

C

n

1 1

i 1C

C

(m x )

xm

(m y )

ym

(m z )

zm

MOMENT STATYCZNY FIGURY PŁASKIEJ

WYBRANE CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE FIGUR PŁASKICH

MOMENT STATYCZNY FIGURY PŁASKIEJ względem osi definiuje się jako

granicę algebraicznej sumy iloczynów elementarnych powierzchni dA → 0

przez ich odległość od osi. Sumowanie to odbywa się po całej powierzchni S

figury płaskiej, tzn.:

WYBRANE CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE FIGUR PŁASKICH

3

l

A

3

l

A

S rdA [m ]

S rdA [m ]

MOMENT STATYCZNY FIGURY PŁASKIEJ względem osi x i y kartezjańskiego układu współrzędnych definiuje się jako:

x

A

y

A

S ydA

S xdA

WYBRANE CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE FIGUR PŁASKICH

Momenty statyczny prostokąta o wymiarach b i h względem osi x i y kartezjańskiegoukładu współrzędnych.

x

A

h b

x

0 0

h

b

x 0

0

h

x

0

2

x

x

S ydA

S ydxdy

S yx dy

S ybdy

bhS

2

hS A

2

WYBRANE CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE FIGUR PŁASKICH

y

A

h b

y

0 0

b

h

y o

o

b

y

o

2

y

y

S xdA

S xdxdy

S xy dx

S xhdx

hbS

2

bS A

2

Momenty statyczny prostokąta o wymiarach b i h względem osi x i y kartezjańskiego układu współrzędnych.

x

y

hS A

2

bS A

2

WYBRANE CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE FIGUR PŁASKICH

Momenty statyczny prostokąta o wymiarach b i h względem osi x i y kartezjańskiegoukładu współrzędnych.

Moment statyczny względem osi przechodzącej przez środek ciężkości prostokąta

(i każdej innej figury) jest równy zero.

x

y

l

hS A

2

bS A

2

S O

WYBRANE CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE FIGUR PŁASKICH

TWIERDZENIE O MOMENTACH STATYCZNYCH. ŚRODEK CIĘŻKOŚCI.Moment statyczny złożonej figury względem dowolnej osi jest równy sumie momentówstatycznych figur składowych, na które podzielimy figurę złożoną.

WYBRANE CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE FIGUR PŁASKICH

TWIERDZENIE O MOMENTACH STATYCZNYCH. ŚRODEK CIĘŻKOŚCI.Moment statyczny złożonej figury względem dowolnej osi jest równy sumie momentówstatycznych figur składowych, na które podzielimy figurę złożoną.

WYBRANE CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE FIGUR PŁASKICH

TWIERDZENIE O MOMENTACH STATYCZNYCH. ŚRODEK CIĘŻKOŚCI.Moment statyczny złożonej figury względem dowolnej osi jest równy sumie momentówstatycznych figur składowych, na które podzielimy figurę złożoną.

A – pole powierzchni, xC – współrzędna środka ciężkości

1 2 3 C 1 2 3 1 C 1 2 C 2 3 C 3

1 C 1 2 C 2 3 C 3C 1 2 3

1 2 3

A x A x A x A x

A x A x A xx

A

WYBRANE CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE FIGUR PŁASKICH

TWIERDZENIE O MOMENTACH STATYCZNYCH. ŚRODEK CIĘŻKOŚCI.Moment statyczny złożonej figury względem dowolnej osi jest równy sumie momentówstatycznych figur składowych, na które podzielimy figurę złożoną.

n

i

i 1

n

C i iC

i 1

n

C i iC

i 1

S S

A x A x

A y A y

WYBRANE CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE FIGUR PŁASKICH