Medaf UQUAM

8/3/2019 Medaf UQUAM

1/39

ECO6080 : Economie financiereLe modele devaluation des actifs financiers

(MEDAF)

Steve AmblerDepartement des sciences economiques

Ecole des sciences de la gestionUniversite du Quebec a Montreal

c 2010 : Steve AmblerAutomne 2010

Table des matieres

1 Introduction et objectifs du cours 2

2 Le modele de base 32.1 Hypotheses de base du modele . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Derivation du modele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.3 Quelques Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4 Quelques consequences du MEDAF . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4.1 La ligne du marche des actions (SML) . . . . . . . . . 92.4.2 Les lignes caracteristiques sous MEDAF . . . . . . . . 92.4.3 Combinaisons esperance/ecart type dactions . . . . . . 12

2.5 Ajustement des prix des titres individuels . . . . . . . . . . . . 162.6 Le MEDAF sans lexistence dun actif sans risque . . . . . . . 17

2.7 Lefficience du portefeuille de marche . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Dautres versions du modele 203.1 Le MEDAF sans vente a decouvert de lactif certain . . . . . . 203.2 Autres versions du modele MEDAF . . . . . . . . . . . . . . . 22

1


2/39

4 Validation empirique du MEDAF 22

4.1 Remarques generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.1.1 Regressions en serie chronologique . . . . . . . . . . . . 224.1.2 Regressions a deux niveaux . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.2 Tests du MEDAF dans les annees 70 . . . . . . . . . . . . . . 244.2.1 Black, Jensen et Scholes (1972) . . . . . . . . . . . . . 244.2.2 Fama et MacBeth (1974) . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.3 La critique de Roll . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.4 Tests plus modernes du MEDAF . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.4.1 Shanken (1987) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.4.2 Fama et French (1992) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.4.3 Les modeles a facteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5 Concepts a retenir 27

6 Questions 276.1 Modele avec et sans emprunt au taux sans risque . . . . . . . 276.2 Modele devaluation des actifs financiers . . . . . . . . . . . . 306.3 Le modele CAPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346.4 Le modele devaluation des actifs financiers (MEDAF) . . . . . 356.5 Le MEDAF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1 Introduction et objectifs du coursMarkowitz (1959) a developpe la theorie du choix optimal dun porte-

feuille par un individu sur la base du rendement espere et de la variance.Sharpe (1965) et Lintner (1965) sont les premiers a deriver les consequencesde cette theorie pour lequilibre des marches financiers. Donc, dans ce cha-pitre nous passons de lanalyse du comportement de lindividu a lanalyse delequilibre sur le marche. Les objectifs de ce chapitre sont les suivants.

Revoir les hypotheses de base du modele. Deriver en detail la relation la relation dequilibre entre le rendement

dun titre individuel ou un portefeuille et le rendement du portefeuille

de marche en presence dun actif sans risque. Analyser certaines consequences du MEDAF, notamment pour le prix

du risque.

2


3/39

Analyser certains des tests empiriques qui ont ete effectues pour com-

firmer ou infirmer le modele. Analyser certaines extensions du modele de base avec des hypothesesmoins restrictives.

2 Le modele de base

2.1 Hypotheses de base du modele

Les individus choisissent entre portefeuilles sur la base du rendementespere et de la variance. Ou bien les distributions suivent la loi normale(loi a deux parametres), ou bien les individus ont des fonctions dutilitequadratiques.

Ils maximisent lutilite de leur richesse de fin de periode. Il y a unanimite entre individus quant a lhorizon de planification et

les lois (distributions) de probabilite qui determinent les rendements. Il y a un nombre fixe dactifs et une quantite fixe de chacun de ces

actifs. Les marches financiers sont sans friction (absence de couts de transac-

tion). Tous les actifs sont parfaitement divisibles et transiges sur un marche

concurrentiel. Ceci implique quon neglige, par exemple, le capital hu-

main. Il ny a pas dautres imperfections du marche commme des taxes. Il ny a pas de limite sur les possibilites de vente a decouvert. Certaines de ces hypotheses peuvent etre relachees. Nous en parlerons

plus loin.

2.2 Derivation du modele

On suppose au depart la possibilite de ventes a decouvert sans limite.Nous allons voir dans une sous-section ulterieure ce qui arrive avec deslimites sur la vente a decouvert.

Avec lexistence dun actif sans risque (on va lappeler desormais rF),nous avons deja vu que lensemble de portefeuilles a variance minimaledevient une ligne droite. Nous allons deriver ce resultat de maniere unpeu plus formelle ici.

3


4/39

Il sagit probablement de la derivation formelle la plus difficile que

vous allez voir dans le cours. Si vous etes capables de la suivre, soyezcontents ! Apres tout, le developpement du MEDAF a valu un prixNobel!

En cours de route nous avons montre le Two Fund Separation Theo-rem qui dit que chaque investisseur va detenir un portefeuille qui seraune combinaison du titre sans risque et dun seul portefeuille risque,celui dans lensemble de portefeuilles a variance minimale qui donne unpoint de tangence avec la ligne Capital Market Line (CML).Cette ligne est illustree par le Graphique 5.1 (8.5 dans Haugen, 2001).

Figure

1 Capital Market Line (CML)

000111000111000111 000111000111

000111 000111000111 000111000111 000111 000111000111000111

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10000000000000000000000000000000000000000000000

1111111111111111111111111111111111111111111111

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 4 6 8 10 12 14

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

E(r)

( r)

MVP

M

Capital Market Line (CML)

Soit un portefeuille qui est une combinaison de lactif sans risque et dece portefeuille. Nous avons :

rp = xMrM + (1 xM)rF, (1)

4


5/39

ou xM est la fraction du portefeuille investie dans le portefeuille du

marche, et rF est le taux de rendement certain. Nous avonsE(rp) = xME(rM) + (1 xM)rF, (2)

2(rp) = x2M

2(rM), (3)

(rp) = xM(rM) (4) La derivee du rendement espere par rapport a xM nous donne :

E(rp)

xM= E(rM) rF. (5)

La derivee de lecart type par rapport a xM nous donne :

(rp)

xM= (rM). (6)

Mettant ces deux resultats ensemble, nous avons :

E(rp)

(rp)=

E(rM) rF(rM)

. (7)

Cette equation nous donne la pente de la CML. Elle est constante, etdonc la CML est effectivement une droite. Lordonnee a lorigine estevidemment rF.

Donc, lequation de la droite est :

E(rp) = rF + (E(rM) rF) (rp)(rM)

. (8)

Le portefeuille de marche est defini comme le portefeuille qui con-tient tous les actifs risques disponibles sur le marche, et ou la fractionde chaque actif est egale tout simplement au ratio de la valeur totalede toutes les unites de cet actif sur la valeur totale de tous les actifs surle marche. On sait quil est dans lensemble de portefeuilles efficientspuisque chaque individu detient un portefeuille qui est dans lensembleet une combinaison de portefeuilles efficients est efficiente.

A cause du phenomene de Two Fund Separation , chaque indi-vidu detient une fraction du meme portefeuille. Donc, le portefeuillede marche a la meme composition que le portefeuille risque que chaqueindividu detient. Donc, notre choix de lindice inferieur M pour ceportefeuille etait voulu.

5


6/39

Nous venons de deriver une relation entre le rendement espere sur le

portefeuille de marche et le rendement espere dun portefeuille qui estune combinaison de ce portefeuille et de lactif sans risque. Ceci nestpas trop interessant. Ce qui nous interesse vraiment est une equationpour le rendement espere de nimporte quel titre individuel.

Considerons un nouveau portefeuille rp, qui est une combinaison duntitre quelconque A et du portefeuille de marche, ou xA est la fractiondu portefeuille investie dans le titre A.

Nous allons reproduire ici essentiellement le meme argument que danslannexe 4 du chapitre 5 du manuel. Dans ce contexte, le Graphique5.2 (A.4.1 dans Haugen, 2001) est pertinent.

Figure 2 Courbe de Combinaisons entre M et A

0 00 01 11 100110 00 00 01 11 11 1

0 00 01 11 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 100000000000000000000000000000000000000000000000

11111111111111111111111111111111111111111111111

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 4 6 8 10 12 14

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

E(r)

( r)

MVP

M

A

rF

Ce que nous voulons evaluer est la pente de la courbe de combinaisonsesperance/ecart-type lorsquon combine le portefeuille de marche (quicontient deja lactif A) avec lactif A. On veut evaluer cette pente au

6


7/39

point M sur le graphique, lorsque la ponderation de lactif A dans

le nouveau portefeuille est nulle. On parle ici de la ponderation dumontant additionnel de lactif A quon met dans le portefeuille. Leportefeuille de marche en general va deja contenir un montant non nulde lactifA.

Nous avons :rp = xArA + (1 xA)rM (9)

Nous obtenons tout de suite :

E(rp) = xAE(rA) + (1 xA)E(rM), (10)

et

2 (rp) = x2A2(rA) + (1 xA)22(rM)+ 2xA(1 xA)Cov(rA, rM), (11)

et donc : (rp) =

x2A2(rA) + (1 xA)22(rM) + 2xA(1 xA)Cov(rA, rM)

1/2. (12)

Derivant le rendement espere de ce nouveau portefeuille par rapport axA, nous obtenons :

E(rp)

xA = E(rA)E(rM). (13)

Derivant lecart type du rendement de ce nouveau portefeuille par rap-port a xA, nous obtenons :

(rp)

xA=

0.5

x2A2(rA) + (1 xA)22(rM) + 2xA(1 xA)Cov(rA, rM)

1/2

2xA

2(rA)

2(1

xA)

2(rM) + (2

4xA)Cov(rA, rM) (14)

La contribution de Sharpe et Lintner etait essentiellement de dire quilfaut evaluer ces derivees au point ou xA = 0, puisquau point M surle graphique la ponderation de lactif A dans le nouveau portefeuilleest nulle. Ce faisant, nous obtenons lexpression suivante pour lecart

7


8/39

type du nouveau portefeuille (bien sur, lexpression pour le rendement

espere ne change pas) : (rp)

xA|(xA=0) =

0.5

2(rM)1/2

22(rM) + 2Cov(rA, rM)

, (15)

ce qui donne :

(rp)

xA|(xA=0) =

Cov(rA, rM) 2(rM)(rM)

. (16)

Avec les deux derivees, nous pouvons obtenir une expression pour la

courbe de combinaisons esperance/ecart type pour le nouveau porte-feuille. Nous avons :E(rp)

(rp)|(xA=0) =

E(rA)E(rM)(Cov(rA, rM) 2(rM)) /(rM) . (17)

Avant-derniere etape dans largument : cette pente doit etre egale ala pente de la CML au point M sur le graphique, puisquil sagit dunpoint de tangence entre la courbe de combinaisons du portefeuille rp etla CML.

Egalisant les deux pentes, nous obtenons :

E(rM) rF(rM)

=E(rA)E(rM)

(Cov(rA, rM) 2(rM)) /(rM) . (18)

Quelques manipulations algebriques et nous y sommes ! Nous avons

E(rM) rF2(rM)

=E(rA)E(rM)

(Cov(rA, rM) 2(rM)) .

E(rA) = E(rM) + E(rM) rF2(rM)

Cov(rA, rM) 2(rM)

E(rA) = E(rM) + (E(rM) rF)Cov(rA, rM)

2(rM) E(rM) + rF

E(rA) rF = (E(rM) rF) Cov(rA, rM)2(rM)

E(rA) rF = (E(rM) rF) A. (19)

8


9/39


10/39

Figure 3 EVM, riscophobie elevee

0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1

2 4 6 8 10 12 14

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

E(r)

( r)

EVM

10


11/39


12/39

Figure 5 Security Market Line (SML)

000111 000111000111 000111000111 000111

0001110 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111110 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

E(r)

( r)

Capital Market Line Security Market Line

rF

E(r )M

M M

1

Si on regarde le rendement realisee dune action, nous pouvons ecrire :

rA,t = rF(1 A) + ArM,t + A,t

Cette equation ressemble a lequation que nous avons developpee dansle cadre des modeles a facteur unique, mais le MEDAF nimplique pasnecessairement que les residus de ces equations seront non correlesentre compagnies.

Sous les hypotheses qui menent au MEDAF, les lignes caracteristiquesdactifs differents auront lallure de celles illustrees par le Graphique5.6 (8.10 dans Haugen, 2001).

2.4.3 Combinaisons esperance/ecart type dactions

Le Graphique 5.7 (8.11 dans Haugen, 2001) est simplement une autre

facon de representer la meme information, cette fois-ci dans le planesperance/ecart type.

Nous avons pour une action A que :

2(rA) = 2A

2(rM) + 2(A).

12


13/39

Figure 6 Lignes caracteristiques sous le MEDAF

000111 0001110001110001110001110001110 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

00000000000000000000000000000000000000000

111111111111111111111111111111111111111110 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Ra

RM

rF E(r )M

rF

0

A

B

C

E(r )

E(r )

C

B

13


14/39

Figure 7 Positions de titres individuels sous le MEDAF

0011000111 0 00 00 01 11 11 1 000111 0 00 00 01 11 11 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1

2 4 6 8 10 12 14

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

E(r)

( r)

rF

= 0

= 0.50

= 1.00

= 1.50A A

E(r )M

14


15/39

La droite est tout simplement lequation de la CML. La CML donne

les combinaisons esperance/ecart type pour des portefeuilles qui sontdes combinaisons du portefeuille de marche et du titre sans risque. Ceci implique quils ont une correlation parfaite avec le portefeuille de

marche. Pour cette raison, les portefeuilles le long de la CML ont une variance

residuelle qui est nulle. Tous les titres avec une variance residuelle positive doivent se retrouver

a droite de la CML. Nous pouvons deriver la relation suivante entre le taux de rendement

espere dun portefeuille et son ecart type :

E(rA) = rF + [E(rM) rF] A

= rF +

E(rM) rF

2(rM)

Cov(rA , rM)

= rF +

E(rM) rF

2(rM)

(rA , rM)(rM)(rA)

= rF +

E(rM) rF

(rM)

(rA , rM)(rA)

La pente de la relation, pour une valeur donnee de lecart type dun

titre, depend de la valeur de (rA , rM), la correlation entre le porte-feuille et le portefeuille de marche. Avec une correlation parfaite, nousavons :

E(rA) = rF +

E(rM) rF

(rM)

(rA)

Considerons le titre A illustre sur le graphique. Nous pouvons decom-poser sa variance de la facon suivante (sous lhypothese, bien sur, dunecovariance nulle entre le rendement du titre et le rendement du porte-feuille de marche) : 1

2(rA) = 2A

2(rM) + 2(A)

1. Avec les calculs que nous venons de faire, nous savons que les portefeuilles individuels

sur la ligne pointillee qui passe a travers A et A ne p euvent pas avoir une correlation nulle

avec le portefeuille de marche, sinon ils auraient un rendement espere egal a rF. Autrement

dit, on triche !

15


16/39

Sur le Graphique, nous avons les donnees suivantes : A = 1.50,

E(rM) = 0.14, (rM) = 0.050, (rA

) = 0.100. Nous obtenons :

0.010 = 1.502 0.0025 + 0.004375

2.5 Ajustement des prix des titres individuels

Le Graphique 5.8 (8.13 dans Haugen, 2001) montre comment les prixdactifs doivent sajuster pour maintenir un equilibre sur le marche desttitres.

Figure 8 Pression sur le prix dequilibre dun titre

00110011

00110011 0011

00110 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 4 6 8 10 12 14

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

E(r)

( r)

M

C

M

C

C

Dans un equilibre initial, lactif qui est au point C sur le graphique. Sion considere un melange de lactif avec le portefeuille du marche M, lacourbe de combinaisons esperance/ecart type est donnee par la courbeCM sur le graphique.

16


17/39

Au point M, la fraction de lactifC dans le portefeuille est tout simple-

ment sa fraction a lequilibre dans le portefeuille du marche. Au pointM, la fraction de lactif C dans le portefeuille combine est reduite azero.

Rappelons que le rendement espere dun titre est donne par :

E(rC) =E (dividendet + pA,t+1)

pA,t

Supposons quune nouvelle fait augmenter le paiement de dividendeespere et le prix de fin de periode espere, sans affecter la correlation delactif avec le portefeuille de marche ou sa variance.

Ceci revient a dire que son rendement espere vient daugmenter. Lactif

est maintenant au point C sur le graphique. La nouveille courbe decombinaisons est CM.

Tout le monde voudrait accrotre la quantite de lactif C quil detient,pour atteindre le point B sur le graphique. Ceci va faire augmenterle prix courant, faisant ainsi baisser le rendement espere. Le pointdequilibre final est de nouveau a C.

Dans le cas inverse, supposons quune nouvelle fait diminuer le paie-ment de dividende espere, encore une fois sans affecter la correlationdu rendement avec celui du portefeuille de marche.

Lactif est maintenant au point C. La nouvelle courbe de combinaisons

est C

M. Cette fois-ci, il va y avoir pression a la baisse sur le prix courant delactif, jusqua ce que le point dequilibre revienne a C.

Notez que dans cette argumentation, nous supposons que le titre C nerepresente quune fraction tres faible du marche total. Sinon, les ventes(achats) du titre C pourrait affecter le prix dequilibre dautres titreset donc la position du point M.

2.6 Le MEDAF sans lexistence dun actif sans risque

Lensemble de portefeuilles a variance minimale est illustree par le Gra-

phique 5.9 (8.14 dans Haugen, 2001). Black (1972) est le premier a etendre le modele MEDAF au cas ou il

ny a pas dactif sans risque. Il montre un resultat assez semblable auresultat fondamental du MEDAF avec un actif sans risque. Le rende-ment excedentaire dun actif par rapport au rendement sur un

17


18/39

Figure 9 MEDAF sans actif sans risque

001100110011

00110011

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 4 6 8 10 12 14

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

E(r)

( r)

MVP

M

E(r )

E(r )M

ZPortefeuille a beta nul a variance minimale

18


19/39

portefeuille dont le facteur beta est nul doit etre egal au produit

du rendement excedentaire du portefeuille de marche, toujours par rap-port au portefeuille avec un beta egal a zero et du facteur beta du titre. Afin de montrer ce resultat, il faut utiliser une des proprietes de len-

semble de portefeuilles a variance minimale, lexistence dune relationlineaire entre le rendement espere sur un actif et un portefeuille dereference (pas forcement le portefeuille de marche) qui est dans lEVM.Ceci nous donne la ligne SML illustree sur le graphique.

On sait quil existe une relation lineaire entre le rendement espere etle facteur beta dun portefeuille calcule par rapport a un portefeuilledans lEVM. Nous avons :

E(rA) = Z+ (E(rM) Z) A,ou Z est lordonnee a lorigine dune ligne droite qui a un point de tan-gence avec le portefeuille de reference. Ici, nous prenons le portefeuillede marche comme le portefeuille de reference.

Nous avons, pour un portefeuille avec un facteur beta egal a zero (quenous appelons le portefeuille Z),

E(rZ) = Z.

Cest pourquoi lordonnee a lorigine de la ligne pointillee sur le Gra-phique 5.9 est pour un rendement anticipe E(rZ) = Z. Donc, nousavons pour un titre quelconque :

E(rA) = E(rZ) + (E(rM)E(rZ)) A, (20) Etant donne cette equation, les lignes caracteristiques de tous les titres

doivent avoir un point dintersection commune ou rJ = rM = E(rZ).

2.7 Lefficience du portefeuille de marche

Le portefeuille de marche sera efficient lorsque :

1. La vente a decouvert est possible pour tout le monde. Par conse-quent, lEVM pour tout le monde est identique.

2. Chaque individu detient un portefeuille dans lEVM.

3. Il y a unanimite concernant les proprietes des titres individuels(esperances et covariances).

19


20/39

Le portefeuille de marche pourra ne pas etre efficient lorsque :

1. Lorsquil y a desaccord concernant les proprietes des titres, le por-tefeuille de marche sera efficient par rapport aux anticipationsponderees des individus (Fama, 1976). Par contre, du point devue de chaque individu il sera inefficient.

2. La vente a decouvert nest pas possible. Dans ce cas, des combi-naisons de portefeuilles efficients ne sont plus forcement effi-cientes.

3. Taxes.

4. Actifs non transiges : exemple, capital humain.

5. Investisseurs etrangers : ils vont construire des portefeuilles effi-cients de leur point de vue, non par rapport a lensemble deportefeuilles purement domestiques.

6. Non-normalite.

3 Dautres versions du modele

3.1 Le MEDAF sans vente a decouvert de lactif cer-tain

Voir le Graphique 5.10 (8.15 dans Haugen, 2001). On suppose que les individus peuvent acheter lactif certain mais ne

peuvent le vendre. Par contre, on suppose quils peuvent vendre adecouvert nimporte quel autre titre.

Dans ce contexte, lactif certain est quelque chose comme une obligationgouvernementale, dont loffre nette au secteur prive est positive.

Dans ce cas, il y a certains individus riscophobes qui detiennent unecombinaison de lactif sans risque et le portefeuille P, celui qui maxi-mise la valeur de

E(rp) rF(rp)

parmi tous les portefeuilles risques. La CML est la droite entre rF et P

et ensuite concide avec la balle . Les individus moins riscophobes detiennent des portefeuilles sur la

balle au dessus du portefeuille P.

20


21/39

Figure 10 MEDAF avec prets mais sans emprunt

0 00 01 11 10 00 01 11 1

0 00 00 01 11 11 10 00 01 11 1 00112 4 6 8 10 12 14

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

E(r)

( r)

M

P

rF

E(r )ZZ

21


22/39

Donc, le portefeuille de marche doit etre dans lEVM.

Le portefeuille a facteur beta zero nest pas correle avec le portefeuillede marche. Il na donc pas de risque systematique, mais par contre il aune variance residuelle non nulle.

3.2 Autres versions du modele MEDAF

Avec taxes : voir Elton et Gruber (1987, p.293). Avec attentes heterogenes : voir Elton et Gruber (1987, p.298), Cope-

land et Weston (1988, p.211). Avec presence dactifs non negociables : voir Elton et Gruber (1987,

p.293), Copeland et Weston (1988, p.209).

Avec lexistence dinvestisseurs qui ne sont pas preneurs du prix durisque ou des titres (i.e. concurrence imparfaite) : voir Elton et Gruber(1987, p.299).

En temps continu (i.e. avec des periodes multiples de decisions de place-ment) : voir Elton et Gruber (1987, p.299), Copeland et Weston (1988,p.210).

Si on laisse tomber simultanement plus quune des hypothese du modeleMEDAF de base, le MEDAF nest pas forcement robuste. Par exemple,sil y a simultanement limpossibilite de ventes a decouvert et il nya pas dactif sans risque, il ny a pas une relation simple dequilibregeneral. Voir Ross (1977).

4 Validation empirique du MEDAF

La prediction testable de la theorie est que le portefeuille du marcheest dans lensemble de portefeuilles a variance minimale. Ceci doit etrele cas puisque chaque individu detient un portefeuille dans lensemble,et le portefeuille de marche nest rien dautre quune combinaison desportefeuilles des individus participant au marche.

4.1 Remarques generales4.1.1 Regressions en serie chronologique

Le probleme, cest quon peut toujours regresser le rendement realiseexcedentaire dun actif sur le rendement dun portefeuille comme le

22


23/39

S&P500 ou lindice de la TSE :

(rA,t rF,t) = A + A (rX,t rF,t) + A,tou A est tout simplement la constante dans la regression, et le porte-feuille X est ce quon prend pour le portefeuille de marche.

Pour que la regression soit strictement valide, et non une approximationa une relation non lineaire, il faudrait que le portefeuille X soit danslEVM. Mais comment peut-on le savoir ? Ceci est essentiellement lacritique de Roll (voir ci-dessous).

Une consequence testable de la version simple du MEDAF est que laconstante dans la regression devrait etre egale a zero. Attention ! Pourque ceci soit vrai, il faut ne pas se tromper concernant le rendement

certain rF,t. Si lemprunt sans risque nest pas possible, la constante ne sera pas

nulle non plus. Une autre consequence testable est quil ne devrait pas y avoir de va-

riable explicative au-dela du facteur beta qui aide a predire le rende-ment espere.

Finalement, il y a aussi des tests econometriques de linearite quonpeut appliquer afin de confirmer ou infirmer le MEDAF. Par exemple,la variable explicative au carre ne devrait pas etre significative.

4.1.2 Regressions a deux niveaux On estime dans un premier temps, avec series chronos, les facteurs beta

dun certain nombre de titres. Ensuite, pour un echantillon de N titres, et pour une observation

donnee, on estime :

(ri rF) = 0 + 1i + i,ou i est le facteur beta estime dans la premiere etape.

On teste les hypotheses suivantes :

1. 0 devrait etre nul.

2. Rien a part les i ne devrait aider a expliquer les rendementsexcedentaires.

3. La relation devrait etre linaire.

4. Le coefficient 1 devrait etre positif, puisquil est egal a (rMrF).

23


24/39

4.2 Tests du MEDAF dans les annees 70

4.2.1 Black, Jensen et Scholes (1972)

Un test avec des donnees en serie chronologique un peu comme le testsuggere dans la section precedente. Ils testent lhypothese nulle duneordonnee a lorigine nulle, simultanement pour toutes les equations es-timees.

Donnees : NYSE, mensuelles, 1926-1965. Probleme : comme on a vu, le MEDAF nimplique pas forcement une

correlation nulle entre les residus des equations pour la ligne caracteri-stique dactions differentes.

Pour eviter ce probleme ils ont procede de la facon suivante :

1. Estimer la ligne caracteristique de N titres pour une sous-periodede lechantillon (1926 :1-1930 :12).

2. Ordonnancer les facteurs beta et separer les titres en deciles selonleurs facteurs beta.

3. Construire 10 portefeuilles de titres avec les 10 deciles.

4. Ca donne 10 portefeuilles pour lannee 1931 pour lesquels on cal-cule les rendements mensuels.

5. On calcule de nouveau les facteurs beta des N titres, cette fois-cipour 1927 :1-1930 :12.

6. Etc.

7. En fin de compte on aura 10 regressions pour des rendementsmensuels entre 1930 :1 et 1965 :12.

Ca revient a estimer une version de la SML. Ils trouvent (i < 0) quand (i > 1) et vice versa, ce qui est incompa-

tible avec le modele de base mais compatible avec le modele ou il nya pas demprunt au taux sans risque.

Lordonnee a lorigine de la SML donne un taux de rendement annuelde 6.228%. Ceci est plus eleve que le taux moyen sur les obligationssans risque de lechantillon. Encore une fois, cest un resultat qui est

davantage compatible avec le modele sans emprunt au taux sans risque.

4.2.2 Fama et MacBeth (1974)

Memes donnees que BJS.

24


25/39

Ils construisent 20 portefeuilles de la meme facon.

Ils utilisent la technique de regressions a deux niveaux. Ils trouvent un coefficient 0 significatif. Ils trouvent un coefficient 1 positif et significatif. Ils trouvent que dautres variables explicatives (comme 2i et le risque

non systematique (variance residuelle)) ne sont pas significatives. Encore une fois, les resultats supportent la version du modele sans

emprunt au taux sans risque.

4.3 La critique de Roll

La critique se resume de la facon suivante : la validation du MEDAF

repose sur lidentification du portefeuille de marche. Ceci doit contenirtous les titres possibles, y compris les valeurs immobilieres, le capitalhumain, etc. Le vrai portefeuille de marche nest pas observable.

Il est dailleurs presquimpossible de trouver un portefeuille qui soit unebonne approximation au portefeuille de marche.

Si on reussit a trouver un portefeuille qui est dans le vrai EVM, ilexiste forcement une relation lineaire entre le rendement espere destitres et leurs facteurs beta calcules par rapport a ce portefeuille. Donc,la theorie est tautologique.

Si tout ce quon observe est un portefeuille qui est un sous-ensembledu vrai portefeuille de marche, rien ne dit que ce portefeuille doit etresur la frontiere de portefeuilles efficients qui peuvent etre construits apartir des titres individuels qui le composent. Par exemple, si on prendlindice du TSE, on pourrait peut-etre construire un portefeuille quidomine cet indice sur la base de titres disponibles sur le TSE, mais cecine constitue pas un rejet du MEDAF.

4.4 Tests plus modernes du MEDAF

4.4.1 Shanken (1987)

Il sagit dune methodologie astucieuse de tester (et possiblement infir-mer) le MEDAF.

Pour effectuer ce test, il faut faire une hypothese concernant la correla-tion entre le vrai portefeuille de marche et le portefeuille quon utilisepour approximer le portefeuille de marche (portefeuille proxy ).

25


26/39

Ceci revient a faire une hypothese concernant la qualite de notre ap-

proximation du portefeuille de marche. On sait que le EVM construit avec les actions venant du portefeuilleproxy doit etre a linterieur de lEVM construit sur la base de tousles titres disponibles sur le marche.

Avec une hypothese concernant la correlation entre le portefeuille demarche et notre portefeuille proxy, on peut calculer la probabilite quele portefeuille de marche se retrouve a linterieur dune region donneedans le plan rendement espere/ecart type. Si cette region ce trouve adroite de lEVM calcule avec les titres venant du portefeuille proxy, onsait quelle doit etre a droite egalement de lEVM global (calcule avectous les titres). Si la probabilite est elevee, a fortiori la probabilite est

elevee que le portefeuille de marche est a linterieur de lEVM global.On va conclure que le portefeuille de marche est lui-meme inefficient,ce qui constitue un rejet du MEDAF.

Shanken pretend pouvoir infirmer le MEDAF avec cette methodologie,mais il faut accepter son hypothese concernant la correlation entre leportefeuille proxy et le vrai portefeuille de marche, qui nest pas obser-vable.

4.4.2 Fama et French (1992)

Une mise a jour du test de Fama et MacBeth (1974).

Ils trouvent un lien negatif entre les facteurs beta et le rendementmoyen.

Ce resultat nest pas encourageant pour le MEDAF.

4.4.3 Les modeles a facteurs

Le succes des modeles a facteurs montre quil y a des variables a partles facteurs beta qui expliquent (et predisent) les taux de rendementmoyens.

Mais attention ! On peut montrer que sous certaines conditions (voirla section sur le MEA), les modeles a facteurs multiples et le MEDAFpeuvent etre compatibles.

26


27/39

5 Concepts a retenir

Les hypotheses de base de la version de base du MEDAF. Les consequences les plus importantes du MEDAF, surout en ce qui

concerne le taux de rendement espere des actifs et le prix du risque. Les elements cles des versions alternatives du MEDAF. Comment en principe tester le MEDAF. Une notion intuitive de la critique de Roll.

6 Questions

6.1 Modele avec et sans emprunt au taux sans risqueUtilisez les donnees suivantes pour les deux premieres parties du proble-

me.Titre Correlation avec rM Ecart type

A 0.5 0.25B 0.3 0.30

E(rM) = 0.12rF = 0.05

2

(rM) = 0.011. Calculez les facteurs pour les actifs A et B, et pour un portefeuille a

ponderations egales des actifs A et B.

2. Calculez les taux de rendement esperes dequilibre selon le MEDAFpour les actifs A et B, et pour un portefeuille a ponderations egales desactifs A et B.

3. Supposez le modele MEDAF avec emprunt illimite au taux sans risque.Completez le tableau suivant :

Titre Rend. anticipe Ecart type Facteur Var. residuelle

1 0.15 2.00 0.102 0.25 0.75 0.043 0.09 0.50 0.17

4. Supposez le MEDAF avec des prets au taux sans risque mais sansemprunt au taux sans risque. Le rendement espere sur le portefeuille

27


28/39

du marche est 0.10 et sur le portefeuille a nul, 0.06. Lecart type du

portefeuille de marche est 0.30. Completez le tableau suivant :Titre Rend. anticipe Ecart type Facteur Var. residuelle

x 0.16 0.0375y 0.08 0.0775

5. Sur la base de votre reponse au probleme precedent, et supposant queCov(x, y) = 0, quel est le rendement espere, le facteur , et lecarttype dun portefeuille avec ponderations egales des actifs x et y ?

Reponse :

1. Sachant que :

Cov(ri, rM) = i,M(ri)(rM)

et

i =Cov(ri, rm)

2(rM),

nous avons :

Cov(rA, rM) = (0.50)(0.25)(0.01)1/2 = 0.0125,

A =0.0125

0.0100= 1.25,

Cov(rB, rM) = (0.30)(0.30)(0.01)1/2 = 0.009,

A =0.009

0.010= 0.90,

p = (0.5)(1.25) + (0.5)(0.90) = 1.075.

2. Utilisons :

E(ri) = rF +

E(rM) rF

(rM)

i,M(ri).

Nous avons :

E(rA) = 0.05 + 0.12 0.05

(0.01)

1/2 (0.5)(0.25) = 0.1375,

E(rB) = 0.05 +

0.12 0.05

(0.01)1/2

(0.3)(0.30) = 0.1130,

E(rp) = (0.5)(0.1375) + (0.5)(0.1130) = 0.1253.

28


29/39

3. Le truc est de calculer lecart entre le rendement espere du portefeuille

de marche et le rendement sans risque, qui nest pas une donnee duprobleme. Sachant que :

E(ri) = rF + [E(rM) rF] i,

nous avons :

E(r1)E(r3) = [E(rM) rF] [1 3]

E(rM) rF = 0.15 0.092.00 0.75 = 0.04

Maintenant, nous avons :

E(r1) = rF + [E(rM) rF] 1 rF = 0.15 (0.04)(2.00) = 0.07.

Le rendement espere de 2 est :

E(r2) = 0.07 + (0.04)(0.75) = 0.10.

La deuxieme rangee etant complete, on peut estimer la variance duportefeuille de marche :

2(r2) = 222(rM) +

2(2)

2(rM) = 2(r2) 2(2)

22 =

0.252 0.040.752

= 0.04.

Maintenant on peut trouver les ecarts types de 1 et de 3.

2(r1) = (2.0)2(0.04) + (0.10) = 0.26

(r1) = 0.5099,2(r3) = (0.5)

2(0.04) + (0.17) = 0.17

(r3) = 0.4124.

29


30/39

4. Utilisons :

E(ri) = E(rz) + [E(rM)E(rz)] iNous avons :

x =0.16 0.060.10 0.06 = 2.5,

y =0.08 0.060.10 0.06 = 0.5.

Maintenant on peut trouver les ecarts types :

2(rx) = (2.5)2(0.3)2 + 0.0375 = 0.60 (rx) = 0.7746,

2(ry) = (0.5)2(0.3)2 + 0.0775 = 0.10 (rx) = 0.3162.

5. Nous avons :

E(rp) = (0.5)(0.16) + (0.5)(0.08) = 0.12,

p = (0.5)(2.5) + (0.5)(0.5) = 1.5,

2(rp) = (1.5)2(0.3)2 + (0.5)2(0.0375) + (0.5)2(0.0775) = 0.2313,

(rp) = 0.4809.

6.2 Modele devaluation des actifs financiers

1. Supposons le MEDAF de base (avec un actif sans risque). Completezle tableau suivant :

Actif Rend. espere Ecart type Facteur Var. residuelleA 0.08 0.10 0.0B 0.12 2.0 0.49C 1.0 0.0D 0.05 0.0 0.36

Voici des donnees pour les deux problemes suivants.

Actif Correlation avec M Ecart typeA 0.50 0.25B 0.30 0.30

30


31/39

E(rM) = 0.12, rF = 0.05 2(rM) = 0.01

2. Calculez les facteurs pour

(a) lactif A.

(b) lactif B.

(c) un portefeuille avec des parts egales de A et B.

3. Calculez le taux de rendement anticipe dequilibre pour

(a) lactif A.

(b) lactif B.

(c) un portefeuille avec des parts egales de A et B.

4. Supposons le MEDAF avec prets au taux sans risque mais sans em-prunt. On a E(rM) = 0.10, E(rZ) = 0.06, et (rM) = 0.30. Completezle tableau suivant :

Actif Rend. anticipe Ecart type Facteur Var. residuellex 0.16 0.0375y 0.08 0.0775

Reponse :

1. Nous avons pour un actif quelconque :

E(ri) = rF + i(E(rM) rF)

et2(ri) = i

22(rM) + 2(i).

Utilisant la derniere rangee du tableau, nous avons :

2(rD) = 0.022(rM) + 0.36

(rD) =

0.36 = 0.6.

Nous pouvons aussi deduire de la derniere rangee que rF = 0.05. Utili-sant la deuxieme rangee, nous avons :

0.12 = 0.05 + 2.0(E(rM) 0.05)

31


32/39

E(rM) = 0.085.Utilisant la troisieme rangee, nous avons :

E(rC) = 0.05 + 1.0(0.085 0.05) = 0.085.

Utilisant encore la premiere rangee, nous avons :

0.08 = 0.05 + A(0.085 0.05)

A = 0.85714.Utilisant encore la premiere rangee :

0.01 = 0.8571422(rM)

2(rM) = 0.01/0.85714 = 0.01667.Puisque nous connaissons 2(rM), nous pouvons maintenant completerle tableau. Utilsant la deuxieme rangee :

2(rB) = 0.016672 22 + 0.49

(rB) = 0.4905.Utilisant la troisieme rangee :

2(rC) = 0.016672 12 + 0

(rC) = 0.0003.2. Nous avons :

(a) Pour lactif A :

A =(rA, , rM

2(rM)

=rA, , rM(rA)(rM)

2(rM)

=rA, , rM(rA)

(rM)

=0.5 0.25

0.1= 1.25.

32


33/39

(b) De facon semblable, pour lactif B :

B = 0.30 0.300.1

= 0.9.

(c) pour le portefeuille :

P = 0.5A + 0.5B = 1.075.

3. On a :

(a) pour lactif A :

E(rA) = rF + A(E(rM) rF)= 0.05 + 1.25(0.12

0.05) = 0.1375

(b) pour lactif B :

E(rB) = 0.05 + 0.9(0.12 0.05) = 0.113(c) pour le portefeuille :

E(rB) = 0.05 + 1.075(0.12 0.05) = 0.125254. Nous avons :

E(rx)E(rZ) = x(E(rM)E(rZ))

0.16 0.06 = x(0.10 0.06) x = 0.10/0.04 = 2.5.De facon semblable,

y = 0.02/0.04 = 0.5.

Nous avons pour lactif x :

2(rx) x22(rM) + 2(x) 2(rx) = 2.52 0.32 + 0.0375 = 0.6

(rx) = 0.7746.

Pour lactif y :

2(ry) = 0.52 0.32 + 0.0775 = 0.1

(ry) = 0.3162.

33


34/39

6.3 Le modele CAPM

Au depart, supposez que le modele CAPM de base est vrai, et donc entreautres quil est possible de preter ou demprunter au taux sans risque.

1. Si le taux sans risque est de 4%, et si le rendement espere sur le por-tefeuille du marche est de 10%, quel est le rendement espere dun titredont le facteur est egal a 0.5 ? Expliquez en utilisant soit un graphiquesoit de lalgebre.

2. Quel serait le rendement espere dun titre dont le facteur est egal a2 ?

3. Dessinez un graphique des lignes caracteristiques des deux titres (celui

avec le egal a 0.5 et celui avec le egal a 2).Etiquetez bien vos axes !

4. Comment est-ce que vos reponses aux deux premieres parties de laquestion vont changer sil est possible de preter mais non demprunterau taux sans risque ?

5. Toujours dans le cas ou il est possible de preter mais non demprunterau taux sans risque, quelles sont vos reponses si on dit maintenant quele rendement espere dun portefeuille dont le facteur est nul est de6% ?

6. Dessinez les lignes caracterisques des deux titres dans ce dernier cas.

Reponse :

1. Le CAPM de base nous dit que :

E(ri) rf = i (E(rM) rf) .Lecart entre le rendement espere du portefeuille du marche et le ren-dement sans risque est 6%. Donc, on a

E(r1) = 0.04 + 0.5 0.06 = 0.07 = 7%.

2. De maniere semblable, on a

E(r2) = 0.04 + 2 0.06 = 0.16 = 16%.3. La ligne caracteristique trace la relation entre le rendement du titre

(portefeuille) individuel et le portefeuille du marche dans le plan ri/rM.Voir le graphique 8.10 du manuel pour des exemples.

34


35/39

4. Dans cette version de la theorie, le rendement excedentaire est mesure

par rapport a un portefeuille dont le facteur est nul :

E(ri)E(rz) = i (E(rM)E(rz)) .

Si on ne connat pas le rendement espere de ce portefeuille, on ne peutrien dire.

5. On aurait :

E(r1) = 0.06 + 0.5 (0.10 0.06) = 0.08 = 8%,

E(r2) = 0.06 + 2 (0.10 0.06) = 0.14 = 14%.6. Voir le graphique pertinent dans les notes de cours pour un exemple.

6.4 Le modele devaluation des actifs financiers (ME-DAF)

Au depart, supposez que le modele CAPM de base est vrai, et donc entreautres quil est possible de preter ou demprunter au taux sans risque. Vousavez les donnees suivantes :

Actif Rendement espere Ecart type Facteur Variance residuelle

A 0.06 0.0 0.2B 0.12 1.0 0.1C 0.09 0.10 0.0

Pour les calculs suivants, montrez votre travail.

1. Ecrivez la formule generale qui relie le rendement espere dun titre aurendement espere du portefeuille du marche.

2. Ecrivez la formule generale qui decompose la variance dun titre en unecomposante due a la variance du rendement du portefeuille du marcheet une variance residuelle.

3. Quel est le taux de rendement sans risque ? Indice on peut le deduirea partir de la premiere rangee du tableau.

4. Quel est le taux de rendement espere du portefeuille du marche ? Indice on peut le deduire a partir de la deuxieme rangee du tableau.

35


36/39

5. Calculez lecart type du rendement du titre A.

6. Calculez le facteur du titre C.7. Etant donne le resultat precedent, calculez lecart type du rendement

du portefeuille du marche. Indice utilisez les proprietes du titre C.

Reponse :

1. Pour reprendre la formule qui para ci-dessus, on a :

E(rj) rF = j [E(rM) rF] ,

2. On a :2(ri) = i

22(rM) + 2(i)

3. Un titre dont le facteur est nul doit avoir le meme taux de rendementespere que le taux sans risque. Donc, le taux sans risque est 0.06.

4. Un titre avec un facteur unitaire doit avoir le meme taux de rende-ment espere que le portefeuille du marche. Donc, le rendement esperedu portefeuille du marche est 0.12.

5. Nous avons :2(rA) = A

22(rM) + 2(A)

= 0 + 0.2 = 0.2

6. Nous avons :0.09 0.06 = C [0.12 0.06]

C = 0.57. Nous avons :

2(rC) = C22(rM) +

2(C)

0.01 = 0.522(rM) + 0 2(rM) = 0.01/0.25 = 0.04

36


37/39

6.5 Le MEDAF

Pour certaines sous-parties de cette question, vous allez devoir utiliserle tableau suivant, qui vous donne certaines statistiques concernant troisactions (ou portefeuilles) differents. Si vous effectuez des calculs, montrezvotre travail.

Actif Rendement espere Ecart type Facteur Variance residuelleA 0.10 1.0 0.1B 0.04 0.0 0.3C 0.07 0.10 0.0

La version de base du MEDAF nous dit que pour nimporte quel actif i :

E(ri) rF = (E(rM) rF)i,

ou E(ri) est le taux de rendement espere de lactif, rF est le taux de rendementsans risque, et E(rM) est le taux de rendement espere du portefeuille demarche. En termes de rendements realises, on peut ecrire :

ri = rF(1 i) + rMi + i.

1. Pour des points bonus, expliquez pourquoi le residuel i ne devrait pasetre correle avec le rendement realise du portefeuille de marche rM si

le est estime a partir de donnees sur les rendements realises.2. A partir de cette equation, ecrivez lequation (algebrique) qui decom-

pose la variance du rendement ri en variance systematique et varianceresiduelle. Montrez votre travail.

3. Quel est le taux de rendement sans risque ? Expliquez.

4. Quel est le taux de rendement espere du portefeuille de marche ? Ex-pliquez.

5. Calculez lecart type du rendement de laction B.

6. Calculez le facteur de laction C.

7. Calculez lecart type du rendement du portefeuille de marche.8. Calculez lecart type du rendement de laction A.

9. Est-ce que les trois portefeuilles sont sur la CML (Capital MarketLine) ? Expliquez.

37


38/39

10. Si on vous dit quil ny a pas dactif sans risque (mais que les autres

hypotheses de base du MEDAF tiennent), comment est-ce que vosreponses aux parties precedentes changent ?

Reponse :

1. Il sagit dune regression du rendement des actifs sur le rendement duportefeuille de marche. Par construction, les residus dune regressionMCO sont non correlees avec la variable explicative de la regression,soit rM.

2. On a :ri = rF(1 i) + rMi + i

Var(ri) = Var(rF(1 i) + rMi + i)= Var(ri) = Var(rMi + i)

= i2Var(rM) + Var(i) + 2Cov(rMi , i)

= i2Var(rM) + Var(i).

Le premier terme donne le risque systematique, le deuxieme la varianceresiduelle.

3. Le taux de rendement sans risque doit etre egal au taux de rendementespere dun actif avec = 0. Donc, la reponse est 0.04.

4. Le taux de rendement espere du portefeuille de marche doit etre egalau taux de rendement espere dun actif avec = 1. Donc, la reponseest 0.10.

5. On a :2rB = B

22rM + 2B

Puisque B = 0, la variance totale est egale a la variance residuelle.Donc, la reponse est :

rB =

0.3.

6. On a tout de suite :

C = E(rC) rFE(rM) rF = 0.07 0.040.10 0.04 = 0.5.

38


39/39

7. Lactif C est le seul pour lequel on a lecart type total et dont le nest

pas nul. On a : 2rC = C22rM +

2C

2rM =0.102

0.52= 0.01/0.25 = 0.04.

8. On a :2rA = A

22rM + 2A

= 1.02 0.04 + 0.1 = 0.14. rA =

0.14.

9. Un portefeuille sur la CML a une variance residuelle egale a zero. LactifC est le seul actif (portefeuille) sur la CML.

10. On peut refaire tous les calculs en remplacant rF par E(rZ), lesperancedu taux de rendement dun actif avec un egal a zero, donc E(rZ) =0.04.

References

Voir la page suivante :http://www.er.uqam.ca/nobel/r10735/6080/referenc.pdf

Cette version : 17/09/2010

39
http://www.er.uqam.ca/nobel/r10735/6080/referenc.pdfhttp://www.er.uqam.ca/nobel/r10735/6080/referenc.pdf

Documents

Medaf UQUAM