Benemérita Universidad

Autónoma de Puebla Facultad de Ingeniería

Colegio de Ingeniería Industrial

Electricidad y Magnetismo

Dr. Enrique Montiel Piña

Ensayo 3: Campo Magnético (Ley de Biot-Savart

y Ecuaciones de Maxwell)

Alumno: Paul Cuellar Lobato

Matricula: 201219549

Lunes – Jueves 2:00 a 3:00 pm

29 de Abril de 2014

Primavera 2014

CAMPO MAGNÉTICO (Ley de Biot-Savart y Ecuaciones de Maxwell)

El campo magnético es un tema de gran importancia para la física y sus principales

aplicaciones a la ciencia y a la tecnología, ya que sus antecedentes tienen origen hace ya más

de 2000 años cuando los griegos ya sabían que un cierto mineral (llamado ahora como la

magnetita) era capaz de atraer piezas de hierro, además de que gracias a este acontecimiento

se logro la existencia en algunos escritos del uso de imanes en la navegación que datan del

siglo XII. También, otro antecedente importante con respecto al campo magnético, ocurrió en

1269, cuando Pierre de Maricourt descubrió que si una aguja se deja libremente en distintas

posiciones sobre un imán natural esférico, se orienta a lo largo de las líneas que, rodeando el

imán, pasan por puntos situados en extremos opuestos de la esfera, los cuales fueron

denominados polos del imán. También se observo que los polos iguales de dos imanes se

repelen entre si y los polos distintos se atraen mutuamente. Como ultimo acontecimiento

importante sobre dicho tema, se encuentra en 1600 cuando William Gilbert descubrió que la

Tierra es un imán natural con polos magnéticos próximos a los polos geográficos norte y sur.

Definiendo ahora el concepto de campo magnético, se entiende a este como cualquier campo

que ejerce fuerzas (denominadas magnéticas) sobre los materiales. Al igual que el campo

eléctrico también es un campo vectorial, pero que no produce ningún efecto sobre cargas en

reposo. Sin embargo el campo magnético tiene influencia sobre cargas eléc tricas en

movimiento. Ya que si una carga en movimiento atraviesa un campo magnético, la misma sufre

la acción de una fuerza (denominada fuerza magnética), donde esta fuerza no modifica el

modulo de la velocidad pero si la trayectoria, además sobre un conductor por el cual circula

electricidad y que se encuentra en un campo también aparece como una fuerza magnética. Este

campo esta presente en los imanes y por otro lado, una corriente eléctrica también genera un

campo magnético. Otro punto importante sobre este campo, es que se denomina con la letra B y

se mide en Tesla.

Adentrándose un poco mas al tema del campo magnético, se dice que es una magnitud

vectorial y se representa con la letra B, además de que puede estar producido por una carga

puntual en movimiento o por un conjunto de cargas en movimiento, es decir, por una corriente

eléctrica. Como ya se menciono anteriormente la unidad del campo magnético en el Sistema

internacional es el tesla (T). El cual se define como el campo magnético que ejerce una fuerza

de 1 N (newton) sobre una carga de 1 C (columbio) que se mueve a velocidad de 1 m/s dentro

del campo y perpendicularmente a las líneas de campo. Cabe mencionar que el tesla es una

unidad muy grande, por lo que a veces se emplea como unidad de campo magnético el gauss

(G) que, aunque no pertenecé al Sistema Internacional sino al CGS, tiene un valor mas acorde

con el orden de magnitud de los campos magnéticos que habitualmente se manejan.

1 T = 1 N/C*m/s = 1 N/ (A*m) = 10,000 gauss y 1 G = 10-4 T

El campo magnético se puede crear por

medio de una carga puntual, donde se

podría decir que una carga q que se

mueve con una cierta velocidad, como

se muestra en la imagen, crea un

campo magnético en todo el espacio.

Dicho campo viene dado por la siguiente expresión:

0

24

rqvuB

r

Donde: q es la carga creadora del campo, v es la velocidad de dicha carga, r es la distancia

desde el punto donde se encuentra la carga hasta el punto P dónde se esta calculando el

campo, ur es un vector unitario que va desde el punto donde esta la carga hacia al punto donde

se calcula el campo, y por ultimo o es una constante denominada permeabilidad del espacio

libre, su valor en el SI es o = 4 10-7 T m/A. La dirección y el sentido del campo B viene dado

por la regla de la mano derecha, y su modulo es el modulo del producto vectorial:

Dirección y Sentido Módulo

0

2

sin

4

qvB

r

Donde cabe mencionar que cuando la carga q es negativa, el sentido de B es opuesto al que

se muestra en la figura, el campo magnético en la dirección del movimiento es nulo, ya que en

este caso los vectores v y ur son paralelos y su producto vectorial es cero.Además también se

puede calcular la fuerza magnética sobre una carga móvil por medio de la siguiente expresión:

F qv B

Donde q es la carga, v es la velocidad en un campo magnético y B es el campo magnético.

Del mismo modo que el campo eléctrico E puede representarse mediante líneas de campo

eléctrico, también el campo magnético B puede ser representado mediante líneas de campo

magnético, donde en ambos casos la dirección y el sentido del campo vienen indicados por la

dirección y el sentido de las líneas de campo y el modulo del campo por su densidad. Existen,

sin embargo, dos importantes diferencias entre las líneas de campo eléctrico y las líneas de

campo magnético:

1. Las líneas de campo eléctrico poseen la

dirección de la fuerza eléctrica actuando

sobre una carga positiva, mientras que las

líneas de campo magnético son

perpendiculares a la fuerza magnética sobre

una carga móvil.

2. Las líneas de campo eléctrico comienzan en

las cargas positivas y terminan en las cargas

negativas; las líneas de campo magnético son cerradas.

Hablando ahora sobre las fuentes del campo magnético, específicamente la Ley de Biot-

Savart (campo magnético creado por corrientes eléctricas), se dice que esta ley surgió en

1820, un mes después de que se anunciara el descubrimiento acerca de la desviación de la

aguja de una brújula por la acción de una corriente eléctrica, donde Jean Baptiste Biot y Félix

Savart describieron los resultados de sus medidas del momento de fuerza que actúa sobre un

imán próximo a un conductor largo por el que circula corriente y analizaron estos resultados en

función del campo magnético producido por cada elemento de la corriente. Además André

Marie Ampere amplio estos experimentos y demostró que los propios elementos de corriente

experimentan una fuerza en presencia de un campo magnético; en particular, demostró que

dos corrientes se ejercen fuerzas entre si. Antes de comenzar con esta ley, pr imero se

analizara el concepto de corriente eléctrica, la cual es un conjunto de cargas desplazándose

por un material conductor. Por tanto, al igual que una carga puntual, una corriente creara un

campo magnético. En la ley de Biot-Savart que habla con respecto al campo magnético creado

por una corriente, en la siguiente imagen se representa in hilo conductor de forma arbitraria por

el que circula una intensidad de corriente I. Si por el hilo conductor circulan n cargas q por

unidad de volumen, la corriente viene dada por:

dI qnv A

Siendo A la sección del hilo y vd la velocidad de desplazamiento de las cargas. Se puede

representar un elemento de corriente mediante un vector de longitud dl y sentido el sentido de

circulación de la corriente.

El campo magnético dB que crea el elemento de corriente de longitud dl en un punto P dele

espacio es el campo magnético que crea en ese punto una carga puntual moviéndose a la

velocidad de desplazamiento multiplicado por el número total de cargas que contiene el

elemento de corriente:

0

24

d rqv ud B nAdl

r

A partir de esta formula, se reagrupa y queda de la siguiente forma:

0

24

d rqv nAdl ud B

r

Y finalmente se obtiene que:

0

24

rIdl ud B

r

Donde o es la permeabilidad del espacio libre. La dirección y el sentido del campo dB vienen

dados por la regla de la mano derecha, y su modulo es el modulo del producto vectorial que

aparece en la ecuación anterior:

Dirección y Sentido Módulo

0

2

sin

4

Idld B

r

El campo total creado por el hilo en el punto P es la integral del campo creado por el elemento

de corriente extendida a todo el hilo:

0

24

rIdl ud B

r

En general esta integral es complicada de calcular, salvo para situaciones sencillas en la que la

forma del hilo que transporta la corriente tiene cierto grado de simetría. Dentro de la Ley de Biot-

Savart entra el tema del campo creado por una espira circular, en el cual muchos de los

dispositivos que se emplean para crear campos magnéticos cuentan entre sus componentes con

bobinas. Cada vuelta de hilo de la bobina se denomina espira. El campo magnético producido

por una espira circular en su centro es sencillo de calcular, ya que la integral mencionada

anteriormente, se simplifica por simetría.

Para cualquier elemento de corriente dl que se tome sobre la espira, el campo que produce en

su centro es un vector en la dirección y sentido positivo, como se observa en la parte derecha

de la imagen superior.

El modulo del campo dB creado por cualquier elemento de corriente viene dado por:

0

24

IdldB

R

Donde R es el radio de la espira. El campo total B es la integral de la expresión anteriormente

mencionada a toda la circunferencia:

0 0

24 4

I IB dB dl

R

2R

2 R

Si la corriente circula en sentido contrario al representado, el vector campo magnético es de

sentido opuesto.

0

2

IB

R

Por ultimo, se explicara un tema muy importante dentro del campo magnético, el cual es sobre

las Ecuaciones de Maxwell, las cuales fueron propuestas por primera vez por el gran físico

escocés James Clerk Maxwell, y relacionan los vectores de campo eléctrico y magnético E y B

con sus fuentes, que son las cargas eléctricas y las corrientes. Estas ecuaciones resumen las

leyes experimentales de la electricidad y el magnetismo: las leyes de Coulomb, Gauss, Biot y

Savart, Ampere y Faraday. Estas leyes experimentales se cumplen de un modo general excepto

la ley de Ampere, que solo puede aplicarse a las corrientes estacionarias continuas. Las

ecuaciones de Maxwell en la actualidad son cuatro, pero antes eran 20, y describen por

completo los fenómenos electromagnéticos. Dichas ecuaciones se pueden explicar y resumir de

la siguiente forma:

Ley de Gauss

La ley de Gauss explica la relación entre el flujo de campo eléctrico y una superficie cerrada. Se

define como flujo eléctricoa la cantidad de fluido eléctrico que atraviesa una superficie dada.

Cabe mencionar que este fluido eléctrico no transporta materia, pero ayuda a analizar la

cantidad de campo eléctrico que pasa por una superficie, esto es:

inf

( )

0

*ri SE d S

Esta ley dice que el flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual al

cociente entre la carga (q) o la suma de las cargas que hay en el interior de la superficie y la

permitividad eléctrica en el vacío ( 0), de esta forma:

0

*S

qE dS

La forma diferencial de la ley de gauss, afirma que la divergencia del campo eléctrico es

proporcional a la densidad de carga eléctrica, es decir:

0

* E

Donde pes la densidad de carga en el vacío. Intuitivamente significa que el campo E diverge o

sale desde una carga p / 0. Para casos generales se debe introducir una cantidad llamada

densidad de flujo eléctrico (D):

* D

Ley de Gauss para el Campo Magnético

Esta ley primordialmente indica que las líneas de los campos magnéticos deben ser cerradas. En

otras palabras, se dice que sobre una superficie cerrada, sea cual sea ésta, no seremos capaces

de encerrar una fuente o sumidero de campo, esto expresa la inexistencia del monopolo

magnético. Al encerrar un dipolo en una superficie cerrada, no sale ni entra flujo magnético por lo

tanto, el campo magnético no diverge, no sale de la superficie. Entonces la divergencia es cero

Matemáticamente esto se expresa así:

* 0B

Donde B es la densidad de flujo magnético, o mejor conocida como inducción magnética. Es

claro que la divergencia sea cero porque no salen ni entran vectores de campo sino que este

hace caminos cerrados. El campo no diverge, es decir la divergencia de B es nula.Su forma

integral equivalente:

* 0SB dS

Ley de Faraday-Lenz

La ley de Faraday nos habla sobre la inducción electromagnética, la que origina una fuerza

electromotriz en un campo magnético. Lo primero que se debe introducir es la fuerza

electromotriz, si tenemos un campo magnético variable con el tiempo, una fuerza electromotriz

es inducida en cualquier circuito eléctrico; y esta fuerza es igual a menos la derivada temporal

del flujo magnético, y como el campo eléctrico es dependiente de la posición tenemos que el

flujo magnético es igual a:

Bd

dt

*B S

B dS

Además, el que exista una fuerza electromotriz indica que existe un campo eléctrico que se

representa como:

*E dl

Con lo que a partir de todo esto, se obtiene la expresión de la ley de Faraday:

* *S

dE dl B dS

dt

La forma diferencial de esta ecuación:

*B

Et

Ley de Ampere

Ampère formuló una relación para un campo magnético inmóvil y una corriente eléctrica que no

varía en el tiempo. La ley de Ampère nos dice que la circulación en un campo magnético a lo

largo de una curva cerrada C es igual a la densidad de corriente sobre la superficie encerrada en

la curva C, matemáticamente así:

0* J*c SB dl dS

Donde o es la permeabilidad magnética en el vacío. Pero cuando esta relación se le considera

con campos que sí varían a través del tiempo llega a cálculos erróneos, como el de violar la

conservación de la carga. Maxwell corrigió esta ecuación para lograr adaptarla a campos no

estacionarios y posteriormente pudo ser comprobada experimentalmente por Heinrich Rudolf

Hertz.Maxwell reformuló esta ley así:

0 0 0* J* *c S S

dB dl dS E dS

dt

En forma diferencial esta ecuación toma la siguiente forma:

0 0 0*E

B Jt

Estas ecuaciones son muy importantes para el campo magnético y sus principales uso en al vida

diaria, ya que nos facilitan la realización de los cálculos en este tipo de situaciones, y todas las

formulas anteriormente mencionadas se pueden resumir de la siguiente forma, ya sea en su

forma diferencial o integral:

Nombre Forma diferencial Forma integral

Ley de Gauss:

0

* E

0

*S

qE dS

Ley de Gauss

para el campo

magnético:

* 0B

* 0

SB dS

Ley de Faraday:

*B

Et

* *S

dE dl B dS

dt

Ley de Ampère

generalizada: 0 0 0*E

B Jt

0 0 0* J* *c S S

dB dl dS E dS

dt

BIBLIOGRAFIA

Tipler, Paul A., “Física para la Ciencia y la Tecnología: Electricidad y

Magnetismo”, Vol. 2, 4ta edición, Reverte, 2000, México, D.F., Págs.: 798-800.

Serway, Raymond A., “Electricidad y Magnetismo”, 6ª edición, Mc Graw Hill,

México, 2005, Págs. 256-270

WEBGRAFIA

Sin Autor, “Campo Magnético”, Física Practica, México, 2007, Extraído el 29 de

Abril de 2014 de: http://www.fisicapractica.com/campo-magnetico.php

Martin Blas, Teresa & Ana Serrano Fernández, “Campo Magnético y Ley de

Biot-Savart”, UPM, España, 2010, Extraído el 29 de Abril de 2014 de:

http://acer.forestales.upm.es/basicas/udfisica/asignaturas/fisica/magnet/campom

ag.html

Fernández, Juan C., “Ecuaciones de Maxwell”, Universidad de Buenos Aires,

2004, Argentina, Extraído el 29 de Abril de 2014 de:

http://materias.fi.uba.ar/6209/download/1-Ecuaciones%20de%20Maxwell.pdf

Además se utilizo el software Mathtype para la realización de las formulas.