Medan Magnet Tunak Statis

8/18/2019 Medan Magnet Tunak Statis

1/29

6.1 Hukum Biot-Savart

Diferensial intensitas medan magnetik, dH,merupakan hasil dari diferensi elemen arus I dl

Medan magnetik berbanding terbalik terhadapkuadrat jarak, tidak bergantung pada medium di

sekelilingnya, serta memiliki arah yang diberikanoleh perkalian silang antara I dl dan aR.

di mana aR merupakan vektor satuan dalam arahR. Arah R adalah dari

elemen arus ke titik di mana dH hendak dihitung.

• BAB 6. MEDAN MAGNETIK STATIS(TUNAK)

)/(4 2

m A R

adl I dH Rπ ×=


2/29

Elemen-elemen arus tidak memiliki keberadaan yangsaling terpisah. emua elemen yang membentuksebuah !lamen arus lengkap akan berkontribusiterhadap H. "roses penjumlahan ini akanmenghasilkan bentuk integral dari hukum Biot-

avart sebagai

Elemen arus yang menghasilkan diferensial intensitas medan magnetik dH

)/(4 2

m A R

adl I H R∫ ×= π


3/29

ebuah !lamen lurus arus I dengan panjang tak berhinggayang terletak di sepanjang sumbu # koordinat silindrisditunjukkan pada $ambar %-&. 'arilah H!

"# $ %aia"&

"ada titik # ( ),

Contoh Soal 1

dalam bentuk diferensial, dengan menggunakan persamaan

z r zara R −=22 z r R +=

22 z r

zaraa z r R

+−=

2/322 )(4

)(

z r

zaradza I dH z r z

+−×=

π 2/322 )(4 z r

dzar I

+=

π φ


4/29

*ariabel integrasi adalah #. +leh karena a φ tidak berubahterhadap #, maka dapat dikeluarkan dari integran sebelum

proses integrasi dilakukan.asil ini menunjukkan bah a H berbanding terbalik

terhadap jarak radial

Filamen arus I dengan panjangtak berhingga yang terletak di

sepanjang sumbu z.

Catatan!Arah intensitas medanmagnetik adalah memenuhiaturan tangan kanan di mana

jari-jari tangan kanan yangdigenggamkan menunjukkanarah medan, sementara ibu

jari menunjukkan arah arus.

φ φ

π π

a

r

I a

z r

dz r I H

2)(4 2/322 =+

=

∫

∞

∞−


5/29

Integral garis komponen tangensial kuat medan magnetik disekeliling lintasan tertutup adalah sama dengan arus yangdilingkupi oleh lintasan tersebut .

"ersamaan di atas merupakan bentuk integral dari hukum Ampere.

6.' Hukum Am r

Dalam penggunaan hukum Ampere untuk menentukan H,maka dua kondisi berikut ini haruslah terpenuhi:

Di setiap titik lintasan tertutup komponen H adalahbersifat tangensial atau normal terhadap lintasan.

memiliki nilai yang sama pada setiap titik lintasan dimana H adalah tangensial.

dilingkupi yang I dI H =•∫


6/29

$unakan hukum Ampere untuk memperoleh H yangdiakibatkan oleh !lamen lurus arus I dengan panjangtak berhingga

"# $ %aia"!/iot- avart menunjukkan bah a pada setiap titik darilingkaran $ambar %-& H adalah tangensial sertamemiliki magnituda yang sama besar. Maka,

Contoh Soal 2

1)2( ==•∫ r H dI H π


7/29

Dengan menyelesaikan integral di atas

/entuk diferensial dari hukum Ampere dapatditurunkan yang juga akan menghubungkan medan

magnetik statik H dengan arus elektrik konstan.ebelum mende!nisikan bentuk diferensial, akan

dikenalkan terlebih dahulu curl dari sebuah vektor.

0url A dalam arah a n dide!nisikan sebagai

S

dI Aa Aa Acurl

S nn ∆

•≡•×∇=• ∫

→∆ 0lim)(

φ π a

r

I H

2=


8/29


9/29

ebagai 0ontoh, komponen 1 dalam koordinat'artesian dide!nisikan dengan mengambil kontursebagai sebuah bujur sangkar pada bidang datar 1konstan melalui titik " seperti tampak pada $ambar.

#endefinisian komponen $ dari !url A.

z y

dI Aa A

z y x ∆∆

•≡•×∇ ∫

→∆∆ 0lim


10/29

2ika A (A1 a x 3 Ayay 3A4a Z pada sudut ∆S yang palingdekat dengan titik pusat 5titik 67, maka

dan

z

A

y

Aa A

y z x ∂

∂−∂

∂=•×∇

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ +++=2

1

3

2

4

3

1

4

z y z

A

y

A

z A y z

A A z y

y A

A y A

y z

z y

y z

z y

∆∆

∂∂

−∂∂=

∆−+∆−

∂

∂++∆

∆∂∂++∆= )()(


11/29

8omponen y dan # dapat ditentukan dengan 0arayang sama

Dengan menggabungkan ketiga komponen yangdiperoleh, 0url A dalam koordinat 'artesian adalah

%ntuk koordinat silindris

%ntuk koordinat bola

z x y

y z x

x y z a

y

A

x

Aa

x

A

z

Aa

z

A

y

A A

∂∂−

∂∂

+

∂∂−

∂∂+

∂∂

−∂

∂=×∇

( ) z

r z r r

z a A

r

rA

r a

r

A

z

Aa

z

A A

r A

∂∂−∂

∂+

∂∂−∂

∂+

∂∂

−∂∂=×∇

φ φ φ

φ φ 11

( ) ( ) ( )φ

θ θ

φ θ φ

θ φ θ φ θ

θ

θ a

A

r

rA

r a

r

rA A

r a

A A

r A r r r ∂

∂−∂

∂+∂

∂−∂∂+

∂∂−

∂∂=×∇ 1

sin

11sin

sin

1


12/29

Dua sifat 0url A yang seringkali digunakan ialah9Divergensi 0url dari sebuah vektor adalah samadengan nol

'url gradien dari sebuah fungsi skalar adalah samadengan nol

ebagai 0ontoh, dalam kondisi statik, medan elektrik

&ehingga

Ini merupakan bentuk uji lain terhadap sifat konser"asi

medan "ektor, yaitu jika !url sama dengan nol, maka medantersebut adalah medan konser"atif

V E ∇−=

0=×∇ E

( ) 0=×∇•∇ A( ) 0=∇×∇ f


13/29

Dalam sisi pandang hukum Ampere, persamaan yangmende!nisikan 50url H) 1 dapat ditulis sebagai

di mana Jx =dIx/dS adalah kerapatan arus dalam arah x

2adi komponen x dari 50url H) 1 dan kerapatan arus Jx

adalah sama di setiap titik.:ntuk komponen y dan #, relasi yang diperoleh dalamserupa, sehingga relasi se0ara keseluruhan dapatdituliskan sebagai

"ersamaan di atas merupakan bentuk diferensial hukumAmpere untuk medan magnetik statis. Medan magnetik tidak bersifat konservatif.

J H =×∇

x x

z y z y x J z y

I z ydI H a H ≡∆∆=∆∆

•≡•×∇→∆∆→∆∆ ∫ 00 limlim


14/29


15/29

6.* K ra ata" +$uk%i Ma," tik da"Hukum Gau%%

8uat medan magnetik H adalah bergantung pada muatan5muatan yang bergerak7 semata dan tidak bergantungpada mediumnyaMedan gaya yang berasosiasi dengan H adalah kerapatan

=uksi magnetik B yang diberikan oleh persamaan

di mana µ ( µ) µr adalah permeabilitas mediumatuan untuk B adalah tesla di mana

"ermeabilitas ruang hampa, µ), memiliki nilai sebesar > π 1 6)-? dengan satuan henry per meter,


16/29

Material non-magnetik memiliki permeabilitas relatif ,. µr yang mendekati satu, sementara material magnetik

5misalnya besi,ferromagnetik7 dapat memiliki µr yang jauhlebih besar daripada satu.@luksi magnetik yang menembus suatu bidang permukaandide!nisikan sebagai

@luksi magnetik, Φ, dapat bernilai positif atau negatifbergantung pada pemilihan normal pada elemenpermukaan d .

atuan untuk =uksi magnetik adalah eber, b.* + * b m(, * * b A

∫ •=ΦS

dS B


17/29

'arilah =uksi yang memotong bagianbidang datar φ ( π dengan ),)6 ; r ;),)B m dan ) ; # ; & m 5lihat $ambar7di mana sebuah !lamen arus &,B) Adiletakkan sepanjang sumbu # padaarah a#

Penyelesaian:/erapatan fluksi magnetik adalah

Dari gambar Fluksi magnetik yang mele)ati bidang permukaan persegi panjangadalah

d& drdza φ

Contoh Soal 4

φ π µ

µ ar

I H B

20

0 ==

φ φ π µ

ad d ar

I z r •=Φ ∫ ∫

2

0

05,0

01,0

0

2

WbWb I

µ π

µ 61,11061,1

01,0

05,0ln

2

2 60 =×== −


18/29


19/29

6. I"dukta"%i

rasio atau perbandingan =uksi magnetik lingkup terhadap

arus yang menghasilkan =uksi tersebut.

di mana 9C adalah jumlah lilitan kumparan

I adalah arus statis 5atau arus dengan frekuensi rendah7 Φ adalah =uksi yang mele ati sebuah loop tunggal

&atuan 4 adalah henry di mana * * b A.4 akan selalu merupakan produk dari permeabilitas bahan µ dan

faktor geometri dengan satuan panjang.

I

N L

Φ=


20/29

Induktansi dapat juga dirumuskan sebagai

di mana 9• λ, =uksi lingkup, C Φ untuk kumparan dengan lilitan

sejumlah C

Fluksi lingkup untuk kumparan arus

I

L λ

=


21/29

'arilah induktansi per satuan panjang dari sebuah konduktor koaksialseperti $ambar diba ah ini

= konstanPenyelesaian:• %ntuk daerah di antara konduktor, medan

magnetik dirumuskan sebagai

• arus di kedua konduktor dilingkupi olehfluksi yang menembus permukaan φ konstan. %ntuk panjang l * m.

Contoh Soal 5

ab I

drdz r

I b

a

ln22

01

0

0

π µ

π µ

λ ==∫ ∫

φ

φ π

ar

I H

2= φ

π µ

ar

I B

2

0=


22/29

induktansi per satuan panjang dari konduktor koaksial

3ambar nilai induktansi eksak dan atau pendekatan daribeberapa bentuk konduktor non-koaksial

+oroida dengan penampang melintang persegi.

r S

+oroida dengan penampang &

0dengan mengasumsikan nilai

kerapatan fluksi rata-ratapada jari-jari rata-ratasebesar r.2

( )m H a

bmeter per L /ln

2

0

π

µ =

( ) H r

r a N L

1

22

0 ln2π

µ =

( ) H r

S N Lπ

µ 2

20=


23/29

d

l

/onduktor paralel dengan jari-jari a.

&olenoida panjang dengan area penampang melintang & yang ke!il.

( )

( )m H ad L

ad untuk

m H a

d L

/ln0

,

/2

cosh 10

π µ

π µ

=

>>

= −

( ) H S N

L

20 µ

=


24/29

/onduktor silindris yang paralel dengan bidang datar pertanahan

( )

( )m H a

d

m H a

d L

/ln

2

/2

cosh2

0

10

π

µ π

µ

=

= −


25/29

Ha$- a$ "ti", u"tukDii",at

5edan magnetik dan 6 akan mengelilingi sebuah ka)atpenghantar beraliranarus I sesuai aturan tangan kanan.Dalam medium isotropik, 6 µ .3aris-garis fluksi megnetik adalah solenoid yang berarti bah)agaris-garis tersebut merupakan kur"a tertutup tanpa a)al ataupun akhir.%ntuk suatu permukaan tertutup tertentu, fluksi magnetiktotal yang masuk ke permukaan tertutup adalah sama dengan

fluksi magnetik total yang meninggalkan permu kaan tersebut.Induktansi dari sebuah konduktor adalah fluksi magnetiklingkup per satuan arus.


26/29

&oal-soal dan #enyelesaiannya

Soal 1&ebuah konduktor silindris tipis dengan jari-jari a dan panjang takberhingga memba)a arus I. 7arilah pada setiap titik dengan hukumAmpere8

&edangkan untuk lintasan (,

9adi, untuk titik di dalam !angkang silinder, dan untuktitik-titik diluarnya 0I ( πr2aφ A m. %ntuk r ; a, medannya

adalah sama seperti medan dari filamen arus I sepanjang sumbu.

7angkang silindris yangmengalirkan arus I.

Penyelesaian :

ukum 6iot-&a"art menunjukkan bah)a hanyamemiliki komponen φ. 4ebih lanjut, φ merupakanfungsi dari r semata. 4intasan yang tepat untukhukum Ampere adalah lingkaran konsentris. %ntuklintasan * yang ditunjukkan pada 3ambar,

∫ ===Ι• 02

dilingkupi yang I rH d H

φ π

I rH d H ==Ι•∫ φ π 2


27/29

5edan radial

terdapat pada suatu medium ruang hampa. 7arilah fluksi magnetik, Φ, yangmemotong permukaan - π .< ≤ φ ≤ π .


28/29

Soal 3

7arilah induktansi per satuan panjang dari konduktor silindris paralel yangdiperlihatkan pada 3ambar, di mana d (= kaki dan a ,> ? in!i8

d

l

/onduktor paraleldengan jari-jari a.

#enyelesaian :Dengan menggunakan rumus-rumus pada

@umus pendekatan memberikan hasil

untuk d a ≥ * , rumus pendekatan dapat digunakandengan kesalahan kurang dari ,= .

( ) ( )

( ) m H ad L

/37,2803,02

1225

cos1042cos 1710

µ π

µ

=×== −−−

m H a

d L/37,2ln0 µ

π

µ ==


29/29

Soal 4Asumsikan bah)a toroida dengan inti udara yang ditunjukkan pada

3ambar memiliki B lilitan, jari-jari dalam * !m, jari-jari luar ( !mdan tinggi a *,= !m. 7arilah 4 dengan menggunakan0a2 rumus untuk toroida dengan penampang melintang bujur

sangkarC 0b2 rumus pendekatan untuk toroida biasa, yangmengasumsikan H yang seragam pada jari-jari rata-rata8

+oroida denganpenampang &

Penyelesaian :0a2 %ntuk penampang melintang bujur sangkar,

0b2 Dengan menggunakan rumus pendekatan dari 3ambar

dengan jari-jari r yang lebih besar dibandingkan dengan luaspenampang, maka kedua rumus di atas akan menghasilkan hasil

perhitungan yang lebih mirip 0lebih mendekati sama2

r & ( )( ) ( ) mH r r a N

L 02,12ln2

015,0700104ln

2

27

1

22

0 =×==−

π

π

π

µ

( )( ) ( )( )( )

mH r

S N L 98,0

015,02015,001,0700104

2

2720 =×==

−

π

π

π

µ

Documents

Medan Magnet Tunak Statis