Medicina Fizika

Fizika i biofizika za studente medicine

autorizirana predavanja akademska godina 2009./10.

prof. dr. sc. Jasminka Brnjas-Kraljević prof. dr. sc. Dubravka Krilov

downloaded from www.perpetuum-lab.com.hr

1

UMJESTO UVODA

Fizika je znanost o Prirodi. To je stalno rastući skup znanja o tome kako se Priroda ponaša. Fizičari promatraju dogañanja, uočavaju zakonitosti u procesima te izriču zakone koji opisuju stanje i kretanje materije. Fizičare zanimaju i zbivanja u makrosvijetu u kojem se i mi krećemo i procesi na razini molekule, atoma i elementarnih čestica od čega smo sazdani. Zašto fizika treba medicinarima? Kao odgovor mogli bismo prihvatiti razmišljanja engleskog filozofa i matematičara D′

Arcy W. Thompsona s početka dvadesetog stoljeća: Koliko će matematika moći opisati a fizika objasniti organizam nitko ne može predvidjeti. Može ćemo pomoću svih zakona energije, svojstava tvari i kemije koloida biti nemoćni objasniti TIJELO, kao što smo nesposobni shvatiti DUŠU. Ja ne mislim tako. O tome kako to duša upravlja tijelom, fizika nas ništa ne uči. Veza izmeñu žive tvari i procesa razmišljanja je zagonetka bez rješenja. Sva saznanja o živčanim putovima i sva znanja fiziologije ne objašnjavaju SVIJEST do razumijevanja. Zato, ne pitajmo fiziku kako to jedno biće blista božanskom dobrotom a drugo nosi vražji pečat. Ali za objašnjenje strukture, rasta i rada organizma kao i sveg ostalog na zemlji, po mom skromnom mišljenju, FIZIKA je naš jedini učitelj i vodič. Možemo tražiti odgovor na to pitanje sljedeći saznanje da je fizika u osnovi eksperimentalna znanost, pa učiniti jedan misaoni eksperiment: Zaklopite oči i zamislite da ste na otvorenom prozoru u proljetno praskozorje. Duboko udahnite i osjetite opori okus jutarnjeg, vlažnog zraka. Pogledajte prema obzoru gdje se budi dan. Osjetite hladnoću i uočite maglovito crvenilo prvih jutarnjih zraka izlazećeg sunca. Poslušajte pažljivo buñenje cvrkuta ptica i daleka zvona zornice. Opustite se. Mir u Vama odraz je Vaše rezonancije sa Svemirom. Osjećate jedinstvenost Prirode u njenoj biti, u ovom trenutku bez potrebe da je razumijete. Otvorite oči i vratite se u stvarnost. Ono bijaše mašta. Što možemo saznati iz izvedenog misaonog eksperimenta? Osnovno saznanje je da postoji interakcija nas i okoline. Mi smo vidjeli svjetlost. Mi smo čuli zvuk. Mi smo osjetili okus i miris. Za fiziku svjetlost je pravilna promjena električnog i magnetskog polja; zvuk je prijenos mehaničke energije titranja molekula; miris su promjene u lokalnim kemijskim potencijalima. Naš organizam, biološki sistem, vanjsku energiju fizičkih dogañanja pretvara u životne procese: kao što je kucanje srca, rad pluća, rad bubrega, rad imunološkog sistema ili u osjete. Tako mi osjećamo ono što je oko nas. No, mi smo još nešto više. Nama je dano da pamtimo i da se sjećamo. Dakle, mi pohranjujemo i ponovo oživljavamo informacije nekih interakcija i kad nismo neposredno u poželjnoj okolini. Upravo ti procesi su nam omogućili da učinimo misaoni eksperiment. Posebne stanice živčanog sistema spremaju vanjske informacije, a kad zaželimo one na podražaj aktiviraju te podatke i organiziraju ih na sličan ili malo promijenjeni način. Mi govorimo o sjećanjima, stečenom iskustvu ili o maštanju. Te procese još ne znamo objasniti. Nadalje, ako postoji interakcija nas i okoline smijemo zaključiti da jednake osnovne sile i procesi vrijede za nas (živo) kao i za prirodne pojave (neživo). To znači, da ako dobro upoznamo osnovne zakonitosti Svemira, izražene fizičkim zakonima i kemijskim procesima, lakše ćemo razumjeti i biološke procese i ponašanje složenih bioloških sistema. Na primjer - naučimo li zakone nastanka i širenja elektromagnetskih valova, svjetlosti, ili mehaničkih valova, zvuka, upoznat ćemo što i kako vidimo i čujemo.


2

To znači da smijemo reči: Fizika, znanost o materiji, i biologija, znanost o životu, voñene su istim osnovnim zakonima, a razlikuju se u složenosti sistema koje promatraju. Na pitanje kako zainteresirati studente biologije za pravilno rješavanje i razumijevanje problema moderne biologije mañarski nobelovac, liječnik i inženjer Leo Szilard je odgovorio: Što je potrebno učiniti? Tražiti od tih mladih ljudi da prvo postignu doktorat iz fizike; tek tada mogu razumjeti biologiju pravilno. Fizika je egzaktna prirodna znanost. Cilj je doznati istinu o prirodi no naša saznanja ovise o našoj obrazovanosti i o raspoloživoj tehnologiji. Do spoznaja fizičar dolazi znanstvenim metodama: u početku promatra, onda mjeri, pa povezuje različite rezultate na temelju kojih zaključuje i konačno oblikuje zakon. Fizički zakon sadrži pretpostavku budućeg. Traži odgovor na pitanje. Ako znadem što se sada dogaña koliko mogu biti siguran što će se i kako dogoditi u budućnosti? Zakoni prirode su zakoni opisa a ne naredbe. To znači da fizika opisuje kako se Priroda ponaša a ne nareñuje kako bi se trebala ponašati. Priroda je bila i bit će, ona je vječna, sve se to već dogañalo, ali mi postepeno razumijevamo i polagano ulazimo u njenu bit. Ljudi su ograničeni u spoznavanju prirode i u prihvaćanju informacija koje ona nudi, pa se zato naše znanje postupno širi i po obimu i u dubinu. Albert Einstein je s iznenañenjem konstatirao: The eternal mystery of the world is its comprehensibility. (Vječna tajna svijeta je njegova shvatljivost) a mi već nekoliko tisućljeća nastojimo dokučiti tu shvatljivost. Jezik fizičara je matematika. Matematika je precizan i sažet prikaz odnosa u prirodi. Često su sistemi koje proučavamo suviše složeni da bi se poznatim matematičkim aparatom dobila egzaktna rješenja. Tada fizičari pribjegavaju modeliranju. Fizički model je pojednostavljeni prikaz prirodnog sistema. U izgradnji modela zadržavamo one osobine sistema koje će dati najbolje obavijesti o pojavama koja promatramo. To znači da jedan prirodni sistem možemo promatrati različitim modelima. Što model bolje nalikuje sistemu to će nañeni zakoni biti bliži istini. Pritom ostaje pitanje: Što je istina? Izrečeni zakon je to općenitiji što je primjenjiv na više raznorodnijih slučajeva. Jednom izrečene zakone fizika provjerava eksperimentima. Eksperiment ili pokus je postupak kojim se oponaša dogañaj u prirodi da bi ga se opetovano proučavalo i mjerilo. Naše mogućnosti preslikavanja prirodnih dogañaja a to znači izgradnja modela kojima zamjenjujemo prirodu, ovise o bazičnim znanjima i o razvijenosti tehnologije. Stoga izvedeni zakoni nisu bez pogrešaka. Novim spoznajama ih proširujemo i poboljšavamo ili mijenjamo. Rekli smo već da smo ograničeni u spoznavanju i razumijevanju. Razvoj znanosti tijekom tisućljeća je pomicanje tih granica spoznaje. Znanstvenici su oni sretni pojedinci koji su posebnim darom za imaginaciju uobličavali te spoznaje u razumljiv jezik. Znanost je maštovita barem toliko koliko i umjetnost. Samo se ta znanstvena maštovitost mora i eksperimentom dokazati da bi bila prihvatljiva kao znanost. Do sredine 19 stoljeća smatralo se da se na živu tvar ne mogu primijeniti strogi zakoni fizike, jer osnovna biološka dogañanja, rañanje, rast, starenje i smrt, ne zadovoljavaju zakone očuvanja. Molekularna biologija i biofizika su znanosti koje dokazuju netočnost tih tvrdnji. Biološki organizmi jesu složeni sistemi, primjerice, najjednostavnija stanica sadrži 1014 atoma. Zahvaljujući razvoju prikladnih fizičkih metoda, recimo rendgenske i magnetske spektroskopije danas su poznate strukture važnih bioloških molekula a donekle i njihova funkcija. Neki osnovni životni procesi opisani su općim zakonima iz fizike, primjerice prijenos živčanog signala, protok krvi ili hodanje.


3

Studij medicine osim što mora studenta opskrbiti s mnoštvom potrebnih podataka iz anatomije, fiziologije i patologije mora kod njih razviti sposobnosti: Liječnik mora razviti sposobnosti da razumije, razlikuje i odabire znanja iz medicine, farmacije, medicinske opreme i materijala, socijalnih znanosti i alternativne medicine te da slijedi nove trendove i nova dostignuća. Fizika u medicini primijenjena je na nekoliko razina. Bazična biofizička istraživanja strukture bioloških makromolekula pomažu u rješavanju povezanosti strukture i funkcije jedne molekule. Proučavanja interakcija različitih molekula u ovisnosti o vanjskim utjecajima kao što su mehanički, toplinski ili električni podražaji, uvodi fizičke zakone u fiziološki proces. Istraživanja u medicinskoj fizici omogućuju razvoj dijagnostičkih metoda sa sve složenijim i pouzdanijim ureñajima i to na razini molekularnih promjena. Danas se može uspješnije liječiti ona bolest za koju znamo koje su promjene uzrokovane na molekularnoj razini. Završimo navodima Wolfganga Paulia iz 1930. godine: Znanja iz fizike pomažu razumijevanje osnovnih principa prirode. Ono takoñer omogućava razumijevanje većih područja prirode. Zato se ljudi koji znaju fiziku lakše upoznaju s prirodom i njenim fenomenima.

MATEMATIČKE OSNOVE Lord Kelvin rekao je jednom: ako ono što znaš možeš izraziti brojkom onda to donekle i razumiješ, ne možeš li to Tvoje je znanje manjkavo. Rekli smo da fizika promatra meñuovisnosti dogañanja u prirodi i to pretače u jasne kvantitativno odreñene zakonitosti. Ono što promatra opisuje parametrima. Parametar sistema je veličina koja kvantitativno izražava izabranu osobinu sistema. Prema tome fizikalni zakoni izražavaju meñuovisnosti parametara jednog ili više promatranih sistema. U tom opisu rabimo rječnik matematike, a ona ovisnosti veličina prikazuje funkcijama. Funkcija je matematički postupak kojim se veličinama iz jednog skupa pridružuju veličine iz drugog skupa. Primjerice: ako se tijelo giba parametri su put, brzina i vrijeme. Kažemo: put je funkcija brzine i vremena. Zakon jednolikog gibanja po pravcu povezuje te parametre i prikazuje tu ovisnost linearnom funkcijom s = v t. Dakle, da bismo mogli primijeniti neki fizički zakon na biološki sistem treba dobro znati parametre sistema i značenja matematičkih funkcija koje ih povezuju. Zato ćemo razmotriti one matematičke ovisnosti koje se češće pojavljuju u medicini. Opći oblik pisanja funkcije je y = f (x,t). y je zavisna veličina a x i t su nezavisni parametri. Proces f pokazuje kako se mijenja y kad se mijenjaju x i/ili t. Funkcije se može prikazati grafički, prikaz u koordinatnom sustavu, tablično, jedan niz brojki pridružen je drugom nizu brojki, i analitički, matematički izražaj ovisnosti. Za razliku od matematike, u fizici nezavisne veličine mogu imati samo pozitivne vrijednosti.


4

Linearna funkcija

Slika. 1. Linearna funkcija: g(x) padajuća, f(x) rastuća Matematički izraz y = a x definira linearnu ovisnost veličine y o veličini x. Grafički prikaz te ovisnosti u koordinatnom sustavu XY je pravac kroz ishodište s koeficijentom smjera a. Dvije su veličine linearno ovisne kada smanjenje ili povećanje jedne veličine uzrokuje proporcionalno smanjenje ili povećanje druge veličine. Kažemo takoñer da su to razmjerne veličine. Ako je a < 0, funkcija je padajuća (g(x) na slici). Funkcija y = ax+b je grafički prikazana pravcem s koeficijentom smjera a i pomakom b na osi y (f(x) na slici). Ovako izražena ovisnost znači da funkcija ima vrijednost b kad je vrijednost nezavisnog parametra x = 0. U fizici kažemo da je b početna vrijednost funkcije.

Funkcija recipročne ovisnosti

Ako su parametri sistema povezani tako da povećanje jednog uzrokuje toliko puta smanjenje drugog govorimo o recipročnom odnosu veličina. Ta ovisnost prikazana je funkcijom y = a / x. Grafički prikaz te funkcije je istostrana hiperbola, čije su asimptote osi koordinatnog sustava.

Eksponencijalna funkcija Eksponencijalna ovisnost veličine y o veličini x općenito je prikazana izrazom y = y0 a bx. Parametri su: y0 je vrijednost funkcije kad je x=0, a je baza, b je koeficijent koji odreñuje strminu i tok krivulje. Krivulja siječe os Y u točki (0, y0). U fizici, ta je vrijednost početna vrijednost funkcije; t.j. početni uvjet. Os X je asimptota krivulje za x ⇒ -∞ ako je

g(x) = - a x f(x) = a x + b

X

Y

Slika 2. Istostrana hiperbola

X

Y


5

b > 0. To je prikaz rastuće eksponencijalne funkcije. Padajuća eksponencijalna funkcija je za b < 0, a krivulja se asimptotski približava osi X za x ⇒ +∞.

Od posebnog je značenja u fizici i biologiji eksponencijalna funkcija kojoj je a jednak bazi prirodnog logaritma y = y0 e bx. Važno svojstvo ove funkcije je da je u svakoj točki prirast funkcije proporcionalan njenoj vrijednosti, dy/dx ∼ y, pa zato ona dobro opisuje prirodne procese gdje su pojedinačni dogañaji slučajni. Navest ćemo dva primjera. Mjerenja su pokazala da je rastućom eksponencijalnom funkcijom, N = N0 2

bt, dobro opisano razmnožavanje bakterija. Padajućom eksponencijalnom funkcijom možemo prikazati apsorpciju lijeka u organizmu N = N0 e

-ct. U oba slučaja N0 je vrijednosti funkcije na početku promatranja. O koeficijentima b i c ovisi brzina razmnožavanja bakterija, odnosno brzina smanjenja koncentracije lijeka u organizmu.

Logaritamska funkcija

Slika 4. Logaritamska ovisnost Logaritamska funkcija je inverzna funkcija eksponencijalnoj. Funkcija ima oblik x = ay. Ako je a = e onda je y = 1n x, a ako je a = 10, funkcija je y = log x. To su najčešće logaritamske funkcije, no baza može imati bilo koju vrijednost. Logaritamski odnos veličina nije uobičajen odnos parametara u opisu bioloških sistema. Iznimka je logaritamski odnos osjeta prema podražaju. Primjerice: odnos osjeta zvuka i intenziteta mehaničkog vala prikazan je G = k log I. Uobičajeno je primijeniti logaritamski prikaz funkcija koje se mijenjaju u velikom rasponu vrijednosti.

b>0 b<0 Slika 3. Eksponencijalna funkcija: f(x), g(x) i

h(x) su rastuće eksponencijalne funkcije s različitom vrijednosti y0 i različitim pozitivnim koeficijentom b; j(x) je padajuća eksponencijalna funkcija s negativnim koeficijentom b

y = log x

y = ln (x)

y = log1,7 x

X

Y


6

Periodična funkcija Neka dogañanja u prirodi ponavljaju se u odreñenim vremenskim i/ili prostornim intervalima. Stanja sistema se opetuju u pravilnom redoslijedu kao na primjer dan - noć ili godišnja doba, kucanje srca ili disanje. Pravilnija periodička dogañanja su titranje, kružno gibanje, valovi. Funkcije koje bi opisivale takva dogañanja moraju takoñer zadovoljiti zahtjev ponavljanja. Govorimo o periodičnim funkcijama. Općenito ćemo reći da je neka funkcija periodična ako zadovoljava osnovni zahtjev f(x + X) = f(x). To znači da se nakon svake promjene nezavisne varijable za X, vrijednosti funkcije ponavljaju. Interval X je period periodične funkcije. Ako je nezavisni parametar periodičkih promjena vrijeme kao kod titranja, tada definiramo vremenski period, T, periodičke funkcije. To je najmanje vrijeme nakon kojeg se vrijednosti funkcije ponavljaju. Kod titranja je to vrijeme jednog titraja. Recipročna vrijednost perioda je frekvencija ν = 1/T, ili broj titraja u jednoj sekundi. Trenutna vrijednost funkcije, At, je elongacija a njena maksimalna vrijednost u jednom periodu, A0, je amplituda. Kod titranja to je najveća udaljenost od položaja ravnoteže ili to je najveća elongacija. Ako se promjena elongacije u promatranom vremenskom intervalu može prikazati funkcijom sinus govorimo o harmonijskom titranju. Izraz koji opisuje promjenu elongacije kod harmonijskog titranja glasi:

At = A0 sin 2π t/T ili At = A0 sin 2π ν t Promatramo li gibanje po kružnici primjećujemo da za vrijeme jednog perioda radij vektor zatvori kut 2π. Veličina koju uvodimo kao parametar tog gibanja je kutna brzina ili kružna frekvencija ω = 2π/T = 2πν, pa možemo opisati promjenu elongacije titranja kao

At = A0 sin ω t. Za one funkcije za koje se periodičnost očituje u dimenziji prostora definiran je prostorni period označen s λ. To je najmanja udaljenost izmeñu dvije točke u prostoru u kojima je vrijednost funkcije jednaka. Primjer takve periodičnosti su valna gibanja. Prostorni period valnog gibanja je valna duljina i jednaka je udaljenosti izmeñu najbliže dvije točke u prostoru koje titraju u fazi. Harmonijski val je jednostavna periodična pojava u prostoru i vremenu i prikazan je sinusnom funkcijom

)(2sin),( 0 λπ x

T

tAtxA −= .

Periodične funkcije koje opisuju prirodne dogañaje obično su znatno složenije od sinusnih funkcija. Govorimo o neharmonijskim funkcijama. To su svi fiziološki procesi, električni i magnetski impulsi koji se mjere u dijagnostici, glasovi. Neharmonijske funkcije ne možemo opisati analitičkim izrazom nego ih prikazujemo pomoću Fourierovog teorema. Neharmonijska funkcija prikazuje se kao red (zbroj) konačnog broja harmonijskih funkcija:

tyxy ii

i ωsin)(1∑

∞

=

=


7

Prvi član reda zove se osnovni harmonik i njegova frekvencija ω1 jednaka je frekvenciji neharmonijske funkcije. Ostali članovi reda su viši harmonici i njihove su frekvencije višekratnici frekvencije osnovnog harmonika: ωn = n ω1 (n=2,3..).

Fizikalne veličine Fizikalne veličine su ili skalari ili vektori. Veličina, koja je potpuno odreñena samo iznosom, je skalarna veličina. Primjerice skalari su: masa, energija gustoća, koncentracija itd. U računu sa skalarnim veličinama koriste se one operacije koje ste u školi učili za realne brojeve. Vektorska veličina je onaj parametar kojem za potpuno odreñenje mora biti poznat i iznos, i pravac djelovanja i smjer. Vektori su: put, brzina akceleracija, sila, itd. Računske operacije s vektorima nisu jednostavne operacije s brojevima. Vektore obično prikazujemo projekcijama na koordinatne osi. Računske operacije se onda izvode s projekcijama. Rezultat zbrajanja i oduzimanja vektora je uvijek vektor. Pravila grafičkog zbrajanja vektora su poznata pravila: pravilo trokuta i pravilo mnogokuta. Rezultat množenja vektora može biti ili skalarna ili vektorska veličina, pa govorimo o skalarnom i vektorskom produktu. Skalarni produkt dvaju vektora je skalarna veličina koja ima iznos jednak umnošku iznosa vektora i kosinusa kuta kojeg zatvaraju.

br

α Slika 5. Skalarni produkt vektora biarr

je αcosabbaS =⋅=

rr

Rad je skalarni produkt sile i puta: αcosFssFW =⋅= rr. Izraz za izračun skalarnog

produkta pokazuje koliki je dio sile aktivan u tom radu (projekcija sile na put). Vektorski produkt dvaju vektora je vektor koji ima smjer okomit na ravninu koja je odreñena vektorima, orijentacija je odreñena pravilom desnog vijka a iznos je jednak umnošku iznosa vektora i sinusa kuta kojeg oni zatvaraju.

Slika 6. Vektorski produkt vektora biarr

bxaVrrr

= . Iznos V = a b sinα Sila kojom magnetsko polje djeluje na električnu struju je vektorski produkt magnetske

indukcije i jakosti struje BxlIFrrv

= . Pravac nosilac sile je okomit na ravninu odreñenu vektorima magnetske indukcije i smjera vodiča a iznos sile jednak je površini paralelograma koji ti vektori odreñuju. Orijentacija sile odreñen je pravilom desnog vijka.

ar

Vr

ar

br

α


8


9

STRUKTURA MATERIJE Davno je postavljeno pitanje da li se tvari mogu beskonačno dijeliti ili postoji neki najmanji dio koji još ima prepoznatljive osobine te tvari. Prije 25 stoljeća grčki filozof Demokrit odgovorio je na to pitanje razmišljanjem i ostavio nam ideju o postojanju najmanje čestice, atoma. Rekao je da su sva tijela izgrañena od konačnog broja jednostavnih i različitih čestica, atoma, koje djeluju meñusobno i u neprekidnom su pokretu. Raznolikost njihove strukture odreñuje i raznolikost svijeta u kojem se nalazimo. Eksperimentalnu potvrdu postojanja atoma dobili smo tek u osamnaestom stoljeću. Ubrzo nakon toga saznali smo da i atom ima strukturu. Jedno od osnovnih pitanja dvadesetog stoljeća bilo je kako i koliko struktura odreñuje funkciju materije. Potraga za odgovorom rezultirala je saznanjem da su sva ponašanja makrosvijeta i "živog" i "neživog" voñena zakonima na razini atoma i molekula. Ta su saznanja omogućila kvantitativna proučavanja ponašanja bioloških sistema; bolesti čovjeka proučavaju se i razjašnjavaju na molekularnoj razini; pronalaze se "pametni" lijekovi, koji se usmjeravaju metaboličkim procesima na točno odreñena mjesta. Današnja znanost kaže da se materija ostvaruje u dva vida, kao tvar i kao energija. Te dvije pojavnosti čine cjelinu, jer se mogu pretvarati jedna u drugu i jednako su važne u objašnjavanju dogañanja u prirodi. O pretvorbi tvari u energiju znate iz svakidašnjeg života, no nemate iskustva o pretvorbi energije u masu. Eksperimentalno se oba procesa mogu proučavati u području subatomskih dogañanja. Dokaz pretvorbe energije u tvar je jedan od procesa interakcije γ-fotona i tvari. Kada foton velike energije interagira s teškim atomima dolazi do tvorbe para elementarnih čestica: elektron - pozitron. S druge strane interakcija čestice i njene antičestice (sudar elektrona i pozitrona) je proces anihilacije kojim dolazi do emitiranja dva γ-fotona. To je eksperimentalni dokaz za pretvorbu mase u energiju. Pri oba procesa zadovoljeni su osnovni zakoni sačuvanja mase, energije i naboja. Proučavanja strukture i ponašanja materije na atomskoj i molekularnoj razini ukazala su na dualnu narav prirode. To znači da se materija ponaša i kao val i kao čestica. Tvar se sastoji od čestica, koje imaju masu i volumen a energije čestica mijenjaju se skokovito. Energiju prenose mehanički i elektromagnetski valovi. Val je pojava koja nije ograničena u prostoru i mijenja se kontinuirano. Dualna narav prirode je eksperimentalna činjenica da s jedne strane čestice pokazuju valna svojstva a s druge strane valovi se u interakciji s tvari ponašanju kao čestice. Primjerice: elektroni velikih kinetičkih energija nakon prolaza kroz tanki film metala pokazuju na fotografskoj ploči interferencijske pruge slične onima koje nastaju pri prolazu X-zraka kroz kristale. Mi znamo da je interferencija svojstvo valova a ne čestica, dakle, elektroni se ponašaju i kao valovi. De Broglie je čestici s količinom gibanja p pripisao valnu duljina λλλλ = h/p. Elektromagnetsko zračenje prostorom se širi kao val, a u interakciji s molekulama, atomima ili elektronima ponaša se kao čestica. Ta čestica nazvana je kvant elektromagnetskog zračenja, foton. Energija fotona, E, odreñena je frekvencijom zračenja, ν, prema Planckovoj relaciji E = hν, gdje je h Planckova konstanta. Einstein je u svojim razmatranja toj čestici energije pridružio ekvivalentnu masu m = hν/c2 i količ inu gibanja p = h/λ, gdje je c brzina svjetlosti u vakuumu.


10

ENERGIJA I SILA U opisu stanja i ponašanja tijela fizika rabi dva osnovna parametra energiju i silu. Eksperimentalni podatak da su sva tijela u stalnom pokretu objasnili smo djelovanjem jednog tijela na drugo. To su interakcije koje opisujemo pojmovima sila i energija. Sila je vezana uz gibanja, a energija uz stanje i promjenu stanja tijela. Newton je u svojim proučavanjima pokazao da gravitacijska sila djeluje na daljinu pa je uveo pojam polje sila. Takvo promatranje ponašanja je dobro, jer se u odreñivanju gibanja može zanemariti izvor sile i promatrati samo njen učinak. Polje sila je prostor u kojem djeluje neka sila. Polje sila je vektorsko, što znači da u svakoj točki polja mora biti znan i smjer i iznos sile. Zorni prikaz vektorskog polja su silnice. Silnica je putanja kojom se slobodno tijelo giba u polju sila. Smjer polja u nekoj točki polja je smjer tangente na silnicu u toj točki. Govorit ćemo o homogenim poljima ako je vrijednost jakosti polja jednaka u svim točkama polja, odnosno o nehomogenim poljima ako to nije ispunjeno. Homogena polja zorno su prikazana ekvidistantnim silnicama. Sila je, dakle, definirana kao mjera meñudjelovanja tijela. Rezultat djelovanja sile je promjena energije tijela. Za svaki položaj tijela u vektorskom polju sila odreñena je energija tog tijela. Preko energije, koja je skalarna veličina, možemo vektorsko polje sila prikazati kao skalarno polje potencijalne energije. Zorno se skalarno polje prikazuje ekvipotencijalnim plohama. Ekvipotencijalna ploha je skup svih točaka u polju u kojima tijelo ima jednaku potencijalnu energiju. Po ekvipotencijalnoj plohi tijelo se giba bez potrošnje energije. Energija je pojam u fizici koji se rabi za opis dogañanja i promjena sistema. Najbolju definiciju energije izrekao je H. Helmholtz: Energija je sposobnost tijela da učini rad. No, s druge strane rad se mjeri promjenom energije i ima jednaku jedinicu. Iako je definicija pojma možda slaba različite vrste energije moguće je veoma točno izračunati. Primjerice potencijalna energija tijela u gravitacijskom polju je mgh, ili kinetička energija tijela koje se giba je mv2/2, ili električna potencijalna energija naboja u električnom polju je qE... Postoji još mnogo drugih oblika energije: potencijalne energija rastegnute opruge ili komprimiranog plina, ili energija molekularnih veza ili toplina. Pri svakoj promjeni energije iz jednog u drugi oblik totalni iznos energije je sačuvan. Zakon očuvanja energija je temeljni zakon fizike. O tome ćemo pričati u termodinamici. Četiri su osnovne sile u prirodi kojima možemo objasniti sva dogañanja. To su gravitacijska, elektromagnetska, slaba i jaka nuklearna interakcija. Ove zadnje dvije djeluju unutar jezgre atoma. Gravitacijska sila je prva sila koju je čovjek spoznao i počeo proučavati. Gravitacijska sila djeluje meñu svim tijelima zbog njihove mase i uvijek je privlačna. Ona je najslabija od osnovnih sila. Na razini pojedinih čestica tvari učinci privlačne gravitacijske sile su zanemarivi. Zbog privlačnog karaktera doprinosi interakcija meñu pojedinim česticama se zbrajaju, pa je djelovanje ove sile na razini makroskopskih objekata, planeta i galaksija prevladavajuće. Naše ponašanje na Zemlji odreñeno je djelovanjem gravitacijske sile. Newton je postavio Opći zakon gravitacije još u 18. stoljeću, a u 20. ga je stoljeću Einstein proširio i dopunio. Izmeñu dva tijela masa m1 i m2 udaljena r iznos gravitacijske sile možemo izračunati

iz izraza 2

21

r

mmGF = ako je opća gravitacijska konstanta G = 9 x 10-11 N m-2 kg2. Jakost


11

gravitacijske sile opada s r2 pa je to sila dugog dosega. Može se mjeriti i na udaljenostima od 1015 m. Elektrostatska sila i magnetska sila djeluju meñu nabijenim tijelima. Te sile su ili privlačne ili odbojne. Zato se izmeñu makroskopskih tijela, koja imaju jednaki broj pozitivnih i negativnih elementarnih naboja, djelovanje tih sila ne primjećuje dok je izmeñu dva samostalna naboja to prevladavajuće djelovanje. Izmeñu dva mirna elektrona elektrostatska sila veća je 1038 puta od gravitacijske sile. Iznos elektrostaske sile izmeñu dva nabijena tijela s nabojima q1 i q2 koja miruju na udaljenosti r izražen je poznatim Coulombovim zakonom

221

r

qqkF = , gdje je konstanta k = 1/4πε0 = 9 x 109 NC-2m2. Ako se nabijena tijela gibaju

meñu njima dodatno djeluje i magnetska sila kojoj iznos ovisi i o naboju i o brzinama

22211

4 r

qvqvF

πµ= . Sile su dugog dosega.

Električne sile su najznačajnije interakcije u našem organizmu. Na razini stanice svi su procesi kontrolirani električnim silama. Naši osjeti, metabolizam i rad mišića voñeni su električnim signalima. Na membrani svake stanice našeg organizma je napon koji regulira difuziju iona i važnih molekula kroz membranu. Mjerenjem električnih polja koja generiraju organi i tkiva možemo pratiti različite procese. Djelovanje elektromagnetske sile očituje se elektromagnetskim valovima. Energija promjenljivog električnog i promjenjivog magnetskog polja koja su povezana elektromagnetskom indukcijom prenosi se kroz prostor. U elektromagnetizmu govorit ćemo o osobinama tih polja.

Jaka nuklearna interakcija je najjača interakcija u prirodi. Ona djeluje izmeñu nukleona, protona i neutrona, te osigurava stabilnost nukleona i jezgre. Slaba nuklearna interakcija odgovorna je za beta radioaktivni raspad protona ili neutrona. Te su interakcije mjerljive samo u dimenziji jezgre, 10-15 m, dakle vrlo su kratkog dosega.

Tablica 1.1. Osnovne sile u Prirodi

interakcija jakost narav i zakon elektromagnetska ~ 1 zbog naboja; poznat zakon gravitacijska ~ 10-38 zbog mase; poznat zakon slaba nuklearna ~ 10-3 unutar nukleona; ujedinjena teorija s

elektromagnetskom silom u elektroslabu interakciju

jaka nuklearna ~ 102 unutar jezgre; teorija kvantna kromodinamika

Sila trenja

Sila trenja javlja uvijek kad postoji kontakt izmeñu dva objekta. U opisima nekih dogañaja, njezin se doprinos može zanemariti u odnosu na djelovanje drugih jačih sila. Trenje


12

nije osnovna sila, ali je njeno djelovanje vrlo važno. Zbog nje efikasnost svakog procesa je manja. Dio mehaničke energije se zbog trenja nepovratno pretvara u toplinu. O tome ćemo posebno razgovarati u termodinamici. U našem tijelu sila trenja ima značajno djelovanje. Bez postojanja sile trenja ne bismo mogli hodati. Ta sila ograničava gibanje zglobova, kontrolira žvakanje, disanje, kucanje srca, peristaltiku crijeva. Iznos sile trenja ovisi o osobinama dodirnih površina, što je sadržano u koeficijentu trenja, µ, i o komponenti sile, N, okomitoj na dodirnu površinu:

NFtrenja µ=

Proučavanje hodanja je pokazalo da za siguran hod po horizontalnoj ravnini sila trenja mora biti barem 0,15 G, gdje je G težina osobe. S druge strane gibanje zglobova je olakšano viskoznim tekućinama (sinovijalna tekućina), koje smanjuju trenje izmeñu dodirnih površina kostiju. Ako se sadržaj ili količina te tekućine promijeni (razlog je promjena bioloških procesa – bolest) povećano trenje ćemo osjećati kao bol.

Tablica 1.2.

Koeficijenti trenja za neke dodirne površine

materijali u dodiru µµµµ čelik / čelik 0,15 gumeni kotač / suhi asfalt 1,00 gumeni kotač / mokar asfalt 0,70 čelik / led 0,03 kost/kost u zglobu 0,003

STRUKTURA ATOMA

Atom je osnovna čestica tvari. Od atoma su grañene molekule, a molekule i njihove asocijacije tvore biološke organizme i odreñuju njihove strukture i funkcije. Procese u živoj tvari danas proučavamo i objašnjavamo modelima koji se primarno oslanjaju na meñuatomske i meñumolekularne interakcije složenih struktura. Zato je nužno poznavati osnovne zakonitosti o strukturi atoma i molekula. Struktura i osobine atoma i molekula opisane su kvantnom mehanikom. Za zornu predodžbu još se uvijek rabi kvazi-klasični Bohr-Rutherfordov model. Mi ćemo taj model rabiti kad budemo trebali objasniti pojave na razini molekula. Na temelju eksperimenata J.J. Thomsona, E. Rutherforda i N. Bohra izgrañen je klasični model atoma. Atom se sastoji od jezgre i elektronskog oblaka. Skoro sva masa atoma je u jezgri. Radijus atoma je 10-10 m a jezgre 105 puta manji. Rješenje strukture atoma je traženje odgovora na pitanje koliku energiju ima elektroni u električnom polju jezgre. Bohr je na temelju postulata o kvantizaciji energije i radijusa staze elektrona definirao strukturu


13

vodikovog atoma koja se zadovoljavajuće slagala s mjerenjima spektara zračenja. Bohrovi postulati su: 1. Elektroni se u električnom polju jezgre ne mogu kretati po bilo kojoj putanji već to moraju biti ekvipotencijalne plohe. Dok se elektron kreće po jednoj plohi ne mijenja mu se energija, dakle ne emitira niti apsorbira energiju - to su stacionarna stanja. 2. Atom emitira energiju, u obliku fotona, kada elektron prelazi s jedne na drugu plohu i taj kvant energije jednak je razlici energija tih ploha

∆E = En - Em. 3. Plohe putanja su diskretno rasporeñene u prostoru, tako da su radijusi kružnica po kojima se elektron giba i energije ekvipotencijalnih ploha odreñene cijelim brojem koji je Bohr nazvao kvantni broj

rn ∝ n2 i En = -13,6 (eV) 12n

Sommerfeld je teoriju dopunio pa tako klasičan Rutherford-Bohr-Sommerfeldov model atoma možemo rabiti za naša promatranja. Po RBS modelu atom je sastavljen od teške pozitivno nabijene jezgre i negativnih elektrona koji po dobro definiranim stazama kruže oko nje. RBS model se naziva stara kvantna teorija.

a b

Slika 1. Model atoma a) Rutherford-Bohrov model Elektroni se oko jezgre gibaju po kružnicama. Udaljenost od jezgre odreñuje energiju elektrona u električnom polju jezgre. Opisana je cijelim brojem, glavni kvantni broj. Energija ionizacije atoma za neki elektron je to manja što je radijus putanje elektrona veći. b) Sommerfeldov korigirani model Oblik eliptične staze i njeno usmjerenje u prostoru odreñuju količinu gibanja i magnetske osobine elektrona, opisane orbitalnim i magnetskim kvantnim brojem. Spin elektrona je u ovoj slikovnoj predodžbi prikazan kao vrtnja elektrona oko vlastite osi.

Svaki je elektron opisan diskretnom energijom i diskretnim iznosom i smjerom

količine gibanja. Kasnije je ustanovljeno da elektron posjeduje još jedno svojstvo koje je


14

nazvano spin. Promjene tih parametara odreñene su kvantnim brojevima i tako je naznačena diskretnost stanja. Danas je poznato, na temelju teorijskih razmatranja kvantne mehanike, da se elektron u atomu ponaša kao val. Prema tome ne možemo definirati putanju pojedinog elektrona nego smijemo govoriti o kvantnim stanjima koja su opisana valnim funkcijama. Kvadrat valne funkcije predstavlja oblak vjerojatnosti, tj. prostor oko jezgre u kojem se može naći elektron. Iz valne jednadžbe kvantne mehanike mogu se egzaktno izračunati valne funkcije za vodikov atom, dok se za atome s više elektrona rabe numeričke metode. Stanje elektrona opisano je s četiri kvantna broja:

n - glavni kvantni broj - odreñuje energiju elektrona u električnom polju jezgre. Ima vrijednost cijelih brojeva 1, 2, 3, do n. To su energijske ljuske: K, L, M., N, O i P. K je najbliže a P najdalje od jezgre. Elektroni u K ljusci su najjače vezani uz jezgru. Energija potrebna da se elektron oslobodi iz atoma (energija ionizacije) smanjuje se po iznosu s povećanjem n. Broj elektrona u jednoj ljusci je 2n2. l - orbitalni kvantni broj - povezan je s iznosom vektora momenta količine gibanja elektrona, L. Ima vrijednosti od 0 do n-1. Govorimo o orbitalama: s, p, d, f,.. ml - magnetski kvantni broj - povezan je s orijentacijom vektora momenta količine gibanja elektrona kad je atom u vanjskom polju sila. Vrijednosti kvantnog broja mijenjaju se od -l do +l. U jednoj orbitali ima 2l +1 elektrona.Važan je kod promatranja interakcije atoma s vanjskim magnetskim poljem. ms- magnetski spinski kvantni broj - ima samo dvije vrijednosti +1/2 i -1/2. Odreñuje projekciju vektora spina elektrona na smjer vanjskog polja sila. Čestice od kojih je izgrañen atom, proton, neutron i elektron, opisane su s tri svojstva: masom, nabojem i spinom. Do sada se vjerojatno niste susreli sa spinom. To je svojstvo čestice kojim se mjere njena magnetska svojstva i njene interakcije s magnetskim poljem. Navedene čestice imaju spin ½. Razmještaj osnovnih čestica u složenim strukturama odreñen je Paulijevim principom isključenja: dva elektrona u atomu ne mogu biti u istom kvantnom stanju, tj. ne mogu imati jednaka sva četiri kvantna broja. Zbog toga su elektroni u atomu rasporeñeni u različite orbitale, tako da u n-toj ljusci smije biti najviše 2 n2 elektrona. Zbog Paulijevog principa isključenja takoñer su i nukleoni u jezgri rasporeñeni u energijske nivoe.

Najmanji iznos energije ima elektron u K ljuski, koja je najbliža jezgri, jer energije diskretnih stanja imaju negativan predznak. No taj elektron je i najjače vezan uz jezgru, pa je energija ionizacije atoma za elektron iz K-ljuske najveća. Atom je u osnovnom energijskom stanju kad su popunjene ljuske manje energije, a u pobuñenom stanju ako je popunjeno stanje veće energije, a prazno neko od stanja manje energije. Atom iz osnovnog u pobuñeno stanje prelazi apsorpcijom energije, a relaksira se u osnovno stanje emisijom energije. Pri tim procesima mijenja se glavni kvantni broj elektrona. Mjerenjem energija koje se apsorbiraju ili emitiraju prilikom energijskih prijelaza nastaju spektri, apsorpcijski ili emisijski. Oni su uvijek linijski i karakteristični su za pojedine atome.

Atom je neutralna tvorevina. Koliko je jezgra pozitivno nabijena toliki je negativni naboj elektrona u elektronskom omotaču. Atom prelazi u ion emisijom (kation) ili apsorpcijom (anion) elektrona. Energije ionizacije atoma za pojedine elektrone su različite. Najveća je energija ionizacije za elektrone u K – ljuski. U različitim atomima su energije


15

ionizacije elektrona u jednakim ljuskama različite. Što je atom većeg rednog broja energija ionizacije atoma za K-elektron je veća.

STRUKTURA MOLEKULE

Obilje različitih oblika u Prirodi izgrañeno je meñusobnim vezanjem atoma od samo osamdeset i jednog elementa. Pri tome je značajno koji atomi i na koji način su meñusobno vezani. Osnovne grañevne jedinice tvari su molekule. To su manje ili više stabilne asocijacije atoma i one odreñuju svojstva makroskopske tvari. Tvari mogu biti u čvrstom, tekućem ili plinovitom agregatnom stanju. Jednake molekule tvore tvar u sva tri agregatna stanja a osobine makroskopskih tijela se razlikuju. Zato je za razumijevanje procesa na makroskopskom nivou nužno upoznati osnovne zakonitosti struktura molekula. Unutar molekule jedan atom djeluje na ostale atome u molekuli a istodobno i osjeća djelovanje svih ostalih atoma. Molekula će biti stabilna ako je prostorna raspodjela atoma odreñena minimalnom ukupnom energijom. Atomi u molekuli su povezani kemijskim vezama. Molekula može imati i povećanu energiju, pa tada govorimo o pobuñenom energijskom stanju molekule. Energijska stanja molekule su kvantizirana. U tom složenom sistemu broj mogućih različitih energijskih prijelaza je veći nego u atomu. U razmatranju molekule razlikujemo elektrone koji sudjeluju u kemijskoj vezi od onih koji ne sudjeluju. U odreñivanju energije molekula posebno nas zanimaju elektroni veze, jer se njihova energija kod stvaranja molekule mijenja, dok energija elektrona koji ne sudjeluju u molekularnoj vezi ostaje nepromijenjena. Dva osnovna tipa kemijske veze meñu atomima u molekuli su kovalentni i ionski.

Kovalentna veza Odgovoriti na pitanje kako izgleda veza dva atoma u molekuli znači odrediti valne funkcije i energije elektrona, koji čine vezu, dakle definirati molekularnu orbitalu. Kovalentna veza je ostvarena preklapanjem atomskih orbitala barem dva elektrona iz atoma koji su u vezi. Budući da su atomske orbitale usmjerene (osim s orbitale) to će i nastala molekularna orbitala biti usmjerena. Zbog toga molekule imaju različitu prostornu strukturu. Kovalentnu vezu čini zajednički elektronski par dva atoma. Kovalentna veza je vrlo čvrsta veza. Energija veze je ona energija koju treba predati molekuli da bi se ona rastavila na atome. Što je ta energija veća veza je čvršća i molekula stabilnija.


16

Slika 2. Ovisnost energije veze o meñusobnoj udaljenosti dva atoma u molekuli Energija dva samostalna atoma predstavljena je horizontalnom crtom. Približavanjem atoma, zbog privlačne sile meñu atomima, potencijalna energija se smanjuje i na nekoj udaljenosti (R'AB) postiže minimalnu vrijednost. To je ravnotežna udaljenost atoma u molekuli i dva elektrona se tada nalaze u veznoj orbitali. Dva atoma neće graditi molekulu ako su spinovi elektrona u vanjskim orbitalama jednaki (Paulijev princip isključenja). Za takva dva atoma potencijalna energija će rasti njihovim približavanjem. Minimum potencijalne energije znači da je energija atoma u molekuli manja od energije slobodnih atoma.

Ionska veza

Ionska veza nastaje izmeñu atoma koji imaju različiti afinitet prema vezanju elektrona. U interakciji takvih atoma gustoća elektronskog oblaka veća je pri atomu s veći afinitetom. Ako je nesimetrija velika dolazi do prelaska elektrona s atoma manjeg afiniteta na drugi atom te nastanu dva iona. Za proces stvaranja iona potrebna je energija. Ionska je veza stabilna veza jer energiju molekule smanjuje privlačna Coulombova interakcija. Energija ionske veza manja je od energije kovalentne veze. Polarne molekule nastaju ako je veza djelomično kovalentna a djelomično ionska, dakle, ako je nesimetrična raspodjela elektronskog oblaka ali ne dolazi do prelaska elektrona već atomi dijele elektronski par. Primjer je molekula vode. U toj molekuli distribucija elektronske gustoće u zajedničkom elektronskom oblaku pomaknuta je prema atomu kisika, pa molekula vode ima razdvojena težišta pozitivnog i negativnog naboja. Za proučavanje polarnih molekula u fizici ih prikazujemo modelom električnog dipola.

Veze izmeñu molekula ili manjih skupina atoma unutar velike biološke molekule

Energija veze izmeñu molekularnih skupina koje tvore veće molekule puno je manja od energije veze meñu atomima unutar jedne skupine. Govorimo o slabim van der Waalsovim

vezna orbitala

protuvezna orbitala

R'AB


17

vezama. Te su interakcije elektrostatičke naravi i ostvaruju se interakcijama dipol - ion, dipol - - dipol, inducirani dipol - ion. Posebno treba naglasiti vodikovu vezu koja ima važnost za prostornu strukturu makromolekula. To je najjača slaba veza. Ona nastaje ako je atom vodika kovalentno vezan na kisik, dušik ili halogeni element. Tada je kovalentna veza asimetrična, jer je elektronski oblak odmaknut od atoma vodika. Pozitivno električno polje tako vezanog vodika privlači vanjske elektrone drugih elektronegativnih atoma (najčešće kisik ili dušik), te stvara dodatnu elektrostatsku vezu izmeñu dijelova molekula. Vodikovim vezama je primjerice osigurana prostorna struktura globularnih proteina. Oblik dvostruke zavojnice molekule DNA izgrañen je poprečnim vodikovim vezama izmeñu odgovarajućih parova baza. Vodikova veza važna je i za aktivnost bioloških molekula. Prekid samo jedne vodikove veze može izazvati promjene u strukturi koje uzrokuju promjene u biološkoj aktivnosti makromolekule.

Energija molekule Spektroskopijske metode rabimo za odreñivanje struktura bioloških makromolekula. O strukturi molekule saznajemo iz spektara mjerenih u ultraljubičastom, vidljivom i infracrvenom području. Spektar atoma sadrži energije prijelaza elektrona izmeñu pojedinih elektronskih nivoa i zato su oni linijski. Spektri molekula su složeniji, jer molekula može mijenjati svoju energiju na različitim razinama. Osim apsorpcijom energije prijelaza elektrona izmeñu molekularnih orbitala molekula može promijeniti energetsko stanje i apsorpcijom energije prijelaza izmeñu rotacijskih ili izmeñu vibracijskih stanja. Kolike su te energije i što nam kazuju o strukturi molekule prikazat ćemo na jednostavnom primjeru dvoatomne molekule.

Elektronski prijelazi u molekuli Elektroni koji sudjeluju u molekularnoj vezi mogu prelaziti izmeñu molekularnih orbitala. Energije potrebne za te prijelaze iznose nekoliko eV i puno su manje od energija prijelaza elektrona izmeñu atomskih orbitala, koje mogu iznositi do 90 keV. Ti su prijelazi karakteristični za pojedine veze meñu atomima. Spektar elektronskih prijelaza u molekulama nije linijski jer postoje i vibracijski i rotacijski prijelazi, koji imaju energije prijelaza manje od 0,1 eV.

Vibracijska stanja molekule

Dvoatomnu molekulu možemo proučavati preko jednostavnog modela elastičnog oscilatora, dviju kuglica vezanih elastičnom oprugom konstante elastičnosti k. Takav oscilator može titrati u svim smjerovima. Mi ćemo promatrati titranje samo u jednoj dimenziji. Os X ćemo postaviti tako da se poklapa sa spojnicom kuglica. Atomi titraju sinkrono. Amplituda titranja ovisi o masama atoma. Energija titranja za promatrani sistem može se izračunati rješavanjem jednadžbe gibanja za harmonijski oscilator ako sistem dva tijela zamijenimo jednim koje ima reduciranu masu. Tada primijenimo II Newtonov zakon:


18

F = Ma = - kx

gdje je M reducirana masa sistema 21

21

mm

mmM

+⋅= .

Slika 3. Model dvoatomne molekule kao elastični oscilator Atomi kao čvrste kuglice masa m mogu titrati oko svojih položaja ravnoteže. Budući da su povezani elestičnim silama, što je prikazano elastičnom zavojnicom, oni titraju jednakim frekvencijama. Rješavanje jednadžbe za klasični harmonijski oscilator odreñuje energiju oscilatora

2

22 AME

ω= u ovisnosti o amplitudi A i frekvenciji M

k=ω . Kvantnomehanički izraz za

energiju vibracija molekule uzima u obzir da su vibracijska stanja kvantizirana pa je energija v-tog vibracijskog stanja molekule

+=2

1

2ν

πω

νh

E

gdje je v vibracijski kvantni broj koji ima vrijednosti cijelih brojeva (v = 0,1,2,3,..). Osnovno

vibracijsko stanje za ν = 0 ima energiju π

ω4

hE = . Dakle, kvantna mehanika dozvoljava

vibracije i na najnižim temperaturama. Za prijelaz izmeñu bilo koja dva susjedna vibracijska stanja potrebna je energija jednaka razlici energija tih stanja. Račun pokazuje da će ta energija biti jednaka za bilo koja dva susjedna stanja. Kažemo da su vibracijske razine ekvidistantne. Razlike energija vibracijskih nivoa u molekuli su od 0,04 do 0,1 eV. Prijelazom iz jednog u drugo vibracijsko stanje molekula apsorbira ili emitira kvant energije

∆E = Eν - Eν−1 = π

ω2

h

Rotacijska stanja u molekuli Osim što atomi u molekuli vibriraju, molekula kao cjelina rotira brzinom ω oko osi, koja je okomita na spojnicu atoma. Promatrat ćemo samo jedan oblik rotacije. U klasičnoj

m mk


19

fizici izraz za energiju rotacije je Erot = 2

1I ω2 =

I

L

2

2

. Veličina I je moment tromosti molekule

i ovisi o raspodjeli mase u njoj. Za slučaj dvije čestice izračunava se iz izraza I = m1r12 +

m2r22, a povezan je s momentom kutne količine gibanja L = I ω. U kvantno-mehaničkom

razmatranju moment kutne količine gibanja je kvantiziran kvantnim brojem j . Energija j-tog rotacijskog stanja molekule je

I

jjhE j 2

)1(2

2 +

=π

Energija rotacije najnižeg rotacijskog stanja, j = 0, je nula. Rotacijski nivoi nisu ekvidistantni. Razmak meñu njima ovisi o rotacijskom kvantnom broju. Što je energija rotacije veća to će i energija prijelaza na susjedni viši rotacijski nivo biti veća.

∆E = Ej - Ej-1 = I

jh2

2

π

Za male vrijednosti kvantnog broja te energije prijelaza su oko 10-3 eV. Molekula ima kvantizirana sva energijska stanja i može biti samo u jednom od njih. Unutar nekog elektronskog stanja postoji izbor rotacijskih i vibracijskih podstanja. Promjena bilo kojeg podstanja uzrokovana je emisijom ili apsorpcijom kvanta energije. Kada promatramo energije prijelaza u molekuli mogući su slučajevi: a) dolazi do prijelaza izmeñu elektronskih stanja. To je ostvarivo istodobno s prijelazima izmeñu različitih rotacijskih i vibracijskih stanja molekule. Zbog mnoštva prijelaza s malim razlikama u energiji, spektri molekula su vrpčasti. Elektronski su prijelazi mjerljivi u vidljivom i ultraljubičastom području spektra elektromagnetskog zračenja. b) nema prijelaza izmeñu elektronskih stanja, ali se mijenjaju vibracijska i rotacijska stanja. Energije prijelaza su oko 0,1 eV pa ih opažamo u infracrvenom području elektromagnetskih valova. c) postoje samo rotacijski prijelazi. Energije tih prijelaza su u području energija mikrovalova.

VALOVI Spoznaju o prirodi stoljećima su znanstvenici gradili prihvaćajući informacije preko dva osjetila, sluha i vida. Tim se procesima do važnih podataka dolazi bez fizičkog kontakta s predmetom, “donose” ih zvuk i svjetlost. Iako po naravi različite, ove pojave imaju jedno zajedničko svojstvo – energija se prenosi valovima, govorimo o valnoj naravi pojava. Val je periodički poremećaj u prostoru kojim se prenosi energija bez prijenosa mase. Zvučni val je mehanički val. To znači da se energija titranja izvora širi kroz sredstvo s čestice na česticu. Pritom širenje vala nije identično gibanju čestica medija u kojem se val širi. One titraju oko položaja ravnoteže, a val znači prijenos te energije kroz sredstvo.


20

Svjetlost je elektromagnetski val. Kroz prostor se prenosi energija promjenljivog električnog i promjenljivog magnetskog polja. Nije potrebno sredstvo za prijenos elektromagnetskog vala. Dok je izvor mehaničkog vala uvijek titranje tijela u elastičnom sredstvu, izvori elektromagnetskih valova mogu biti različiti. Za male frekvencije to su električni strujni krugovi (radiovalovi) a za velike frekvencije atomi (X-zračenje, svjetlost) i jezgre (γ-zračenje).

Narav elektromagnetskog vala

Elektromagnetski val je prijenos energije električnog i magnetskog polja kroz prostor.

Polja su promjenljiva i meñusobno se induciraju. Pritom električno i magnetsko polje imaju jednake frekvencije i titraju u fazi. Vektor električnog i vektor magnetskog polja meñusobno su okomiti i svaki je okomit na smjer širenja vala. Prema načinu širenja elektromagnetski val je, dakle, transverzalni val. Nastanak elektromagnetskih valova objasnio je J.C. Maxwell (1831.-1879.) svojom teorijom elektromagnetizma. Polovinom XIX stoljeća povezao je poznate činjenice iz elektriciteta, magnetizma i optike, koji su u to vrijeme bili zasebna područja fizike. Maxwell je teorijski predvidio pojavu elektromagnetskog vala kojom je objasnio svojstva i širenje svjetlosti. Klasični zakon o elektromagnetizmu predviña da svako promjenljivo magnetsko polje inducira oko sebe promjenljivo električno polje čije su silnice okomite na smjer magnetskog polja. Svako usmjereno gibanje naboja inducira pojavu magnetskog polja u ravnini okomitoj na smjer električnog polja koje je uzrokovalo gibanje naboja. Maxwell je pretpostavio da za indukciju magnetskog polja nije nužan naboj već je dovoljno da postoji promjenljivo električno polje.

Ta meñuindukcija električnog i magnetskog polja, kroz prostor se širi brzinom koja ovisi o svojstvima prostora. Prema tome, za širenje elektromagnetskog vala nisu potrebne čestice, pa niti sredstvo. U nekoj točki prostora, ovisnost jakosti polja o vremenu je prikazana sinusnom funkcijom. Sinusnom funkcijom prikazana je i raspodjela intenziteta u prostoru kroz koji se val širi ako u nekom trenutku izmjerimo jakost polja u različitim točkama prostora. Relacije ovisnosti prikazane su za ravni val, dakle za prostiranje valova samo u jednom smjeru:

−=c

xtEE ωsin0

−=c

xtBB ωsin0

gdje je x udaljenost mjesta na kojem mjerimo jakost polja od izvora vala, a c je brzina širenja vala u zraku ili vakuumu. x/c je fazni pomak i označuje vrijeme potrebno da informacija o

trenutnoj vrijednosti polja stigne do te točke. Uzevši u obzir da je T

cλ= gornje relacije

možemo napisati i ovako:

−π=

−π=λ

x

T

tsinBB

λ

x

T

tsinEE 00 22


21

Brzina vala ovisi o električnim i magnetskim svojstvima tvari. Iz Maxwellove teorije elektromagnetskog zračenja izlazi da je u vakuumu i u zraku brzina vala, c, odreñena izrazom:

c = 00

1

µε gdje je 1-9

0 mF1036

1ε −×=

π dielektrična permitivnost vakuuma, a

-170 mH104µ −×= π je magnetska permeabilnost vakuuma. Uvrštavanjem ovih vrijednosti

izračunata je brzina c = 3 x 108 m/s. To je brzina širenja svih elektromagnetskih valova u vakuumu. Brzina širenja, v, elektromagnetskih valova u bilo kojem sredstvu manja je od c a odreñena je dielektričnom permitivnošću, ε, i magnetskom permeabilnošću, µ, sredstva:

v = µε

1

U nekom sredstvu, valovi različitih valnih dužina šire se različitim brzinama. Elektromagnetski val prenosi energiju električnog i magnetskog polja. Gustoća

elektromagnetske energije, U/V, u nekoj točki prostora ovisi o trenutnoj vrijednosti električnog i magnetskog polja:

+=

0

22

02

1

µε B

EV

U

+=

µε

22

2

1 BE

V

U

Prvi izraz u relaciji je gustoća energije elektromagnetskog vala u zraku a drugi je gustoća energije elektromagnetskog vala ako se val širi kroz sredstvo.

TABLICA 1.3. Elektromagnetski valovi

naziv valova λ λ λ λ / m izvor radiovalovi 3x107 - 10-2 titrajni krug i antene; korist u komunikaciji mikrovalovi 10-2 - 10-4 rotacije molekula; klistron, magnetron korist u terapiji infracrveno zračenje 10-4 - 8x10

-7 titranje i rotacija molekula,

korist u dijagnostici i terapiji vidljiva svjetlost 7,5x10

-7 - 3,9x10

-7 prijelazi elektrona izmeñu vanjskih

ultraljubi často zračenje 3,9x10-7 - 2x10-8 ljusaka atoma i molekularnih orbitala

meke i srednje X-zrake 10-8 - 10-10 prijelazi elektrona s unutrašnjih atomskih orbitala, rendg. cijev, dijagnostika terapeutske X-zrake 10-10 - 10-13 udarom visokoenergijskih elektrona u metalnu ploču, terapija γγγγ-zrake 10-11 - 10-15 zračenja jezgre, radionuklidi, dijagnostika i terapija


22

MEHANIKA

DJELOVANJE SILA NA LJUDSKI ORGANIZAM Materija je u stalnom kretanju. Kretanje definiramo kao relativno mijenjanje položaja jednog sistema prema drugom. Fizika kretanje opisuje djelovanjem sile, a djelovanje sile na tijelo mjeri promjenom energije tijela. Promjena potencijalne i/ili kinetičke energije tijela odražava promjene u translacijskom ili rotacijskom gibanju tijela. Jedna od posljedica djelovanja sile na tijelo je deformacija tijela. Pritom se mijenja unutarnja energija tijela. Pri razmatranju djelovanja sila na čovjeka osnovni zakoni koje rabimo su tri Newtonova zakona klasične mehanike: I. zakon inercije: Tijelo trajno miruje ili se giba jednoliko po pravcu, ako je rezultanta sila koje na njega djeluju jednaka nuli. II. zakon gibanja: Sila kad djeluje na tijelo izaziva promjenu količine gibanja tijela. Zakon je izražen jednadžbom gibanja za tijelo

dt

v)d(mF = , za v << c,

dt

m dvF ≈ .

Rješenje jednadžbe je funkcija x(t), kojom je opisana putanja tijela. Drugi Newtonov zakon definira masu kao svojstvo tijela da se opire djelovanju sile - to je “troma masa”. Preciznim mjerenjima je pokazano da je “troma masa” jednaka po iznosu “teškoj masi”, koja je mjera djelovanja sile gravitacije Zemlje na tijelo. III. zakon akcije i reakcije: Dva izolirana tijela u ravnoteži će uzajamno djelovati silama jednakog iznosa i suprotnog smjera

12211221 ,,,, FF,FFrrrr

=−=

Sila F12 ima hvatište u tijelu 1, a sila F21 u tijelu 2. Što je to rezultanta sila? Na tijelo najčešće djeluje više sila. Ponašanje tijela, a to

znači brzina kretanja i putanja, bit će odreñeni rezultantom sila. Kažemo da su sile konzervativne ako ih translacijom po pravcima nosiocima možemo dovesti u zajedničko hvatište. Jednostavnije rečeno sile su konzervativne ako pravci nosioci imaju zajedničko sjecište. Konzervativne sile uzrokuju translaciju tijela. Rezultantnu silu izračunavamo vektorskim zbrajanjem sila.

Ako tijelo na koje djeluje sila ima os oko koje može rotirati, djelovanje sile izražavamo momentom sile. Moment sile odreñen je kao vektorski produkt kraka sile i sile,

FxkMrrr

= . Dakle, moment sile je vektor okomit na ravninu koju odreñuju sila, F, i krak

sile, k. Iznos je k F sinα, gdje je α kut izmeñu sile i kraka sile. Nekonzervativne sile u ravnini predstavljene su parom sila. To su dvije paralelne

sile jednakog iznosa i suprotnog smjera koje istodobno djeluju na tijelo. Djelovanje para sila na tijelo uzrokuje njegovu rotaciju oko točke u kojoj je učvršćeno. Rotacija je odreñena momentom para sila. Moment para sila definiran je kao vektorski produkt udaljenosti meñu silama, d, i sile, F:

d F , M F x d M ==vrv


23

Vektor dr

je uvijek okomit na sile.

a b c

Slika 1 a) Tijelo rotira oko točke u kojoj je učvršćeno (os) kad na njega djeluje sila; krak sile je udaljenost od hvatišta do osi; kut izmeñu sile i kraka označen je na slici; b) moment sile kao vektorski produkt kraka i sile, c) par sila u ravnini

Rotacijska gibanja - poluge Poluga je svako čvrsto tijelo koje se može okretati oko osi kad na njegovim krajevima djeluju sile, slika 2. U mehanici poluga ima važno značenje, jer jednostavno prenosi silu. Legenda kaže da je Arhimed koji je proučavao djelovanje poluge, rekao: «Dajte mi uporište u Svemiru i pomaknut ću Zemlju». Toliku važnost je on pridavao polugi. Udaljenost hvatišta sile koja djeluje na polugu od osi oko koje se poluga može rotirati je krak sile. Djelovanje poluge opisujemo tako da odredimo uvjete ravnoteže za polugu. Razmatramo uvjet za translacijsku i rotacijsku ravnotežu. Poluga je u translacijskoj ravnoteži, kad rezultanta sila koje djeluju na polugu ima iznos nula. Za polugu na slici 2 taj uvjet izražen je relacijom:

0 321321 F F , F F F F =+=++rrr

Slika 2. Poluga s jednim osloncem - na polugu djeluju vanjske sile 1F

r i 2F

r prema dolje a sila

reakcije oslonca3Fr

prema gore. Težinu poluge ćemo zanemariti. Os X koordinatnog sustava je duž

poluge os Y na nju okomita, a ishodište je u točki oslonca. F3 je protusila kojom oslonac djeluje na polugu, pa to znači da je uvjet translacijske ravnoteže uvijek ispunjen, za bilo koje iznose F1 i F2.

•kr

Fr

α kr

Fr

Mr

d

k1 k2

F1

F3

F2


24

Uvjet za rotacijsku ravnotežu traži da je zbroj svih momenata sile u odnosu na odabranu točku jednak nuli. Za polugu na slici 2 možemo odrediti momente sila s obzirom na os poluge. Dva momenta sile M1 i M2, od sila F1 i F2 suprotnog su smjera jer su krakovi sila suprotnog smjera. Moment sile M3 od sile F3 je nula, jer je hvatište te sile u osi rotacije. Uvjet za rotacijsku ravnotežu poluge stoga glasi

F k F k M M M M 22112121 0 =→=→=+rr

Statika i dinamika ljudskog organizma u velikoj mjeri odreñeni su činjenicom da živimo u gravitacijskom polju velike mase Zemlje. Razmatranja našeg kretanja temelje se na činjenici da se ponašanje dijelova našeg lokomotornog sustava može objasniti modelima poluga. Leonardo da Vinci je u svojim proučavanjima ljudskog organizma ustanovio da su krajevi mišića uvijek vezani na dvije različite kosti. Kosti se u zglobu slobodno gibaju jedna u odnosu na drugu, a pokreće ih kontrakcija mišića. Sile kojima odreñujemo poluge u našem organizmu su sila opterećenja odnosno teret, Ft i aktivna sila mišića, Fm, kojom taj teret savladavamo. Odnos tih sila je efikasnost poluge η:

t

m

m

t

k

k

F

F η ==

Može se pokazati da je efikasnost poluge takoñer odreñena omjerom brzine kontrakcije mišića, vm i brzine pomicanja tereta, vt:

t

m

v

v η =

Na osnovu efikasnosti poluge uobičajeno dijelimo na poluge ravnoteže za η <1, poluge snage za η >1 i poluge brzine za η <<1. Na slici 3 prikazani su primjeri tri tipa poluga koje postoje u ljudskom organizmu. Glava je primjer poluge ravnoteže. Oslonac je izmeñu hvatišta sila. Odnos krakova sila mišića i tereta zahtijeva da je sila mišića veća od sile tereta, težine glave. Prosječna je udaljenost težišta glave 7 cm, a hvatišta vratnih mišića koji nju drže uspravnom 2 cm od osi tako da je efikasnost poluge samo 0,29 ili sila kojom mišići drže glavu uspravnom je 3,5 puta veća od težine glave. (to je razlog zašto vam glava padne kad zaspite na predavanju)

Ft Fm Ft

Fm

Ft

Fm

Slika 3. Različiti tipovi poluga u našem organizmu


25

Stopalo je primjer poluge snage. Hvatišta obiju sila su s iste strane oslonca, a krak mišića je dulji od kraka težine. Zato je efikasnost te poluge veća od jedan. Stopalo ima krak sile mišića oko 22 cm, a krak težine tijela je oko 18 cm. Efikasnost te poluge je 1,22. Tipičan primjer poluge brzine je podlaktica. Tu su hvatišta obiju sila s iste strane oslonca, ali je krak mišića znatno kraći od kraka tereta. Hvatište mišića nadlaktice je neposredno uz zglob koji čini oslonac poluge. Efikasnost je vrlo mala, 0,13, jer je krak mišića dvanaest puta kraći od kraka tereta. To ujedno znači da u mirovanju sila mišića je dvanaest puta veća od težine tereta koji držimo. Koja je onda korist od takve poluge? Tijekom podizanja, teret će se gibati dvanaest puta brže od brzine kontrakcije mišića. (Na trzaj možete dignuti teret mnogostruko veće težine nego što možete držati) Poluge III. tipa prevladavaju u našem organizmu, što znači da je kod čovjeka priroda brzinu pretpostavila snazi.

Translacijska gibanja

U proučavanju translacijskog gibanja ljudskog organizma treba imati na umu da se nalazimo u gravitacijskom polju Zemlje koje uzrokuje težinu tijela. Stoga razlikujemo gibanja približno okomito na silu težinu, hodanje i gibanja u smjeru gravitacijske sile, skakanje.

Hodanje je omogućeno trenjem izmeñu noge i podloge. Sile koje djeluju na nogu su

sila trenja µFr

i reakcija podloge na pritisak tijela, Nr

, slika 4. Prilikom spuštanja stopala na

podlogu, dodirujemo je petom, slika 4a. Sila trenja koja djeluje unatrag, onemogućuje otklizavanje pete prema naprijed. Prilikom odvajanja noge od podloge, otiskujemo se prednjim dijelom stopala, slika 4b, te tada sila trenja sprečava nogu od klizanja unatrag.

Vektorskim zbrajanjem sila dobivamo dvije rezultantne sile 1Rr

i 2Rr

, koje uz težinu djeluju na naše tijelo, slika 5, i odreñuju kretanje. Rezultantnu silu odreñujemo paralelogramom

sila, a hvatište sila je u težištu tijela. Vidimo da sila 21 R R Rrrr

+= mora imati smjer

prema gore desno, tako da rezultantna sila R G Frrr

+= pomiče tijelo naprijed u horizontalnom smjeru.

Slika 4. Sile koje djeluju na stopala pri hodanju


26

Vertikalni skok s mjesta sastoji se od jednoliko ubrzanog gibanja u prvoj fazi skoka i vertikalnog hica u drugoj fazi skoka kad se odvoji tijeko od podloge, slika 6. Čovjek započinje skok iz sagnutog položaja, tako da mu je težište spušteno za iznos h od uobičajenog položaja u uspravnom stavu, a konačno dosiže visinu H iznad težišta u uspravnom stavu. Na temelju zakona gibanja, moguće je odrediti visinu skoka, H, u ovisnosti o protusili podloge, F, koja je jednaka sili kojom se mišići otiskuju od podloge i usmjerena oprema gore i o težini čovjeka, G, koja je uvijek usmjerena prema tlu.

Tijekom podizanja težišta na uobičajenu visinu na tijelo djeluju protusila, F, i težina, G, pa tijelo ima akceleraciju

gG

GF

m

F - G a

−==

Tijelo se kreće uvis brzinom v2 = v02 + 2 ah. Tijelo nema početnu brzinu pa je brzina u

trenutku odvajanja od tla

gG

(F - G) h a h v

222 ==

Dalje se tijelo uzdiže jednoliko usporeno, jer na njega djeluje samo težina G. Maksimalna visina do koje će se težište tijela podignuti, H, postiže se kad mu brzina vkon padne na nulu. Iz jednakosti

v2kon = v2 - 2 g H = 0

dobivamo da je

hG

F - G H =

Slika 5. Hodanje


27

Dobar skakač može razviti silu mišića F = 2 G, pa kako je h oko 60 cm, H je takoñer oko 60 cm. Znatno veća visina skoka može se postići u skoku sa zaletom, kako se uobičajeno izvodi skok uvis. Tada se dio kinetičke energije horizontalnog gibanja, trčanja, iskorištava za podizanje težišta tijela. U idealnom slučaju, kad bi se sva kinetička energija pretvorila u potencijalnu energiju težišta tijela, H bi bio odreñen izrazom

m, g

v H

+= 61

2

2

Pribrojnik 1,6 m sastoji se od iznosa h = 60 cm i 1 m što se postiže zbog okretanja tijela u horizontalni položaj na visini H i odskoka s mjesta. Rotacija tijela ne zahtijeva veliku energiju. Maksimalna brzina prije skoka je oko 10 m/s, što daje H = 6,7 m. Ova je visina nekoliko puta viša od sadašnjeg svjetskog rekorda. To nam govori da u praksi nije moguće svu kinetičku energiju trčanja pretvoriti u potencijalnu energiju skakača.

ELASTI ČNE DEFORMACIJE Čvrsta tijela mogu održavati stalan oblik zbog unutarnjih meñumolekularnih sila koje osiguravaju konstantni razmak meñu molekulama. Te su sile kratkog dosega, svega nekoliko meñuatomskih razmaka. Dok na tijelo ne djeluje vanjska sila, čestice unutar njega rasporeñene su, zbog utjecaja unutarnjih sila, tako da tijelo ima minimalnu potencijalnu energiju. Djelovanjem vanjske sile mijenja se razmak meñu česticama pa se mijenja oblik tijela. Bilo da se djelovanjem vanjske sile tijelo rasteže ili sabija, uložen je rad na savladavanje unutarnjih sila koje se protive deformaciji tijela, a to povećava energiju tijela, slika 1b. Unutarnje sile, koje se opiru deformaciji, su elastične sile. One su odbojne kad tijelo želimo sabiti, a privlačne kad tijelo rastežemo. Na slici 1a prikazana je ovisnost ukupne elastične sile kao rezultante privlačne i odbojne sile izmeñu dvije čestice o njihovu

(((( ))))gG

hGFv

−−−−====2

h

H

( ) 21

22

−−= Hg

gG

hGFvkon

Slika 6. Skok s mjesta


28

razmaku, r. Vidljivo je da postoji razmak r0 za koji je elastična sila jednaka nuli. Na toj udaljenosti potencijalna energija čestica, slika1b, je minimalna pa je to stanje ravnoteže za taj sistem. Aproksimativna relacija kojom se može izraziti promjena potencijalne energije čestica, U, o njihovoj udaljenosti, r, odreñena je prilagodbom na eksperimentalne rezultate, kao zbroj doprinosa privlačne (prvi član) i odbojne (drugi član) interakcije:

10 m za nr

B

r

A - U (r)

nm>>+=

a b Slika 1. Promjena elastične sile i potencijalne energije izmeñu dvije čestice u ovisnosti o njihovoj udaljenosti a) Odbojna sila raste kad se čestice približavaju. Udaljavanjem čestica raste privlačna sila. Rezultantna sila, plava krivulja je jednaka nuli na udaljenosti čestica, r0,. To je ravnotežna udaljenost za koju je potencijalna energija minimalna. Za male pomake iz ravnoteže krivulje možemo zamijeniti pravcem. b) Potencijalna energija deformacije sistema prikazana je potencijalnom krivuljom. Za male pomake iz ravnoteže krivulju možemo zamijeniti parabolom.

Funkcija ovisnosti potencijalne energije čestica o njihovom razmaku jasno pokazuje da će se zbog djelovanja vanjske sile koja mijenja razmak meñu česticama potencijalna energija tijela uvijek povećati bez obzira da li se razmak izmeñu čestica povećava ili smanjuje. Dakle, svaka deformacija povećava unutarnju energiju tijela. Nakon prestanka djelovanja vanjske sile tijelo se relaksira smanjenjem energije. Vrati li se pritom u svoj prvobitni oblik, tada su to elastične deformacije. Te su deformacije obično posljedica djelovanja vanjske sile koja nije velika. U slučaju djelovanja sile koja prouzroči promjenu razmaka meñu česticama toliku da su čestice izvan dosega elastičnih sila, tijelo ostaje trajno deformirano i tada govorimo o plastičnoj deformaciji.

r r0

odbojna sila

privlačna sila

F

F = - k (r-r0) = - k x

potencijalna krivulja

harmonijska aproksimacija

r-r0

Edef


29

Linearne elastične deformacije

Rastezanje ili sabijanje tijela najjednostavniji je oblik deformacije. Promotrimo traku kojoj je duljina mnogo veća od promjera. Pri rastezanju možemo zanemariti promjene u poprečnim dimenzijama. Vanjska sila koja rasteže traku djeluje okomito na poprečni presjek, slika 2. Vanjskoj sili koja uzrokuje deformaciju u svakom trenutku suprotstavlja se unutarnja elastična sila tijela. Deformacija je konačna kad su te dvije sile uravnotežene. Dakle, unutarnja elastična sila jednaka je vanjskoj i djeluje u suprotnom smjeru. Za veće produženje trake, ∆L = L-L0 , potrebno je primijeniti veću silu:

F = k ∆L

Linearni odnos sile i produljenja, Hookeov zakon, vrijedi za male elastične deformacije. Konstanta proporcionalnosti ovisi o obliku tijela i o tvari iz koje je tijelo načinjeno. Ako umjesto sile uvedemo naprezanje, a umjesto produljenja deformaciju, izbjeći ćemo ovisnost o ploštini poprečnog presjeka i duljini trake. Naprezanje, σ , je sila koja djeluje na ploštini 1 m2

A

F σ =

Deformacija, δ, je relativna promjena dimenzije:

0

L

∆ L δ =

Uz ove definicije, Hookeov zakon možemo napisati i u drugom obliku

σ = Yδ

Veličina Y je Youngov modul elastičnosti. On ovisi o materijalu od kojeg je napravljeno tijelo i neovisan je o deformaciji. Jedno tijelo je više elastično od drugog, ako ima veći modul elastičnosti, slika 2b. Tijelo opisano s Y2 teže se rasteže, ono je elastičnije od tijela s Y1. Tijelo 1 više je rastezljivo tj. popustljivo, dakle manje je elastično.

a b Slika 2. Linearno rastezanje možemo prikazati Hookeovim zakonom a) Djelovanjem sile F traka se produljila za ∆L, a pritom se može zanemariti promjena S. b) Nagib pravca koji prikazuje Hookov zakon za elastične deformacije ovisi o Youngovom modulu elastičnosti. Nagib je veći za tijelo većeg modula elastičnosti: Y2 >Y1.

L

L0

∆L F

σ

δ

Y1

Y2


30

Oblici deformacija

Savijanje je deformacija koju možemo promatrati kao kombinaciju rastezanja i sabijanja. Jedan kraj tijela je učvršćen, a na drugi kraj djeluje sila tangencijalno na poprečni presjek, ili je tijelo učvršćeno na oba kraja a sila djeluje u sredini, slika 3a. U ovom slučaju mjera deformacije je vertikalni pomak težišta.

Smicanje je deformacija koju uzrokuje vanjska sila na djelomično učvršćenom tijelu. Sila tangencijalno djeluje na stranicu tijela koja je nasuprot učvršćenoj stranici slika 3b. Pritom se slobodna ploha pomakne u odnosu na nepomičnu plohu za ∆x. Deformacija se mjeri kutom α, a Hookov zakon smicanja za naprezanje je: τ = G α, gdje je G modul smicanja.

Torzija , prikazana na slici 3c, nastaje kad zbog djelovanja para sila dolazi do zakretanja gornje plohe u odnosu na donju učvršćenu plohu. Deformacija je odreñena kutom zakretanja β i opisana momentom para sila: T = Ν β , gdje je N modul torzije.

Slika 3. Različite vrste deformacija a) savijanje b) smicanje c) torzija

Nelinearne elastične deformacije

Nelinearne elastične deformacije su one koje nije moguće opisati Hookeovim zakonom, jer modul elastičnosti nije konstantan, nego ovisi o deformaciji. Tako se ponašaju svi biološki materijali tj. tkiva u našem organizmu. Zbog kompleksne fiziološke uloge organa, biološki materijali moraju biti prilagoñeni višestrukim mehaničkim zahtjevima. Pokazat ćemo na nekoliko primjera kako izgledaju krivulje naprezanja σ = f(δ) za neka tkiva. A. Koža, arterijska stjenka, poprečno prugasti mišići Ova tkiva nemaju područje linearnih elastičnih deformacija niti za male sile. Krivulju naprezanja, slika 4, najjednostavnije je objasniti ako tkivo prikažemo modelom

α

F ∆x

β

-F

F

c

a

b


31

koji je sastavljen od dvije elastične tvari različitih modula elastičnosti. Tada krivulju možemo zamijeniti s dvije tangente. Različiti nagibi pravaca ukazuju na različite Y. Kad djeluju male sile ponašanje tijela je odreñeno osobinama tvari 1, a za velike sile prevladavaju elastične osobine tvari 2. Primjerice, stjenke arterija sastoje se pretežno od dva proteina kolagena i elastina (Ykol ~ 103 Yel). Elastinska vlakna prikazana su na modelu kao kratka, tanka gumena traka, a kolagenska vlakna prikazana su debljom i duljom gumenom trakom. Djelovanje male vanjske sile rasteže tanku traku, a debelu samo izravnava. Deformacija tkiva primarno je odreñena elastičnim svojstvima elastina. Nakon što je debela traka izravnana, vanjska sila će i nju rastezati. Zbog znatno većeg modula elastičnosti svojstva tijela su prvenstveno odreñena elastičnim svojstvima kolagena pa je u tom području za jednake deformacije potrebno veće naprezanje. Slika 4. a) Krivulja naprezanja za krvnu žilu, b) Model od dva materijala B. Kosti udova

Krivulja rastezanja za kost, slika 5, ima područje linearnih elastičnih deformacija za manje vanjske sile. Nelinearno područje pokazuje veću popustljivost deformaciji, a to znači da će za jednako veliku deformaciju trebati mnogo manje naprezanje. Kosti se ponašaju slično kao metali. Kost se sastoji od mineralne komponente, oko 70% i kolagena, oko 30%, pa je elastično ponašanje kosti odreñeno svojstvima kolagena za manje deformacije, a svojstvima minerala za veće. U linearnom području Y = 18 GPa, a u nelinearnom području olakšano je klizanje slojeva pa kost postaje popustljiva.

σ

δ

Slika 5. Krivulja rastezanja za kost udova

σ

δ

Yelastin

Ykolagen

F


32

Viskoelastična svojstva tvari Tkiva u našem tijelu pripadaju viskoelastičnim tvarima. U njihovom ponašanju prisutna su i svojstva elastičnosti i svojstva plastičnosti (tečenja), a postoje i spore elastične deformacije. Kod plastičnog tečenja javlja se trenje, pa deformacija kod ovakvih tvari osim što povećava potencijalnu energiju tijela, uzrokuje i toplinske interakcije s okolinom.

Slika 6. Osnovni elementi za prikaz viskoelastičnih osobina: a) element elastičnosti, opruga b) ovisnost deformacije o vremenu, c) element plastičnosti, prigušivač, d) ovisnost deformacije o vremenu Ponašanje viskoelastičnih tvari možemo istraživati putem jednostavnih mehaničkih modela koji se sastoje od elemenata. Element za prikaz elastičnih svojstava tvari je idealna opruga, slika 6a. Djelovanjem vanjske sile na njezin kraj, opruga se trenutno rastegne za iznos proporcionalan sili, a nakon prestanka sile, trenutno se vraća u prvobitni oblik. Ovisnost deformacije ε o vremenu vidi se na slici 6b. Sila počinje djelovati u trenutku t1, a prestaje u trenutku t2. Plastična svojstva prikazuje prigušivač ili amortizer slika 6c. To je posuda napunjena viskoznom tekućinom, u koju je uronjen nešto uži učvršćeni klip. Djelovanjem vanjske sile na dno posude, ona se polako spušta. Istodobno tekućina iznad klipa teče u prostor ispod njega. Posuda se ne može naglo spuštati već je to kretanje ograničeno tečenjem tekućine oko klipa. Prestankom sile, prigušivač ostaje u istom položaju, zadržava deformaciju. Ovisnost produljenja o vremenu vidi se na slici 6d. Deformacija ε povećava se dok djeluje sila, u vremenu ∆t. Brzina deformacije je proporcionalna naprezanju:

ako je η viskoznost tekućine u posudi. Deformacija je dakle, ovisna o sili i o vremenu njezina djelovanja: ε = f(F,t).

t t1 t2

ε

t t1 t2

b d

ε

tdt

d

ησε

ησε =⇒=

a c


33

Različitim kombinacijama ova dva elementa dobivaju se mehanički modeli koji opisuju deformacije bioloških materijala.

Maxwellov model Maxwellov model zovemo još i model relaksacije. Ovaj model serijski je spoj prigušivača i opruge slika 7a. Ponašanje modela bit će različito, ovisno o vremenu djelovanja vanjske sile. Kratkotrajnim djelovanjem sile rastegnut će se samo opruga (slika 6b). Deformacija nestaje nakon prestanka djelovanja vanjske sile. U tom slučaju model prikazuje samo elastična svojstva. Duljim djelovanjem sile najprije će se opruga trenutno rastegnuti, a zatim će se usporeno rastezati i prigušivač. Ukupna deformacija je zbroj deformacije opruge i prigušivača. Prestankom sile opruga će se skratiti, a prigušivač ostaje u istom položaju. Tada model opisuje elastična i plastična svojstva. slika 7b. Kada sila djeluje jako dugo, opruga će relaksirati, uz održavanje stalnog produljenja modela, tj. na račun pomaka prigušivača, slika 7c. Tada model opisuje samo plastična svojstva. Maxwellov model koristimo za opisivanje svojstva sinovijalne tekućine u zglobovima. Kod skoka, ∆t <<, sinovijalna tekućina ponaša se kao savršeno elastično tijelo. Kod dugotrajnog opterećenja nastaju trajne promjene, sinovijalna tekućina pokazuje plastična svojstva. Promjene koje nastaju takvim opterećenjem mogu se poništiti promjenom položaja tijela.

a b c Slika 7. a) Maxwellov model, b) srednje dugo djelovanje sile, c) dugotrajno djelovanje

Kelvinov model Ovaj model nazvan je model puzanja (eng. creep). Paralelni spoj prigušivača i opruge, slika 8a, predstavlja model za polagane elastične deformacije. Bez obzira na vrijeme djelovanja vanjske sile nema trenutnih promjena duljine, slika 8b. Kod rastezanja prigušivač usporava rastezanje opruge a kod relaksacije opruga prisiljava prigušivač da se vraća u početni položaj. Ova dva procesa su opisana različitim eksponencijalnim funkcijama u kojima se kao parametar pojavljuje vrijeme relaksacije. Vrijeme relaksacije ovisi o koeficijentu viskoznosti i o Youngovom modulu elastičnosti.

Y

ηk τ =

ε

t t1 t2

ε

t1 t2

t


34

Ovim modelom dobro su opisana elastična svojstva kože i arterijskih stjenki.

a b Slika 8. a) Kelvinov model b) promjena deformacije za vrijeme djelovanja sile

Kombinirani model

Kod istraživanja elastičnih svojstava tkiva često se krivulja ε (t) odreñuje eksperimentalno, pa se zatim traži model kojim se to ponašanje može simulirati. Uzet ćemo kao primjer poprečnoprugaste mišiće. Eksperimenti na izoliranim mišićima su pokazali da djelovanjem sile nastaje najprije trenutna deformacija, a daljnje deformacije su vremenski ovisne. Prestankom djelovanja sile jedan dio deformacije trenutno nestaje, a ostatak deformacije postepeno nestaje procesom spore relaksacije. Mišić se pod djelovanjem kratkotrajne sile ponaša kao savršeno elastično tijelo. Odgovarajući model je serijski spoj Kelvinovog modela i opruge, slika 9a. Vremenska ovisnost produljenja za ovaj model prikazana je na slici 9b. Model se ponaša u skladu s mišićem i dobro opisuje ponašanje poprečnoprugastih mišića.

a b Slika 9. a) Model za poprečnoprugaste mišiće b) Eksperimentalno odreñena krivulja za poprečno prugaste mišiće

Y1 µ1

Y2

ε

t

t1 t2

ε

t t1 t2


35

MEHANIKA TEKU ĆINA Tekućine i plinovi imaju svojstvo tečenja i zajednički ih nazivamo fluidi. Tekućine imaju konstantan volumen, one su praktički nestlačive. Meñumolekularne sile koje djeluju unutar tekućine mnogo su jače nego u plinovima. Prosječna koncentracija molekula u plinu je 1019 cm-3, a u tekućini je 1022 cm-3. Nasuprot plinu tekućina ne ispunjava cijeli prostor koji joj je na raspolaganju, već samo dio prostora koji je jednak njenom volumenu. Zbog jakih unutrašnjih privlačnih sila, kad tekućina nije u polju vanjskih sila ona poprima oblik tijela s najmanjim omjerom površine i volumena, a to je kugla. Kada postoji polje vanjske sile (najčešće gravitacijsko polje), tekućina zauzima oblik posude u kojoj se nalazi, tako da joj je slobodna površina okomita na smjer djelovanja vanjske sile.

HIDROSTATIKA

Hidrostatika je područje mehanike fluida koje proučava ponašanje mirne tekućine u gravitacijskom polju. Djelovanje vanjske sile uzrokuje tlak u tekućini. U nekoj točki A na dubini h unutar tekućine koja se nalazi u posudi, slika 1, možemo izmjeriti tlak koji će biti zbroj hidrauličkog i hidrostatskog tlaka:

p(A) = patm + phidr patm

h Slika 1. Tlak u mirnoj teku ćini Hidraulički tlak uzrokovan je djelovanjem vanjske sile na slobodnu površinu tekućine. Uvijek prisutna vanjska sila je sila kojom plinoviti omotač, atmosfera, zbog gravitacijskog polja pritišće na slobodnu površinu tekućine. Djelovanje te sile jednoliko se prenosi u sve dijelove tekućine, pa je hidraulički tlak, opisan Pascalovim principom, jednak u svim točkama tekućine. Hidrostatski tlak u točki A na dubini h posljedica je djelovanja težine tekućine iznad te točke: phidr = ρ g h, gdje je ρ gustoća tekućine, a g akceleracija sile teže. Oba tlaka postoje zbog gravitacijskog polja, tako da nema smisla govoriti o tlaku u tekućini ako ona nije u gravitacijskom polju. Tlak u tekućini ne ovisi o obliku i veličini posude. Porijeklo tlaka u plinu tumači se drugačije. Arhimed (287 - 212. p.n.e.) pokazao je da je tijelo uronjeno u tekućinu prividno lakše od istog tijela u zraku. Objasnio je to silom kojom tekućina nastoji istisnuti tijelo. Uzgon ima smjer prema površini tekućine, a posljedica je različitih hidrostatskih tlakova koji djeluju na gornju i donju plohu tijela.

U = A ρtek g (h2 - h1) = ρ g A h = ρtek g Vtijela

A


36

Može se pokazati da ovaj izraz za izračunavanje uzgona vrijedi za tijelo bilo kakvog oblika i na bilo kojoj dubini, slika 2.

Slika 2. Objašnjenje uzgona Promatramo pravilno tijelo uronjeno u tekućinu. Sila kojom tekućina djeluje na gornju površinu tijela, F1 = A ρ g h1 ima smjer prema unutrašnjosti tekućine. Sila kojom tekućina djeluje na donju površinu tijela, F2 = A ρ g h2 ima smjer prema površini tekućine. Rezultanta sila zove se uzgon, a ima smjer prema površini. Uzgon na nepravilno tijelo možemo izračunati uz pretpostavku da se sastoji od niza malih pravilnih tijela. Arhimed je izračunao prividnu težinu tijela, G', gustoće ρt , uronjenog u tekućinu gustoće

ρ, izraz danas poznat kao Arhimedov zakon:

G' = G - U = ρt V g - ρ g V = g V (ρt - ρ) Kad je gustoća tijela manja od gustoće tekućine ono će plivati, ako je veća tonut će, a ako su gustoće tijela i tekućine jednake tijelo lebdi u tekućini.

PROTJECANJE TEKU ĆINE - HIDRODINAMIKA

Kod proučavanja pojava pri protjecanju tekućina, neka svojstva možemo uzeti u obzir ili ih zanemariti. Govorimo o uporabi modela idealne ili modela realne tekućine. Kod manjih brzina protjecanja idealna i realna tekućina teku laminarno, što znači da su im slojevi meñusobno paralelni i da nema miješanja meñu njima. U modelu idealne tekućine zanemarujemo interakciju meñu slojevima tekućine, te izmeñu tekućine i stjenki cijevi. U modelu realne tekućine te interakcije uzimamo u obzir. Uobičajena podjela realnih tekućina na njutnovske i nenjutnovske osniva se na specifičnom načinu meñumolekularnih interakcija.

Model idealne tekućine

U idealnoj tekućini meñu susjednim slojevima ne djeluje nikakva sila, te oni slobodno klize jedni preko drugih, a brzine svih slojeva u nekom presjeku cijevi su jednake.

h1

h2


37

Volumni tok ili protok tekućine ovisi o ploštini presjeka cijevi, A, i brzini protjecanja, v:

V/ t = A v

Tekućina je nestlačiva, pa je volumni tok idealne tekućine konstantan:

V/ t = A1v1 = A2v2

Ova relacija je jednadžba kontinuiteta i pokazuje da tekućina brže protječe kroz dio cijevi užeg poprečnog presjeka. Pokretanje tekućine u cijevi zahtijeva ulaganje rada W1. Na izlazu iz cijevi tekućina u odnosu na okolinu izvodi rad W2. Razlika tih radova predstavlja volumni rad tekućine:

W1 - W2 = ∆(p V) = V ∆p + p ∆V

Tekućine su nestlačive, pa u izrazu za volumni rad preostaje samo prvi član, V∆p. Taj rad je upotrijebljen za povećanje potencijalne i kinetičke energije tekućine.

V∆p = ∆Ep + ∆Ek,

∆Ep = m g ∆h = ρ V g (h2-h1), 22

21

22

2 )vv(V

vmEk

−=∆=∆ ρ

Sreñivanjem ovih relacija dobiva se Bernoulliev zakon očuvanja energije za protjecanje idealne tekućine:

p1 + ρ g h1 + 2

21vρ

= p2 + ρ g h2 + 2

22vρ

Daniel Bernoulli je 1733. godine na osnovu eksperimenata došao do gornje relacije, koja zato nosi njegovo ime. Ona izražava činjenicu da se ukupni tlak u idealnoj tekućini ne mijenja duž cijevi kroz koju protječe. To vrijedi za idealnu tekućinu, jer u njoj djeluju samo konzervativne sile.

Model realnih tekućina a b Slika 3. Protok realne tekućine a) fizikalni model: tekućina protječe izmeñu dvije planparalelne ploče. Pojedini slojevi teku različitim brzinama, jer djeluje sila trenja meñu slojevima. b)raspodjela brzina slojeva tekućine u cilindričnoj cijevi. Najveću brzinu ima sloj u osi cijevi a onaj uz stjenke praktički stoji. To je istinito za tekućine koje kvase stjenke.


38

Kod proučavanja pojava u vezi s protjecanjem realnih tekućina uzimamo u obzir meñumolekularne sile unutar tekućine i izmeñu tekućine i stjenki cijevi. Te sile su nekonzervativne sile trenja. Obično smatramo da je vanjsko trenje izmeñu tekućine i stjenki beskonačno veliko, tako da se sloj tekućine neposredno uz stjenku ne giba relativno prema njoj. Razmotrit ćemo učinak unutrašnjeg trenja izmeñu slojeva u tekućini na protjecanje tekućine upotrebom fizikalnog modela. Izmeñu dvije beskonačne ploče (to znači da su dimenzije ploča velike prema njihovom razmaku) nalazi se realna tekućina, slika 3a. Na gornju ploču djelujemo silom tako da se ona i sloj tekućine uz nju kreću brzinom v, dok druga ploča miruje. Za pokretanje ploče potrebna je vanjska sila radi savladavanja sile unutrašnjeg trenja, kojom susjedni sloj tekućine nastoji zadržati u mirovanju sloj koji se giba zajedno s pločom. Zbog istog razloga svaki sljedeći sloj gibat će se sporije, ali će pritom slojevi ostati meñusobno paralelni. Dva sloja udaljena za ∆x gibat će se brzinama koje se razlikuju za ∆v. Sila unutrašnjeg trenja zove se viskozna sila. Viskoznost tekućina prvi je proučavao Newton i definirao ju je kao “nedostatak klizavosti”. Izraz za viskoznu silu zove se stoga Newtonov zakon viskoznosti:

Ax

vF

∆∆= η

gdje je A dodirna površina dva susjedna sloja tekućine, ∆v/∆x je gradijent brzine okomito na smjer protjecanja tekućine, a η je koeficijent viskoznosti, ili viskoznost tekućine i mjeri se u Pa s. U reologiji se obično uvodi veličina tangencijalno naprezanje:

x

v

A

F

∆∆== ητ

Njutnovska tekućina je po definiciji ona kod koje postoji linearna ovisnost tangencijalnog naprezanja o gradijentu brzine. Kod takvih tekućina viskoznost ne ovisi o gradijentu brzine. Viskoznost pojedinih tekućina može se jako razlikovati. Tako primjerice, viskoznost vode iznosi 10-3 Pa s, a glicerina 0,85 Pa s. Viskoznost krvi je oko 4 puta veća od viskoznosti vode. Tekućina protječe kroz cilindričnu cijev duljine L i polumjera R. slika 3b. Za savladavanje viskoznih sila, koje se protive protjecanju potrebna je razlika tlakova na krajevima cijevi ∆p = p1- p2. Ukupni tlak u tekućini smanjuje se duž cijevi u smjeru tečenja, pa na protjecanje realne tekućine ne možemo primijeniti Bernoulliev zakon za idealne tekućine. Da bismo odredili protok realne tekućine promotrit ćemo protjecanje jednog cilindričnog sloja, postaviti jednadžbu gibanja i odrediti brzinu protjecanja. Integracijom te relacije dobit ćemo raspored brzina pojedinih slojeva u presjeku okomito na smjer protjecanja. Sloj ima oblik valjka duljine L i polumjera x, a dodirna površina sa susjednim slojem je plašt valjka. Sila koja pokreće sloj je:

F’= (p 1 – p2) x2 π

a viskozna sila se suprotstavlja gibanju:

F’’= η 2 π x Ldx

dv


39

Budući da se sloj giba konstantnom brzinom, znači da je zbroj sila jednak nuli pa to odreñuje jednadžbu gibanja iz koje možemo izračunati brzinu sloja v(x) i maksimalnu brzinu v0 za x=0

(p1 – p2) x2 π + η 2 π x L

dx

dv = 0

∫∫−−

=Rv

dxxL

ppdv

0

21

0 2

)(

η

)R

x(R

L

pp)x(v

2

2221 1

4−−=

η

2210 4

RL

ppv

η−=

Relacija za v(x) pokazuje da je raspodjela brzina parabolična, da maksimalnom brzinom, v0, protječe sloj u osi cijevi, dok je brzina sloja uz stjenku nula. Razliku tlakova na krajevima cijevi uzrokovanu viskoznim trenjem možemo izraziti u ovisnosti o svojstvima tekućine:

20

12

4

R

Lvpp

η−=− .

Na izlazu iz cijevi mjerimo srednju brzinu. Haggen je odredio izraz za srednju brzinu kao polovicu maksimalne brzine:

221

8R

L

ppv

η−

=

Volumni tok za protjecanje realne tekućine je

L

ppRRv

t

V 214

2

8

−==

ηππ

Ta relacija poznata je kao Poiseuilleov zakon protjecanja, po francuskom liječniku Jean L.M. Poiseuilleu, koji je 1835. godine proučavao reološka svojstva krvi jer je htio razumjeti tok krvi kroz kapilare. Kod njutnovskih tekućina viskoznost ne ovisi o gradijentu tlaka, pa je ovisnost protoka, V/ t, o gradijentu tlaka, (p1-p2 )/L, linearna funkcija. Iz Poiseuilleovog zakona korisno je definirati parametar koji zovemo hidraulički otpor. On je jednak omjeru razlike tlakova i protoka tekućine:

πη

4

8

/ R

L

tV

pr =∆=

Hidraulički otpor je značajan parametar hemodinamike. Iz definicije možemo uočiti da je hidraulički otpor veći kod tekućina veće viskoznosti, te ako tekućina protječe kroz duže i uže cijevi. Pri tome, najveća je ovisnost o polumjeru cijevi.


40

Vrtloženje (turbulencija)

a b Slika 4. a) Vrtložno protjecanje b) profil raspodjele brzina Porastom brzine protjecanja tekućine smanjuje se utjecaj privlačnih sila izmeñu tekućine i stjenke cijevi. Protjecanje prestaje biti laminarno, jer se slojevi počinju miješati pa se stvaraju vrtlozi, slika 4a. Dodatno se troši energija na stvaranje vrtloga, vibracije, šum i zagrijavanje. Hidraulički otpor kod takvog toka je povećan. Profil raspodjele brzina nije više paraboličan, slika 4b, tako da možemo reći da se veći dio tekućine kreće podjednakom brzinom duž cijevi. Reynolds je uveo veličinu kojom se može kvantitativno odrediti osobine protoka. Ta veličina se zove Reynoldsov broj, Re a predstavlja omjer

inercijalne sile (koja tjera tekućinu) i viskozne sile (koja se tome opire):

ηρ Dv

Re =

Vrijednost Re pokazuje da li će tok biti laminaran ili turbulentan, a ovisi o gustoći i viskoznosti tekućine, promjeru cijevi te srednjoj brzini protjecanja. Za Re >1000, kod većine tekućina uspostavlja se turbulentni tok. Iz Poiseuilleovog zakona slijedi da je kod stalnog protoka za neke tekućine, srednja brzina ovisna o polumjeru cijevi, pa se može pokazati i izravna ovisnost Re o polumjeru. Iz jednadžbe kontinuiteta:

At

Vv

1= dakle 2

1

Rv ∝ pa je i

RR

RRe

112

∝∝

Reynoldsov broj može se znatno povećati u suženim dijelovima cijevi, tako da tamo laminarni tok naglo prelazi u turbulentni. Ta se pojava naziva efekt suženja. Na mjestima gdje postoje stenoze u krvotoku, tada se čuju karakteristični šumovi.

Slika 5. Reološki modeli tekućina: a)njutnovska, b)Binghamova, c)viskoplastična d)pseudoplastična, e) dilatantna


41

Kod nenjutnovskih tekućina, viskoznost ovisi o gradijentu brzine i gradijentu tlaka. Za opisivanje njihovog protoka ne možemo rabiti Newtonov i Poiseuilleov zakon. Na temelju laboratorijskih ispitivanja velikog broja tekućina takvih svojstava, napravljeno je nekoliko različitih reoloških modela koji dobro opisuju pojedine skupine realnih nenjutnovskih tekućina. Ponašanje nekoliko takvih modela i njutnovske tekućine prikazani su na grafovima ovisnosti τ = f(∆v/∆x) na slici 5: (a) njutnovska tekućina, (b) Binghamova tekućina (primjer je zubna pasta), (c) viskoplastična tekućina (primjer je kečap), (d) pseudoplastična tekućina (primjeri krv, slina, boje, emulzije) i (e) dilatantna tekućina (primjer mokri pijesak).

POVRŠINSKA SVOJSTVA TEKUĆINA

Slobodna površina tekućine u posudi pokazuje neka posebna svojstva u odnosu na tekućinu u unutrašnjosti. Ona se ponaša poput tanke opne debljine 1 nm. Uzrok tome je što molekule u površinskom sloju nisu sa svih strana okružene molekulama tekućine, već djelomično molekulama zraka koje se nalaze na većim udaljenostima od njih. Zato molekula na površini imaju dodatnu potencijalnu energiju. Prema tome, povećanje slobodne površine znači i porast potencijalne energije za koji je nužno uložiti rad:

W = σ ∆A

Veličina σ zove se površinska napetost tekućine i mjeri se u J/m2. Uloženi rad pretvara se u potencijalnu energiju molekula u površinskom sloju. Znamo da svaki sistem nastoji doći u stanje minimalne potencijalne energije. Tako i tekućina nastoji smanjiti svoju slobodnu površinu, djelovanjem tangencijalne sile napetosti površine. Djelovanje ove sile možemo pokazati jednostavnim pokusom, slika 6. Na žičani okvir s jednom pomičnom stranicom razapeta je opna od sapunice. Površinu okvira možemo povećati pomicanjem pomične stranice duljine l. Ako je pomaknemo za x, povećali smo površinu za ∆A = l x. Da bismo to učinili moramo djelovati silom F koja je upravo jednaka sili napetosti površine. Ispustimo li stranicu okvira, ona će se vratiti u početni položaj djelovanjem sile napetosti površine.

l

F

xl

xF

A

W ==∆

=σ

A l F x Slika 6. Djelovanje sile napetosti površine U gornjoj relaciji sadržana je druga definicija površinske napetosti kao omjera tangencijalne sile i puta duž kojeg ona djeluje. Alternativna jedinica za σ je N/m. Napetost površine svojstvo je tekućine, ali ovisi i o plinu s kojim je slobodna površina u kontaktu. Najčešće se odreñuje u odnosu na zrak. Tvari koje su površinski aktivne smanjuju napetost površine. To je temelj djelovanja sapuna i deterdženata.


42

Zakrivljenost slobodne površine

Slobodna površina tekućine nije ravna, nego zakrivljena i to zbog različitih iznosa kohezijskih sila (meñu molekulama tekućine) i adhezijskih sila (izmeñu tekućine i stjenke). Kad su adhezijske sile jače, tekućina kvasi stjenke i površina je udubljena, slika 7a, a kad prevladavaju kohezijske sile, tekućina bježi od stjenki i površina je izbočena, slika 7b.

Slika 7. a) tekućina moči stjenke

b) tekućina ne moči stjenke

Slika 8. Uz objašnjenje dopunskog tlaka u tekućini koja kvasi stjenke Pogledajmo sada djelovanje sile napetosti na element zakrivljene površine polumjera zakrivljenosti R, slika 8. Sila napetosti površine F u svakoj točki površine tangencijalna je na nju. Okomita komponenta sile površinske napetosti, Fok= Fcosε,

usmjerena je uvis. Skup hvatišta svih sila Fok čini kružnicu opsega 2rπ, gdje je r polumjer posude. Zbog djelovanja tih sila postoji dopunski tlak u tekućini:

πε

2

cos

r

Fp = , ako je

R

r=εcos a F = σ 2rπ

dodatni tlak zbog zakrivljenosti površine je:

Rp

σ2=

Ovaj izraz koji povezuje dodatni tlak i napetost površine je Laplaceov zakon. Analognom analizom možemo pokazati da za konveksnu površinu dopunski tlak pokazuje djelovanje sile u tekućinu.

b a


43

Primjeri djelovanja napetosti površine

1. Kapanje se javlja kad tekućina izlazi iz uskih cijevi - kapilara. Kap se otkida od ruba kapilare kad se težina kapi izjednači sa silom napetosti površine koja djeluje duž oboda kapilare, a usmjerena je prema gore.

2 r π σ = m g.

2. Kapilarne pojave nastaju zbog dopunskog tlaka kad je kapilara uronjena u posudu s tekućinom, slika 9. Kod tekućina s konkavnom površinom javlja se kapilarna elevacija, a kod tekućina s konveksnom površinom kapilarna depresija. Visina stupca u kapilari, h, u

stanju ravnoteže odreñena je izjednačenjem hidrostatskog i dodatnog tlaka: hgR

ρσ =2

a b Slika 9. Kapilarne pojave a) elevacija b) depresija 3. Plinska embolija je pojava mjehurića zraka u krvnoj žili, slika 10. Kada se krv ne kreće, slika 10a, tlak je jednak s jedne i druge strane mjehurića: P1=P2=P. Prednja i stražnja ploha mjehurića jednako su zakrivljene, R1=R2=R, pa su i dopunski tlakovi u mjehuriću jednaki, p1= p2= p. Posljedica dopunskog tlaka je povećanje tlaka plina u mjehuriću, ali nema utjecaja na njegovo gibanje. Kada se krv giba znači da je P1 > P2. Prednja ploha mjehurića jače se zakrivljuje, zbog veće brzine krvi u središnjem prostoru krvne žile. Zbog R2 < R1 dopunski tlak p2 na prednju plohu veći je od tlaka p1 na stražnju plohu. Rezultantna sila napetosti površine djeluje suprotno smjeru protjecanja krvi i ometa gibanje. To može dovesti do zaustavljanja krvi, naročito na mjestima grananja žila i u uskim žilama.

a b Slika 10. Plinska embolija a) teukućina miruje b) tekućina teče 4. Kesonska bolest je posljedica otopljenog plina dušika u krvi. U normalnim okolnostima, u krvi uvijek ima nešto otopljenog dušika u obliku sitnih mjehurića. Količina otopljenog dušika ovisi o vanjskom parcijalnom tlaku i o topivosti dušika. Kod udisanja zraka pod


44

povišenim tlakom, povećava se koncentracija dušika u krvi. Naglim izranjanjem, sitni mjehurići se skupljaju u veće mjehure, jer je to energijski povoljnije zbog manje površine. Na taj način plin ostaje zarobljen u krvi i može uzrokovati razaranje tkiva. 5. Surfaktant je tekućina koja oblaže plućne alveole. Njena površinska napetost nije konstantna, nego ovisi o površini i to tako da se povećava s povećanjem površine, a smanjuje sa smanjenjem površine. Razmotrimo što bi se dogodilo kad ne bi bilo surfaktanta. Prilikom izdisanja, volumen alveole se smanjuje što povećava dopunski tlak koji stoga još više potiče smanjenje volumena. To vodi kolapsu alveole. No, zbog prisutnosti surfaktanta istodobno se smanjuje i napetost površine, pa to ograničava porast dopunskog tlaka. Alveola se može smanjiti samo do nekog konačnog minimalnog volumena. Prilikom udisanja alveola se širi i stoga se smanjuje dopunski tlak, što još više omogućava povećanje alveole. Taj porast volumena ograničen je istodobnim povećavanjem površinske napetosti, pa je smanjenje dopunskog tlaka usporeno. Pretpostavlja se da se djelovanje surfaktanta odvija preko monosloja fosfolipida na granici tekućina/zrak. Učinak surfaktanta prikazan je na slici 11 kao grafički prikaz ovisnosti relativne površine, A/A0, alveole o napetosti površine. Iz slike se vidi da se porast i smanjenje relativne površine ne odvijaju po istoj funkciji, odnosno da vrijednost funkcije ovisi o smjeru odvijanja procesa. Dvije krivulje zatvaraju petlju histereze. Kad se alveola skuplja, površinska napetost brzo pada i sprečava kolaps. Kad se alveola širi, porast površinske napetosti ne dopušta u početku naglo širenje, a zatim dozvoljava dovoljnu ekspanziju alveole. Na taj način zrak uspješno ulazi u pluća u završnoj fazi širenja. Novoroñenčad koja nema do kraja razvijena pluća, odnosno proizvodnju surfaktanta, ima teške komplikacije disanja.

Slika 11. Ponašanje surfaktanta


45

REOLOŠKA SVOJSTVA KRVI

Krv je disperzni sistem, tj. suspenzija koja se sastoji od velikog broja različitih krvnih stanica u plazmi. Na reološka svojstva krvi utječu samo eritrociti kojih je najviše, pa ćemo u ovim razmatranjima zanemariti prisutnost ostalih krvnih stanica. Uobičajena volumna koncentracija eritrocita, hematokrit, je oko 45%. Zbog toga je viskoznost krvi 4 puta veća od viskoznosti vode. Ovisno o tome kakve podatke o protjecanju krvi želimo doznati, odnosno na kojoj razini postavljamo naše razmatranje, možemo primijeniti različite modele tekućine na krv.

Krv - model idealne tekućine

Ovaj model smijemo rabiti samo kod energijskih proračuna. Na osnovu Bernoullieve relacije možemo odrediti udio statičkog i dinamičkog tlaka u ukupnom tlaku krvi. Mjerenja na razini srca pokazuju da se tlak krvi na izlazu iz srca mijenja u rasponu od 10 kPa do 16 kPa, pa ćemo za proračun uzeti srednji tlak u aorti od 13,3 kPa. Tlak krvi se izražava kao razlika stvarnog tlaka i atmosferskog tlaka. Kroz aortu i arterijski sustav protjecanje krvi je pulsno, sa srednjom brzinom krvi u aorti 30 cm/s. Uz poznavanje gustoće krvi, 1055 kg/m3, izračun daje srednji dinamički tlak u aorti 47,5 Pa, što je samo 0,3% srednjeg ukupnog tlaka krvi. U ostalim krvnim žilama, brzina krvi je znatno manja (oko 2 cm/s u arterijama, 12 cm/s u šupljoj veni, 0,05 cm/s u kapilarama), tako da smijemo reći da je dinamički tlak krvi zanemarivo malen u odnosu na ukupni tlak krvi. Tek kod jako suženih (sklerotičnih) žila, dinamički tlak može postati opterećenje za rad srca. Volumni rad srca u jednom srčanom ciklusu koji traje oko 1s, može se izračunati kao umnožak srednjeg tlaka i volumena krvi koja se istisne iz srca u aortu (oko 100 cm3/s):

W = p ∆V =13,3 x 103 Pa x 100 x 10-6 m3 = 1,33 J.

Utjecaj hidrostatskog tlaka na krvotok ovisi o položaju tijela. U ležećem položaju tlak je jednak u svim dijelovima organizma. Kod uspravnog položaja, tlak u glavi je za 5 kPa manji, a u nogama za 13,3 kPa veći nego na razini srca. Pad tlaka u glavi kod nagle promjene položaja tijela može uzrokovati smetnje.

Krv – model realne njutnovske tekućine

Protjecanje krvi i raspodjelu protoka u krvnom sustavu možemo proučavati modelom realne njutnovske tekućine. Model njutnovske tekućine vrijedi uz pretpostavke da je a) viskoznost konstantna, b) protjecanje laminarno, c) srednja brzina protjecanja konstantna i d) da cijev ima krute stjenke. Viskoznost krvi je konstantna, osim u nekim specifičnim slučajevima. Poiseuilleov zakon ovisnosti protoka o gradijentu tlaka u cijevi uzima u obzir samo savladavanje viskoznog trenja. U onom dijelu krvnog sustava koji ima odlučujuću ulogu u regulaciji dinamike protjecanja, a to je skup arteriola i vena, protok je stalan, a protjecanje laminarno. Iznimka je protok u aorti u fazi sistole. Dakle, smijemo primijeniti Poiseuilleov zakon. Uvjet da cijev ima krute stjenke znači da polumjer cijevi ne ovisi o tlaku tekućine koja kroz nju protječe. To kod krvi nije ispunjeno, pogotovo ne za protjecanje kroz veće


46

krvne žile, koje se znatno rastežu prilikom povećanja tlaka krvi. Protjecanje je laminarno osim u aorti i kod naglih suženja krvnih žila. Imajući na umu ova ograničenja model realne njutnovske tekućine primijenit ćemo na proučavanje krvi. Kao reološki parametar u dijagnostici koristan je hidraulički otpor. Ukupni hidraulički otpor krvnog sustava definira se kao omjer srednjeg tlaka srca (13,3 kPa) i volumnog toka na ulazu u aortu (100 cm3 /s):

rukupno = 13,3 kPa/100 cm3s-1 = 1 JO.

Jedinica JO odabrana je tako da je jednaka iznosu srednjeg ukupnog hidrauličkog otpora cijelog krvnog sustava. Kod zdravog organizma, ovisno o funkcijama ukupni otpor se mijenja izmeñu 0,25 i 4 JO, a vrijednost je odreñena uglavnom promjenom promjera krvnih žila. U analizi vrijednosti hidrauličkog otpora u pojedinim dijelovima krvotoka primjenjujemo pravila za serijski i paralelni spoj otpora u električnim strujnim krugovima. Promatramo li primjerice arterijsko stablo; srce smatramo “izvorom” tlaka, a na njega su serijski vezani otpori aorte, sustava velikih arterija, sustava manjih arterija i konačno kapilara. Tada je

rukupno

= raorta

+ rarterije

+ rarteriole

+ rkapilare

.

U tim promatranjima sustav arteriola glavni je regulator otpora u organizmu. Dotok krvi u pojedine organe regulira se promjenama polumjera arteriola.

S druge strane, promatramo li kako su pojedini dijelovi organizma, kao cjeline, spojeni na “izvor” tlaka, možemo primijeniti pravilo o paralelno spojenim otporima u strujnom krugu:

nogetrupglavaukupno rrrr

1111 ++=

Ukupna promjena tlaka u pojedinoj vrsti krvnih žila pokazuje razlike u

hidrauličkom otporu pojedinih krvnih žila, primjerice: za aortu i veće arterije ∆p = 1,3 kPa; za manje arterije i arteriole ∆p = 81,6 kPa; za kapilare ∆p = 3,4 kPa; a za vene ∆p = 0 do -2,75 kPa. Tlak u venama može biti niži od atmosferskog tlaka. Primjer proračuna hidrauličkog otpora u dvije različite krvne žile: - femoralna arterija: ∆p = 81,6 kPa, V/t = 3,75 cm3 /s, r = 16 JO - kapilara: ∆p = 3,4 kPa, V/t = 4 x 10-8 cm3 /s, r = 6 x 108 JO. Hidraulički otpor je povećan u turbulentnom protjecanju krvi, koji, to smo već rekli, nastaje na mjestima stenoza. Na mjestima suženja povećava se Reynoldsov broj pa laminarni tok prelazi u turbulentni. Turbulentni tok prati pojava karakterističnih šumova. Ta je osobina baza auskultacijske metode mjerenja krvnog tlaka u arteriji. Velikim vanjskim pritiskom na nadlakticu zatvorimo protok krvi. Na brahijalnoj arteriji slušamo protok krvi stetoskopom. Postepeno smanjujemo vanjski pritisak dok ne čujemo šum. To je trenutak u kojem se vanjski tlak izjednačio s vršnim tlakom, krvna žila se otvorila i krv je počela protjecati turbulentno što čujemo kao šum. Tlak koji očitamo pri pojavi šuma približno je jednak sistoličkom tlaku. Daljnjim smanjenjem vanjskog pritiska krvna žila se sve više širi i šum više ne čujemo. Protjecanje je postalo laminarno. Vrijednost tlaka kod koje prestaje šum se obično uzima kao dijastolički tlak.


47

Primjena modela realne tekućine omogućava takoñer izračun srednjih brzina protjecanja krvi kroz pojedine vrste krvnih žila. Za taj račun primijenimo jednadžbu kontinuiteta A v = konst., te saznanje da su pojedine vrste krvnih žila spojene serijski na srce ali paralelno meñusobno. Zbog toga protok krvi kroz aortu s poprečnim presjekom od 3 cm2 mora biti jednak protoku kroz sustav kapilara koje imaju poprečni presjek 600 cm2. Brzina protjecanja u aorti je 0,3 do 0,5 m/s a u kapilari 0,5 do 1 mm/s. Razmislite u kojim žilama krvnog sustava može doći do pojave turbulentnog protjecanja!

Nenjutnovska svojstva krvi

a) Ovisnost viskoznosti krvi o polumjeru krvne žile U većem dijelu krvotoka viskoznost krvi ne ovisi o veličini krvnih žila. Meñutim,

kod vrlo uskih žila čiji je promjer manji od 1 mm, viskoznost krvi se počinje smanjivati, a za polumjere manje od 250 µm smanjenje viskoznosti je značajno, slika 12. Ova pojava se u literaturi naziva Fahraeus-Lindqvistov efekt, odnosno “efekt zida”. Na temelju predviñanja statističke raspodjele eritrocita u krvnoj žili i eksperimentalne provjere na

D Slika 12. Ovisnost viskoznosti o polumjeru kapilare mehaničkim modelima, utvrñeno je da uz stjenke postoji zona širine oko 5 µm u kojoj nema suspendiranih čestica. Širina zone odgovara dimenzijama eritrocita i njeno postojanje je nužno ako uzmemo u obzir da eritrociti ne mogu prići stjenci bliže od 5 µm. Širina slobodne zone (eng. cell free zone) uvijek je jednaka, bez obzira na polumjer krvne žile. Prema tome, njezin udio je relativno veći u uskim žilama. U toj graničnoj zoni viskoznost je jednaka viskoznosti plazme, koja ima nešto veću viskoznost od vode. Dakle, posljedica povećanog udjela slobodne zone u volumenu žile je smanjenje efektivne viskoznosti krvi i promjena je to veća što je krvna žila uža. Postojanje tog efekta omogućuje pravilnu perifernu cirkulaciju krvi. U našem krvotoku postoje sitne kapilare čiji je promjer manji od dimenzija eritrocita. Oni ipak u njih ulaze, i to tako da promijene standardni diskoidalni oblik. Teorijskim proračunima je pokazano da je oblik eritrocita upravo zato takav da se može lako mijenjati uz minimalni potrošak energije.


48

b) Ovisnost viskoznosti o gradijentu brzine Krv se ne ponaša posve u skladu s Newtonovim zakonom viskoznosti. U području malog gradijenta brzine dolazi do odstupanja od linearne ovisnosti, što znači da viskoznost nije konstantna. slika 13. Izmjereno je rezidualno naprezanje τ0 i onda kad iščezava gradijent brzine. Ovisnost viskoznosti krvi o gradijentu brzine može se mjeriti u intervalu do 100 ms-1/m. Tako mali gradijenti brzine izmjereni su samo u velikim venama. Efekt rezidualnog naprezanja se ne opaža kad se ukloni protein fibrinogen iz krvne plazme. Ustanovljeno je da je agregacija fibrinogena uzrok nelinearne ovisnosti. Kod malih gradijenta brzine fibrinogen tvori dimere i oligomere koji uzrokuju aksijalnu akumulaciju eritrocita (tzv. “rolo” efekt). Grupiranje eritrocita u osi krvne žile otežava protjecanje krvi i povećava viskoznost. Kad se gradijent poveća, ∆v/ ∆r >100 ms-1/m, agregati proteina se raspadaju i eritrociti se nasumično raspodjeljuju po krvnoj žili, te viskoznost krvi postaje konstantna.

c) Ovisnost protoka i viskoznosti o gradijentu tlaka

Odstupanje ponašanja krvi od Poiseuilleovog zakona pojavljuje se kod malih vrijednosti gradijenta tlaka, ∆p/l, duž krvne žile, slika 14. Eksperimenti su pokazali da se protok krvi smanjuje kada pada tlak u krvnoj žili, te da sasvim prestaje kod neke granične vrijednosti tlaka koji se naziva kritični tlak zatvaranja, pkr. Ovu pojavu, koja je naročito izražena u sustavu arteriola, uzrokuje aktivno naprezanje glatkog mišićnog tkiva oko krvnih žila. Ovakvo ponašanje se očituje kod krvnih žila čije stjenke sadrže malo elastičnog tkiva. Trenutno zaustavljanje protjecanja dovodi do zatvaranja krvne žile.

τ

∆v / ∆r

τ0

Slika 13. Ovisnost tangencijalnog naprezanja o gradijentu brzine

V/t

p pkr

Slika 14. Ovisnost protoka o gradijentu tlaka


49

Nakon toga poraste tlak iznad zatvorenog mjesta i žila se ponovno otvori. Na taj način krvna žila “treperi” (eng. fluttering) i to je uobičajena pojava u nekim perifernim dijelovima krvnog sustava. Kod vrlo malih tlakova viskoznost krvi takoñer nije konstantna, nego se povećava s tlakom. d) Ovisnost viskoznosti o hematokritu

Kod zdravih ljudi hematokrit je uglavnom konstantan i iznosi 40% - 45% . Zato je viskoznost krvi četiri puta veća od viskoznosti plazme. Viskoznost krvi se povećava s porastom koncentracije eritrocita, sl.15. Dakle, povećani hematokrit znači otežano protjecanje krvi. Smanjenje hematokrita znači smanjenu viskoznost i olakšano protjecanje, ali istodobno i smanjenu oksidazibilnost krvi.

Slika 15. Ovisnost viskoznosti o hematokritu


50

TERMODINAMIKA

Znatno ranije nego što su znanstvenici spoznali narav atoma i molekula te počeli

proučavati biološke funkcije na temelju interakcija na molekularnoj razini, bio je uveden makroskopski, termodinamički opis svojstava objekata i njihove interakcije s okolinom. Termodinamika je elegantan prikaz dogañaja u prirodi, koji se temelji na opisu različitih oblika energija i njihovom prijenosu, koristeći pritom najmanji mogući broj parametara za odreñivanje sistema. Termodinamika opisuje sisteme kao cjelinu, parametrima kao što su temperatura, tlak i volumen, a procese izražava odnosima izmeñu topline, rada i izmjene energija. Zakonima termodinamike moguće je opisati transport tvari i energije u živim sistemima.

Nužno je definirati pojmove koje rabimo u termodinamičkim opisima. Odabrani dio prirode koji proučavamo je sistem. Sistem se uvijek sastoji od raspoznatljivih dijelova, podsistema, pri čemu je ponašanje svakog podsistema uslovljeno djelovanjem ostalih podsistema. Svojstva sistema, meñutim, u principu se razlikuju od svojstava svakog pojedinog podsistema. Jednostavnije možemo reći da je sistem dio cjeline koji izdvajamo radi promatranja, a sve ostalo je okolina. Sistem i okolina zajedno čine Svemir. Sistem je uvijek ograničen, a konačnost ili beskonačnost okoline odreñena je položajem opažača u odnosu na dimenzije sistema. Granica izmeñu sistema i okoline je stvarna (fizikalna) ili zamišljena. Termodinamička ravnoteža je pojam koji se koristi za opis stanja sistema, koji nije u interakciji s okolinom. Parametri sistema se ne mijenjaju tijekom vremena, iako se unutar sistema izmjenjuje energija. Ravnoteža je makroskopski pojam što znači da je sistem kao cjelina opisan nepromjenljivim parametrima, iako na razini podsistema ti parametri mogu biti promjenljivi.

Stacionarno stanje je pojam koji se koristi za ravnotežu sistema koji je u interakciji s okolinom. To je stanje sistema kod kojeg se parametri sistema ne mijenjaju tijekom vremena, iako sistem s okolinom izmjenjuje energiju. Termodinamički parametri su intenzivni i ekstenzivni. Intenzivni su oni koji ne ovise o veličini sistema, a to su, primjerice, gustoća, tlak i temperatura. Ekstenzivni parametri ovise o veličini sistema kao što su volumen, energija i masa. Funkcija stanja je ona termodinamička veličina koja ovisi samo o parametrima u konačnom i početnom stanju sistema, a ne ovisi o putu ili načinu kojim je sistem došao iz početnog stanja u konačno stanje. Naprotiv, procesne veličine ovise o načinu kojim je sistem doveden iz početnog u konačno stanje. Procesi interakcije mogu biti reverzibilni i ireverzibilni. Procesi su reverzibilni, povratni ili ravnotežni, ako se sistem, koji u procesu sudjeluje, može u bilo kojem trenutku vratiti u početno stanje i da pritom nema nikakvih promjena ni u sistemu niti u okolini. Reverzibilni procesi mogu se dogoditi, ako su razlike intenzivnih parametara sistema i okoline zanemarivo male. U svakom trenutku procesa sistem je u termodinamičkoj ravnoteži. Stoga, malim promjenama vanjskih parametara proces se može zaustaviti ili okrenuti mu smjer. U prirodi takvi procesi ne postoje. Procesi su ireverzibilni, nepovratni ili neravnotežni, ako nisu zadovoljeni gornji zahtjevi. U prirodi svi se procesi spontano odvijaju u jednom smjeru. Promjena smjera procesa moguća je samo uz vanjski utjecaj. U opisu ireverzibilnih procesa termodinamika se služi modelom reverzibilnog procesa tako da stvarni ireverzibilni proces opisuje nizom reverzibilnih procesa kao malih koraka.


51

Interakcije s okolinom mijenjaju energiju sistema. Promjene vanjske energije sistema, a to su potencijalna ili kinetička energija, proučavaju se u mehanici. U termodinamici promatramo sistem u mirovanju i opisujemo interakcije koje mijenjaju unutarnju energiju sistema. Unutarnja energija sistema je po definiciji jednaka zbroju kinetičkih i potencijalnih energija svih čestica u sistemu. Apsolutnu vrijednost unutarnje energije nije moguće izračunati, nego se mogu odrediti samo promjene unutarnje energije sistema zbog interakcija s okolinom. Prema tome koje su interakcije sistema i okoline moguće, sistem prema okolini može biti izoliran, zatvoren i otvoren. Sistem je izoliran ako s okolinom ne izmjenjuje ni energiju niti tvari. On je zatvoren, ako postoji izmjena energije, a otvoren ako se izmjenjuje i energija i tvar.

Termodinamika je izgrañena na četiri osnovna zakona.

0. zakon termodinamike

Nulti zakon termodinamike govori o toplinskoj interakciji izmeñu više sistema koja izjednačava njihove temperature. Drugim riječima ovaj zakon definira temperaturu sistema. Dva sistema A i B svaki zasebno imaju temperature jednake temperaturi sistema C. Zakon kaže da su tada i sistemi A i B na jednakoj temperaturi. To možemo zapisati u matematičkom obliku: ako je T(A) = T(C) i T(B) = T(C) onda je i T(A) = T(B)

I. zakon termodinamike Teorijski je I. zakon termodinamike formuliran polovinom 19. stoljeća. To je jedan oblik poznatog općeg principa o očuvanju energije. Promjena unutarnje energije sistema jednaka je zbroju svih energija koje je tijekom interakcije sistem predao i primio. Termodinamika u toj definiciji posebno izdvaja toplinsku energiju, Q, a sve ostale oblike energija promatra jedinstveno i uzima kao rad, W. To odvajanje potaknuto je posebnošću uloge toplinske energije u prirodi, što je izraženo u II. zakonu termodinamike.

Ako je na početku neke interakcije unutarnja energija sistema U1, a na kraju U2, zbog interakcije je došlo do promjene ∆U = U1 - U2. Označimo li s Q izmijenjenu toplinu, a s W učinjeni rad, izraz za I. zakon termodinamike je

∆U = W + Q.

Ovaj oblik zakona vrijedi za zatvorene sisteme. Unutarnja energija je funkcija stanja. Promjena unutarnje energije posljedica je promjene u srednjim kinetičkim i potencijalnim energijama čestica, što je povezano s procesima koji mijenjaju temperaturu, uzrokuju fazne transformacije ili kemijske reakcije. Na taj način unutarnja energija povezana je s pojmovima toplinski kapacitet, toplina fazne transformacije i toplina kemijske reakcije. Energija je skalarna veličina, pa se njeni doprinosi smiju jednostavno zbrajati. Zato, ako se istodobno odvija više toplinskih ili mehaničkih interakcija, promjena unutarnje energije sistema jednaka je zbroju izmijenjene topline i izvršenog rada. Važno je pritom naglasiti da W i Q nisu funkcije stanja sistema, nego su procesne veličine. Zato ih promatramo kao pozitivne veličine, ako povećavaju, a kao negativne veličine, ako smanjuju unutarnju energiju sistema.


52

II. zakon termodinamike

Prvi zakon termodinamike dozvoljava u prirodi sve procese u kojima je očuvana energija i pritom je vjerojatnost dogañanja jednaka za oba smjera odvijanja procesa. Iskustvo, meñutim, govori suprotno, odnosno da postoji preferirani smjer odvijanja procesa. Svi spontani procesi u prirodi su ireverzibilni (kamen pada, ali se ne diže, trljanjem se dlan zagrijava, ali se neće početi gibati, ako ga zagrijavamo). Ireverzibilnost procesa povezana je s toplinom i to preko iskustvene činjenice da toplina uvijek prelazi s toplijeg na hladnije tijelo. Tako je ujedno najjednostavnije izrečen II. zakon termodinamike, koji uvodi novu funkciju stanja sistema entropiju, S, (τροποσ = smjer).

Zašto toplina prelazi s toplijeg tijela na hladnije? Zašto, bez dodatka mehaničkog rada izvan sistema, neće hladnije tijelo sebe ohladiti, a ugrijati toplije? Toplina je povezana s gibanjem čestica. Sistemu u kojem čestice imaju veću količinu gibanja unutarnja energija je veća i viša je temperatura. U dodiru s okolinom niže temperature brže čestice sistema predaju dio svoje kinetičke energije sporijim česticama okoline. One se usporavaju, smanjuju temperaturu sistema, a ove druge se ubrzavaju, povećavaju temperaturu okoline. Po I. zakonu termodinamike dozvoljen je i obrnuti proces, no vjerojatnost za njega je vrlo mala.

Fenomenološka definicija entropije je povezana s neredom u sistemu. Nered je povezan s brojem mogućih ekvivalentnih stanja sistema. Entropija sistema je to veća što je sistem moguće ostvariti u više jednakovrijednih stanja. Takvo stanje sistema je vjerojatnije. II. zakon termodinamike izriče da spontanim procesom sistem prelazi u vjerojatnije stanje, ono koje ima veći nered.

S druge strane nered sistema povezan je s toplinom. Promjena reda u sistemu, uzrokovana odreñenom količinom apsorbirane topline, bit će to veća što je temperatura sistema niža. Ne mjerimo apsolutnu entropiju sistema, već promjenu izazvanu interakcijom. Po definiciji je promjena entropije za izotermne reverzibilne toplinske procese jednaka

∆S = T

Q ⇒ Q = T ∆S .

Ireverzibilni, neizotermni toplinski proces možemo prikazati kao sumu malih reverzibilnih, izotermnih koraka. Promjena entropije je zbroj promjena za svaki taj korak u intervalu temperatura od početne, T1, do konačne, T2,

∆S = ∫2

1

T

T T

dQ

Iz definicije slijedi da je povećanje entropije sistema povezano je s primanjem, a smanjenje s predavanjem topline. Budući da su spontani procesi povezani s prihvaćanjem topline to je spontanost povezana s porastom entropije. R. Clausius je 1865. godine postavio nejednadžbu

∆SSvemir > 0

izrekavši II. zakon termodinamike: Entropija svemira stalno raste. Činjenica da entropija stalno raste bitno razlikuje tu veličinu od energije. Energija

se u prirodnim procesima ne može stvarati, ona se samo pretvara iz jednog oblika u drugi. Entropija se prirodnim procesima neprestano povećava.


53

Treba naglasiti da je entropija ekstenzivna veličina, što znači da je promjena entropije Svemira jednaka zbroju promjena entropija pojedinih sistema, dijelova sistema i okoline. Spontani procesi odvijaju se tako da se ukupna entropija povećava, a to dozvoljava da se u nekom podsistemu ili okolini entropija smije smanjiti:

∆S = ∆Sokolina + ∆Ssistem > 0

Činjenica da se entropija Svemira stalno povećava odreñuje tzv. “vremensku strijelu”. To znači da vrijeme može teći samo u jednom smjeru. Zato postoji prošlost, kao stanje većeg reda i budućnost kao stanje manjeg reda. Svi oblici toplinskih interakcija mijenjaju entropiju sistema. Mehaničke interakcije, ako su reverzibilne, ne mijenjaju entropiju sistema.

Mehaničke interakcije

Mehaničke interakcije odreñuju energiju sistema koja ovisi o integralnim osobinama sistema, kinetička energija zbog gibanja čestica i potencijalna energija, jer se sistem nalazi u polju vanjskih sila. Promjene unutarnje energije uzrokovane mehaničkim interakcijama odreñene su promjenama u ponašanju i raspodjeli čestica. U mehanici se rad izračunava iz pomaka položaja hvatišta sile koja djeluje na sistem. Rad je jednostavno izračunati ako je sila konstantna tokom cijelog puta i ako je pravac nosilac sile u smjeru puta: W = F s. Ako postoji kut α izmeñu puta i pravca nosioca sile, pomak uzrokuje samo komponenta sile u smjeru puta, F cosα, W = F cosα s. to znači da je rad skalarni produkt

vektora sile i puta: sFWrr

⋅= . Ako sila nije konstantnog iznosa tokom cijelog puta, rad računamo kao zbroj radova na odijelcima puta za koje možemo smatrati da je sila konstantnog iznosa.

W = ∫∫ =⋅2

1

2

1

cos dsFsdF αrr

Za kutove 0 < α < π/2, rad je pozitivan i izvodi ga okolina na sistemu. Za α > π/2, rad je negativan i izvodi ga sistem na okolini. U biološkim sistemima interakcije se uglavnom dogañaju uz konstantni tlak i zato mijenjaju volumen sistema. Zato primjenjujemo izraz za volumni rad:

W = - p0 ∆V

gdje je ∆V = Vkonačni - Vpočetni, a p0 tlak u okolini, jer je rad definiran kao rad okoline na sistemu (rad vanjske sile). Predznak “-” znači da će kompresija, Vkon < Vpoč, povećavati, a dilatacija, Vpoč > Vkon., smanjivati unutarnju energiju sistema. Rad srca ili pluća je primjer za volumni rad. Reverzibilne mehaničke interakcije moguće su izmeñu sistema u termodinamičkoj ravnoteži (tlak unutar sistema je jednak u svim dijelovima) i okoline s neznatno većim ili manjim tlakom. Entropija sistema se tada ne mijenja. Kod ireverzibilnih mehaničkih interakcija javlja se trenje pa je za istu promjenu stanja sistema potreban veći rad nego reverzibilnim načinom. Trenjem se oslobaña toplina u sistemu, Q = Wneravnotežni - Wravnotežni, te dolazi do povećanja entropije


54

0 T

Q

T

WW ∆S ravnotezninineravnotez >=

−=

Čovjek radi, a da nema pomaka hvatišta sile, kad drži neki predmet. Mehanički rad

mišića koji drže predmet na nekoj visini jednak je potencijalnoj energiji tijela u gravitacijskom polju Zemlje. Taj mehanički rad odvija se na račun metabolizma mišića. Istodobno se zbog trenja mišići zagrijavaju, pa je mehanički rad mišića povezan s oslobañanjem topline i povećanjem entropije.

Toplinske interakcije

Toplinske interakcije odreñene su temperaturama sistema i okoline. U kinetičkoj teoriji plinova, temperatura je definirana kao mjera prosječne kinetičke energije čestica,

kT Ekin 2

3= , a kako je unutarnja energija sistema jednaka zbroju energija čestica, to

znači da viša temperatura sistema znači i veću unutarnju energiju sistema. Toplinska interakcija je reverzibilna izmeñu sistema u termodinamičkoj ravnoteži i

okoline koja ima temperaturu skoro jednaku temperaturi sistema. U prirodi su toplinske interakcije ireverzibilne i odreñene razlikom temperatura sistema i okoline. Primjena I. i II. zakona termodinamike u opisu procesa i izračunavanju parametara ovisi o uvjetima interakcije.

I. zakon termodinamike u opisu različitih oblika toplinskih interakcija

a) Zagrijavanje i hlañenje

Najčešća posljedica toplinske interakcije je zagrijavanje, Q > 0, ili hlañenje, Q < 0, sistema. Izohorni proces zagrijavanja ili hlañenja sistema je toplinska interakcija bez istodobne mehaničke interakcije. I. zakon termodinamike za taj proces je:

∆U = Q = m cv ∆T

gdje je ∆T = Tkonačno - Tpočetno, a cv je specifični toplinski kapacitet uz stalni volumen. Toplina, koju sistem razmijeni s okolinom, uzrokuje samo promjenu unutarnje energije, što se očituje kao promjena temperature sistema.

Općenito se toplinskim interakcijama zagrijavanja i hlañenja istodobno mijenja i volumen sistema. U biologiji su ti procesi izobarni. I. zakon termodinamike za taj proces je

∆U = Q - p ∆V = m cp ∆T - p ∆V,

gdje je cp specifični toplinski kapacitet uz konstantni tlak. Za čvrste tvari i tekućine cp je zanemarivo veći od cv , a za plinove je omjer cp/cv izmeñu 1,2 i 1,7. Specifični toplinski kapacitet, cp, za biološke sisteme je konstantan u intervalu fizioloških temperatura.

U ovom procesu energija toplinske interakcije uzrokuje promjenu unutarnje energije sistema i troši se na volumni rad sistema. Na temelju izraza za toplinu


55

Q = ∆U + p ∆ V = ∆ (U + pV)

za izobarne toplinske interakcije definirana je nova funkcija stanja sistema, entalpija (ταλποσ = toplo)

H = U + p V.

U termodinamičkim razmatranjima kemijskih procesa češće se mjeri promjena entalpije nego li promjena unutarnje energije. b) Fazne transformacije

Toplinska interakcija može uzrokovati promjenu faze sistema. Prijelaz iz jednog agregatnog stanja u drugo prati promjena srednje kinetičke energije molekula, odnosno slabljenje ili jačanje meñumolekularnih veza. Za prijelaz u agregatno stanje u kojem su molekule slabije vezane, treba dovesti energiju, dok se kod prijelaza u stanje smanjene gibljivosti, energija oslobaña. Pri tim se procesima ne mijenja temperatura sistema. Iznosi energija ovisit će o uvjetima procesa. Za prijelaz čvrstog u tekuće stanje smiju se zanemariti promjene volumena pa je dovedena toplina jednaka povećanju unutarnje energije

Q = ∆ U = ∆ m LT,

gdje je ∆m dio mase koja mijenja fazu, a LT je specifična toplina taljenja. U procesu isparavanja jako se povećava volumen sistema pa toplina mijenja entalpiju sistema.

Qp = ∆ H = ∆ m LPT. c) Kemijske interakcije

Biološki procesi metabolizma dogañaju se kod stalne temperature i stalnog tlaka ili kod stalne temperature i stalnog volumena. Za procese uz stalni volumen I. zakon termodinamike je Q = ∆U, a za procese uz stalni tlak Q = ∆H. Govorimo o egzotermnim reakcijama ako sistem oslobaña toplinu, jer je struktura produkta stabilnija od strukture reaktanata i o endotermnim reakcijama, ako sistem prima toplinu, jer je produkt manje stabilan od reaktanata. U praktikumu ćete mjeriti toplinu koju sistem i okolina izmijene u toplinskoj interakciji, kalorimetrijskom metodom, Q = m c ∆ T. Tom jednostavnom metodom se u dijagnostici mjeri toplinska interakcija biološkog sistema i okoline u protočnom kalorimetaru. Odreñuje se snaga toplinske interakcije biološkog sistema i okoline

Tt

mk

t

Q ∆∆∆=

∆

gdje je k kapacitivna konstanta kalorimetra, Q/∆t snaga bazalnog metabolizma, ∆m/∆t maseni tok tekućine kroz kalorimetar, a ∆T promjena temperature tekućine zbog zagrijavanja toplinom emitiranom iz biološkog sistema. Snaga bazalnog metabilizma za čovjeka je oko 100 W.

II. zakon termodinamike u opisu toplinskih interakcija U izoliranom sistemu entropija je jednaka zbroju entropija podsistema i ne ovisi o entropiji okoline. Izolirani sistem koji nije u termodinamičkoj ravnoteži bit će doveden u


56

ravnotežu samo spontanim toplinskim interakcijama meñu podsistemima, koje se odvijaju uz povećanje ukupne entropije sistema. Termodinamička ravnoteža izoliranog sistema postignuta je kad je entropija sistema maksimalna.

Zatvoreni sistem s okolinom interagira reverzibilnim toplinskim interakcijama ako su temperature sistema i okoline skoro jednake. Tsistema = T , Tokoline = T0, T ≈ T0. Dakle, promjena entropije sistema, ∆Ssis = Q/T, jednaka je promjeni entropije okoline, ∆Sok = Q/T0, pa se u tim procesima ukupna entropija ne mijenja. Koliko se poveća nered u sistemu, toliko se smanji nered u okolini i obrnuto. Procesi su u oba smjera jednako vjerojatni.

Za ireverzibilne procese u zatvorenim sistemima, T ≠ T0, pa promjene entropije sistema i okoline nisu jednake, ∆Ssis ≠ ∆Sok , pa je ∆S = ∆Ssis + ∆Sok ≠ 0. II. zakon termodinamike kaže da je uvijek ∆Sukupno > 0, bez obzira na način odvijanja procesa. Ako je je T >T0 onda je Q < 0, jer toplina izlazi iz sistema, pa je pozitivna ∆Sokoline veća od negativne ∆Ssistema a njihov zbroj je veći od nula. Za T < T0 , Q > 0, jer toplina ulazi u sistem pa je pozitivna ∆Ssistema veća od negativne ∆Sokoline. Uvijek je dakle ∆Sukupno > 0. Oba smjera procesa nisu jednako vjerojatna. Smjer interakcije odreñen je povećanjem entropije. II. zakon termodinamike dozvoljava da se entropija sistema smanji ukoliko je sistem u okolini niže temperature, ali traži da je istovremeno povećanje entropije okoline većeg iznosa. Red u sistemu uvodi se na račun većeg povećanja nereda okoline.

Stacionarno stanje bioškog sistema

Svojstva biološkog sistema promatranog kao termodinamički sistem: 1. biološki sistem je otvoren sistem 2. svi procesi su ireverzibilni 3. biološki sistem nije u termodinamičkoj ravnoteži 4. biološki sistem nije homogeni sistem Ova svojstva ga razlikuju od sistema koji inače promatrano u termodinamici, a to su zatvoreni sistemi u ravnoteži, homogeni s velikim brojem čestica, na koje se može primijeniti statistika. Prema tome za promatranje bioloških sistema termodinamička razmatranja proširena su na proučavanje ireverzibilnih procesa. Mora se primijeniti neravnotežna ireverzibilna termodinamika, gdje se promatra tijek procesa. U ireverzibilnoj termodinamici bioloških sistema govorimo o stacionarnom stanju. Svi se biološki procesi odvijaju tako da se održava stacionarno stanje sistema. Za to nužan uvjet je da je sistem otvoren, jer mora biti moguć tok energije i tok čestica. Termodinamički model biološkog sistema možemo postaviti uz neka ograničenja. Promatrat ćemo biološki sistem kao zatvoreni sistem u stacionarnom stanju, ali ćemo pritom mjeriti srednje vrijednosti termodinamičkih parametara u vremenskom razdoblju za koje možemo pretpostaviti da se ne mijenja ni masa niti entropija sistema. Promatrat ćemo čovjeka u doba zrelosti u vremenskom intervalu od 10 dana u standardnim uvjetima okoline (25°C; 105 Pa ).

Brzinu promjene unutrašnje energije, t

U∆, odredit ćemo preko doprinosa srednjih

snaga toplinskih, toplH i mehaničkih interakcija, mehH . Promjena unutrašnje energije u tom

razdoblju ovisit će o aktivnosti čovjeka. Mehanički rad mišića uvijek je praćen razvijanjem


57

topline pa mišH mijenja unutrašnju energiju sistema. Uvodimo srednju snagu metabolizma,

metH , koja povećava unutarnju energiju zbog unosa hrane. I. zakon termodinamike za

biološki sistem je prikazan zbrojem srednjih snaga pojedinih interakcija

.mišmettoplmeh HHHHt

U +++=∆

Rekli smo da je sistem u stacionarnom stanju pa je po definiciji t

U∆ = 0, a pritom su

srednje snage 0,0,0,0 ≥≤≤≤ metmištoplmeh HHHH . Dakle

.mištoplmehmet HHHH ++=

Energija dobivena metaboličkim procesima troši se na aktivnost čovjeka prema okolini i tako se održava konstantna temperatura. Od izmjerenih 100 W za srednju snagu metabolizma, u prosjeku oko 30% se troši na mehanički rad a 70% na predavanje topline. Možemo reći da se većina snage metabolizma troši na toplinske interakcije s okolinom. U hipotalamusu se nalazi centar za održavanje stalne temperature tijela.. U nestandardnim uvjetima okoline prilagodba živog sistema znači održavanje stacionarnog stanja. U tropskim uvjetima je Tokoline > Tčovjeka pa toplina iz okoline ulazi u organizam, Htopl > 0, te remeti stacionarnost stanja. Od pretjeranog zagrijavanja organizam se brani znojenjem. Znojenje je fazna transformacija vode u paru, koja zahtijeva veliku energiju Lznojenje = 2,2x106 J/kg. Energija nužna za tu transformaciju troši se iz organizma, pa se on hladi. Kad se čovjek nalazi u polarnim uvjetima Tokoline << Tčovjeka pa dolazi do pojačanog gubitka topline, Htopl << 0. Sistemu se brzo snizuje temperatura. Čovjek se brani od gubitka energije drhtanjem, stezanjem krvnih žila i primjerenom odjećom. Za čovjeka u stacionarnom stanju nema promjene entropije, jer je entropija zbog unosa hrane i metaboličkih procesa jednaka entropiji zbog izbacivanja otpadnih tvari. Kad gledamo ukupni životni ciklus entropija se poveća od roñenja do smrti. U toku rasta i razvoja organizma, entropija se povećava zbog porasta mase. Entropija se doduše smanjuje ureñenjem organizma zbog razvoja različitih tipova stanica, ali je povećanje entropije zbog rasta veće. Entropija se ponovo povećava starenjem organizma i maksimalna je u trenutku smrti. Postoji interval životnog vijeka kada se entropija ne mijenja. To je doba zrelosti, kad se povećanje entropije unosom hrane izjednačuje sa smanjenjem entropije putem izbacivanja metaboličkih produkata. Zato čovjek mora biti otvoreni sistem i mora uzimati hranu.

TRANSPORTNI PROCESI Biološki sistem je u stalnoj interakciji s okolinom izmjenom energije i izmjenom tvari. Ti ireverzibilni procesi odvijaju se u gradijentu temperature, koncentracije, tlaka ili električnog polja i vode neravnotežni sistem prema ravnotežnom stanju. Uz djelovanje dodatnih vanjskih mehanizama biološki sistem se održava trajno u neravnotežnom stanju.


58

Transport topline - spontani ireverzibilni procesi Kondukcija (voñenje) Izmeñu sistema temperature T i okoline temperature T0 moguć je prijenos topline kondukcijom, putem čvrstog tijela kao toplinskog vodiča ili direktnim kontaktom. Toplinska snaga kondukcije, H, ovisi o gradijentu temperature ∆T / ∆x u toplinskom vodiču. Ako je gradijent konstantan za vrijeme odvijanja procesa onda možemo primijeniti Fourierov zakon za kondukciju kroz toplinski vodič:

x

TAKH cd ∆

∆=

gdje je Kcd konstanta toplinske vodljivosti koja ovisi o materijalu od kojeg je načinjen toplinski vodič (za bakar iznosi 382 W/Km, za kožu je 0,015 W/Km) a A je površina poprečnog presjeka toplinskog vodiča. Kod direktnog kontakta, snaga je odreñena samo razlikom temperatura, a konstanta ovisi o kontaktnim osobinama sistema i okoline, te za ovakav oblik kondukcije nemamo analitički izraz. Proces, koji se može opisati gornjom relacijom je stacionarna kondukcija kod koje gradijent temperature ne ovisi o vremenu. Takav je proces toplinske interakcije bioloških sistema i okoline. Naime, istinito je za biološki sistem da ima stalnu temperaturu, a u interakciji s okolinom ne će promijeniti temperaturu okoline, jer je okolina beskonačno velika u odnosu na sistem. Dakle, zadovoljen je zahtjev konstantnog gradijenta temperature. Ako gradijent temperature nije konstantan, nego ovisi o vremenu, tada govorimo o nestacionarnoj kondukciji i ona dovodi do stanja ravnoteže, dakle izjednačenja temperatura sistema i okoline. Konvekcija (strujanje) Konvekcija je proces prijenosa energije sa sistema temperature T na okolinu temperature T0 preko fluida, koji okružuje sistem. U prirodnoj konvekciji sistem više temperature predaje toplinu okolini gibanjem fluida. Fluid uz sistem se zagrijava, podiže uvis, te zamjenjuje hladnim fluidom. Dakle, gravitacija je osnovni pokretač prirodne konvekcije. Ako je razlika temperatura stalna, govorimo o stacionarnoj konvekciji. Za prisilnu konvekciju, kad relativno gibanje fluida prema sistemu pospješujemo vanjskim utjecajem, npr. uz ventilator, vrijedi Newtonov zakon hlañenja:

H = Kcv (T-T0) A

Kcv je konstanta konvekcije koja ovisi o više parametara, meñu ostalim i o brzini strujanja fluida, a A je površina tijela u dodiru s fluidom. Čovjek konvekcijom, pogotovo u vjetrovitoj okolini, gubi znatno više topline nego kondukcijom. Isparavanje Toplinska snaga isparavanja znoja s površine kože je snaga fazne transformacije:

t

mLH Tp ∆

∆= ,


59

Toplinsko zračenje Svako tijelo zrači u prostor elektromagnetske valove koji nastaju prijelazima izmeñu rotacijskih i vibracijskih nivoa u molekulama. Kod standardne temperature, ti valovi su u infracrvenom dijelu spektra. Za temperaturu ljudskog tijela maksimalni intenzitet je za valnu duljinu oko 10 µm. Toplinska snaga zračenja čovjeka temperature T je prema Stefan-Boltzmannovom zakonu:

H = ε σ A T4

Emisivnost za kožu je ε = 0,98. Od toplinskog zračenja okoline temperature T0 čovjek prima snagu:

H0 = σ T40 A

jer okolina djeluje kao tzv. crno tijelo koje ima emisivnost ε = 1. Efektivna snaga koju čovjek predaje okolini je dakle:

∆H = σ A (ε T4- T40)

GIBBSOVA ENERGIJA I KEMIJSKI POTENCIJAL

U termodinamička razmatranja sistema uvodimo novu funkciju stanja Gibbsovu slobodnu energiju, koja povezuje I. i II. zakon termodinamike. Za ravnotežne, izotermne i izobarne, toplinske procese u zatvorenom sistemu Q = T ∆S, pa I. zakon termodinamike glasi ∆U = T ∆S - p ∆V što možemo napisati kao:

∆U – T ∆S + p ∆V = 0

Poštujući činjenicu da su temperatura i tlak konstantni možemo ovu jednakost prikazati i ovako:

∆ (U – T S + p V) = ∆G = 0

To znači da postoji veličina koja u ovakvim procesima ostaje sačuvana. Ta veličina je funkcija stanja sistema nazvana Gibbsova slobodna energija

G = U – T S + p V

Reverzibilne toplinske interakcije u zatvorenom sistemu odvijaju se, dakle, bez promjene Gibbsove energije. Možemo napisati

∆ (U + p V) = T ∆S

U zagradi s lijeve strane je izraz za entalpiju, što znači da je ∆H = T ∆S, odnosno da je promjena entalpije sistema kompenzirana promjenom entropije. Sistem je u stacionarnom stanju.


60

Iz gornjih relacija, Gibbsovu energiju možemo izraziti i ovako: G = H – T S. Možemo, dakle, reći da je G onaj dio entalpije koji se može iskoristiti za obavljanje rada, budući da se dio energije uvijek gubi na povećanje nereda u sistemu. Nije moguće napraviti stroj s jednim spremnikom topline koja bi se sva pretvorila u mehanički rad (perpetuum mobile I vrste).

Za ireverzibilne izobarne interakcije ∆G neće biti jednak nuli. Kako je za ireverzibilne interakcije, ∆S > 0, izraz

∆G = ∆U - T ∆S + p ∆V

mora biti manji od nula, dakle

∆Gneravnotežno < 0 odnosno G2 < G1

Neravnotežni, spontani procesi idu u smjeru smanjenja Gibbsove slobodne energije do minimalne vrijednosti. Kad je to postignuto sistem je u toplinskoj ravnoteži s okolinom i dalje su moguće jedino reverzibilne interakcije. Sistem je tada u stacionarnom stanju. Gibbsova energija povezana je s prijenosom čestica izmeñu sistema i okoline ili unutar pojedinih dijelova sistema. Energiju potrebnu da se prenese 1 mol tvari nazivamo kemijski potencijal, µ:

n

G=µ

gdje je n broj molova. Promjena Gibbsove energije zbog prijenosa čestica je:

∆G = µ ∆n

∆G će biti različit od nule ako zatvoren sistem nije u ravnoteži, te ako postoji transport tvari izmeñu otvorenog sistema i okoline ireverzibilnim procesom. U oba slučaja je ∆G < 0. U ravnotežnom stanju Gibbsova je energija minimalna.

Mehaničke interakcije i Gibbsova slobodna energija

U ovom slučaju I. zakon termodinamike glasi:

∆U = - p ∆V + T ∆S + W gdje je W mehanički rad.

Iz definicije Gibbsove slobodne energije vidljivo je da će mehanička interakcija sistema i okoline mijenjati tu funkciju:

∆G = ∆U + p ∆V – T ∆S = W

Promjena funkcije G jednaka je mehaničkom radu i po iznosu i po predznaku. Spontani su samo oni procesi za koje je ∆S > 0, odnosno je ∆G < 0 pa je i ∆W < 0. To znači da sistem spontano izvodi rad prema okolini.

U biološkim sistemima je posebno važan mehanički rad kod kojeg se mijenja tlak sistema, W = V ∆p. Biološki sistemi sadrže nehomogene otopine različitih molekula, pa


61

Gibbsovu slobodnu energiju možemo izračunati uz pretpostavku da je za biološke otopine dozvoljena uporaba zakona za idealni plin, p V = n R T. Vrijednost Gibbsove slobodne energije izračunamo tako da ireverzibilnu mehaničku interakciju razložimo na niz reverzibilnih mehaničkih interakcija i sve promjene zbrojimo. Uvrštavanjem izraza V = n R T / p u izraz ∆G = V ∆p dobijemo

∫ ∫=2

1

2

1

G

G

p

p p

dpTRnGd

Dakle, za procese kod kojih se mijenja tlak, moguće je Gibbsovu energiju napisati kao

G = G0 + n RT ln0p

p

gdje je G0 standardna Gibbbsova energija za homogeni sistem od n molova tvari pri tlaku p0 = 101,3 kPa. Za kemijski potencijal dobivamo sličan izraz:

00 ln

p

pRT+= µµ

Kod razmatranja parcijalnih tlakova otopljenih čestica u razrijeñenim otopinama možemo primijeniti zakon idealnog plina:

cRTRTV

npV ==

gdje je c koncentracija čestica u otopini. Analogno gornjim izrazima Gibbsova funkcija izražena u ovisnosti o koncentraciji molekula je

G = Go + n R T ln0c

c

gdje je c0 = 1 mol/m3. Kemijski potencijal je:

00 ln

c

cRT+= µµ

TRANSPORT U GRADIJENTU TLAKA I KONCENTRACIJE Gibbsova energija otvorenog sistema u ravnoteži je minimalna. Ako energija nije dosegla minimalnu vrijednost, onda će sistem spontanim, ireverzibilnim interakcijama smanjivati Gibbsovu energiju i to izmjenjujući tvar s okolinom ili unutar sistema, izmeñu dijelova koji nisu u ravnoteži. U biološkim sistemima te se izmjene obično dogañaju u otopini, pa je izmjena odreñena razlikom kemijskih potencijala. Procesi se dogañaju ili u gradijentu tlaka, tada govorimo o protoku, ili u gradijentu koncentracije, tada govorimo o difuziji.


62

Difuzija

Promatramo otopinu glukoze u posudi. Pretpostavimo da unutar posude postoji gradijent koncentracije glukoze. Bez vanjskih utjecaja sistem će nakon nekog vremena postići jednaku koncentraciju glukoze u cijeloj posudi. Taj spontani proces smanjenja gradijenta koncentracije i uspostave homogene koncentracije je slobodna difuzija. Dogaña se spontano u skladu s II zakonom termodinamike u svim sistemima u kojima postoji gradijent koncentracije, a objašnjiv je Einsteinovom kinetičkom teorijom. Jednostavnosti radi pretpostavimo da je gradijent koncentracije izražen samo u jednoj dimenziji u smjeru osi X. U mirnoj otopini glukoze s gradijentom koncentracije ∆c/∆x zamislimo plohu koja razdvaja područje koncentracije c1 od područja koncentracije c2 i neka je c1 > c2. Molekule glukoze su u nasumičnom termičkom gibanju i s istom

vjerojatnošću će kroz tu granicu prelaziti u oba smjera. Nakon nekog vremena, ∆n1 molekula će iz područja 1 preći u područje 2, dok će istodobno u suprotnom smjeru preći ∆n2 molekula. Razumno je zaključiti, budući da je c1 > c2, da je i ∆n1 > ∆n2. To znači da je posljedica nasumičnog termičkog gibanja rezultantni tok čestica iz područja više u područje niže koncentracije. Uz pretpostavku stacionarnog toka, a to znači neovisnosti gradijenta koncentracije o vremenu, protok čestica opisan je I Fickovim zakonom ( Adolf Fick 1855) :

Ax

cD

t

n

∆∆−=

∆∆

gdje je t

n

∆∆

brzina difuzije (broj molova koji proñe u 1 s), negativan predznak ukazuje na

smjer odvijanja procesa, a D je koeficijent difuzije. Koeficijent difuzije jednak je količini tvari koja u jedinici vremena proñe kroz jedinični presjek, ako je u otopini jedinični gradijent koncentracije. Tok čestica možemo izraziti i preko kemijskog potencijala.

AxRT

cD

t

n

∆∆−=

∆∆ µ

Kod stacionarne difuzije prisutan je stalni tok čestica, a da se pritom ne mijenja gradijent koncentracije. Potreban je, znači, proces izvan sistema koji će održavati gradijent koncentracije. U biologiji taj proces nazivamo aktivni transport. Osiguran je interakcijom sistema i okoline i zato biološki sistemi moraju biti otvoreni, a po I zakonu termodinamike aktivni transport je definiran kao pozitivni rad. Kod nestacionarne difuzije koncentracija ovisi i o prostoru i o vremenu. Protok čestica dovodi do izjednačavanja koncentracija u sistemu. Proces je opisan II Fickovim zakonom:

2

2

x

cD

t

c

∂∂=

∂∂

D ovisi o veličini molekule koja difundira i o svojstvima otapala kroz koje difundira. Einstein je konstantu difuzije za pravilne sferične čestice, polumjera a, izrazio u ovisnosti o viskoznosti otapala


63

ηπ a

kTD

6=

Difuzija čestica kroz propusnu membranu U živim organizmima difuzija se dogaña kroz membrane koje dijele dva područja homogenih koncentracija, ali meñusobno različitih. Membrane su propusne - permeabilne, polupropusne - semipermeabilne ili nepropusne - nepermeabilne. Pretpostavke za razmatranje toka kroz membranu su: a) u svakom području odijeljenom membranom koncentracija je konstantna b) membrana je propusna za otopljene molekule i c) čestice su dovoljno male da prolaze porama ili su topive u membrani pa unutar membrane slobodno difundiraju. Tok kroz membranu ovisit će o razlici koncentracija s jedne i druge strane membrane, o površini membrane i o svojstvima membrane što je izraženo parametrom P, koji se zove permeabilnost membrane

AcPt

n ∆−=∆∆

Izraz vrijedi općenito za sve mehanizme prijenosa kroz membranu. Vrijednosti P će biti različite i ovisit će o osobinama sistema. Permabilnost se može analitički izraziti ako su čestice koje difundiraju topive u membrani. Topivost čestica u otapalu i u membrani nije jednaka i zbog toga se mjeri nagla promjena koncentracije na površini membrane. Omjer koncentracija u membrani, c', i u otopini, c, naziva se koeficijent distribucije k = c'1/c1 = c'2/c2. Za opis toka kroz membranu možemo primijeniti I Fickov zakon

Acl

kDA

l

cD

t

n ∆−=′∆−=

∆∆

gdje je l debljina membrane, ∆c'/l gradijent koncentracije unutar membrane, a D koeficijent difuzije čestica u membrani. Pretpostavili smo stacionarnu difuziju unutar membrane pa je permeabilnost membrane

l

kDP = .

Transport kroz polupropusnu membranu. Biološke membrane

Biološke su membrane selektivno propusne. Kroz pore mogu proći molekule otapala i manje molekule otopljene tvari, ali ne i veće molekule. Selektivna difuzija naziva se osmoza. Promatramo sistem dviju vodenih otopina različitih koncentracija glukoze odijeljenih polupropusnom membranom, što znači da kroz pore mogu prolaziti molekule otapala, ali ne mogu molekule glukoze. U odjeljku 1 je koncentracija glukoze c1 manja od koncentracije glukoze c2 u odjeljku 2. Kako samo molekule vode mogu prolaziti kroz membranu, doći će do difuzije vode iz područja manje u područje veće koncentracije. S


64

vremenom će se uspostaviti ravnotežni protok vode. Treba odrediti uz koje uvjete će protok vode biti jednak u oba smjera. Treba uočiti da: a) će proces biti ravnotežan, ako je sistem u termodinamičkoj ravnoteži u svakom trenutku; b) protok vode iz prvog u drugi odjeljak povećava količinu vode u drugom odjeljku, pa istodobno smanjuje brzinu difuzije; c) ravnotežni protok, ∆n1-2 = ∆n2-1, postiže se kad se parcijalni tlakovi molekula vode izjednače u oba prostora. Proces difuzije povećava broj molekula vode u drugom odjeljku. Posljedica je porast parcijalnog tlaka vode u tom dijelu i smanjenje razlike tlakova izmeñu dva prostora, što usporava protok. U trenutku izjednačenja parcijalnih tlakova vode s obje strane membrane hidrostatički tlakovi u dijelu 1 i 2 nisu jednaki. Iznos razlike hidrostatičkih tlakova jednak je vrijednosti osmotskog tlaka

TRcRTV

nppp ==∆=−

gdje je c konačna koncentracija otopljene tvari u drugom odjeljku. Godine 1887. J.H. vant Hoff postavio je ovu relaciju za osmotski tlak i to za rijetke otopine za koje se može primijeniti zakon idealnog plina. Formulirao je zakon za osmotski tlak: osmotski tlak ovisi o koncentraciji onih čestica koje ne prolaze kroz membranu. Smisao osmotskog tlaka je: ako tim tlakom djelujemo na površinu onog dijela otopine s većom koncentracijom otopljenih molekula, neće doći do izjednačavanja koncentracija u dva odjeljka. Svojstva transporta molekula kroz biološku membranu 1. tvari topive u vodi prolaze slobodnom difuzijom kroz pore u membrani (I Fickov zakon za slobodnu stacionarnu difuziju) ∆n/∆t = -DA ∆c/∆x 2. tvari netopive u vodi, ali topive u lipidima prolaze lipidnim dvoslojem slobodnom difuzijom odreñenom permeabilnošću membrane ∆n/∆t = -PA∆c 3. difuzija je stacionarna, mora postojati proces prijenosa kroz membranu suprotno od gradijenta koncentracije. To je aktivni transport, koji zahtijeva potrošnju energije koja se dobiva iz kemijskih reakcija.

Transport iona kroz polupropusnu membranu Najjednostavniji model polupropusne membrane pretpostavlja da membrana propušta samo jedan tip iona, primjerice, u otopini NaCl prolaze kroz membranu samo ioni Na

+. U opis difuzije nabijenih čestica treba osim razlike koncentracija uzeti u obzir i

razliku potencijala na nabijenoj membrani. Pritom tu razliku ne odreñuju samo oni ioni koji prolaze kroz membranu već i oni za koje membrana nije permeabilna. Zbog difuzije iona i njihovog gibanja u električnom polju, govorimo o elektrokemijskom potencijalu:

µ = µ0 + RT ln c + F φ

gdje je, F = eN, Faradayeva konstanta jednaka broju naboja 1 mola jednostruko nabijenih iona, a φ je električni potencijal na mjestu membrane uzrokovan vezanim nabojem. Promotrimo jednostavan slučaj dviju otopina različitih koncentracija NaCl

odijeljenih polupropusnom membranom. Ako je membrana permeabilna za Na+ ione onda


65

će na strani manje koncentracije Na+ biti više negativnog vezanog naboja, a na strani veće

koncentracije Na+ više pozitivnog vezanog naboja na membrani. Unutar membrane

stvoreno je električno polje koje na ione djeluje silom suprotnog smjera od difuzije. Brzina difuzije i ravnotežno stanje odreñeni su rezultantnim djelovanjem električnog polja i difuzije u gradijentu koncentracije. Ravnotežni protok iona uspostavit će se kad

elektrokemijski potencijali s obje strane membrane za ione Na+ postanu jednaki:

µ1 = µ0 + R T ln c1 + F φ1 = µ2 = µ0 + R T ln c2 + F φ2

Iz ove jednakosti dobiva se Nernstova jednadžba za pozitivne ione, kojom je izražen napon preko membrane kod ravnotežnog protoka iona kroz membranu:

2

1lnc

c

F

TRU −=

Ako je c1 koncentracija iona unutar a c2 izvan stanice, možemo izračunati koliki je Nernstov napon za ravnotežni protok jednog tipa iona preko membrane neurona u stacionarnoj difuziji: 1. Protok iona natrija c1 = 15 mmol/L, a c2 = 145 mmol/L; U = + 60 mV; Na stanici neurona je izmjeren napon od -70 mV, što znači da je protok natrija daleko od ravnotežnog. Slobodnom difuzijom zbog gradijenta koncentracije i napona na membrani ioni natrija stalno ulaze u stanicu. Zato je za održavanje stacionarnog stanja stalne razlike koncentracija potreban aktivni proces, natrijeva pumpa. 2. Protok iona kalija c1 = 150 mmol/L, a c2 = 5 mmol/L; U = -90 mV. Ioni kalija "bježe" iz stanice. Kalijeva pumpa održava razliku koncentracija, a kako se napon malo razlikuje od ravnotežnog napona i K-pumpa je slabija od Na-pumpe. 3. Protok iona klora c1 = 9 mmol/L, a c2 = 125 mmol/L; U = -70 mV. Dakle za iona klora napon preko membrane jednak je naponu ravnotežnog protoka. Ioni klora nesmetano prolaze membranom bez promjene koncentracije. Nije potreban aktivni transport.

Transport iona kroz propusnu membranu

Poznato je, meñutim, da su biološke membrane istodobno propusne za različite tipove iona. Napon na membrani odreñen je koncentracijama iona i njihovim permeabilnostima. Napon je odreñen u relaciji Goldman, Hodgin, Katz za tri tipa najčešćih jednovalentnih iona u živom organizmu:

122

211

⟩⟨+⟩⟨+⟩⟨

⟩⟨+⟩⟨+⟩⟨= −++

−++

ClPKPNaP

ClPKPNaPln

F

RTU

ClkNa

ClkNa


66

ELEKTRICITET I MAGNETIZAM

Elektri čna sila i električno polje U razgovoru o strukturi materije govorili smo o četiri osnovne sile u prirodi kojima možemo opisati sve interakcije i objasniti strukture tijela i procese meñu česticama tvari. Iako je jaka nuklearna sila najjača sila, elektromagnetska sila je najvažnija u odreñenju bioloških struktura i procesa. Primjerice u medicini, da bismo objasnili procese prijenosa signala živčanim vlaknima, rad srca ili vezanje molekule antitijela na antigen nužno je poznavanje svojstava električnih i magnetskih polja molekula koje sudjeluju u interakcijama. Pojam polja već smo susreli i odredili ga kao prostor u kojem djeluje sila. Polje je odreñeno tako da je svakoj točki prostora pridijeljena odreñena vrijednost nekog fizikalnog parametra. Polje je skalarno, ako je parametar koji mjerimo skalar, odnosno vektorsko ako je parametar vektorska veličina. Skalarna polja zorno prikazujemo karakterističnim plohama, koje čine skupovi točaka s jednakim vrijednostima parametra. Zorni prikaz vektorskog polja su silnice. Možemo ih shvatiti kao putanju slobodne čestice u polju sila. Smjer vektorskog polja u nekoj točki je smjer tangente na silnicu u toj točki. Električno polje je prostor oko nabijenog tijela. Ono je vektorsko polje kad je odreñeno jakošću polja,E

r:

q

FE

rr

=

Iznos vektora jakosti električnog polja u nekoj točki jednak je iznosu sile na jedinični naboj u toj točki, a smjer je odreñen smjerom sile na pozitivni naboj. Ako je izvor električnog polja nabijeno tijelo u mirovanju govorimo o elektrostatičkoj sili i elektrostatičkom polju.

a b c Slika 1. Elektri čno polje kuglastog nabijenog tijela ili točkastog naboja a) pozitivno nabijeno tijelo je izvor polja b) negativno nabijeno tijelo je ponor polja. Električno polje točkastog naboja je radijalno simetrično. c) silnice električnog polja dipola. Francuski fizičar Charles A. Coulomb (1736.-1806.) pokazao je da iznos sile izmeñu dva kuglasta nabijena tijela u mirovanju, raste proporcionalno s produktom naboja Q1 i Q2, a smanjuje se s kvadratom njihove udaljenosti, r12:

212

21)(r

QQkrF = za

πε4

1=k


67

Konstanta proporcionalnosti odreñena je tako da se sve veličine mjere u SI jedinicama. ε je dielektrična permitivnost sredstva u kojem se nabijena tijela nalaze. Sila je najveća kad se naboji nalaze u vakuumu. Dielektrična permitivnost vakuuma je ε

0. Dielektrična

permitivnost sredstva može se napisati kao ε = ε0 εr, gdje je εr relativna dielektrična permitivnost koja pokazuje koliko je puta sila izmeñu nabijenih tijela u sredstvu manja od one u vakuumu. Iz Coulombovog zakona slijedi da je jakost elektrostatičkog polja izoliranog točkastog naboja ili kuglastog tijela, u točki koja je za r udaljena od izvora:

021)( r

r

QkrE

rr=

gdje je 0rr

jedinični vektor smjera. Kad u prostoru postoji više naboja Q1, Q2, ... Qn, jakost

rezultantnog električnog polja u nekoj točki prostora jednaka je vektorskom zbroju jakosti pojedinih električnih polja u toj točki:

∑ ∑== 02)()( i

i

iii r

r

QrErE

rrr

iEr

je jakost električnog polja naboja Qi, r i je udaljenost točke promatranja od tog naboja a

0irr

je jedinični vektor smjera tog električnog polja.

Elektri čni potencijal

Pomicanje naboja Q2 za dr u električnom polju naboja Q1 zahtijeva rad:

drr

QQdrQQEdW

r2

21

021 4

1)(

εεπ==

Rad koji treba uložiti na savladavanje električne sile radi promjene položaja naboja u električnom polju je potencijalna energija naboja Q2 u električnom polju naboja Q1. Izaberemo li da je Epot(r) nula za beskonačno udaljene naboje, onda integracijom gornje jednadžbe dobivamo izraz za potencijalnu energiju dva mirna točkasta naboja udaljena za r:

r

QQr

rpot

21

04

1)(E

εεπ=

Ako su Q1 i Q2 istog predznaka potencijalna energija je pozitivna i povećava se s približavanjem naboja, dok je za naboje suprotnog predznaka negativna i smanjuje se s približavanjem naboja. (prisjetite se objašnjenja potencijalne energije elektrona u električnom polju jezgre). Električni potencijal neke točke u električnom polju definiran je kao potencijalna energija jediničnog pozitivnog naboja, probnog naboja, u toj točki. Pretpostavimo da je Q2 probni naboj. Q1 tada protramo kao izvor električnog polja. Električni potencijal u točki na udaljenosti r od Q

1 je:

r

Q)r(

r

1

041

εεπφ = pa je Epot (r) = Q2 φ(r)


68

Prema tome, potencijalna energija nabijenog tijela u nekoj točki električnog polja jednaka je produktu naboja i potencijala u toj točki. Jedinica za potencijal je volt, V=J/C. Skup svih točaka u električnom polju koje imaju jednaki potencijal tvori ekvipotencijalnu plohu. Raspodjela ekvipotencijalnih ploha je zorni skalarni prikaz električnog polja. Plohe su okomite na silnice polja. Naboj se po ekvipotencijalnoj plohi pomiče bez utroška energije, a za prijelaz naboja s jedne na drugu ekvipotencijalnu plohu potreban je rad jednak razlici potencijalnih energija naboja na tim plohama. Rad uložen za prijelaz jediničnog pozitivnog naboja s plohe potencijala φ(A) na plohu potencijala φ(B) je napon izmeñu točaka A i B.

ABBAAB U

Q

BA

Q

W =−=−

= φφ)(E)(E potpot

Posebno su zanimljiva homogena električna polja u kojima jakost polja ne ovisi o prostornim koordinatama. Zorno to polje prikazujemo ekvidistantnim silnicama, a praktički se može smatrati da je polje unutar pločastog kondenzatora homogeno. Rad, WAB, za prijenos naboja Q iz točke A u točku B homogenog električnog polja E, jednak je svladavanju sile električnog polja na putu, rAB.

WAB = Q UAB = F rAB = E Q rAB

Pa je iznos jakosti električnog polja u homogenom električnom polju

rr

UE

AB

AB

∆∆−== φ

Promjena potencijala, ∆φ je: ∆φ= φΑ -φΒ. Jakost električnog polja i potencijal u nekoj točki homogenog električnog polja povezani su relacijom:

φφgrad

dr

dE −=−=

U homogenom električnom polju potencijal se linearno mijenja duž silnica pa se jakost električnog polja kondenzatora može izračunati kao omjer napona na pločama i njihove udaljenosti, d: E = U/d. Jakost električnog polja prostornog naboja nije uvijek jednostavno izračunati. Gauss je promatrao tok električnog polja kroz zatvorenu plohu oko različito rasporeñenih naboja. Tok električnog polja, Φ, je skalarni produkt vektora električnog polja, E

r, i

Slika 2. Ekvipotencijalne plohe izoliranog točkastog naboja su koncentrične kugline plohe. Radijalne silnice su okomite na plohe. Budući da je rad po putanji okomitoj na silu jednak nuli, pomicanjem naboja po ekvipotencijalnoj plohi ne izvodi se rad


69

vektora površine, Sdr

. Iznos vektora površine jednak je ploštini, a smjer je okomit na površinu. Gauss je pokazao da postoji jednostavan odnos toka električnog polja i količine naboja. Gaussov zakon kaže da je ukupni tok električnog polja kroz bilo koju zatvorenu plohu oko naboja proporcionalan ukupnom naboju unutar te plohe, bez obzira na njihov raspored.

∫ ==Φ0ε

QSdErr

a b

Slika 3. a) Definicija toka električnog polja b) Tok kroz bilo koju zatvorenu površinu je jednak Primjenom Gaussovog zakona, jakost homogenog električnog polja kondenzatora može se izraziti i na drugi način: E = σ /ε0, gdje je σ = Q/S površinska gustoća naboja. Jakost homogenog električnog polja unutar ploča kondenzatora ovisi, dakle, o površinskoj gustoći naboja na pločama. Primjer biološki važnog homogenog električnog polja je električno polje unutar membrane. Na membrani je izmjeren napon od -100 mV. Debljina membrane je približno 6 nm pa je jakost električnog polja unutar membrane

179

3

1061106

10100 −−−−−−−−

−−−−

======== Vmxxx

E , .

Koliko je to jako električno polje možemo shvatiti iz podatka da u zraku nastaje munja ako je jakost električnog polja 3x10 6 Vm-1, a najbolji izolator izdrži jakosti polja 107 Vm-1.

Energija pohranjena u električnom polju Kondenzator bismo mogli nabiti i tako da prenosimo naboj s jedne na drugu ploču. Pritom bismo morali uložiti rad za savladavanje sile električnog polja kondenzatora. Dakle smijemo govoriti o energiji pohranjenoj u električnom polju unutar kondenzatora. Energiju, Eel, sadržanu u električnom polju jakosti E, izračunamo kao energiju naboja Q na potencijalu φ1 ili naboja -Q na potencijalu φ2 , slika 4.

Eel = - Q φ2 = + Q φ1

212 φφ −

= QEel


70

Slika 4. Izračunavanje energije električnog polja Znamo da je napon kondenzatora U = φ2 - φ1, povezan s jakošću električnog polja U = E d, a Gaussov zakon povezuje jakost električnog polja s nabojem E = Q /σ ε0. Temeljem toga može se odrediti energija, Eel, pohranjena u jediničnom volumenu električnog polja, odnosno gustoća energije električnog polja Eel/V:

dEV

Q

V

UQ

V

Eel

22==

20

0 2

1

2Eεd

SVε

QQ

V

Eel ==

Magnetsko polje Oko naboja u gibanju javlja se dodatno polje sila, magnetsko polje. Analogno definiciji električnog polja možemo definirati magnetsko polje kao prostor u kojem djeluje magnetska sila. Električno smo polje definirali silom meñudjelovanja nabijenih tijela. Magnetsko polje izvest ćemo iz sile kojom meñusobno djeluju dva vodiča kroz koje protječe električna struja:

lId

IF r

210 2

4πµµ

=

gdje su I1 i I2 jakosti električnih struja, a d je udaljenost meñu vodičima. Ako jakost magnetskog polja definiramo kao veličinu sile na jedinični element struje u promatranoj točki (dakle I2 l = 1 Am) onda je magnetska indukcija, veličina kojom opisujemo magnetsko polje, u točki udaljenoj za d od vodiča prikazana Amperovim zakonom:

d

IB

πµ

2= .

µ =µ0 µr je magnetska permeabilnost tvari u kojoj se nalaze vodiči. Pritom je µ0 magnetska permeabilnost vakuuma, a µr = B(u tvari) / B0(u vakuumu) je relativna permeabilnost tvari. Polje oko dugačkog ravnog vodiča je radijalno simetrično i nehomogeno i stvara se u ravnini okomitoj na smjer struje, slika 5a. Silnice magnetskog polja su zatvorene krivulje što ukazuje da nema magnetskog monopola, već su sva magnetska svojstva tvari odreñena magnetskim dipolom.

φ1

φ2

+ Q

- Q


71

Magnetsko polje oko vodiča savijenog u petlju, ima jednake osobine kao i magnetsko polje oko kratkog štapićastog magneta, slika 5c. Veći broj paralelnih petlji čini zavojnicu. Magnetska polja pojedinih petlji se zbrajaju pa je polje unutar zavojnice homogeno, slika 5b. Ako je N broj zavoja u zavojnici, a L duljina zavojnice magnetska indukcija unutar zavojnice, koja je uzrokovana strujom jakosti I je:

L

INB µ=

a b c

Slika 5. Magnetsko polje a) oko ravnog vodiča, b) unutar zavojnice, c) oko štapićastog magneta.

Na vodič kojim teče električna struja, vanjsko magnetsko polje djelovat će silom, koja će ga zakretati. Ta, Amperova sila, odreñena je vektorskim produktom jakosti struje i magnetske indukcije:

BxlIFrrr

= Sila ne djeluje na vodič ako struja teče u smjeru magnetskog polja, jer je tada sinus kuta izmeñu vodiča i magnetskog polja nula. Na pojedini slobodni naboj, koji se giba, vanjsko magnetsko polje djeluje silom:

BxvqFrrr

=

Ta sila je okomita na gibanje naboja, pa će mijenjati smjer njegove putanje, a ne iznos brzine i kinetičke energije naboja. Naboj koji u magnetsko polje uleti okomito na silnice nastavit će se u polju gibati po kružnici. Na nabijenu česticu koja se giba i u magnetskom i u električnom polju djeluje Lorentzova sila:

)( BxvEqFrrrr

+=

Električno polje mijenja smjer i kinetičku energiju čestice, a magnetsko polje samo smjer kretanja. Ova su saznanja iskorištena u izgradnji akceleratora čestica. U magnetskom polju pohranjena je energija. Gustoća energije jednaka je:

µ

2

2

1 B

V

Emag =


72

Elektromagnetska indukcija

Na krajevima vodiča, koji se giba u magnetskom polju, inducira se elektromotorna sila, pa vodičem poteče struja. Ta je pojava opisana Faradayevim zakonom elektromagnetske indukcije:

tU

∆Φ∆−=

gdje je Φ tok magnetske indukcije. Tok magnetske indukcije ovisi o magnetskoj indukciji, B, i površini, S, kroz koju prolaze silnice magnetskog polja:

SBrr

⋅=Φ

Negativni predznak u Faradayevom zakonu označava da je magnetsko polje koje nastaje oko inducirane struje suprotnog smjera od vanjskog magnetskog polja. To Lentzovo pravilo pokazuje primjenu zakona o sačuvanju energije.

TVARI U STALNOM ELEKTRI ČNOM POLJU

Električno polje djeluje na naboj silom i uzrokuje njegovo gibanje. Način gibanja ovisi o veličini sile i o stanju naboja. Naboji mogu biti slobodni, kao kod metala i elektrolita, ili vezani, kao kod dielektrika.

Slobodni naboji u električnom polju Na slobodni naboj, Q, u električnom polju djeluje stalna sila električnog polja

EQFrr

= . Prema II Newtonovom zakonu posljedica tog djelovanja je jednoliko ubrzano gibanje naboja po pravcu.

Vezani naboji u električnom polju Ponašanje vezanih naboja u električnom polju predočujemo ponašanjem dipola u homogenom električnom polju. Električni dipol sastoji se od dva točkasta naboja jednakih iznosa, q, a suprotnih predznaka, na stalnoj udaljenosti, l. Opisan je električnim dipolnim momentom, p. To je vektorska veličina iznosa p = ql, a smjera od negativnog prema pozitivnom naboju. Na dipol u homogenom električnom polju djeluje par sila i uzrokuje zakretanje dipola, slika 6. Moment para sila jednak je umnošku iznosa sile i udaljenosti meñu silama.

αα sinsin EplEqFdM ===

ExpMrrr

=


73

Iznos momenta je jednak nuli za α = 0, kada je dipolni moment usmjeren paralelano električnom polju. To je stanje ravnoteže.

Svaki dipol oko sebe stvara vlastito električno polje opisano potencijalom i jakošću. Potencijal električnog polja dipola u točki P koja je daleko u odnosu na dimenzije dipola, slika 7, je zbroj potencijala u poljima oba naboja:

φ = φ+ + φ −

+−=

+−=

αεπεπεπφ

cos

11

4)(44 lrr

q

dr

q

r

q

20

2 4

1cos

4 r

rp

r

lqrr ⋅

==επ

αεπ

φ

U izvodu su zanemarene veličine male u usporedbi s r2. Potencijal u električnom polju dipola brže opada nego li oko točkastog naboja. Jakost električnog polja oko dipola, smanjuje se s 1/r3, jer je E = - dφ/dr.

Polarne molekule, to su one koje zbog nesimetrične raspodjele pozitivnog i negativnog naboja imaju dipolni moment, promatramo kao molekularne dipole. Dielektrična permitivnost, εr, mjeri uspješnost usmjeravanja dipola u smjer vanjskog električnog polja.

+q

-q

l

d

r

P

r

Slika 7. Odreñivanje električnog polja dipola

Slika 6. Sile na dipol u električnom polju. Na dipol u električnom polju djeluje par sila. Posljedica djelovanja para sila je rotacijsko gibanje


74

Polarizacija tvari u elektri čnom polju Pokretne naboje nalazimo u vodičima, i to pokretne ione u elektrolitima, a slobodne elektrone u metalima. Slika 8a. prikazuje što se dogaña kad vodič stavimo u električno polje. Elektroni ili ioni se kreću pod utjecajem električne sile te na površini tvari uzrokuju slobodni površinski naboj. Ovo inducirano električno polje u vodiču, po iznosu je jednako, a po smjeru suprotno homogenom električnom polju kondenzatora. Stoga je u bilo kojoj točki unutar vodiča jakost električnog polja nula.

a b

Slika 8. Tvari u elektri čnom polju, a) vodič u električnom polju. Influencija slobodnog naboja na površini; b) dielektrik u električnom polju Izolatori ili dielektrici su tvari bez slobodnih pokretnih naboja. Stavimo li dielektrik u električno polje kondenzatora on se polarizira, slika 8b. Jakost električnog polja kondenzatora s dielektrikom, E, manja je od jakosti polja u istoj točki kondenzatora bez dielektrika, E0 :

E = E0 – Ed = 0

0

εσσ d−

ako je površinski naboj na pločama kondenzatora, σ0, a Ed jakost električnog polja koje je inducirano u dielektriku zbog površinskog naboja na dielektriku, σd. Električno polje kondenzatora s dielektrikom je:

r

EE

ε0=

Količina površinskog naboja induciranog na plohama dielektrika ovisna je o jakosti vanjskog električnog polja σd = χ ε0 E, gdje je χ dielektrična susceptibilnost promatrane tvari. Dielektrična susceptibilnost mjeri inducirano polje Ed = χ E. Jakost električnog polja kondenzatora s dielektrikom je:

)1(0

0

χεσ

+=E

Izmeñu dielektrične susceptibilnosti i relativne permitivnosti postoji, dakle, veza: 1+χ =εr. Kvantitativna mjera polarizacije dielektrika je vektor polarizacije koji je jednak zbroju električnih dipolnih momenata u jediničnom volumenu, a po iznosu jednak je površinskoj gustoći naboja na dielektriku.


75

dA

Q

V

lqP

V

pP σ==== ∑∑ )(

rr

Polarizaciju možemo izraziti preko makroskopski mjerljivih veličina:

P = ε0 χ E = (εr - 1 )ε0 E.

Relativna permitivnost, 10 >=EE

rεεεε , opisuje ponašanje tvari u električnom polju. Velika

vrijednost εr znači da se električni dipoli lakše orijentiraju u električnom polju, pa je polje dielektrika veliko, a mjereno polje kondenzatora malo.

εεεεr za neke tvari zanimljive u medicini

organska otopina 2 - 5

glicerin 43

kravlje mlijeko 66

voda 81

tkivo mozga 85 - 90

Efikasnost polarizacije mjeri se vremenom relaksacije. To je ono vrijeme koje je potrebno da polarizacija nestane nakon isključenja vanjskog polja. Postoje različiti mehanizmi kojima se uspostavlja polarizacija, slika 9.

1. Dipolna ili orijentacijska polarizacija javlja se u sistemima s polarnim molekulama, slika 9a. Usmjeravanju električnih dipola u električnom polju protive se kaotična termička gibanja, pa susceptibilnost ovisi o temperaturi, χ ~ 1/T. Pri orijentaciji molekula dolazi do viskoznog trenja što uzrokuje zagrijavanje dielektrika. Vrijeme relaksacije je 10-10 s. 2. Elektronska polarizacija javlja se u tvarima s nepolarnim molekulama. Električno polje uzrokuje pomak elektronskog oblaka molekula, slika 9b, i time inducira električne dipole u smjeru vanjskog električnog polja. Iznos induciranog dipolnog momenta proporcionalan je iznosu električnog polja, a susceptibilnost ne ovisi o temperaturi. Vrijeme relaksacije je veoma kratko, 10-15 s. 3. Ionska polarizacija javlja se kod ionskih kristala. Električno polje uzrokuje razmicanje iona u kristalima s ionskom vezom. Pomaci su unutar dimenzija molekule ionskog kristala. Vrijeme relaksacije je 10-13s. Ovaj način polarizacije ne javlja se u biološkim sistemima.

Ove tri vrste polarizacije dogañaju se u homogenim sredinama, pa je rezultat polarizacije homogena raspodjela površinskog naboja. Biološka tkiva meñutim nisu homogena, jer su sastavljena od dijelova različitih električnih svojstava. Ta nehomogenost uzrokuje dodatne mehanizme polarizacije.


76

a b

c d Slika 9. Različiti nač ini polarizacije: a- dipolna, b- elektronska, c- fazna, d- membranska

4. Fazna polarizacija je pojava površinskog naboja na granicama dijelova tkiva s različitim električkim svojstvima, različitom dielektričnom permitivnosti, slika 9c. Može se dogoditi i unutar nekog homogenog tkiva, ako u njemu postoji područje drugačijih svojstava, primjerice tumorsko unutar zdravog tkiva. Vrijeme relaksacije je 10-3 s. 5. Membranska polarizacija je veoma važna za živa tkiva. Stanice su od okoline odvojene membranom unutar koje je jako električno polje i nalaze se u tekućini u kojoj postoje slobodni ioni, slika 9d. U početku, kad se tkivo stavi u vanjsko električno polje, električno polje lijevog dijela membrane je u smjeru a desnog dijela je suprotno od smjera vanjskog električnog polja. Pod utjecajem električnog polja, ioni izvan stanica i oni u stanici počinju se gibati prema suprotno nabijenim pločama kondenzatora, dok ih membrana ne zaustavi. Pozitivni i negativni ioni iz tekućine ostaju s vanjske strane membrane a suprotno nabijeni ioni u citoplazmi smještaju se s unutrašnje strane membrane. Tako se unutar stanice stvara jako električno polje suprotnog smjera od vanjskog polja kondenzatora. Taj proces uzrokuje smanjenje vanjskog polja. Vrijeme relaksacije je približno 10-2 s. 6. Elektrolitska polarizacija javlja se u biološkim tkivima, jer ona nisu potpuni dielektrici već posjeduju i dijelove različite vodljivosti. Slobodni ioni kreću se prema pločama kondenzatora suprotnog naboja. Ravnotežni protok iona odreñen je jednakošću protoka zbog električnog polja i protoka zbog slobodne difuzije. Nastalo električno polje je suprotnog smjera, pa se cijelo tijelo ponaša kao jedan veliki inducirani dipol. Vrijeme relaksacije je veće od 1 s.


77

Polarizacija u izmjeničnom električnom polju Unutar kondenzatora spojenog na izvor izmjeničnog napona U = U0 sin ω t nastaje izmjenično električno polje. Polarizacija dielektrika u izmjeničnom električnom polju kondenzatora ovisit će o meñusobnom odnosu perioda (T) napona i vremena relaksacije mogućih mehanizama polarizacije u dielektriku. Jedan smjer električnog polja traje T/2. Ne će se dogoditi oni mehanizmi polarizacije koji imaju vrijeme relaksacije dulje od T/2. Relativna permitivnost tvari će se smanjiti za taj doprinos ukupnoj polarizaciji. Slika 10, prikazuje kako relativna permitivnost ovisi o frekvenciji izmjeničnog električnog polja. Što je frekvencija viša to će manje mehanizama polarizacije ostati djelotvorno. Na najvišim frekvencijama dogaña se još samo elektronska polarizacija

Kratkovalna dijatermija

Kratkovalna dijatermija je metoda zagrijavanja biološkog tkiva izmjeničnim električnim poljem. Biološko tkivo je u izmjeničnom električnom polju unutar ploča kondenzatora. Biološki sistem ima i osobine vodiča (zbog pokretnih iona) i osobine dielektrika (zbog polarnih molekula). Stoga će vanjsko električno polje uzrokovati izmjeničnu struju iona, Ia u fazi s naponom te zakretanje dipola, što se može prikazati polarizacijskom strujom, Ip, s faznim kutom od π/2 prema naponu, slika 11a. Vektorski zbroj tih struja odreñuje struju I, koja ima fazni kut φ prema naponu, slika 11. Snagu električnog polja koja se oslobaña kao toplina u biološkom tkivu odreñuje aktivna komponenta struje, koju možemo izraziti kao Ia = Ip tgδ = (U0 /Rc) tgδ. Zbog kretanja iona u viskoznom sredstvu tkivo se zagrijava. Snaga, P = U Ia, električnog polja oslobaña se u biološkom tkivu u obliku topline. Gustoća te snage dana je izrazom:

δεεω tgEV

Pref 0

2=

Snaga zagrijavanja ovisi o efektivnoj jakosti i frekvenciji električnog polja (E2

ef , ω) i o polarizacijskim i vodičkim osobinama tkiva (εr, tgδ). Kratkovalna dijatermija je metoda zagrijavanja tkiva u visokofrekventnom električnom polju frekvencije izmeñu 30 MHz i 1 GHz. Tkivo u izmjeničnom električnom polju kondenzatora može se prikazati ekvivalentnim strujnim krugom, slika 11b. Kondenzatori C1 i C2 modeliraju elektrode, koje osiguravaju izmjenično električno polje u tkivu. Izbijanjem tih kondenzatora struja prolazi kroz otpornike R1 i R2, kojima modeliramo kretanje iona u izmjeničnom električnom polju.

Slika 10. Ovisnost εεεεr = f (ωωωω).


78

Kondenzator C opisuje dielektrična svojstva tkiva tj. rotaciju molekularnih dipola u električnom polju. Kretanje iona i rotacija dipola u viskoznom sredstvu uzrokuju zagrijavanje tkiva. Vrtnje dipola vode, zbog kratkog vremena relaksacije, značajno doprinose zagrijavanju tek kod velikih frekvencija, većima od 1 GHz.

a b Slika 11. a) Fazni dijagram tkiva u izmjeničnom električnom polju. b) Ekvivalentna shema tkiva i elektroda za kratkovalnu dijatermiju

Tvari u magnetskom polju

Magnetsko polje djeluje na tvari zbog njihovih magnetskih osobina. Kako električna tako i magnetska svojstva tvari posljedica su grañe atoma. Rekli smo da osnovne grañevne jedinice atoma, elektroni i nukleoni u jezgri, imaju spin. Zbog toga imaju pridruženi spinski magnetski moment zbog kojeg se ponašaju kao magnetski dipoli u vanjskom magnetskom polju. Magnetske osobine atoma, a onda i tvari koju ti atomi čine ovise o magnetskom momentu elektrona, dok je doprinos magnetskih momenata onih jezgara koje imaju spin, oko tisuću puta manji. Elektron je u atomu opisan s dva magnetska momenta: spinskim magnetskim momentom (zbog spina) i orbitalnim magnetskim momentom (zbog gibanja oko jezgre). Spinski magnetski moment imaju samo oni atomi ili molekule koji imaju nesparene elektrone. Takve čestice zovemo paramagnetskim. Ovisno o elektronskoj konfiguraciji, atomi različitih tvari ponašat će se u magnetskom polju na različite načine. Unutar zavojnice kojom prolazi električna struja inducirano je magnetsko polje indukcije B0. Stavimo li u zavojnicu neku tvar, vrijednost indukcije će se promijeniti na B. Odnos ta dva polja je relativna permeabilnost tvari, µr = B / B0. Promjena vanjskog polja uzrokovana je interakcijom unutrašnjeg polja magnetskih dipola i vanjskog polja B0. Unutrašnje magnetsko polje mjerimo vektorom magnetizacije

V

pP mag

mag∑=

rr


79

Dakle, ukupni dipolni moment tijela jednak je vektorskoj sumi svih dipolnih momenata u

jedinici volumena. magPr

je vektor u smjeru ili suprotno od smjera vanjskog magnetskog

polja, te govorimo o paramagnetskim i dijamagnetskim osobinama tvari. S obzirom na veličinu magnetske permeabilnosti, µr, tvari su podijeljene na: a) dijamagnetske - µr, ≤ 1, primjer H2O

b) paramagnetske - µr ≥ 1, primjer Al

c) feromagnetske - µr >> 1, primjer Fe.

Dijamagnetizam Sve molekule imaju dijamagnetska svojstva, ali su ona kod molekula s posebnim strukturama zasjenjena mnogo jačim paramagnetskim ili feromagnetskim osobinama. Dijamagnetska svojstva prevladavaju kad su elektronski spinovi spareni, jer tada nema rezultantnog spinskog magnetskog momenta. U tom slučaju magnetska svojstva odreñena su samo orbitalnim magnetskim momentom elektrona. Kako se ponaša dijamagnetska tvar u homogenom magnetskom polju? Uključivanje napona uzrokuje porast magnetske indukcije od nule do vrijednosti B0. Ta

promjena, dB/dt, će po Faradayevom zakonu td

dU

Φ−= inducirati elektromotornu silu

odnosno električno polje td

Bdr

td

BdSrElE ππ 22 −=−== , dakle

dt

dBrE

2−= . Na

elektron će djelovati sila ovog električnog polja i uzrokovati promjenu količine gibanja

(primjena II Newtonovog zakona) td

vdm

td

BdreeEF =−==

2. Promjena brzine elektrona

uzrokovat će promjenu kutne količine gibanja, 0

2

2B

revrmL −=∆=∆ . Zbog toga će se

promijeniti magnetski moment elektrona i ta promjena prema Lentzovom pravilu je suprotnog smjera od svog uzroka. Dakle, magnetsko polje inducirano unutar tvari u suprotnom je smjeru od vanjskog magnetskog polja i stoga se vanjsko polje smanjilo:

B = B0 – Bind , Bind ∼10-6 B0.

Paramagnetizam Paramagnetizam pokazuju tvari s nesparenim elektronskim spinovima. To su atomi ili molekule koje imaju neparan broj elektrona ili elektrone s paralelnim spinovima u različitim orbitalama. Spinski magnetski momenti elektrona reagiraju s vanjskim magnetskim poljem. Paramagnetske su neke molekule (kao NO2, NO), neki ioni (kao Mn7+, Cu2+) ili slobodni radikali (primjerice nastali iz vode H• i •OH). Dok nema vanjskog magnetskog polja molekularni magnetski dipoli su nasumično orijentirani u prostoru, pa nema makroskopskog vektora magnetizacije. U vanjskom magnetskom polju dipoli se orijentiraju u smjer magnetskog polja uzrokujući vlastito magnetsko polje B' = χm B. χm je magnetska susceptibilnost i karakterističan je parametar za odreñenu tvar, koji mjeri efikasnost usmjeravanja magnetskih dipola u magnetskom polju. Veličina ovisi o


80

temperaturi, jer termička gibanja ometaju usmjeravanje dipola. To znači da će na višim temperaturama trebati jače polje za jednako efikasno usmjeravanje dipola. Magnetska indukcija u zavojnici s paramagnetskom tvari je:

B = B0 + B' , gdje je B' ∼ 10-4 B

Feromagnetizam Elementi iz VIII, IX i X grupe i njihove legure posebno jako reagiraju na magnetsko polje. Ti elementi su prelazni metali, koji imaju karakterističnu strukturu elektronskog omotača. Vanjske orbitale više ljuske pune su prije unutarnjih orbitala d i f. Posljedica toga je da postoji specifična ureñenost orijentacije spinskih magnetskih momenata. Jake sile izmeñu tih molekularnih magnetskih momenata uzrokuju njihovu orijentaciju u pojedinim dijelovima tvari čak i onda kad nisu u vanjskom magnetskom polju. Govorimo o magnetskim domenama, koje se ponašaju kao makroskopski magnetski dipoli. Izvan vanjskog magnetskog polja dipolni momenti pojedinih domena proizvoljno su orijentirani. Prvo izlaganje te tvari magnetskom polju usmjerava dipolne momente svih domena u smjer polja. Nastaje trajna magnetizacija. Feromagnetizam je jako ovisan o temperaturi. Na visokim temperaturama termička gibanja usrednjuju utjecaj spinskih magnetskih momenata, pa feromagnetici postaju paramagnetici. Feromagnetici se mogu demagnetizirati zagrijavanjem ili stavljanjem u jako magnetsko polje suprotnog smjera. Magnetska indukcija u feromagneticima je:

B ≈ 103 B0

Tkivo u promjenljivom magnetskom polju Induktotermija

Biološka tkiva ponašaju se kao dijamagnetske tvari. Posljedica je to sastava tkiva u kojima je najviše molekula vode. Induktotermija je terapijska metoda za zagrijavanje tkiva izmjeničnim magnetskim poljem frekvencije 10 do 40 MHz.

Slika 13. Induktotermija : a - ekvivalentni strujni krug, b - vrtložne struje unutar tkiva

a b


81

Tkivo je smješteno unutar zavojnice. Izmjenični napon U = U0 sin ω t na koji je zavojnica spojena inducirat će promjenljivo magnetsko polje B = B0 sin ω t odreñeno magnetskim tokom Φ = Φ0 sin ω t. U tkivu će biti inducirane vrtložne, Foucaultove, struje iona, koje će zbog viskoznog trenja zagrijavati tkivo. Povećanje unutrašnje energije jediničnog volumena tkiva bit će pritom jednako gustoći osloboñene snage izmjeničnog magnetskog polja:

22efBk

V

P ωγ= ,

gdje je γ električna vodljivost promatranog tkiva, Bef je efektivna vrijednost magnetske indukcije, a ω frekvencija vanjskog magnetskog polja. Najviše topline razvija se u tkivu koje ima veliku vodljivost: krv, limfa, prokrvljena tkiva i mišići. Uočite razliku prema kratkovalnoj dijatermiji, gdje se dobro griju tkiva slabije vodljivosti, posebno masno tkivo. U ovom slučaju ekvivalentni krug za tkivo je transformator. Primar transformatora je zavojnica u koju stavljamo tkivo. Tkivo je predstavljeno sekundarom transformatora s omskim otpornikom. Iz svojstava transformatora poznato je da je prijenos energije to bolji što je induktivnost, L, veća. Prema tome, više će se zagrijavati tkivo koje pokazuje induktivna svojstva.

Tkiva u izmjeničnom elektromagnetskom polju

James Clark Maxwell (1831.-1879.) je saznanja iz elektriciteta i magnetizma na osnovu Faradayevih pokusa objedinio u četiri diferencijalne jednadžbe klasične elektrodinamike.

I. ∫ =⋅εQ

SdErr

II. ∫ =⋅ 0SdBrr

III. ∫ ∫ ⋅−=⋅ SdBdt

dldE

rrsr

IV. ∫∫ ⋅+=⋅ SdEdt

dISdB

rrrr

000 εµµ

Prva jednadžba je Gaussov zakon koji govori o naboju kao izvoru električnog polja, odnosno o postojanju električnog monopola. Iz II jednadžbe slijedi da nema magnetskih monopola; magnetske su osobine vezane uz dipole, a polja su prikazana zatvorenim silnicama. III jednadžba je poopćenje Faradayevog zakona elektromagnetske indukcije. Svako promjenljivo magnetsko polje inducirat će promjenljivo električno polje, no nije nužno postojanje naboja da bi došlo do elektromagnetske indukcije. U IV jednadžbi sadržan je Amperov zakon magnetske indukcije, ali i veliki doprinos Maxwella elektrodinamici. Oko vodiča kojim protječe električna struja inducira se magnetsko polje, ali i svako promjenljivo električno polje će inducirati pojavu magnetskog polja. Taj je efekt veoma slab i bilo ga je teško mjeriti. Simetričnost induktivne veze izmeñu magnetskih i električnih promjenljivih polja navela je Maxwella da predvidi postojanje elektromagnetskih valova. On je definirao elektromagnetski val kao prijenos energije, elektromagnetskom indukcijom povezanih polja, električnog i magnetskog, kroz prostor. Pritom vektori električnog i magnetskog polja i vektor brzine čine Kartezijev koordinatni


82

sustav. Na temelju svoje teorije Maxwell je izveo izraz za brzinu prostiranja tih valova. Brzine u vakuumu, c, i u sredstvu, v, dane su relacijama:

µεµε11

00

== vc

Iz vrijednosti ε0 = 8,85 x 10-12 C2 N-1 m-2 i µ0 = 4π x 10-7 Tm A-1, izračunata brzina valova u vakuumu je 3 x108 ms-1. U doba oko 1870.godine, kada je Maxwell razvio teoriju, brzina svjetlosti bila je već poznata, pa je na temelju jednakosti razultata Maxwell zaključio da je i svjetlost elektromagnetski val. Maxwell je tada tvrdio da postoje i drugi elektromagnetski valovi različitih valnih duljina i osobina osim svjetlosti i da je moguće nabijene čestice koje titraju promatrati kao izvor elektromagnetskih valova. Eksperimentalno je postojanje elektromagnetskih valova proizvedenih električnim titrajima (danas poznati kao radiovalovi) dokazao Hertz, nažalost 7 godina nakon Maxwellove smrti. Einsteinov citat o Maxwellovim jednadžbama: U Maxwellovoj teoriji nema materijalnih činilaca. Matematičke jednadžbe izražavaju zakone koji govore o stvaranju elektromagnetskog polja. U Newtonovim zakonima povezani su jako razdvojeni dogañaji. Povezano je ono što se dogaña ovdje s uvjetima koji postoje tamo. Kod Maxwella, polje sada i ovdje ovisi o polju neposredno do i neposredno prije. Jednadžbama predviñamo dogañaje malo dalje u prostoru i malo kasnije u vremenu, i to prema znanju što se dogaña ovdje i sada. Maxwellove jednadžbe povećavaju naša saznanja u malim koracima a njihovo sumiranje povezuje udaljene dogañaje. U Newtonovoj teoriji, naprotiv, su samo veliki koraci.

Mikrovalna dijatermija

Mikrovalna dijatermija je još jedna metoda zagrijavanja biološkog tkiva. Tkivo se nalazi u elektromagnetskom polju frekvencije oko 3 GHz. To je područje energije elektromagnetskog zračenja koja ne ionizira tkivo, već mijenja rotacijska stanja dipolnih molekula. U mikrovalnoj dijatermiji mogu se zagrijavati samo tvari koja imaju polarne molekule. U biološkom tkivu to su molekule vode, te će stoga jačina zagrijavanja tkiva ovisiti o sadržaju vode. Apsorbirana energija zadovoljava Beerov zakon It = I 0 e - α x. (It je intenzitet apsorbiranog vala, I0 je intenzitet upadnog vala, α je koeficijent apsorpcije tkiva a x je debljina promatranog tkiva. Intenzitet je energija elektromagnetskog vala po jedinici površine u jedinici vremena.) Koeficijent apsorpcije je velik za mišiće i krv, a mali za mast i kosti. Stoga će se tom metodom posebno dobro zagrijavati dobro prokrvljena tkiva. Duž granica pojedinih tkiva efekt zagrijavanja je pojačan stojnim valovima. Stojni valovi nastaju interferencijom upadnih i reflektiranih valova, a na reflektirajućim površinama uzrokuju lokalizirano povećanje energije. U ureñaju za mikrovalnu dijatermiju, elektromagnetski valovi frekvencije 2450 MHz, (λ je 12 cm) emitiraju se preko antene. Izvor visokofrekventnih titraja elektrona je magnetron.


83

ELEKTRI ČNA STRUJA

Za pokretanje naboja i zadržavanje njihovog gibanja potreban je izvor energije. To su ureñaji, jednim imenom nazvani izvori elektromotorne sile odnosno napona, koji će neku vrstu energije pretvarati u električnu energiju. Izvori se razlikuju prema osnovnim energijama koje transformiraju: baterije, suhe ćelije, solarne ćelije, termočlanci, električni generatori, ali svi imaju jednu zajedničku osobinu. Na polovima izvora je stalna razlika potencijala, koja će, ako polove spojimo vodičima, uzrokovati stalni tok naboja. Sjetite se, električna struja je usmjereno gibanje naboja, a odreñena je jakošću

t

QI

∆∆= . Ohmov zakon

R

UI = vrijedi samo za pravilne homogene vodiče. Otpor vodiča

ovisi o njegovom obliku i materijalu od kojeg je izrañen: A

LR

ρ= .

Biološki vodiči ne zadovoljavaju zahtjeve Ohmovog zakona: oni nisu ni homogeni, niti su geometrijski pravilni. Nosioci struje nisu slobodni elektroni već ioni u tjelesnim tekućinama. Otpornost tkiva, ρ, jako će ovisiti o količini tekućine u tkivu pa je zato

ρkrvi < ρmekog tkiva << ρkosti .

Za promatranje djelovanja električne struje na biološki organizam moramo se ograničiti na manje volumene, koje ćemo moći smatrati homogenim sistemima, slika 14a. No, za ta razmatranja moramo uvesti pojam gustoće struje

A

Ij =

pa se Ohmov zakon za homogeni volumni element tkiva može izraziti:

AR

Uj

1= odnosno EE

j σρ

==

ako napon zrazimo preko jakosti električnog polja, i uvrstimo izraz za otpor pravilnog vodiča, pritom je σ provodnost tkiva. To je diferencijalni oblik Ohmovog zakona. Gustoća struje u nekom malom volumenu biološkog tkiva ovisi o električnim svojstvima tog fragmenta i jakosti lokalnog električnog polja. Iz definicije gustoće struje slijedi da će biti velika na mjestima malog presjeka biološkog vodiča a mala tamo gdje je ploština presjeka velika. Gustoća struja na ulazu u tkivo i na izlazu ovisi o veličini elektroda kojima je tkivo uključeno u strujni krug. Veličina i oblik elektroda ovise o namjeni, slika 14b.

. 1

1 A

Ij ulaz= , a

22 A

Ij izlaz=

pa budući je Iulaz = I izlaz, odnos gustoća struje je: 1

2

2

1

A

A

j

j= .


84

Znamo da je snaga potrebna za prijenos naboja q kroz vodič na naponu U:

UIUt

qP == ,

a energija, W, potrošena u tom dijelu električnog strujnog kruga ovisna o otporu R je I2R t. Za nehomogeni biološki vodič, osloboñena energija u pojedinim dijelovima tkiva ovisit će o električnoj otpornosti u tom dijelu. Efekt zagrijavanja biološkog vodiča pomoću električne struje ovisi o gustoći osloboñene energije:

tjV

W ρ2=

gdje je V volumen homogenog dijela biološkog vodiča. Koliko će se pojedini dijelovi grijati ovisit će o električnoj provodnosti i o tome kako su u odnosu na elektrode spojeni pojedini nehomogeni dijelovi, paralelno ili serijski. Kod paralelnog spoja najviše se griju dijelovi s najmanjim otporom, a kod serijskog spoja s najvećim otporom.

Prolaz izmjenične struje kroz tkivo

Na krajevima vodiča u promjenljivom magnetskom polju, prema Faradayevom zakonu, inducirana je promjenljiva elektromotorna sila. Ako se elektromotorna sila mijenja po relaciji U = U0 sin ω t, onda se i električna struja kroz taj vodič mijenja na jednaki način. To je izmjenična struja, I = I 0 sin ω t. Za gradsku mrežu u Hrvatskoj U0 = 310 V, a ν = ω/2π = 50 Hz. Snaga izmjenične struje koja zagrijava vodič je P(t) = I U = I0 sin ω t U0 sin ω t = = I 0

2 R sin2 ω t. Srednja vrijednost snage unutar jednog perioda je:

RIdttRIP 20

220 2

1sin == ∫ ω

a

l

i u Slika 14. a) Biološki vodič unutar kojeg je definirana gustoća struje za mali volumen. b - Različiti oblici elektroda u uporabi električne energije u terapiji.

a

b


85

Iz te relacije definirane su efektivne vrijednosti izmjenične električne struje i napona kao one vrijednosti istosmjerne struje koje bi u danom otporniku proizvele jednaku snagu,

20I

I ef = i 20U

U ef = . Kad u krug izmjenične struje nije uključen samo omski otpornik,

snaga izmjenične struje ovisi i o faznom kutu, ϕ, izmeñu struje i napona: ϕcos2

100UIP = .

Kad razmatramo ponašanje tkiva u krugu izmjenične struje treba uzeti u obzir: 1. da je tkivo široki nehomogeni vodič koji istodobno pokazuje i dielektrična svojstva, i 2. da biološki vodič provodi struju ionima, a uključujemo ga u strujni krug preko metalnih elektroda. Dakle, treba osigurati dobar kontakt na kojem će doći do promjene vodljivosti putem elektrona na vodljivost putem iona. Ponašanje tkiva u krugu izmjenične struje promatrat ćemo preko modela. U ekvivalentnoj shemi tkivo možemo prikazati kao kombinaciju poznatih elemenata strujnog kruga: otpornika, zavojnice i kondenzatora. Stoga treba najprije promotriti ponašanje tih elemenata pojedinačno u strujnom krugu izmjenične struje. A. otpornik Struja kroz otpornik je u fazi s naponom na njegovim krajevima. To znači da se maksimalne vrijednosti jakosti struje pojavljuju kod maksimalnog napona.

U = U0 sin ω t , I = I 0 sin ω t , 0

0

I

UR = ,

200UI

P =

a b Slika 15. a) otpornik u krugu izmjenične struje b) fazni dijagram struje i napona B. kondenzator

Slika 17. a) kondenzator u krugu izmjenične struje; b) fazni dijagram struje i napona

~ U0

I0

a b

~

R

U0 , I0

C


86

Struja u ovom strujnom krugu i napon na kondenzatoru nisu u fazi. Struja je ispred napona, jer treba vremena da se napuni kondenzator i uspostavi napon na pločama.

U = U0 sin ωt, I = I 0 sin (ωt+2

π),

CRc ω

1=

Rc je kapacitivni otpor. Struja i napon se razlikuju u fazi za π/2, pa je srednja snaga

jednaka nuli. Energija koja se za vrijeme nabijanja kondenzatora sprema kao energija električnog polja u kondenzatoru, vraća se za vrijeme izbijanja kondenzatora u izvor. Kondenzator se ne grije. Zato se kapacitivni otpor naziva jalovim otporom. C. zavojnica Izmjenična struja koja inducira napon u zavojnici kasni za njim u fazi za π/2:

U = U0 sin ωt, I = I0 sin (ωt - π/2) a RL = Lω

RL je induktivni otpor. Zbog razlike u fazi struje i napona za π/2 srednja snaga je jednaka nuli i zavojnica se ne zagrijava. Njezin induktivni otpor je jalov.

Slika 17. a) zavojnica u krugu izmjenične struje; b) fazni dijagram struje i napona Ukupni otpor strujnog kruga u kojem nisu samo otpornici nego i kondenzatori i zavojnice ne možemo odrediti jednostavnim zbrajanjem pojedinačnih otpora (serijski spoj) ili pojedinačnih vodljivosti (paralelni spoj). Zbog razlike u fazi otpore zbrajamo kao vektore, te tako dobiveni ukupni otpor zovemo impedancija strujnog kruga. Kapacitivni i induktivni otpor odreñuju kako će impedancija ovisiti o frekvenciji izmjenične struje. Želimo li odrediti kojim elementima možemo modelirati tkivo potrebno je izmjeriti impedanciju i fazni kut tkiva. Za mjerenje impedancije tkiva, Z, koristi se Wheatstoneov most kojem je u jednoj grani otpornik zamijenjen promjenljivom impedancijom, Z0, slika 18. Mjerenjem je odreñeno da se fazni kut razlikuje za različita tkiva, ali da je uvijek pozitivan. Vrijednosti faznih kuteva za neka tkiva su: koža 54°, živac 64°, mišić 65°. Tako veliki pozitivni fazni kut ukazuje na doprinos kapacitivnih, a nedostatak induktivnih osobina u električnim svojstvima tkiva. Zbog toga ne upotrebljavamo zavojnicu za modeliranje tkiva. Ovisnost impedancije tkiva o sastavu tkiva i fiziološkoj aktivnosti, sadržana u otpornosti različitih tkiva, ukazivat će takoñer i na pogodnosti zagrijavanja tkiva. Biološko tkivo je loš vodič. Otpornosti tkiva su velike: za mišiće 2 Ωm, za krv 1,8 Ωm, za masno tkivo 33 Ωm, a za kožu čak 105 Ωm. (usporedite s otpornošću dobrog vodiča,

~

L

U0

I0

a b


87

bakra, 1,6x10-6 Ωm). Meñutim, otpornost tkiva ovisna je o stanju i fiziološkoj aktivnosti tkiva. Primjerice, otpornost kože smanji se na 103 Ωm, ako se pojača znojenje. Ispravni ekvivalentni model za tkivo u krugu izmjenične struje odreñujemo prema tome kako će se impendancija tkiva mijenjati s frekvencijom izmjenične struje, slika 19.

a b Slika 18. a) Wheatstoneov most za mjerenje impedancije biološkog tkiva, b) dijagram struje i napona, fazni kut

Slika 19. Ovisnost impedancije biološkog tkiva o frekvenciji izmjenične struje

Sve do frekvencije 107 Hz impedancija je velika i slabo ovisna o frekvenciji. U malom opsegu frekvencija izmeñu 107 Hz i 109 Hz impedancija naglo opada i zadržava se na nekoj stalnoj manjoj vrijednosti s daljnjim porastom frekvencije. Smanjenje impedancije s frekvencijom direktno je ovisno o kapacitivnim svojstvima tkiva. U tkivima je nosilac kapacitivnih svojstava stanična membrana. Za visoke frekvencije, zbog pada kapacitivnog otpora, utjecaj staničnih membrana više nije značajan za protjecanje struje, što znači da u ukupnoj vodljivosti tkiva sudjeluje i prostor unutar stanice. Mjerenja ovisnosti impendacije o frekvenciji za odumrla tkiva pokazala su potpunu neovisnost

Z

log ω

∆Z

107 109

~

Z Z0

ϕ

U0

I0


88

impedancije o frekvenciji što pokazuje da membrane nisu više nabijene. Ta se saznanja koriste u odreñivanju vitalnosti organa za presañivanje. Tkivo treba tako modelirati da se može simulirati krivulja ovisnosti Z = f(ω) za ω>107 Ηz. Promotrimo ovisnost impendancije o frekvenciji za pojedine elemente u strujnom krugu izmjenične struje: A. otpornik Otpor otpornika ne ovisi o frekvenciji kao što je vidljivo iz slike 20.

Z = R, ϕ = 0

Slika 20. Ovisnost otpora otpornika o frekvenciji B. kondenzator Ovisnost otpora kondenzatora o frekvenciji prikazana je hiperbolom. Za velike frekvencije impendancija teži nuli, a za male frekvencije raste prema beskonačnosti. Z = 1/ωC, ϕ = π/2 Slika 21. Ovisnost kapacitivnog otpora o frekvenciji C. serijski spoj otpornika i kondenzatora U serijskom spoju je impedancija Z2 = R2 + 1/ω2C2. Za velike frekvencije impendancija postaje jednaka omskom otporu, slika 22. Za struje veoma malih frekvencija impedancija raste prema beskonačno velikim vrijednostima. Taj dio ovisnosti ne odgovara ponašanju realnih tkiva. Prema tome ovim modelom moguće je opisati ponašanje tkiva kod prolaza izmjenične struje velikih frekvencija.

RCR

Rtg

CRZ c

ωϕ

ω11

2222 ==+= za ω→∞, Z ≈ R , a za ω →0, Z→∞.

Slika 22. Ovisnost impedancije serijskog spoja o frekvenciji izmjenične struje

R C

R

ω

R

Z R

ω

C

Z

ω

Z


89

D. paralelni spoj otpornika i kondenzatora

Slika 23. Ovisnost impedancije paralelnog spoja o frekvenciji izmjenične struje

U paralelnom spoju vektorski se zbrajaju vodljivosti, a impedancija je recipročna

vrijednost tog zbroja. Tako dobivamo 222

111

++++

====

CRRZ odnosno

2122

2

1/−−−−

++++==== CR

Z ωωωω . Kad

kroz ovaj spoj prolazi struja male frekvencije impedancija je jednaka omskom otporu, slika 23. Kod prolaza struje velikih frekvencija impedancija je zanemariva. To znači da ovaj model opisuje ponašanje tkiva kad njime prolazi izmjenična struja male frekvencije Dakle, da bismo dobro modelirali realno biološko tkivo moramo upotrebiti neku kombinaciju ova dva spoja. E. model tkiva:kombinacija serijskog i paralelnog spoja otpornika i kondenzatora

Slika 24. Kombinacija otpornika i kondenzatora, najbolji model ponašanja tkiva u krugu izmjenične struje Model prikazan na slici 24 dobro opisuje ponašanje biološkog tkiva u krugu izmjenične struje. Za ω = 0, Z = R + R’, a za ω → ∞, Z→R’. Pomoću modela možemo lakše analizirati razloge koji mijenjaju tok krivulje disperzije impedancije Z(ω) za neko tkivo. Kao dijagnostički parametar mjeri se ∆Z, jer je to karakteristična veličina za pojedina zdrava tkiva. Patološke promjene uzrokuju smanjenje ∆Z. Prilagoñavanje vrijednosti otpora i kapacitivnog otpora u modelu i time

R

C

Z

ω

R' R

C

Z

R+R'

R'

ω

2/122

2

1−

+= CR

Z ω tgϕ = R/RC= ω CR za ω = 0, Z = R , a za ω →∞ , Z→0


90

simuliranje novog toka krivulje može pomoći u analizi uzroka patoloških promjena u tkivu.

Opći efekti pri prolazu elektri čne struje kroz biološki organizam

Prolaz istosmjerne električne struje kroz organizam uzrokuje elektrolizu i zagrijavanje. Elektroliza uzrokuje lokalne promjene koncentracije iona u tkivu što dovodi do izmijenjenih kemijskih reakcija i do dodatnih podražaja na živčani sustav. Ti će podražaji ovisiti o jakosti struje. Efekti izmjenične struje frekvencija do 20 kHz, ne razlikuju se od efekata istosmjerne strujeTo su: jakost struje dogañaj u tkivu 1 mA prag osjetljivosti našeg organizma 20 mA grč mišića; ruka ne ispušta elektrode

100 mA fibrilacija ventrikula je posljedica poremećene depolarizacije

> 100 mA osjet boli i nesvjestica 6 A kratkotrajno - defibrilacija, impuls života duljeg trajanja - smetnje u disanju, zastoj srčanog mišića, smrt To su efekti električne struje ako su jakosti izmjerene na površini tijela. Ako su elektrode unutar organizma onda će 100 do 1000 puta manje jakosti struje izazvati elektrošokove u mikrookolini. Prolaz izmjenične struje frekvencije veće od 20 kHz ima u tkivu samo toplinske učinke. To je razlog da je struja već davno iskorištena u dijatermiji. Prva metoda zagrijavanja strujom potječe od D’Arsonvala iz 1890. godine.U toj metodi tijelo je dio strujnog kruga izmjenične struje frekvencije 10 kHz. Ta je metoda brzo napuštena, jer su pri tim frekvencijama efekti elektrolize još jako naglašeni.

Reografija - pletizmografija

Reografija je metoda mjerenja otpora tkiva pri prolazu visokofrekventne izmjenične struje (frekvencija je oko 140 kHz). Kod te frekvencije kapacitivni otpor tkiva je velik, a to znači da područje unutar stanice ne sudjeluje u provoñenju struje. Impedancija tkiva ovisi o otporu, a on je prvenstveno odreñen prokrvljenošću tkiva. Tom metodom možemo pratiti pulsnu hemodinamiku u arterijskom krvotoku, te rad različitih organa: srca, pluća, jetre, bubrega. Posebno se uspješno koristi za ispitivanje krvotoka u glavi.

Slika 25. Krivulja reoencefalograma 1.dolazak krvi u aortu u fazi sistole, 2. maksimalna ispunjenost aorte krvlju, 3. moment zatvaranja zalistaka izmeñu klijetke i aorte, 5.pražnjenje aorte. Nagib 1.-2. govori o funkcionalnosti aorte, ako je strm otpor je malen, ako je više polegnut otpor je povećan i ukazuje na sklerotičnu krvnu žilu.

1

2

3

4

5


91

Otpor se može mjeriti direktnom metodom, pomoću Wheatstoneovog mosta, ili indirektno, mjerenjem pada napona koji je proporcionalan otporu tkiva. U indirektnoj metodi koristimo četiri elektrode. S dvije elektrode tkivo uključimo u krug izmjenične struje. Druge dvije koristimo za mjerenje pada napona na promatranom tkivu tako da na njih priključimo voltmetar. Pulsno protjecanje krvi kroz tkivo uzrokovat će periodičku ovisnost pada napona o vremenu, pa su mjerenja u reografiji komplementarna EKG i EEG. Mjerenjem napona na arterijama u glavi dobivamo REG krivulje iz kojih možemo saznati o radu srca, slika 25. Mjerenje otpora na venama u nozi može dati neke podatke o disanju, jer optok krvi u venama ovisi o ritmu disanja.


92

Elektrodijagnostika i magnetodijagnostika

Električna su polja posljedica postojanja naboja. Izvori električnih polja u našem

organizmu su slobodni ioni u staničnim i meñustaničnim tekućinama te vezani ioni na staničnim membranama i makromolekulama. Kako su ta polja vremenski promjenljiva, oko njih se induciraju i magnetska polja. Mjerenje ovih električnih i magnetskih polja temelj je metoda elektrodijagnostike i magnetodijagnostike.

Električne pojave u živom organizmu prvi je još 1791. godine proučavao Luigi Galvani. On je ispitivao djelovanje statičkog elektriciteta na kontrakciju mišića žabljih krakova i ustanovio povezanost električnih signala i mišićne aktivnosti. Hermann von Helmholtz je sredinom devetnaestog stoljeća proučavao procese kontrakcije mišića, mjerio vrijeme transmisije signala kroz živac, te objasnio osjete vida i slušanja električnim impulsima u mozgu. Svoje eksperimente izveo je na čovjeku. On je izmjerio vrijeme koje protekne izmeñu podražaja i kontrakcije mišića radi tog podražaja. R. Caton je 1875. godine registrirao električnu aktivnost površine mozga, a električne promjene vezane uz rad srčanog mišića prvi je promatrao A.C.Waller 1887. godine. Dakle, krajem devetnaestog stoljeća bilo je jasno da se rad živčanog sistema bazira na prijenosu električnih signala. Električni signali koji nastaju na mjestu podražaja prenose informaciju u mozak, ili centralni živčani sistem. Oni, s druge strane, šalju informacije električnim signalima u periferiju organizma i tako upravljaju radom organa. Bez obzira koliko je jak podražaj amplitude signala su uvijek jednake ali se mijenja frekvencija signala. Elektrodijagnostika je metoda koja se osniva na mjerenju tih električnih impulsa. U fiziologiji impulsi su prikazani kao promjena napona u vremenu i nazvani akcijski potencijali.

Akcijski potencijal

Sve tekućine u našem tijelu su elektroliti s različitim koncentracijama iona unutar i izvan stanice. Ta su dva prostora električki neutralnih otopina odijeljena polupropusnom staničnom membranom. Membrana je polupropusna, jer neki ioni, kao Na+ ili K + mogu kroz nju slobodnije prolaziti u jednom nego li u drugom smjeru. Zato u stanju mirovanja postoji napon preko membrane stanice, “potencijal mirovanja”. Na nepodraženom neuronu, ovisno o vrsti, potencijal mirovanja iznosi -60 mV do -80 mV. Unutar stanice je negativan potencijal a izvan stanice je dogovorno odabrano da potencijal bude nula. Tako je napon na membrani numerički jednak potencijalu unutar stanice i odatle fizikalno neispravan termin akcijski potencijal umjesto akcijski napon. No, kako je prvi naziv uobičajen u medicini i mi ćemo se njime služiti, imajući na umu da je riječ o naponu.

U stanju mirovanja membrana je polarizirana. Ravnotežna raspodjela iona i napon preko membrane odreñeni su s tri uravnotežena procesa i to slobodnom difuzijom topivih iona kroz membranu suprotno gradijentu njihove koncentracije, slobodnim kretanjem iona u električnom polju membrane i aktivnim transportom iona u smjeru gradijenta koncentracije.

Podražaj neurona promijenit će napon preko membrane. Stimulacija može biti kemijska, toplinska, mehanička ili električna. Rezultat je uvijek depolarizacija membrane na mjestu podražaja. Naime, podražaj do 500 puta povećava permeabilnost membrane za Na+, pa ioni natrija ulaze u stanicu i mijenjaju raspored naboja na membrani. To je proces depolarizacije membrane na tom mjestu. Napon naraste na +50 mV. Val depolarizacije


93

putuje duž aksona dok se ne depolarizira cijeli akson, slika 1. Istodobno na mjestu pobude počinje repolarizacija tako da se poveća propusnost membrane za K+ ione koji izlaze iz stanice te se ponovo uspostavlja negativni napon mirovanja. Ovakav način širenja signala zove se elektrotoničko voñenje.

Tablica 1

Koncentracije iona kalija, natrija, klora i proteina unutar i izvan aksona

Izvan stanice Unutar stanice Na+ 145 mmol/l 15 mmol/l K+ 5 mmol/l 150 mmol/l Cl- 125 mmol/l 9 mmol/l Proteini- 40 mmol/l 145 mmol/l

Akcijski potencijal je prikazan funkcijom ovisnosti napona preko membrane o

vremenu u cijelom ciklusu od stimulacije do potpune repolarizacije aksona, slika 2. Amplituda akcijskog potencijala neurona odreñena je Nernstovim naponom za ravnotežni protok iona natrija, odnosno iona kalija. Oblik akcijskog potencijala, trajanje impulsa i transport iona su drugačiji za stanice srca i mišićne stanice, koje se takoñer mogu stimulirati (sve takve stanice zovu se električki pobudljive), slika 4. Tijekom depolarizacije i repolarizacije akson se ponaša kao električni dipol koji je opisan s vremenski promjenljivim električnim dipolnim momentom.

Svaki stanični dipol je izvor promjenljivog električnog polja.

Slika 2. Akcijski potencijal neurona: 1- podražaj, otvaranje kanala za ulaz iona natrija u stanicu – depolarizacija; 2- zatvaranje kanala za ione natrija; 3 – otvaranje kanala za izlaz iona kalija iz stanice; 4 – repolarizacija; 5 – hiperpolarizacija – nije moguća nova pobuda; 6 – potencijal mirovanja

Slika 1 Širenje akcijskog potencijala elektrotoničkim voñenjem: model aksijalnog kabla, brzina širenja je veća kad je kapacitet membrane manji a promjer aksona veći, te kad je omjer membranskog otpora i otpora citoplazme veći


94

Brzina prijenosa signala je jako povećana u živčanim vlaknima koja imaju mijelinsku ovojnicu, slika 3. Mijelin je lipidno-proteinska struktura koja prekriva akson tako da na pravilno rasporeñenim mjestima duž vlakna ostavlja gole točke koje se zovu Ranvierovi čvorovi.

Slika 3. Širenje akcijskog potencijala kroz aksone obložene mijelinom – skokovito voñenje.

Ioni se kreću samo kroz citoplazmu, jer mijelin djeluje kao izolator koji ne dozvoljava protok iona kroz membranu. Depolarizacija se zato dogaña samo na Ranvierovom čvoru i ona je dovoljna da poveća napon na susjednom čvoru i izazove pojavu akcijskog potencijala. Znači da se potencijal ne širi kao val, nego "skače" od jednog čvora do drugog što znatno ubrzava prijenos signala. Ovaj način širenja signala zove se skokovito ("saltatory") voñenje. Za motorička vlakna obložena mijelinom brzina prijenosa signala je 130 m/s (to su živci vezani na naše mišiće) dok je za mala neobložena senzorna vlakna samo 0,5 m/s (živci koji prenose bol). Brzina prijenosa signala proporcionalna je promjeru neurona koji su kod čovjeka jako mali. Zato je mijelinska ovojnica neophodna za motoričke neurone. S druge strane, primjerice, divovska lignja ima tako debele motoričke neurone da je i bez mijelina brzina prijenosa signala dovoljno velika.

b c Slika 4. Akcijski potencijal a) aksona; b) stanice skeletnog mišića; c) stanice srčanog mišića

a


95

Elektromiografija

Elektromiografija je metoda kojom se prati ponašanje mišića za vrijeme pokreta. Mjere se akcijski potencijali pri kontrakciji. Mišić se sastoji od mnogo motornih jedinica. Svaka se sastoji od jednog neurona iz mozga ili leñne moždine koji se grana i povezuje pomoću motornih jedinica od kojih svaka sadrži 25 do 2000 mišićnih vlakana. Potencijal mirovanja preko membrane mišićnog vlakna je sličan onom kod živčanog vlakna. Mišićna aktivnost, kontrakcija, potaknuta je akcijskim potencijalom koji se s aksona preko motornih završetaka prenosi u mišićna vlakna. U elektromiogramu, EMG, se snima aktivnost nekoliko mišićnih vlakna. Za ispitivanja kod visokih frekvencija često se koriste zvučne detekcije, jer je te promjene teže pratiti na osciloskopu. Svaki oblik akcijskog potencijala ima karakterističan zvuk. Na primjer kod fibrilacija čujemo pucketanje, kratki signali su visoki tonovi a dulji su duboki i metalni tonovi.

Stimulacijska EMG

Mišić stimuliramo pravokutnim električnim impulsom, napona 100 V a trajanja od 0,1 ms do 0,5 ms, te registriramo vrijeme potrebno da doñe do kontrakcije. Sve motorne jedinice će biti aktivirane istodobno što znači da je vrijeme stimulacije dobro definirano. Onda možemo mjeriti brzinu širenja podražaja. Ako stimuliramo i senzorne živce možemo mjeriti i refleksni odziv.

Elektrokardiografija

Srce je pumpa s veoma jednostavnim zadatkom, treba oksigeniranu krv iz lijeve pretklijetke i klijetke poslati u organizam, prihvatiti deoksigeniranu krv u desnu pretklijetku te ju iz desne klijetke poslati u pluća na oksigenaciju, i tako stalno svake sekunde bez zastoja cijeli životni vijek. Kako?

Ritmička akcija srca kontrolirana je električnim signalom specijalnih mišićnih stanica lociranih na desnoj pretklijetki. To je sinoatrijalni čvor (SA) ili pacemaker. Električni signal u SA-čvoru uzrokuje depolarizaciju živca i mišića obje pretklijetke, te izaziva kontrakciju atrija i pumpa krv u ventrikule. Odmah slijedi repolarizacija atrija. Električni signal dalje prelazi u atrioventrikularni čvor (AV), koji inicira depolarizaciju

Slika 5. Elektri čni vektor srca – model dipola; silnice i ekvipotencijalne plohe električnog polja prostiru se i izvan tijela


96

desne i lijeve klijetke. One kontrahiraju i šalju krv u plućnu i sistemsku cirkulaciju. Tada i ventrikularni živci i mišići repolariziraju i ciklus ide ponovo. Mišići i živci srca mogu se promatrati kao izvori električnog polja, koji su zatvoreni u električni vodič (trup). Jasno je da baš nije spretno direktno mjeriti električne veličine na srcu već se to radi na različitim točkama na površini tijela. Vremenska ovisnost napona izmeñu dviju elektroda je elektrokardiogram (EKG). Odnos izmeñu zadaće srca da pumpa krv i električnih napona na koži moguće je razumjeti ako se promatra širenje akcijskog potencijala u zidu srca. Rezultantna struja u torzu uzrokuje pad potencijala. Silnice električnog polja i ekvipotencijalne linije prikazane su na slici 5. Napon mjeren na površini tijela ovisi o položaju elektroda. Oblik potencijalnih linija odgovara električnom polju dipola. U nekom drugom trenutku srčanog ciklusa srce i opet možemo usporediti s dipolom samo će smjer i iznos dipolnog momenta biti drugačiji. To ukazuje da stanične dipole srca za vrijeme depolarizacije možemo aproksimirati jednim dipolom koji zovemo električni vektor srca. Električni dipolni model za srce prvi je predložio A.C.Waller 1889 godine. Električni vektor srca unutar jednog ciklusa mijenja i svoj iznos i smjer. Za vrijeme jednog srčanog ciklusa vrh vektora opisuje u prostoru složenu krivulju koja se može rastaviti u tri petlje od kojih svaka opisuje drugi proces: P-petlja je depolarizacija atrija, QRS-petlja je depolarizacija ventrikula i unutar toga sakrivena repolarizacija atrija, T-petlja je repolarizacija ventrikula, slika 6a.

a b Slika 6. a) prostorna krivulja koju ocrtava vrh elektri čnog vektora srca; b) Eindovenov trokut: osnovni položaji elektroda, projekcija dipolnog momenta na spojnicu elektroda proporcionalna je naponu Razlike električnih potencijala koje mjerimo izmeñu dvije elektrode na površini tijela su proporcionalne trenutnoj projekciji vektora srca na taj pravac, slika 6b. Kako se vektor mijenja u vremenu tako se mijenja i projekcija. Površinske elektrode za snimanje EKG su smještene na lijevoj ruci (LA) desnoj ruci (RA) i lijevoj nozi (LL). Takvu konfiguraciju je na prijelazu stoljeća uveo u klinička razmatranja holandski fiziolog Willem Einthoven. Pokazao je da napon izmeñu bilo koje dvije točke u tom trokutu daje relativnu amplitudu i smjer električnog dipolnog vektora u frontalnoj ravnini.

3312

21 44

)(),(

r

Rp

r

rrprrU

επεπ

rrrrrrr ⋅=

−=


97

Veličina akcijskog potencijala na razini srca je oko 120 mV, ali ono što mjerimo na površini tijela je oko 1 mV, jer potencijal opada s r2. Stavljanjem elektroda u vrhove istostraničnog trokuta na površini prsnog koša projekcije vektora srca na stranice trokuta proporcionalne su razlikama potencijala u vrhovima trokuta. Tada je

UI = VLA – VRA = p cos Θ UII = VLL – VRA = p cos (Θ − 60ο) UIII = VLL – VLA = p cos (120o - Θ)

ako je Θ kut izmeñu dipola i pravca kroz RA i LA. Danas se elektrode stavljaju na ruke i noge. Ovisnost napona o vremenu zove se elektrokardiogram, slika 7. Mjerenja se izvode tako da se koristi više elektroda u tri meñusobno okomite ravnine, slika 6a.

Slika 7. Elektrokardiogram: periodička funkcija napona o vremenu; QRS val daje najviše informacija o položaju električnog dipola srca Matematičkom obradom, mogu se iz niza elektrokardiograma dobiti projekcije tri petlje u ravninama, te rekonstruirati položaj električnog vektora. Ta metoda se zove vektor elektrokardiografija.

Elektroencefalografija

Električna aktivnost neurona u kori mozga može se mjeriti preko vrlo slabih, ali kompleksnih signala. Amplitude su samo 20 do 80 µV a frekvencije signala izmeñu 2 i 40 Hz. Porijeklo ovih signala nije još do kraja razjašnjeno. Snimanje se izvodi stavljanjem većeg broja (10 do 20) srebrnih elektroda, simetrično, po površini lubanje. Referentne elektrode su na ušima. Signali su vrlo slabi, tako da je udio šuma značajan. Kod snimanja se mora izbjeći interferencija s električnim signalima iz okoline (treptaj oka može uništiti sliku). Signali su svrstani u grupe prema frekvencijama i nazivaju se valovi: ∆ − 0,5 do 3,5 Hz ; Θ − 4 do 7 Hz; α − 8 do 13 Hz; β − više od 13 Hz. Iskustvo je pokazalo da se ovi valovi mogu koristiti u dijagnostici i kirurgiji. (epilepsija znatno mijenja EEG, tumori smanjuju električnu aktivnost mozga, može se odrediti razina anestezije).

t


98

Magnetodijagnostika

To je skup metoda koje koriste magnetska polja generirana u srcu i mozgu za dobivanje dijagnostičkih informacija. Već je ranije spomenuto da struje iona u našim tkivima stvaraju lokalna magnetska polja. Ta polja su izrazito slaba, ali se današnjim ureñajima mogu mjeriti.

Magnetokardiografija

Metoda je naročito korisna za ispitivanje vodljivih dijelova srca koji se nalaze dublje u tkivu srca pa je za električna ispitivanja nužna uporaba katetera. Posebno se primjenjuje za proučavanje AV čvora koji je dublje u srcu pa su električni signali preslabi i ne vide se na elektrokardiogramu.

Magnetsko polje oko srca je približno 5 x 10-11T, što je 105 puta slabije od zemaljskog magnetskog polja. Za mjerenja tih polja potrebne su magnetski dobro izolirane prostorije i vrlo osjetljivi detektori. Ureñaj koji se koristi za detekciju je SQUID (Superconducting Quantum Interference Device). U njemu se nalaze zavojnice koje mjere elektromotornu silu induciranu magnetskim poljem na temelju Faradayevog zakona elektromagnetske indukcije. Zavojnice su uronjene u tekući helij (4 K) radi znatno veće osjetljivosti na niskoj temperaturi. Zato je moguće mjeriti magnetska polja do 10-14 T. U ovoj metodi se elektrode ne stavljaju na tijelo, nego se detektori raspodijele u 36 točaka neposredno iznad prsnog koša. Simultano se mjeri elektromotorna sila inducirana magnetskim poljem u vrlo kratkom intervalu srčanog ciklusa kad je vodljivi dio tkiva aktivan. Upotrebom računala može se odrediti trodimenzionalna raspodjela izvora magnetskih polja u srcu. To onda predstavlja sliku vodljivog tkiva u srcu.

Za usporedbu, kod elektrokardiografije mjeri se napon kao ukupni doprinos pojedinačnih staničnih dipola srca, a kod magnetokardiografije se mjeri inducirani napon pojedinih lokalnih izvora magnetskih polja. Magnetokardiografija prikazuje bolju informaciju o strukturi i dinamici dijelova srca.

Magnetoencefalografija

Magnetoencefalografija je metoda mjerenja magnetskih polja u mozgu. Metoda je razvijena 90-tih godina prošlog stoljeća i posebno je korisna za istraživanje funkcija mozga. Promatra se kako se pojedina područja mozga aktiviraju pri obavljanju različitih aktivnosti. Za snimanje tih signala rabi se „kapa“ s ravnomjerno rasporeñenim SQUID-ovima, koji mjere induciranu elektromotornu silu u aktiviranim točkama. S druge strane, istražuju se promjene u signalima uzrokovane različitim neurološkim i psihijatrijskim poremećajima. Metoda se pokazala uspješnom u višegodišnjem projektu mapiranja funkcija mozga. Magnetska polja koja mjerimo u mozgu su oko 10-13 T.


99

OPTIKA Optika proučava svjetlosne pojave. Svjetlost je elektromagnetski val, područja valnih duljina 400-800 nm. Fotoni svjetlosti interagiraju s receptorima u našem oku. Apsorpcijom fotona, dolazi do pretvorbe energije u električne impulse koji pobuñuju vidne centre u mozgu. Objekti koje gledamo su izvori svjetlosti ili mnogo češće reflektori svjetlosti.

Geometrijska optika

Način kako točkasti izvor svjetlosti stvara sjenu predmeta, sugerira da se svjetlo širi pravocrtno, pa je model za opisivanje širenja svjetlosnih valova u geometrijskoj optici zraka. Zraka je idealizacija infinitezimalno uskog snopa, a pokazuje smjer gibanja valne fronte. Promatramo li fiziologiju gledanja možemo zaključiti da prostornu raspodjelu onoga što gledamo odreñujemo uz pretpostavku pravocrtnog širenja svjetlosti. U geometrijskoj optici se zanemaruje priroda svjetlosti a promatra se samo smjer širenja. U geometrijskoj optici potrebno je definirati paralelni snop svjetlosti i optičko sredstvo. Snop je paralelan ako je širina snopa zanemariva prema udaljenosti na kojoj promatramo dogañanja i ako se intenzitet snopa ne mijenja s udaljenošću točke promatranja od izvora. Parametar kojim razlikujemo dva optička sredstva je indeks loma definiran kao omjer brzina svjetlosnog vala u vakuumu, c, i brzine u sredstvu, v,:

v

cn =

Na granici dva sredstva svjetlosni snop se djelomično reflektira a djelomično prolazi u drugo sredstvo i pritom se lomi. Ta dva ponašanja opisana su dobro znanim zakonima refleksije i loma.

Zakon refleksije kaže da će kut refleksije, Θr, biti jednak kutu upada, Θu, pri čemu su upadna, reflektirana zraka i okomica na granicu dvaju sredstava u jednoj ravnini, slika 1. Kada zraka prolazi u drugo sredstvo mijenja smjer prostiranja, jer se mijenja brzina vala. Kut loma odreñene je Snellovim zakonom:

Slika 1. Refleksija i lom svjetlosti


100

realan izvor - realna slika

virtualan izvor - realna slika

realan izvor - virtualna slika

virtualan izvor - virtualna slika

a b

c d

2

1

1

2

sin

sin

v

v

n

n

l

u ==ΘΘ

Refleksija i lom svjetlosti na granici sredstva uzrokuju stvaranje slike izvora svjetlosti. Slike mogu biti realne i virtualne. Realna će slika nastati na mjestu gdje se nakon loma i refleksije ponovo sijeku zrake svjetlosti iz neke točke izvora, slika 2a, 2c. Virtualna slika je rezultat svojstva našeg organa za gledanje da uvijek promatramo širenje svjetla u pravcima. Kad nakon refleksije ili loma divergentan snop ulazi u naše oko mi ćemo sliku izvora stvoriti u produžetku realnih zraka, slika 2b, 2d. Slika 2. Realna i virtualna slika Iz realnog izvora S1 izlazi divergentan snop svjetlosti. a) nakon loma snop je konvergentan pa u sjecištu zraka nastaje realna slika S2. b) ako je izlazni snop divergentan, nastala slika je virtualna. Kad u izvor dolazi konvergentan snop govorimo o virtualnom izvoru S1. c) nakon loma konvergentan snop će stvarati realnu sliku. d) divergentan snop će stvarati virtualnu sliku.

Postoje dva tipa optičkih sistema koji stvaraju slike lomom ili refrakcijom svjetlosti. Dioptar je granica koja razdvaja dva sredstva različitog indeksa loma pa slika izvora nastaje u drugom optičkom sredstvu. Upotrebom optičkih leća možemo stvarati slike u istom optičkom sredstvu. Geometrijska optika se koristi geometrijskim zakonima pa je za odreñivanje veličina potrebno definirati koordinatni sustav i pozitivni smjer optičke osi. Ishodište koordinatnog sustava postavljeno je na mjestu dioptra ili leće, a pozitivni smjer osi je u smjeru rasprostiranja svjetlosti. Nužno je napomenuti da zakoni geometrijske optike vrijede za paraaksijalne zrake, a to su one iz uskog snopa uz optičku os sustava.

Ravni dioptar

Ravni dioptar je ravna granica koja razdvaja dva optička sredstva s indeksima loma n1 i n2. Neka je n1 > n2. Na slici 3 su prikazane dvije izabrane zrake iz izvora, S1. Jedna od njih je optička os, zraka 1, na kojoj se nalazi izvor a druga je proizvoljna, zraka 2. Zraka 1 se ne lomi na granici sredstava, jer upada okomito na tu granicu u točki O. Zraka 2 dolazi na granicu u točki A i mijenja smjer u drugom sredstvu. Sliku izvora možemo promatrati u


101

smjeru produžetaka transmitiranih zraka, gledajući iz drugog sredstva. Slika koju stvara ravni dioptar uvijek je virtualna. Indeks loma drugog sredstva je veći nego prvog. Sredstvo s većim indeksom loma ima veću optičku gustoću. Iz zakona loma slijedi da će promjena smjera zrake na granici dva sredstva biti takva da je kut u optički gušćem sredstvu manji od kuta u optički rjeñem sredstvu. Za male upadne kutove (paraaksijalne zrake) vrijedi α ≈ sin α ≈ tg α. Smije se, dakle, sin αu zamijeniti s tg αu, što je iz slike jednako h/x1, odnosno sinαl zamijeniti s tgαl što je jednako h/x2. Jednadžba konjugacije za virtualnu sliku koju od realnog izvora stvara snop transmitiranih zraka je:

2

2

1

1

x

n

x

n= n1 x2 = n2 x1

Slika 3. Nastanak slike u ravnom dioptru

Kad svjetlo iz optički gušćeg prelazi u optički rjeñe sredstvo moguća je pojava totalne refleksije, slika 4a. U tom slučaju u optički gušćem sredstvu postoji granični kut upada za koji će kut loma u optički rjeñem sredstvu biti maksimalan (90°). Svaka zraka koja upada pod kutom većim od graničnog kuta reflektirat će se u optički gušće sredstvo. Slika 4. a) Totalna refleksija i b) svjetlovod Pojava totalne refleksije koristi se u svjetlovodima, slika 4b, da bi se svjetlost prenosila zakrivljenim putem. Jezgra svjetlovoda napravljena je od tvari većeg indeksa

n1 n2

ααααυυυυ

ααααl

S1 S2 x1

x2

O

A

h

a b


102

loma nego omotač. Svjetlost kroz svjetlovod prolazi tako da se na vanjskom omotaču duž cijelog puta totalno reflektira.

Prizma

Prizma je stakleni predmet indeksa loma n a sastoji se od dva ravna dioptra pod kutom δ. Prizme su sastavni dijelovi monokromatora u spektrometrima, jer lom u prizmi uzrokuje rasap polikromatske svjetlosti. Snellov zakon loma primijenjen na prizmu uz oznake na slici 5a glasi

21 sin

sin

sin

sin

θβ

θα ==n .

Zraka monokromatske svjetlosti svjetlosti ulazi u prizmu pod kutom α, te se lomi na prvoj granici, slika 5a pod kutom θ1. Na drugu granicu dolazi pod kutom θ2 i izlazi iz prizme pod kutom β. Smjer izlazne zrake razlikuje se od smjera upadne zrake za kut devijacije, φ . Ako je kut α vrlo mali, može se pokazati da kut devijacije ovisi samo o kutu prizme i njezinom indeksu loma:

φ = δ ( n-1)

Kada je upadni kut veći od 5°, onda kut devijacije ovisi i o kutu upada. Svojstvo prizme da mijenja smjer svjetlosti našlo je primjenu u različitim optičkim ureñajima. Kada na prizmu upada snop bijele svjetlosti dolazi do rasapa ili disperzije svjetlosti i izlazni snop je spektar. Zbog ovisnosti o indeksu loma, kut devijacije se razlikuje za zrake različitih valnih duljina, slika 5b. Kako je nljub > ncrv to je φl jubičasto > φcrveno .

a b Slika 5. Prizma a) zraka svjetlosti koja upada na prizmu, lomi se dva puta i izlazi s otklonom φ prema ulaznoj zraci; b) rasap bijele svjetlosti na prizmi, na zaslonu se vidi spektar vidljive svjetlosti


103

Sferni dioptar Sferni dioptar čine dva homogena, izotropna optička sredstva različitih indeksa loma, n1 i n2 koja su odijeljena sfernom plohom, slika 6. Na površini sfernog dioptra svjetlost se lomi i slika nastaje u drugom sredstvu. Razmatramo nastanak slike uvažavajući Gaussove aproksimacije što znači da za stvaranje slike koristimo samo paraaksijalne zrake, tj. one s malim ulaznim kutovima. Za takav sistem kažemo da je stigmatičan, što znači da od točkastog izvora stvara točkastu sliku. Od ravnog predmeta okomitog na optičku os, u tom slučaju, nastat će ravna slika okomita na optičku os. Za promatranje slika nastalih lomom na sfernom dioptru treba poznavati jednadžbu konjugacije za sferni dioptar. Jednadžba konjugacije je izraz koji povezuje udaljenosti predmeta i slike, mjerene od glavne ravnine, s radijusom zakrivljenosti sfernog dioptra. Glavna ravnina sfernog dioptra je ravnina u kojoj je svaka točka sama sebi slika a povećanje je 1. To vrijedi za svaku točku na površini dioptra. Odaberimo zraku svjetlosti koja iz izvora (predmeta) O upada na sferni dioptar pod kutom Φ. Ta zraka se lomi pod kutom Φ' i zajedno sa zrakom koja ide uz optičku os, stvara sliku I. U izvodu jednadžbe konjugacije koristimo poučak o sukladnosti trokuta i poučke o kutovima u trokutu. U tim relacijama uzet ćemo u obzir da su kutovi mali:

α ≈ tg α = - h / x1 θ = h / R β ≈ tg β = h / x2 .

U ovim relacijama h je udaljenost točke P od optičke osi a R je radijus zakrivljenosti sfernog dioptra. Iz poučka o vanjskim kutovima trokuta znamo da je Φ = θ + α a Φ' = θ - β . Onda je

Φ = - h / x1 + h / R , Φ' = h / R – h / x2.

Slika 6. Sferni dioptar – nastanak slike Uzevši u obzir da je Snellov zakon loma za male kutove: n1Φ = n2Φ', jednadžba konjugacije je


104

−− + − =

n R

n n

x

n R

n n

x

1

2 1

1

2

2 1

2

1

Izraze u brojniku možemo zamijeniti parametrima karakterističnim za sferni dioptar, a to su žarišne daljine. Kada se predmet nalazi u beskonačnosti, x1 = -∞, što znači da na dioptar upada snop paralelan s optičkom osi, slika nastaje na udaljenosti f2 koju zovemo žarišna daljina slike, f2 = R n2 / (n2 -n1). Ako je predmet na udaljenosti f1 od sfernog dioptra koju zovemo žarišna daljina predmeta, f1 = - n1R / (n2 - n1), onda je izlazni snop paralelan s optičkom osi, što znači da slika nastaje u beskonačnosti, x2 = +∞. Uzevši u obzir ove definicije, jednadžba konjugacije za sferni dioptar je:

12

2

1

1 =+x

f

x

f

Žarišna daljina ovisi o indeksu loma sredstva u kojem se mjeri. Tu ovisnost možemo izbjeći, ako optički sistem odredimo parametrom koji se zove jakost optičkog sistema:

R

nn

f

n

f

nj

)( 12

2

2

1

1 −===

Sliku koju stvara sferni dioptar od jednodimenzionalnog predmeta na optičkoj osi , možemo konstruirati odabirom zraka kojima znamo smjer nakon loma, slika 7. Slike nastale lomom transmitiranih zraka su realne, jer su u sjecištu realnih zraka.

Slika 7. Konstrukcija slike lomom zraka svjetlosti na sfernom dioptru 1. zraka koja na granicu sredstava upada paralelno s optičkom osi, lomi se tako da u drugom sredstvu prolazi kroz žarište slike, F2. 2. zraka koja iz predmeta izlazi tako da prolazi kroz žarište predmeta, F1 nakon loma rasprostire se paralelno s optičkom osi. 3. zraka koja prolazi kroz centar zakrivljenosti, C, ne lomi se, jer upada okomito na granicu sfernog dioptra.

• • •

S1

S2

F1 C

F2 1

3

2


105

Leće

a b Slika 8. Debela leća: a – konstrukcija slike koju stvara debela leća pomoću glavnih ravnina; b – definicija čvornih točaka Leća je jednostavan stakleni predmet, koji omogućava stvaranje slike lomom zraka svjetlosti. To je skup centriranih sfernih dioptara indeksa loma n. Sistem je centriran kad se sve osi simetrije, dakle optičke osi pojedinih dioptara, poklapaju a sve karakteristične točke leže na toj osi. Vanjske plohe dioptara su plohe leće. Ako ne možemo zanemariti put zraka svjetlosti unutar leće, onda je to debela leća. Debela leća ima dvije konjugirane glavne ravnine koje imaju svojstvo da su jedna drugoj slika s povećanjem +1. To znači sve točke jedne glavne ravnine imaju sliku u točkama druge glavne ravnine. Zbog toga, glavne ravnine možemo koristiti za konstrukciju slike, bez da pratimo stvarni put zrake kroz leću. Na slici 8a prikazana je konstrukcija slike pomoću glavnih ravnina, za tri karakteristične zrake.

Glavne ravnine, H1 i H2, probadaju optičku os u dvije glavne točke, G1 i G2, slika 8a. Osim tih točaka u debeloj leći postoje još dvije točke na optičkoj osi koje se zovu čvorne točke. Zraka koja u leću ulazi smjerom prema čvornoj točki, N, izlazi iz sistema sebi paralelna kao da izlazi iz druge čvorne točke, N', slika 8b. Kada se s obje strane leće nalazi isto sredstvo, tada se čvorne točke poklapaju s glavnim točkama, kao na slici 8a.

Žarište predmeta je točka na optičkoj osi u kojoj se nalazi predmet kad leća stvara realnu sliku u beskonačnosti. Žarište slike je točka na optičkoj osi u kojoj nastaje realna slika predmeta koji je beskonačno udaljen od leće. U izrazima za žarišne daljine pojavljuju se tri indeksa loma: n - indeks loma stakla leće, n1 - indeks loma sredstva 1 i n2 - indeks loma sredstva 2:

)(2 21

11 nnn

Rnf

+−−=

)(2 21

22 nnn

Rnf

+−=

Jednadžba konjugacije za leću koja dijeli dva različita sredstva je:

12

2

1

1 =+x

f

x

f

Kada je leća u zraku, tada je n1 = n2 =1, pa je f1 = f2 = f. Jednadžba konjugacije tada glasi:

G1 G2


106

fxx

111

21

=+−

Jakost leće je definirana kao i za sferni dioptar:

R

n

ff

n

f

nj

)1(21

2

2

1

1 −====

Žarišne daljine definirane su kao udaljenosti žarišta, F, od odgovarajućih glavnih točaka, G:

222111 FGfFGf ==

Ako se put svjetlosti kroz leću može zanemariti govorimo o tankoj leći. Tanka leća ima jednu glavnu točku i jednu čvornu točku. Sliku konstruiramo uz pomoć samo jedne glavne ravnine. Jednadžba konjugacije ima isti oblik kao i za debelu leću. Ako je leća u zraku položaj glavne, čvorne točke i centra leće se poklapaju. a b

Slika 9. Konstrukcija slike koju stvara a) konvergentna leća b) divergentna leća Prema naravi stvorene slike leće su konvergentne ili divergentne. Konvergentna leća će uvijek od realnog predmeta lomom stvoriti realnu sliku, slika 9a, osim, ako je udaljenost predmeta od leće manja od žarišne daljine predmeta. Stoga je jakost konvergentne leće pozitivna. Divergentna leća uvijek, bez izuzetka, od realnog predmeta stvara virtualnu sliku, slika 9b, pa je jakost negativna.

OPTIČKI INSTRUMENTI Veličina objekta koji gledamo, i mogućnost uočavanja detalja na tom objektu ovisi o veličini slike na mrežnici. Veću sliku ćemo dobiti ako objekt više približimo oku. Postoji ograničenje koliko smijemo približiti objekt, pa da slika još uvijek bude oštra. Za dobivanje slike s više detalja koristimo optičke instrumente. Optičkim ureñajima stvaramo sliku objekta koja je uvećana prema slici koju od istog objekta stvaramo prostim okom. Veličina slike u oku odreñena je vidnim kutom pod kojim gledamo predmet, pa kažemo da optički instrumenti povećavaju vidni kut. Vidni kut zatvaraju one svjetlosne


107

zrake koje s krajeva predmeta dolaze u oko i stvaraju sliku. Osnovni vidni kut, α0, je kut pod kojim golim okom vidimo predmet na udaljenosti 25 cm od oka, slika 10.

Slika 10. Uz definiciju vidnog kuta

Lupa Lupa je konvergentna leća, koja se koristi za povećavanje vidnog kuta. Predmet je unutar žarišne daljine pa je slika koju vidimo gledajući kroz leću virtualna i nastaje na udaljenosti 25 cm od oka. Kutno povećanje lupe definiramo kao omjer kuta pod kojim vidimo sliku predmeta nastalu lupom na udaljenosti 25 cm i kuta pod kojim vidimo taj predmet bez lupe na istoj udaljenosti:

1

2'

0 x

x=ΥΥ==

ααγ

Iz slike 11. slijedi x2 = -(25 - f), a iz jednadžbe konjugacije -1 / x1 +1 / x2 = 1 / f možemo izračunati da je x1 = f x2 / (f - x2). Dakle, kutno povećanje lupe je odreñeno fokusnom udaljenosti:

γ = =ΥΥ

' 25f

.

Slika 11. Nastajanje slike pomoću lupe


108

Mikroskop

Mikroskop je složeni optički instrument, s osnovnom zadaćom da poveća razlučivanje. Sastoji se od dva konvergentna sistema leća koje prema zadaći nazivamo objektiv i okular. Objektiv stvara realnu uvećanu sliku predmeta, slika 12. Veličina slike odreñena je linearnim povećanjem leće objektiva, te odreñuje razlučivanje mikroskopa. Realna slika predmeta koju stvara objektiv nastaje unutar fokusne udaljenosti okulara, tako da okular djeluje kao lupa.Gledanjem kroz okular vidimo uvećanu virtualnu sliku predmeta na udaljenosti 25 cm od oka. Okular, dakle, povećava vidni kut.

Slika 12 Nastanak slike u mikroskopu

Povećanje mikroskopa

Povećanje mikroskopa definirano je kao omjer vidnog kuta pod kojim vidimo sliku predmeta nastalu u mikroskopu i vidnog kuta pod kojim gledamo isti predmet golim okom. Kutno povećanje mikroskopa je umnožak linearnog povećanja objektiva i kutnog povećanja okulara:

Y

Y

fYf

Y

ok

ok ′⋅=

′

== 25

250α

αγ

Iz sličnosti trokuta može se izračunati linearno povećanje objektiva, ako se pretpostavi da je slika koju stvara objektiv približno u žarištu okulara, tj. x2 ≈ fob+D , gdje je D udaljenost unutrašnjih fokusa objektiva i okulara. Tada je Y' / Y = x2 / x1 = (fob+D) / x1. Izrazimo x1 iz jednadžbe konjugacije:

)()(

111

21 Dff

D

Dff

fDf

xfx obobobob

obob

ob +=

+−+

=−=−

Tada je linearno povećanje objektiva Y'/ Y = - D / fob , pa je povećanje mikroskopa:


109

obokobokok ffffY

Y

f

4001625'25 −=⋅−=⋅=γ

Negativni predznak pokazuje da je konačna slika obrnuta u odnosu na predmet.

Razlučivanje (rezolucija) optičkog mikroskopa Rezolucija je jedan od parametara koji odreñuju kvalitetu slike dobivene optičkim mikroskopom. Ograničenje rezolucije uvjetovano je valnom prirodom svjetlosti, zbog čega ne možemo razlučiti detalje udaljene manje od jedne valne dužine. Zbog toga, kod objašnjavanja razlučivanja mikroskopa nije dovoljno poštovati jednostavna pravila geometrijske optike, već je nužno uzeti u obzir pojavu ogiba. Rezolucija je najmanja udaljenost izmeñu dva detalja na predmetu, koja se na slici vide kao dvije odvojene točke. Rezolucija oka ovisi o ogibu svjetlosti na zjenici i o površinskoj gustoći vidnih stanica na mrežnici. Na predmetu udaljenom 25 cm naše oko razlučuje detalje udaljene ≈100 µm. Lupe, koje se uobičajeno koriste povećavaju rezoluciju na ≈ 10 µm.

Slika 13. Uz definiciju otvornog kuta objektiva mikroskopa. Kut Θ je otvorni kut objektiva. Otvorni kut objektiva zatvaraju one dvije zrake iz točke fokusa, koje još sudjeluju u stvaranju slike, tj. koje idu rubovima leće.

Dvije teorije jednako dobro kvantitativno odreñuju rezoluciju povezujući je s grañom mikroskopa i osobinama svjetlosti: Abbèova i Rayleighova teorija. Abbè se u svojim razmatranjima koristi saznanjima o ogibu na optičkoj mrežici a Rayleigh o ogibu na prepreci. Obje teorije povezuju rezoluciju s grañom mikroskopa preko otvornog kuta objektiva. slika 13.

Abbèova teorija o rezoluciji mikroskopa Abbè promatra preparat (predmet) kao optičku mrežicu, slika 14. Svjetlost se ogiba na detaljima unutar preparata kao što se ogiba na pukotinama optičke mrežice. U žarišnoj ravnini objektiva, koja je u polju interferencije iza preparata, nastaje ogibna slika izvora koja se sastoji od ogibnih maksimuma, S0, S1. Razmaci meñu maksimumima odreñeni su rasporedom pukotina na optičkoj mrežici (detaljima na predmetu), ali nisu jednaki razmacima izmeñu detalja na preparatu. Svaki pojedini ogibni maksimum djeluje kao izvor svjetlosti i ravnomjerno obasjava ravninu slike, što znači da sam za sebe ne stvara sliku mrežice. Kako svi ogibni maksimumi potječu od istog izvora, oni su koherentni i njihovom interferencijom, u ravnini slike nastaje uvećana i obrnuta slika preparata. Tu sliku Abbe naziva primarnom slikom preparata. Okular poput lupe povećava primarnu sliku i stvara konačnu sekundarnu sliku koju oko može vidjeti. Ta slika je samo povećana primarna slika, a to znači da ne unosi nove detalje o preparatu. Stoga, okular ne doprinosi razlučivanju mikroskopa. Iz objašnjenja

F Θ


110

nastajanja primarne slike nužno slijedi Abbeov zahtjev: možemo razlučiti dva ogibna mjesta na preparatu samo ako u objektiv osim nultog uñe barem još i prvi ogibni maksimum. Jednadžba optičke mrežice za prvi ogibni maksimum je λ = d sin ϕ. Prvi ogibni maksimum ući će u objektiv ako je kut ϕ najviše jednak polovici otvornog kuta objektiva, ϕ = θ / 2.

Slika 14. Uz Abbèovu teoriju razlučivanja. Valovi svjetlosti se ogibaju nakon nailaska na preparat. Objektiv skuplja ogibne zrake i u stražnjoj žarišnoj ravnini objektiva nastaje ogibna slika izvora. Realna slika preparata nastaje u ravnini slike objektiva interferencijom zraka koje dolaze iz ogibnih maksimuma.

Imerzijsko sredstvo, koje ima indeks loma usporediv s indeksom loma preparata, stavlja se izmeñu preparata i objektiva, slika 15, da bi se smanjio lom zrake na izlazu iz preparata. Time se povećava razlučivanje mikroskopa. Valna dužina svjetlosti se mijenja u imerzijskom sredstvu, jer se mijenja brzina svjetlosti: λ' = λ / n. Minimalna udaljenost dva detalja koje mikroskopom možemo razlučiti (rezolucija) je:

2sin

2sin

min θλ

θλ

nd =

′=


111

Nazivnik u gornjoj relaciji naziva se numerička apertura, NA mikroskopa: NA = n sin θ/2. Taj je parametar kvantitativna je mjera razlučivanja. Dobro razlučivanje imaju mikroskopi s velikom numeričkom aperturom. Otvorni kut objektiva može biti najviše 140° a imerzijska ulja imaju indeks loma oko 1,5. To znači da je NAmax = 1,50 sin 70° = 1,41. Srednja vrijednost valne duljine bijele svjetlosti kojom obasjavamo preparat je 550 nm. Idealna rezolucija optičkog mikroskopa bila bi 200 nm. Standardni školski mikroskopi imaju NA oko 0,25 i rezoluciju u zraku 1,4 µm. Okular treba povećati sliku dobivenu objektivom na granicu rezolucije oka, 0,1 mm na 25 cm od oka. Na toj udaljenosti mora nastati konačna virtualna slika. Korisno povećanje mikroskopa je: rezolucija oka na 25 cm korisno povećanje = --------------------------------- = 100 µm / 200 nm = 500 x rezolucija mikroskopa

Rayleighov kriterij

Rayleigh objašnjava razlučivanje mikroskopa polazeći od činjenice da se svjetlost ogiba na leći objektiva kao na okrugloj prepreci. Zrake svjetlosti koje dolaze iz udaljenog točkastog izvora, na leći se ogibaju i stvaraju u žarišnoj ravnini objektiva sliku leće u obliku svijetlog kruga (Airy-ev disk) okruženog svijetlim i tamnim prstenima, slika 16a. Raspodjela intenziteta svjetlosti prikazana je na slici 16b. Centralni maksimum (disk) ima najveći intenzitet, dok su intenziteti ostalih maksimuma (prsteni) znatno slabiji. Kutna udaljenost centralnog maksimuma od prvog minimuma je θ = 1,22 λ / D, gdje je λ valna dužina upadne svjetlosti a D je promjer leće objektiva. Radijus Airyevog diska je

fD

rλ22,1≈′ gdje je f žarišna daljina objektiva.

Ako snop svjetlosti istodobno dolazi iz dva točkasta izvora, svaki će pri prolazu stvarati difrakcijsku sliku. Prema Rayleighovom kriteriju ta će se dva točkasta izvora moći razlučiti na slici, slika 17a, ako su maksimumi pojedinih izvora barem toliko udaljeni koliko je udaljen prvi minimum jednog izvora od prvog maksimuma tog izvora, slika 17b.

Slika 15. Upotreba imerzijskog sredstva Prikazan je put zraka prvog ogibnog maksimuma pri izlazu iz preparata ako je izmeñu preparata i objektiva a - zrak i b - ako je stavljeno imerzijsko sredstvo. Ako iz preparata zraka izlazi u imerzijsko sredstvo nema dodatnog loma, pa je razlučivanje povećano.


112

a b Slika 16. Rayleighova teorija rezolucije: a) zbog ogiba na leći objektiva, slika točkastog predmeta je svijetli krug (Airyev disk) okružen prstenima, ogibnim maksimumima; b) raspodjela intenziteta svjetlosti ogibnih maksimuma

a b

Slika 17. Rayleighov kriterij rezolucije: a) slike dva izvora na granici razlučivanja; b) granicu rezolucije odreñuje poklapanje centralnog maksimuma slike jednog izvora s prvim minimumom slike drugog izvora

Snaga rezolucije, RP, jednaka je radijusu Airyevog diska: RP = r'. Promjer leće možemo izraziti preko kuta prvog ogibnog maksimuma (polovici otvornog kuta objektiva) i žarišne daljine: D = 2 f sin θ/2. Snaga rezolucije prema Rayleighovom kriteriju je:

2sin

61,0θλ=RP

Ovaj izraz je sličan izrazu za dmin u Abbèovoj teoriji.

izvor 1 izvor 2

r'


113

POGREŠKE CENTRIRANIH SISTEMA

Sferne aberacije Osnovni zahtjev na stvaranje kvalitetne slike optičkim mikroskopima je poštivanje Gaussovih aproksimacija, a to znači da je kut otvora snopa manji od 5°. Tada je zadovoljen uvjet stigmatičnosti da je predmet u obliku točke, na slici prikazan kao točka. Ako to nije ispunjeno govorimo o pogreškama, aberacijama optičkog sistema. Sferne aberacije su prisutne kod širokih snopova svjetlosti. Paralelne zrake koje prolaze rubnim dijelom leće jače se lome od onih bliže optičkoj osi, slika 18. Slika zato neće biti točka na optičkoj osi

nego dužina FF ′ koja je ujedno i mjera aberacije. U ravnini okomitoj na optičku os, u žarištu centralnih zraka, slika će biti krug. Sferna aberacija se može korigirati kombinacijom različitih leća. Posljedica sferne aberacije je da jasna slika predmeta simetričnog s obzirom na optičku os nastaje na zakrivljenoj plohi kojoj su sve točke jednako udaljene od leće. To znači da na ravnoj plohi vertikalne i horizontalne linije nisu jednake oštrine. Ako je snop monokromatski i aberacije su monokromatske

Slika 18. Sferna aberacija. Zrake paralelnog snopa koji nailazi na leću različito se lome ovisno o tome upadaju li na leću bliže ili dalje od optičke osi. Slika točke u žarišnoj ravnini nije točka nego krug.

Kromatske sferne aberacije Ako je snop polikromatski, zbog disperzije svjetlosti u leći svaka valna duljina stvara svoju sliku odreñenog predmeta. Beskonačno dalekom predmetu odgovara toliko slika u žarištu koliko valnih duljina emitira izvor. Za tanku leću u zraku vrijedi

( )( )

R

nj

n

Rf

12

12

−=−

=

Jakost leće raste s indeksom loma. Sjetite se da indeks loma raste s frekvencijom ncrv < nljub pa će biti fcrv > fljub, slika 20. Kromatske aberacije se više uočavaju kod širokog snopa svjetlosti, dok su za paraaksijalne zrake one neznatne. Ta se greška može korigirati

F F'


114

kombinacijama pozitivnih i negativnih leća različitih indeksa loma i jakosti. Kromatsku aberaciju otkrio je Newton.

Slika 19. Kromatska aberacija. Zrake različitih boja fokusiraju se na različitim udaljenostima od leće. Oko je takoñer podložno aberacijama. One su uglavnom minimizirane tijekom evolucije. Sferna aberacija je korigirana tako da je rožnica manje zakrivljena na rubovima nego u sredini, a leća nije homogena već ima manju optičku gustoću na rubovima. To uzrokuje slabiji lom na rubovima leće a time se smanjuje sferna aberacija. Kromatska aberacija djelomično je kompenzirana tako da nehomogena leća jače apsorbira sjvetlost kraćih valnih dužina. S druge strane, mrežnica je manje osjetljiva na plavu i ljubičastu svjetlost.

Astigmatizam Prema Gaussovim aproksimacijama vrijedi da je slika malog ravnog predmeta na optičkoj osi ravna slika. To je istinito samo za vrlo mali predmet. Oštra slika nekog većeg predmeta nastaje na konkavnoj paraboloidnoj plohi. Ta pogreška koja uzrokuje zakrivljenost slike zove se astigmatizam leće. Ona je posljedica različite zakrivljenosti leće u horizontalnoj i vertikalnoj ravnini, zbog čega slika koju stvara horizontalni snop zraka neće biti na istom mjestu kao slika koju stvara vertikalni snop zraka, slika 20 a.

a b Slika 20. Astigmatizam leće. a) Slika točke P nastala snopom horizontalnih zraka je u T1 a ona nastala vertikalnim snopom je u S1. b) primjeri cilindričnih leća


115

Astigmatizam oka je obično uzrokovan nejednolikom zakrivljenošću rožnice i leće. Zato slika točkastog predmeta nastaje kao linija na mrežnici. Astigmatično oko fokusira zrake u vertikalnoj ravnini na drugoj udaljenosti nego u horizontalnoj. Astigmatizam se može korigirati cilindričnim lećama koje su zakrivljene samo u jednoj ravnini, slika 20 b.

VRSTE MIKROSKOPA

Postoje dva tipa optičkih mikroskopa ovisno o tome kako se osvjetljava preparat koji promatramo. To su TOM - transmisijski optički mikroskop i ROM - refleksijski optički mikroskop. U transmisijskim mikroskopima svjetlost prolazi kroz preparat, tako da se ogiba na detaljima i ogibni maksimumi tvore sliku. Optički mikroskopi koji su priručna pomagala u medicini većinom su transmisijski. U refleksijskim mikroskopima svjetlost sa strane obasjava preparat, reflektira se i stvara sliku. Rezolucija je odreñena numeričkom aperturom mikroskopa. No, da bismo razlučene detalje i vidjeli moramo ih moći razlikovati od okoline, tj. pozadine. Parametar koji definira razliku u jasnoći ili sjaju slike objekta i slike pozadine zove se kontrast. Kontrast je razlika u intenzitetu propuštene svjetlosti kroz pojedine dijelove objekta kojeg promatramo. U biologiji su preparati uglavnom disperzni sistemi u vodi, dakle transparentni su za svjetlost i to više manje uniformno, pa ako i postignemo dobru rezoluciju ne možemo dobro uočiti sliku. Jedna od metoda kojom se naglašavaju razlike pojedinih dijelova bezbojnog preparata je selektivno bojenje. Na taj način kontrast slike postiže se na osnovu različitih intenziteta propuštene svjetlosti. Ta metoda ubija žive sisteme, primjerice stanice, pa nije uvijek prikladna. Drugi način postizanja kontrasta je da se iskoriste različiti optički putovi svjetlosti u pojedinim dijelovima preparata koji imaju različite indekse loma. Koherentne zrake svjetlosti koje prolaze različite optičke putove, nisu više u fazi. Kontrast se može postići pretvaranjem razlike u fazi dva vala u razliku u intenzitetu. Jedna od mogućnosti je da se iskoriste prirodna fluorescentna svojstva molekula, ili da ih se namjerno obilježi fluorescentnim probama. To je dobra metoda za imunološka promatranja.

Interferencijski mikroskop U interferencijskom mikroskopu na najjednostavniji način povećan je kontrast u prozirnim objektima. Iskorišteno je saznanje da val svjetlosti mijenja valnu dužinu pri prolazu kroz sredstvo s različitim indeksom loma slika 21.

Slika 21. Osnovna ideja interferencijskog mikroskopa. Koherentne zrake 1 i 2 dolaze na preparat. Zraka 1 prolazi kroz otapalo i mijenja valnu dužinu a zraka 2 još dodatno mijenja jer prolazi i kroz preparat. Izlazne zrake su različitih faza.


116

Promotrimo predmet indeksa loma npr, u otapalu indeksa loma not. Broj valova na putu L kroz predmet je Npr = L / λ' = L npr / λ0, a u istom području broj valova u otapalu je Not = L / λ = L not / λ0. Razlika u broju valova kroz ta dva područja je

0

)(

λotpr

otpr

nnLNNN

−=−=∆ . To odgovara razlici faza ∆ϕ = 2π ∆N (rad) = 360 ∆N (°).

Bakteriju debljine 1 µm i indeksa loma 1,35 u vodi nv=1,33 gledamo žutom svjetlošću valne dužine 550 nm. Razlika u broju valova je ∆N = 0,02 x 1µm/ 0,55µm = 0,04 a razlika u fazi 14°. To je dovoljno da se interferencijom ta dva vala ne ponište i da bakteriju vidimo osvijetljenu na tamnom polju. Naše oko ne zamjećuje razliku u fazi, pa zato ne razlikuje objekte koji imaju jednake koeficijente apsorpcije (jednako mijenjaju intenzitet) a različite indekse loma. Interferencijski mikroskop razliku u fazi mijenja u razliku intenziteta transmitiranih valova. Snop koherentne svjetlosti iz izvora razdijeljen je u dva ekvivalentna snopa. Jedan prolazi kroz preparat (otopinu) a drugi mimo njega. Ta dva snopa se zatim usmjere tako da mogu interferirati i nakon toga se stvaraa slika. Referentni snop se može podesiti (faza i amplituda vala) tako da negativno interferira sa zrakama koje nisu prošle samo kroz otapalo. Slika će prikazivati svijetli predmet na tamnoj pozadini, slika 22.

Slika 22. Izvedba interferencijskog mikroskopa. Polupropusno zrcalo dijeli upadni snop na dva koherentna snopa. Jedan prolazi kroz preparat a drugi izvan njega. Slika, koja je nastala interferencijom tih snopova ima tamnu pozadinu a svijetlu sliku objekta.

Fazno-kontrastni mikroskop U fazno kontrastnom mikroskopu su iskorištena saznanja o interferenciji valova koji se razlikuju u fazi, da bi se stvorila slika velikog kontrasta. Za detaljno objašnjenje


117

rada potrebno je dobro poznavati teoriju kako difrakcijski uzorci svake pojedine točke objekta doprinose konačnoj slici. Zbog kompliciranosti objasnit ćemo jednostavnije. Na slici 23. prikazan je princip rada fazno-kontrastnog mikroskopa. Snopovi paralelnih zraka svjetla iz izvora prolaze kroz pločicu s prstenastim otvorom i lome se na kondenzoru. Nastali konični snop obasjava preparat. Kroz pozadinu zrake prolaze bez ogiba (unutrašnji snop) i nakon loma u leći stvaraju sliku prstenastog otvora u žarišnoj ravnini objektiva. Zrake koje prolaze kroz objekt ogibaju se (vanjski snop) i lomom u leći stvaraju sliku u ravnini slike, koja je iza žarišne ravnine, jer je predmet bliže leći od izvora. Zrake koje se nisu ogibale jednakomjerno osvjetljavaju ravninu slike. Budući su intenziteti svih zraka jednaki slika objekta ne će se moći uočiti. Poznato je da izmeñu nultog i svih drugih ogibnih maksimuma postoji fazna razlika π/2 (λ/4). Na mjesto gdje nastaje slika prstenastog otvora stavimo faznu pločicu. Pločica ima utor u obliku prstena na mjestu gdje prolaze nedifraktirane zrake. To će povećati faznu razliku na π (λ/2). Zrake koje su se na objektu ogibale prolaze kroz deblje staklo i ne doživljavaju pomak u fazi. U ravnini slike zrake iz ta dva snopa se interferencijom poništavaju, pa će slika objekta biti tamna na svijetloj pozadini. Zbog dodatnih malih faznih pomaka uslijed optičke nehomogenosti preparata, vidjet će se detalji na tamnoj slici preparata. Ukoliko fazna pločica ima utor na mjestu prolaska difraktiranih zraka, onda će se dobiti svijetla slika na tamnoj pozadini.

Konfokalni pretraživač ki fluorescentni mikroskop

U fluorescentnom mikroskopu koriste se saznanja o fluorescentnim svojstvima bioloških molekula. Biološki važne molekule kao što su proteini i nukleinske kiseline jako apsorbiraju UV zračenje i fluorescentno zrače u vidljivom području. Biološki preparati koji nemaju vlastite fluorofore mogu se obilježiti fluorescentnim probama različitih boja. Laserski snop prolazi kroz mali otvor i pada na polupropusno zrcalo, te se reflektira prema preparatu. Fotoni upadnog snopa izazivaju emisiju fluorescentnih zraka iz različitih područja preparata. Zrake se lome na leći objektiva i prolaze kroz polupropusno zrcalo. Iza njega je smještena apertura detektora (konfokalna apertura) koja dozvoljava daljnji prolaz samo onih zraka koje potječu iz sloja preparata u žarišnoj ravnini objektiva. Te zrake se registriraju. Upadni snop obasjava mali dio preparata i pomiče se po njemu točku po točku. Nakon što se snimi cijela ravnina, nosač preparata se pomakne u vertikalnom smjeru da bi se snimio drugi sloj preparata. Postupak se nastavlja a konačna slika predstavlja raspodjelu

Slika 23. Fazno-kontrastni mikroskop Nastajanje slike: fazna pločica je u žarišnoj ravnini objektiva. Utori u pločici mijenjaju fazu zraka koje se nisu ogibale na preparatu. Interferencija tih zraka i onih koje su prošle kroz objekt bit će destruktivna i uzrokovati kontrast izmeñu tamnog preparata i svijetle pozadine.


118

jarkih obojenih točkica koje ukazuju na mjesto izvora fluorescencije. Ovom metodom se prate stanični biološki i biokemijski procesi, prisutnost antigena u imunološkim ispitivanjima kao i vezanje različitih komponenti na receptore.

Elektronski mikroskop Virusi ili detalji unutar stanica su manji od sposobnosti razlučivanja optičkog mikroskopa. Rezoluciju se može povećati ili povećanjem aperture ili smanjenjem valne dužine svjetlosti kojom obasjavamo preparat. U konstrukciji elektronskog mikroskopa iskorištena su saznanja de Brogliea da se čestica male mase mirovanja kod velikih brzina ponaša kao val valne dužine λ = h / p. Elektroni se mogu ubrzati do velikih brzina jakim električnim poljima. Na primjer za napon od 50 kV pripadna valna dužina elektrona je 0,55 x 10-11 m = 5 pm. Meñutim, rezolucija elektronskog mikroskopa nije tog reda veličine, jer je numerička apertura manja nego kod optičkog mikroskopa. Rezolucija elektronskog mikroskopa je oko 0,1 nm. To je 103 puta veće razlučivanje od optičkog mikroskopa i odgovara udaljenostima meñu atomima. Dakle, val elektrona može razlikovati sve detalje unutar tvari.

Transmisijski elektronski mikroskop Na slici 25. prikazan je presjek transmisijskog mikroskopa. Elektroni iz elektronskog topa ubrzani su u jakom električnom polju izmeñu katode i anode i tvore homogeni monokromatski snop. Napon izvora je oko 100 kV. U elektronskom mikroskopu ulogu leća imaju električna ili magnetska polja posebne konfiguracije tako da na elektrone djeluju konvergirajuće. Elektronski snop prolazi kroz aperturu kondenzora i kondenzor koji ga usmjerava u paralelan snop i njime se obasjava preparat. U stvaranju slike sudjeluju elektroni raspršeni na atomima preparata. Raspršenje elektrona je jače na težim atomima. Rad postizanja što boljeg kontrasta, što većeg raspršenja elektrona, na preparat se

Slika 24. Princip rada konfokalnog pretraživačkog mikroskopa. Apertura detektora dozvoljava registraciju samo onih fluorescentnih zraka koje potječu iz dijela preparata u žarišnoj ravnini objektiva. Upadni snop se fokusira na mali dio ravnine i pomiče po preparatu. Pomicanjem nosača preparata snimaju se drugi slojevi.


119

prethodno nanosi tanki sloj atoma zlata. Preparat mora biti zamrznut, rezan u tanku foliju debljine 15 nm. U tako tankom preparatu neće doći do apsorpcije elektrona. Kućište mikroskopa je evakuirano da se elektroni ne bi sudarali s molekulama u zraku. Zbog istog razloga se preparat zamrzava. Raspršeni snop elektrona, čija prostorno različita gustoća odražava raspored centara raspršenja u uzorku, dalje se fokusira projekcijskim magnetskim lećama na fluorescentni ekran gdje se slika može i direktno vidjeti, osim što se snima kamerom. Povećanje je 104 - 105 puta.

Slika 25. Shema transmisijskog elektronskog mikroskopa

Pretraživački (scanning) elektronski mikroskop (SEM)

Transmisijskim optičkim i elektronskim mikroskopom nije moguće riješiti problem male dubine polja, pa je slika oštra samo u jednoj ravnini a sve ostale su mutne. SEM daje slici trodimenzionalnu kvalitetu, ali ima slabiju rezoluciju, izmeñu 5 i 10 nm.

Slika 26. Princip rada pretraživačkog elektronskog mikroskopa


120

Slika se gradi tako da se vrlo uskim snopom elektrona obasjava površina radijusa 10 nm a ne cijeli objekt odjednom, slika 26. U jednoj sekundi tu površinu pogodi nekoliko miliona elektrona. Sukcesivno snop se pomiče i tako se snimaju pojedina područja. Zbog udara elektrona na preparat iz njega se izbijaju sekundarni elektroni iz uskog površinskog sloja preparata, debljine 5 nm. Sekundarni elektroni dolaze na detektor koji je na pozitivnom potencijalu od 200 V. Struja sekundarnih elektrona koristi se u rekonstrukciji slike za modulaciju intenziteta snopa raspršenih elektrona. Tako se postiže trodimenzionalni efekt u slici. Kada primarni snop elektrona pogaña strmo nagnutu površinu uzorka nastaje više sekundarnih elektrona nego kad je površina ravnina.Na slici se to vidi kao različitost u svjetlini i sjeni.

Mikroskopi s pretraživačkom sondom Mikroskopi koji se bitno razlikuju od dosad promatranih mikroskopa pojavili su se osamdesetih godina prošlog stoljeća. To su mikroskopi koji stvaraju sliku visokog razlučivanja na temelju mjerenja sila izmeñu površine uzorka i male posebno izrañene probe, koju se mehanički pokreće površinom uzorka. Rezolucija nije ograničena Abbèovom difrakcijom. Probu se pomiče u XY ravnini, a iznosi sile koji se mjere oslikavaju Z dimenziju površine uzorka.

Pretraživajuć i mikroskop s tunelirajućom strujom (STM) STM je prvi pretraživački mikroskop s probom kojim je morfologija površine uzorka prikazana s atomskom rezolucijom. No tim mikroskopom mogu se promatrati samo vodljive površine. Koristan je u proučavanjima prijenosa naboja i za rješavanje problema u biološkoj elektrokemiji. a b Slika 27. Princip rada STM. a) Vodljivi vršak je na maloj udaljenosti od vodljive površine uzorka. Napon izmeñu uzorka i vrška potiče tunelirajuću struju elektrona. Povratna veza održava ili stalan razmak ili stalnu struju. Detektor mjeri ili jakost tunelirajuće struje ili primijenjeni napon. Mjerene vrijednosti odražavaju sliku morfologije i sastava površine uzorka. b) kada je udaljenost izmeñu vodljivog vrška i vodljivog uzorka smanjena na nekoliko desetaka nm prekrivaju se elektronski oblaci atoma vrška i uzorka te dolazi do tuneliranja.


121

Rad ovog mikroskopa osniva se na pojavi koju opisuje kvantna mehanika a zove se tunel efekt. Naime, kvantna mehanika nas uči da za prijelaz preko neke potencijalne barijere elektron mora imati energiju veću od barijere. No, zbog svoje valne prirode, elektron može u odreñenim uvjetima prodrijeti kroz potencijalnu barijeru iako je njegova vlastita energija manja od energije barijere. Pojava je u skladu sa zakonima kvantne mehanike i omogućuje nastanak tzv. tunelirajuće struje. U ovom slučaju takva struja može poteći izmeñu atoma u površinskom sloju uzorka koji promatramo i atoma materijala od kojeg je izrañen šiljak (vrh ima polumjer oko 100 nm) kad se nalazi blizu uzorka, znači na udaljenosti od nekoliko desetaka nanometara, slika 27 a. Šiljak za ispitivanje se nalazi na konzoli, koja je vrlo osjetljiva na pokret šiljka. Ako izmeñu uzorka i šiljka spojimo izvor napona, elektroni će tunelirati kroz procijep, slika 27 b, i moći će se mjeriti električna struja od nekoliko pA. Jakost tunelirajuće struje ovisit će o vodljivosti izmeñu šiljka i uzorka koja je odreñena gustoćom raspodjele elektronskog naboja, dakle, o kemijskom sastavu uzorka i šiljka. Ovisit će o udaljenosti šiljka od uzorka i o primijenjenom naponu. Mikroskop je izgrañen tako da se održava stalnim ili razmak procjepa ili jakost tunelirajuće struje. Za stalnu tunelirajuću struju, konzola će se primicati ili odmicati od uzorka, slijedeći topografiju površine. Uz održavanje stalnog razmaka promjene jakosti tunelirajuće struje oslikavaju raspodjelu naseljenosti elektronskih stanja atoma uzorka.

Pretraživajuć i mikroskop "atomske sile" (AFM) Ova tip pretraživačkog mikroskopa osniva se na djelovanju elektrostatskih Van der Waalsovih sila izmeñu atoma uzorka i atoma šiljka elastične konzole. Uzorak se pretražuje u horizontalnoj ravnini a konzola se pomiče u vertikalnom smjeru, slika 28.

Slika 28. Princip rada AFM Vrlo oštar šiljak pričvršćen na malu polugu je proba za ispitivanje površine uzorka. Proba se mehanički pomiče u XY-ravnini a elastična konzola voñena Van-der-Waalsovim interakcijama izmeñu atoma uzorka i šiljka pomiče se u Z smjeru. Tako ocrtava morfologiju površine. Pomaci se mjere pomoću refleksije laserskog snopa na zrcalu.

Dok je šiljak dovoljno udaljen od uzorka meñu atomima uzorka i šiljka djeluje

privlačna Van der Waalsova sila, slika 29, i konzola se savija prema uzorku. No, u velikoj blizini uzorka postaje dominantna odbojna sila koja ne dozvoljava, prema zakonima kvantne mehanike (Paulijev princip isključenja), da elektroni atoma šiljka uñu na


122

energijske nivoe elektrona uzorka i zato se konzola savija na drugu stranu. Ove vertikalne deformacije konzole odražavaju reljef površine. Pomaci se bilježe pomakom laserskog snopa koji je reflektiran s konzole i upada na ureñeni skup fotoćelija tako da aktivirane fotoćelije pokazuju topografiju

Slika 29. Uz rad ATF – izmeñu atoma šiljka i atoma uzorka vladaju privlačne Van-der-Waalsove sile kad je šiljak udaljen od uzorka nekoliko desetaka nm. Na manjim udaljenostima ta sila postaje odbojna. U slučaju nabijenih površina dodatnu ulogu imaju i kulonove sile

površine uzorka. Konzola djeluje poput opruge koja se ponaša po Hookeovom zakonu. Ona može titrati a frekvencija titranja ovisi o konstanti opruge. Ako se konzola potakne na harmonijsko titranje i izloži djelovanju privlačne Van der Waalsove sile, dolazi do modulacije harmonijskog titranja koja može dati podatke o energiji interakcije na razini atomskih dimenzija. Djelovanje sile u vertikalnom smjeru daje podatke o topografiji uzorka a lateralne sile u horizontalnoj ravnini o jačini veze meñu atomima.

OPTIKA OKA Oko možemo promatrati kao zatvoreni prostor u koji svjetlost ulazi kroz otvor koji se zove zjenica ili pupila. Dijafragma, iris, automatski regulira količinu ulazne svjetlosti. Pupila je uvijek crna, jer se svjetlost ne reflektira iz oka. Ispred zjenice nalazi se rožnica ili cornea, gdje se svjetlost prvi put lomi. To je prozirni sferni dioptar debljine 0,5 mm. S vanjske strane je zrak (n = 1), a s unutrašnje očna vodica (n = 1,336 ) pa je zato taj dioptar jako konvergentan. Otvor oka se može mijenjati izmeñu 2 i 8 mm, a time se odreñuje intenzitet i širina ulaznog snopa. Što je pupila manjeg promjera, manja je sferna aberacija oka.

Nakon prolaska kroz zjenicu, svjetlost se dalje lomi na očnoj leći. Leća nije optički homogena. Grañena je slojevito i podsjeća na glavicu luka. Indeks loma nije svuda jednak, on se povećava od srednjeg dijela prema polovima i od površine prema unutrašnjosti. Očna leća je bikonveksna i konvergentna. Cilijarni mišići mijenjaju radijuse zakrivljenosti ploha leće. Pomaci slojeva različitih indeksa loma uzrokuju da se jakost leće promijeni više nego da je uzrokovana samo razlikom u radijusu zakrivljenosti. Prednja ploha leće graniči s očnom vodicom, a stražnja ploha sa staklastom tvari u kojoj se svjetlost dodatno lomi. Polumjer prednje plohe može se mijenjati od 10 mm do 6 mm a stražnje od 6 mm do 5,5 mm. Zrake svjetlosti padaju na mrežnicu, gdje fotoni interagiraju s vidnim stanicama. Mrežnica, promatrana sa stajališta fizike, je zakrivljeni zastor radijus oko 40 mm, na kojem


123

konvergentni sistem oka stvara realnu sliku, a prekriva relativno cijelu stražnju plohu oka. Oko od predmeta na različitim udaljenostima mora uvijek stvoriti sliku na mrežnici. To znači da se mora se mijenjati jakost leće, jer je udaljenost slike od leće uvijek jednaka:

fxx

111

21

=+−

Taj proces naziva se akomodacija oka. U procesu akomodacije jakost očne leće mijenja se izmeñu 59 i 71 dpt.

Po svom sastavu, mrežnica je tanak sloj optički aktivnih stanica koje apsorbiraju svjetlosne fotone i pretvaraju njihovu energiju u naponski impuls u živčanim vlaknima. Na mrežnici postoje dva tipa vidnih stanica ili senzora: to su štapići i čunjići, koji se razlikuju po funkciji pa i po rasporedu po mrežnici. Mjesto na mrežnici gdje nastaje slika pri normalnom osvjetljenju, žuta pjega, ima povećanu gustoću čunjića 1,5 x 105 mm-2, na površini promjera 0,045 mm. Vidni kut je 1,5°. Zbog velike gustoće čunjića i malog promjera, razlučivanje je najveće u žutoj pjegi. Svaki čunjić ima svoj odvodni živac i djeluje kao najmanja samostalna vidna stanica. Čunjići su osjetljivi na boje. Kad slika pada na žutu pjegu, gledamo pod Gaussovim aproksimacijama pa je i aberacija minimalna. Štapića nema u žutoj pjegi, ali zato se njihova gustoća povećava udaljavanjem od žute pjege. Štapići su znatno osjetljiviji na svjetlost, pa je reagiraju i na vrlo mali intenzitet, za osjet je potrebno samo nekoliko fotona. Kad gledamo štapićima ne raspoznajemo boje. Štapićima gledamo po noći. Zato je po noći je sve sivo. Budući da se slika stvara izvan žute pjege ne gledamo pod Gaussovim aproksimacijama pa je povećana aberacija. Razlučivanje je lošije, jer je nekoliko štapića vezano na isti očni živac. Razlučivanje oka odreñeno je vidnim kutom, i to je veće što je predmet bliže oku, tj. vidni kut je veći. No, tu postoji ograničenje zbog ograničene mogućnosti akomodacije. U opisu akomodacije definiramo tri karakteristične točke: BT - bliska točka: najbliži položaj predmeta za koji oko uz maksimalnu akomodaciju stvara jasnu sliku na žutoj pjegi. DT - daleka točka: položaj predmeta za koji oko stvara jasnu sliku na žutoj pjegi u akomodacijskom miru. DJV - daljina jasnog vida: dogovorena udaljenost predmeta na kojoj je razlučivanje dobro a akomodacija je umjerena iznosi 25 cm od oka.

Optički model oka

veličina akomodacijski mir maksimalna akomodacija H1 1,505 1,821 H2 1,631 2,025 F1 -15,23 -12,355 f1 -16,74 -14,176 F2 23,996 20,963 f2 22,365 18,938


124

Na slici 30. je prikazan model oka kao debele leće. Ishodište je stavljeno na rožnicu. Udaljenosti pojedinih karakterističnih točaka i žarišne daljine u tablici su navedene u mm.

Nekoliko zanimljivosti: 1. rožnica stvara sliku lomom - relativni indeks loma je 1/1,336. To je jako konvergentan dioptar. U vodi je relativni indeks loma 1,33/1,337 pa rožnica postaje slabo konvergentan sistem i zato u vodi ne vidimo oštro (maska pomaže dodatnim lomom ali se zato gubi prostorno odreñenje). 2. Čovjek vidi slabije nego li čuje: prag čujnosti je 10-12 Wm-2. Kod maksimalnog otvora zjenice, 0,503 cm2 ulazna energija u jednoj sekundi je E = 0,503 x 10-16 W dakle nužan intenzitet je 10-10 W/m2. U području na koje je oko najosjetljivije, λ=550 nm, to je 140 fotona u sekundi.

Slika 30. Oko promatrano kao debela leća

Pogreške oka Kratkovidnost – miopija Kratkovidno oko ima preveliku jakost, te od paralelnog snopa u akomodacijskom miru stvara sliku ispred mrežnice, slika 31a. To znači da će oko u akomodacijskom miru od divergentnog snopa iz neke točke na konačnoj udaljenosti ispred oka moći stvoriti realnu sliku na mrežnici. Po definiciji ta točka je daleka točka oka. Kratkovidno oko, dakle, ima daleku točku na konačnoj udaljenosti ispred oka. Leća korekcijskih naočala treba ispuniti zahtjev da od beskonačno dalekog predmeta stvori virtualnu sliku u dalekoj točki kratkovidnog oka, slika 31 b. Ta slika postaje realni predmet za optički sistem oka, koji od njega stvara sliku na mrežnici. Dakle, leća naočala treba od paralelnog snopa stvoriti divergentan snop kojem je ishodište u dalekoj točki oka. Jakost leće korekcijskih naočala izračunat ćemo iz jednadžbe konjugacije:

− + = = − ∞ = −1 1 1

1 21 2x x f

x xkor

ω

−−∞

+−

=1 1 1ω fkor

f jkor = − → ⟨ω 0

To je divergentna leća, kojoj je jakost to veća što je daleka točka bliže oku.


125

a b Slika 31. a) kratkovidno oko, b) upotreba korekcijske leće Dalekovidnost – hipermetrija Dalekovidno oko ima premalu jakost, tako da od paralelnog snopa svjetlosti stvara sliku iza mrežnice, slika 32 a.. To znači da u akomodacijskom miru dalekovidno oko ništa ne vidi oštro. Daleka točka je iza oka, jer dalekovidno oko u akomodacijskom miru može na mrežnici napraviti oštru sliku samo konvergentnog snopa, onog koji konvergira prema dalekoj točki.

a b Slika 32. a) dalekovidno oko, b) upotreba korekcijske leće Ta se pogreška može korigirati tako da leća od beskonačno dalekog predmeta stvori realnu sliku u dalekoj točki oka. Ta slika je onda virtualni predmet za optički sistem oka, slika 32 b. U akomodacijskom miru će oko na mrežnici od ovakvog konvergentnog snopa stvoriti realnu sliku na mrežnici. Dakle, paralelni snop svjetlost koji dolazi iz predmeta, leća je pretvorila u konvergentni s točkom konvergencije u dalekoj točki. Jakost korekcijske leće i opet izračunavamo iz jednadžbe konjugacije, stavivši x1 = -∞ , x2 = ω, pa je

−−∞

+ =1 1 1ω fkor

Dakle f = ω odnosno j = 1/ω > 0 , leća je konvergentna.


126

Starovidnost – presbiopija .

a b Slika 33. a - starovidno oko s BT dalje od 25 cm, b - upotreba korekcijske leće Moć akomodacije oka slabi sa starenjem, zbog disfunkcije cilijarnih mišića. Posljedica toga je udaljavanje bliske točke od oka. Taj proces ne primjećujemo sve dok je bliska točka bliže od 25 cm od oka. Kad ta udaljenost postane veća od daljine jasnog vida, nastupaju problemi. Optički sistem oka ne može stvoriti jasnu sliku na mrežnici od predmeta koji su bliže oku nego što je bliska točka, slika 33a. Korekcija se odvija tako da konvergentna leća, od predmeta koji je na daljini jasnog vida, stvori virtualnu sliku u bliskoj točki starovidnog oka, koja postaje realni predmet za optički sistem oka, slika 33 b. Tada oko može stvoriti konačnu sliku na mrežnici

Jakost korekcijske leće odreñujemo iz jednadžbe konjugacije u kojoj je x1 = 25 cm, a x2 udaljenost bliske točke, označena s b.

korfb

11

25

1 =−

+−

−

Kad je b = -∞, znači da oko više uopće ne akomodira. Jakost korekcijske leće je u tom slučaju 4 dpt.

Rezolucija oka Rezoluciju oka odreñuju dva čimbenika podjednake važnosti: snaga razlučivanja očne leće i gustoća receptora svjetlosnih fotona na mjestu nastajanja slike. Na žutoj pjegi je najveća gustoća čunjića pa je tu rezolucija najbolja, 3 µm. Dijametar pupile mijenja se izmeñu 0,2 i 0,8 cm pa je za λ = 550 nm (to je valna duljina najveće osjetljivosti oka) otvorni kut ϕ = 1,22 λ/D = 3,4x10-4 do 0,8x10-4 rad. Duljina oka je 2,4 cm, što je u akomodacijskom miru fokusna udaljenost slike za leću oka, te se može izračunati da je veličina slike na mrežnici: Y´= ϕ x f2 = 0,8 x 10-4x 2,4 x 10-2 = 1,91 µm u najboljem a 8,16 µm u najlošijem slučaju. Za predmet na udaljenosti jasnog vida (D=25 cm) srednja snaga rezolucije je Y = ϕ x 25 x 10-2= 52,5 µm Sferna i kromatična aberacija optičkog sistema oka smanjuju snagu rezolucije na 100 µm. Dakle, minimalni vidni kut oka je 4 x10-4 rad. Taj kut odreñuje rezoluciju od 1 cm na udaljenosti od 25 m, odnosno 0,1 mm na 25 cm od oka.


127

AKUSTIKA

Mehanički valovi U upoznavanju prirodnih fenomena oduvijek nam je pomagao i sluh. Čujemo, jer dolazi do interakcije mehaničkih zvučnih valova i našeg organa za sluh. Ti mehanički valovi imaju različite posljedice na naš organizam: od uživanja u muzici do neugode i boli koju trpimo od buke. Infrazvuk izaziva neugodan osjećaj u želucu, a ultrazvuk je dobro oruñe medicinske dijagnostike. Odnos našeg organizma prema toj mehaničkoj energiji ovisi o frekvenciji vala. Stoga smo zvučne valove podijelili u područja: čujnog zvuka, infrazvuka i ultrazvuka. Čujno područje zvuka je područje frekvencija od 20 Hz do 20 kHz. To su frekvencije koje u interakciji sa slušnim aparatom čovjeka uzrokuju fiziološki osjet zvuka. Frekvencije ispod 20 Hz definiraju područje infrazvuka. To su frekvencije mehaničkih valova koji nastaju kod zemljotresa ili recimo promjenom atmosferskog tlaka. Ljudi ih ne čuju, ali zvuk tih frekvencija može izazvati glavobolje ili neke druge fiziološke smetnje, jer unutrašnji organi rezoniraju na tim frekvencijama. Područje frekvencija iznad 20 kHz je područje ultrazvuka. U našem organizmu nemamo receptore za zvukove tog područja. Ti mehanički valovi koriste se u medicinskoj dijagnostici i terapiji. U medicinskoj dijagnostici koristi se ultrazvuk frekvencije izmeñu 1 i 20 MHz, a intenzitet se mijenja od 1 do 100 W/m2.

Titranje

Titranje je oblik periodičkog gibanja. To znači da se pomak tijela, u odnosu na ravnotežni položaj ponavlja nakon perioda T: x(t+T) = x(t). Frekvencija titranja je ν=1/ T. Trenutna vrijednost funkcije naziva se elongacija, a maksimalni pomak od ravnotežnog položaja amplituda, A = xmax(t).

Slobodno titranje

Slobodno titranje je gibanje harmonijskog oscilatora zbog djelovanja elastične sile. Model harmonijskog oscilatora je elastična opruga na koju je obješena kuglica, slika 1. Djelovanjem vanjske sile F, opruga se rastegne, te se kuglica pomakne iz položaja ravnoteže. U tom trenutku, ukupna energija oscilatora je jednaka elastičnoj potencijalnoj energiji opruge. Kad na tijelo prestane djelovati sila F na njega djeluje samo elastična sila opruge, Fel, koja uzrokuje titranje tijela oko položaja ravnoteže. Ukupna energija je tada jednaka zbroju elastične energije opruge i kinetičke energije tijela. Elastična sila proporcionalna je pomaku x:

Fel = - k x

II Newtonov zakon nam tada daje jednadžbu gibanja kuglice: m a = - k x. Kako je

2

2

td

xda = , jednadžba gibanja je

02

2

=+ xktd

xdm


128

Rješenje te diferencijalne jednadžbe drugog stupnja je sinusna funkcija:

x(t) = A sin(ω0 t + ϕ)

gdje je ω0 = 2π/T0 kružna frekvencija slobodnog titranja. Vrijednost konstante ϕ, faza ili fazni kut, odreñuju početni uvjeti. Praktično je odabrati da je u trenutku početka mjerenja, dakle za t = 0, tijelo bilo u ravnotežnom položaju, x(0) = 0, što znači da je ϕ = 0. Tada je promjena elongacije u vremenu prikazana funkcijom: x(t) = A sin ω0 t. Grafički prikaz ovisnosti elongacije slobodnog titranja o vremenu je sinusoida, slika 2.

Iz izraza za ovisnost elongacije o vremenu, možemo odrediti brzinu i akceleraciju tijela koje titra:

tAdt

dxv 00 cosωω== i tA

dt

dva 0

20 sinωω−==

Uvrstimo li ove izraze u jednadžbu gibanja dobivamo: m

k=2ω . Kružna frekvencija i

period titranja ovise o konstanti elastičnosti opruge i masi tijela. Ukupna energija tijela koje slobodno titra odreñena je izrazom:

222

220

22 AmkxmvE

ω=+=

Slika 1. Model za slobodno titranje: učvršćena elastična opruga na koju je obješena kuglica mase m; pod utjecajem elastične sile kuglica titra oko položaja ravnoteže, označenog horizontalnom crtom.

Slika 2. Grafi čki prikaz funkcije x(t) = A sin(ω0 t + ϕ); vremenski fazni

pomak t' = ϕ / ω


129

Slobodno prigušeno titranje Model za slobodno prigušeno titranje je tijelo, koje visi na oprugi, a uronjeno je u viskoznu tekućinu slika 3. Na tijelo djeluju elastična sila i sila trenja, Fr= - r v. Veličina r

je koeficijent trenja koji ovisi o obliku uronjenog tijela i o tekućini. Jednadžba gibanja za tijelo koja titra u viskoznom sredstvu je

02

2

=++ kxdt

dxr

dt

xdm

Rješenje gornje jednadžbe, uz izbor jednakih početnih uvjeta kao i kod slobodnog titranja, glasi:

x(t) = A0 e- β t sin ωt

Kod prigušenog titranja amplituda nije konstantna, nego se eksponencijalno smanjuje: A(t) = A0 e - β t zbog otpora sredstva, slika 4. Frekvencija titranja, ω2 = ω0

2 - β 2 odreñena je

koeficijentom prigušenja m

r

2=β . Tijelo u viskoznom sredstvu titra sporije, ali stalnom

frekvencijom. Ako je vlastita kružna frekvencija manja od koeficijenta prigušenja tijelo ne će titrati, nego se aperiodički vraća u početno stanje.

Slika 3. Model za slobodno prigušeno titranje: kuglica obješena o oprugu titra u sredstvu koeficijenta trenja r.

Slika 4. Grafi čki prikaz prigušenog titranja: amplituda se eksponencijalno smanjuje kako prikazuje krivulja ovojnica; x0 = sin ϕ


130

Prinudno harmonijsko titranje Tijelo je moguće prisiliti na harmonijsko titranje, tako da na njega djeluje vanjska harmonijska sila1, F = F0 sin ω1 t. Jednadžba gibanja u tom slučaju glasi:

tFxkdt

dxr

dt

xdm 102

2

sinω=++

Općenito rješenje ima kompleksan oblik, no nakon nekog vremena, tijelo će titrati frekvencijom vanjske sile i tada govorimo o prinudnom titranju. Promjena elongacije može se opisati jednadžbom:

x(t) = A sin ω1 t. A ωωωωr ωωωω1

Amplituda prinudnog titranja ovisi o frekvenciji harmonijske sile, koja uzrokuje titranje, slika 5. Iz slike zapažamo da će amplituda biti maksimalna za onu frekvenciju harmonijske sile, ω1, koja je jednaka rezonantnoj frekvenciji oscilatora, ω2 = ω0

2 -2β 2. Tu smo pojavu nazvali rezonancija. Do maksimalnog prijenosa energije dolazi ako je trenje zanemarivo te je tada rezonancijska frekvencija jednaka vlastitoj frekvenciji slobodnog titranja oscilatora u vakuumu. Rekli smo već da je energija titranja proporcionalna kvadratu amplitude, pa naglo povećanje amplitude kod rezonancije može uzrokovati razaranje sistema.

Neharmonijsko titranje U prirodi praktički nema harmonijskih oscilatora pa niti harmonijskih titranja. Promjenu elongacije neharmonijskih titranja ne možemo opisati analitičkim izrazom. Analizu neharmonijskih titranja omogućuje matematički postupak nazvan Fourierov teorem. Svaka periodička neharmonijska funkcija može se prikazati kao konačni red harmonijskih funkcija odreñenih amplituda i frekvencija.

x(t) ≈ A1 sin ω1 t + A2 sin ω2 t + A3 sin ω3 t + ... + An sin ωn t

1 Harmonijska sila je promjenljiva sila za koju se promjena jakosti može prikazati sinusnom funkcijom. Opisana je vlastitom frekvencijom i maksimalnim iznosom, amplitudom.

A

ωωωω1

ωωωωr

Slika 5. Ovisnost amplitude prinudnog titranja o frekvenciji vanjske sile


131

Prvi član u redu zove se osnovni harmonik a ostali su viši harmonici. Frekvencija osnovnog harmonika, ω1, jednaka je frekvenciji neharmonijske funkcije a frekvencije viših harmonika su višekratnici ω1: ω2 = 2 ω1, ω3 = 3 ω1 , ….ωn = n ω1.

a b Slika 6. Prikaz neharmonijskog tona u a) vremenskoj i b) frekventnoj domeni, za violinu gornji crteži i za klavir donji crteži Na temelju rezultata Fourierove analize svaku neharmonijsku funkciju možemo grafički prikazati u vremenskoj domeni, x(t), ili frekventnoj domeni, A(ω), slika 6. Prikaz neharmonijske funkcije u frekventnoj domeni koristi se u medicinskoj dijagnostici, jer omogućuje bolju usporedbu različitih neharmonijskih periodičnih fizioloških procesa.

NARAV ZVU ČNOG VALA

Zvuk je mehanički val jer prenosi mehaničku energiju titranja kroz prostor. Po načinu širenja je to uglavnom, longitudinalni val, jer čestice koje prenose energiju titraju u smjeru širenja energije. Izvor zvučnog vala je tijelo koje titra u elastičnom sredstvu. Oko tijela, nastaju lokalna zgušnjenja i razrjeñenja čestica sredstva. To možemo promatrati kao lokalno smanjenje i povećanje gustoće ili kao povećanje i smanjenje lokalnog tlaka. Te promjene šire se elastičnim sredstvom pravocrtno od izvora. Energija titranja prenosi se s jedne čestice na drugu, kao zvučni val. Brzina, valna duljina i frekvencija zvučnog vala povezane su relacijama: λ = vT, ν = 1/T. Brzina zvuka u zraku je 344 ms-1, a u čvrstom elastičnom sredstvu ovisi o gustoći sredstva, ρ, i o Youngovom modulu elastičnosti, Y,

ρY

v = . Brzina zvuka najveća je u čvrstim tvarima i raste s povećanjem Youngovog

modula elastičnosti. U homogenim tekućinama brzina zvuka raste s porastom viskoznosti. Budući da viskoznost tekućine ovisi o temperaturi i brzina širenja zvuka u tekućinama je funkcija temperature, no ta ovisnost ne može se izraziti jednostavnom relacijom. U nehomogenom sredstvu, kao što su biološka tkiva, ovisnost brzine zvuka o viskoznosti i gustoći sredstva može biti složena funkcija. Pritom je ta funkcija različita za pojedine frekvencije zvučnih valova. U Tablici 1. navedeni su podaci za neka tkiva. Dobri vodiči zvuka su sredstva s velikim zvučnim otporom. Zvučni otpor ili akustička impedancija, je parametar kojim odreñujemo različitost sredstva prema provoñenju zvučnog vala. Akustička impedancija je produkt gustoće sredstva i brzine zvuka u sredstvu, Z = ρ v.


132

Domet ili prodornost zvučnog vala u neku tvar ovisi i o frekvenciji zvučnog vala. Prodorniji su valovi nižih frekvencija.

TABLICA 1.

tvar

gustoća kg/m3

zvučni otpor kg/m2 s

brzina m/s

zrak 1,29 430 344 pluća 400 0,26x106 650

mast 920 1,33x106 1450

voda 1000 1,48x106 1480

mozak 1020 1,56x106 1530

mišići 1040 1,64x106 1580

kost 1900 7,68x106 4040

Intenzitet zvučnog vala je energija koju on prenese kroz jediničnu površinu okomitu na smjer širenja u jedinici vremena i mjeri se u W/m2. Za harmonijski val prikazan je relacijom:

v

pvA

tS

EI

ρρω

22

20

220 ===

Intenzitet ovisi o osobinama izvora titranja, ω0 i A, te o svojstvima sredstva, ρ i v. U homogenom sredstvu zvučni val je kuglasti val, pa se intenzitet vala smanjuje udaljavanjem od izvora

22

21

1

2

r

r

I

I=

I1 i I2 su intenziteti u točkama 1 i 2 koje se nalaze na udaljenostima r1 i r2 od izvora. Jednadžba zvučnog vala izražava elongaciju bilo koje čestice sredstva kroz koje se širi zvuk. Informacija o promjeni elongacije titraja izvora, stigne do točke na udaljenosti r od izvora za vrijeme τ. To vrijeme kašnjenja ovisi o udaljenosti točke i brzini širenja vala: τ = r/v, pa je titranje u toj točki pomaknuto u fazi iza titranja izvora za ϕ = ω τ. Izraz za vremensku ovisnost elongacije je:

)(sin)(2sin)(sin),( krtAr

T

tAtArtx −=−=−= ω

λπτω

gdje je k valni broj. Pomak čestica u promatranom dijelu prostora može se mjeriti kao promjena lokalnog tlaka. Za jednostavni harmonijski zvučni val, promjena tlaka opisana je izrazom:

)(2sin),( 0 λπ r

T

tprtp a −=


133

pa0 je amplituda akustičkog tlaka. U nekoj točki prostora, kroz koji se širi zvučni val, izmjereni tlak je p = p0 + pa(r,t), gdja je p0 atmosferski tlak, 105 Pa. Minimalni akustički tlak na koji reagira ljudsko uho iznosi samo 10-5 Pa.

Slika 7. Zvučni val prikazan kao promjena tlaka u prostoru

Nivo intenziteta

Raspon intenziteta zvučnih valova je ogroman. Čak i raspon intenziteta koje čujemo je izmeñu 10-12 W/m2 i 1 do 10 W/m2. Iz praktičnih razloga je zato uveden novi parametar koji je nazvan nivo intenziteta. Definiran je kao omjer intenziteta proizvedenog tona prema intenzitetu dogovorenog referentnog tona. Za intenzitet referentnog tona, odabran je intenzitet praga čujnosti za ljudsko uho na frekvenciji 1000 Hz koji iznosi 10-12 Wm-2. Nivo intenziteta definiran je logaritamskom funkcijom:

0

logI

Ik=β

Ako je konstanta k = 1 jedinica mjerenja je bel, B, a ako je k = 10 nivo intenziteta izražen je u decibelima, dB. Na taj je način raspon vrijednosti smanjen s 12 redova veličine na područje od 0 do 120 dB. Izrazimo li intenzitet pomoću akustičkog tlaka, nivo intenziteta se takoñer može prikazati odnosom mjerenog prema referentnom tlaku pa0= 10-5 Pa:

020

21 log02log10

aa

a

p

p

p

p==β

Referentni tlak je akustički tlak na pragu čujnosti zvučnog vala frekvencije od 1000 Hz. Tablica 2. prikazuje mjerene intenzitete i odgovarajuće nivoe intenziteta različitih zvukova. Dosad smo govorili o harmonijskim zvučnim valovima. Zvučni valovi su harmonijski ako su posljedica harmonijskog titranja izvora. Mnogo češće izvori titraju neharmonijski, a rezultat je neharmonijski val. Takav val analiziramo u višekanalnim analizatorima gdje se val elektroničkim sklopovima raščlanjuje temeljem Fourierove analize. Budući da je energija vala proporcionalna kvadratu amplitude, to će iznosi amplituda pojedinih harmonika govoriti o energijskom spektru neharmonijskog vala. U odreñivanju pomagala za nagluhe ljude upravo je takva analiza najkorisnija. Intenzitet neharmonijskog tona izračunavamo usrednjavanjem akustičkog tlaka:


134

Z

pI ef

2

2

= gdje je dtpT

pT

ef ∫=0

21

TABLICA 2. Intenziteti zvuka različitih izvora

zvuk I / Wm-2 ββββ / dB

zvuk praga osjeta 10-12 0

šuštanje lišća 10-11 10

šapat 10-10 20

tihi radio 10-8 40

razgovor 10-6 60

bučna ulica 10-5 70

unutrašnjost auta 10-4 80

sirena na 30 m 10-2 100

zvuk praga bola 1 120

Zvučne valove iz područja čujnosti dijelimo na tonove i šumove. Tonovi mogu biti jednostavni, harmonijski, ili složeni, neharmonijski. Jednostavan ton proizvodi žica koja slobodno neprigušeno titra. Frekvencija titranja je stalna a amplituda se ne mijenja u vremenu. Složene muzičke tonove proizvode muzički instrumenti. Kod tih tonova zadovoljen je zahtjev da su frekvencije svih viših harmonika cjelobrojni višekratnici osnovnog tona. Kod složenog zvuka, kakav je ljudski govor, svi viši harmonici ne moraju biti cjelobrojni višekratnici osnovnog harmonika. Šum je kvaziperiodični val, a prasak je kratkotrajni zvuk koji nastaje i nestaje, bez ponavljanja.

OSJET FIZIČKIH VELI ČINA

Čovjek može proizvoditi zvukove pomoću glasnica i slušati ih pomoću slušnog organa. To su zvukovi frekvencija iz čujnog područja. Sa stajališta fizike, zvuk je odreñen frekvencijom titranja izvora, brzinom širenja u sredstvu, intenzitetom i frekventnim spektrom. Fiziološki osjeti koje izazivaju zvučni valovi opisuju se kao visina, boja, te glasnoća tona. Zanima nas veza izmeñu parametara u fizici i parametara osjeta. Pritom je važno uočiti da se parametri osjeta sporije mijenjaju od parametara podražaja. A. Frekvencija zvuka - visina tona Ton više frekvencije čujemo kao viši ton. No, pritom ton dvostruko više frekvencije nećemo čuti kao dvostruko viši ton. Osjet visine tona, Vt, je logaritamski vezan uz

frekvenciju zvučnog vala, ν,


135

Vt = log2 ν

Raspon dva tona od kojih je jedan dvostruko viši od drugog zovemo oktava. Frekvencije tonova unutar oktave su u odnosu 1 : 2 : 4 : 8 : 16 : 32. Unutar oktave je 12 tonova. Dva istodobno odsvirana tona zovu se akord. Posebno ugodno zvuče neki akordi kao kvinta, za koju se frekvencije odnose 27/12 , odnosno 3/5 i terca, s odnosom frekvencija 24/12 , tj. 5/4. B. Nivo intenziteta — glasnoća Iskustvo takoñer pokazuje da zvučni val dva puta većeg intenziteta ne čujemo kao dva puta glasniji ton. Ispitivanja su pokazala da je povezanost tih veličina opet logaritamska funkcija. Glasnoća, S, ovisi o intenzitetu, I:

SI ~ log I dakle I = 10 S

Da bismo ton čuli dva puta glasnije intenzitet mora biti 100 puta veći. Glasnoća nekog tona intenziteta I, definira se relativno prema intenzitetu tona, I0, na pragu čujnosti za frekvenciju 1000 Hz kao:

S = SI - S0 = k (log I - log I0) = k log I/I0. To je Weber-Fechnerov izraz kojim je definirana jedinica glasnoće, fon, ako je vrijednost konstante k = 10:

S = 10 log I/I0.

Ovaj izraz vrijedi samo za tonove frekvencije 1000 Hz uz I0 = 10-12 Wm-2. Na drugim frekvencijama prag čujnosti je za ton različitog intenziteta od onog na 1000 Hz. Prema tome, za druge frekvencije trebalo bi posebno odrediti I0. Zato odnos osjeta i intenziteta odreñujemo mjerenjem i prikazujemo standardiziranim izofonskim krivuljama, slika 8. Izofonske se krivulje odreñuju usporedbom glasnoće tona neke frekvencije s poznatom glasnoćom tona na 1 kHz. Te krivulje jasno pokazuju da za jednaki osjet glasnoće tona, nivoi intenziteta na pojedinim frekvencijama nisu jednaki. Ljudsko uho slabo je osjetljivo na tonove frekvencija ispod 100 Hz, što nas štiti od toga da stalno slušamo zvukove iz našeg tijela. S druge, strane, osjetljivost je smanjena i za jako visoke tonove, tako da su rijetke osobe koje čuju tonove frekvencija viših od 10000 Hz. Osjetljivost je najveća u području oko 3000-4000 Hz, jer su te frekvencije blizu rezonantne frekvencije slušnog kanala. Starenjem se raspon frekvencija i osjetljivost smanjuju. Ispitivanja su pokazala da u području iznad 40 fona povećanje glasnoće za 10 fona osjećamo kao dva puta glasniji ton. To znači da ton od 50 fona čujemo dva puta glasnije od tona od 40 fona, ton od 60 fona dva puta glasnije od tona od 50 fona. Za glasnoće veće od 40 fona uveden je novi parametar odreñivanja glasnoće za koji je jedinica son. Glasnoća od 40 fona iznosi 1 son, a dalje se udvostručuje za svakih 10 fona (50 fona odgovara 2 sona, 60 fona 4 sona). Glasnoća iznad 40 fona odreñena je izrazom:

3,0

0

10

40

16

12

==

−

I

IG

S

za I0 = 10-8 Wm-2


136

Slika 8. Izofonske krivulje

C. Frekventni spektar — boja tona Osjet ugode i neugode nekog tona povezan je s frekventnim spektrom neharmonijskih tonova. To je naročito važno u muzici, a nije zanemarivo u ljudskom glasu. Frekventni spektar je ono po čemu razlikujemo tonove jednake visine proizvedene različitim instrumentima. Na slici 6. prikazane su vremenske krivulje i frekventni spektri za ton jednake visine, proizveden na violini i klaviru. Uočljive razlike u sastavu viših harmonika daju osjet različitih boja tona.

POJAVE KOJE KORISTIMO KOD UPOTREBE ZVUKA U MEDICINI

Primjena zvučnih valova u medicini temelji se na spoznaji da će se zvučni val reflektirati od površina različitih zvučnih svojstava i da se, mjereći vrijeme izmeñu reflektiranih valova, može odrediti udaljenost meñu površinama. Na granici dva sredstva će dio vala biti transmitiran u drugo sredstvo, a odnos intenziteta reflektiranog i transmitiranog vala bitno ovisi o svojstvima tvari koje čine granicu. Perkusija i auskultacija su dvije metode koje se već dugo koriste u medicinskoj dijagnostici. Kod perkusije slušamo zvučne valove reflektirane iz unutrašnjih organa, nakon što smo ih udarcem u grudni koš odaslali. Promjena visine tona ukazuje na nove šupljine u organima ili na prisutnost tekućine u šupljinama. Auskultacija je metoda slušanja zvukova iz organizma koje proizvode neki organi kao srce, pluća, zglobovi ili sužene arterije. Za slušanja se koristi stetoskop. Srce proizvodi zvukove niskih frekvencija 20-100 Hz, a pluća u području od 300-1000 Hz. U medicinskoj dijagnostici upotrebljavaju se zvučni valovi ultrazvučne frekvencije zbog potrebe za razlučivanjem struktura u tkivima. Naime, val će se reflektirati s neke


137

površine samo ako je ona veća od valne duljine. Upotreba vala manje valne duljine znači da reflektirajuća površina može biti manja, što poboljšava razlučivanje.

Odbijanje i lom zvučnih valova

Na granici dva sredstva valovi zvuka se reflektiraju i transmitiraju i pritom mijenjaju smjer prostiranja (refrakcija ili lom). Granicu odreñuju dva sredstva različitih zvučnih otpora. Na prijelazu iz sredstva akustičke impedancije Z1 u sredstvo impedancije Z2 , zvučni

val mora skokovito promijeniti brzinu, jer oba zahtjeva Z1= ρ1 v1 i Z2= ρ2 v2 trebaju biti zadovoljena. To će biti ispunjeno, ako se energija zvučnog vala samo djelomično prenese u drugo sredstvo, a ostatak se reflektira. Pritom su zadovoljeni uvjeti refleksije i refrakcije valova. Energije reflektiranog i transmitiranog vala ovise o vrijednostima akustičkih impedancija tvari koja tvore granicu. Intenzitet reflektiranog vala, Ir, prema intenzitetu upadnog vala, I0, odnosi se kao:

22211

22211

0 )coscos(

)coscos(

αααα

ZZ

ZZ

I

I r

+−

=

Slika 9. Refleksija i transmisija zvučnih valova Iz zakona očuvanja energije, I0 = I r + I t, slijedi da će omjer intenziteta transmitiranog, I t, i upadnog, I0 , vala biti:

22211

2211

0 )coscos(

coscos4

αααα

ZZ

ZZ

I

I t

+=

Ovi izrazi pokazuju da je najveći prijenos energije, ako valovi upadaju okomito na granicu sredstava (dakle α1 = α2 = 0° ). Ako je kut upada različit od 0°, onda se samo okomite komponente vala mijenjaju na granici dva sredstva. Iz izraza za refleksiju slijedi da će do totalne refleksije upadnog vala doći, ako su razlike u zvučnim otporima velike Z2 >> Z 1, ili Z2 << Z 1. Totalna refleksija znači da će sva zvučna energija biti vraćena u sredstvo odakle se val proširio do granice. Što je razlika izmeñu zvučnih otpora manja, to će biti veći prijenos energije u drugo sredstvo.


138

Impedancija zraka jako je različita od impedancija svih bioloških tkiva pa zato ne čujemo kucanje srca. Valovi zvuka totalno se reflektiraju na kostima. Zbog loma zvučnih valova na granici dva sredstva moguće je konstruirati zvučnu leću. One se koriste da se zvučni val fokusira u odabrani mali prostor, unutar kojeg je tada povećan intenzitet vala. Herman von Helmholtz i Georg von Bekesey su zaslužni da danas poznajemo proces slušanja. Amplituda titranja na pragu čujnosti primjerice za val frekvencije 1000 Hz je 0,01 nm a to je manje od promjera atoma vodika (dH = 0,1 nm). Na granici bola amplituda titranja čestice (najveći pomak iz položaja ravnoteže) je 11 µm što je dužina usporediva s promjerom stanice (oko 10 µm). Na pragu čujnosti za rezonancijsku frekvenciju slušnog kanala, 10-13 Wm-2, pomak bubnjića je samo 2,1x10-12 m, dovoljno da izazove akcijski potencijal u slušnom živcu i da signal bude prenesen u centar za sluh. Razmislite sami što činite svojem bubnjiću i slušnim živcima ako je pomak bubnjića izazvan intenzitetom zvuka u disko klubu 140 dB (100 Wm-2) čak 0,1 mm. Još malo zanimljivosti. Zašto ne možete razgovarati s osobom koja je zaronila? Izračunajmo intenzitet transmitiranog vala na granici voda/zrak. Zzrak = 430 kgm-2 s, Zvoda = 1,48x106 kgm-2s pa je čak 99,9 % energije vala reflektirano s granice. To je takoñer razlog zašto ne čujemo otkucaje vlastitog srca.

Apsorpcija zvuka

Energija zvučnog vala koji se širi kroz sredstvo troši se na savladavanje trenja zbog titranja čestica sredstva. Mehanička energija titranja djelomično se pretvara u toplinsku energiju. Apsorpcija zvučne energije očituje se u postupnom smanjenju amplitude titranja kako se zvučni val prostire kroz sredstvo. Trenje uzrokuje prigušeno titranje, pa je smanjenje amplitude zvučnog vala u homogenom sredstvu opisano eksponencijalnom funkcijom:

Ax = A0 e- α x

gdje je Ax amplituda zvučnog vala u tvari, na udaljenosti x od površine na koju je upao

zvučni val amplitude A0. α je linearni koeficijent apsorpcije i specifični je parametar za tvar kroz koju se zvučni val prostire. Jedinica za linearni koeficijent apsorpcije je cm-1. Intenzitet zvučnog vala proporcionalan je kvadratu amplitude vala, pa se smanjenje intenziteta takoñer može prikazati eksponencijalnom funkcijom:

Ix = I0 e-2α x

Dubina prostiranja u tkivu na kojoj će intenzitet zvučnog vala Ix biti jednak polovici vrijednosti I0 odreñena je kao debljina poluapsorpcije, x1/2:

αα

2

2ln

2 2/100 2/1 =⇒== − xeI

II x

x

Zvučne izolatore odreñujemo prema veličini debljine poluapsorpcije. Što je debljina poluapsorpcije manja to je tvar bolji zvučni izolator.


139

Dopplerov efekt

Dopplerov efekt je pojava svojstvena svim valnim gibanjima, no više je zamjetna kod valova zvuka nego li kod valova svjetlosti. Razlog je u velikoj brzini rasprostiranja elektromagnetskih valova, pa se Dopplerov efekt za elektromagnetske valove može zamijetiti samo u svemirskim dimenzijama. Ako se izvor zvuka giba s obzirom na prijemnik, frekvencija koju bilježi prijemnik razlikovat će se od frekvencije koju odašilje izvor, slika 9. Ta razlika frekvencija ovisit će o brzini i o smjeru gibanja izvora. Udaljavanje izvora uzrokuje smanjenje, a približavanje povećanje mjerene frekvencije. Pomaci u frekvenciji zapažaju se takoñer ako izvor miruje, a prijemnik se prema njemu relativno giba. Ako se prijemnik giba brzinom vp prema izvoru zvučnih valova frekvencije f0, tada je frekvencija koju bilježi prijemnik:

c

vcff p

p

+= 0

gdje je c brzina zvučnih valova u promatranom sredstvu. Ako se pak izvor brzinom vi giba prema prijemniku registrirana frekvencija će biti:

ip vc

cff

−= 0

Gibaju li se izvor i prijemnik istodobno jedan drugome ususret registrirana frekvencija se može izračunati iz relacije:

i

pp vc

vcff

−+

= 0

Promjena u frekvenciji ∆f = f0 - fp, nazvana Dopplerov pomak, uz uvažavanje da je vi << c je:

i

ip

vc

vvff

−−

=∆ 0 .

Mjereni pomaci u frekvenciji su vjerodostojni, ako su brzine kretanja izvora i prijemnika za vrijeme mjerenja konstantne.

Slika 9. Uz objašnjenje Dopplerovog efekta – kada izvor miruje oba slušača čuju ton jednake visine odreñene frekvencijom titranja izvora. Kada se izvor giba udaljujući se od slušača A i približavajući se slušaču B, slušač A čuje dublji ton od slušača B. Pritom je ton koji čuje slušač A dublji od tona koji šalje izvor a ton koji čuje slušač B je viši od originalnog tona.


Documents

Medicina Fizika