Mediciones con el gnomon Cálculo del radio de la Tierra

IES POETA SÁNCHEZ BAUTISTA Llano de Brujas (Murcia)

Presentación Un gnomon (un objeto vertical que proyecta la sombra sobre un plano horizontal) es un instrumento astronómico antiguo, con el que se pueden realizar diferentes actividades y mediciones astronómicas.

Con motivo del Año Internacional de la Astronomía 2009, el 26 de marzo realizamos, junto con otros centros escolares de toda España, la experiencia “Determinar del radio de la Tierra” de forma parecida a como lo hizo Eratóstenes.

Distintas longitudes de la sombra

La bola blanca (Porexpan®) permite ver la sombra más nítida.

La forma esférica de la Tierra es la causa de las distintas longitudes de la sombra. Algunos griegos fueron capaces de adivinar la forma esférica, observando las diferencias de la longitud de la sombra. Eratóstenes (s.II aC) fue capaz de tomar medidas y hacer la primera estimación del radio de la Tierra.

Detalle de las distintas longitudes de la sombra

Cálculo de Eratóstenes

La diferencia de alturas del Sol permite medir el valor angular del arco entre dos observatorios.

De la equivalencia entre este valor y la distancia en km. entre los observatorios se calcula el radio de la Tierra.

Lo que hizo falta fue plantar un gnomon...

El gnomon ha de estar estable, en posición vertical. La sombra se ha de proyectar en una superficie completamente horizontal. Conviene disponer un papel grande (tipo embalaje) para registrar las posiciones de la sombra.

... e ir registrando las posiciones del extremo de la sombra del gnomon, desde las 10:00h hasta las 14:00h, en intervalos de media hora (al principio) y de 15 minutos a partir de las 11:00h

Tras el último registro pasamos a medir y anotar todas las sombras tomadas con la mayor precisión posible.

DESPUÉS: * Trazamos la recta que une todos los puntos (aproximadamente). * Trazamos una sección de circunferencia de modo que corte a la recta anterior en dos puntos, P y Q. * Hacemos la Mediatriz del segmento PQ. * El punto de corte de la Mediatriz con la recta nos da la hora del MEDIODÍA SOLAR (paso del Sol por el meridiano del lugar) → 13:08h

Longitud mínima de la sombra

  A las 13 horas 8 minutos medimos la longitud de la sombra, instante en que será mínima → 54,7 cm

  Y a partir de esta longitud mínima de la sombra determinamos la altura (grados) del Sol sobre el horizonte, en el momento del paso por el meridiano:

Trigonometría:

Determinación de la altura del Sol

Altura del Sol =

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS DATOS

HORA S (long. -

cm) 10:20 99,3 10:50 84 11:15 73,8 11:30 69,3 11:45 65,6 12:00 62,3 12:15 59,4 12:30 57,3 12:45 55,9 13:00 54,8 13:08 54,7 13:15 54,8 13:30 55,5 13:45 56,5 14:00 58,6

ERATÓSTENES El cálculo de Eratóstenes se basaba en la determinación de:

- Altura del Sol - Distancia lineal entre los dos lugares de observación, situados sobre el mismo meridiano

Para esta última condición elegimos:

Ambos medimos, en dirección Norte-Sur, nuestra distancia al paralelo 40ºN, que es el que pasa por el centro de la Península. Nosotros lo hicimos mediante un atlas, con una regla milimetrada. A partir de la escala del mapa determinamos la distancia en kilómetros → 222 km.

Sumando nuestras distancias estaremos a: 160,8 + 222 = 382,8 km

Como “Diferencia Latitud=Diferencia de alturas del Sol en el mediodía solar” tendremos que: Diferencia Latitud=53,93 – 50,6= 3,33º

Con estos dos datos: 382,8 km y 3,33º ya podemos calcular el Radio terrestre.

Lo haremos con una simple regla de tres:

382,8 km ------------ 3,33º X km ----------- 360º De donde:

Luego la Longitud circunferencia = 41.383,784 km Como L = 2ΠR, entonces: R = L/2Π = 41.383,784/6,2832 = 6.586,42 Km

Aspectos críticos para el éxito

 Absoluta horizontalidad del suelo sobre el que se proyecta la sombra.

 Tamaño (grosor) del gnomon que diferencie bien las zonas de sombra y penumbra.

 Anotación correcta de las horas: uso de un único reloj, con la hora ajustada poco antes del inicio de la experiencia.

 El papel debe ser blanco para determinar bien la sombra del gnomon.