FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE -

SPLIT

Katedra za dinamiku i vibracije

Mehanika 3 (Dinamika)

Laboratorijska vježba 3

Rad i energija

Ime i prezime

prosinac 2008.

MEHANIKA 3 – Laboratorijska vježba: Rad i energija

Katedra za dinamiku i vibracije – FESB 2

Zadatak:

a) Mjereći silu i prijeđeni put (pomak) odredi rad potreban da se zadani teret podigne uz

kosinu.

b) Odredi snagu s kojom je podizan teret.

c) Odredi iskoristivost s kojom je podignut teret.

d) Komentiraj iskoristivost pošto odrediš koeficijent trenja na kosini (primjerice

promjenom nagiba).

e) Odredi iskoristivost sudara pri mjerenju koeficijenta restitucije slobodnim padom.

Literatura: Bilješke s predavanja iz dinamike čestice, Udžbenik-Dinamika: Dinamika

čestice, Rad i energija, Internet.

Vježba:

Plan pokusa (ideja, skice, formule):

Rezultati mjerenja

Komentar:

Laboratorijska vježba 3: Rad i energija

Katedra za dinamiku i vibracije 3

Izvještaj Laboratorijska vježba br. 3: Rad i energija

a) Mjereći silu i prijeđeni put (pomak) odredi rad potreban da se zadani teret

podigne uz kosinu.

Postav (shema)

G

F

s

ANALOGNO-DIGITALNI PRETVARAČ(A/D konvertor)

RAČUNALO

PRILAGODBA SIGNALA

(napajanje osjetnika i pojačavanje)

OSJETNIK POMAKA (LVDT)

OSJETNIKSILE

(S-beam)

Sl 1 Shema sustava

Prikaz virtualnog instrumenta sa zaslona računala

Sl 2 LabVIEW virtualni instrument

Laboratorijska vježba 3: Rad i energija

Katedra za dinamiku i vibracije 4

Rezultat mjerenja

Na grafikonu slike (Sl 2) mogu se uočiti tri područja:

� Područje I predstavlja interval u kojem je sila koja djeluje na teret manja

od granične sile trenja (statičko trenje, teret miruje). Odnosno

µ grF F F= <

� U području II sila koja djeluje na tijelo jednaka je ili veća od sile trenja

(kinematičko trenje, tijelo se giba):

grF F≥

� Područje III se ne analizira jer je (nažalost!) izvan mjernog područja

LVDT-a.

Za računanje (potrebnog utroška) rada za podizanje teret uz kosinu koriste se

vrijednosti iz područja II sa Sl 2.

Put prevaljen u području II jednak je ukupnom hodu LVDT-a i iznosa:

0.055 ms∆ =

Izmjereni podaci sile i pomaka zapisani su u tekstualnu datoteku.

Za odrediti vrijednost sile [N] iz II područja potrebno je podatke iz datoteke

učitati u program za numeričku obradu, primjerice u Matlab, Excel ili vlastiti

C/C++ kod. Prosječnu vrijednost sile u promatranom intervalu možemo odrediti

usrednjavanjem:

2 1

n

1

142.105 Nsr s s i

i

F Fn

−

=

= =∑

Rad je (prema izmjerenim vrijednostima):

2

1

1 2 ( )

s

s

W F s ds− = ⋅∫

Kako se vrijednost sile duž puta u promatranom intervalu koleba neznatno,

iznos rada možemo izračunati koristeći prosječnu vrijednosti sile:

1 2 2.35 Jsr

W F s− = ⋅ ∆ =

b) Odredi snagu s kojom je podizan teret.

Vrijeme trajanja područja II sa Sl 2 je: 1 2 0.445 st − =

Snaga potrebna da se obavi rad u gore navedenom vremenu je:

1 2

1 2

WP

t

−

−

=

5.28 WP =

Laboratorijska vježba 3: Rad i energija

Katedra za dinamiku i vibracije 5

c) Odredi iskoristivost s kojom je podignut teret.

Iskoristivost je omjer korisnog i uloženog rada (i energije) prema Sl 3. Pod

korisnom energijom u ovom slučaju podrazumijevamo potencijalnu + kinetičku

energiju tereta na kraju promatranog intervala, a utrošen rad je rad sile na putu,

pa je:

g

1 2 1 2

1 2

V T

Wη − −

−

+=

Sl 3 Promjena visine i brzine

Promjena potencijalne energije iznosi:

( )g

1 2 2 1

h

V m g h h−

∆

= ⋅ ⋅ −�����

Gdje je:

� ( )sinh s θ∆ = ∆ ⋅

� Masa tereta je 5 kg

g

1 2 1.085 JV − =

Promjena kinetičke energije iznosi:

2

21 2 2 1 0

2

m vT T T−

⋅= − = −

Brzinu i/ili ubrzanje tijela možemo odrediti numeričkom derivacijom

vrijednosti promjene puta spram vremena iz područja II, Sl 2. Kako je signal

opterećen šumom, derivacije se kvalitetno najjednostavnije mogu odrediti za

interpoliranu krivulju. Za podatke na slici dobar je izbor krivulja drugog reda:

( ) 2f x a x b x c= ⋅ + ⋅ + .

(Za način aproksimacije vidi: Primjena računala: Metoda minimalnih kvadrata.)

Na idućoj slici prikazani su obrađeni numerički podaci iz II. mjernog područja

te prilagođena krivulja puta.

Laboratorijska vježba 3: Rad i energija

Katedra za dinamiku i vibracije 6

0

10

20

30

40

50

60

70

2.30 2.40 2.50 2.60 2.70 2.80 2.90

Pomak[mm]

Si la[N]

Pomak fi t

Sl 4 Prikaz vrijednosti iz II. područja u MS Excelu

Dakle, približna krivulja promjene puta o vremenu je:

( ) 2186.21 857.7 986.94s t t t= ⋅ − ⋅ + []

gdje je t u sekundama.

Brzina tijela nakon prijeđenog puta od 55 mm iznosi:

( )

2

-1

2 0.207 ms

t t

ds tv

dt=

= = ,

a kinetička energija tijela:

0.107 JT = .

Korisnost je:

0.506η =

Laboratorijska vježba 3: Rad i energija

Katedra za dinamiku i vibracije 7

d) Komentiraj iskoristivost pošto odrediš koeficijent trenja na kosini (primjerice

promjenom nagiba).

Određen je koeficijent trenja za dva slučaja. Prvi slučaj je gibanje tijela mase 5 kg uz

kosinu pod nagibom od 20º, dok je u drugom slučaju analizirano gibanje istog tijela po

istoj podlozi bez nagiba.

Prvi slučaj:

Za odrediti koeficijent trenja potrebno je postaviti jednadžbe gibanja tijela uz

kosinu

gr NF Fµ= ⋅

Sl 5 Model slobodnog tijela

• Jednadžbe gibanja su:

�µ

x x N

y N

: sin

0 : cos 0

F

F ma F G F m a

F G F

θ µ

θ

= − ⋅ − = ⋅

= ⋅ − =

∑

∑

Odakle slijedi:

sin

cos

F G m s

G

θµ

θ

− ⋅ − ⋅=

⋅

��,

a ubrzanje iznosi:

( )2

-2

2372.4 mms

d s ts

dt= =�� .

Prema gore navedenim vrijednostima i izrazima, koeficijent trenja iznosi:

0.503µ = .

Laboratorijska vježba 3: Rad i energija

Katedra za dinamiku i vibracije 8

Komentar:

Rad sile F na putu ∆s iznosi:

1 2 2.355 JW F s− = ⋅ ∆ =

Rad sile trenja na putu ∆s iznosi:

µcos 1.172 JFW mg sµ θ= ⋅ ⋅ ⋅∆ =

Iskoristivost, u ovom slučaju, iznosi:

µ

1 2

1 0.502F

W

Wη

−

= − =

Sl 6 Kosina

Laboratorijska vježba 3: Rad i energija

Katedra za dinamiku i vibracije 9

Drugi slučaj:

Koeficijent trenja dodatno se određuje iz gibanja po vodoravnoj podlozi (Sl 7).

Svrha pokusa je provjera prethodno izračunatog koeficijenta trenja.

Sl 7 Djelovanje sile na vodoravnoj podlozi

Rezultat mjerenja

Sl 8 Izmjerene vrijednosti sile F i puta ∆s¨

Područja I, II i III sa Sl 8 odgovaraju onima kao i na Sl 2.

Oslobađanje tijela od veza, postavljanje jednadžbi gibanja

F

G

x

y

FNgr NF Fµ= ⋅

a

Sl 9 Model slobodnog tijela

Laboratorijska vježba 3: Rad i energija

Katedra za dinamiku i vibracije 10

• Jednadžbe gibanja su:

�µ

x x N

y N

:

0 : 0

F

F ma F F m a

F G F

µ= − = ⋅

= − =

∑

∑

Odakle slijedi:

F m s

Gµ

− ⋅=

��.

Ubrzanje i sila se računaju iz izmjerenih podataka na isti način kao i u

prethodnome primjeru. Na idućoj slici slijedi prikaz obrađenih numeričkih

podataka iz II. mjernog područja te prilagođena krivulja puta

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7

Pomak [mm]

Sila [N]

Polinom fit

Sl 10 Prikaz vrijednosti iz II. područja u MS Excelu

Prema obrađenim rezultatima mjerenja, dobivena ovisnost puta o vremenu je:

( ) 2339.78 168.49 15.26s t t t= ⋅ − ⋅ + [],

gdje je t u sekundama, a ubrzanje iznosi:

( )2

-2

2679.6 mms

d s ts

dt= =�� .

Sila koja djeluje na tijelo iznosi:

2 1

n

1 32.3 Ni

is s

F

Fn

=− = =

∑

Prema gore navedenim vrijednostima i izrazima, koeficijent trenja iznosi:

0.589µ = .

Laboratorijska vježba 3: Rad i energija

Katedra za dinamiku i vibracije 11

Komentar:

Koeficijent trenja izračunat u prethodna dva slučaja razlikuje 14%.

Mjerenje koeficijenta trenja često podliježe visokom rasipanju rezultata pa smo zadovoljni

dobivenom ponovljivosti.

Koeficijent trenja sada možemo provjeriti još i povećanjem nagiba do proklizavanja.

e) Odredi iskoristivost sudara pri mjerenju koeficijenta restitucije slobodnim padom.