Upload
buihanh
View
249
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Mehanikateoretičnavprašanjainodgovori‐1/12
23/06/08 20:29
Newtonovamehanika1. Določiravninogibanjatočkevpoljucentralnesile.
Ravninagibanjagreskozicentersileinimanormalovsmerivrtilnekoličine
2. ZapišiperiodogibanjapremočrtnegagibanjapodvplivompotencialaU(x).
€
T = 2m dxE0 −U(x)a
b
∫ ,ainbtočki,vkaterihjepotencialenakenergiji.
3. Kajjevektorkotnehitrosti?Tenzor
€
QT ˙ Q jeantisimetričen,zatoobstajaosnivektor
€
ω ,daje
€
QT ˙ Q a = ω × a .Vektorkotnehitrostije
€
′ ω =Q ω .
4. ZapišiEulerjevedinamičneenačbezaprostoosnosimetričnovrtavko.
€
0 = J ˙ ω 1 −ω2ω3(J − J3)
€
0 = J ˙ ω 2 −ω3ω1(J3 − J)
€
0 = J3 ˙ ω 3
€
J := J1 = J2 5. Naštejtrinetrivialneprimereredukcijegibanjanapremočrtnogibanje.
Kajsointegraligibanjavvsakemprimeruposebej?Gibanjepokrivulji(gledenaločnodolžino),gibanjevpoljucentralnesile(gledenaradij),gibanjeosnosimetričnevrtavke(gledenakotnutacije).Integraligibanja:energija(vsitrijeprimeri),vrtilnakoličina(drugadvaprimera).
6. Kdajnatankodverotacijikomutirata?Natankotedaj,kostarotacijiokoliisteosi.
7. Opišigibanjeprosteosnosimetričnevrtavke.Težiščesegibljepremočrtno,osnivektorrotacije
€
ω paenakomerno
precesiraokrogosi
€
k .
8. KolikoparametrovimagrupaGalilejevihtransformacij?10.
9. Zapišienergijskoenačbogibanjamaterialnetočkevpoljukonzervativnesile.
€
12
m˙ x 2 + U(x) = E0,E0 = konst.
10. Zapišienačbegibanjatogegatelesaokrogstalnetočke.Newtonovzakon:
€
m ˙ ̇ ′ P * = ′ F ,Eulerjevadinamičnaenačba:
€
ω × J ω + J ˙ ω =
N
11. ZapišiGalilejevotransformacijomeddvemanaravnimaGalilejevimastrukturamana
€
R × E Transformacijamorabitiafina,veljatimora:
€
t'= t + t0 '
€
P'= c t + c'+Q(P − P0) 12. Kdajpravimo,dajepremočrtnogibanjeizokronično?
Premočrtnogibanjejeizokronično,čejeperiodagibanjaneodvisnaodenergije.
13. Kakozapišemorotacijoskvaternionom?
Mehanikateoretičnavprašanjainodgovori‐2/12
23/06/08 20:29
€
R( e ,ϕ) r = q r q*, r = cosϕ2
+ e sinϕ
2, e =1
14. ZapišisplošnooblikofunkcijeinterakcijemeddvemamaterialnimatočkamaSplošnaoblikafunkcijeinterakcijemedmaterialnimatočkamaP1inP2je:
€
f (P1 − P2,
dP1dt
−dP2dt),kjerjefizotropičnavektorskafunkcija.
15. Kolikoprostorskihstopenjimatogotelo,kisekotalipoploskvi?Konfiguracijskiprostorzakotaljenjetelesapoploskvije5‐dimenzionalen,2koordinatizadotikališčeter3zaorientacijo.Obstajata2neholonomnivezi,kiposkrbita,dasetelokotali.Torejješteviloprostostnihstopenj5‐2=3.
Mehanikateoretičnavprašanjainodgovori‐3/12
23/06/08 20:29
Lagrangevamehanika1. Alijevezpremočrtnegakotaljenjaholonomnaalineholonomnavez?
Vezjeholonomna.2. Kajjekonstantagibanjaavtonomnegasistema?
KonstantagibanaavtonomnegasistemajeJacobijevaenergijskafunkcija
€
ε(q, ˙ q ,t) = p ˙ q − L(q, ˙ q ,t) .3. Kakodobišfrekvencemajhneganihanjaokrogravnovesnelege?
Lagrangevofunkcijozapišemokot
€
L =12
˙ q ⋅T(q0) ˙ q − 12
(q − q0) ⋅V (q − q0) in
rešujemoposplošenisistemlastnihvrednostitako,daiščemotakomega,daje
€
det(V −ω 2T) = 0.4. Najbosistemmaterialnihtočkinvariantenzarotacijeokrogdaneosi.
Kajjepripadajočakonstantagibanja?Konstantagibanjaje
€
e ⋅ L (P0) ,kjerjeeosrotacijeinP0točka,kiležina
osi.5. ZapišiHamiltonovvariacijskiprincip.
StacionarnatočkaakcijskegafunkcionalanadafinimprostoromtrajektorijspredpisanimivrednostminakrajiščihjenatankorešitevLagrangevihenačbspredpisanimivrednostminakrajiščih.
6. KdajjeEulerjevaenergijskafunkcijaenakavsotikinetičneinpotencialneenergije?Kadarjesistemskleronomen,t.j.kovezinisoodvisneodčasa.
7. Najbosisteminvariantenzatranslacijevsmeridanegavektorja.Kajjepripadajočakonstantagibanja?Konstantagibanjajeprojekcijagibalnekoličinenadanivektor.
8. Kajjeposplošenipotencialinkjenastopa?Tojepotencial,odvisentudiodhitrosti(
€
V = V (q, ˙ q ,t)).PrimerposplošenegapotencialajepotencialLorentzovesilealigibanjavrelativnemkoordinatnemsistemu.
9. Zapišiprimervezi,prikaterimožniinvirtualnipomikisovpadajo.Možniinvirtualnipomikisovpadajovprimeru,kojevezgeometričnoskleronomna.
10. Kdajmožniinvirtualnipomikisovpadajo?
Česogeometričneveziskleronomne(npr.
€
dxdt
+dydt
= 0)aličejesistem
katastatičen.11. ZapišiosnovnooblikoLagrangevihenačb.
€
ddt
(∂L∂ ˙ q
) − ∂L∂q
= 0
12. Kakopriteorijimajhnihnihanjvokoliciravnovesnelegepridemodoosnovnihfrekvenc?Tako,darešimoposplošenproblemlastnihvrednosti–rešujemo
€
det(V −ωT) = 0 13. KakorazširimoLagrangevomehanikonaprimere,kojepotencial
odvisenodgeneraliziranihhitrosti?Sposplošenimpotencialom,t.j.
€
V = V (q, ˙ q ,t)
Mehanikateoretičnavprašanjainodgovori‐4/12
23/06/08 20:29
14. Kakšneoblikemorebitigeneraliziranasila,dajolahkozapišemosposplošenimpotencialom?NajboQgeneraliziranasila.Sposplošenimpotencialom
€
V = V (q, ˙ q ,t) jo
lahkozapišemo,čejeoblike:
€
Q = −Vq +ddt
(V ˙ q ) .
15. VkateremprimeruLagrangevafunkcijamajhneganihanjaokoliravnovesnelegesovpadasprvotnoLagrangevofunkcijo?Vprimeru,dajemetričnitenzorkinetičneenergijekonstanten(tonpr.veljavkartezičnihkoordinatah)injepotencialkvadratnafunkcijakoordinat.
16. NajboLagrangevafunkcijainvariantnazatranslacijevsmeridanegavektorja.Kajjepripadajočakonstantagibanja?Pripadajočakonstantagibanjajeprojekcijagibalnekoličinenadanivektor.
17. KakodaniLagrangevifunkcijipriredimoekvivalentnoLagrangevofunkcijo?Najbo
€
L(x, ˙ x ,t) Lagrangevafunkcija.Najbof(x,t)poljubnafunkcija.ČeL
dodamototalniodvodfunkcijefpočasu,bodobljenanova
€
′ L = L +dfdt
Lagrangevafunkcijaekvivalentnaprvotni.
18. Najbosisteminvariantenzatranslacijevsmeridanegavektorja.Kajjepripadajočakonstantagibanja?Čejesisteminvariantenzatranslacijevsmerivektorjaa,jepripadajoča
konstantagibanja
€
a ⋅ ∂L∂ ˙ q
= a ⋅ p .Vposebnem,čejesisteminvariantenzatranslacijevsmeriqi(qijecikličnaspremenljivka),jepikonstantagibanja.
Mehanikateoretičnavprašanjainodgovori‐5/12
23/06/08 20:29
Hamiltonovamehanika1. KakodobimoHamiltonovofunkcijoizdaneLagrangevefunkcije?
HamiltonovafunkcijajeLegendrovatransformirankaLagrangeve
funkcije.Pišemojo
€
H = p ⋅ ˙ q − L(q, ˙ q ,t) ,kjerje
€
p =∂L∂ ˙ q in
€
˙ q izrazimoz
€
p in
€
q2. Zapišikanonskisistemspomočjosimplektičnematrike.
€
˙ x = J ⋅ ∂H∂x
3. Zapišidefinicijočasovnoneodvisnekanonsketransformacije.Tojetakakanonskatransformacija,kjernovespremenljivkenisoodvisneodčasa,t.j.transformacija(P,Q)=f(p,q),kiohranjakanonskisistem,Poissonovoklepajinzadoščasimplektičnemupogoju.
4. Kakoseglasikanonskisistemgibanjavpoljucentralnesile?
€
˙ r = 1m
pr
€
˙ ϑ =1mr2 pϑ
€
˙ p r =pϑ
2
mr3 −dVdr
€
˙ p ϑ = 05. ZapišiHamiltonJacobijevoenačbozaharmoničnioscillator.
€
∂S∂t
+12m
((∂S∂q)2 + (mwq)2) = 0
6. Določinekonstantifunkcijifingtako,dabonjunPoissonovoklepajenaknič.Čejef=g=f(p,q)nekonstantna,je[f,g]=0.Polegtegaje
€
[qi,q j ] = [pi, p j ] = 0in
€
[qi, p j ] = δi, j .7. Kdajnatankojetransformacijafaznegaprostora,kipripadagibanjuz
enoprostorskostopnjo,kanonska?Natankotedaj,kadarohranjavolumenfaznegaprostora,karjezaeno
prostorskostopnjonatankotedaj,kadarje
€
det(∂ξ∂x) =1,pričemersoksi
transformiranekoordinate.8. Kakoseglasikanonskisistemenačbmajhnegagibanjaokoli
ravnovesnelege?Hamiltonovafunkcijajezamajhnagibanjaokoliravnovesnelegeenaka
€
H =12p ⋅T−1 p +
12(q − q0) ⋅V (q − q0),zatojekanonskisistem
€
˙ q = T−1 p, ˙ p = −V (q − q0).9. ČemujeenakaLegendrovatransformacijaHamiltonovefunkcije?
LegendrovatransformacijaHamiltonovefunkcijejeenakaLagrangevifunkciji,sajjeLegendrovatransformacijainvolutivna.
10. Zapišikanonskisistemzaharmoničnioscilator.
Mehanikateoretičnavprašanjainodgovori‐6/12
23/06/08 20:29
Zaharmoničnioscilatorje
€
L =12
m ˙ q 2 − 12
kq2 in
€
H =12m
p2 +12kq2 ,zatoje
kanonskisistem
€
˙ q = 1m
, ˙ p = −kq
11. Zapišiodvodfunkcijef=f(p,q,t)vzdolžrešitvekanonskegasistema
€
dfdt
=∂f∂t
+ [ f ,H]
12. NaštejosnovnelastnostiPoissonovegaoklepaja[f,g]=‐[g,f][f+g,h]=[f,h]+[g,h][af,g]=a[f,g]
€
∂[ f ,g]∂t
= [∂f∂t,g]+ [ f ,∂g
∂t]
[f,[g,h]]+[g,[h,f]]+[h,[f,g]]=013. PriredidaniHamiltonovifunkcijiHamiltonJacobijevoenačbo
€
∂S∂t
+ H(t,q,(∂S∂q)T ) = 0
14. KajpovezujeLagrangevoinHamiltonovomehaniko?Legendrovatransformacija(glej1.Točko)
15. PrirediLagrangevifunkciji
€
12
˙ q ⋅ Π ˙ q −V (q)Hamiltonovofunkcijo.
€
L =12
˙ q ⋅ Π ˙ q −V (q)
€
p =∂L∂ ˙ q
=Π ˙ q ⇒ ˙ q =Π−1p
€
H =Π−1p ⋅ p − 12Π−1pΠΠ−1p +V (q) =
12Π−1p ⋅ p +V (q)
16. Določinetrivialnifunkcijif=f(q,p)ing=g(q,p)tako,dabonjunPoissonovoklepajenak1.
€
[x, px ] =117. Kdajjetransformacijafaznegaprostorakanonska?
Kozadoščasimplektičnemupogoju:
€
(∂ξ∂x)J(∂ξ
∂x)T = J = (∂ξ
∂x)T J(∂ξ
∂x),ξ(x) − transformacija
Mehanikateoretičnavprašanjainodgovori‐7/12
23/06/08 20:29
Kinematikamehanikekontinuuma1. Kdajnatankojetenzordeformacijetrivialen?
Natankotedaj,kojedeformacijatoga.2. ZapišizvezoprideformacijimeddpindP.
€
dp = FdP 3. Zapišimaterialniodvodhitrostnegapolja.Kajpredstavlja?
€
D v Dt
=∂ v ∂t
+ grad( v ) v .Predstavljaprostorskopoljepospeškov.
4. Izračunajodvodprostorskegavolumenskegaelementapočasu.
€
DDt
dv = div( v )dv
5. Kajjeosnivektorpoševnosimetričnegadelaprostorskegagradientahitrostnegapolja?
€
12
rot( v )
6. Kakšnajezvezamedprostorskiminreferenčnimvolumenskimelementom?
€
dv = det(F)dV 7. Kajjesledtenzorjadeformacijskihhitrosti?
€
sl(d) = sl(12(grad( v ) + (grad( v ))T ) = sl(grad( v )) = div( v )
8. Alilahkopriravninskemhitrostnempoljutokovniceinvrtinčnicesovpadajo?Ne,tokovnicetečejovzdolžpoljav,vrtinčnicepavzdolžpoljarot(v),tidvepoljipastapravokotni(
€
rot( v ) =∇ × v )
9. Zapišitenzordeformacijeinnjengeometrijskipomen.
€
E =12(FT F − I) .Primajhnihdeformacijahdiagonalnielementipovejo
relativnospremembodolžinvsmerikoordinatnihosi,izvendiagonalnielementipapolovicokotadeformacije.
10. Kakšnajezvezamedprostorskiminreferenčnimločnimelementom?
€
ds2 = ( A ⋅ 2E
A +1)dS2 ,kjerje
€
A = dP
dP.
11. Čemujeenakosnivektorpoševnosimetričnegadelatenzorjadeformacijskihhitrosti?
€
ω =
12
rot( v )
12. Kajsotokovniceinkajsotirnice?
Najbo
€
F(p0,to,t) = p(t) rešitevdiferencialneenačbe
€
dpdt
= v (p,t), p(t0) = p0 .
Tokovnicavčasut0jekrivulja,kisedotikahitrostnegapoljav(p,t0).Tirnica,kigreskozitočkop0včasut0jekrivulja
€
F(p0,to,t) = p(t) 13. Zakateravektorskapoljapomikovjeinfinitezimalendeformacijski
tenzortrivialen?ČejeUpoljeinfitezimalnihtogihpremikov,tojenatankotedaj,kojegrad(U)poševnosimetričentenzor.
14. Kajsotirnice?
Mehanikateoretičnavprašanjainodgovori‐8/12
23/06/08 20:29
Tirnica,kigrevčasut0skozitočkop0jerešitevdiferencialneenačbe
€
dpdt
= v(p,t)
15. Zapišitransportniizrekzavolumenskiintegral.
€
DDt
f dv
b( t )∫ = (D
f
Dt+ f
b( t )∫ div( v ))dv
16. Napišiprimernestacionarnegahitrostnegapolja,prikateremtokovniceintirnicesovpadajo.
Takšenprimerjenpr.polje:
€
V (x,y,z,t) = (1+ t 2) * (x,0,0)
17. Zapišipogoj,datokovniceinvrtinčnicesovpadajo.Pogojje,daobstajagladkafunkcijaf=f(x,y,z),zakateroveljaV=f*rot(V),oziroma–poljistavzporedni.
Mehanikateoretičnavprašanjainodgovori‐9/12
23/06/08 20:29
Fizikalniprincipmehanikekontinuuma1. Zapišizakonoohranitvimasevintegralskiobliki.
€
DDt
ρdVb( t )∫ = 0
,zavsakiteloVpodtelesomB
2. Kakojedefinirantenzornapetosti?PoCauchyjevihipotezijegostotapovršinskesilefunkcija
€
t (p,t, n ) .Čeza
vektor,kinienotski,definiramo
€
t (p,t, a ) =
a t (p,t,
a a ),jetafunkcijav
zadnjemargumentulinearna,zatolahkodefiniramonapetostnitenzortspredpisom
€
t (p,t, n ) = t(p,t) ⋅ n
3. ZapišiCauchyjevomomentnoenačbo.
€
ρD v Dt
= ρ f + div(t)
4. Kolikoenačbnamdajoprincipioohranitvimase,ogibalniinvrtilnikoličiniinkolikoneznanknastopavtehenačbah?Enačbje7:1oohranitvimase,3ogibalniin3ovrtilnikoličini.Neznankeso
€
ρ, p, v ,t ,torejzanepolarnasredstva13neznank(takratjenapetostnitenzorsimetričen),sicer16.(Alternativa:10neznank–preveri!)
5. Vkaterismerijenormalnanapetostmaksimalna?Normalnanapetostjemaksimalnavsmerilastnegavektorjamatriket,kipripadanajvečjilastnivrednosti.
6. Zapišizakonoohranitvimasevlokalniobliki.
€
DρDt
+ ρdiv( v ) = 0
7. Kjeležismermaksimalnestrižnenapetosti?Smermaksimalnestrižnenapetostileživsmerivsotelastnihvektorjevmatriket,kipripadatanajvečjiinnajmanjšilastnivrednosti.
8. Zapišikontinuitetnoenačbo.
€
DρDt
+ ρdiv( v ) = 0
9. Kajjenormalnanapetostinkajjestrižnanapetost?Normalnanapetost:
€
tn = (t=
n ) ⋅ n .
Strižnanapetost:
€
ts = t 2− tn
2 10. Kdajjetenzornapetostisimetričeninzakaj?
Čejesredstvonepolarno,jetenzornapetostisimetričen.Vtemprimerunamrečizprincipaovrtilnikoličinizavsakohelikoidalnopolje
€
ω sledi
€
DDt
v ⋅ ω dmb∫ +
t ⋅ ω da
∂b∫ ,odkoderizGaussovegaizrekainCauchyjeve
momentneenačbesledi
€
t :W = 0zavsakpoševnosimetričnitenzor
€
W .11. Kakšajezvezamedvektorjemnapetostiintenzorjemnapetosti?
€
t = t n
12. Kdajnatankojetenzornapetostisimetričen?Tenzornapetostijesimetričenčejesredstvonepolarno.
13. Alijelahkomaksimalnastrižnanapetostvečjaodmaksimalnenormalnenapetosti?Čeda,kdaj?
Mehanikateoretičnavprašanjainodgovori‐10/12
23/06/08 20:29
Velja,dajemaksimalnastrižnavrednostenakapolovicirazlikemedmaksimalnoinminimalnonormalnonapetostjo.Zatojepoabsolutnivrednostimanjšaodmaksimalnenormanenapetosti,vendarpajelahkovečjačesovsenormalnenapetostimanjšeodnič,maksimalnastrižnapavečjaodnič.
14. Nakateremprincipuinpredpostavkitemeljisimetričnosttenzorjanapetosti?Simetričnostnapetostnegatenzorjatemeljinaprincipihogibalniinvrtilnikoličiniternapredpostavkinepolarnegakontinuuma.
15. ZapišiCauchyjevomomentnoenačbozaravnovesnipoložajbrezupoštevanjavolumenskihsil.
€
div(t) = 0 ,tnapetostnitenzor.16. Napišiprimernapetostnegatenzorja,kiimaničelnonormalnonapetostv
smerikoordinatneosiinneničelnostrižnonapetost.
€
t ∍: t1,2 = t 2,1 =1,ostalo0.
Mehanikateoretičnavprašanjainodgovori‐11/12
23/06/08 20:29
Mehanikafluidov1. Zapišimatematičnodefinicijofluida
Fluidjekontinuum,vkateremjerazlikamednapetostjovdanismeriinhidrostatskimtlakomodvisnaleodlokalnegadeformacijskegagibanja.Alternativno:Kontinuumjefluid,čejenapetostnitenzorizotropičnafunkcijatenzorjadeformacijskihhitrosti(t=f(d)).Pritemmoraveljatif(0)=‐pI.
2. ZaNewtonovfluidzapišinapetostnitenzor.
€
t = (−p + λdiv( v ))I + 2µd ,dtenzordeformacijskehitrosti.3. Zapišikonstituivnozvezomednapetostjointenzorjemdeformacijskih
hitrosti.Glej2.
4. Zakajjevizkoznostnikoeficient
€
µpozitiven?Iz2.zakonatermodinamikesledi
€
V : d = λ(div( v ))2 + 2µd : d ≥ 0 .Vbazi,vkaterije
€
d diagonalen,topomeni
€
λ(d1 + d2 + d3)2 + 2µ(d1
2 + d22 + d3
2) ≥ 0 ,karjezagotovole,čeje
€
µ ≥ 0 5. KakšenjehitrostniprofilpriPoiseulliejevemutokuskozicevskrožnim
presekom?
€
v =A4µ(R2 − x 2 − y 2) ,hitrostkvadratnopadazoddaljenostjoodsredišča.
6. NapišipogojeveljavnostiBernoullijevegaizrekaIdealenfluid,izenotropičenalihomogeninnestisljiv,potencialnovolumenskasila,stacionarnohitrostnopolje.
7. Kajje
€
Δv ?
€
Δv = div(grad( v )) 8. Kolikšnajecirkulacijaizvoraokrogkrivulje,kiobkrožaizvor?
€
Γ = v ⋅ dp
c∫ =
Q2π(log r + iϑ )dz
c∫ = Q
,cirkulacijajeenakaizvoru.
9. Zapišikompleksnipotencialtoka,sestavljenegaizenakomernegatokavsmeriosix,dipolackoodrinatnemizhodiščuinvrtincaspolomvkoordinatnemizhodišču.Kajpredstavljatatok?Kolikšnajerezultantanapetostinaobtekajočetelo?
€
F(z) =Uz +UR2 1z
+Γ2πi
log z .PredstavljaobtekanjevaljaspolmeromR.
Silanaobtekajočetelo:
€
D = − iρ
2(dF
dz)2dz
c∫ = −iΓρ
10. Zapišienačbohidrostatike
€
−grad(p) + ρ f = 0
11. NapišiNavierStokesovoenačboinobkrožinjennelinearendel.
€
ρD v Dt
= ρ f − grad(p) + (λ + µ)grad(div( v )) + µΔ
v .
Mehanikateoretičnavprašanjainodgovori‐12/12
23/06/08 20:29
12. Kakšenjehitrostniprofiltokaviskoznegafluidameddvemavzporednimastenama,kigapoganjagibanjeenestene?
Profiltokajelinearen:
€
v =Vhy
13. Zapišisplošnooblikoizotropičnetenzorskefunkcijedefiniranenaprostorusimetričnihtenzorjev.
€
t(ψ) = a0(ψ) + a1(ψ) + a2(ψ)‐tunekimanjka!
14. NapišiNavierStokesovoenačbozanestisljivfluid
€
R D
V Dt
= −grad(P) + R F + µΔ
V
15. AlijeEulerjevaenačbanelinearna?Čeje,kajjenjennelinearnidel?Eulerjevaenačbajenelinearna.Nelinearenčlenprideizmaterialnega
odvoda
€
DvDt
=∂v∂t
+ x,x–konvektivenčlen,kijenelinearen.
16. SkicirajtokovnicepriTaylorCouettovemutokumeddvemavaljemaTokovnicesokoncentričnekrožnicessrediščinaosiobehvaljev.