TEHNICKA MEHANIKA 2 - Osnovne akademske studije, III semestar · -mehanika sistema materijalnih ta£aka-mehanika krutog tela Mehanika uop²te, sa stanovi²ta ciljne grupe korisnika

Uvodna razmatranjaKinematika ta£ke

TEHNI�KA MEHANIKA 2

Osnovne akademske studije, III semestar

Prof. dr Rastislav Mandi¢Doc. dr Stanko �ori¢

email: [email protected]

Gra�evinski fakultetUniverzitet u Beogradu

�k. god. 2019/20

S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2


Sadrºaj

1 Uvodna razmatranjaNapomene o predmetuRekapitulacija osnovnih pojmova mehanike

2 Kinematika ta£kePoloºaj, kona£ne jedna£ine, zakon putaBrzina i ubrzanje



Napomene o predmetuRekapitulacija osnovnih pojmova mehanike

Sadrºaj






Tehni£ka mehanika 2

Osnovni podaci o predmetu

Naziv: Tehni£ka mehanika 2

Semestar: III

Fond £asova: 2+2

Modul: Gra�evinarstvo - Zajedni£ke osnove

�ifra i ESPB: B2O2TM, 4






Uslov za sticanje potpisa:- Uredno poha�anje nastave- Uspe²no poloºeni nenajavljeni testovi na predavanjima- Uspe²no poloºena 2 kolokvijuma

Uslov za polaganje ispita:- Dobijen potpis- Poloºen ispit iz predmeta Tehni£ka mehanika 1

Na£in polaganja ispita:- Pismeni ispit u trajanju od 3h (bez literature)






Informacije o nastavi i predmetu:- Kabineti 136, 336- www.grf.bg.ac.rs, Katedra za tehni£ku mehaniku i teorijukonstrukcija, Predmeti, Tehni£ka mehanika 2

- Vitrina ispred Kab. 136




Tehni£ka mehanika 2 - Literatura




Sadrºaj






Osnovni pojmovi mehanike

Predmet izu£avanja mehanike

Mehanka je deo �zike koji se bavi prou£avanjem kretanja telapod dejstvom razli£itih mehani£kih uticaja

Osnovni pojmovi

Kretanje: promena poloºaja posmatranog tela tokom vremena

Poloºaj posmatranog tela je odnos prema referentnom telu

Posmatrano telo i Referentno telo (pogodan koordinatnisistem)

Nezavisnost prostora (3D) i vremena (t>0)

Inercijalni (prostorni) koordinatni sistem Oxyz





Osnovni pojmovi

Telo: kona£na zapremina prostora neprekidno ispunjenamaterijomMaterijalna ta£ka:

- elementarni deo tela sa beskona£no malom koli£inom mase- telo kona£nog oblika i mase, uz zanemarivanje oblika tela(geometrijska ta£ka sa kona£nom masom)

Sistem materijalnih ta£aka: skup mat. ta£aka izme�u kojihpostoje veze





Osnovni pojmovi

Veze su relacije (ograni£enja) izme�u poloºaja i/ili brzina

Alternativno, veze su prisustva drugih tela koja ograni£avaju, iliu potpunosti spre£avaju, mogu¢nost kretanja posmatranog tela

Kruto telo je telo kod koga je rastojanje izme�u bilo koje 2ta£ke je nepromenljivo

⇒ Kruto telo je sistem od ∞ mat. ta£aka (sa constme�usobnim rastojanjima)

⇒ Sistem mat. ta£aka je najop²tiji mehani£ki model




Klasi�kacija mehanike

Sa stanovi²ta domena prostora u kome se kre¢e telo

- klasi£na mehanika (Isaak Newton, 1642-1721)

- relativisti£ka mehanika (Albert Einstein, 1879-1955)

- kvantna mehanika (Max Planck, 1858-1947)

Sa stanovi²ta agregatnog stanja tela koje se posmatra

- mehanika solida

- mehanika �uida (te£nosti i gasovi)

- mehanika plazme




Klasi�kacija mehanike solida

Sa stanovi²ta deformacije pod uticajem sila

- mehanika nedeformabilnih (krutih) tela

- mehanika deformabilnih (£vrstih) tela

Mehanika deformabilnih (£vrstih) tela

- teorija elasti£nosti

- teorija plasti£nosti

- teorija reologije

- itd




Klasi�kacija mehanike solida

Mehanika krutog tela, sa stanovi²ta oblasti razmatranja

- statika

- kinematika

- dinamika

Novije oblasti mehanike deformabilnih tela

- mehanika loma

- mehanika o²te¢enja




Klasi�kacija mehanike

Mehanika krutog tela, sa stanovi²ta predmeta izu£avanja

- mehanika ta£ke

- mehanika sistema materijalnih ta£aka

- mehanika krutog tela

Mehanika uop²te, sa stanovi²ta ciljne grupe korisnika mehanike

- teorijska (racionalna) mehanika

- primenjena mehanika

Mehanika uop²te, sa stanovi²ta matemati£kog pristupa

- vektorska mehanika (Njutn)

- analiti£ka mehanika (Lagranº)




Njutnovi Aksiomi Mehanike

Sir Isaak Newton, 1687. - Aksiomi mehanike

A1: Aksiom inercije

A2: Aksiom o kretanju tela (Aksiom o promeni koli£inekretanja)

A3: Aksiom akcije i reakcije

A4: Aksiom o nezavisnosti dejstava (paralelogram sila)





A1: Aksiom inercije

Svako telo (materijalna ta£ka) ostaje u stanju mirovanja, ili ustanju ravnomernog pravolinijskog kretanja, sve dok poduticajem sile ne bude prinu�eno da to stanje promeni.⇒ Kretanje ta£ke pri £emu je ubrzanje jednako nuli (~r = 0)

A2: Aksiom o kretanju tela (Aksiom o promeni koli£ine kretanja)

Promena koli£ine kretanja tela proporcionalna je sili koja delujei vr²i se u pravcu i smeru delovanja sile.~K = m~v d ~K

dt = ~F odn. m~a = ~F






Me�usobni mehani£ki uticaji dva tela ispoljavaju se silama kojedeluju duº iste napadne linije, imaju iste intenzitete i suprotnesmerove.Ili, ne²to kra¢e: Akciji jednog tela na drugo odgovara istareakcija drugog tela na prvo, ali suprotnog smera.






Mehani£ki uticaj istovremenog delovanja dve sile u istoj ta£kitela ekvivalentan je uticaju jedne sile, u istoj ta£ki, koja jeodre�ena dijagonalom paralelograma konstruisanog nad dvemasilama kao stranicama.

Alternativno, A4 moºe da se formuli²e i u obliku:

Pri istovremenom delovanju dve sile na materijalnu ta£ku,ta£ka se kre¢e po dijagonali paralelograma, konstruisanog nadtim silama kao stranicama, za isto vreme za koje bi se kretalapo pojedinim njegovim stranama pri dejstvu svake sile posebno.




Njutnov Zakon univerzalne gravitacije

Napomene o masi tela

Masa: mera koli£ine materije u zapremini tela

Masa: mera inercije koju poseduje telo

Masa: mera energije sa kojom je ekvivalentna (E = mc2)

Dva tela masa m i M na rastojanju R se me�usobno privla£esilom (Njutnov Zakon univerzalne gravitacije):

F = γmM

R2

ili u obliku

F = mg g = γM

R2

gde je g ja£ina gravitacionog polja, odn. ubrzanje koje telo Msaop²tava telu m




Pojmovi o silama u mehanici

Napomene o silama; 4 vrste sila

Aksiom Inercije ⇒ Sila je prinuda usled koje telo menja svojeinercijalno stanje (ravnomerno pravolinijsko kretanje ilimirovanje)

Gravitaciona sila

Elektro-magnetska sila

Slaba nuklearna sila

Jaka nuklearna sila

Peta vrsta sile (?) Objedinjavanje sila




Pojmovi o silama u mehanici

Pojmovi o silama

Koncentrisane i raspodeljene (linijski, povr²inski, zapreminski)

Sistem sila

Ekvivalentni sistemi sila

Spolja²nje i unutra²nje sile

Rezultanta sistema sila

Slaganje i razlaganje sila

Ravnoteºni sistem sila

Osnovni ravnoteºni sistem sila




Statika kao deo mehanike

Statika

Statika je deo mehanike koja se bavi mirovanjem posmatranihsistema i uslovima pri kojima se realizuje mirovanje. Posmatranisistem miruje, a sile koje na njega deluju su u ravnoteºi.

Aksiomi Statike

A1: Aksiom inercije

A2: Osnovni ravnoteºni sistem sila

A3: Dodavanje ili uklanjanje ravnoteºnog sistema sila



A6: Aksiom o vezama




Sloboda kretanja i generalisane koordinate

Broj stepeni slobode kretanja n

Broj stepeni slobode kretanja n je broj me�usobno nezavisnihskalarnih parametara koji su potrebni i dovoljni da jednozna£noopi²u poloºaj (odn. kretanje) posmatranog sistema

Generalisane koordinate qi, (i = 1, 2, . . . , n)

Generalisane koordinate qi su usvojeni me�usobno nezavisniskalarni parametri (duºine i/ili uglovi) pomo¢u kojih sejednozna£no opisuje poloºaj (odn. kretanje) posmatranogsistema.

Generalisane koordinate su orjentisane (de�nisan smer)





Slobodna materijalna ta£ka

Slobodna mat. ta£ka u 3D prostoru- broj stepeni slobode kretanja: n = 3- generalisane koordinate: q1 = x, q2 = y, q3 = z

Slobodna mat. ta£ka u ravni (Oxy)- broj stepeni slobode kretanja: n = 2- generalisane koordinate: q1 = x, q2 = y

Generalisani koordinatni sistemi

Osim Dekartovih koordinata xyz, mogu da se koriste i druge:

Polarno-cilindarske koordinate ρ, ϕ, z

Sferne koordinate R,ϕ, θ

. . .





Slobodno kruto telo

Slobodno kruto telo u 3D prostoru- broj stepeni slobode kretanja: n = 6- generalisane koordinate:referentna ta£ka A: q1 = xA, q2 = yA, q3 = zAOjlerovi uglovi: q4 = ψ, q5 = ϑ, q6 = ϕ

Slobodno kruto telo u ravni (Oxy)- broj stepeni slobode kretanja: n = 3- generalisane koordinate: q1 = xA, q2 = yA, q3 = θ



Poloºaj, kona£ne jedna£ine, zakon putaBrzina i ubrzanje

Sadrºaj






Kinematika ta£ke

Poloºaj materijalne ta£ke

Poloºaj ta£ke u prostoru je odre�en me�usobnim odnosomta£ke i referentnog tela (posmatra£a)Referentno telo je pogodno izabran koordinatni sistemProstor u kome se nalazi i kre¢e ta£ka je opisan pomo¢uinercijalnog prostornog koordinatnog sistema

Poloºaj ta£ke je de�nisan kao vektor poloºaja koji je izraºen uodnosu na usvojeni koordinatni sistemObi£no se usvaja Dekartov pravougli koordinatni sistem Oxyzdesne orjentacije








Kinematika ta£ke


- Koordinate ta£ke P u odnosu na Oxyz . . . . . . . . . . . . P (x, y, z)

- Koordinate vektora poloºaja ta£ke P . . . . . . . . . . . .~r = {x, y, z}- Jedini£ni (bazni) vektori koordinatnog sistema . . . . . . . . . .~ı,~,~k

- Vektor poloºaja ta£ke:

~r = {x, y, z} = x~ı+ y~+ z~k

- Koordinate vektora poloºaja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x, y, z

- Komponenete vektora poloºaja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .x~ı, y~, z~k




Kinematika ta£ke

Kona£na jedna£ina kretanja ta£ke

Ako se ta£ka P kre¢e, onda ona menja svoj poloºaj u tokuvremena, pa je

~r = ~r(t)

gde je t vreme

- Kona£na jedna£ina kretanja ta£ke, u vektorskom obliku je~r = ~r(t)

- Kona£ne jedna£ine kretanja ta£ke u skalarnom obliku, u odnosuna dekartove koordinate, su x = x(t) y = y(t) z = z(t)

- Ako je poznato ~r = ~r(t), onda je sve o kretanju ta£ke(na£elno) poznato




Kinematika ta£ke

Putanja (trajektorija) ta£ke

Putanja (trajektorija) ta£ke je geometrijsko mesto ta£aka ukojima se mat. ta£ka na²la tokom kretanja, odn. tokomvremena.

- Putanja je hodograf vektora poloºaja

- Kona£ne jedna£ine kretanja ta£ke su, u isto vreme i jedna£ineputanje u parametarskom obliku

x = x(t) y = y(t) z = z(t)




Kinematika ta£ke

Putanja (trajektorija) ta£ke

- Eliminacijom parametra t se dolazi do jedna£ina trajektorije:

x = x(t)y = y(t)z = z(t)

⇒ f1(x, y, z) = 0f2(x, y, z) = 0

- Jedna£ina trajektorije je linija koja je data kao presek dvepovr²i (u sistemu Dekartovih koordinata)




Trajektorija (putanja) i zakon puta




Kinematika ta£ke

Zakon puta s = s(t)

- Poznata je jedna£ina trajektorije

- Usvojena je lu£na koordinata s duº luka trajektorije

- Meri se iz poznatog (po£etnog) poloºaja na putanji (obi£not = 0) i u usvojenom smeru

- Zakon puta materijalne ta£ke je zavisnost s = s(t)

- Ako se poznaje trajektorija duº koje se kre¢e ta£ka i ako se znata£ka P0 od koje se meri lu£na koordinata s u datom smeru,

onda je sa s = s(t) u potpunosti odre�en poloºaj ta£ke usvakom trenutku

- To je prirodan na£in opisivanja poloºaja (odn. kretanja) ta£ke




Zakon puta




Kinematika ta£ke

Odre�ivanje zakona puta s = s(t) iz kona£nih jedn. kretanja

- U dva ∞ bliska poloºaja na liniji (putanji) elementarna tetivaje ≈ elementarnom luku:

|d~r| ≈ ds

- Kako je ~r = ~r(t) = {x(t), y(t), z(t)} to je

d~r = {dx, dy, dz} = {xdt, ydt, zdt}

- Intenzitet diferencijala vektora poloºaja je jednak

|d~r| =√dx2 + dy2 + dz2 =

√x2 + y2 + z2 dt




Kinematika ta£ke

Odre�ivanje zakona puta s = s(t) iz kona£nih jedn. kretanja

Diferencijal puta ds, prema relaciji |d~r| ≈ ds, dat je sa

ds =√dx2 + dy2 + dz2 =

√x2 + y2 + z2dt

- Integracijom se dobija zakon puta:

s =

∫ t

0ds =

∫ t

0

√x2 + y2 + z2dt ⇒ s = s(t)

odn. vremenska funkcija lu£ne koordinate s

- Sa poznatom trajektorijom i zakonom puta s = s(t) opisuje jekretanje ta£ke u prirodnim koordinatama τ, n, b




Kinematika ta£ke

Klasi�kacija kretanja ta£ke

Prema obliku putanje

Prema zakonu puta

Klasi�kacija kretanja ta£ke prema obliku putanje

Pravolinijsko kretanje

Krivolinijsko kretanje

Kretanje u 3D prostoru

Kretanje u ravni (ravan 2D prostor)

Kretanje po povr²i (zakrivljeni 2D prostor)




Kinematika ta£ke

Klasi�kacija kretanja prema zakonu puta s = s(t)

Ravnomerno kretanje s(t) = at+ b

(konstantna brzina)

Jednoliko promenljivo kretanje s(t) = at2 + bt+ c

(konstantno ubrzanje)- jednako-ubrzano a > 0- jednako-usporeno a < 0

Periodi£no kretanje s(t) = s(t+ T ), T = const

Op²te kretanje s = s(t)




Sadrºaj






Vektor srednje brzine




Kinematika ta£ke

Brzina ta£ke

Posmatra se ta£ka u dva kona£no udaljena poloºaja P i P ′

u trenucima t i t1 = t+ ∆t

Srednja brzina (u intervalu ∆t = t1 − t):

~vsr =∆~r

∆t=~r(t+ ∆t)− ~r(t)

∆t

Trenutna brzina (u trenutku t) je grani£na vrednost srednjebrzine kada interval vremena teºi nuli (∆t→ 0)

~v = lim∆t→0

~vsr = lim∆t→0

~r(t+ ∆t)− ~r(t)∆t

=d~r

dt= ~r(t)




Vektor srednjeg ubrzanja




Kinematika ta£ke

Ubrzanje ta£ke

Srednje ubrzanje (u intervalu ∆t = t2 − t1):

~asr =∆~v

∆t=~v(t+ ∆t)− ~v(t)

∆t

Trenutno ubrzanje (u trenutku t) je grani£na vrednost srednjegubrzanja kada interval vremena teºi nuli (∆t→ 0)

~a = lim∆t→0

~asr = lim∆t→0

~v(t+ ∆t)− ~v(t)

∆t=d~v

dt=d2~r

dt2= ~r(t)




Kinematika ta£ke

Kona£na jedna£ina kretanja, brzina i ubrzanje

Kona£na jedna£ina kretanja:

~r = ~r(t) ⇒ ~v = ~r(t) ~a = ~v(t) = ~r(t)

Dekartove koordinate Oxyz

~r = {x(t), y(t), z(t)}

~v = {x(t), y(t), z(t)}

~a = {x(t), y(t), z(t)}




Prirodni koordinatni sistem


Poznata je kona£na jedna£ina kretanja ~r = ~r(t)

Poznata trajektorija (kriva linija u prostoru)

Poznat zakon puta s = s(t)

Vektor poloºaja ta£ke se izraºava preko lu£ne koordinate s:~r = ~r(t) = ~r(s(t)) = ~r(s)

Prirodni koordinatni sistem je de�nisan u svakoj ta£ki krivelinije

Jedini£ni vektori (desne orjentacije) prirodnog sistema ~τ , ~n,~b









Brzina i ubrzanje u prirodnim koordinatama

Prirodni koordinatni sistem ~τ , ~n,~b (u svakoj ta£ki krive)

- ort tangente: ~τ =d~r

ds

- vektor prve krivine (�eksije) ~K = d~τds | ~K| = 1

ρ

- ort glavne normale: ~n =~K

| ~K|⇒ d~τ

ds = 1ρ ~n

- ort binormale: ~b = ~τ × ~n





Brzina i ubrzanje u prirodnim koordinatama

Vektor brzine (pravac tangente):

~v =d~r

dt=d~r

ds

ds

dt=ds

dt~τ = s~τ

Vektor ubrzanja (tangencijalno i normalno):

~a =d~v

dt=

d

dt(s~τ) = s~τ + s

d~τ

dt

kako je d~τdt = d~τ

dsdsdt = s 1

ρ ~n to se dobija

~a = s~τ +s2

ρ~n = ~aT + ~aN = ~aτ + ~an




Brzina u prirodnim koordinatama




Ubrzanje u prirodnim koordinatama




Kretanje ta£ke po kruºnici





Kretanje ta£ke po kruºnici - brzina

Kruºnica polupre£nika R

Poloºaj ta£ke (lu£na koordinata ili centralni ugao):

s = s(t) ili ϕ = ϕ(t) jer je s = R · ϕ

Vektor brzine (pravac tangente):

~v = v~τ gde je v = s = R ϕ = Rω

Ugaona brzina ω = ϕ





Kretanje ta£ke po kruºnici - ubrzanje

Vektor ubrzanja (tangencijalno i normalno):

~a = ~aT + ~aN

Tangencijalno ubrzanje

aT = s = v = Rϕ = Rω = Rε

Ugaono ubrzanje ε = ω = ϕ

Normalno ubrzanje (ka centru krivine, odn. kruga)

aN =s2

ρ=v2

ρ=

(R ϕ)2

R= Rω2




Kretanje ta£ke po kruºnici - brzina i ubrzanje





Kretanje ta£ke po kruºnici: primer

Materijalna ta£ka se kre¢e jednako-ubrzano po kruºnoj putanjipolupre£nika R=25m. Polaze¢i iz mirovanja, ta£ka pre�e lukduºine 50m za 10 sec. Odrediti brzinu i ubrzanje ta£ke u tomtrenutku.

Jednako-ubrzano kretanje zna£i da je tangencijalno ubrzanjekonstantno: aT = const

Kako je aT = v = s, to se, imaju¢i u vidu po£etne uslovekretanja (t = 0 : s0 = 0, v0 = 0), kao i aT = const, dobija:

aT =dv

dt⇒ dv = aTdt ⇒ v = aT t






Kako je v = s, kao i v = aT t, to se dobija

ds

dt= v ⇒ ds = at tdt ⇒ s =

1

2aT t

2

odakle se dobija relacija

aT =2 s

t2

Unose¢i zadate numeri£ke vrednosti, dobija se vrednostkonstantnog ubrzanja:

aT =2× 50

102= 1.0m/s2






Sa ovim se dobija brzina u trenutku t = 10 sec:

v = aT t = 1.0× 10 = 10m/s

Normalno ubrzanje je dato sa

aN =v2

ρ=

102

25= 4m/s2

tako da je ukupno ubrzanje u tom trenutku jednako

a =√a2T + a2

N =√

17 = 4.123m/s2


Documents

TEHNICKA MEHANIKA 2 - Osnovne akademske studije, III semestar · -mehanika sistema materijalnih ta£aka-mehanika krutog tela Mehanika uop²te, sa stanovi²ta ciljne grupe korisnika