PRIMENJENA MEHANIKA FLUIDAPRIMENJENA MEHANIKA FLUIDAPredavanje XIIj

dr Živojin Stamenković docentdr Živojin Stamenković, docent

Bernulijeva jednačina za realne tečnosti

• Ranije je izvedena Bernulijeva jednačina za savršen• Ranije je izvedena Bernulijeva jednačina za savršen fluid i ona glasi:

2 21 1 2 2

1 22 2v p v pgz gz

• Pretpostavke za koje je izvedena ova jednačina su:• Fluid je savršen

Fluid je savršen• Gustina fluida je konstantna• Na fluid deluje sila Zemljine teže• Na fluid deluje sila Zemljine teže• Kretanje je ustaljeno (stacionarno)• Integraljenje se vrši duž strujnice

Bernulijeva jednačina za realne tečnosti

lij j d či lj h i i• Bernulijeva jednačina pretstavlja, u mehanicifluida, zakon o održanju mehaničke energije ik j d j d ji l iukazuje da je pod gornjim uslovima

(pretpostavkama) ukupna energija (zbir kinetičke,potencijalne i pritisne energije) konstantna dužpotencijalne i pritisne energije) konstantna dužstrujnice.Ek i i j đ d k d l• Eksperimentima je utvrđeno da kod realnogfluida brojne vrednosti ne odgovaraju stvarnim

d tivrednostima.• Ovo ukazuje da energija struje ne ostajek š fl dkonstantna nego se troši na putu fluida.

Bernulijeva jednačina za realne tečnosti

O d j č h ičk j iji j k• Ovde je reč o mehaničkoj energiji, jer ukupnafizička energija ostaje prema opštim fizičkimk i ljizakonima nepromenljiva.

• Izgubljeni deo mehaničke energije, kako se običnogovori u praksi, prelazi u energiju druge vrste, npr.u toplotnu energiju koja je u datom slučaju

k inekorisna.• Glavni uzrok ovom gubitku energije je trenjeizmeđu delića čije je delovanje zanemarenoprilikom izvođenja Bernulijeve jednačine.

Bernulijeva jednačina za realne tečnosti

• U cilju korekcije jednačine polazi se od Navije‐Stoksove jednačine za viskozan nestišljiv fluid:

1dv F grad p vdt

• Ako se zadrže sve ostale pretpostavke, koje su biledt

učinjene prilikom izvođenja Bernulijevejednačine, i ako se ponove iste računske radnje,dobija se:

22 2

1 1 2 2lv p v p dl

1

1 1 2 21 2 ,2 2 l

p pgz gz v dl

Bernulijeva jednačina za realne tečnosti

P th d i d j d či d ži d ki• Prethodno izvedena jednačina sadrži dopunskičlan koji zavisi od viskoznosti fluida i zato se onamože smatrati energijskom jednačinom za svemože smatrati energijskom jednačinom za sverealne fluide.

• Dopunski član je dat u obliku integrala ali jeDopunski član je dat u obliku integrala, ali jeintegracija čisto formalno naglašena jer seraspored brzine duž strujnice ne zna te se integralne može sračunati.

• U prakci se njegova vrednost ocenjuje premad kizvedenim eksperimentima.

• Ovaj član je definisan kao Rv/g, gde Rv predstavljad i k ih il t d lić čij jrad viskoznih sila na putu delića čija je masa

jednaka jedinici.

Bernulijeva jednačina za realne tečnostiBernulijeva jednačina za realne tečnosti

š l č j k d b i i i• U opštem slučaju kada se uzmu u obzir svi usputnigubici energije, a ne samo usled viskoznosti, dobiće

ij k j d či l fl id blikse energijska jednačina za realan fluid u obliku:2 21 1 2 2v p v p h

• Ovde se sa hm označava odnos Rm/g, gde je Rm rad

1 1 2 21 22 2 m

p pz z hg g g g

Ovde se sa hm označava odnos Rm/g, gde je Rm radsvih sila otpora na putu tečnosti (po jedinici mase)

• Ovaj član ime dimenziju u metrima te se čestoOvaj član ime dimenziju u metrima, te se čestonaziva izgubljena visina.

Bernulijeva jednačina za realne tečnostiBernulijeva jednačina za realne tečnosti

• Hidraulička visina predstavlja zbir brzinske,geometrijske i pritisne visine, u jednoj tačkig j p j jstrujnice.

• Razlika između hidrauličkih visina u dvema• Razlika između hidrauličkih visina u dvematačkama strujnice jednake je izgubljenoj visini,l flusled otpora strujanju fluida.

• Za srednje verdnosti pritiska i visine uzimajuZa srednje verdnosti pritiska i visine uzimajuse vrednosti koje pripadaju težištu preseka.

Određivanje “gubitaka” energijeOdređivanje  gubitaka  energije

Čl h ij k j d či i liči• Član hm energijske jednačine ima različitevrednosti zavisno od vrste otpora na koje fluid

il i i k t jnailazi pri svom kretanju.• U hidraulici se otpori dele na dve grupe i to:

– Otpori na pravolinijskom putu (otpori trenja)– Mesni (lokalni) otpori

• Gubici energije prouzrokovani ovim otporimanazivaju se:– Usputni gubici– Lokalni gubicig

Određivanje “gubitaka” energijeOdređivanje  gubitaka  energije

• Pod usputnim gubicima podrazumeva se“gubljenje” strujne energije na pravolinisjkomputu izazvano trenjem fluida o dodirne površičvrstog tela (na primer zidove cevi).g ( p )

• Lokalni gubici se odnose na energiju koja se izgubiusled nagle promene pravca kretanja ili oblikausled nagle promene pravca kretanja ili oblikastruje (proširenje, suženje, kolena, račve, ...)

“Gubici” na pravolinijskom putuGubici  na pravolinijskom putu

S d k j j j lj i i di j• Sve dok je strujanje ustaljeno i izvodi se u pravojliniji može se faktor trenja (t) smatratik t t liči d ti t k fl idkonstantnom veličinom za dati protok fluida.

• Ukoliko se sa O označi obim dela normalnogpreseka u kojem se nalazi fluid. Obično se ovajobim naziva okvašenim obimom preseka kanala ili

icevi.• Usled trenja fluida o okvašenu površ javlja se sila:

• Gde je ‐tangentni napon, a L‐dužina cevi.wF OL

Gde je tangentni napon, a L dužina cevi.

“Gubici” na pravolinijskom putup j p• Da bi strujanje moglo da se ustali mora se ova silauravnotežiti drugom takođe u pracu strujanja, alikoja je suprotnog smera od sile trenja.j j p g j

• To je sila usled razlike pritisaka:

• Kako je površina poprečnog preseka nepromenljiva1 1 2 2pF p A p A

(A1=A2) a hm mehanički rad po jedinici gravitacionemase, tada važi:

,

1 2 mp p A OL gh A 2v p 2v p p p1

2vg

11

p zg

22vg

2 2p zg

mh1 2

mp phg

“Gubici” na pravolinijskom putup j p• Ako se sada unese izraz za pad pritiska u kružnoj cevi:

2

1 2 2tl vp p pd

• Dobija se da je:2d

2l2m t

p l vhg d g

Darsijev obrazac

• t‐faktor trenja, v‐srednja brzina u protočnim presecima

• Faktor trenja za turbulentno strujanje zavisi od Rejnoldsovog broja i od relativne hrapavosti cevi:

Re,t t D Ret t Za laminarno strujanje važi:

Izrazi za koeficijent trenjaj j• Kod laminarnog strujanja kroz prave cevi kružnogpoprečnog preseka važi:

64

• Za turbulento strujanje kroz prave cevi kružnogRet

• Za turbulento strujanje kroz prave cevi kružnogpoprečnog preseka važi:

1 2.512log3.7 Ree d

3.7 Ret t

Lokalni gubicig• Lokalni gubici energije računaju se korišćenjemiizraza: 2

2mvhg

• Faktor ima stalnu vrednost za datu vrstu otpora.Fi ički bj š j i š j j

2g

• Fizički se ovo objašnjava time što otpor strujanjupretežno potiče od mestnih (lokalnih) vrtloga koji sejavljaju u struji pa slabo zavisi i od Rejnoldsovogjavljaju u struji pa slabo zavisi i od Rejnoldsovogbroja.

• Faktor z određuje se ekspreimentalno. U izuzetnimj pslučajevima kao što je naglo proširenje preseka,mogu se faktori odrediti teorijski, primenom Bordineteoremeteoreme.

Bordina teorema• Neka tečnost struji kroz cev čiji se presek najednom mestu naglo širijednom mestu naglo širi.

• Strujnice se prvo odvajaju od zida, pa se neštod lj ilj b t j j Ldalje ponovo priljube na rastojanju L.

Bordina teorema• Za rešavanje zadatka koristimo zakon o količini kretanja:

2 1 1 2 cosQ v v p p A gAL 2 1 1 2 cosQ v v p p A gAL

2 1 1 2 1 2Q v v p p A gA z z • Kako važi: Q=v2AJ d či d li• Jednačinu podelimo sa g:

2 1 2v p p 2 1 22 1 1 2p pv v z z

g g g

v p p 2 1 22 1 1 2v p pv v z zg g g

Bordina teorema• Bernulijeva jednačina za ova dva preseka ima oblik:

2 22 21 1 2 2

1 22 2 mv p v pz z hg g g g

2 21 2 2 1

1 2 2 2 mp p v vz z hg g g g

• Poredeći ovu jednačinu i jednačinu dobijenu iz

2 2g g g g

zakona o količini kretanja dobija se:

2 2

2 2 1v v v h2 2 21 2 2 1 22 2v v v v v 2 2 12 1 2 2 mv v hg g g 1 2 2 1 22 22 2 2 2 mv v v v v hg g g g

2 1 22m

v vh

g

Bordina teorema• Dobijeni obrazac za gubitke se može napisati u obliku:

22

2mvhg

2

1 2m

v vh

• Koristeći jednačinu kontinuiteta:2g2m g

A1 1 2 2Av A v

21 2

1

Av vA

2 2 22 2 21

2 2A v vA g g

1 2 2A g g

2

2 1A 2

1

1A