MEHANIKA MATERIJALA IIptf.unze.ba/wp/wp-content/uploads/2020/03/MehMat-II_G...2019-2020. MEHANIKA MATERIJALA II 3 O kursu Otpornost Materijala II ..... Provjera znanja Konačna ocjena

MEHANIKA MATERIJALA II

Aleksandar Karač

Kancelarija 1111

tel: 44 44 20, lok. 129

[email protected]

ptf.unze.ba/mehanika-materijala-ii

Amel Karić

Kancelarija 4202

tel: 44 91 20, lok. 128

[email protected]

2019-2020. MEHANIKA MATERIJALA II 2

Izvođenje nastave

• predavanja: 2 časa sedmično

• vježbe: 2 časa sedmično (auditorne/laboratorijske/RC)Obaveze studenata

• redovno prisustvo predavanjima i vježbama

• urađene zadaće (po poglavljima) – SVE PREDATO/KOLOKVIRANO DO KRAJA SEMESTRA!!!

• seminarski rad (tekstualni dio + prezentacija)

O kursu Otpornost Materijala II .....

Cilj predmeta • Ovladati naprednijim metodama neophodnim za rješavanje komplikovanijih problema iz oblasti mehanike materijala• Uvesti pojam nestabilnosti usljed izvijanja• Proširiti analizu opterećenja elemenata na plastično područje

Kompetencije (Ishodi učenja)

Po završetku kursa studenti će biti u stanju:• rješavati komplikovanije probleme iz oblasti savijanja• dizajnirati i analizirati konstrukcije izložene izvijanju na osnovu kriterija stabilnosti• primijeniti naprednije metode za rješavanje problema iz oblasti mehanike materijala• razlikovati i biti u stanju riješiti probleme s elementima opterećenim preko granice tečenja.



Provjera znanja

Konačna ocjena

• kolokviranje zadataka na vježbama

• seminarski rad

• pismeni ispit (zadaci)

• prisustvo nastavi: 0 %

• zadaće: 25 %

• seminarski/test: 25 %

• pismeni ispit: 50 % (na ispitu se koristi lista formula/tabela dostupna na stranici kursa)!!!

Napomena: Svaka od stavki mora biti ispunjena minimalno 51%!!!

Ocjena 6 55-64%

Ocjena 7 65-74%

Ocjena 8 75-84%

Ocjena 9 85-94%

Ocjena 10 95-100%


Sadržaj/program kursa

(1) Uvijanje – napredni kurs 2 sedmice

(2) Koncentracija napona 1 sedmica

(3) Prostorno stanje napona 3 sedmice

(4) Savijanje greda – napredni kurs 3 sedmice

(5) Energetske metode 3 sedmice

(6) Izvijanje 2 sedmice



LITERATURA

dodatna

osnovna • Predavanja, vježbe (sve dostupno na web stranici)• Grupa autora, Elastostatika I, Tehnički fakultet, Bihać, 2003. • Grupa autora, Elastostatika II, Tehnički fakultet, Bihać, 2004.• Rašković D., Otpornost materijala, Naučna knjiga, Beograd, 1990.• Rašković D., Tablice iz otpornosti materijala, Naučna knjiga, Beograd, 1990.• Vukojević D., Teorija elastičnosti, Mašinski fakultet u Zenici, 1998.• Dž. Kudumović, S. Alagić, Zbirka Rješenih Zadataka iz Otpornosti Materijala, UNTZ, Tuzla, 2000.


• RC Hibbeler, Mechanics of Materials, Prentice Hall, Eight Edition, 2011.• JM Gere, BJ Goodno, Mechanics of Materials, Cengage Learning, Seventh Edition, 2009.• JM Gere, BJ Goodno, An Instructors Solution Manual to Accompany: Mechanics of Materials, Cengage

Learning, Seventh Edition, 2009.• WA Nash, Theory and Problems of Strength of Materials, Schaum’s outline series, McGraw-Hill, 1998.• WC Young, RG Budynas, Roark’s formulas for Stress and Strain, McGraw-Hill, Seventh Edition, 2002.


SEMINARSKI:

Rok za predaju: 5. juni 2020. PREZENTACIJA: 9. jun 2020.


Obaveze studenata

ZADAĆA 1: (1) + (2) + (3)

Zadata: 10. mart 2020.Rok za predaju: 24. april 2020. (petak)

ZADAĆA 2: (4) + (5) + (6)

Zadata: 21. april 2020.Rok za predaju: 12. juni 2020. (petak)

Konsultacije

PON, UT-PET: 9.00-10.00, te prema dogovoru/najavi!!!


Korisne web stranice

• MecMovies to Accompany Mechanics of Materialshttp://web.mst.edu/~mecmovie/

• Strength of Materials (SOM) - Notes, Tutorialshttp://www.onesmartclick.com/engineering/strength-of-material.html

• CosmoLearning, Strength of Materialshttp://www.cosmolearning.com/courses/strength-of-materials/

• Elastic Beam Deflection Calculatorhttp://www.aps.anl.gov/APS_Engineering_Support_Division/Mechanical_Operati

ons_and_Maintenance/Calculators/ElasticBeam2.html

• Free Mechanical Engineering Online Calculatorshttp://www.freebyte.com/cad/calculator.htm

• FREE STRUCTURAL SOFT WAREShttp://www.taxlians.com/html/freesoft.html



Uvijanje – napredni kursUvijanje – ponavljanje

Veza deformacija i napona

max Gr

maxr

G

Linearna zavisnost napona i udaljenosti od ose uvijanja!!!

Uzdužni i transferzalni naponi

Uvijanje = čisto smicanje = dvoosno naponsko stanje bez tangencijalnih napona

maxo

Tr I Opšta formula uvijanja


Uvijanje – napredni kursVratila neokruglog poprečnog presjeka

*RC Hibbeler, Mechanics of Materials, Prentice Hall, Eight Edition, 2011.

Prije deformisanja

Poslije deformisanja


Uvijanje – napredni kurs

Raspodjela napona Izvitopereni poprečni presjek

Vratila neokruglog poprečnog presjeka

Naponi u izabranim elementima



Pravougaoni poprečni presjek

max 21

Tc ab

Maksimalni tangencijalni napon i ugao uvijanja

32

TLc ab G




Primjer 1.1: Vratilo je izrađ eno od crvenog mesinga C83400 i eliptič nog je poprečnog presjeka. Ako se vratilo optereti momentima uvijanja kao na slici, odrediti maksimalan tangencijalni napon u dijelovim AC i BC, te ugao uvijanja φ kraja B u odnosu na kraj A.

Odrediti ugao uvijanja kraja B u odnosu na kraj C.




Primjer 1.2: Vratilo prikazano na slici izrađeno je od aluminijumske legure 6061-T6 i ima poprečni presjek jednakostraničnog trougla. Odrediti najveći moment uvijanja T koji se može primijeniti na kraj vratila ako je dozvoljeni tangencijalni napon 8ksi, a ugao uvijanja ograničen na 0.02 radijana. Koliki moment uvijanja se može primijeniti na puno vratilo kružnog poprečnog presjeka koji je izrađen od iste količine materijala?




Tankostjeni elementi – zatvorena kontura

Posmični tok

sr

( )( )

A A A

B B B

A B

A A B B

dF t dxdF t dxdF dF

t t

q t

Posmični tok Površina bez napona

Površina bez napona

sr

dA tdsdF tds qds

dFqds



Tankostjeni elementi – zatvorena kontura

Srednji tangencijalni napon

sr

sr

sr

sr sr

( ) ( )

2 2m m

dT h dF h tds

T h tds

T t hds

T t dA tA

sr 2

2

m

m

TtA

TqA

Ugao uvijanja

Izraz se dobija korištenjem energetskih metoda

24 m

TL dsA G t

srdF tds qds




Primjer 1.3: Izračunati srednji tangencijalni napon u tankostjenoj cijevi koja ima kruž ni popreč ni presjek srednjeg radijusa rsr i debljine t. Cijev je opterećena na moment uvijanja kao na slici. Koji je relativni ugao uvijanja cijevi, ako je dužina cijevi L.

Primjer 1.4: Cijev je izrađena od bronze C86100 i pravougaonog je poprečnog presjeka. Ako je cijev izlož ena momentima uvijanja kao na slici, odrediti srednji tangencijalni napon u cijevi u tač kama A i B, te ugao uvijanja kraja C u odnosu na E. Cijev je uklješ tena na kraju E.



Koncentracija napona*Osnovni pojmovi

Stanje sa visokim lokaliziranim naponima, mnogo većim od srednjih napona – usljed nagle promjene oblika, u blizini pukotina, rupa, usljed kontakta, ...

Nominalni naponi u presjecima I i II

*D.J. Vitas I, str. 125-155


Osnovni pojmovi

Geometrijski (statički) faktor koncentracije napona*

Maksimalni napon u presjeku II naponi

Koncentracija napona

Uobičajeno je da se za DUKTILNE materijale koncentracija napona kod statički opterećenih konstrukcija NE UZIMA u obzir, pošto prelazak granice proporcionalnosti ne dovodi do pucanja, nego se javlja tečenje (plastična deformacija) i očvršćavanje materijala.

Za krte materijale i konstrukcije izložene dinamičkom opterećenju koncentracija napona MORA se uzeti u obzir u procesu dizajniranja.

*postoji i dinamički (efektivni) faktor koncentracije napona


Metode za određivanje faktora koncentracije napona

1. Analitičko rješenje – teorija elastičnosti2. Eksperimentalne metode – fotoelasticimetrija, mjerne trake, ...3. Računarske simulacije – MKE, MKV, ...4. Teorija membrana – za probleme uvijanja



Koncentracija naponaAksijalno opterećeni spojevi





RC Hibbeler, Mechanics of Materials, Prentice Hall, Eight Edition, 2011.

Primjer 2.1: Odrediti maksimalan normalni napon koji se javlja u šipki koja je opterećena na zatezanje silom od P=8 kN.

Ako je dozvoljeni normalni napon šipke doz=120 Mpa, odrediti maksimalnu aksijalnu silu koja se može primijeniti.


Koncentracija naponaProblemi savijanja




Primjer 2.2: Promjena širine poprečnog presjeka ploče ostvarena je pomoću prelaznog radijusa kao na slici. Ako se ploča optereti momentom savijanja od 5 kNm, odrediti maksimalni normalni napon koji se javlja u čeliku. Granica tečenja je ReH=500 MPa.



Primjer 2.3: Šipka s žljebovima je opterećena dvjema silama P, kao što je prikazano na slici (tzv. Four-point band test, 4PBT). Odrediti najveću silu P koja se može primijeniti, a da napon ne pređe granicu tečenja. Materijal je čelik A-36 (Reh=250 MPa).

Šipka na slici je opterećena silama intenziteta P=100 lbf (jedinica pound-force, 1lbf=4.448 N). Odrediti maksimalan napon usljed savijanja koji se javlja u šipki, te skiciraj raspodjelu napona po poprečnom presjeku šipke na sredini. Svaki žljeb ima poluprečnik od r=0.125 in (inch, col, 1 in = 25.4 mm)



Koncentracija naponaProblemi uvijanja


Koncentracija naponaProblemi uvijanja

Primjer 2.4: Vratilo s prelazima, prikazano na slici, oslonjeno je u osloncima A i B pomoću ležajeva. Odrediti maksimalan napon u vratilu usljed primijenjenih momenata uvijanja. Radijusi zaobljenja na spojevima pojedinih dijelova vratila su r= 6mm.



Mehanika loma - uvod

Koncentracija napona na rubu eliptičke rupe u ploči


Vrste širenja pukotine

Tip I Tip II Tip III

Intenzitet napona, K


Prostorno stanje napona

*Grupa autora, Elastostatika I, Tehnički fakultet, Bihać, 2003

Tenzor napona

Opšte stanje napona

Normalni napon je pozitivan ako se njegov smjer poklapa sa smjerom vanjske normale na elementu površine

Tangencijalni napon je pozitivan ako je na gornjoj, desnoj i zadnjoj površini elementa usmjeren ka pozitivnom smjeru ose.

Normalni napon: indeksi pokazuju površinu na koju djeluje.

Tangencijalni napon: prvi indeks pokazuje površinu na koju napon djeluje, a drugi pravac u kojem djeluje.

Značenje indeksa

Konvencija o predznaku napona

JM Gere, BJ Goodno, Mechanics of Materials, Cengage Learning, Seventh Edition, 2009.


Troosno naponsko stanje

Materijal je izložen samo normalnim naponima (nema primijenjenih tangencijalnih napona).

Maksimalni tangencijalni napon

max 2x y

z

max 2x z

y

max 2y z

x




Hooke-ov zakon u tri dimenzije1 ( ( ))x x y z TE

1 ( ( ))y y x z TE

1 ( )z z x y TE

1 ((1 ) ( ))1 1 2 1x x y z

E T

1 ((1 ) ( ))

1 1 2 1y y x zE T

1 ((1 ) ( ))

1 1 2 1z z x yE T

Promjena volumena

0

1 2 ( )x y z x y zVe

V E


2 2 2

2 2 2

1 ( )21 ( ) ( )

2

1 ( ) 22(1 )(1 2 )

x x y y z z

x y z x y y z y z

x y z x y x z y z

W

WE E

EW

Deformacioni rad



00 1 2

E

0 00

33 1 2E K

3(1 2 )EK

modul kompresije ili zapreminski modul elastičnosti

“Sferično” naponsko stanje (pojam modula kompresije)


- hidrostatički pritisak

“Sferično” naponsko stanje (pojam modula kompresije)

0x y z

Svaka ravan je ravan glavnog napona, normalni napon u svakom pravcu je jednak, ni u jednoj ravni nema tangencijalnih napona

Mohrov krug?


Troosno naponsko stanjeProstorno stanje napona

Primjer 3.1: Dio od aluminija u obliku kvadra (vidi sliku) dimenzija a=6in, b=4in i c=3in, izloženo je triaksijalnom naponskom stanju, σx=12000psi, σy=-4000psi, σz= -1000psi koji djeluju na površ i x, y i z, respektivno.Odrediti sljedeće veličine: a) maksimalan tangencijalni napon τ max u materijalu; b) promjene dimenzija dijela Δ a, Δ b i Δ c; c) promjenu zapremine Δ V; d) deformacioni rad u dijelu. (Pretpostaviti da je E=10400ksi i ν =0.33)


Prostorno stanje naponaKombinovana opterećenja (pomjeranje neutralne ose, jezgro presjeka)

Primjer 3.2: Horizontalna sila P=80kN djeluje na kraju ploče. Ploča je debljine 10mm, a P djeluje u pravcu ose na udaljenosti d=50mm od neutralne ose. Nacrtati raspodjelu normalnog napona koji djeluje u presjeku a-a.


Ekscentrično zatezanje i pritisak (kombinacija aksijalnog naprezanja i savijanja)

max dozP McA I

1 2

y x

M MP x yA I I

Ravno stanje napona i primjena

Pojam jezgre presjeka


Prostorno stanje naponaKombinovana opterećenja (pomjeranje neutralne ose, jezgro presjeka)

Primjer 3.3: Pravougaoni blok zanemarive težine izložen je vertikalnom silom kao na slici. Odrediti opseg vrijednosti ekscentriciteta ey uzduž y ose tako da se u nigdje u bloku ne javljaju zatežući naponi. Odrediti područje u kojem može djelovati sila, a da ne dođe do pojave zatežućih napona u bloku.


Ravno stanje napona - ponavljanje

Ravno stanje napona – jedinstveno predstavljeno s dvije komponente normalnog napona i jednom komponentom tangencijalnog napona koji djeluju na element s određenim položajem u tački elementa.

xy yx 1 1 1 1x y y x



22

1,2 2 2x y x y

xy

Glavni normalni naponi i najveći tangencijalni naponi

22 1 2

max,min 2 2x y

xy

U ravni najvećih tangencijalnih napona djeluju normalni naponi

1 2

2 2x y

1 1x y x y

U ravni glavnih normalnih napona ne djeluju tangencijalni naponi. 12 0


Šta je s trećom dimenzijom?

1cos(2 ) sin(2 )

2 2x y x y

x xy

1 1sin(2 ) cos(2 )

2x y

x y xy


Hooke-ov zakon za ravno stanje napona1 ( )x x yE

1 ( )y y xE + utjecaj temperature

1 ( )x x y TE

1 ( )y y x TE

( )z x yE ( )z x y T

E

Ravno stanje napona i primjena

2 ( )1x x y

E

+ utjecaj temperature

2 ( )1 1x x y

E E T

2 ( )1 1y y x

E E T

2 ( )1y y x

E

0z


Ravno stanje deformacija

Ravno stanje napona Ravno stanje deformacija

Naponi

Deformacije0z 0yz 0xz 0xz

, ,x y xy mogu biti različiti od 0, , ,x y z xy mogu biti različiti od 0

0yz

0xz

, , ,x y z xy mogu biti različiti od 0

0yz 0z 0yz 0xz

, ,x y xy mogu biti različiti od 0

Općenito, ravno stanje napona i ravno stanje deformacija ne dešavaju se istovremeno!!! ALI ....?




Jednačina transformacije – normalna deformacija x1

cosxdx sinydy cosxydy

cos sin cosx y xyd dx dy dy

1 cos sin cosx x y xyd dx dy dy

ds ds ds ds

cosdxds

sindyds

2 21 cos sin sin cosx x y xy




Jednačina transformacije – tangencijalna deformacija x1y1

sinxdxds

cosydyds

sinxydyds

1 2 3 sin cos sinx y xydx dy dyds ds ds

2( )sin cos sinx y xy

cosdxds

sindyds





sinxdxds

cosydyds

sinxydyds

2( )sin cos sin2 2 2x y xy

2( )sin cos cosx y xy

Prostorno stanje napona2( )sin cos sinx y xy




2 21 1 2( )sin cos cos sinx y x y xy

2( )sin cos sinx y xy

2( )sin cos cosx y xy

1 1 2 2( )sin cos cos sin2 2x y xy

x y


1 cos 2 sin 22 2 2

x y x y xyx

1 1 sin 2 cos 22 2 2x y x y xy

1cos(2 ) sin(2 )

2 2x y x y

x xy

1 1sin(2 ) cos(2 )

2x y

x y xy



Glavne deformacije

tg(2 ) xy

x y

2 2

1,2 2 2 2x y x y xy

Maksimalna tangencijalna deformacija

2 2

1,2 2 2x y xy

Mohr-ov krug deformacija




Primjena jednačina transformacija

Jednačine transformacije za ravno stanje napona mogu se koristiti i za napone kod ravnog stanja deformacija, pošto se u jednačinama ravnoteže ne javlja napon z.

Analogno, jednačine transformacije za ravno stanje deformacija mogu se koristiti i za deformacije kod ravnog stanja napona, pošto z ne utiče na geometrijske ovisnosti.

I jedne i druge su validne za bilo koji materijal (linearan ili nelinearan)!!! Zašto?


1cos(2 ) sin(2 )

2 2x y x y

x xy

1 1sin(2 ) cos(2 )

2x y

x y xy

2 21 cos sin sin cosx x y xy

1 1 2 2( )sin cos cos sin2 2x y xy

x y


Rozete mjernih traka

2 2

2 2

2 2

cos sin sin cos

cos sin sin cos

cos sin sin cos

a x a y a xy a a

b x b y b xy b b

c x c y c xy c c

Za mjerenje deformacija (napona) koriste se mjerne trake, koje mjere normalne deformacije.

Za opšte stanje napona, najčešće se koriste klasteri mjernih traka –rozete.

Mjerne trake su opterećene ravnim stanjem napona.

Deformaciono stanje se može odrediti pomoću rozete s tri mjerne trake ukoliko se postave jednačine za sve tri trake, pa se riješi sistem jednačina po x, y i xy:



Naponi u gredi

Normalni naponi

xz

MyI

Formula savijanja!!!!

Tangencijalni naponi

A

Q ydA VQIb

Formulatangencijalnih napona!!!

Savijanje greda – napredni kurs

Dimenzionisanje

• Savojni i tangencijalni naponi ne prelaze dozvoljene napone• Grede su obično duge, pa su momenti savijanja veliki, a tangencijalni naponi služe kao konačna

provjera.• Za jednostavne poprečne presjeke jednostavno je naći potrebne dimenzije, dok se za složene izabere

oblik, pa onda dimenzije.• Iako tangencijalni naponi uglavnom ne predstavljaju problem, za kratke i grede opterećene velikim

tangencijalnim silama, te grede od drveta, neophodno ih je uzeti u obzir pri dimenzionisanju.


Savijanje greda – napredni kursGrede promjenljivog poprečnog presjeka

JM Gere, BJ Goodno, Mechanics of Materials, Cengage Learning, Seventh Edition, 2009.


Savijanje greda – napredni kursGrede promjenljivog poprečnog presjeka

Primjer 4.1: Konzola s nagibom AB punog kružnog poprečnog presjeka opterećena je silom P na slobodnom kraju, kao što je prikazano na slici. Najveći prečnik konzole u presjeku B je dva puta veći od najmanjeg prečnika u presjeku A. Odrediti napon usljed savijanja u uklještenju i najveći napon u gredi.


Savijanje greda – napredni kursGrede promjenljivog poprečnog presjekaPrimjer 4.2: Konzola s nagibom AB dužine L i kvadratnog poprečnog presjeka opterećena je

koncentričnom silom P na slobodnom kraju, kao što je prikazano na slici. Širina i visina grede se mijenjaju linearno od hA na slobodnom kraju do hB u uklještenju. Odrediti napon udaljenost x od slobodnog kraja A do poprečnog presjeka s najvećim naponom na savijanje ako je hB=3hA. Koji je intenzitet najveć eg napona? Koji je odnos najvećeg napona u gredi i maksimalnog napona u uklještenju usljed savijanja u uklještenju i najveći napon u gredi.


Savijanje greda – napredni kursKoso savijanje

Opterećenje u ravni simetrije Opterećenje pod uglom na ose simetrije (koso savijanje)



Predznak momenta savijanja



Naponi savijanja Neutralna osa

y zx

y z

M z M yI I

0

tg( )

y zx

y z

y z

z y

M z M yI I

M Iyz M I



sin

cos

tg

tg tg

y

z

y

z

y z z

z y y

M P L x

M P L xMM

M I Iyz M I I

Općenito osim:

• Opterećenje je u xy-ravni (z je neutralna osa) - =0 ili 180

• Opterećenje je u xz-ravni (y je neutralna osa) - =±90• Iy=Iz


Koso savijanjeSavijanje greda – napredni kurs

Primjer 4.3


Koso savijanjeSavijanje greda – napredni kurs

Primjer 4.4


Elastična linija

Dijagram momenata

Tačka infleksijeElastična linija

Dijagram momenata

Tačka infleksije Elastična linija

Kriva ugiba uzdužne ose koja prolazi kroz težište svih poprečnih presjeka grede – elastična linija.



Elastična linija

Relacija moment savijanja – zakrivljenost grede

Prije deformacije Poslije deformacije

xy y

x xEyE E y

1

z

MEI

xz

MyI

Tačka infleksijeM = 0



Ugib i nagib grede pomoću integracije 1

z

MEI

Zakrivljenost funkcije v=f(x)

2 2

3/ 22

1 /

1 /

d v dx

dv dx

2 2

3/ 22

1 /

1 / z

d v dx MEIdv dx

Elastika – tačan oblik elastične linije (usljed momenta savijanja!!!)

Usljed ispunjenja tolerancije ili estetskih razloga, većina vratila i osovina ima plitku elastičnu liniju, pa vrijedi da je dv/dx veoma malo!!!

2 2 2

3/ 2 22

1 /

1 / z z

d v dx M d v MEI dx EIdv dx



Ugib i nagib grede pomoću integracije

2

2( ) =V dM d d vV x EI xdx dx dx

2

2z

d v Mdx EI

2 2 2

2 2 2( ) = d M d d v dVw x EI w x w xdx dx dx dx

Za EI=const

3

3

d vEI V xdx

2

2 ( )d vEI M xdx

4

4

d vEI w xdx

Jednačina momenta savijanja

Jednačina smičućih/transferzalnih sila

Jednačina opterećenja


2

1 1 22

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )z z z

d v M x dv M x M xdx C v dx C dx Cdx E x I x dx E x I x E x I x



Konvencija o predznaku

• pozitivni ugib nagore• pozitivni nagib se mjeri suprotno kretanju kazaljke na satu u odnosu na x-osu koja je pozitivno usmjerena prema desno, i obrnuto




Granični uslovi

Neophodni za izračunavanje konstanti integracije

2

1 1 22

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )z z z

d v M x dv M x M xdx C v dx C dx Cdx E x I x dx E x I x E x I x



Primjer 4.5: Greda na slici opterećena je kontinuiranim opterećenjem q. Odrediti jednačinu elastične linije, maksimalni ugib, te nagibe u tačkama oslonca, ako je EI=const.


Primjer 4.6: Konzola na slici opterećena je kontinuiranim opterećenjem q. Odrediti jednačinu elastične linije, maksimalni ugib, te nagibe u tačkama oslonca, ako je EI=const.


Grede s više polja

Opterećenja ili ugibi/nagibi ne mogu se predstaviti jednom funkcijom

1. Greda se dijeli na polja na način da su veličine kontinuirane2. Izvodi se integracija po poljima3. Određuju se konstante integracije iz graničnih i uslova kontinuiteta




Uslovi kontinuiteta



Primjer 4.7: Za gredu na slici opterećenu vertikalnom silom P, odrediti jednačinu elastične linije, te maksimalan ugib, ako je EI=const.




Metoda Clebsch-a (i Macaulay-a )

2 2 0A 1 2 3(z) ( ) ( ) ( )

2 2q qM F z z z a F z a M z a= - + - - - + -

1. koordinatni početak izabrati na lijevom krajugrede,2. u svakom polju raspona grede u kome se mijenjanapadni moment uzeti promjenljivu (z - ai), gdje jeai lijeva granica tog polja grede,3. napadni moment u sljedećem intervalu mora bitijednak napadnom momentu prethodnog intervalauvećan za član koji sadrži binom (z - ai); za slučajdjelimično kontinualnog opterećenja to se postižeproduženjem kontinualnog opterećenja do krajagrede uz istovremeno oduzimanje istog togopterećenja,4. integracione konstante C1 i C2 javljaju se samo uprvom polju integrala diferencijalne jednačineelastične linije grede, a određuju se iz uslovaoslanjanja grede.

Više diferencijalnih jednačina po poljima se svodi na jednu – univerzalna elastična linija



Primjer 4.9: Za gredu na slici opterećenu vertikalnim silama P, Odrediti jednačinu elastične linije, te maksimalan ugib, ako je EI=const.


Primjer 4.8: Za gredu na slici odredi jednačinu elastične linije. Uzeti da su sve reakcije poznate.


Ugib i nagib grede pomoću metode superpozicijeSavijanje greda – napredni kurs

Diferencijalna jednačina elastične linije ispunjava dva potrebna uslova kako bi se primijenio principsuperpozicije:(i)Kontinuirano opterećenje w() [q(x)] linearno je vezano za ugib(ii)Opterećenja ne mijenjaju značajno početnu geometriju grede

Princip superpozicije sastoji se u pojedinačnom tabličnom određivanju ugiba ili nagiba za neki presjek ikonačnim sabiranjiem za sva opterećenja, pri čemu treba voditi računa o predznaku ugiba/nagiba.

2019-2020. MEHANIKA MATERIJALA II

Elastične linije osnovnih grednih nosača

71



Elastične linije osnovnih grednih nosača - nastavak

72



Elastične linije osnovnih grednih nosača - nastavak

73




Primjer 4.10: Odredi ugib u tački C. Primjer 4.11: Odredi ugib i nagib u tački B.

Primjer 4.12: Odredi ugib i nagib u tački C.


Statički neodređeni gredni nosači

Broj nepoznatih (reakcija, veza) veći od broja jednačina (statičkih uslova) ravnoteže!!!

a)

M

q

q

T1

T2

q

b) c)

d) e) f)

Metoda integracije (preko elastične linije)Metoda superpozicijeMetoda silaMetoda pomjeranja/deformacijaMetoda tri momenta (Clapeyronova jednačina)itd...




Metoda integracije

1. Postave se jednačine ravnoteže2. Postavi se dodatna jednačina elastične linije3. Koristeći granične uslove, riješi se sistem

jednačina




Metoda superpozicije




Metoda superpozicije – kombinovanje s drugim elementima




Metoda superpozicije – ukrštene grede



Energetske metode - osnove*

*R.C., Hibbeler, Mechanics of Materials, Pearson, Tenth Edition, 2017.

1 10W Pd


Rad vanjskih sila i deformacioni radEnergetske metode - osnove

Rad sile Rad momenta


Rad vanjskih sila i deformacioni radEnergetske metode - osnove

Višeosno (troosno) naprezanje

Deformacioni rad – tangencijalni naponDeformacioni rad – normalni napon


Deformacioni rad različitih opterećenjaEnergetske metode - osnove

Aksijalno opterećenje Uvijanje

Savijanje Smicanje transferzalnom silom


Očuvanje energijeEnergetske metode - osnove

Pod pretpostavkom da se energija nastala usljed toplote, hemijskih reakcija i elektromagnetnih efekata zanemaruje, mehanička energija je uravnoteži, odnosno rad vanjskih opterećenja jednak je deformacionom radu.

Primjer rama Primjer grede

Ograničena upotreba: Primjenljivo samo za jednu silu ili moment koji djeluje na konstrukciju i to samo za pomjeranje/ugao na mjestu i u pravcu djelovanja sile/momenta.


Primjer 5.1: Okvir je opterećen horzontalnom silom kao na slici. Ako je poprečni presjek svakog štapa 0.2 in2 odredi horizontalno pomjeranje tačke B. Modul elastičnosti je 29000 ksi.



Primjer 5.2: Konzola pravougaonog poprečnog presjeka opterećena silom na slobodnom kraju. Odredi pomjeranje ispod opterećenja, ako je EI konstantno.



Metod virtualnih pomjeranjaEnergetske metode - osnove

Posmatra se tijelo opterećeno stvarnim opterećenjima P1, P2, P3, atraži se pomjeranje u tački A.

U tačku A se u pravcu postavlja virtualna (imaginarna) silaintenziteta 1, koja u reprezentativnom elementu kreira opterećenjeu.

Nakon primjene stvarnih opterećenja, tačka A se pomjera za , areprezentativni element izdužuje za dL. Na taj način, stvara sespoljašnji rad virtualnog opterećenja 1·, i virtualni deformacionirad u·L.

Ako se posmatra samo očuvanje virtualne energije, spoljašnjivirtalni rad mora biti jednak deformacionom virtualnom radunastao na svim elementima tijela.

Virtuelna opterećenja

realna pomjeranjaNapomena: Analagno vrijedi i za ugaona pomjeranja s primjenom virtualnog momenta.



Primjena na ramove

Postupak rješavanja

a) Jedinično opterećenje (ovdje sila, a analogno i za moment) se postavi na mjesto i u pravcu u kojem seodređuje pomjeranje (ugao), pa se odrede sile (n) koje djeluju na sve elemente;

b) Odrede se sile (N) koje djeluju u svim elementima samo usljed poznatih stvarnih vanjskih opterećenja;

c) Primijeni je izraz za virtualni rad, pri čemu je neophodno paziti na predznak sila n i N;

d) Ukoliko je suma negativna, pravac djelovanja je suprotan pretpostavljenom.

(P=)1 virtualna sila (traženo) pomjeranjen sila u elementu usljed virtualne sileN sila u elementu usljed stvarnog opterećenja



Primjer 5.3: Odredi vertikalno pomjeranje zgloba C za ram na slici dole. Površina poprečnog presjeka svakog člana je 400 mm2, a modul elastičnosti je 200 GPa.



Primjena na grede


a) Jedinično opterećenje (sila ili moment) se postavi na mjesto i u pravcu u kojem se određujepomjeranje/ugao;

b) Postave se odgovarajuće x koordinate za regije grede u kojima nema diskontinuiteta niti ta stvarna niti zavirtalna opterećenja;

c) Odredi se moment kao funkcija koordinate x za virtalno opterećenje

d) Koristeći iste koordinate x odredi se moment kao funkcija od x usljed poznatih stvarnih vanjskihopterećenja;

e) Primijeni je izraz za virtualni rad.

(P/M=)1 virtualna sila/moment (traženo) pomjeranje/ugaom moment u gredi usljed virtualne

sile/momentaM moment u gredi usljed stvarnog opterećenja



Primjer 5.4: Odredi vertikalno pomjeranje u tački B za gredu na slici dole. EI je konstantno.

Primjer 5.5: Odredi nagib u tački B za gredu na slici dole. EI je konstantno.


Castiglianov (drugi) teoremEnergetske metode - osnove

Pomjeranje je jednako prvom izvodu deformacionog rada utijelu u odnosu na silu koja tjeluje u tački i u pravcupomjeranja.



a) Sila P se postavi na mjesto/zglob i u pravcu u kojem se određuje pomjeranje, a smatra se promjenljivom;

b) Odrede se sile koje djeluju u svim elementima samo usljed poznatih stvarnih vanjskih opterećenja i sile P;

c) Nađu se parcijalni izvodi N/P za svaki element

d) Sili P se da vrijednost sile ako je zamijenila postojeću silu, a ako nije dodijeli joj se vrijednost 0;

e) Primijeni se Castiglianov drugi teorem

Primjena na ramove

(traženo) pomjeranjeP spoljašnja sila promjenljivog intenziteta primijenjena na zglob u

pravcu pomjeranja N unutrašnja sila u elementu usljed stvarnog opterećenja i sile P




Primjer 5.6: Odredi vertikalno pomjeranje zgloba B za Primjer 5.3. Površina poprečnog presjeka svakog člana je 400 mm2, a modul elastičnosti je 200 GPa.



Primjena na grede

(traženo) pomjeranje/ugaoP/M’ spoljašnja sila/moment promjenljivog intenziteta primijenjena na zglob u

pravcu pomjeranja (ugla) M moment u gredi usljed stvarnog opterećenja uključujući i P/M’


a)Sila/moment se postavi na mjesto i u pravcu u kojem se određuje pomjeranje/ugao, a smatra sepromjenljivom;

b)Postave se odgovarajuće x koordinate za regije grede u kojima nema diskontinuiteta niti za sile, nitikontinuirana opterećenja niti momente;

c)Odredi se moment kao funkcija P/M’, a zatim nađi parcijalni izvodiM/P ili M/M’ za svaku xkoordinatu

d)Sili/momentu se da vrijednost sile ako je zamijenila postojeću silu, a ako nije dodijeli joj se vrijednost 0;

e)Primijeni se Castiglianov drugi teorem



Primjer 5.7/8: Uradi primjere 5.4 i 5.5 koristeći Castiglianov teorem.


Izvijanje*

*Grupa autora, Elastostatika II, Tehnički fakultet, Bihać, 2003*JM Gere, BJ Goodno, Mechanics of Materials, Cengage Learning, Seventh Edition, 2009.


IzvijanjeOsnovne karaktersitike i pojmovi

Stabilnost aksijalno pritisnutih elemenata

Umjesto kriterija čvrstoće (vrijednosti glavnih normalnih ili najvećih tangencijalnih napona ne prelaze kritične vrijednosti), ili kriterija krutosti (deformacije ne prelaze kritične veličine) kriterij koji se primijenjuje kod izvijanja je kriterij stabilnosti.


Euler-ova (Ojler) kritična sila izvijanjaIzvijanje

Prelaz iz stabilnog u nestabilne uslove nastaje pri specifičnoj aksijalnoj sili, Fkr – kritična sila.

Za određivanje kritične sile koristi se diferencijalna jednačina elastične linije grede.

2

2

d vEI Mdz


IzvijanjeEuler-ova (Ojler) kritična sila izvijanja

2

2

d vEI Mdz

a) Konzola

2

2 ( )d vEI F vdz

2

2 22 cos sind v k v k v A kz B kz

dz

FkEI

1 1 sin 2 1 1, 2,32

n zv n nl

sin( )cos 0 sin 1sin( )

kzB kl B kl vkl

2 1 1, 2,32

kl n n

1 2

krFn kl lEI

2

min2 2

krEIF I Il

Osnovna forma izvijanja

(0) 0v A

'( ) 0, ( ) 0v L v L



a) Konzola – viši harmonici

22

, 22 12

kr nEIF nl



b) Prosta greda

2

2

d vEI Mdz

2

2

d vEI Fvdz

2

22 0 cos sind v k v v A kz B kz

dz

FkEI

(0) 0 0( ) 0 sin 0

v Av L B kl

1, 2,3krFkl l n nEI

1n

2

min2 kr eEIF F I I

l

22

2krEIF n

l




c) Greda s uklještenjem

2

2

d vEI Mdz

2

2

d vEI vF zYdz

2

2 22 cos sind v Y Y Yk v z k z v A kz B kz z

dz EI F F

FkEI

(0) 0 0

( ) 0 sin

'( ) 0 cos tg

v AYv L B kl lFYv L B kl kl klkF

2 2 2 22

2 22 2 0.7/kr

EI kl EI EI EIF kll l lkl l



d) Greda s dva uklještenja2

2

d vEI Mdz

2

2

d vEI Fvdz

M

2

22 cos sind v k v v A kz B kz

dz EI F

M M

FkEI

(0) 0

'(0) 0 0( ) 0, '( ) 0 1 cos 0

v AF

v Bv L v L kl

M

2 1, 2,3krFkl l n nEI

1n

2

min2 0.5kr e

EIF F I Il

2

224krEIF n

l




IzvijanjeEuler-ova (Ojler) kritična sila izvijanja – osnovna forma

a) Konzola

b) Prosta greda

c) Greda s uklještenjem

d) Greda s dva uklještenja

2

min2 2kr

EIF I Il

2

min2 krEIF I I

l

2

min2 0.7kr

EIF I Il

2

min2 0.5kr

EIF I Il

2

min2 krr

EIF I Il

2

min2 krr

EI I Il A

lr – redukovana dužina

Vitkost štapa odnos redukovane dužine i minimalnog poluprečnika inercije

2

2 22 min

rkr r kr

l A E Kli I


Primjer 6.1: Stub od aluminijuma je fiksiran na dnu te učvršćen na vrhu pomoću užadi kako bi se onemogućilo pomjeranje u pravcu x-ose, kao što je prikazano na slici. Odrediti najveću dozvoljenu silu P koja se može primijeniti, ako je faktor sigurnosti protiv izvijanja jednak 3. Uzeti da je E=70 GPa, ReH=215 MPa, A=7500 mm2, Ix=61.3·106 mm4, Iy=23.2·106 mm4.

Izvijanje (u elastičnom području)


Primjer 6.2: Platforma za osmatranje se oslanja nizom aluminijskih cijevi dužine 3.25 m, vanjskog prečnika 100 mm. Osnove cijevi su učvršćene u betonsku bazu, dok su gornji dijelovi spojeni s platformom. Cijevi su dizajnirane da izdrže opterećenje od 100 kN.

Odrediti najmanju dozvoljenu debljinu cijevi ako je faktor sigurnosti jednak 3. Uzeti da je E=72 GPa, te granica proporcionalnosti 480 MPa.

Izvijanje (u elastičnom području)


IzvijanjeEkscentrično izvijanje (formula sekante)

2

2

d vEI Mdx

2

2 ( )d vEI P e vdx

2

2 22 e cos sind v k v k v A kx B kx e

dx

PkEI

(0) 0 1 cos

( ) 0 tansin 2

v A ekL Lv L B e e k

kL

Maksimalni ugib

cos tan sin 12Lv e kx k kx

max sec 12Lv e k

Formula sekante

max sec2LM P e v Pe k

max 21 sec2

P Mc P ec P LA I A r EA r

IrA



max sec 12Lv e k




Izvijanje Izvijanje u plastičnom području

Engesserov postupak

Elastična deformacija(duge šipke)

Neelastična deformacija(kratke i srednje duge šipke)

2

2t

crE

KLr


Izvijanje Izvijanje u plastičnom području

Ostali postupci .......

a) Empirijski obrasci (Tetmeier, Ostenfeld - Johnson)

b) Omega metoda

c) Energetska metoda

d) Ritz-ova metoda


Izvijanje


Informacije o polaganju pismenog dijela ispita

1. Ispit sadrži 6 zadataka (4 računska zadatka), od kojih svaki nosi 10-30% bodova iz sljedećih oblasti

2. Dozvoljeno je koristiti formule i tabele koje se mogu naći na web-stranici kursa

3. Obavezno ponijeti kalkulator (mobitel se ne može koristiti), te 2-3 prazne dvolisnice A4 formata

4. Ispit traje 135 minuta

a. Uvijanje – napredni kurs – računski zadatak (10-15%)

b. Koncentracija napona – računski zadatak (10-15%)

c. Primjena ravnog stanja napona: ekscentrični pritisak – računski zadatak (10-15%)

d. Savijanje: koso savijanje – računski zadatak (10-15%)

e. Savijanje: određivanje elastične linije – primjena metoda integracije, Clebsch (10-25%)

f. Savijanje: superpozicija – ugib i nagib statički određenih problema, statični neodređeni problemi (15-25%)

g. Energetske metode: greda i ram – 2 računska zadatka (15-25%)

h. Izvijanje (u elastičnom području) – računski zadatak (10-15%)

114


S R E T N O !!!


Nagradni zadaci

Nagradni zadaci


Nagradni zadaci

Zadatak I.1: Dvije mjerne trake a i b su zaljepljene na površinu ploče, kao na slici. Ako su očitanja traka a=45010-6 i b=10010-6. Odrediti modul elastičnosti E, modul klizanja G i Poisson-ov koeficijent .

Podaci: wx=700 kN/m, wy=-175 kN/m, debljina ploče je 25 mm.

Rok za predaju: 19. 03. 2012., 12h

Naprezanje u dva pravca


Nagradni zadaci

Rok za predaju: 26. 03. 2012., 12h

Naprezanje u dva pravcaZadatak I.2: Aluminijska ploča uklještena je sa svih strana, kao na slici. Odrediti normalne napone

x i y koji nastaju ako se temperatura ploče poveća 50 C. Uraditi isti zadatak ako se pretpostavi da je prije zagrijavanja između ploče i zida bio zazor od 70 m u y pravcu i 120 m u x pravcu.


Nagradni zadaci

Rok za predaju: 09. 04. 2012., 12h

Primjena ravnog stanja napona i defoermacijaZadatak II.1: Čelično vratilo dato na slici ima poluprečnik 15 mm. Odrediti moment uvijanja

vratila ako su očitanja mjernih traka: x’=−80·10-6 i y’=-80·10-6. Odrediti i deformacije u pravcu x i y ose.

Documents

MEHANIKA MATERIJALA IIptf.unze.ba/wp/wp-content/uploads/2020/03/MehMat-II_G...2019-2020. MEHANIKA MATERIJALA II 3 O kursu Otpornost Materijala II ..... Provjera znanja Konačna ocjena