7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

1/214

Otpornost materijala

Osnovni pojmovi, spoljanje iunutranje sile, definicije napona ideformacije, vrste naprezanja

Osnovni pojmovi

Otpornost materijala

Kruto teloRastojanje ma koje 2 take je stalno,

ne menja se,

telo se ne deformie

predmet prouavanja mehanike

vrsto teloRastojanje ma koje 2 take se menja pod dejstvom sila,realna tela koja mogu da se deformiu

menjaju svoj oblik i veliinu

PREDMET IZUAVANJA OTPORNOSTI MATERIJALA

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

2/214

10/24/200

Predmet izuavanjaotpornosti materijala - vrste vrstih tela

tap Ploa Ljuska

Masiv

ab

dd

d

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

3/214

10/24/200

Zadatak otpornosti materijala

Proraun vrstoeOdreivanje dimenzija elemenata, zavisno od odabranog

materijala,

koji iskljuuju mogunost loma

Proraun krutosti (deformabilnosti)Dimenzije koje obezbeuju deformacije u odreenim granicamaOdreivanje deformacija tog elementa pod optereenjem

Proraun stabilnostiDa element pod optereenjem zadri prvobitni oblik u eksploatacijii ne izgubi stabilnu ravnoteu

Otpornost materijala

Osnovne pretpostavkeotpornosti materijala

Neprekidnost materijala

Homogenost materijala

Izotropnost materijala (u svimpravcima)

Elastinost materijala

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

4/214

10/24/200

Podela sila koje deluju

Spoljanje Unutranje

Otpornost materijala

Osnovne pretpostavkeotpornosti materijala

Pretpostavka o linearnoj zavisnostinapona i deformacija (Hukov zakon)

Princip poetnih dimenzija (deformacije

su male) Princip nezavisnosti dejstva sile

(superpozicije)

Princip Sen-Venana

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

5/214

10/24/200

Spoljanje sile se dele:Aktivne

Reaktivne

Po mestu delovanja

zapreminske

povrinske linijske

koncentrisane

Po karakteru dejstva

statike dinamike udarne

Otpornost materijala

Spoljanje i unutranje sile

Telo je u ravnotei kada nanjega deluju dve sile jednakihveliina, kolinearne i suprotnih

smerova Prema zakonu akcije i reakcije:

Usled dejstva tereta,spoljanjih sila, pojavie sesile koje se odupiru dejstvuspoljanjih sila - unutranjesile

GG

L

z

z

FU

FU

G

+

I I I I

Szi = G - F = 0u

I I

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

6/214

10/24/200

Naprezanja, naponi i deformacije

Kada vrsto telo napadaju spoljanjesile kaemo da je NAPREGNUTO ili ustanju naprezanja

Pod uticajem spoljnih sila telo doneklemenja svoj oblik i zapreminu

DEFORMIE SE

Otpornost materijala

Osnovne vrste naprezanja:

Aksijalno naprezanje

Smicanje

Uvijanje

Savijanje

Izvijanje

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

7/214

10/24/200

Aksijalno naprezanje

Zatezanje

Pritisak

Aksijalno naprezanjeizazivaju silekolinearne sa osom

tapa ili vie sila ijaje rezultanta upravcu ose tapa

Otpornost materijala

F

F

- F

+ Fz

- F

+ F

Smicanje

Otpornost materijala

- F

+ F

Ako deluju samotransferzalne(poprene) sile,

naprezanje je istosmicanje

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

8/214

10/24/200

Uvijanje - torzija

Otpornost materijala

Ako u preseku delujesamo moment torzijenaprezanje je istouvijanje - torzija

- F

+ F

m t

mA

A

B

Savijanje

Otpornost materijala

m B

ABm

A

Ako u preseku delujesamo momentsavijanja naprezanje je

isto savijanje

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

9/214

10/24/200

Izvijanje

Otpornost materijala

- F

+ F Akoje tap napregnut

aksijalnim silama a poprenipresek tapa mali u odnosuna duinu tapa (vitkitapovi) nastae sluajizvijanja vlakana, jer vlakna

prelaze u krive linije

Savijanje proste grede silama

Otpornost materijala

A B

F1 F2

Savijanje i smicanjePostojanje momenta savijanja

izaziva savijanje

Postojanje transverzalne sile - izazivasmicanje

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

10/214

10/24/200

Savijanje konzole silom

Otpornost materijala

A

B

F

Savijanje i smicanjePostojanje momenta savijanja

izaziva savijanje

Postojanje transverzalne sile - izazivasmicanje

Uvijanje konzole silom na kraku

Otpornost materijala

A B

F

Savijanje, uvijanje ismicanje

Postojanje momentauvijanja izaziva uvijanje

Postojanje momentasavijanja izaziva savijanje

Postojanje transverzalnesile - izaziva smicanje

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

11/214

10/24/200

Unutranje sile. Metoda preseka

Otpornost materijala

Presei telo zamiljenom ravni na mestu gdetreba odrediti unutranje sile

Odbaciti jedan deo

Dejstvo odbaenog dela zameniti silama Postaviti statike jednaine ravnotee Odrediti unutranje sile, komponente glavnog

vektora i glavnog momenta

Unutranje sile. Metoda preseka

Otpornost materijala

Presei telo zamiljenom ravni na mestu gdetreba odrediti unutranje sile

F1Fn

F3 Fm

Fo

F2

III

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

12/214

10/24/200

Unutranje sile. Metoda preseka

Otpornost materijala

Odbaciti jedan deo

Dejstvo odbaenog dela zameniti silama

F1

F3

F2

I

Unutranje sile. Metoda preseka

Otpornost materijala

Postaviti statike jednaine ravnotee Odrediti unutranje sile, komponente glavnog

vektora i glavnog momenta

F1

F3

F2

I

S x = 0S y = 0

S x = 0SM x = 0

SM y = 0SM z = 0

FFF

FR

MR

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

13/214

10/24/200

Unutranje sile. Metoda preseka

Otpornost materijala

Fn

Fm

FoFyFx

FzM z

M xM y

x

z

y

II

F1

F3

F2

FyFx

Fz M z

M x

M yx

z

C

y

I

Naponi, sile u preseku

Otpornost materijala

Odnos unutranjesile i povrine nakoju ona deluje,mera intenziteta sile,

je srednji napon psr Ukupan napon p je

vektor kolinearan jesa vektorom sile F

DF

DF DF dF

F1

F3

F2

I n

t

M

DA

DA DA dADA 0p =sr p = lim =

a

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

14/214

10/24/200

Napon

Otpornost materijala

Odnos unutranje sile DF koja deluje na povrinuDA preseka optereenog tela, ako veliina ovepovrine tei ka nekoj graninoj vrednosti - akoovu povrinu smanjujemo do beskonano malihdimenzija, suavajui njenu konturu oko takeM.

Granina vrednost ovog odnosa, koju definie

intenzitet unutranjih sila koje deluju na datupovrinu u posmatranoj taki M, zove se NAPON.

Naponi, normalni i tangencijalni

Otpornost materijala

Normalni napon s(sigma) - izduenjeili skraenje

Tangencijalni napon

t (tau)

F1

F3

F2

I n

t

M

DA

p

s

ta

s tp = +2 2

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

15/214

10/24/200

Otpornost materijala

Geometrijske karakteristike

poprenog preseka

Geometrijske karakteristikepoprenog preseka

Povrina poprenog preseka

Statiki moment poprenog preseka

Momenti inercije poprenog preseka

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

16/214

10/24/200

Povrina poprenog preseka

x

y

C

A

CkCn-1

Cn

C3

C1

C2 C5

A1

A3

An

A2

1

2

n

3

nnn yxCyxCyxCyxC ;...;;; 331221111

nAAAA ...,,, 321

Otpornost materijala

Povrina poprenog preseka

n

n

i

i AAAAAA

...321

1

2LDimenzija Jedinica

2m

A dAA

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

17/214

10/24/200

Statiki moment povrine za osu

dAx

x

y

y

r

A A

x ydAS

A

y xdAS

3LDimenzija Jedinica

3m

Otpornost materijala

Statiki moment

Za sloenu povrinu koja se sastoji od vie prostihpovrina, statiki moment za neku osu jednakje zbirustatikih momenata pojedinih prostih povrina uodnosu na istu osu

n

i

iinn

nA

x yAyAyAyAydAydAydAydAydAS1

2211

321

......

n

i

iinn

nA

y xAxAxAxAxdAxdAxdAxdAxdAS1

2211

321

......

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

18/214

10/24/200

Koordinate teita

dAx

x

y

y

r

xC

yC

C

A

Po Varinjonovoj teoremi:

(moment rezultante jednak je zbiru momenata komponenata)

A

S

dA

xdA

xy

A

AC

A

S

dA

ydA

y x

A

AC

Otpornost materijala

Primer :6

2

2

R2

x

y

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

19/214

10/24/200

Brojni primer:

0;85.028,6

67.0;2261;312

13

2

11

CA

CACA

C3

C1

C2

x

y

1

0.

67

2

3

2

6

R2

4

Otpornost materijala

Brojni primer:2

3128,2428.6612

2cmAAAA

3

333

3

222

3

111

0028.6

02.4)67.0(6

12112

cmyAS

cmyAS

cmyAS

x

x

x

3

333

3

222

3

111

34.5)85.0(28.6

1226

36312

cmxAS

cmxAS

cmxAS

y

y

y

3

321 98.7002.412 cmSSSS xxxx

3

321 66.4234.51236 cmSSSS yyyy

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

20/214

10/24/200

Brojni primer:

cmA

Sx

y

C75.1

28.24

66.42

cmA

Sy xC 32.0

28.24

98.7

C3

C1

C

C2x

y

x

h

Otpornost materijala

Karakteristike statikihmomenata poprenog preseka

Za osu simetrije statiki moment povrine jednakje nuli jer ova osa prolazi kroz teite.

Ako povrina ima dve ose simetrije ili vie takvih

osa, teite se nalazi u presenoj taki tih osa Kososimetrine povrine imaju teite u taki

kose ose simetrije

Ako osa prolazi kroz teite statiki momentpovrine za tu osu jednak je nuli

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

21/214

10/24/200

Momenti inercije ravnih povina

Aksijalni moment inercije

Centrifugalni moment inercije

Polarni moment inercije

dAxIdAyIA

y

A

x

22

dAxyIA

xy

dArIA

o

2

Otpornost materijala

Aksijalni moment inercije

dAx

x

y

y

r

A

OA

x dAyI2

A

y dAxI2

Aksijalni moment inercije povrine predstavlja zbir proizvodasvih elementarnih povrina i kvadrata njihovih rastojanja ododgovarajue ose u ravni te povrine

4LDimenzija Jedinica

4m

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

22/214

10/24/200

Centrifugalni moment inercije

dAx

x

y

y

r

A

O

A

yx dAyxI

Centrifugalni moment povrine predstavlja zbir proizvoda

svih elementarnih povrina i oba njihova rastojanja od osau ravni te povrine

4LDimenzija Jedinica

4m

Otpornost materijala

Polarni moment inercije

dAx

x

y

y

r

A

O

A

O dArI2

Polarni moment inercije u odnosu na pol O u ravni te

povrine predstavlja proizvod svih elementarnih povrina ikvadrata njihovih rastojanja od tog pola

yxAAA

O IIdAydAxdAyxI 2222

222yxr

4LDimenzija Jedinica

4m

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

23/214

10/24/200

Karakteristike momenata inercije

Aksijalni i polarni moment inercije su uvek

pozitivni

Centrifugalni moment inercije moe biti vei,manji ili jednak nuli

Svaka povrina ima bar jedan par osa za koje je

centrifugalni moment inercije jednak nuli

Otpornost materijala

Znak polarnog momenta inercije

x

y

I >0xy

x

y

I 0xy

I

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

24/214

10/24/200

1

Momenti inercije za paralelno pomerenkoordinatni sistem (tajnerova teorema)

Moment inercije za ose

teine xOhdAx

x

y

y

A

O

x

x

hh

a

b

O1

C

x=a+x

y=b+h

A

dAI2

hx

A

dAI2xh

A

dAI xhxh

Ako osa prolazi kroz teite statikimoment povrine za tu osu jednak je nuli

Otpornost materijala

Momenti inercije za paralelno pomerenkoordinatni sistem (tajnerova teorema)

U izrazima za

momente inercije

za X i Y osu

vrednosti

koordinata x i yzamenjujemo

vrednostima,

prema slici

dAx

x

y

y

A

O

x

x

hh

a

b

O1

C

x=a+x

y=b+h

hx byax

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

25/214

10/24/200

Momenti inercije za paralelno pomerenkoordinatni sistem (tajnerova teorema)

hby

AA

x dAbdAyI22 h

AAA

x dAbdAbdAI22

2 hh

AbSbIIx2

2 xx

AbIIx2 x

Ako osa prolazi kroz teite statiki moment povrineza tu osu jednak je nuli, a b je udaljenost x ose od

paralelne teine ose z

Otpornost materijala

Momenti inercije za paralelno pomerenkoordinatni sistem (tajnerova teorema)

x ax

AA

y dAadAxI22 x

AAA

y AaSaIdAadAadAI222

22 hhxx

AaIIy2 h

Ako osa prolazi kroz teite statiki moment povrineza tu osu jednak je nuli, a b je udaljenost x ose odparalelne teine ose z

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

26/214

10/24/200

1

Momenti inercije za paralelno pomerenkoordinatni sistem (tajnerova teorema)

hx byax

AA

yx dAbaxydAI hx

abASbaSIIxy hxxh

AAAA

yx dAabdAbdAadAI xhxh

Ako osa prolazi kroz teite statiki moment povrine za tu

osu jednak je nuli, a b je udaljenost x ose od paralelneteine ose z, dok je a udaljenost yose od paralelne teineose h,

abAIIxy xh

Otpornost materijala

Momenti inercije za paralelno pomerenkoordinatni sistem (tajnerova teorema)

Kada se koordinatnipoetak sistema xO1hpoklapa sa teitem tadasu ose x i h teine ose

Statiki moment za teine

ose jednak je nuli, akoordinate

dAx

x

y

y

A

O

x

x

hh

a

b

O1

C

x=a+x

y=b+h

0 hx SS

axby cc ;

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

27/214

10/24/200

1

Momenti inercije za paralelno pomerenkoordinatni sistem (tajnerova teorema)

Momenti

sopstveni momentiinercijeProizvod povrinepreseka i udaljenosti odose osa naziva se

poloajni momentinercije

dAx

x

y

y

A

O

x

x

hh

a

b

O1

C

x=a+x

y=b+h

xhhx IiII ,

abAAaAb ,, 22

Otpornost materijala

Momenti inercije za paralelno pomerenkoordinatni sistem (tajnerova teorema)

Momenti inercije zateine ose xOhnazivaju se sopstvenimomenti inercije

Momenti inercije zavanteine ose jednakisu zbiru sopstvenihmomenata inercije ipoloajnih momenatainercije

dA

x

x

y

y

A

O

x

h

a

b

O1

C

x=a

y=

b

kada su ine

ose

x h, te

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

28/214

10/24/200

1

Momenti inercije za paralelno pomerenkoordinatni sistem (tajnerova teorema)

byax

AbIIx2 x

AaIIy2 habAIIxy xh

Za teine ose x, h za paralelno pomeren koordinatni sistemizrazi za momente dobijaju oblik

Moment inercije za paralelno pomeren koordinatni sistemjednak je zbiru sopstvenog momenta inercije(uvek za

teine ose) i poloajnog momenta inercije

Otpornost materijala

Momenti inercije za paralelno pomerenkoordinatni sistem (tajnerova teorema)

Moment inercije za vanteine paralelne osejednak je zbiru sopstvenih momenata inercije

(teinih) i poloajnih momenata inercije

AyxII

AxII

AyII

CCxy

Cy

Cx

xh

h

x

2

2

Napomena: rastojanja xc i yc

uzimati sa svojim znakom

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

29/214

10/24/200

1

Momenti inercije za paralelno pomeren

koordinatni sistem (tajnerova teorema)

Moment inercije za paralelne teine ose jednak jerazlici momenata inercije za vanteine paralelneose i poloajnih momenata inercije

AyxII

AxII

AyII

CCxy

Cy

Cx

xh

h

x

2

2

Napomena: rastojanja xc i ycuzimati sa svojim znakom

Otpornost materijala

Momenti inercije za zaokrenutikoordinatni sistem (za teine ose)

Poznati su momenti

inercije za teineose xCy Ix, Iy, Ixy

Za neki zaokrenutiza ugao j

koordinatni sistem

uCvtreba odreditimomente inercije Iu,Iv, Iuv

dA

x

x

v

v

u

u

y

y

A

CP

Q

M

N

j

j

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

30/214

10/24/200

1

Momenti inercije za zaokrenutikoordinatni sistem (za teine ose)

dAx

v

u

u

y

y

CP

Q

MN

j

j v

x

jj cossin xyCMPQCMMNu

jj sincos xyMPSQNQSQu

Otpornost materijala

Momenti inercije za zaokrenutikoordinatni sistem (za teine ose)

A AAAA

u xydAdAxdAydAxydAvI jjjjjj cossin2sincossincos222222

jjjj cossin2sincos 22 xyyxu IIII

A AAAA

v xydAdAxdAydAxydAuI jjjjjj cossin2cossincossin 222222

jjjj cossin2cossin 22 xyyxv IIII

xydAdAxdAyuvdAIAAA

uv jjjj2222

sincoscossin

jjjj 22 sincoscossin xyyxuv IIII

Koristei transformaciju koordinata dobijaju se:

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

31/214

10/24/200

1

Momenti inercije za za okrenutikoordinatni sistem (za teine ose)

Kako je:

,2cos12

1cos

2 jj ,2cos12

1sin

2 jj

jjj 2sincossin2 jjj 2cossincos 22

Izrazi za izraunavanje teinih momenata inercije za zaokrenute ose sada su

jj 2sin2cos2

1

2

1xyyxyxu IIIIII

jj 2sin2cos2

1

2

1xyyxyxv IIIIII

jj 2cos2sin2

1xyyxuv IIII

Ako su poznati momenti inercije za jedan par teinih osa bez integraljenjamogu se izraunati momenti inercije za zaokrenute teine ose

Otpornost materijala

Glavni momentiinercije i glavne ose inercijeKako se drugi izraz za moment moe dobiti iz prvog zamenom j sa j+90o

analiziraju se drugi i trei izraz

Navedeni izrazi su neprekidne funkcije ugla j pa se mogu odrediti ekstremnevrednosti:

jj 2sin2cos2

1

2

1xyyxyxu IIIIII

jj 2cos2sin2

1xyyxuv IIII

02cos22sin jjj

xyyxu III

d

dI

argument j koji zadovoljava ovu jednainu obeleimo sa a

2cos:02cos22sin xyyx III

yx

xy

II

Itg

22

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

32/214

10/24/200

1

Glavni momentiinercije i glavne ose inercije

22tg

2

1

2

tg

1

Ugao odreuje poloaj glavnih teinih osa

222 4211

2cos

xyyx

yx

III

II

tg

222 42

21

22sin

xyyx

xy

III

I

tg

tg

221max 4

2

1

2

1xyyxyx IIIIIII

222min

42

1

2

1xyyxyx IIIIIII

012

IIuv j

yx

xy

II

Itg

22

Otpornost materijala

Glavni momentiinercije i glavne ose inercije Za teine ose za koje aksijalni momenti inercije

imaju ekstremne vrednosti, centrifugalni moment

inercije je jednak nuli.

I obrnuto ako je za dve upravne teine osecentrifugalni moment inercije jednak nuli, onda

aksijalni momenti za te ose imaju ekstreme

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

33/214

10/24/200

1

Elipsa inercije

x

x

i2

i2

i 1

i 1

y

u

y

j

(1)

(2)

C

N(x,y)

Za povrinu A poznate su glavne teine ose(1) i (2) i glavni teini momenti inercije I1 i I2.Za proizvoljnu teinu osu u pod uglom j dobijase

Deljenjem leve i desne strane sa

povrinom A dobija se

jj 22

2

1 sincos IIIu

A

I

iu

u

A

Ii

A

Ii 22

11 ,

jj 222

1 sincos iiiu

Poluprenici inercije za glavne ose

Poluprenik inercije za osu u

Otpornost materijala

Momenti inercije pravougaonika

bdydAbh

dyybdAyI

h

A

x ,3

3

0

22

hdxdAhb

dxxhdAxI

b

A

y ,3

3

0

22

22,, hC

bC yxbhA

bdydAbh

ydyb

ydAxydAI

hb

b

A

xy ,42

22

0

2

0

2

Za teine ose x i h

1243

323

2 bhbh

hbhAyII

Cxx

1243

323

2 hbbhbhb

AxIICy h

0224

32

bhhbbh

AyxIICCxyxh

x

x

y

dy

dx

y

x

yC

xC

b

hC

h

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

34/214

10/24/200

2

Momenti inercije i elipsa inercije

pravougaonika

x

y

b

hC

T

D

ix

iy

iD0,

12,

12

33

xyyx Ihb

Ibh

I

Za teine ose obeleene sa xi ymomenti inercije iznose:

Poluprenici inercije su

bbb

bh

hb

A

Iii

y

y29,0

6

3

12

122

3

2

hhh

bh

bh

A

Iii x

x29,0

6

3

12

122

3

1

Za proizvoljnu osu tangenta paralelna sa

odabranom osom, i rastojanje od C do take dodiratangente T je iD.

2

DD iAI

Otpornost materijala

Podaci iz tablica za krug

R

y

xC

D

2

2

4r

DA

44

44

7854,00491,0

464

rDrD

IIyx

24

rDii yx

0xyI

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

35/214

10/24/200

2

Podaci iz tablica za polovinu kruga

R

e1

e2

y

x

x1

C

28

22 rDA

4440069.01098.0

9

8

8DrrI

x

DereDr

e 2878.0;2122.03

4121

4444

025.0392.01288

DrDr

Iy

44

44

1 025.0392.01288

DrDr

Ix

Otpornost materijala

Postupak pri odreivanju momenatainercije sloene povrine

1. Izabrati koordinatni sistem Oxy i odrediti poloajteita

2. Odrediti momente inercije za teine ose svakepovrine, pa primenom tajnerove teoremeodrediti momente inercije za teine ose sloenepovrine

3. Odrediti ugao glavnih centralnih osa inercije

4. Odrediti glavne centralne momente inercije

5. Odrediti poluprenike elipse inercije i nacrtatielipsu inercije

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

36/214

10/24/200

2

Primer izraunavanja momenata zasloenu povrinu

x

y

1

1

14

6.

5

6.

5

3.5

3.5

C1

C2

C3

5.6;5.3;818

,5.6;5.3;818

,0;0;12112

33

22

11

CA

CA

CA

Odabrati ose x i y i odrediti teite

3

3

3

3

3

2

3

2

3

1

3

1

52,28

52,28

,0,0

cmScmS

cmScmS

cmScmS

yx

yx

yx

08812

28280

321

321 AAA SSSxxxx

C

08812

52520

321

321

AAA

SSSy

yyy

C

Otpornost materijala

Primer izraunavanja momenata zasloenu povrinu

x

y

1

1

14

6.

5

6.

5

3.5

3.5

C1

C2

C3

3

2

332

2

221AyIAyIII CxCxxx

Odrediti momente inercije za ose x i y

3

2

332

2

221 AxIAxIII CyCyyy

333322221 AyxIAyxIII CCxyCCxyxyxy

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

37/214

10/24/200

2

Primer izraunavanja momenata zasloenu povrinu

Odrediti momente inercije za ose x i y

4

33

1 14412

121

12cm

bhIx

4

33

1 112

121

12cm

hbIy

y = y1

12 C1 x = x1

4

11 0cmI yx

Otpornost materijala

Primer izraunavanja momenata zasloenu povrinu

Odrediti momente inercije za ose x i y

4

33

32 66.012

18

12cm

bhII xx

4

33

32 66.4212

18

12 cm

hb

II yy

y 2

x 21

C2

84

3322 0 cmII yxyx

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

38/214

10/24/200

2

Primer izraunavanja momenata zasloenu povrinu

4

22

822

85.666.085.666.0144

cmI

I

x

x

Odrediti momente inercije za ose x i y

4

22

282

85.366.4285.366.421

cmI

I

x

y

4

364

85.65.3085.65.300

cmI

I

xy

xy

x

y

1

1

14

6.

5

6.

5

3.5

3.5

C1

C2

C3

C

Otpornost materijala

Primer izraunavanja momenata zasloenu povrinu

72.26433.533481.12

3481.128233.821

364222

arctg

II

Itg

yx

xy

Odrediti ugao glavnih osa

221max

42

1

2

1xyyxyx IIIIIII

222min

42

1

2

1xyyxyx IIIIIII

012

IIuv j

x

y

C

(2)

(1)

26.72o

22

1max 36442828222

1282822

2

1

II

4

1max1006cmII

221max 3644282822

2

1282822

2

1 II

4

2min99cmII

012

IIuv j

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

39/214

10/24/200

2

Primer izraunavanja momenata zasloenu povrinu

Poluprenici inercije

cmA

Ii 66.5

28

100611

cmA

Ii 88.1

28

9922

x

y

C

(2)

(1)

26.72o

Otpornost materijala

Postupak pri odreivanju momenatainercije sloene povrine

1. Podeliti sloenu povrinu na odreen brojmanjih povrina za koje je lako odrediti:Teite povrineStatike momente inercije povrina za teine ose

Sopstvene momente inercije povrine za teine oseAksijalne momente inercije povrine za teine oseCentrifugalne momente inercije povrine za teineose

Polarne momente inercije povrine za teine ose

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

40/214

10/24/200

2

Postupak pri odreivanju momenatainercije sloene povrine

2. Izabrati koordinatni sistem Oxy i odrediti poloajteita

3. Odrediti momente inercija za teine ose svakepovrine pa primenom tajnerove teoremeodrediti momente inercije za teine ose sloenepovrine

4. Odrediti ugao glavnih centralnih osa inercije

5. Odrediti glavne centralne momente inercije

6. Odrediti poluprenike elipse inercije i nacrtatielipsu inercije

Otpornost materijala

Napomene pri odreivanju momenatainercije sloene povrine

Treba koristiti simetriju teite sloene povrineje uvek na osi simetrije

Osa simetrije je ujedno i jedna glavna osa inercije,a druga glavna osa prolazi kroz teite i upravnaje na prvu

Ako povrina ima vie osa simetrije teite je unjihovom preseku a one su ujedno i glavne oseinercije

Za glavne ose uvek je centrifugalni momentinercije jednak nuli

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

41/214

10/24/200

2

Primer :6

2

2

R2

x

y

Otpornost materijala

Brojni primer:

0;85.028,6

67.0;226

1;312

13

2

11

CA

CA

CA

C3

C1

C2

x

y

1

0.

67

2

3

2

6

R2

4

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

42/214

10/24/200

2

Brojni primer:

cmA

Sx

y

C75.1

28.24

66.42

cmA

Sy xC 32.0

28.24

98.7

C3

C1

C

C2x

y

x

h

Otpornost materijala

Brojni primer:

C1

C

x1

y1

x

h 67.0;24.112 1

2

1CcmA

4

33

14

12

26

12cm

bhIx

4

33

1

3612

26

12cm

hbI

y

011 yxI

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

43/214

10/24/200

2

Brojni primer:

1;.24.06 12

2 CcmA

4

33

2 33.136

26

36cm

bhIx

433

2 1236

26

36cm

hbIy

y2

CC2

x

h

x2

4

2222

22 2

72

26

72

cmhb

I yx

Otpornost materijala

Brojni primer:

0;61.228.61

2

1 CcmA

4

44

3 28.68

2

8 cmr

Ix

424

2

4

376.1649

72

2649

72cm

rIy

033

yxI

y3

C3

C x

h

x3

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

44/214

10/24/200

3

Brojni primer:

3

2

332

2

221

2

11 AIAIAII xxx hhhx

3

2

332

2

221

2

11 AIAIAII yyy hxxh

42328.6633.138.54 cmI x

43.11175.178.4234.01245.1836 cmI h

233332222211111 AIAIAII yxyxyx hxhxhxxh 453.10061.228.601624.021267.024.10 cmI xh

Otpornost materijala

Rezime

Povrina poprenog preseka Statiki moment povrine poprenog preseka Teite povrine Aksijalni moment inercije

Centrifugalni moment inercije

Polarni moment inercije

tajnerova teorema - sopstveni + poloajni Momenti inercije za zaokrenuti koordinatni sistem

Glavni momenti inercije i glavne ose inercije

Elipsa inercije i glavne teine ose

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

45/214

10/24/200

3

Postupak pri odreivanju momenata

inercije sloene povrine1. Izabrati koordinatni sistem Oxy i odrediti poloaj

teita

2. Odrediti momente inercija za teine ose svakepovrine, pa primenom tajnerove teoremeodrediti momente inercije za teine ose sloenepovrine

3. Odrediti ugao glavnih centralnih osa inercije

4. Odrediti glavne centralne momente inercije

5. Odrediti poluprenike elipse inercije i nacrtatielipsu inercije

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

46/214

11/1/200

Aksijalno naprezanje

Zatezanje

Pritisak

Otpornost materijala

F

F

- F

+ Fz

- F

+ F

Aksijalno naprezanje

Aksijalno naprezanje (zatezanje ilipritisak) je takvo naprezanje pri komese u poprenim presecimaoptereenog dela, najee tapa,

javljaju samo aksijalne unutranje sile(unutranje sile su u pravcu uzduneose tapa)

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

47/214

11/1/200

Aksijalno naprezanje

Aksijalno naprezanjeizazivaju sile kolinearnesa osom tapa ili viesila ija je rezultanta upravcu ose tapa

Otpornost materijala

F

F

- F

+ Fz

- F

+ F

Kod aksijalnog naprezanjapostoje samo normalni naponi

Otpornost materijala

Normalni napon s (sigma) - izduenje ili skraenje

Nema tangencijalnih napona t (tau)

F1

F3

F2

I nM

A s

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

48/214

11/1/200

Unutranje sile i naponi

0

0

az

Az

FFF

FFF

Otpornost materijala

Ravnotea spoljanjih iunutranjih sila

Dijagram promene aksijalne sile

Zanemaren je uticaj teine tapa,posmatra se homogeni tap konstantnogpoprenog preseka

FA

FA

Fa

F

F

B

B

A

A

I

I

+

Unutranje sile i naponi

0

0

az

Az

FFF

FFF

Otpornost materijala

Za proizvoljni zamiljeninormalni presek vae usloviravnotee:

FA

Fa

s

F

F

F

B

B

B

AI

I

I

I

I

I

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

49/214

11/1/200

Unutranje sile i naponi

Otpornost materijala

A

F

AdAdAF

a

AA

a

s

sss

Normalni napon konstantan usvakoj taki poprenog preseka

Popreni presek nepromenljivitavom duinom tapa

Normalan napon dobija se kaoodnos sile po povrini

Jedinica MPa

Stare jedinice: kp/mm2

i kg/cm2

FA

Fa

s

F

F

F

B

B

B

AI

I

I

I

I

I

Deformacije kod aksijalnog naprezanja

F

F

F

F

l

l l

l1

elini tap duine ldeformisae se poddejstvom sile

zatezanja F Duina e se

poveati za l Ukoliko su vee

aksijalne sile utolikosu vea i izduenja

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

50/214

11/1/200

Deformacije kod aksijalnog naprezanja

elini tap duine ldeformisae se poddejstvom silepritiskanja F

Duina e sesmanjiti za l

Ukoliko su veepritisne aksijalne sileutoliko su vea iskraenja

F

F

F

F

l

l

l

Otpornost materijala

Deformacije kod aksijalnog naprezanja

Deformacija (u oba sluaja) je u promeniduine tapa

Deformacija je zavisna od veliine aksijalnih

sila te raste ukoliko su sile vee Uz odgovarajuu opremu mogue je snimiti

zavisnost izmeu spoljanjeg optereenja(aksijalnih sila) i odgovarajuih deformacija

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

51/214

11/1/200

Dijagram sile i deformacije eline ipke

lmm

F

kN

Otpornost materijala

Dijagrami napona i dilatacije

Dijagram sile i izduenja zavisi od dimenzijaipke

Za svaku ispitivanu ipku dobio bi se sliandijagram

Da bi se otklonile neusaglaenosti i dobileporedive vrednosti izvrena jestandardizacija metodologije ispitivanjai epruvete koje se koriste

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

52/214

11/1/200

Dijagrami napona i dilatacije

Za debele materijale propisane su pravecilindrine epruvete

Za limove propisane su pljosnate epruvete

Propisane su i duine epruveta i to:

DUGAKE

KRATKE

00 10 dl

005 dl

Otpornost materijala

Standardna epruveta za ispitivanje zatezanjem

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

53/214

11/1/200

Ispitivanje zatezanjem na hidraulinoj kidalici

Otpornost materijala

Savremene maine za ispitivanjezatezanjem

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

54/214

11/1/200

Dijagrami sila - izduenje za razliitematerijale

Otpornost materijala

Dijagram sila izduenjedijagram napon - dilatacija

Umesto izduenja naneti odnosizduenja i prvobitne duine

e Dilatacija, neimenovan broj0

0

lle

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

55/214

11/1/200

Dijagram sila izduenjedijagram napon - dilatacija

Umesto sile naneti odnos sile ipovrine poprenog preseka

s Napon MPa0

A

Fs

Prema vaeim standardima napon se oznaava sa R

Otpornost materijala

Dijagram napon - dilatacija

e

sM Pa

Dijagram napon - dilatacija za meki elik

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

56/214

11/1/200

Karakteristine take na dijagramunapon - dilatacija

e

s M Pa

P

ETG

TD

M

K

asP

sM

sE

P - granica proporcionalnostiE - granica elastinostiTg -gornja granica teenjaTd - donja granica teenja

M - maksimalna vrstoaK - taka prekida

tg =Ea

Otpornost materijala

Hukov zakon

Od koordinatnog poetkado take P postojiproporcionalnost izmeu

napona i dilatacije E koeficijent

proporcionalnostiMODUL ELASTINOSTIili Jungov moduldimenzija MPa

es E

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

57/214

11/1/200

Hukov zakon

Hukov zakon u obliku s=Ee

Zamenom u izrazu za dilataciju kao e=l/lo

Napon kao odnos s=F/A

Dobija se izraz za Hukov zakon u obliku

AE

lFl

ee 11

llllll

Duina ipke posle prekida

Otpornost materijala

Poasonov koeficijent m

e uzduna dilatacija

eP poprena dilatacija

koeficijent zavisnosti poprene dilatacije od uzdune Poasonov koeficijent je neimenovan broj

l

l1

b

h

epb

ep

h

eme p

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

58/214

11/1/200

Poasonov koeficijent

Izraunavanjem zapremina pre i posledeformacije dobija se zapreminska dilatacijakao

mee 21V

V

VV

V

V

hblhblV

hblV

V

1

2

11111

e

mee

Otpornost materijala

Poasonov koeficijent i modul elastinosti

0,3

0,34

0,33

0,37

0,25

1/6

m [-]

2.1 . 105

0.7 . 105

1.1 . 105

1.0 . 105

1.0 . 105

0.3. 105

E [ MPa ]

elik

Materijal

Aluminijum

Bakar

Mesing

Sivi liv

Beton

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

59/214

11/1/200

Dimenzionisanje aksijalno napregnutogtapa, dozvoljeni napon, stepen sigurnosti

Obrasci u otpornosti materijala izvedeni suna osnovu Hukovog (Robert Hooke)zakona, to jest zakona proporcionalnosti

Pri dimenzionisanju delova treba topotovati, pa dozvoljeni napon merodavanza proraun mora biti manji od napona nagranici proporcionalnosti to se postieuvoenjem stepena sigurnosti

Otpornost materijala

Dozvoljeni napon mora biti manji odnapona na granici proporcionalnosti

e

s M Pa

P

E TG

TD

M

K

asP

sM

sE

P - granica proporcionalnostiE - granica elastinostiTg -gornja granica teenjaTd - donja granica teenjaM - maksimalna vrstoaK - taka prekida

tg =Ea

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

60/214

11/1/200

Dimenzionisanje aksijalno napregnutogtapa, dozvoljeni napon, stepen sigurnosti

Stepen sigurnosti je kolinik jaine nakidanje, zatezne vrstoe, ili graniceteenja materijala od kog jeproraunavani tap i dozvoljenognapona

Otpornost materijala

doz

TT

doz

MM

s

s

s

s

Dozvoljeni napon

Dozvoljeni napon je kolinik jaine nakidanje, zatezne vrstoe, od kog jeproraunavani deo i stepena sigurnosti

Otpornost materijala

sss

Mddoz

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

61/214

11/1/200

Stepen sigurnosti

Zavisno od toga na koju karakteristiku seodnosi, razlikuju se:

Stepen sigurnosti u odnosu na zateznuvrstou

Stepen sigurnosti u odnosu na granicu

teenja

Otpornost materijala

doz

TT

doz

MM

s

s

s

s

Na izbor veliinestepena sigurnosti utiu

Tanost odreivanja spoljanjih sila Nain dejstva spoljanjih sila

Namena projektovane konstrukcije Zakonska regulativa za odreene

projekte

Osobine primenjenih materijala

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

62/214

11/1/200

2

Stepen sigurnostiprema vrsti optereenja

1. Mirno optereenje2. Jednosmerno promenljivo

3.

Naizmenino promenljivo

Otpornost materijala

Stepeni sigurnosti

U okviru ovog kursa bie korienistepeni sigurnosti u odnosu na zateznuvrstou

Bie reavani primeri sa mirnimoptereenjima

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

63/214

11/1/200

2

Stepen sigurnosti

Vrednosti stepena sigurnosti u odnosu na zateznuvrstou koji se sreu u literaturi:

Za elik termiki neobraen za mirno optereenje 2.5-3 za naizmenino promenljivo 5-6

Za liveno gvoe za mirno optereenje 3-6 za naizmenino promenljivo 5-12

Otpornost materijala

Primer primene stepena sigurnosti

Iz tablica karakteristika materijala za odreenmaterijal oitava se zatezna vrstoa

Primer za .0545

sM = 500-600 MPa seH=280-300 MPa

Otpornost materijala

MPaMdoz 1763

500

ss

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

64/214

11/1/200

2

Napon aksijalno napregnutog tapa

Napon aksijalno napregnutog dela mora bitimanji ili jednak dozvoljenom naponu

Normalni napon ili napon kod zatezanjapredstavlja kolinik aksijalne sile i povrinepoprenog preseka

Otpornost materijala

dozA

Fss MPa

Kod aksijalnog naprezanjapostoje tri osnovna zadatka

Poznato je optereenje i poprenipresek tapa i treba odrediti veliinunapona

Poznato je optereenje, oblik poprenogpreseka i materijal, a potrebno jeodrediti dimenzije tog preseka

Poznati su popreni presek i dozvoljeninapon, a potrebno je odrediti vrednostmaksimalne sile

Otpornost materijala

A

Fs

doz

FA s

AF doz s

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

65/214

11/1/200

2

Definisanje veliine naponaaksijalno napregnutog tapa

Odrediti vrednosti optereenja odnosnoaksijalnu silu koja deluje na tap

Izraunati povrinu poprenog preseka tapa Izraunati napon koji nastaje delovanjem

aksijalne sile

Uporediti vrednost sa odreenim dozvoljenimnaponom

Otpornost materijala

dozA

Fss MPa

Dimenzionisanjeaksijalno napregnutog tapa

Odrediti vrednost aksijalne sile koja deluje natap

Odrediti dozvoljeni napon za odabrani

materijal Sraunati potrebnu povrinu preseka

Otpornost materijala

doz

FA

s m2

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

66/214

11/1/200

2

Za dimenzionisani tap odreditivrednost aksijalne sile

Odrediti povrinu preseka Odrediti dozvoljeni napon za poznati materijal

i definisani stepen sigurnosti

Sraunati maksimalnu aksijalnu silu

Otpornost materijala

AF doz s N

Preporuke pri dimenzionisanju

1. Veliina aksijalnog optereenja - statika2. Povrina poprenog preseka3. Normalni napon za popreni presek-

stepen sigurnosti 4. Za odabrani materijal dozvoljeni napon

5. Veliina poprenog preseka6. Veliina optereenja za poznatu

povrinu i materijal

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

67/214

11/1/200

2

Uticaj temperature na deformacije inapone

Pod uticajem toplote sva tela se ire irenje zavisi od materijala i

temperaturne razlike

Promena duine tapa proporcionalna

je duini tapa, vrsti materijala ipromeni temperature

Otpornost materijala

Uticaj temperature na deformacije inapone

tll

lll

tll

ae

a

1

l l

l1

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

68/214

11/1/200

2

Uticaj temperature na deformacije inapone

Koeficijent linearnog irenja 1Coa

12 . 10-6

23 . 10-6

17.

10

-6

19. 10-6

9. 10-6

a [ C ]o -1

elik

Materijal

Aluminijum

BakarMesing

Sivi liv

Otpornost materijala

Unutranje sile i naponi usled zagrevanja

0

0

azBAz

FFF

FFF

Otpornost materijala

Ravnotea spoljanjih iunutranjih sila

Dijagram promene aksijalne sileza statiki neodreen nosa

Usled promene toplote nastajeizduenje tapa

Poto izmeu oslonaca ne dolazido izduenja, raste napon usamom tapu

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

69/214

11/1/200

2

Unutranje sile i naponi usled zagrevanja

Otpornost materijala

12ttt Ako je nastala deformacija u

zoni elastinosti materijala, zapostojeu temperaturnu razlikunastala bi dilatacija

Prema Hukovom zakonu naponje definisan kao proizvod

modula elastinosti i dilatacije

Moe se odrediti i unutranjasila

tl

l

ae

tE as

oa

o

a AFA

F ss

es E

tll a

Napon u kosom preseku aksijalnonapregnutog tapa

A

Fs

A

Fp

F F

Ako analiziramo aksijalno napregnuttap i neki presek pod uglom

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

70/214

11/1/200

2

Napon u kosom preseku aksijalnonapregnutog tapa

U svakoj taki poprenog presekaaksijalno napregnutog tapa javlja senormalni napon s, a tangentnognapona t nema

(napon je vektorska veliina imapravac, smer i intenzitet)

U kosom preseku aksijalnonapregnutog tapa javlja se totalninapon p

A

Fs

A

Fp

Otpornost materijala

Napon u kosom preseku aksijalnonapregnutog tapa

A

Fs

A

Fp

F F

Ako analiziramo aksijalno napregnuttap i neki presek pod uglom

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

71/214

11/1/200

2

Napon u kosom preseku aksijalnonapregnutog tapa

A

Fs

A

Fp

Ako analiziramo aksijalno napregnuttap i neki presek pod uglom

Otpornost materijala

Napon u kosom preseku aksijalnonapregnutog tapa

Ako analiziramo uoeni normalni presek i kosipresek pod uglom

A

Fs

A

Fp

s

ss

s

cos

cos

cos

0

A

A

A

Ap

AA

AApFz

s p

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

72/214

11/1/200

3

Napon u kosom preseku aksijalnonapregnutog tapa

Komponente napona u pravcu normale itangente na posmatrani kosi presek

sst

sss

2sin2

1cossinsin

2cos12

1coscos

2

p

p

p

p

s

t

s

p

nA A

t

Otpornost materijala

Napon u kosom preseku aksijalnonapregnutog tapa

Najvei normalni naponi su za =0o smax=s ,

a najmanji, odnosno jednaki nuli za =90o smin=0

Najvei tangencijalni i najmanji naponi su za=45o tmax,min=+- 1/2 s

22

2sin2

12cos1

2

1

ts

stss

p

i pp

Analizom dobijenih izraza u funkciji ugla

Otpornost materijala

imajui na umu

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

73/214

11/1/200

3

Grafiki prikaz Morov krug napona

22

2sin2

1

2cos12

1

ts

st

ss

p

p

p

Otpornost materijala

Napon u kosom preseku aksijalnonapregnutog tapa

F

F

F

F

90o

45o

Kod krtih materijala(kaljenih elika, sivogliva ili kamena) prekidje poprean

Kod plastinih, mekih,materijala (meki elik,bakar, aluminijum)pucaju pod uglom od45o

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

74/214

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

75/214

11/4/200

Zatezanje u dva pravca

Otpornost materijala

Tanka ploa, debljine d,napregnuta je silama

jednako podeljenim popovrinama osnova upravcu:

Ox ose

Oy ose

Zatezanje u dva pravca

Veliine sila na jedinicu povrineoznaimo sa sx, odnosno sy

u pravcu Ox imamo silu X

u pravcu Oy silu Y

Sile X ne izazivaju napone u ravni u-u

Sile y ne izazivaju napone u ravni p-p

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

76/214

11/4/200

Hukov zakon

Od koordinatnog poetka do take P (graniceproporcionalnosti) postoji proporcionalnostizmeu napona i dilatacije

E koeficijent proporcionalnosti MODULELASTINOSTI ili Jungov modulDimenzija napona MPa

s E

Otpornost materijala

Poasonov koeficijent m

uzduna dilatacija

P poprena dilatacija koeficijent zavisnosti poprene dilatacije od uzdune Poasonov koeficijent je neimenovan broj

l

l1

b

h

pb

p

h

m p

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

77/214

11/4/200

Dilatacija u pravcu Ox

Na osnovu pokazanih zavisnosti,dobija se:

Pozitivna dilatacija u pravcu Ox

Negativna poprena dilatacija upravcu Ox ose kao posledicaistezanja u pravcu Oy ose

Ukupna dilatacija u pravcu Ox ose

E

ysm

E

xs

EEE

yxyxx

msssm

s

Otpornost materijala

Dilatacija u pravcu Oy

Na osnovu pokazanih zavisnosti,dobija se:

Pozitivna dilatacija u pravcu Oy

Negativna poprena dilatacija upravcu Oy ose kao posledicaistezanja u pravcu Ox ose

Ukupna dilatacija u pravcu Oy oseE

xsm

E

ys

EEE

xyxy

y

msssm

s

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

78/214

11/4/200

Dilatacija u pravcu osa Ox i Oy

EEE

xyxy

ymsssms

EEE

yxyxx

msssm

s

Otpornost materijala

Komponentni naponi u kosom presekuzatezanje u dva pravca

Otpornost materijala

Ako iz tanke ploe,debljine d, napregnutesilama jednako

podeljenim popovrinama osnova upravcu osa Ox i Oy,izdvojimo prizmu maledebljine d i ispitamoravnoteu

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

79/214

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

80/214

11/4/200

Komponentni naponi u kosom presekuzatezanje u dva pravca

jsjjs cossincosxn

jsjjs sincossin yn

0sincoscos jdjsjds ccbcX nxi

0cossinsin jdjsjds ccbcY nyi

Otpornost materijala

Komponentni naponi u kosom presekuzatezanje u dva pravca

jjsjjs coscossincos xn

jjsjjs sinsincossin yn

Saberemo jednaine i dobijamo normalninapon

1cossin 22 jj

jsjss 22 sincos yxn

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

81/214

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

82/214

11/4/200

Komponentni naponi u kosom presekuzatezanje u dva pravca - Morov krug

jss 2sin2

1

yxn

jsjsjsssjss 222 sincoscoscos yxyxyyn BD

Otpornost materijala

Pritisak u dva pravca

Otpornost materijala

Tanka ploa, debljine d,napregnuta je silama

jednako podeljenim po

povrinama osnova upravcu: Ox ose

Oy ose

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

83/214

11/4/200

1

Dilatacija u pravcu Oxkod pritiska u dva pravca

Na osnovu pokazanih zavisnosti,dobija se:

Negativna dilatacija u pravcu Ox

Pozitivna poprena dilatacija upravcu Ox ose kao posledicapritiska u pravcu Oy ose

Ukupna dilatacija u pravcu Ox ose

E

ysm

E

xs

EEE

yxyxx

msssm

s

Otpornost materijala

Dilatacija u pravcu Oykod pritiska u dva pravca

Na osnovu pokazanih zavisnosti,dobija se:

Negativna dilatacija, skraenje, upravcu Oy

Pozitivna poprena dilatacija upravcu Oy ose kao posledicasabijanja u pravcu Ox ose

Ukupna dilatacija u pravcu Oy ose

E

xsm

E

ys

EEE

xyxy

y

msssm

s

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

84/214

11/4/200

1

Dilatacija u pravcu osa Ox i Oykod pritiska u dva pravca

EEE

xyxy

y

msssm

s

EEE

yxyxx

msssm

s

Po apsolutnoj vrednosti ove dilatacije sujednake zbiru dilatacija kod zatezanja u dvapravca samo suprotnog znaka

Otpornost materijala

Zatezanje i pritisak

Otpornost materijala

Tanka ploa, debljine d,napregnuta je silama

jednako podeljenim po

povrinama osnova upravcu: Ox ose

Oy ose

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

85/214

11/4/200

1

Dilatacija u pravcu Ox

Na osnovu pokazanih zavisnosti,dobija se:

Pozitivna dilatacija u pravcu Ox

Pozitivna poprena dilatacija upravcu Ox ose kao posledicapritiska u pravcu Oy ose

Ukupna dilatacija u pravcu Ox ose

E

ysm

E

xs

EEE

yxyxx

msssm

s

Otpornost materijala

Dilatacija u pravcu Oy

Na osnovu pokazanih zavisnosti,dobija se:

Negativna dilatacija u pravcu Oy

Negativna poprena dilatacija upravcu Oy ose kao posledicaistezanja u pravcu Ox ose

Ukupna dilatacija u pravcu Oy ose

E

xsm

E

ys

EEE

xyxy

y

msssm

s

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

86/214

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

87/214

11/4/200

1

Zatezanje i pritisak

Vaan sluaj je kada supritisni i zateui napon

jednaki po apsolutnojvrednosti

Otpornost materijala

sss yx

Dilatacija u pravcu osa Ox i Oykada su pritisni i zateui naponi jednaki

E

x

sm

1

Po apsolutnoj vrednosti jednake su i dilatacije,samo suprotnog znaka kod po apsolutnojvrednosti jednakih zateuih i pritisnih napona

E

ysm 1

sss yx

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

88/214

11/4/200

1

Komponentni naponi u kosom presekujednakihnapona na zatezanje i pritisak - Morov krug

jsjss 2sin2sin2

1n

jsjsjss 2cossincos 22 n

Otpornost materijala

Jednaki naponi na zatezanje i pritisak za sluaj j=45o

s n

0ns

090cos190sin oo

js 2sinn

jss 2cosn

isto smicanje

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

89/214

11/9/20

primer I zadatka za grafiki

Momenti inercije sloene ravne povri

Sloena povr iji moment inercije se trai

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

90/214

11/9/20

Podeliti na poznate povri

Odrediti teite sloene povri

A

S

dA

xdA

xy

A

AC

A

S

dA

ydA

y x

A

AC

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

91/214

11/9/20

Iz tablica oitati vrednosti momenata za teineose svake povri

Momenti inercije za paralelno pomerenkoordinatni sistem (tajnerova teorema)

Moment inercije za vanteine paralelne osejednak jezbiru sopstvenih momenata inercije (teinih) ipoloajnih momenata inercije

AyxII

AxII

AyII

CCxy

Cy

Cx

2

2

Napomena: rastojanja xc i ycuzimati sa svojim znakom

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

92/214

11/9/20

Za teine ose odrediti momente inercije No1

Za teine ose odrediti momente inercije No2

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

93/214

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

94/214

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

95/214

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

96/214

11/9/20

Elipsa inercije za dati primer

Smicanje

Unutranje sile i naponi,deformacije, modul klizanja,dimenzionisanje

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

97/214

11/9/20

Osnovne vrste naprezanja:

Aksijalno naprezanje

Smicanje

Uvijanje

Savijanje

Izvijanje

Otpornost materijala

Smicanje

Otpornost materijala

- F

+ F

Ako deluju samotransverzalne(poprene) sile,

naprezanje je istosmicanje

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

98/214

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

99/214

11/9/20

1

Modul klizanja

Klizanje je srazmernotangencijalnom naponu

Kao i kod aksijalnognaprezanja vai Hukovzakon

Koeficijent srazmere

naziva se modulklizanja G

g G

Otpornost materijala

Veza modulaelastinosti i modula klizanja

G modul klizanja MPa Emodul elastinosti MPa

m - Poasonov koeficijent

m212

EG

MPa

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

100/214

11/9/20

1

Poasonov koeficijent i modul elastinosti

0,3

0,34

0,33

0,37

0,25

1/6

m [-]

2.1 . 105

0.7 . 105

1.1 . 105

1.0 . 105

1.0 . 105

0.3. 105

E [ MPa ]

elik

Materijal

Aluminijum

Bakar

Mesing

Sivi liv

Beton

Otpornost materijala

Moduli klizanja i elastinosti za elik

G=8 104

MPa modul klizanja MPa E=2,1 105 MPa - modul elastinosti

m=0,3 Poasonov koeficijent

Pa

m

NEEG

2

8104

6,2212 m

u starim jedinicama E=2,1 106 kp/cm2 G=8 105 kp/cm2

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

101/214

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

102/214

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

103/214

11/9/20

1

Smiui napon

Napon dela izloenog smicanju mora biti manjiili jednak dozvoljenom naponu

Tangencijalni napon smicanja predstavljakolinik smiue sile i povrine poprenogpreseka

Otpornost materijala

dozAF MPa

Primeri isto smiueg napona

Zakivci i zakovanekonstrukcije

Izrada rezervoara

Izrada ramnih i noseihkonstrukcija zakivanjem(sada sve eeustupaju mesto varenimkonstrukcijama)

do znA

F

1

Zakivak

lim

lim

A =

d

41

2p

d

FF

FF

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

104/214

11/9/20

1

Primeri isto smiueg napona

Proraun takastozavarenog spoja(jezgro zavarenogspoja ini soivostopljenogmaterijala izloenoistom smicanju)

lim

lim

lim

lim

z ivoavareno so

z ivoavareno so

d

F

F

F

F

A =d

41

2 p

doznA

F

1

Otpornost materijala

Primeri isto smiueg napona

Primena zavrtnjeva zaosiguranje od preoptereenjaneke konstrukcije

Za prekid pri montai da bise spreila demontaa(montaa brave podvolanom)

MA

F

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

105/214

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

106/214

11/9/20

2

Dimenzionisanjedela napregnutog na smicanje

Odrediti vrednost poprene - smiue sile kojadeluje na deo

Odrediti dozvoljeni napon za odabranimaterijal

Sraunati potrebnu povrinu preseka

Otpornost materijala

doz

FA

m2

Odrediti smiuu silu koju moe daprenese deo

Odrediti povrinu preseka Odrediti dozvoljeni napon za poznati materijal

i definisani stepen sigurnosti

Sraunati maksimalnu smiuu (poprenu) silu

Otpornost materijala

AF doz N

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

107/214

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

108/214

11/22/200

Uvijanje - torzija

Obrtni moment i moment uvijanja

Uvijanje grede krunog poprenogpreseka

Odnos modula elastinosti i modulaklizanja Dimenzionisanje delova izloenihistom uvijanju

Uvijanje - torzija

Otpornost materijala

Ako u presekudeluje samo momenttorzije naprezanje jeisto uvijanje -torzija

- F

+ F

mt

mA

A

B

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

109/214

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

110/214

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

111/214

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

112/214

11/22/200

Obrtni moment i moment uvijanja

Primer transmisije gde sepogoni vratilo sa 5 kNm, ana dva izlaza prosleuje 3odnosno 2 kNm

Raspodela torzionogmomenta merodavna zaodreivanje dimenzijavratila i napona u

presecima ima izgled kaona slici

A B

izlaz izlazulaz

M =2kNm2 M =5kNm1 M =3kNm3

3 kNm3 kNm

-2kNm -2kNm

+

Mt

MtI

MtIIM 2 M 1

M 3

polje I polje II

Otpornost materijala

Uvijanje grede krunog poprenog preseka

Moment uvijanja Mt=MA

deluje u ravni B

Nastaje deformacija pavlakno se ab naspoljanjem omotauUVIJA na ab, a vlakno

cd na cd za ugao g Istovremeno se u ravni B

zakrene Cd na Cb zaugao q

a

b'd'

c

b

d

C

g1

q

F

-F

Mt

M Al

AB

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

113/214

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

114/214

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

115/214

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

116/214

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

117/214

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

118/214

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

119/214

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

120/214

11/22/200

1

Dozvoljeni torzioni (smicajni) napon

Poto se u tablicama ee nalazevrednosti dozvoljenog napona nazatezanje koristi se odnos

dd s 6,05,0 -

Otpornost materijala

Dimenzionisanje vratila i tapova pri uvijanju

Dimenzionisanje dela premamaksimalnom torzionom naponu - uslovvrstoe

Dimenzionisanje prema dozvoljenom ugluuvijanja po jedinici duine - uslov

deformabilnosti ODABRATI NEPOVOLJNIJI KRITERIJUM

ODNOSNO VEE DIMENZIJE

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

121/214

11/22/200

1

Dimenzionisanje prema najveem torzionomnaponu

Najvei napon pri uvijanju

Dobija se popreni presek

Za kruni popreni presek

dozt

W

M

0

1max

doz

tO

MW

316

doz

tMD

Otpornost materijala

Dimenzionisanje prema dozvoljenojdeformabilnosti dozvoljeni ugao uvijanja

Najvei ugao priuvijanju

Dobija se poprenipresek

Za kruni poprenipresek

dozt

GI

Mqq

0

'

doz

t

O G

M

I q

3

32

doz

t

G

MD

q

m

raddozq

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

122/214

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

123/214

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

124/214

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

125/214

11/22/200

1

Veza izmeu obrtnog momenta i snage

Kada je poznata snaga koju prenosi analiziranideo (vratilo, tap) poznat je i obrtni moment

Wn

MP30

min

on

NmnPM

30

1min

-n

Otpornost materijala

Rezime

Moment uvijanja jednak je spoljanjem obrtnom momentusuprotnog smera Mt=M

Kod uvijanja najvie se deformiu (uvijaju) spoljanjavlakna, vlakna u osi se ne deformiu

Smicajni napon max najvei je na spoljanjim vlaknima G modul klizanja Hukov zakon: napon je proporcionalan proizvodu modula

klizanja i ugla uvijanja

Maksimalni smiui napon je kolinik momenta Mt torzije iW0 polarnog otpornog momenta

Maksimalni ugao uvijanja je kolinik momenta torzije Mt iproizvoda modula klizanja i polarnog momenta inercije GI0

Otpornost materijala

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

126/214

11/29/200

Ravni nosai

Klasifikacija nosaa

Klasifikacija optereenja

Sile i momenti u poprenom preseku

Pojam statikog nosaa

Nosai su tela, u okviru konstrukcije ilimaine koja primaju optereenja i prenose ihna oslonce

Svako kruto telo vezano za nepokretnu ravan

i optereeno silama, zove se nosa

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

127/214

11/29/200

Nosee konstrukcije

Kuita maina

Karoserije automobila

Nosee konstrukcijegraevinskih maina

Vagoni i cisterne

Dizalina postrojenja

Pretovarni mostovi

Mostovi

Nadvonjaci ipodvonjaci

Krovne konstrukcije

Dalekovodi

Nosai nadzemnihtoplovoda

Karoserija automobila - nosai sloenogoblika kod automobia

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

128/214

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

129/214

11/29/200

Karoserija automobila - nosai sloenogoblika kod automobia

Podela nosaa

Prema poloaju optereenja

Prema obliku

Prema obliku poprenog preseka

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

130/214

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

131/214

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

132/214

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

133/214

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

134/214

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

135/214

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

136/214

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

137/214

11/29/200

1

Vrste delovanja optereenja

Direktno neposredno

Indirektno - posredno

B

B

A

A

F2

F2

F3

F3

F1

F1

Jednaine ravnotee za prostenosae

B

B

A

A

-F1L

L

y

y

z

z

F

F

F

a

a

M

M

1

Ax

a

L

F M

a

0

0

0

i

i

i

M

Y

Z

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

138/214

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

139/214

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

140/214

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

141/214

11/29/200

1

Konvencija o znacima optereenja grede

Aksijalna sila se

definie kao algebarskizbir svih spoljanjih silakoje deluju u pravcu

ose grede sa leve

strane od preseka p-p

FAFB

F1 F2 F4F3

FAK

FTMf

+FAK

FT

Mf

+

p

p

LiLAK ZF

Aksijalna sila se

definie kao algebarskizbir svih spoljanjih silakoje deluju u pravcu

ose grede sa desne

strane od preseka p-p

DiDAK ZF

Konvencija o znacima optereenja grede

Moment savijanja sa

leve strane se definiekao algebarski zbir svihmomenata spoljanjih silai momenata koji deluju na

gredu sa leve strane od

preseka p-p

FAFB

F1 F2 F4F3

FAK

FTMf

+FAK

FT

Mf

+

p

p

LiLf MM DiDf MM Moment savijanja sa

desne strane se definiekao algebarski zbir svihmomenata spoljanjih silai momenata koji deluju na

gredu sa desne strane od

preseka p-p

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

142/214

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

143/214

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

144/214

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

145/214

11/29/200

2

isto savijanje proste grede spregovima

l

AB

- M + M

z

z

-M -M

-M

FTR

BABAi FYFYY 000 AAi ZZZ

0 BA FlMMM

00 AB YF

MMf

0TRF

isto savijanje

Ovakvo optereenje grede mogue je ostvaritikod grede sa dva jednaka prepusta na ijimkrajevima deluju jednake sile F

l cc

A

B

F F

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

146/214

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

147/214

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

148/214

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

149/214

11/29/200

2

isto savijanje nastaje

Kada je ravan dejstva spregova (ravan savijanja)

istovremeno i ravan simetrije grede

Kada ravan savijanja prolazi kroz geometrijsku osu

Az grede

Osnovne jednaine savijanja

Veza izmeu aksijalne deformacije i napona

I jednaina savijanja - promena normalnognapona

II jednaina savijanja krivina elastinelinije

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

150/214

11/29/200

2

Prizmatina greda optereena na istosavijanje

Nastaju deformacije izduenja ili skraenjavlakana

Popreni preseci unutar grede su zaokrenutijedan u odnosu na drugi

Dilatacija posmatranih vlakna na nekom

udaljenju y od neutralne linije moe sedovesti u vezu sa modulom elastinosti(Hukov zakon) i poluprenikom krivineelastine linije

Prva jednaina savijanja

Normalni napon u nekoj taki poprenog

presekas

M moment sprega

Ix aksijalni moment inercije povrine za tuosu

y udaljenost posmatranog vlakna od ose

yI

M

x

s

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

151/214

11/29/200

2

Druga jednaina savijanja

K- krivina elastine linije

M moment sprega

Ix aksijalni moment inercije povrine za tuosu

E modul elastinosti

B=E.

Ix krutost savijanja grede Rk poluprenik krivine

B

IE

RK xk

1

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

152/214

12/6/200

Konvencija o znacima za optereenja grede

Levo od preseka Desno od preseka

Savijanje

isto savijanje (spregovima)Osnovne jednaine savijanjaSavijanje silama

Dimenzionisanje nosaa izloenih savijanju

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

153/214

12/6/200

Savijanje

Savijanje se najee analizira kod nosaave izuavanih u okviru mehanike I ili statike

Nosee konstrukcije maina i postrojenja sese po principima statike prevode u prostorne i

ravanske proste nosae

Optereenja se prevode u odgovarajue:koncentrisane sile, kontinualna optereenja,momente i spregove

isto savijanje

Ravan savijanja

Neutralna ravan

Neutralna osa

Neutralna (elastina) linija

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

154/214

12/6/200

isto savijanje

mBA

BmA

z

Ako deluje samo moment savijanja, naprezanje jeisto savijanje

Na gredu deluju dva sprega jednakih intenziteta, a

suprotnih smerova u vertikalnoj ravni

isto savijanje proste grede spregovima

Spregovi istog intenziteta, a suprotnih

smerova deluju u vertikalnoj ravni koja prolazi

kroz uzdunu osu nosaa Az

Ova vertikalna ravan je RAVAN SAVIJANJA

Horizontalna osa u ravni koja sadri uzdunuosu, a upravna je na nju (obeleena sa x)naziva se NEUTRALNA OSA

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

155/214

12/6/200

isto savijanje proste grede spregovima

isto savijanje proste grede spregovima

l

AB

- M + M

z

z

-M -M

-M

FTR

BABAi FYFYY 000 AAi ZZZ

0 BA FlMMM

00 AB YF

MMf

0TRF

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

156/214

12/6/200

isto savijanje

Ovakvo optereenje grede mogue je ostvaritikod grede sa dva jednaka prepusta na ijimkrajevima deluju jednake sile F

l cc

A

B

F F

isto savijanje grede

BABAi FYFFYFY 0

00 AAi ZZZ

0 BA FllcFcFM

FYFF AB

l cc

A

B

F F

YAFB

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

157/214

12/6/200

isto savijanje Statiki dijagrami za ovu gredu sa prepustima

l cc

A

B

F F

z

z

-M -M

-M

FTR

YAFB

-F

-F

cFzFzcFMf

0 FFFTR

I polje II polje III polje Za II polje

isto savijanje

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

158/214

12/6/200

Deformacija usled savijanja momentima

Pod dejstvom prikazanih spregova greda se

deformie tako to vlakna menjaju svoju duinu Duina jednih vlakana se poveava, a duina

drugih se smanjuje

Vlakna koja se niti izduuju niti skrauju zovu seneutralna vlakna

Deformacija usled savijanja momentima u ravnisavijanja

Uoava se utoliko vee izduenje vlakana ukolikoje vlakno udaljenije od neutralne ose sa spoljanje

strane (a-a vee od b-b) Sa druge strane, sa unutranje strane skraenje

vlakana je vee to su vlakna udaljenija odneutralne linije (c-c vee od d-d)

Najvie se izduuju spoljanja vlakna

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

159/214

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

160/214

12/6/200

Osnovne jednaine savijanja

Veza izmeu aksijalne deformacije i napona

I jednaina savijanja - promena normalnog

naponaII jednaina savijanja krivina elastinelinije

Prizmatina greda optereena na istosavijanje

Nastaju deformacije - izduenja ili skraenjavlakana

Popreni preseci unutar grede su zaokrenutijedan u odnosu na drugi

Dilatacija posmatranih vlakana na nekomudaljenju y od neutralne linije moe sedovesti u vezu sa modulom elastinosti(Hukov zakon) i poluprenikom krivineelastine linije

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

161/214

12/6/200

1

Prva jednaina savijanja

Normalni napon u nekoj taki poprenog

presekas M moment sprega

Ix aksijalni moment inercije povrine za tuosu

y udaljenost posmatranog vlakna od ose

yI

M

xzs

Druga jednaina savijanja

K- krivina elastine linije

M moment sprega

Ix aksijalni moment inercije povrine za tuosu

E modul elastinosti

B=E.Ix krutost savijanja grede Rk poluprenik krivine

B

IE

RK

xk

1

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

162/214

12/6/200

Prva jednaina savijanjapokazuje da:

Normalni napon u nekoj taki poprenogpreseka proporcionalan je napadnom

momentuMsavijanja i udaljenju yodneutralne ose

Normalni napon je obrnuto proporcionalan

momentu inercije poprenog preseka za

neutralnu osu Ix koja se poklapa sateinom osom

y

I

M

x

z s

Prva jednaina savijanjapokazuje da:

Kod istog savijanja napadni momentje usvakom preseku isti, pa normalan napon ne

zavisi od koordinate z

To znai da ne zavisi i od udaljenosti poprenogpreseka od oslonca

Normalni napon ne zavisi od koordinate x, toznai da je isti u svim takama ravni paralelnojkoordinatnoj ravni Axz kroz osu grede Az

yI

M

x

z s

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

163/214

12/6/200

1

Prva jednaina savijanjapokazuje da:

Normalni napon zavisi samo od udaljenosti

vlakana od neutralne ose Cx

U takama neutralne ose Cx, on je jednak 0

Zbog toga se ti naponi nazivaju i ivini naponi

yI

M

x

z s

Druga glavna jednaina savijanja pokazujeda:

Usled savijanja osa Az se krivi i postaje

elastina linija grede

Druga glavna jednaina slui za odreivanjekrivine te elastine linije

Za gredu konstantnog poprenog preseka ikonstantan napadni moment:

K =const.

B

IE

RK

xk

1

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

164/214

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

165/214

12/6/200

1

Primer grede sa dve koncentrisane sile

021 FFFFY BAi

0642 21 BA FaaFaFM

kNFkNF BA 4030

Primer grede sa dve koncentrisane sile

Maksimalni moment

savijanja

Maksimalna

transverzalna sila

Mfmax = 80 kNm

Ftmax = 40 kN

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

166/214

12/6/200

1

Promena transverzalne sile i momenta

savijanja du podune ose nosaa:

U svakom poprenom preseku imamoodgovarajuu transverzalnu silu

U svakom poprenom preseku imamoodgovarajui moment savijanja.

Transverzalnasila izaziva smicanje

Moment savijanjaizaziva savijanjenosaa oko poprene teine ose

Jednaine savijanja vae i kod savijanjasilama i moraju biti ispunjeni uslovi:

Da neutralna linija prolazi kroz teite svihpoprenih preseka

Da je neutralna osa teina osa poprenogpreseka

Da je neutralna osa, osa simetrije poprenogpreseka tj. glavna centralna ose inercijepreseka.

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

167/214

12/6/200

1

Glavne jednaine savijanja

yI

M

x

z s

x

f

k IE

RK

1

Trea glavna jednaina

bI

SF

x

xT

xS - Moment inercije povrine A za neutralnu osu Cx

- Tangencijalni napon grede optereene na savijanje

b - irina poprenog preseka za neutralnu osu

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

168/214

12/6/200

1

Raspored normalnog napona po

poprenom presekuy

I

M

x

z s

Raspored normalnog napona popoprenom preseku

Odnos Ix/ymax zavisi od oblika poprenog presekai naziva se

OTPORNI MOMENT POPRENOG PRESEKA

maxy

IW xx L3

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

169/214

12/6/200

1

Otporni moment razliitih ravnih preseka

pravougaonik

Otporni moment razliitih ravnih preseka

kvadrat

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

170/214

12/6/200

1

Otporni moment razliitih ravnih preseka

Krug i kruni prsten

Raspodela tangencijalnog napona popoprenom preseku

x

xT

I

SF

xS - Moment inercije povrine A za neutralnu osu Cx - Tangencijalni napon grede optereene na savijanje

- promenljiva irina poprenog preseka zaneutralnu osu

FT Transverzalna sila

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

171/214

12/6/200

2

Maksimalni normalni napon nosaaizloenog optereenju na savijanje

Maksimalni normalni napon

Maksimalni moment savijanja

Otporni moment poprenog preseka

xW

Mmax

maxs

Raspodela tangencijalnog napona popoprenom preseku pravougaonika

A

FTmaxmax

3

2

2

max41

h

y

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

172/214

12/6/200

2

Raspodela tangencijalnog napona po

poprenom preseku kruga

A

FTmaxmax

3

4

2

max1

R

y

Raspodela tangencijalnog napona popoprenom preseku limenog nosaa

0

max

max

A

FT

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

173/214

12/6/200

2

Dimenzionisanje nosaa optereenihna savijanje

Postoje dva razliita zadatka:

1. Poznato je optereenje koje deluje nanosa, a treba odrediti vrednosti najveegnormalnog i tangencijalnog napona koji se

javljaju

2. Poznato je optereenje, raspon, nainoslanjanja i oblik nosaa koji se moraupotrebiti, a trae se dimenzije poprenogpreseka

Odreivanje veliina normalnog itangencijalnog napona ako je poznato

optereenje

Najvei normalni napon javlja se u opasnompreseku, u najudaljenijem vlaknu

Najvei tangencijalni napon javlja se upreseku u kome je najvea tangencijalna sila

Opasni presek najvei moment savijanja inajvea transverzalna sila definiu se izstatikih dijagrama nosaa

x

xT

I

SF

xW

Mmax

maxs

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

174/214

12/6/200

2

Odreivanje dimenzija poprenogpreseka nosaa

Prema definisanom optereenju izraunatiotporni moment preseka

Po odreivanju dimenzija proveriti da li je

tangencijalni napon manji od dozvoljenog

fdoz

xW

Mss max

max

fdoz

x

MW

s

max

Maksimalni napon manji od dozvoljenog

fdozss max

fdoz max

Provera tangencijalnih napona

Kod elinih konstrukcija tangencijalni naponisu vrlo mali pa se ova provera esto i ne vri

Proveru obavezno vriti kod drvenihkonstrukcija

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

175/214

12/6/200

2

Rezime: Dimenzionisanje nosaa

Odrediti otpore oslonaca

Nacrtati statike dijagrame i iz njih odreditinajvei napadni moment i najveutransverzalnu silu

Prema izabranom materijalu definisati

dozvoljene napone na savijanje

Odrediti otporni moment poprenog preseka Proveriti da li su najvei normalni i

tangencijalni napon manji od dozvoljenih

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

176/214

12/11/201

Savijanje elastine linije

Analitika metoda odreivanja elastine linijeIzraunavanje ugiba i nagiba uz pomo tablica

Prva jednaina savijanja

Normalni napon u nekoj taki poprenog

presekas

M moment sprega

Ix aksijalni moment inercije povrine za tuosu

y udaljenost posmatranog vlakna od ose

yI

M

x

z s

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

177/214

12/11/201

Druga jednaina savijanja

K- krivina elastine linije

M moment sprega

Ix aksijalni moment inercije povrine za tuosu

E modul elastinosti

B=E.

Ix krutost savijanja grede Rk poluprenik krivine

B

IE

R

Kxk

1

Diferencijalna jednaina elastine linije

Pomou druge glavne jednaine definisana je krivinaelastine linije savijenog nosaa

Iz matematike je poznato da se pod krivinom

podrazumeva odnos

Gde je: R poluprenik krivine

dselementarni luk

da elementarna promena ugla

B

IE

Rd

sdK

x

1

a

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

178/214

12/11/201

Nagib tangente krive prema Ox osi iz

matematike

Nagib tangente krive f(x) je prvi izvod funkcije koja

predstavlja krivu

Kako je element luka krive

Odatle je krivina

ydx

dytg

a

aa

2cos

1,

2221 ydxdydxds

22

1

cos1

y

y

ds

dxy

ds

d

RK

aa

Diferencijalna jednaina elastine linije Usled savijanja teite nekog preseka se sputa (u

peavcu y ose) za duinu koju nazivamo

ugib elastine linije (strela) tangenta sa osom Az gradi ugao koji se naziva

nagib grede

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

179/214

12/11/201

Diferencijalna jednaina elastine linijeproste grede

Gde su:

Mfmoment savijanja u preseku z

B = E.Ix savojna krutost grede

B

M

IE

My

L

f

x

L

f

L

fMyB

Analitiko odreivanje elastine linije

Odrediti otpore oslonaca za reavani nosa

Napisati izraze za promenu momenta

savijanja u funkciji od podune koordinate z

Proizvod savojne krutosti i drugog izvoda

jednak je negativnom momentu savijanja i topredstavlja diferencijalnu jednainu elastinelinije

L

fMyB

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

180/214

12/11/201

Analitiko odreivanje elastine linije

Integraljenjem dobija se jednaina promenenagiba u zavisnosti od koordinate z

Ponovnim integraljenjem dobija se jednainapromene ugiba u zavisnosti od koordinate z

Integracione konstante odreuju se iz uslovada su ugibi oslonaca jednaki nuli i kod

nosaa u nekom preseku na kraju poljapromene optereenja oba kraja moraju imatiisti ugib i nagib

Primer jednaine elastine linije prostegrede

L

bFFA

Otpori oslonaca

L

aFFB

zL

bFzFM A 1

azFzL

bFazFzFM A 2

az 0

Lza

I polje

II polje

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

181/214

12/11/201

Primer jednaine elastine linije prostegrede

Uvedena je Klebova crta ili masna crta

Ona obeleava kraj prvog polja i poetakdrugog polja

azFzL

aFazFzFM A

Oba izraza za moment mogu se objediniti

Primer jednaine elastine linije prostegrede:

Izvriti integraciju u I polju pre crte po z

u II polju posle crte po (z-a)

azFzL

aFazFzFMyB A

Diferencijalna jednainaL

fMyB

7/29/2019 mehanika-otpornost materijala

182/214

12/11/201

Primer jednaine elastine linije prostegrede

Integra