MEHANIKA VO NJE - Odsek za puteve, eleznice i aerodrome · Interakcija to£kova i ²ina Nelinearnost kretanja ²inskih vozila Fenomeni nestabilnosti kretanja ²inskih vozila Kontakt

Interakcija to£kova i ²inaNelinearnost kretanja ²inskih vozila

Fenomeni nestabilnosti kretanja ²inskih vozilaKontakt to£kova i ²ina

MEHANIKA VONJE

Odsek za puteve, ºeleznice i aerodrome

Prof dr Stanko Br£i¢Doc dr Stanko ori¢Doc dr Anina Glumac

Graevinski fakultetUniverzitet u Beogradu

k. god. 2018/19

S.ori¢ Mehanika voºnje



Sadrºaj

1 Interakcija to£kova i ²inaKotrljanje to£ka bez klizanjaKotrljanje to£ka sa klizanjem

2 Nelinearnost kretanja ²inskih vozilaGeometrija to£kova i ²ina

3 Fenomeni nestabilnosti kretanja ²inskih vozilaPenjanje to£ka na ²inuIskliznu¢e to£ka: ²irenje koloseka i preturanje ²ineVijuganje voza - "Hunting motion"

4 Kontakt to£kova i ²inaHertz-ova teorija kontakta dva telaIspadanje voza iz ²ina




Kotrljanje to£ka bez klizanjaKotrljanje to£ka sa klizanjem

Obrtno postolje - izmeu kabine i to£kova





Osovinski sklop na ²inama





Kotrljanje krutog to£ka po krutoj podlozi3.4 Contact Forces between Wheel and Guideway 117

a) b)

MC

3

eIν

P, vP = 0

ω ω

m, IC

vC

1

m, IC

vC

OI OI

3

1

ft

eIν

r

P ≡ Q, vP = 0

C C

ω

MC

P, vP < 0

ω

P, vP < 0

Q

r

| ft |≤ µ0fn ft = −µfnsgnvP

ft

fn fn

MC

vC

MC

vCCC

fG = mg fG = mg

fGfG

Fig. 3.6. States of motion of a free rigid wheel on a rigid guideway: a) kinematicrolling; b) combination of rolling and sliding

is valid. This condition represents a fixed relation between the velocity ofthe center of gravity vC and the rotational velocity ω. The forces fn, ft atpoint P are reaction forces shown in Fig. 3.6 a) in the free body diagram.According to the Coulomb’s friction law in the case of sticking it yields

|ft| ≤ µ0fn , fn ≥ 0 , (3.41)

with the coefficient of static friction µ0. The special case fn = 0 represents avanishing contact what means a unilateral constraint. Newton’s law of motionand Euler’s law of motion yield

0 = mg − fn , (3.42)

mvC = ft , (3.43)

IC ω = MC − ftr . (3.44)

Together with Eq. (3.40) four equations for the four unknown variablesvC , ω, fn, ft are available. The evaluation results in





Kotrljanje krutog to£ka po krutoj podlozi

Dva reºima kotrljanja krutog to£ka po krutoj podlozi

Kotrljanje bez klizanja (£isto kotrljanje)

Kombinovano kotrljanje sa klizanjem

Diferencijalne jedna£ine ravnog kretanja

Homogeni kruti to£ak: masa m, moment inercije JC = 12mr

2,polupre£nik r

Na to£ak deluje obrtni spreg MC = MC(t)

U slu£aju £istog kotrljanja (bez klizanja), ta£ka kontakta P jetrenutni centar rotacije, odn. vP = 0





Sadrºaj











Uslov kotrljanja bez klizanja: vC = ω r

Na kontaktu to£ka i podloge, u ta£ki P, deluju reakcije vezafn i ft:

fn ≥ 0 |ft| ≤ µ0 fnSila fn ≥ 0 predstavlja jednostranu vezu

Sila ft = µ0fn je sila trenja u skladu sa Kulonovim zakonomtrenja

µ0 je stati£ki koecijent trenja







Diferencijalne jedna£ine ravnog kretanja to£ka

0 = mg − fnmvC = ft

JC ω = MC − ft r(1)

pri £emu vaºi uslov kotrljanja bez klizanja

vC = ω r (2)







Re²enje jedna£ina ravnog kretanja to£ka(imaju¢i u vidu da je JC = 1

2mr2)

vC =MC/r

m+ JC/r2=

2

3

MC

mr

ω =vCr

fn = mg

ft = mvC =2

3

MC

r

(3)







U zavisnosti od zakona MC = MC(t) kao i od po£etnih uslovakretanja, dobija se re²enje vC = vC(t)

Iz uslova ft ≤ µ0fn se dobija ograni£enje za obrtni momenat:

|MC | ≤ µ03

2mg r (4)

Reakcija veze ft ne vr²i mehani£ki rad(deluje u trenutnom centru rotacija)





Kotrljanje krutog to£ka po krutoj podlozi3.4 Contact Forces between Wheel and Guideway 117

a) b)

MC

3

eIν

P, vP = 0

ω ω

m, IC

vC

1

m, IC

vC

OI OI

3

1

ft

eIν

r

P ≡ Q, vP = 0

C C

ω

MC

P, vP < 0

ω

P, vP < 0

Q

r

| ft |≤ µ0fn ft = −µfnsgnvP

ft

fn fn

MC

vC

MC

vCCC

fG = mg fG = mg

fGfG

Fig. 3.6. States of motion of a free rigid wheel on a rigid guideway: a) kinematicrolling; b) combination of rolling and sliding

is valid. This condition represents a fixed relation between the velocity ofthe center of gravity vC and the rotational velocity ω. The forces fn, ft atpoint P are reaction forces shown in Fig. 3.6 a) in the free body diagram.According to the Coulomb’s friction law in the case of sticking it yields

|ft| ≤ µ0fn , fn ≥ 0 , (3.41)

with the coefficient of static friction µ0. The special case fn = 0 represents avanishing contact what means a unilateral constraint. Newton’s law of motionand Euler’s law of motion yield

0 = mg − fn , (3.42)

mvC = ft , (3.43)

IC ω = MC − ftr . (3.44)

Together with Eq. (3.40) four equations for the four unknown variablesvC , ω, fn, ft are available. The evaluation results in





Sadrºaj










Kotrljanje to£ka sa klizanjem

U slu£aju kotrljanja sa klizanjem trenutni centar rotacije jeizmeu centra mase to£ka C i ta£ke kontakta P

Brzina kontaktne ta£ke P je data sa:

vP = vC − ω r (5)

Odnos brzine klizanja kontaktne ta£ke P i brzine kotrljanjacentra mase to£ka C je koecijent klizanja krutog tela:

ν =vPvC

=vC − ω rvC

(6)







U ta£ki kontakta P, osim normalne reakcije fn deluje i sila ftkoja se posmatra kao aktivna sila koja sledi iz Kulonovogzakona trenja za slu£aj klizanja:

ft = −µ fn~vP|~vP |

= −µ fn sgn(~vP ) (7)

gde je µ dinami£ki koecijent trenja klizanja (µ < µ0)

Takoe jefn ≥ 0 vP = vC − ω r (8)







Dif. jedn. ravnog kretanja (1) su iste i u slu£aju kotrljanja saklizanjem

Re²avanjem jedna£ina (1), uz relacije (7) i (8), dobija sere²enje za kinemati£ke veli£ine

vC = −µ g sgn(vC − r ω)

ω =1

JC(MC − rm vC)

(9)

kao i re²enje za sile fn i ft:

fn = mg ft = −µmg sgn(vC − rω) (10)







Re²enje (9) pretstavlja spregnut sistem i re²ava se iterativno

Pretpostavi se znak brzine vP = vC − rω, npr. vP < 0, pa seiz prve od jedn. (9) odredi vCUnose¢i u drugu od jedn. (9), za datu zavisnost MC = MC(t)i poznate po£etne uslove, odredi se ω = ω(t)

Pretpostavka o znaku vP sa zatim proveri i ponovi sere²avanje ako nije zadovoljena







Sila ft je disipativna sila. Ona vr²i mehani£ki rad

A1−2 =

∫ 2

1ft ds =

∫ t

0ft vP dt = −

∫ t

0µmg|vP | dt (11)

Razlike izmeu £istog kotrljanja to£ka, slu£aj (a) ikotrljanja sa klizanjem, slu£aj (b):

- Ta£ka kontakta je u slu£aju (a) trenutni centar rotacije, a uslu£aju (b) nije

- U slu£aju (a) sila trenja ft je reakcija veze, a u slu£aju (b) jeaktivna, disipativna, sila







U slu£aju (a) sila ft ne vr²i mehani£ki rad, dok u slu£aju (b)disipativna sila ft vr²i negativan rad

U slu£aju (a) stati£ka sila trenja ft ubrzava centar to£ka, pri£emu postoji i odreeno ograni£enje (4) za obrtni momenat

U slu£aju (b), usled trenja nastaje sila klizanja ft(suprotnog smera od brzine kontaktne ta£ke P)

U oba slu£aja mogu da se odrede sve nepoznate vC , ω, fn, ft




Geometrija to£kova i ²ina

Sistemi krutih tela - modeli analize kretanja

Nelinearnost kretanja ²inskih vozila

Analiza kretanja ²inskih vozila je nelinearnaNelinearnost kretanja ²inskih vozila je

- geometrijska nelinearnost- materijalna nelinearnost

Geometrijska nelinearnost nastaje usled velikih rotacija i/ilivelikih pomeranja pojedinih komponenti vozila

Krivolinijska geometrija trase je izvor nelinearnosti

Materijalna nelinearnost nastaje usled nelinearnih konstitutivnihrelacija sila/pomeranje (plasti£no ili viskoelasti£no pona²anje)

Dinami£ka interakcija to£ak/²ina zahteva odreivanjenelinearnih sila veze





Sistemi krutih tela - modeli analize kretanja

Modeliranje kretanja ²inskih vozila

Speci£nost modeliranja kretanja ²inskih vozila je u interakcijito£kova i ²inaPostoje, na£elno, dva tipa interakcije:

- kontakt to£ak/²ina- magnetska levitacija (ne posmatra se)

Generisanje kretanja ²inskih vozila preko kotrljanja i klizanjato£kova na ²inamaKontaktne sile u dinami£koj interakciji to£ak/²ina, kao ikinemati£ke veli£ine, mogu da budu izvor raznih nestabilnostikretanja:

- fenomen vijuganja ("hunting phenomenon")- iskakanje vagona iz ²ina ("derailment")





Sadrºaj











U analizi kontakta to£kova i ²ina bitno je precizno prikazivanjegeometrije i ²ina i to£kova

Ta£no prikazivanje teorijske geometrije kontaktne povr²ineto£kova i ²ina

Procena o²te¢enja ²ina i to£kova i odgovaraju¢eg prikazivanjau analizama

Formulacija diferencijalnih jedna£ina kretanja treba daobuhvati problem kontakta to£kova i ²ina

Ta£nost numeri£kog re²enja kontaktnog problema zavisi odprocene lokacija kontaktnih ta£aka










Geometrija to£kova i ²ina132 3 Models for Support and Guidance Systems

RS1 → ∞

RR2

eK1

eK3

PeK2

eK3

P

RS2

RR1 = r0

Fig. 3.13. Principal curvature radii of wheel and rail

where:

m,n parameters,|fn| absolute value of the normal force,E, ν Young’s modulus and Poisson’s ratio of the material of the contact

pair (e. g. steel: E ≈ 210 kN/mm2, ν ≈ 0.3)A,B curvatures of the contact partners in both principal curvature planes,

A =1

RR2+

1

RS2, B =

1

RR1+

1

RS1=

1

r0. (3.79)

The parameters m,n result from Table 3.4 by means of the angle ϑ(0 ≤ ϑ ≤ 180) where

ϑ = arccosA−B

A+B, (3.80)

A−B =1

RR2+

1

RS2− 1

r0, (3.81)

A+B =1

RR2+

1

RS2+

1

r0. (3.82)

For the relation of the half-axes a, b of the contact ellipse holds in dependencyof the angle ϑ:





Geometrija krive linije u prostoru





Geometrija osovine trase pruge





Geometrija krivolinijske povr²i





Geometrija glave ²ine





Izdizanje ²ina u krivini





Geometrija to£ka na ²ini




Penjanje to£ka na ²inuIskliznu¢e to£ka: ²irenje koloseka i preturanje ²ineVijuganje voza - "Hunting motion"

Sadrºaj









"Penjanje" to£ka na ²inu - Nadalova formula






"Penjanje" to£ka na ²inu - Nadalova formula (1908)

Kontakt to£ka i ²ine se realizuje na an²i to£ka i bo£nom deluglave ²ine

Sile kojima to£ak deluje na ²inu, V i L (vertikalna ihorizontalna sila) su u ravnoteºi sa reakcijama ²ine N i F

Ako je ugao nagiba an²e to£ka jednak α, a µ koecijenttrenja izmeu to£ka i ²ine, onda moºe da se izvede relacija(Nadal, 1908)

L

V=

tanα− µ1 + µ tanα

(12)







Ako odnos sila V i L prekora£i desnu stranu relacije (12),moºe da doe do "penjanja" to£ka na ²inu

Problem kada odnos L/V prekora£i neki iznos nije vezan samoza "penjanje" to£ka

Ako se kontakt to£ka i ²ine realizuje u dve ta£ke i ako je bo£nasila to£ka na ²inu relativno velika (ve¢a od nekog iznosa),moºe da nastane bo£no iskliznu¢e iz ²ina

To se naziva i pove¢anje razmaka ²ina ("gage widening")





Sadrºaj









Bo£no iskliznu¢e to£ka - ²irenje koloseka






Preturanje ²ine

Ako odnos sila V i L prekora£i neki iznos, moºe da doe doiskliznu¢a voza sa ²ina usled "preturanja" ²ine

Ako je odnos sila ve¢i od geometrijskog odnosa,

L

V>D

H

moºe da doe do preturanja ²ine

Ako je ta£ka kontakta to£ka i ²ine na unutra²njoj strani ²ine,pri £emu je L/V ∈ [0.73÷ 0.66] (u zavisnosti od oblika ²ine),moºe da doe do preturanja ²ine (Blader, 1989)





Iskliznu¢e to£ka usled preturanja ²ine





Sadrºaj









Vijuganje voza - "Hunting motion"2.2 Kinematics 43

r0

δ0

a a

x

y

λ = 2π

√r0a

tanδ0

Fig. 2.18. Hunting motion of a railway wheelset

wheels overtakes the right wheel and the conditions are reversed. As a resulta stable wheelset motion is obtained. For a wheelset with decreasing roll radiitowards the wheelset center, Fig. 2.19, a displacement of the wheelset centerof mass from the middle of the track is not decreasing but further increasingwith the result of an unstable wheelset motion. The stable motion can beeasily verified by an experimental wheelset consisting of two cones, e.g. madeby yogurt cups, running on two rods placed an a inclined plane, Fig. 2.20.

With a real wheelset the motion behavior is much more complex. Dueto elasticity of wheels and tracks the contact points have to be replaced by






Vijuganje voza - "Hunting motion" (bo£na nestabilnost voza)

Jedan od problema bo£ne stabilnosti kretanja voza je ivijuganje ("hunting motion")

To je bo£no kretanje osovine to£kova u odnosu na sredinukoloseka

Osovinski slog su dva to£ka koji su kruto spojeni osovinom

To£kovi su konusnog oblika, sa nagibom 1:20 (ili 1:40), pri£emu je ve¢i pre£nik na unutra²njoj strani ²ina

Takav oblik uti£e da se osovinski sklop automatski samcentrira tokom kretanja u odnosu na osu koloseka i time sejavlja manji kontakt izmeu an²e to£ka i unutra²nje strane²ine (Karnopp, 2004)





Polupre£nici kotrljanja to£kova







Usled bilo kakvog poreme¢aja (imperfekcija ²ina), osovinskislog moºe da se bo£no kre¢e

U ravnoteºnoj konguraciji kretanja, osovinski slog je centriranu donosu na osu pruge: (y = 0)

Zbog konusnog oblika (bandaºa) to£kova (ugao γ),polupre£nici kotrljanja levog i desnog to£ka su R` i Rr

U ravnoteºnoj konguraciji (y = 0), polupre£nici oba to£ka sumeusobno isti, R0, (ako su to£kovi isti, ispravni i simetri£nonasaeni na osovinu)







Zbog konusnog oblika (ugao γ), ako se osovina bo£no pomeriza (mali iznos) y, promena radijusa kotrljanja to£ka je

∆R = y γ

Polupre£nici kotrljanja to£kova su tada dati sa

Rr = R0 − y γ R` = R0 + y γ

Ako se osovinski slog okre¢e sa ugaonom brzinom ω, brzineta£aka kontakta desnog i levog to£ka su

vr = Rr ω v` = R` ω





Vijuganje osovinskog sloga







Brzina sredi²ta osovine je jednaka

v =vr + v`

2= R0 ω

Za mali ugao skretanja (ugao rotacije oko vertikalne ose) jetanψ ≈ ψ, pa je vremenska promena ugla skretanja data sa

y =dy

dt=dy

dx

dx

dt= ψ v = ψR0 ω (13)

Promena ugla skretanja moºe da se prikaºe kao

ψ =vr − v`G

= −2y ω γ

G(14)







Diferenciranjem jedn. (13) po vremenu i uno²enjem za ψdesne strane jedn. (14), dobija se jedna£ina

y + (2R0 ω

2 γ

G) y = 0 (15)

Jedna£ina (15) je oblika y + Ω2 y = 0 i re²enje je, ako jekoecijent Ω2 uz y pozitivan, dato sa

y(t) = A sin(Ωt+ C) (16)

gde se A i C odreuju iz po£etnih uslova







Koecijent Ω je svojstvena frekvencija vijuganja

Imaju¢i u vidu relaciju v = R0 ω , dobija se kruºna frekvencijavijuganja

Ω =

√2R0 ω2 γ

G= v

√2γ

R0G(17)

kao i preriod vijuganja

λ =2π

Ω=

2π

v

√R0G

2γ(18)

Relacije (17) i (18) se zovu Klingelove formule (Klingel, 1883)







Re²enje (16) pretstavlja oscilatrotno kretanje sa konstantnomamplitudom A

Takvo kretanje vaºi samo ako je Ω2 > 0

To ¢e da bude ispunjeno samo ako je γ > 0 , odn. ako suto£kovi konusnog oblika sa pozitivnim nagibom

Ako su to£kovi cilindri£ni, onda je γ = 0, pa je i Ω2 = 0, odn.re²enje je prava linija

Ako je Ω2 < 0, odn. ako je to£ak sa negativnim nagibom,γ < 0, onda kretanje osovinskog sloga nije oscilatorno





Vijuganje osovinskog sloga





Vijuganje voza - "Hunting motion"44 2 Vehicle Models

a) b) c)

x

y

x

y

x

y

Fig. 2.19. Wheelset motion with different conicities: a) stable motion; b) indifferentmotion; c) unstable motion

Fig. 2.20. Experimental setup showing the stable wheelset motion

contact patches, and purely kinematic rolling does no longer exist. Further-more, the wheel and rail profiles are neither conical nor square, and the upto now neglected inertia phenomena are of great influence.





Vijuganje voza - "Hunting motion"

44 2 Vehicle Models

a) b) c)

x

y

x

y

x

y

Fig. 2.19. Wheelset motion with different conicities: a) stable motion; b) indifferentmotion; c) unstable motion

Fig. 2.20. Experimental setup showing the stable wheelset motion

contact patches, and purely kinematic rolling does no longer exist. Further-more, the wheel and rail profiles are neither conical nor square, and the upto now neglected inertia phenomena are of great influence.




Hertz-ova teorija kontakta dva telaIspadanje voza iz ²ina

Interakcija to£kova i ²ina

Kontakt to£kova i ²ina

Osovinski sklop: kruta veza osovine i dva to£kaTo£kovi su speci£nog oblika:

konusni u popre£nom pravcunagib konusa (1:20) sa padom ka spoljavenac sa unutra²nje strane ²ina (grani£nik)

Osim kretanja u pravcu koloseka, osa x, kotrljanje saklizanjem, stepeni slobode kretanja osovinskog sklopa su i:

Popre£no pomeranje (u pravcu ose y)Rotacija oko vertikalne ose (skretanje, α)





Stepeni slobode kretanja to£kova





Koordinatni sistemi ²ine, to£ka i kontakta






Kontakt izmeu to£kova i ²ina

Interfejs izmeu to£ka i ²ine je mala kontaktna zonaSile velikih intenziteta, na maloj povr²ini: normalna i dvetangencijalne

- normalna, gravitaciona, sila Fz

- tangencijalna poduºna (vu£na sila ili sila ko£enja) Fx

- tangencijalna popre£na (sila bo£nog voenja, parazitna) Fy

Kontaktni pritisci su prakti£no koncentracija napona (£estopreko 1000 MPa)

Analiza normalnih sila (Hertz-ova teorija, . . . )

Analiza tangencijalnih sila (Kalker-ova teorija)





Sile na kontaktu to£ka i ²ine





Sadrºaj










Hertz-ova teorija kontakta dva tela

Heinrich Hertz (1857-1894), dao osnove Mehanike kontakta(1882)

Naponi pritiska i adhezije u pravcu normale na povr²inekontakta

Smi£u¢i naponi (trenje) u tangencijalnoj ravni izmeu dva tela

Hertz posmatrao kontakt dve pritisnute elasti£ne sfere (bezadhezije)

Polupre£nici krivine povr²i oba tela su veliki u odnosu nakontaktnu povr²inu

Radijusi krivine su konstantni u zoni meusobnog kontakta







Hertz je pokazao da je kontaktna povr²ina ravna i oblika elipsesa poluosama a i b

Naponi meusobnog pritiska su respodeljeni u oblikupolu-elipsoida

Poluose elipse kontaktne povr²ine se izraºavaju preko elasti£nihosobina tela, kao i geometrije povr²i tela (polupre£nici glavnihkrivina)

Srednji kontaktni napon (za ukupnu normalnu silu N), kao inajve¢i napon (u centru elipse):

σsr =N

π a bσmax =

3

2

N

π a b










Kontakt dva tela (dve sfere)





Kontakt to£ka i ²ine





Kontakt to£ka i ²ine





Kontakt to£ka i ²ine - tangencijalne sile i spreg Mz





Kontakt to£ka i ²ine i sile veze




















Sadrºaj









Ispadanje voza iz ²ina

Mehanizmi ispadanje voza iz ²ina

Ispadanje voza iz ²ina je usled gubitka bo£nog voenja to£kovapo ²inama

etiri glavna mehanizma ispadanja voza iz ²ina:

"Penjanje" an²e to£ka na glavu ²ine

Pro²irenje razmaka izmeu ²ina

Preturanje ²ine

Bo£no smicanje koloseka





Ispadanje voza iz ²ina

Penjanje to£ka na glavu ²ine

"Penjanje" an²e to£ka na glavu ²ine moºe da se, na£elno,dogodi na krivini

Kombinacija relativno velike bo£ne sile L i smanjene vertikalnesile V

Velika bo£na sila obi£no nastaje pri velikom uglu skretanja(odn. napadnom uglu) to£ka

Uti£e radijus krivine trase, lokalni uslovi povr²ina ²ine i to£ka,karakteristike ve²anja obrtnog postolja, brzina kretanja voza,itd.

Nadalova L/V formula (posmatra se samo jedan to£ak)





Napadni ugao to£ka u odnosu na ²ine





Faze penjanja to£ka na ²inu





Nadalova formula - samo jedan to£ak se posmatra







Kontakt to£ka i ²ine se realizuje na an²i to£ka i bo£nom deluglave ²ine

Sile kojima to£ak deluje na ²inu, V i L (vertikalna ihorizontalna sila) su u ravnoteºi sa reakcijama ²ine N i F

Ako je ugao nagiba an²e to£ka jednak α, a µ koecijenttrenja izmeu to£ka i ²ine, onda moºe da se izvede relacija(Nadal, 1908)

L

V=

tanα− µ1 + µ tanα





Nadalova formula - zavisnost od upadnog ugla





Ispadanje to£ka usled bo£nog ²irenja koloseka





Ispadanje to£ka usled bo£nog ²irenja koloseka





Ispadanje to£ka usled preturanja ²ine





Primer labavog pri£vrsnog sistema





Bo£no klizanje celog koloseka





Ispadanje iz ²ina usled vijuganja





Ispadanje voza iz ²ina: odron kamenja


Documents

MEHANIKA VO NJE - Odsek za puteve, eleznice i aerodrome · Interakcija to£kova i ²ina Nelinearnost kretanja ²inskih vozila Fenomeni nestabilnosti kretanja ²inskih vozila Kontakt