Mekanik FK2002m F¨orel¨asning 2 Vektorer

Mekanik FK2002m

Forelasning 2Vektorer

2013-09-02

Sara Strandberg

SARA STRANDBERG P. 1 FORELASNING 2

Introduktion

• Forra gangen pratade vi om rorelse i en dimension.

• Nar vi gar till flera dimensioner behover vi nagon formalism for att

halla reda pa de olika riktningarna.

• Vi introducerar vektorer.


Vektorer och skalarer

• En vektor har bade en storlek och en riktning.

• En vektor betecknas med en pil ovanfor symbolen, t.ex. ~v.

• Langden av en vektor skrivs v eller |~v|.

• Hastighet och acceleration ar exempel pa vektorer.

• En skalar ar nagot som har en storlek men ingen riktning.

• Massa och temperatur ar exempel pa skalarer.

• En vektor definieras

helt av sin langd och

riktning.

• De tre vektorerna

bredvid ar alla samma

vektor.


Multiplikation av tal/skalar med vektor

• Vid multiplikation av ett positivt tal (ej 1) med en vektor andras

vektorns langd men inte dess riktning.

• Vid multiplikation av ett negativt tal med en vektor, andras bade

vektorns storlek och riktning.

a

a3

a

a-


Vektoraddition

• Summan av tva vektorer ~a och ~b kan illustreras sahar:

+ =a b

a

bb+a

• Vi adderar ~b+ ~a istallet for ~a+~b:

+ =b a

a

b

a+b

• Resultatet blir samma vektor.

~a+~b = ~b+ ~a Kommutativa lagen


Vektoraddition

a

c+b

)c+b

+ (a

a

b

b+a

cc+

b

)c+b

+ (a

b+a

c)c

+b + (

a

~a+ (~b+ ~c) = (~a+~b) + ~c Associativa lagen


Vektorsubtraktion

• Ett par olika satt att illustrera differensen av tva verktorer.

• ~a−~b = ~a+ (−~b):

+ =a -b a -b

b-a• ~a−~b = ~b+ (~a−~b) = ~a:

- =a b ab

b-a


Vektorns riktning och langd

x

y

φ

v


Vektorns komponenter

sin θ =motstaende katet

hypotenusa

cos θ =narliggande katet

hypotenusa

tan θ =motstaende katet

narliggande katet

x

y

φ

v φv_y = v sin

φv_x = v cos


Problem 2

A displacement vector ~r is the xy plane is 12 m long and directed at

an angle θ = 30◦ in Fig. 3-26. Determine (a) the x component and

(b) the y component of the vector.


Problem 6

In Fig. 3-27, a heavy piece of machinery is raised by sliding it a

distance d = 10.5 m along a plank oriented at an angle 20.0◦ to the

horizontal. How far is it moved (a) vertically and (b) horizontally?


Enhetsvektorer

• Infor vektorer parallella med koordinataxlarna.

• Ge dem langden ett.

• Kallas enhetsvektorer.

• Enhetsvektorerna i och j ar riktade langs x- respektive y-axeln.

• Alla enhetsvektorer har langden 1, dvs |i| = |j| = 1

x

y

i

j


Vektorns komponenter - enhetsvektorer

• Betrakta vektorn ~a med langden a och riktningen φ i ett

xy-koordinatsystem.

• Vi delar upp ~a i tva komponenter:

- ax = a cosφ

- ay = a sinφ

• Langden av ~a ar a =√

a2x+ a2

y

~a = axi+ ay j

|~a| = |ax i+ ay j| =√

a2x+ a2

y

φ = arctan(ay/ax)


Problem 11

(a) In unit-vector notation, what is the sum ~a+~b if

~a = (4.0 m)i+ (3.0 m)j and ~b = (−13.0 m)i+ (7.0 m)j? What are the (b)

magnitude and (c) direction of ~a+~b?


Problem 15

The two vectors ~a and ~b in Fig. 3-28 have equal magnitudes of 10.0 m

and the angles θ1 = 30◦ and θ2 = 105◦. Find the (a) x and (b) y

components of their vector sum ~r, (c) the magnitude of ~r and (d)

the angle ~r makes with the positive direction of the x axis.


Problem 30

Here are two vectors:

~a = (4.0 m)i− (3.0 m)j and ~b = (6.0 m)i+ (8.0 m)j

What are (a) the magnitude and (b) the angle (relative to i) of ~a?

What are (c) the magnitude and (d) the angle of ~b? What are (e)

the magnitude and (f) the angle of ~a+~b; (g) the magnitude and (h)

the angle of ~b− ~a; and (i) the magnitude and (j) the angle of ~a−~b?

(k) What is the angle between the directions of ~b− ~a and ~a−~b?


3-dimensionella vektorer

• Vi infor en tredje enhetsvektor k som pekar i z-riktningen i ett

xyz-koordinatsystem.

• Vektorn ~a i tre dimensioner ges av ~a = ax i+ ay j + az k.

• Har langden a =√

a2x+ a2

y+ a2

z

• Pa samma satt som for tvadimensionella vektorer blir summan:

~a+~b = axi+ay j+az k+bx i+by j+bzk = (ax+bx)i+(ay+by)j+(az+bz)k


Skalarprodukt

• Skalarprodukten av vektorerna ~a och ~b definieras som:

~a ·~b = ab cosφ

dar φ ar vinkeln mellan vektorerna ~a och ~b.

• Med enhetsvektornotation beraknas skalarprodukten enligt:

~a ·~b = (ax i+ ay j + az k) · (bx i+ by j + bz k)

= ax · bx · i · i+ ay · by · j · j + az · bz · k · k

= ax · bx + ay · by + az · bz


Skalarprodukt

a · b > 0 a · b < 0 a · b = 0


Skalarprodukt

• Skalarprodukten ar oberoende av ordningsfoljden av

vektorerna, dvs

~a ·~b = ~b · ~a

• For skalarprodukten av enhetsvektorerna galler foljande:

i · i = j · j = k · k = 1

i · j = j · k = i · k = 0

• Skalarprodukten ar distributiv:

a(b+ c) = a · b+ a · c


Problem 39

Vector ~A has a magnitude of 6.00 units, vector ~B has a magnitude

of 7.00 units, and ~A · ~B has a value of 14.0. What is the angle

between the directions of ~A and ~B?


Problem 63

Here are three vectors in meters:

~d1 = −3.0i+ 3.0j + 2.0k

~d2 = −2.0i− 4.0j + 2.0k

~d3 = 2.0i+ 3.0j + 1.0k

What results from (a) ~d1 · ( ~d2 + ~d3), (b) ~d1 · ( ~d2 × ~d3), and (c)~d1 × ( ~d2 + ~d3)?


Vektorprodukt (kryssprodukt)

• Vektorprodukten av vektorerna ~a och ~b definieras som:

~a×~b = ab sinφ~n

dar ~n ar enhetsvektorn langs normalen vinkelrat mot planet som

~a och ~b spanner upp.

~a×~b

~b

~aφ





• Vektorprodukten ar icke-kommutativ:

~a×~b = −~b× ~a

• Vektorprodukten ar distributiv:

~a× (~b+ ~c) = ~a×~b+ ~a× ~c



• Vektorprodukt av enhetsvektorer:

i× i = 0 j × j = 0 k × k = 0

i× j = k j × k = i k × i = j

j × i = −k k × j = −i i× k = −j

• Med enhetsvektornotation beraknas vektorprodukten enligt:

~a×~b = (ax i+ ay j + azk)× (bx i+ by j + bzk)

= axbx i × i + axby i × j + axbz i × k + aybxj × i + ayby j × j + aybz j × k +

azbxk × i+ azbyk × j + azbz k × k

= axbyk + axbz(−j) + aybx(−k) + aybz i+ azbxj + azby(−i)

= (aybz − azby )i+ (azbx − axbz)j + (axby − aybx)k



• Kan aven rakna ut vektorprodukten med hjalp av en

matrisdeterminant:

~a×~b =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j k

ax ay az

bx by bz

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

~a×~b =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j k

ax ay az

bx by bz

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= iaybz + jazbx + kaxby − bxayk − byaz i− bzaxj

= (aybz − azby )i+ (azbx − axbz)j + (axby − aybx)k


Problem 63

Here are three vectors in meters:

~d1 = −3.0i+ 3.0j + 2.0k

~d2 = −2.0i− 4.0j + 2.0k

~d3 = 2.0i+ 3.0j + 1.0k

What results from (a) ~d1 · ( ~d2 + ~d3), (b) ~d1 · ( ~d2 × ~d3), and (c)~d1 × ( ~d2 + ~d3)?


Sammanfattning

• En vektor definieras av sin storlek och riktning.

• Vektorer kan adderas och subtraheras grafiskt.

• Men aven komponentvis.

• Vektorer kan enges med hjalp av enhetsvektorerna i (x-ed), j

(y-led) och k (z-led).

• Skalarprodukten av tva vektorer ar ett tal (skalar).

• Skalarprodukten ar projektionen av den ena vektor i riktningen

av den andra vektorn.

• Vektorprodukten av tva vektorer ar en vektor.

• Landgen pa den resulterande vektorn ges av arean pa det

parallellogram som de tva vektorerna spanner upp.

• Riktningen pa den resulterande vektorn ar vinkelrat mot planet

som de tva vektorerna spanner upp, och ges av hogerregeln.


Documents

Mekanik FK2002m F¨orel¨asning 2 Vektorer