Mekanik FK2002m F¨orel¨asning 6 Kinetisk energi och arbete

Mekanik FK2002m

Forelasning 6Kinetisk energi och arbete

2013-09-11

Sara Strandberg

SARA STRANDBERG P. 1 FORELASNING 6

Introduktion

• Idag ska vi borja prata om energi.

- Kinetisk energi

- Arbete

• Nasta gang blir det potentiell energi och energins bevarande.


Energi

• Energi ar inte helt latt att definiera.

• En siffra som ar relaterad till tillstandet hos ett objekt eller system.

• Energi kan inte skapas eller forstoras, bara omvandlas till olika

former.

• Lite som med pengar - man kan flytta dem mellan olika banker

och omvandla dem till olika valutor, men mandgen pengar i

systemet ar alltid konstant (i varld dar det ar forbjudet att trycka

nya pengar vill saga).


Kinetisk energi

• Kinetisk energi kallas aven rorelseenergi.

• Ar kopplat till ett foremals rorelse - ju snabbare nagot ror sig

desto storre ar den kinetiska energin.

• For ett foremal med massan m och farten v har vi:

K =1

2mv2

• Energi har enheten kg·m2/s2 = Nm = J (Joule)


Arbete

• Om du accelererar ett foremal till hogre fart eller deccelererar

det till lagre fart andras foremalets kinetiska energi.

• Kraften som accelerationen eller deccelerationen harstammar

fran utfor ett arbete pa foremalet.

Arbetet W svarar mot energi som overfors till eller fran

ett foremal genom en kraft som verkar pa foremalet.

Om energi overfors till foremalet ar arbetet positivt, och

om energi overfors fran foremalet ar arbetet negativt.

• Arbete = overford energi.

• Utfora arbete = att overfora energi.

• Arbete har samma enhet som energi (J) och ar en skalar.

• Det bara ar en kraft i forflyttningens riktning som ger ett arbete.


Att berakna arbete

• Parla som har tratts pa, och kan glida langs, en friktionsfri trad.

• Traden uppspand langs x-axeln.

• En konstant kraft ~F , riktad med en vinkel φ mot x-axeln,

accelererar parlan langs traden.

F

φx

wire

Den har komponentenutfor inget arbete

Den har komponenten

utfor ett arbete

• Relation mellan kraften och accelerationen fran Newtons 2a lag:

Fx = max (m = massan) (1)


Att berakna arbete

• Andringen i parlans hastighet (fran v0 till v) under en forflyttning ~d

ges av:

v2 = v20 + 2axd (2)

• Loser vi ut ax fran Eq. (2) och stoppar in i Eq. (1) far vi:

1

2mv2 −

1

2mv20 = Fxd (3)

• Den forsta termen ar slutvardet for den kinetiska energin, Kf ,

medan den andra termen ar startvardet, Ki.

• Hogerledet ar saledes ett uttryck for arbetet:

W = Fxd (4)

W = Fd cosφ (5)

W = ~F · ~d (6)


Att berakna arbete

• Arbetet ar positivt om 0◦ < cosφ < 90◦.

• Arbetet ar negativt om 90◦ < cosφ < 180◦.

• Arbetet ar noll om cosφ = 90◦.

En kraft utfor ett positivt arbete om den har en kompo-

nent i samma riktning som forflyttningen, och utfor ett

negativt arbete om den har en komponent i motsatt

riktning. Den utfor inget arbete om den inte har nagon

sadan komponent.

• Ekvationerna pa foregaende sida ar bara giltiga om:

- Kraften ~F ar konstant.

- Foremalet maste vara styvt (alla delar maste rora sig tillsammans

at samma hall).


Mer om relationen mellan kinetisk energi och arbete

• Lat ∆K vara andringen i ett foremals kinetiska energi.

• Lat W vara det arbete som utfors pa foremalet.

• Da far vi:

∆K = Kf −Ki = W (7)

eller

Kf = Ki +W (8)

• Kallas arbete-rorelseenergi-teoremet (work-kinetic energy

theorem).

• Dessa relationer ar giltiga bade for positivt och negativt arbete.


Arbete utfort av gravitationen

gF

gF

gF

d

0v

v• Foremal med massa m kastas uppat

med hastighet v0, dvs Ki =1

2mv20 .

• Saktas ned under uppfarden av grav-

itationskraften ~Fg, dvs foremalets

kinetiska energi minskar eftersom ~Fg

utfor ett arbete Wg pa foremalet:

Wg = mgd cosφ = mgd cos 180◦

= mgd(−1) = −mgd

• Under nerfarden okar istallet foremalets

fart, och arbetet ar nu:

Wg = mgd cosφ = mgd cos 0◦

= mgd(+1) = +mgd


Arbete vid lyft och sankning av foremal

• Lyfter ett foremal uppat genom att applicera en kraft ~F .

• under lyftet utfor var kraft ett positivt arbete Wa pa foremalet.

• Gravitationen utfor ett negativt arbete Wg.

• Vi far:

∆K = Kf −Ki = Wa +Wg (9)

• Eq. (9) ocksa giltigt da vi sanker ner foremalet, men da utfor

gravitationen ett positivt arbete medan ~F utfor ett negativt.

• Specialfall: foremalet ar stillastaende fore och efter lyftet.

• Da ar Kf = Ki och vi far Wa +Wg = 0 eller Wa = −Wg.

• Samma relation mellan Wa och Wg galler om Kf = Ki 6= 0.

• Mer generellt har vi:

Wa = −mgd cosφ (10)


Arbete utfort av en fjader

• Exempel pa arbete som utfors av

en variabel kraft.

• Fjader fast i ett block.

- Overst: fjadern i ostrackt lage (inga krafter).

- Mitten: fjadern stracks ut. Fjadern drar

blocket ar vanster (motkraft).

- Nederst: fjadern trycks ihop. Fjadern trycker

blocket ar hoger.

• Kraften ~Fs ar proportionell mot

forflyttningen ~d (Hookes lag):

~Fs = −k~d, Fx = −kx (11)

dar k ar fjaderkonstanten (matt pa

fjaderns styvhet).

x

x = 0 = 0xF

0

x

x positive negativexF

0

d

sF

x

x

x negative positivexF

0

d

sF

x



• For att berakna arbetet som fjaderkraften utfor pa blocket antar

vi att:

- fjadern ar masslos (mkt lattare an blocket).

- fjadern ar ideal (Hookes lag galler exakt).

- vi har ingen friktion mellan blocket och golvet.

- blocket ar styvt.

• Anta att xi ar blockets startposition och xf ar blockets

slutposition.

• Delar in denna stracka i manga sma bitar av langd ∆x.

• Anta att fjaderkraften ar konstant i varje ∆x intervall.

• For en fjader som dras ut at hoger far vi:

Ws =∑

(−Fxj∆x)



• Fran forra sidan:

Ws =∑

(−Fxj∆x)

• Da ∆x → 0 far vi:

Ws =

∫ xf

xi

−Fxdx

• Ersatter vi Fx med kx far vi:

Ws =

∫ xf

xi

−kxdx = −k

∫ xf

xi

xdx = (−1

2k)[x2]

xfxi

= (−1

2k)(x2

f − x2

i ) =1

2kx2

i −1

2kx2

f



• Om vi drar blocket at sidan och fortsatter att applicera en kraft~Fa.

• Var applicerade kraft utfor ett arbete Wa pa blocket medan

fjaderkraften utfor ett arbete Ws.

• Andringen i den kinetiska energin ges da av:

∆K = Kf −Ki = Wa +Ws

• Om blocket ar i vila innan och efter forflyttningen sa ar

Ki = Kf = 0 och vi far:

Wa = −Ws


Arbete utfort av en godtycklig variabel kraft (en dimension)

• Lat oss aterga till parlan pa den friktionsfria traden, men anta att

kraften F ar en funktion av positionen x, dvs F (x).

• Kan inte anvanda W = Fd cosφ eftersom kraften inte ar konstant.

• Delar istallet in forflyttningen i manga sma intervall.

• Om stegen ar sma kan vi under varje steg anta att F ar konstant.

• Lat Fj,avg vara medelvardet av F (x) i det jte intervallet.

• Fj,avg hojden av den jte rektangeln. ∆x ar bredden.

x0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

F(x

)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

ix

fx

x0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

F(x

)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

ix

fx

x∆

j,avgF

j W∆



x0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

F(x

)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

ix

fx

x0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

F(x

)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

ix

fx

x∆

j,avgF

j W∆

• Arean av varje rektangel ges av:

∆Wj = Fj,avg∆x

• Summerar vi ihop alla rektanglar far vi det totala arbetet:

W =∑

∆Wj =∑

Fj,avg∆x

vilket alltsa motsvarar arean under kurvan mellan xi och xf .

• Ju mindre vi gor ∆x, desto narmare den sanna arean kommer vi.



x0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

F(x

)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

ix

fx

x0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

F(x

)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

ix

fx

• Later vi bredden pa varje intervall ga mot noll kommer antal

intervall att ga mot oandligheten.

W = lim∆t→0

∑

Fj,avg∆x

• Vi far integralen av funktionen F (x).

W =

∫ xf

xi

F (x)dx


I tre dimensioner

• Anta att vi istallet har en tre-dimensionell kraft:

~F = Fx i+ Fy j + Fzk

• Begransar oss till krafter dar Fx bara beror pa x, Fy bara beror pa

y och Fz bara beror pa z.

• Later nu en partikels forflyttning vara:

d~r = dxi+ dyj + dzk

• Arbetet som kraften utfor pa partikeln under ett kort tidsintervall:

dW = ~F · d~r = Fxdx+ Fydy + Fzdz

• Totala arbetet som F utfor da partikeln ror sig fran xi till xf ar da:

W =

∫ rf

ri

dW =

∫ xf

xi

Fxdx+

∫ yf

yi

Fydy +

∫ zf

zi

Fzdz


Arbete-rorelseenergi-teoremet

• Ta en partikel med massan m som ror sig langs x-axeln och

paverkas av en resulterande kraft F (x).

• Arbetet utfort av kraften pa partikeln ar:

W =

∫ xf

xi

F (x) dx =

∫ xf

xi

ma dx (12)

• Vi kan skriva ma dx som:

ma dx = mdv

dtdx (13)

• Fran kedjeregeln har vi:

dv

dt=

dv

dx

dx

dt=

dv

dxv (14)

• Kombinerar vi Eq. (13) och Eq. (14) far vi da:

ma dx = mdv

dxv dx = mv dv (15)


Arbete-rorelseenergi-teoremet

• Stoppar vi in Eq. (15) i Eq. (12) far vi:

W =

∫ vf

vi

mv dv = m

∫ vf

vi

v dv =1

2mv2f −

1

2mv2i (16)

• Termerna i hogerled ar uttryck for kinetisk energi. Alltsa har vi:

W = Kf −Ki = ∆K (17)

• Denna relation mellan arbetet och den kinetiska energin ar

arbete-rorelseenergi-teoremet (work-kinetic energy theorem) for

en godtycklig kraft F (x).


Effekt

• Det utforda arbetet per tidsenhet kallas effekt.

• Om en kraft utfor ett arbete W under en tid ∆ ar medeleffekten

Pavg under den tiden:

Pavg =W

∆t

• Den momentana effekten P ges av:

P =dW

dt

• SI-enheten for effekt ar J/s=W (watt).

• Kan ocksa uttrycka P i termer av kraften som utfor arbetet:

P =dW

dt=

F cosφdx

dt= F cosφ

(

dx

dt

)

= Fv cosφ

• Detta ar uttrycket for en skalarprodukt, namligen

P = ~F · ~v


Sammanfattning

• Idag har vi definerat kinetisk energi som K = 1

2mv2.

• Vi har definierat arbete som den energi som overfors till (positivt

arbete) eller fran (negativt arbete) ett foremal genom en kraft

som verkar pa foremalet.

• Kom fram till foljande relation mellan kinetisk energi och arbete:

W = Kf −Ki.

• For en konstant kraft har vi W = ~F · ~d.

• Ett exempel var arbetet utfort av gravitationen.

• For en icke-konstant kraft har vi istallet W =∫ xf

xiF (x)dx.

• Ett exempel var arbetet utfort av en fjader.

• Definierade ocksa effekt som arbete per tidsenhet, dvs P = dWdt

.

• Uttryckt i termer av kraften som utfor arbetet har vi P = ~F · ~v.


Documents

Mekanik FK2002m F¨orel¨asning 6 Kinetisk energi och arbete