Sabar Nurohman, M.Pd

Bu

mi

Merkurius

Jupiter

BulanMerkurius

Venus

Matahari

Mars

Saturnus

� ��������� ������������� ���� ��������� �������� ����� ����� ����������� ���� ����� ���� ����� ����� ��������������������� ����� ����� ����� ������ ��������

� ��������� ����� ����� ����� ������ ������������ ����� �� ������ ��� ���������� ����� ������ � ���

� ��������� ����� ����� ��� ������� ��������� ������ � ����� ���� ��������� �� ������ ����� !�� ��� "� �#!�$%

BC

D

P

AM

b2 = a2 (1-e2)

E

AC = a = Setengah sumbu mayor

DC = b = Setengah sumbu monir

CM/CA = e = eksentrisitas

b2 = a2 (1-e2)

MA=rp = a( 1-e)

MB = ra = a(1+e)

CM = ae

e = 0 , orbit lingkaran

0 < e < 1, orbit elips

e = 1, orbit parabola

e > 1, orbit hiperbola

Akibatnya, kecepatan

planet tidak sama pada

setiap posisi:

•Paling cepat saat di

perihelion

•Paling lambat saat di•Paling lambat saat di

aphelion

� Hukum Kepler I �Hukum gaya sentral

� Hukum Kepler II �Kekekalan momentum sudut

� Hukum Kepler III � Hukum kekekalan energi

� Benda yang dipengaruhi oleh suatu gaya

sentral, maka lintasan gerak benda tersebut

mengikuti pola:

Lingkaran1. Lingkaran

2. Elips

3. Parabola

4. Hiperbola

Ø

v┴ = v sin Ø

v

Pada selang waktu dt

yang amat kecil, jejari r

telah berlalu menempuhsudut dθ.

Daerah yang dilaluinya

r

dθ

ØdA

Daerah yang dilaluinyaadalah segitiga dengantinggi r dan luas alas rdθ.

Sehingga kecepatansektor dirumuskan:

dt

dr

dt

dA θ2

2

1=

Ø

v┴ = v sin Ø

v

Kecepatan sektor

mempunyai harga yang

sama pada setiap titik

dalam orbit.

Ketika planet dekat

dt

dr

dt

dA θ2

2

1=

r

dθ

ØdA

Ketika planet dekat

dengan matahari: r kecil

dan dθ/dt besarSebaliknya, ketika planet jauhdari matahari: r besar dandθ/dt kecil

Ø

v┴ = v sin Ø

v

Untuk melihat Hk II Kepler

sesuai dengan hukum

Newton, Kita nyatakan

dA/dt dalam persamaan

vektor kecepatan v dari

r

dθ

ØdA

vektor kecepatan v dari

planet yang tegak lurus

dengan garis radial (r).

φsinvv =⊥

Ø

v┴ = v sin Ø

v

Padahal perpindahan

sepanjang arah dari v┴ selamawaktu dt adalah rdθ.

Jadi kita juga dapat menyatakanbahwa kecepatan yang tegak lurusdengan radial sebagai:

dt

drv

θ=⊥

φsinvv =⊥

r

dθ

ØdA

dtDengan demikian kita dapat

menyatakan bahwa:

φθ

sinvdt

dr =

� Berdasarkan persamaan tersebut, makapersamaan kecepatan vektor dapat dinyatakandalam bentuk:

φθ

sinvdt

dr =

φθ

sin2

1

2

1 2rv

dt

dr

dt

dA==

22 dtdt

� Perhatikan r v sin Ø: persamaan tersebutmenunjukan sebagai perkalian vektor r x v, danjika semuanya dikalikan oleh m/m, makapersamaan menjadi:

vmrmdt

dA rr x

2

1=

� Amati persamaan r x mv: Persamaan inimerupakan Momentum Sudut sebuah bendayang bergerak melingkar.

� Sehingga Persamaan Kecepatan vektor dapat

vmrmdt

dA rr x

2

1=

� Sehingga Persamaan Kecepatan vektor dapatdinyatakan sebagai:

m

Lvmr

mdt

dA

2 x

2

1==

rr

� Jadi Hk II Kepler, yaitu bahwa kecepatansektor konstan, berarti bahwa momentum sudut konstan.

� Lintasan planet yang berbentuk elips dalam

pandangan Newton merupakan konsekuensi

dari hukum kebalikan kuadrat gaya sentral.

2r

kF

c=

� Supaya lebih mempermudah pembahasan, dianggap bahwa orbit planet benar-benarlingkaran dengan jari-jari R, sehinggapersamaan gaya sentral menjadi:

2R

kF

c=

� Benda yang bergerak melingkar mengalami

percepatan sentripetal sebesar, a= v2/R

� Sehingga menurut Hk II Newton:v

2

==

2R

kF

c=

R

vmmaF

s

2

==

� Kedua gaya di atas merupakan gaya yang sama, Fs adalah gaya sentripetal yang arahnya kepusat lingkaran yang juga merupakan gayasentral. Sehingga dapat dibuat persamaan:

mR

kv

R

vm

R

k=⇒= 2

2

2

� Bila periode orbit planet adalah T dan

kecepatannya v,ini berarti:

mR

kv

R

vm

R

k=⇒= 2

2

2

v

RT

T

Rv

ππ 22=⇒=

vT

� Jika semua ruas dikuadratkan, maka:

2

222 4

v

RT

π=

� Dengan mengganti v2 dari persamaan gaya sentral,

maka persamaan tersebut menjadi:3

2222 4

)/(

4R

k

m

mRk

RT

ππ==

� Persamaan di atas dapat disederhanakan

menjadi:

3222

2 4

)/(

4R

k

m

mRk

RT

ππ==

CTmT

=⇒=222 4π

CR

T

k

m

R

T=⇒=

33

4π

� Persamaan di atas merupakan Persamaan HK III Kepler yang diselesaikan secara matematis olehNewton, dengan C:

k

mC

24π=

� Berdasarkan Pers. Terakhir:

k

mC

24π=

� Sehingga dapat disebutkan bahwa:m

24π=

C

mk

4π=

� Maka tampak bahwa k sebanding dengan massa m (k∞m)

� Menurut Hukum III Newton, bila m mengerjakan gayapada M, maka M juga akan mengerjakan gaya pada m. Karena k sebanding dengan massa,maka:

GmMKmMk =⇒∞

� Dengan G suatu konstanta gravitasi umum

� Jika persamaan K tersebut dimasukan dalam

persamaan Gaya sentral:

GmMKmMk =⇒∞

22R

mMG

R

kF

c==

RR

� Dan jika k tersebut dimasukan pada

persamaan Hk III Kepler:

GMR

T

GmM

m

k

m

R

T

2

3

2

22

3

2

4

44

π

ππ

=

==

Pers HK III Kepler

� Persamaan tersebut dapat dimanfaatkan

untuk:

� Mengukur jarak Planet

GMa

T

GMR

T2

3

22

3

2 44 ππ=⇒=

� Menentukan massa matahari

� Menentukan massa bumi

TPP’ ∆t

r

Kecepatan sektor:

T

abh

h

π=

=Periode

Elips Luas

ST

Luas segitiga SPP’:

STPPthSPP '.2

1' =∆=

Untuk ∆t�0, panjang lintasan talibusur=

tvPP ∆= .'

TPP’ ∆t

r

t

.2

1

limt

'.2

1

lim

t

SPP' Luaslim

00

0

∆

∆=

∆=

∆

∆=

→∆→∆

→∆

STtvSTPP

h

h

tt

t

S

2

22 4

.2

1

ST

hvSTvh =⇒=

−=

arb

a

ST

121222

22 4

.2

1

ST

hvSTvh =⇒=

−==

arb

ah

ST

hv

124

42

2

2

22

Sehingga persamaan

kecepatan dapat dituliskan:

−=

−

=

av

arb

a

T

abv

124

124

322

2

2

2

π

π

−==

arb

ah

ST

hv

124

42

2

2

22

1. Kita ganti h dengan

besar kecepatan

sektor:

2.Kita ganti a3/T2

−=

−

=

−=

arGMv

ar

GMv

arT

av

12

12

44

124

2

2

22

2

2

ππ

π2.Kita ganti a3/T2

dengan persamaan

Hk III Kepler

3. Maka diperoleh

Persamaan

Kecepatan orbit

Planet:

� Jika kedua ruas dikalikan dengan ½ m, akan

diperoleh:

−=

arGMv

122

GMv

−=122

CUK

a

GMm

r

GMmmv

ar

GMmmv

arGMv

=+

−=

−=

−=

22

1

12

22

1

2

2� Persamaan tersebutdikenal sebagaipersamaan ENERGI

� Orbit lingkaran merupakan kejadian khusus untuk

orbit planet, dimana nilai r sama dengan a.

� Dengan demikian, maka persamaan kecepatan

orbit lingkaran dapat dinyatakan sebagai:

r

GMv

rGMv

rrGMv

arar

GMv

c=

=⇒

−=

=→

−=

112

12

22

2

CATATAN:

r =Jarak planet

ke pusat

matahari

Kecepatan Orbit

Lingkaran

� Kecepatan lepas/velocity escape adalah

kecepatan minimal yang diperlukan oleh

suatu benda agar dapat meninggalkan

bumi/planet induknya.bumi/planet induknya.

� Artinya benda akan dilepaskan dari

permukaan bumi (berjarak r dari pusat bumi)

ke suatu titik tak hingga (a=∞)

GMv

aar

GMv

12

12

2

2

∞−=

∞=→

−=

r

GMv

rGMv

e

2=

∞

−=

Catatan:

r : Jarak benda ke pusat

planet (Jari-jari Planet)

� Jika kita melepas sebuah wahana luar angkasa

dengan kecepatan v0, maka:

� Bila v0 <<vc: orbit berbentuk elips dengan sebagian

lintasanya berada di bumi, artinya benda akan jatuh

� Bila vo<vc: orbit berbentuk elips dengan titik pelepasan

sebagai apoge. Satelit semacam ini akan memiliki

parigee yang sangat rendah, sehingga akan mudah

terbakar karena gesekan dengan atmosfer

� Bila vo=vc: orbit benar-benar lingkaran

� Bila vc<vo<ve: lintasan berbentuk elips

� Bila vo=ve: orbit parabola dan satelit akan lepas dari

bumi

� Suatu satelit buatan dapat dibuat

sedemikian hingga agar periode orbitnya

tepat sama dengan periode rotasi bumi.

Satelit ini akan tampak berkedudukan tetap� Satelit ini akan tampak berkedudukan tetap

di atas suatu daerah tertentu.

� Biasanya digunakan untuk mengawasi cuaca

ataupun sarana telekomunikasi

� Dengan menggunakan Hk III Kepler, kita dapatmenentukan berapa ketinggian yang dibutuhkan untuk mengorbitkan planet geostasioner tersebut.

� Jika diketahui periode rotasi bumi 23 jam, 56 � Jika diketahui periode rotasi bumi 23 jam, 56 menit atau 86169 s dan massa bumi M= 5,98 x 1024 kg, maka ketinggian orbit r:

=

=

2

2

2

3

2

4

4

π

π

GMTR

GMR

T