Embed Size (px)
Citation preview
Matematika15.wordpress.com
1
NAMA:
KELAS:
RINGKASAN IRISAN KERUCUT (PARABOLA, ELIPS, DAN HIPERBOLA)
PENGERTIAN IRISAN KERUCUT
Bangun Ruang Kerucut yang dipotong oleh sebuah bidang datar.
Macam-macam Irisan Kerucut:
1. Parabola 2. Elips 3. Hiperbola 4. Lingkaran
Irisan kerucut (yang berbentuk parabola, elips, hiperbola) adalah
tempat kedudukan titik-titik yang perbandingan jaraknya ke titik
tertentu dengan jaraknya ke garis tertentu mempunyai nilai tetap.
Irisan kerucut juga dapat disebut Himpunan titik-titik (x,y) yang
memenuhi persamaan Ax2 + Bxy + Cy
2 + Dx + Ey + F = 0
A. PARABOLA
1. Definisi Parabola:
Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik P sedemikian hingga
jarak P dari suatu titik tertentu = jaraknya dari suatu garis tertentu.
Titik tertentu : focus
Garis tertentu : direktriks.
Garis yang tegak lurus pada direktriks dan melalui fokus : sumbu
parabola.
Perpotongan antara sumbu dan para-bola : puncak parabola.
2. Persamaan Parabola Berpusat Di (0,0)
1) 2)
3) 4)
y2 = - 4px y2 = 4px
X2 = -4py X2 = 4py
Matematika15.wordpress.com
2
Contoh 1:
Contoh 2:
3. Persamaan Parabola Berpusat Di (a,b)
1) 2)
3) 4)
(y-b)2 = 4p(x-a) (y-b)2 = -4p(x-a)
(x-a)2 = 4p (y-b) (x-a)2 = - 4p (y-b)
Matematika15.wordpress.com
3
4. Garis Singgung Pada Parabola
a. Kedudukan Garis Terhadap Parabola
Kedudukan garis terhadap parabola ada 3 kemungkinan, yaitu:
Gambar (a) → Garis tidak memotong parabola
Gambar (b) → Garis memotong 1 titik di parabola
Gambar (c) → Garis memotong 2 titik di parabola
Cara menentukan hubungan garis dengan parabola:
Misal:
Garis g: y = mx + n ……. (1)
Parbola: y2 = 4px ..…… (2)
Subtitusi (1) ke (2) → P.K baru
Missal P.K Baru : ax2 + bx + c = 0 → D = b
2 – 4.a.c dapat dinyatakan:
1. D < 0 → Garis tidak memotong parabola
2. D = 0 → Garis memotong 1 titik di parabola
3. D > 0 → Garis memotong 2 titik di parabola
Contoh 3:
b. Persamaan Garis Singgung Parabola
1) Menentukan P.G.S di titik P(x1,y1) pada parabola
- Parabola berpuncak di (0,0):
- Parabola berpuncak di (a,b):
2) Menentukan P.G.S di titik P(x1,y1) di luar parabola
Definisi:
Jika dari sebuah titik P(x1,y1) di luar parabola ditarik dua buah
garis singgung, maka garis penghubung p antara kedua titik
singgunya disebut garis polar p terhadap parabola dan P disebut titik
polar garis p
- Parabola berpuncak di (0,0):
- Parabola berpuncak di (a,b):
Contoh 4:
Tentukan persamaan garis singgung pada parabola y2 = 4x dari titik
P(-1,0)
Jawab:
Matematika15.wordpress.com
4
3) Menentukan P.G.S parabola dengan gradien tertentu (m)
- Parabola berpuncak di (0,0):
- Parabola berpuncak di (a,b):
B. ELIPS
1. Definisi Elips
Elips adalah himpunan semua titik dimana jumlah jarak tiap titik
terhadap dua titik tertentu yang bukan elemen himpunan tersebut
adalah tetap. Dua titik tertentu itu disebut titik fokus atau titik api (F1
dan F2). Jumlah jarak tetap = 2a (a>0) dan jarak F1 dan F2 adalah 𝐹1𝐹2
= 2c.
2. Persamaan Elips
a. Berpusat di O(0,0)
Contoh 5:
b. Berpusat di M(p,q)
Matematika15.wordpress.com
5
Contoh 6:
e. sketsa grafiknya adalah sebagai berikut.
3. Bentuk Umum Elips
Persamaan elips memiliki bentuk umum:
Ax2 + By
2 +Cx + Dy + E = 0
Dengan A, B, C, D, dan E ∈ R, A≠0, B≠0, Tanda A dan B sama, yang
diperoleh dari persamaan elips:
(x−p)2
a2 +
(y−q)2
b2 = 1, sehingga A = b
2, B = a
2, C = -2b
2p, D = -2a
2q dan E =
b2p
2 + a
2q
2 – a
2b
2, dengan a > b
Contoh 7:
4. Persamaan Garis Singgung Elips
a. Hubungan Garis dan Elips
Kedudukan garis terhadap Elips ada 3 kemungkinan, yaitu:
Matematika15.wordpress.com
6
Gambar (a) → Garis memotong 2 titik di elips
Gambar (b) → Garis memotong 1 titik di elips
Gambar (c) → Garis tidak memotong elips
Cara menentukan hubungan garis dengan elips:
Misal:
Garis: y = ax + b ……. (1)
Elips: Ax2 + By
2 + Cx + Dy + E = 0 ..…… (2)
Subtitusi (1) ke (2) → P.K baru
Misal P.K Baru : ax2 + bx + c = 0 → D = b
2 – 4.a.c dapat dinyatakan:
1. D < 0 → Garis tidak memotong Elips
2. D = 0 → Garis memotong 1 titik di Elips
3. D > 0 → Garis memotong 2 titik di Elips
Contoh 8:
b. Menentukan P.G.S pada Elips di suatu Titik pada Elips
Contoh 9:
Tentukan pers. Garis singgung di titik (-4,6) pada elips (x+4)2
36 +
(y−2)2
16 =
1
Jawab:
Titik (-4,6) terletak pada elips (x+4)2
36 +
(y−2)2
16 = 1, karena
(−4+4)2
36 +
(6−2)2
16 = 1
c. Menentukan P.G.S pada elips di suatu titik di luar Elips
Contoh 10:
Tentukan persamaan garis singgung pada ellips x2
100 +
y2
25 = 1 melalui
titik P(2,7). Tentukan pula titik singgungnya.
Jawab:
Titik P(2,7) terletak di luar elips x2
100 +
y2
25 = 1,
karena 22
100 +
72
25 – 1 = 2 – 1 = 1 > 0.
Persamaan garis polar di titik P(2,7) adalah:
4. Menentukan P.G.S pada elips dengan gradien tertentu
Matematika15.wordpress.com
7
Contoh 11:
Tentukan pers. garis singgung elips 3x2 + 4y
2 – 30x – 8y + 4 = 0 yang
sejajar garis x – 2y + 3 = 0.
Jawab:
C. HIPERBOLA
1. Pengertian hiperbola
Hiperbola adalah himpunan semua titik yang selisih jaraknya
terhadap dua titik tertentu sama. Kedua titik tertentu itu disebut
fokus (titik api) hiperbola, selisih jarak yang sama = 2a (a>0), dan
jarak kedua fokus = 2c dengan 2c > 2a.
2. Persamaan Hiperbola Berpusat di O(0,0)
Matematika15.wordpress.com
8
3. Persamaan Hiperbola Berpusat di (p,q)
4. Bentuk Umum Persamaan Hiperbola
Bentuk umum persamaan hiperbola adalah:
Ax2 – By
2 + Cx + Dy + E = 0,
dengan A, B, C, D, dan E ∈ R, A ≠ 0, B ≠ 0, dan A ≠ B
5. Asimtot Pada Hiperbola
Asimtot suatu garis lengkung adalah sebuah garis lurus yang makin
lama makin didekati oleh garis lengkung itu tetapi tidak pernah
berpotongan.
Pusat di O(0,0)
Pusat di (p,q)
Contoh 12:
Tentukan titik pusat, titik fokus, titik puncak, sumbu simetri, dan
asimtot dari hiperbola yang persamaannya diberikan berikut ini:
(a) y2 – 2x
2 = 8
(b) 9x2 – 25y
2 – 72x – 250y – 706 = 0
Jawab:
Matematika15.wordpress.com
9
Contoh 13:
Jawab:
6. Persamaan Garis Singgung Hiperbola
1) persamaan garis singgung melalui p(x1,y1)
Contoh 14:
2) Persamaan Garis Singgung yang Bergradien m pada Hiperbola
Contoh 15:
3) Persamaan garis singgung melalui titik A(x1,y1) di luar hiperbola
Penentuan persamaan garis singgung melalui titik A(x1,y1) di luar
hiperbola menggunakan pertolongan formula pada bagian (A).
Matematika15.wordpress.com
10
Contoh 16:
Subtitusikan (3) ke (2), diperoleh:
