Mekanika Fluida Dan Hidrolika 2

Mekanika Fluida - TEP 201 1

BAB III KINEMATIKA FLUIDAKONSEP ALIRAN DAN PERSAMAAN

DASARNYATidak seperti gerak benda padat, gerak cairan

cukup komplek dan tidak selalu dapat

diselesaikan/dipecahkan dengan pasti dengan

analisa matematis. Hal ini karena elemen dari

cairan yang mengalir dapat bergerak dengan

kecepatan dan percepatan yang berbeda baik

menurut tempat maupun menurut waktu. Namun

demikian tidak berarti bahwa masalahnya tidak

dapat dipecahkan. Ada tiga konsep yang penting

dalam aliran benda cair, yaitu :


a. Hukum ketetapan massa, dimana dengan menggunakanhukum ini dapat diturunkan persamaan kontinuitas.

b. Hukum ketetapan energi, dimana dengan prinsip inidapat diturunkan persamaan energi dengan melibatkanenergi kinetik, energi potensial dan energi internal dan persamaan-persamaan lainnya.

c. Hukum momentum, dimana dapat diturunkan persamaan-persamaan untuk gaya dinamis.

Di dalam bab ini akan diuraikan konsep aliran dan persamaan dasar yang diperlukan untuk menganalisa

gerak aliran yaitu persamaan-persamaan yang diturunkan dari hukum-hukum tersebut diatas untuk

aliran satu dimensi, yaitu aliran yang mengalami perubahan di arah arus saja.


Parameter aliran seperti kecepatan, tekanan dan

kerapatan yang akan memberi ciri pada gerak aliran

atau karakteristik aliran, pada dasarnya dapat kembali

menurut tepat atau waktu, dari suatu titik ke titik

yang lain, atau dari suatu waktu ke waktu yang lain,

atau berubah menurut waktu dan tempat.

Dengan adanya kemungkinan perubahan parameter

terhadap waktu dan tempat tersebut, maka dapat

dibedakan beberapa tipe aliran dengan definisi

sebagai berikut :


Aliran tetap adalah suatu aliran dimana parameter alirantidak berubah menurut waktu. Dalam hal ini kedalamanaliran (h) dan kecepatan aliran (u) tidak berubah menurutwaktu, atau dapat dianggap tetap dalam suatu interval waktu tertentu. Hal ini dapat ditunjukkan dengan persamaan-persamaan sebagai berikut :

(3.2.1)

(3.2.2)

dan

0th =δδ

0=δδ

tu


Aliran tidak tetap adalah kebalikan dari aliran tetap. Dalam hal ini parameter aliran berubah menurut waktu, yang dapat ditunjukkan dengan persamaan-persamaan :

(3.2.3)

(3.2.4)

dan

0≠δδ

th

0≠δδ

tu


Aliran seragam adalah aliran dimana parameter alirannya

tidak berubah menurut tempat di sepanjang aliran. Hal ini

dapat ditunjukkan dengan persamaan-persamaan :

(3.2.5)

(3.2.6)

dan

0=δδsh

0=δδ

su


Aliran tidak seragam adalah aliran dimana parameter-parameter alirannya berubah menurut tempat. Hal ini dapat ditunjukkan dengan persamaan-persamaan :

(3.2.7)

(3.2.8)

dan

Aliran tidak seragam dapat dibagi dua yaitu “aliran berubah lambat laun (gradually varied flow) dan aliran berubah dengan cepat (rapidly varied flow )

0≠δδsh

s0≠δ

δu


Ketetapan dan keseragaman dari aliran tidak harus terjadi bersama-sama.Terdapat empat kombinasi ketetapan dan keseragaman yang mungkin terjadi dalam aliran, yaitu :

a. Aliran tetap seragam (steady uniform flow)

yaitu apabila : dan

Tipe aliran ini juga disebut aliran beraturan.

0=∂∂

tu 0=

∂∂su


b. Aliran tetap tidak seragam (steady un uniform flow)

yaitu apabila dan

Tipe aliran ini banyak dijumpai di dalam praktek yaitualiran berubah lambat laun atau aliran berubah dengancepat.

c. Aliran seragam tidak tetap (unsteady uniform flow)

yaitu apabila dan

Tipe ini hampir tidak pernah terjadi.

0=∂∂

tu 0≠

∂∂su

0≠∂∂

tu 0=

∂∂su


d. Aliran tidak seragam tidak tetap (unsteady un uniform flow)

yaitu apabila dan0≠∂∂

tu 0≠

∂∂su

Di dalam kuliah ini hanya akan disajikan tipe yang pertama saja yaitu aliran tetap seragam. Kemudian, karena aliran tetap tidak seragam banyak dijumpai dalamaliran saluran terbuka maka akan disajikan di dalamkuliah hidrolika saluran terbuka.


(a) Garis-garis arus

(b) garis arus

(c) pipa arus

Gambar 3.1.Suatu pola aliran, garis arus dan pipa arus

Suatu pola aliran adalah suatu karakteristik dari garis-garis di dalam batas alirannya yang disebut garis-garis arus.


Garis arus adalah suatu garis lurus atau melengkung yang dibentuk oleh gerak partikel cairan sedemikian sehingga garis singgung pada tiap-tiap titiknya merupakan vector kecepatan pada titik tersebut. Karena arah kecepatan menyinggung garis arus tersebut maka tidak akan ada aliran yang memotong garis tersebut. Hal ini dapat ditunjukkan dengan memisalkan suatu aliran dari suatu tanki melalui suatu lubang di salah satu sisinya seperti pada gambar 3.1.a. Pada gambar tersebut ditunjukkan sket pada lima titik pada posisi yang berbeda-beda yaitu posisi a, b, c, d dan e.


Karena tidak ada aliran yang akan menembus dinding dan dasar tanki yang kedap air, maka semua garis arus yang berada di dekat dinding harus sejajar dengan batas kedap air tersebut. Oleh karena itu vektor kecepatan d dan e pada gambar 3.1.a. sejajar dengan dasar dan dinding saluran. Selama partikel cairan bergerak pada arah garis arus tersebut maka perpindahannya sejauh ds mempunyai komponen dx, dy dan dz dan mempunyai arah dari vektor kecepatan

→

V yang mempunyai komponen kecepatan u, v

dan diarah x, y, dan z.

Dari gambar 3.1.b. dapat dilihat persamaan garis arus adalah :

(3.31)wdz

vdy

udx ==


Pipa arus adalah sekumpulan garis-garis arus yang

diawali dan diakhiri dengan lengkung tertutup, seperti

tampak pada gambar 3.1.c. Dalam hal ini dapat

dinyatakan bahwa tidak terdapat aliran yang memasuki /

memotong pipa arus tersebut kecuali yang masuk dari

ujung-ujungnya yang merupakan lengkung tertutup

tersebut.


Lintasan arus adalah suatu garis yang menunjukkan lintasan dari gerak partikel-partikel cairan yang mengalir. Karena partikel-partikel cairan bergerak pada arah garis singgung garis arus maka di dalam aliran tetap dimana pada garis-garis arusnya tertentu, lintasan arus akan berimpit dengan garis arus.

Di dalam suatu percobaan dengan menggunakan zat pewarna yang kerapatannya sama dengan kerapatan air tampak jelas garis-garis arus yang dimaksud diatas. Garis-garis arus yang berwarna ini disebut garis tegas ( streak line ) dari garis arus.


Gambar 3.2. menunjukkan suatu pola aliran dari aliran saliran terbuka (a) dan aliran diantara dua pelat (b).

Gambar 3.2. Pola aliran, (a) aliran saluran terbuka, (b) aliran diantara dua pelat

(a) (b)


Pada umumnya aliran adalah tiga dimensi dalam arti

bahwa parameter-parameter aliran berubah dalam tiga

arah koordinat x, y dan z. Untuk beberapa kondisi aliran

tidak terdapat perubahan dalam salah satu arah salib

sumbu. Dalam aliran dua dimensi parameter-parameter

aliran merupakan fungsi dari waktu dan jarak di dua

koordinat ruang (misalnya x dan z) saja, misalnya aliran

melalui suatu bendung atau dibawah bendung seperti pada

gambar 3.3.


Gambar 3.3.Aliran dua dimensi (a) aliran melalui bendung pelimpah dan (b) aliran dibawah bendung

x

u

(a)

(b)

z

z

Vu

v

v

Aliran yang paling sederhana adalah aliran satu dimensi, dalam hal mana parameter-parameter aliran dapat dinyatakan sebagai fungsi dari waktu dan tempat pada satu arah koordinat saja.Salah satu contoh adalah suatu aliran melalui pipa tertutup (conduit), dimana kecepatan di tiap penampang adalah tetap, tetapi hanya berubah menurut jaraknya di sepanjang aliran.


Kecepatan dan percepatan

• v = ds / dt• Komponen percepatan

sepanjang dan normal thd elemen ds :

•• Mekanika partikel :

dimana r : jari-jarikurvatur ds

dsdvv

dsdv

dtds

dtdv

dtds

dtd

dtsdas ===⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛== 2

2

rvar

2

−=


u = dx / dt dan v = dy / dt ; ax = du / dt dan ay = dv / dtdu = (δu / δx)dx + (δu / δy)dy dandv = (δv / δx)dx + (δv / δy)dy maka :

ax = u(δu / δx) + v(δu / δy) dan ay = u(δv / δx) + v(δv / δy)

Analisa yang sama dapat dilakukan untuk koordinat kutubdimana vr dan vt adalah fungsi r dan θ


Sirkulasi

☞ Sirkulasi adalah sebuah integral garissekeliling sebuah kurva tertentu yang dekat dalam aliran dan dimodelkandengan Γ(gamma).

• Element sirkulasi : • dΓ= (V cos α) ds• Total elemen sirkulasi :

( )dsVd∫ ∫=Γ=Γ αcos


Vortisi☞ Vortisi, ξ(xi) adalah diferensial sirkulasi per

satuan luasan yang tertutup.

untuk koordinat kutub :

☞ Aliran rotasional : bila aliran memiliki vortisi ξ≠ 0

yu

xv

dxdyd

∂∂

−∂∂

=Γ

=ξ

θξ

∂∂

−+∂∂

=r

vrv

rv rtt


PersamaanPersamaan kontinuitaskontinuitas –– aliranaliran satusatu dimensidimensi

• menggunakan 2 prinsip :

– kekekalan massa (massa tdk dapat diciptakandan tdk dapat dihilangkan

– kontinuitas


Berdasarkan hukum kekekalan massa :ρ1A1ds1 = ρ2A2ds2 dibagi dt ρ1A1 ds1/dt = ρ2A2 ds2 /dtmenjadi ρ1A1V1 = ρ2A2V2 persamaan kontinuitasA ρ V = konstan d(A ρ V) = 0 ataudA/A + dρ/ρ + dV/V = 0apabila persamaan : ρ1A1V1 = ρ2A2V2 x g menjadi :G = γ1A1V1 = γ2A2V2 untuk fluida variasi γ dapat diabaikan, maka Q = A1V1 = A2V2


Debit aliran dengan notasi Q adalah jumlah kuantitascairan yang melalui suatu penampang tertentu dalam satusatuan waktu. Kecepatan aliran adalah variabel padapenampang dimana cairan mengalir. Misalnya pada suatuelemen cairan seperti pada gambar 3.4., jumlah aliranatau debit aliran melalui suatu penampang kecil dAadalah V.dA, dan besarnya debit total adalah :

(3.5.1)∫=A

dAuQ


θ

A

A

udA

→

V

X

Gambar3.4.Kecepatan

tidak tegak lurus

(3.5.2)

Pada gambar 3.4. ditunjukkan suatu aliran melaluipenampang AA dengan kecepatan V yang arahnya tidaktegak lurus bidang AA, maka perlu diambil komponenkecepatan yang tegak lurus penampang. Dalam contohini adalah komponen kecepatan diarah x, jumlah debit aliran adalah :

dimana u adalah komponen kecepatan diarah x.

∫∫→

==AA

dAVdAuQ θcos


Dari persamaan tersebut dapat dicari besarnya kecepatanrata-rata dengan cara sebagai berikut :

(3.5.2)

dimana u adalah komponen kecepatan diarah x.

(3.5.3)

∫∫→

==AA

dAVdAuQ θcos

∫==A

dAuAuQ

∫=A

dAuA

u 1


Penurunan persamaan gerak cairan dengan menggunakan konsep volume kontrol digunakan atas dasar dua pertimbangan, yaitu :

Pertama : menurunkan langsung persamaan dalam bentukintegral, dimana persamaan dalam bentuk ini lebih mudahpenggunaannya daripada persamaan diferensial daripersamaan gerak cairan.

Kedua : menunjukkan penggunaan hukum ketetapanmassa, hukum ketetapan energi dan hukum ketetapanmomentum ( law of conservation of mass, conservation of energy and conservation of momentum ) untuk masalahaliran cairan.


z z

x xSistem

Volume kontrol

II

y y

III

III

Volume kontrolSistem

(a) Volume control pada waktu t (b) Volume kontrol pada waktu t + dt

Gambar 3.5.Suatu aliran dengan volume kontrol yang identik pada waktu t

Gambar 3.5.a menunjukkan suatu volume dari suatusistem aliran yang didalamnya penuh cairan. Volume inidiambil tetap (diukur terhadap tiga salib sumbu) dandisebut “volume kontrol”. Permukaan (batas) dari volume ini disebut “permukaan kontrol (control surface).”


Apabila H merupakan jumlah dari parameter aliran (masa, energi atau momentum) dari cairan yang berada di dalam suatu sistem, sedang h merupakan parameter tersebut tiap satuan masa (h = H / m) maka dapat ditulis persamaan :

(3.6.1)

(3.6.2)

dimana :

V = volume cairan

mhH ´=

∫ ´´=V

dVhH ρ


Misalkan :

= H dari sistem pada waktu t

= H dari sistem pada waktu t+Δt

= H dari volume kontrol pada waktu t

= H dari volume kontrol pada waktu t+Δt

Jumlah dari H di dalam sistem pada waktu t+Δt adalah sama dengan H di dalam volume kontrol, ditambah H yang keluar dari volume kontrol (ΔH0) pada waktu Δt, dikurangi H yang masuk ke dalam volume kontrol (ΔHi) pada waktu Δt.

1H

2H1

1H1

2H


Jadi :

selama masa cairan yang sama yang terdapat pada waktu t, maka :

(3.6.3)

(3.6.4)

maka perbedaan H dari sistem adalah :

(3.6.5)

Apabila persamaan tersebut dibagi Δt

(3.6.6)t

HHtHH

tH io

ΔΔ−Δ

+Δ

′−′=

ΔΔ 12

′−Δ−Δ+′=−=Δ 1212 HHHHHHH io

′= 11 HH

iHHHH Δ−Δ+′= 022


Untuk Δt kecil sekali 0 , maka persamaan (3.6.6) dapat dinyatakan dalam bentuk :

(3.6.7)

(3.6.8)

Karena volume dari masa cairan di dalam sistem berubah menurut waktu maka penurunan terhadap waktu merupakan penurunan dari integral parameter aliran, sedangkan masa cairan di dalam volume kontrol adalah tetap sehingga integral dari volume kontrol merupakan fungsi dari waktu, jadi persamaan (3.6.8) dapat ditulis sebagai berikut :

(3.6.9)

dtdHdH

dtHd

dtdH io −+

′=

∫∫−

+´´=´´dt

dHdHdVh

dtddVh

dtd io

V

ρρ

dtdHdHdV

dtddVh

dtd io

CVCV

−+= ∫∫ ρρ


Permukaan masuk

dalamα

→

Ad

→

V

θ→

V

→

Ad

dalam

Permukaan keluar

( a ) ( b )

Gambar 3.6.Permukaan batas volume kontrol / permukaan kontrol

Dengan demikian jumlah H yang melalui seluruh permukaan volume kontrol adalah :

(3.6.10)∫=−CA

io dtdAudHdH θρ cos


Selama integrasi dari persamaan (3.6.10) diambil untuk permukaan kontrol dalam waktu tetap dt maka persamaan tersebut dapat ditulis sebagai berikut :

atau

Apabila persamaan (3.6.11) dimasukkan ke dalampersamaan (3.6.9) didapat persamaan:

atau

(3.6.11)

(3.6.12)

(3.6.13)

∫=−CA

io dAuhdtdHdH θρ cos

∫=−

CA

io dAuhdt

dHdH θρ cos

∫∫ +δ

δ=

CACV

dAuhdVhtdt

dH θρρ cos

∫∫ ÷⎠⎞

⎜⎝⎛+

δ

δ=

→→

CACV

AdVhdVhtdt

dH ρρ


(3.6.14)

Persamaan tersebut menyatakan bahwa besarnya tambahan H dalam suatu waktu di dalam sistem aliran sama dengan besarnya penambahan H dalam suatu waktu di dalam volume kontrol ditambah dengan penambahan H dari aliran melalui batas dari volume kontrol (permukaan kontrol). Untuk aliran tetap (steady flow) tidak terdapat perubahan menurut waktu sehingga persamaan (3.6.13) dapat dinyatakan sebagai berikut :

Persamaan (3.6.13) merupakan persamaan dasar yang akan digunakan untuk penurunan persamaan kontinuitas, energi dan momentum.

∫ ÷⎠⎞

⎜⎝⎛=

→→

CA

AdVhdtdH ρ


Salah satu penerapan konsep volume kontrol yang paling sederhana adalah penurunan persamaan kontinuitas, yaitupersamaan yang menyatakan bahwa di dalam aliran cairantermampatkan (compressible) jumlah aliran tiap satuanwaktu adalah sama di semua penampang di sepanjangaliran. Penurunan persamaan kontinuitas dapat dilakukandengan menerapkan “hukum ketetapan masa” pada konsepvolume kontrol.

Hukum ketetapan masa menyatakan bahwa masa di dalamsuatu sistem aliran akan tetap menurut waktu, yaitu :

(3.7.1)0=dt

dm

dimana m adalah jumlah masa di dalam sistem.


Misalkan H adalah jumlah masa di dalam sistem dan h adalah

1==dmdm

dmdH

∫∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

∂∂

=→→

CACV

AdVhdVhtdt

dH ρρ

01..1. =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

∂∂

= ∫ ∫→→

CA

AdVdVtdt

dm ρρ

maka persamaan (3.6.13) dapat dinyatakan sebagai berikut :

(3.6.13)

(3.7.2)

Kemudian, untuk mencari harga ∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ →→

CA

AdVρ

dapat digunakan suatu volume kontrol yang berbentuk suatu pipa arus seperti pada gambar 3.7 berikut ini :


Gambar 3.7.Aliran tetap melalui suatu pipa arus

1dA

1

→

V

2

→V

2dAVK

PKVK = Volume kontrol (control volume/CV)PK = Permukaan kontrol (control area/CA)

Volume kontrol dari pipa arus tersebut adalah bagian yang dibatasi oleh tepi pipa diantara penampang 1 dan penampang 2 yang ditunjukkan oleh garis putus-putus. Luas penampang 1 adalah dA1 dan kecepatan rata-rata penampang ini adalah V1, sedang luas penampang 2 adalah dA2 dengan kecepatan rata-rata V2.


Oleh karena aliran merupakan aliran tetap atau tidak berubah menurut waktu, maka penurunan terhadap waktu adalah nol. Dengan demikian suku pertama dari ruas kanan persamaan 3.7.2 dapat dinyatakan sebagai berikut :

Dengan demikian persamaan (3.7.2) dapat disederhanakan menjadi :

(3.7.4)

(3.7.3)

Dari persamaan tersebut dapat dilihat bahwa jumlah netto masa yang masuk kedalam dan keluar dari volume kontrol adalah sama.

0=∂∂∫

CA

dVt

ρ

0=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∫

→→

CA

AdVρ


Pada penampang 1 inflow dari masa cairan adalah :

dan outflownya adalah :

(3.7.5)

(3.7.6)

111111 dAuAdV ρρ −=→→

Selama tidak terdapat masa cairan yang masuk atau keluar melalui tepi pipa maka jumlah cairan yang mengalir melalui pipa arus diarah s (di arah arus) adalah :

atau

(3.7.7)

02211 =+− dAudAu ρρ

2211 dAudAu ρρ =Persamaan (3.7.7) tersebut dikenal sebagai “persamaan kontinuitas” yang berlaku untuk dua penampang dari satu pipa arus pada aliran tetap (steady flow).

222222 dAuAdV ρρ =→→


Untuk sekumpulan pipa-pipa arus seperti pada gambar 3.8, apabila ρ1 adalah kerapatan rata-rata pada penampang 1 dan ρ2 adalah kerapatan rata-rata penampang 2, maka :

222111 AuAum ρρ ==

1A

S

S

2A

1u

Gambar 3.8.Sekumpulan pipa arus dalam batas tertentu

2u adalah kecepatan rata-rata pada penam-dimana

pang 1 dan penampang 2

dan

(3.7.8)


Dari persamaan (3.5.2) diketahui bahwa besarnya debit aliran Q adalah :

∫=A

dAuQ AuQ= ∫=A

dAuA

u 1

maka persamaan (3.7.8) dapat dinyatakan sebagai berikut :

2211 QQ ρρ =

untuk aliran cairan tak termampatkan (incompressible) ρadalah tetap, dengan demikian persamaan (3.7.9) dapat disederhanakan menjadi :

QQQ == 21

2211 AuAuQ ==

atau : dimana

(3.7.9)

atau

(3.7.10)


( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂

∂+

2

dxu

xu ρρ

dzdydxρ

2dx

2dx

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂

∂−

2

dxu

xu ρρ

dz

dx

dy

P

xy

z

Gambar 3.9.Suatu volume kontrol di dalam koordinat kartesian


Aliran yang masuk ke dalam volume kontrol melalui sisi kiri adalah :

Sedang yang keluar dari volume kontrol melalui sisi kananadalah :

Dengan demikian selisih aliran yang keluar dari dan yang masuk ke volume kontrol adalah :

( ) dzdydxux

u ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

−2

ρρ

( ) dzdydxux

u ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

+2

ρρ

( ) ( ) ( ) dzdydxux

dzdydxux

udzdydxux

u ρρρρρ∂∂

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

−−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

+22


Sehingga jumlah seluruh masa aliran keluar adalah :

( ) ( ) ( ) dzdydxwz

vy

ux ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

+∂∂ ρρρ

( ) ( ) ( )t

wz

vy

ux ∂

∂−=

∂∂

+∂∂

+∂∂ ρρρρ (3.7.11)

Persamaan (3.7.11) adalah persamaan kontinuitas yang berlaku umum baik untuk aliran tetap, aliran tidak tetap, dari cairan termampatkan maupun tidak termampatkan.

Untuk aliran dua dimensi, misalnya aliran tidak berubah diarah y maka persamaan kontinuitas menjadi :

(3.7.12)0=∂∂

+∂∂

zw

xu

dibagi dengan dx dy dz persamaan tersebut menjadi :


Sedang untuk persamaan aliran tetap satu dimensi, persamaan kontinuitas menjadi :

Karena di dalam aliran satu dimensi ini, aliran hanya berubah menurut x maka persamaan (3.7.13) dapat dinyatakan sebagai berikut :

untuk suatu pipa seperti pada gambar 3.9 dimana aliran merupakan aliran satu dimensi diarah s, persamaan kontinuitas secara umum dapat dinyatakan :

atau

(3.7.15)

(3.7.13)

(3.7.14)

0=∂∂xu

dxdu

( ) ( )tAAu

s ∂∂

−=∂∂ ρρ

( ) ( ) 0=∂

∂+

∂∂

suA

tA ρρ


0=∂∂

tA

( ) 0=∂

∂s

uAρ

( ) 0=ds

uAd ρ

2211 uAuAuAQ ===

untuk aliran tetap maka :

Karena hanya berubah diarah s maka persamaan (3.7.16) dapat dinyatakan menjadi :

Atau Au = tetap

(3.7.16)

(3.7.17)

(3.7.18)


Penurunan persamaan energi dapat dilakukan dengan

menerapkan hukum ketetapan energi dalam konsep volume

kontrol dengan bantuan hukum dari thermodinamika.

WQE −=Δ

dimana :

ΔE = total energi

QH = pemindahan panas pada sistem

W = kerja yang dilakukan pada atau oleh sistem

(3.8.1)

upk EEEE ++= (3.8.2)


Kemudian apabila harga-harga tersebut dimasukkan ke dalam persamaan (3.6.12) di dapat persamaan :

Dengan memasukkan persamaan (3.8.1) kedalam persamaan (3.8.3) dan mengambil asumsi bahwa aliran adalah aliran tetap maka didapat persamaan :

( ) ( )( )dANveeedVeeetdt

dE

CAupk

CVupk ∫∫ +++++

∂∂

= ρρ

( )∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛++=−=

→→

CAupk

H AdVeeedt

dWdt

dQdtdE ρ (3.8.4)

(3.8.3)

∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛++=−

→→→

CAu

H AdVezgVdt

dWdt

dQ2

2

ρ

dengan demikian maka persamaan (3.8.4) dapat dinyatakan sebagai berikut :

(3.8.5)


Selanjutnya besarnya kerja yang dilakukan pada atau oleh sistem dapat dibagi menjadi tiga, yaitu :

i. Kerja aliran (flow work) wf

yaitu kerja yang dilakukan oleh gaya-gaya tekan selama sistem bergerak di dalam ruang. Misalnya suatu sistem bergerak melalui suatu pipa tertutup seperti pada gambar 3.10.

1N1

→

V

2N 2→

V1

2

1A

2A

Gambar 3.10.Sistem aliran bergerak melalui suatu saluran tertutup


Pada penampang 2 gaya yang bekerja pada cairan adalah p2 A2 dan jarak yang ditempuh oleh penampang ini dalam waktu Δt adalah :

tVL Δ=Δ→

2

Dengan demikian kerja yang dilakukan oleh sistem pada cairan di dalam waktu Δt adalah :

tVApw f Δ=Δ→

2222,→

= 2222, VApwf

→

−= 1111, VApwf

Jumlah kerja

Sama halnya dengan di penampang 1.

(3.8.6a)

(3.8.6b)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

→→

AdVpwf

Di dalam bentuk vektor produk dari persamaan (3.8.6) adalah :

(3.8.7)


ii. Kerja pada mesin (shaft work) ws

yaitu kerja yang dilakukan oleh cairan pada mesin(turbine) dimana energi dikeluarkan dari sistem, ataukerja yang dilakukan pada cairan oleh mesin (pompa) dimana energi diberikan pada sistem.

iii. Kerja geseran (shear work)

yaitu kerja yang dilakukan oleh gaya geser. Karenagaya geser bekerja pada dinding dimana kecepatangerak cairan sama dengan nol maka kerja geseran inijuga sama dengan nol.

∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+++=−

→→→

CAu

sH AdVezgVpdt

dwdt

dQ2

2

ρρ

Dengan ketentuan-ketentuan tersebut maka persamaan (3.8.5) dapat dinyatakan sebagai berikut :

(3.8.8)


Apabila persamaan (3.8.8) diterapkan untuk suatu sistem aliran dimana terdapat satu pompa dan satu turbin seperti pada gambar 3.11 akan didapat :

Gambar 3.11.Suatu sistem aliran melalui satu pompa dan satu turbin

Pom

pa

Turb

in

datum

sτ

sτ

1N1p

1

→

V2

→

V2N

2p

1Z 2Z

3N3p

3

→

V


∫

∫

∫

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+++

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+++

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+++=−+

→→→

→→→

→→→

3

2

1

33

23

33

22

22

22

11

21

11

2

2

2

CAu

CAu

CAu

TpH

AdVezgVp

AdVezgVp

AdVezgVpdt

dwdt

dwdt

dQ

ρρ

ρρ

ρρ

(3.8.9)


Apabila diambil asumsi bahwa ρ, z p dan eu konstan

diseluruh penampang maka suku pertama ruas kananpersamaan (3.8.9) dapat diuraikan sebagai berikut :

( ) ∫ ∫ ∫ ∫∫→→

→→

−−−−= 111111111

32

1111

11 2

1

dAVedAVzgdAVdAVpu

CA

ρρρρ

ρ

22

223

→→

== ∫VdQdAVAV m

A

ρρα

(3.8.10)

(3.8.11)

untuk selanjutnya diambil :

dimana α = faktor koreksi pembagian kecepatan (akan

dijelaskan kemudian) pada suatu penampang yang ditambahkan pada penggunaan kecepatan rata-rata pangkat 3 ( )3V


∫→

==A

m dAVuAQ ρρ

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=−+

12

1

2

2

2

22 mmTpH QzgpuQzgpu

dtdw

dtdw

dtdQ

ρα

ρα

(3.8.12)

Analog untuk penampang 2 dan 3 maka persamaan (3.8.9) dapat disederhanakan menjadi:

1122 mumu QeQe −+ (3.8.13)

Sedangkan


fmmumuH kQgQeQe

dtdQ

=−+ 2211

pmp kQg

dtdw

=

TmT kQg

dtdw

=

Apabila :

i. Jumlah panas yang disebabkan oleh geseran dan menyebabkan kehilangan tinggi energi sebesar kf

(3.8.14)

ii. Jumlah kerja yang dilakukan oleh pompa pada sistem aliran yang menyebabkan tambahan tinggi energi sebesar kP

(3.8.15)

iii. Jumlah kerja yang dilakukan oleh sistem aliran pada turbin yang menyebabkan kehilangan energi sebesar kT

(3.8.16)


11

2

22

2

2

2

m

mpmTmfm

Qzgpu

QzgpukQgkQgkQg

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=−+

ρα

ρα

1

2

2

2

22 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=−+− z

gp

guz

gp

gukkk Tpf ρ

αρ

α

Tfp kkzpg

ukzpg

u++++=+++ 2

22

21

12

1

22 ρα

ρα

atau :

Maka persamaan (3.8.12) dapat dinyatakan sebagai berikut :

(3.8.17)

Karena debit aliran konstan maka apabila persamaan (3.8.17) dibagi dengan g Qm dimana Qm = Qm1 = Qm2, akandi dapat :

(3.8.18)

(3.8.19)


Persamaan (3.8.18) atau Persamaan (3.8.19) dikenal sebagai bentuk umum persamaan energi (mechanical energy balance) dalam dimensi tinggi energi

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ =L

FFL

gu

2

2α

gpρ

= tinggi letak dalam m

= tinggi tekanan dalam m

dimana :

= tinggi kecepatan dalam m

z


Pada gambar 3.12 berikut ini ditunjukkan suatu bentukprismatis dari partikel cairan dengan masa m = ρ dA ds ,

yang bergerak sepanjang garis arus dalam arah s.

dAdsdsdpp ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

ds

dz

dsdAgρdAp

S

Gambar 3.12.Komponen gaya-gaya yang bekerja pada

suatu partikel cairan di arah aliran


Komponen gaya berat diarah s adalah :

(3.9.1)

Dengan menggunakan hukum Newton kedua :

(3.9.2)

(3.9.3)

θρθ cossin dsdAgG −=−

∑ = ss admf

sadsdAdsdAgdAdssppdAp ρθρ =−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+− cos

sadsdAdAdsgdAdssp ρθρ =−∂∂

− cos

0cos1=++

∂∂

sagsp θ

ρ

Dibagi dengan ρ dA ds persamaan (3.9.3) menjadi :

(3.9.4)


Apabila dz adalah selisih tinggi titik berat penampang hilirdan penampang hulu :

(3.9.5)

Kemudian percepatan aliran dapat dinyatakan :

(3.9.6)

dimana u = kecepatan aliran diarah s. Karena u merupakan fungsi tempat (s) dan waktu (t), atau u = f (s,t)

sz

dsdz

∂∂

== θcos

dtduas =

dtdt

tu

dtds

su

dtdu

dttuds

sudu

∂∂

+∂∂

=

∂∂

+∂∂

=

tu

suu

dtdu

∂∂

+∂∂

= (3.9.7)


Dengan memasukkan persamaan (3.9.5), (3.9.6) danpersamaan (3.9.7) ke dalam persamaan (3.9.4) akandidapat :

01=

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

tu

suu

szg

sp

ρ

0=∂∂

tu

01=

∂∂

+∂∂

+∂∂

suu

szg

sp

ρ

Untuk aliran tetap , maka persamaan (3.9.8) menjadi :

(3.9.8)

Oleh karena parameter aliran hanya berubah di arah s sajamaka persamaan (3.9.9) dapat dinyatakan dalam bentuk :

01=++

dsduu

dsdzg

dsdp

ρ(3.9.10)

(3.9.9)


Persamaan (3.9.10) atau persamaan (3.9.11) dikenal

dengan persamaan gerak dari Euler dengan asumsi :

i. gerak cairan hanya sepanjang garis arus.

ii. cairan tidak berkekentalan (non viscous).

iii. tipe aliran adalah aliran tetap.

0=++ duudzgdpρ

atau :

(3.9.11)


Integrasi dari persamaan Euler untuk aliran tetap tak

termampatkan dan bebas rotasi menghasilkan suatu

persamaan yang dikenal dengan “persamaan Bernoulli”.

Persamaan ini menghubungkan perubahan tinggi

kecepatan, tinggi tekanan dan tinggi letak dari aliran

cairan tak berkekentalan. Persamaan Euler untuk aliran

tetap diarah x adalah Persamaan (3.9.11).

Integrasi dari persamaan tersebut menghasilkan persamaan

sebagai berikut :

zgpu++

ρ2

2

= konstan (3.10.1)


==++ Hzg

pg

uρ2

2

gu2

2

gpρ

atau : konstan (3.10.2)

dimana :

= tinggi kecepatan dalam m

= tinggi tekanan dalam m

= tinggi letak dalam m

= tinggi energi dalam m

z

H

Persamaan (3.10.2) disebut “persamaan Bernoulli”

(1700-1782).


Penggunaan persamaan tersebut dapat dijelaskan dengan gambar 3.13 berikut ini :

Gambar 3.13.Hukum Bernoulli untuk aliran saluran terbuka

guA

2

2

gu2

21

gu2

22

AuA

AZ

1

2

1Z

2Z

gpρ

2 Permukaan air

DatumZ ==0

H

gu

gpz

guzH

22

222

2

21

1 ++=+=ρ (3.10.3)


Tiap-tiap suku dari ruas kiri persamaan (3.10.2)

dinyatakan sebagai tinggi energi kinetik, tinggi tekanan

dan tinggi energi potensial yang masing-masing dapat

dijelaskan sebagai berikut :

i. Tinggi energi kinetik

Tinggi energi kinetik atau tinggi kecepatan diartikan

sebagai energi kinetik tiap satuan berat.

Apabila jumlah energi kinetik cairan yang melalui suatu

penampang aliran seluas ΔA adalah

maka tinggi kecepatan adalah :

dalam (m) (3.10.4)

gAu

2

3 Δγ

gu

AugAu

22

23

=ΔΔ

γγ


ii. Tinggi tekanan

Tinggi tekanan diartikan sebagai jumlah kerja aliran tiap

satuan berat. Kerja aliran adalah suatu kerja yang

dilakukan oleh elemen cairan pada sekitarnya selama

cairan tersebut mengalir. Seperti telah ditunjukkan

pada persamaan (3.8.6), besarnya kerja aliran dari suatu

masa cairan yang bergerak adalah :

uApwf ××= (3.8.6)

Dengan demikian tinggi tekanan adalah sama dengan wf / G atau :

gp

uAguAp

Gw f

ρρ== dalam (m) (3.10.5)


iii. Tinggi energi potensial

Tinggi energi potensial atau tinggi letak diartikan

sebagai energi potensial tiap satuan berat. Hal ini dapat

dijelaskan dengan mengambil contoh perhitungan jumlah

kerja yang diperlukan untuk mengangkat suatu elemen

cair seberat G ke suatu posisi setinggi z. Besarnya

energi potensial tersebut adalah :

dengan demikian tinggi energi potensial adalah :

dalam (m) (3.10.6)

zgmwp =

zgmzgm

Gwp ==

Ruas kanan dari persamaan (3.10.2) adalah “tinggi energi total” (total head) H.


Selanjutnya untuk menunjukkan penerapan hukum Bernoulli pada suatu sistem aliran digunakan contoh pada gambar 3.14 berikut ini :

Gambar 3.14.Penerapan Hukum Bernoulli untuk suatugaris arus dari aliran di dalam saluran terbuka

gu2

21

gpρ

1

gu2

22

gpρ

2

1 2

Penampang 1 Penampang 2

DatumZ 0=


Untuk suatu garis arus diantara penampang 1 dan

penampang 2 seperti pada gambar 3.14 dapat diterapkan

persamaan Bernoulli antara penampang 1 dan penam-

pang 2.

(3.10.7)

(3.10.8)

atau :g

ug

pzg

ug

pzH22

222

2

211

1 ++=++=ρρ

02

22

2121

21 =−

+−

+−guu

gppzz

ρ

21 zz −

gpp

ρ21 −

guu

22

21 −

= selisih tinggi letak antara titik 1 dan titik 2

= selisih tinggi tekanan antara titik 1 dan titik 2

= selisih tinggi kecepatan antara titik 1 dan titik 2

semua diukur dari dataran

dimana :


Seperti dijelaskan dimuka bahwa Hukum Bernoulli

diturunkan dengan beberapa asumsi yang dalam keadaan

sebenarnya jarang terjadi. Oleh karena itu penggunaan

Hukum Bernoulli mempunyai batas-batas yang disebut

“batas berlakunya Hukum Bernoulli”, yaitu :

1. Hukum Bernoulli diturunkan dengan asumsi bahwa kecepatan aliran pada suatu penampang adalah sama karena yang diambil adalah penampang kecil sekali yaitu ΔA. Dalam persoalan sesungguhnya kecepatan aliran di tiap titik di suatu penampang tidak sama, oleh karena itu dalam penggunaan persamaan Bernoulli yang dicantumkan adalah kecepatan rata-rata

∫= dAuA

u 1

Kemudian, karena besarnya energi kinetik tergantung pada u3 dimana

33 uu ≠


maka apabila yang digunakan di dalam persamaan

Bernoulli adalah

besarnya energi kinetik harus dikalikan dengan suatu

koefisien yaitu “koefisien energi” α (Penjelasan

mengenai α akan disajikan di dalam sub bab tersendiri).

u

2. Hukum Bernoulli diasumsikan dengan asumsi bahwa

tidak terdapat gaya-gaya luar yang bekerja pada aliran

kecuali gaya berat. Di dalam kenyataan aliran selalu

terdapat gaya geser, baik gaya geser antara lapisan-

lapisan cairan itu sendiri, maupun antara cairan dan

dinding saluran. Dengan demikian, persamaan Bernoulli

dapat digunakan apabila gaya-gaya geser tersebut dan

gaya-gaya luar lainnya kecil sekali dan dapat diabaikan.


3. Hukum Bernoulli diturunkan dengan asumsi bahwa tidak

terdapat kehilangan energi di dalam aliran. Di dalam

kenyataan aliran akan terjadi kehilangan energi akibat

geseran, apabila yang mengalir adalah cairan

berkekentalan. Dengan demikian persamaan Bernoulli

baru dapat digunakan apabila cairan yang mengalir

dianggap tidak berkekentalan sehingga kehilangan

energi karena geseran dapat diabaikan.

4. Hukum Bernoulli diturunkan dengan asumsi bahwa

kerapatan cairan di dalam aliran adalah konstan

(ρ = konstan). Dengan demikian persamaan Bernoulli

dapat digunakan apabila kerapatan cairan ρ dianggap

konstan.


FAKTOR KOREKSI ENERGI KINETIK ( α )Analisa suatu aliran di dalam saluran terbuka atau di

dalam saluran tertutup seringkali dilakukan dengan

menganggap bahwa aliran adalah aliran satu dimensi.

Dalam hal ini aliran dianggap sebagai suatu pipa arus

besar dengan kecepatan rata-rata det/mupenampang melintangnya. Namun demikian perlu di

perhatikan bahwa besarnya energi kinetik tiap satuan

berat, atau tinggi kecepatan, yang diambil dari harga gu 2/2

pada setiap

bukan merupakan harga rata-rata dari u2/2g yang diambil dari seluruh luas penampang tersebut.


Hal ini dapat dijelaskan dengan gambar dan persamaan sebagai berikut :

Gambar 3.15.Pembagian kecepatan dan kecepatan rata-rata suatu aliran

dAuγ u

u

Gambar 3.15 menunjukkan suatu pembagian kecepatan

pada suatu penampang aliran dimana kecepatan aliran di

tiap-tiap titiknya adalah u, dan kecepatan rata-rata

penampang adalah u


dengan γ u dA adalah berat cairan tiap satuan waktu yang

mengalir melalui penampang seluas dA, dan u2/2g adalah

energi kinetik tiap satuan berat. Dengan menyamakan

harga tersebut pada jumlah energi kinetik melalui suatu

penampang dalam bentuk

Besarnya energi kinetik melalui penampang aliran tiap satuan waktu adalah :

∫= dAug

uAug

u22

22

γγα

Sehingga didapat persamaan :

∫A

dAug

u2

2

γ

Augu γα 2/2


∫ ÷⎠⎞

⎜⎝⎛=

A

dAuu

A

31α

Dengan harga α tersebut persamaan Bernoulli menjadi :

(3.11.2)

Harga α selalu lebih besar daripada satu dimana untuk

aliran laminer di dalam suatu pipa biasanya diambil α=2, sedang untuk aliran turbulen di dalam suatu pipa diambil

harga α berkisar antara 1,01 sampai 1,10 atau seringkali

diambil α=1 kecuali untuk perhitungan yang teliti.

gu

gpz

gu

gpz

22

2222

2

2111

1α

ρα

ρ++=++

atau :

(3.11.1)


juga perlu diberi faktor koreksi. Faktor koreksi untukmomentum adalah β yang besarnya dapat ditentukan daripersamaan berikut ini :

momentum yang diambil dari harga kecepatan rata-rata

FAKTOR KOREKSI MOMENTUM ( β )Apabila pembagian kecepatan aliran di suatu penampangadalah seperti pada gambar 3.16, maka besarnya

AudAu 22 ρβρ =∫

∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= dA

uu

A

21β

sehingga :

(3.11.3)

Seperti halnya faktor koreksi α, harga faktor koreksi βjuga selalu lebih besar daripada satu.

u


Penerapan hukum ketetapan momentum dalam penggunaankonsep volume kontrol akan menghasilkan persamaanmomentum. Apabila H adalah besarnya momentum di dalam suatu sistem aliran maka :

dtVdm

dtdH

→

=mVm

mHh

→

==dan(3.12.1) (3.12.2)

Dengan memasukkan Persamaan (3.12.1) dan Persamaan (3.12.2) kedalam persamaan (3.6.12) didapat :

∫∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

→→→→

→

CACV

AdVVdVVtdt

Vmdρρ (3.12.3)


Menurut hukum Newton II, jumlah gaya-gaya yang bekerja pada aliran adalah :

(3.12.4)dt

Vmd

dtVdmamF

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

===

→→

..

∑ ∫∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=→→→→

→

CACV

AdVVdVVtdt

VmdF ρρ (3.12.5)

atau

Persamaan (3.12.5) tersebut menunjukkan bahwa resultante gaya-gaya yang bekerja pada volume kontrol sama dengan pertambahan (linier) dari besarnya momentum di dalam volume kontrol dalam suatu waktu tertentu dengan jumlah netto momentum dari aliran yang keluar dari volume.


y

x

1u

1

→

V1

→

Ad1

2

2→

Ad2

→

V

2

→

u

xF

∑ ∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

→→→

CA

AdVVF ρ

Gambar 3.16.Aliran tetap melalui suatu volume kontrol

Untuk aliran tetap persamaan (3.12.5) dapat disederhanakan menjadi :

(3.12.6)

Apabila u dalah komponen kecepatan di arah x maka jumlah gaya-gaya yang bekerja di arah x adalah :

11112222 uVAuVAFx

ρρ −=∑ (3.12.7)


Dengan menggunakan hukum kontinuitas yaituV1 A1 = V2 A2 = Q, maka untuk aliran cairan dengankerapatan konstan adalah :

( )12 uuQFx

−=∑ ρ

( )12 uuQFx −=∑ βρ

( )12 vvQFy −=∑ βρ

(3.12.8)

( )12 wwQFz −=∑ βρ (3.12.11)

u, v dan w adalah komponen-komponen kecepatan di arah x, y dan z (seperti urutan).Adapun resultante gaya-gaya tersebut adalah :

(3.12.12)

(3.12.10)

(3.12.9)

Persamaan (3.12.8) menjadi :

222zyx FFFF ++=∑

Selanjutnya Persamaan (3.12.9) s/d (3.12.11) disebut “ persamaan momentum “.


PANCARAN YANG DIPANTULKAN OLEH SUATU PELAT ATAU BALING-BALING TETAP

Teori turbomachine didasarkan pada hubungan antara

pancaran dan baling-baling. Mekanika pemindahan kerja

dan energi dari suatu pancaran cairan dipelajari sebagai

suatu penerapan hukum momentum.

Apabila suatu pancaran cairan bebas melanggar atau

mengenai suatu plat licin yang melengkung atau baling-

baling seperti pada Gambar 3.17, pancaran tersebut akan

dipantulkan oleh plat. Pantulan tersebut menyebabkan

momentumnya berubah dan suatu gaya akan bekerja pada

baling-baling.


Pancaran dianggap mengalir pada baling-baling dalam arah tangensial tanpa kejut, dan geseran antara pancaran dengan baling-baling diabaikan. Kecepatan dianggap seragam di seluruh pancaran di hulu maupun di hilir baling-baling. Karena pancaran terbuka di udara maka tekanan pada ujung-ujung baling-baling adalah sama.

Gambar 3.17.Pancaran air pada suatu pelat atau baling-baling melengkung horizontal

0V

0V

θ

Baling-baling

y

yFxF x

1A1

→

V

2u

2

→

V2v


Dengan asumsi-asumsi tersebut diatas komponen gaya-gaya yang dikerjakan oleh baling-baling pada pancaran yaitu Fx dan Fy dapat dicari dengan menerapkan persamaan momentum berikut ini :

dengan menggunakan hukum kontinuitas, yaitu :

( ) ( )2021010 . AVuAVuAdVuFCA

x ρρρ +−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

→→

∫

2010 AVAVQ

didapat : (3.13.1)

(3.13.2)

Untuk mendapatkan besarnya gaya-gaya yang dikerjakan oleh pancaran pada baling-baling adalah sama tetapi dengan tanda minus atau plus kebalikan dari tanda pada Fx

dan Fy dari Persamaan (3.13.1) dan Persamaan (3.13.2) tersebut.

==

( ) ( )1cos012 −=−= θρρ VQuuQFx

( ) ( )θρρ sin012 −=−= VQvvQFy


PANCARAN YANG DIPANTULKAN OLEH SUATU PELAT ATAU BALING-BALING YANG BERGERAK

Pancaran yang dipantulkan oleh suatu baling-baling yang bergerak dilihat pada pancaran pada baling-baling turbin. Tipe analisa seperti yang telah diuraikan di dalam sub bab 3.13.1 dapat digunakan disini, namun akan lebih mudah apabila volume kontrol dianggap bergerak bersama baling-baling. Apabila baling-baling dapat dipindah kerja dapat dilakukan baik oleh pancaran pada baling-baling atau oleh baling-baling pada cairan.

Pada Gambar (3.17.a) ditunjukkan suatu baling-baling yang bergerak dengan cairan mengalir padanya dalam arah tangensial. Gaya-gaya tekan yang dilakukan oleh baling-baling pada cairan adalah Fx dan Fy.


uθ

y

x

(a)

2A

uV −0

1

2

θ

yF(b)

0

→

A

→

0V

u

(c)

→→

−uV0

→

2V

→

0V

CA

CV

yF

xF

xF

Gambar 3.18.Baling-baling bergerak (a), tampak aliran

baling-baling sebagai aliran tetap dengan superposisi

dari kecepatan u ke kiri (b), diagram vektor pola (c).


Penerapan persamaan momentum atau persamaan(3.12.6) diarah x :

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]000

0000 cos

AuVuV

AuVuVTAdVVF xCA

xx

−−−+

+−−=−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∫∑

→→

ρ

θρρ

( ) ( )θρ cos102

0 −−= AuVFx

( ) ( )[ ]000 sin AuVuVFAdVVF yyy −−==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∫∑

→→

θρρ

( ) θρ sin02

0 AuVFy −= (3.13.4)

atau : (3.13.3)

diarah y :

atau :

(3.13.5)( )(3.13.6)dan

( )θρ cos100 −−= uVQFx

( ) θρ sin00 uVQFy −=

untuk suatu seri baling-baling persamaan-persamaan tersebut dinyatakan dalam hubungannya dengan debit aliran, yaitu :


PANCARAN MEMBENTUR SUATU PERMUKAAN

Untuk menjelaskan lebih lanjut penerapan persamaan

momentum pada panjaran yang membentur suatu bidang,

dimisalkan suatu pancaran yang membentur suatu

permukaan datar yang lebar dan terletak pada

kemiringan θo terhadap horizontal seperti pada Gambar

3.19 berikut ini :


F

m

θ

→−

0V

→−1A

S

→−

2A

→−0V

→−0A

θcos0Vu =

θ

θsin0V

→−

0V

Gambar 3.19.Pancaran membentur suatu bidang


Persamaan momentum di arah s untuk aliran tetap dapat dinyatakan sebagai berikut :

(3.13.7)

dimana u = komponen kecepatan di arah s.

atau :

∑ ∫ ==→→

0CS

S AdVuF ρ

(3.13.8)

(3.13.9)

Kemudian dengan penerapan persamaan kontinuitas dimana:

(3.13.10)

( ) ( ) 0cos 200000100 =−+−+ AVVAVVAVV ρρρ

θcos021 QQQ =−

210 QQQ +=


didapat harga-harga Q1 dan Q2 sebagai berikut :

(3.13.11)

(3.13.12)

Gaya-gaya yang bekerja pada bidang datar tersebut harus tegak lurus padanya, yaitu di aarah n. Persamaan momentum di arah n adalah :

(3.13.13)

( )θcos12

01 +=

QQ

( )θcos12

02 −=

QQ

( )000 sin AVVFAdVvFCA

n −=−== ∫∑→→

θρρ

θρ sin00 VQFn =


PENDAHULUANKehilangan energi sepanjang aliran dapat disebabkan oleh

geseran atau perubahan penampang aliran oleh gangguan

lokal. Dibanding dengan kehilangan energi akibat geseran,

kehilangan energi akibat perubahan penampang atau arah

aliran adalah kecil oleh karena itu disebut kehilangan

energi minor (minor losses). Akan tetapi apabila

kehilangan minor ini berjumlah banyak di sepanjang aliran

maka akan mengakibatkan kehilangan yang berarti bagi

sistem aliran. Oleh karena itu tetap perlu dipertimbangkan

di dalam analisa aliran. Di dalam sub bab ini akan

disajikan beberapa bentuk kehilangan energi minor dan

persamaan dasar yang digunakan.


PELEBARAN TIBA-TIBA

Kehilangan energi pada aliran di dalam saluran yang

melebar tiba-tiba dapat dihitung dengan menggunakan

persamaan energi dan persamaan momentum.

Aliran saluran tertutup adalah aliran di dalam saluran

tertutup yang terisi penuh dan tidak berhubungan dengan

udara luar (atmosfer), atau tidak mempunyai permukaan

cairan yang berbatasan dengan udara luar. Misalnya di

dalam suatu saluran tertutup dengan penampang

memanjang seperti pada Gambar 3.20 melebar tiba-tiba

dari luas penampang A1 menjadi A2.

a) ALIRAN SALURAN TERTUTUP


12

1u 2u

→−

1A→−

1V

1P

1 2 →−

2A→−

2V2P

(a) (b)

Gambar 3.20.Saluran tertutup melebar tiba-tiba

Dengan mengambil asumsi bahwa kecepatan aliran adalah

seragam di seluruh penampang dan besarnya sama

dengan kecepatan rata-rata, serta dengan menganggap

bahwa kehilangan energi akibat geseran dapat diabaikan,

penerapan persamaan momentum adalah sebagai berikut :


atau :

(3.14.2)atau :

Penerapan persamaan energi antara penampang 1 dan penampang 2, dengan α = 1 adalah :

(3.14.3)

( ) ( )( ) ( )

( )122

21

12212

1112221211

1 uuAQ

gpp

uuQppAAuuAuuApAp

−=−

−=−−+=−

γ

ρρρ

( )g

uuupp 12221 −=

−γ

ehg

ug

pzg

ug

pz +++=++22

222

2

211

1 ρρ

(3.14.1)∫∑ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

→→

CA

AdVuF ρ


Dengan menggabungkan Persamaan (3.14.2) dan (3.14.4) didapat

( )

guuuuuh

hguu

guuu

e

e

222

2

122

22

12

2

21

22122

−++−=

+−

=− ( )

guuhe 2

212 −=

atau :

(3.14.5)

he = kehilangan tinggi energi (dalam m)

(3.14.4)

karena z1=z2, maka :

ehguu

gpp

+−

=−

2

21

2221

ρ

ehzzguu

gpp

+−+−

=−

12

21

2221

2ρ

atau :


Aliran saluran terbuka adalah aliran di dalam saluran terbuka sehingga terdapat udara luar (atmosfer). Penurunan persamaan energi di dalam saluran terbukayang mengalami perlebaran tiba-tiba dapat dilakukandengan contoh aliran seperti pada Gambar 3.21. berikutini :

b) ALIRAN SALURAN TERBUKA

1h

1z

2h

datum

gu2

21α

gu2

22α

HΔ

HΔ

1hgρ

2hgρ( )11 zhg +ρ

Gambar 3.21.Perlebaran tiba-tiba (di arah vertikal) aliran saluran terbuka


Penerapan hukum energi antara penampang 1 dan 2 :

(3.14.6)

apabila α = 1 :

(3.14.7)

dimana :

= kehilangan tinggi energi

= perbedaan tinggi permukaan air antara penamapang 1dan penampang 2

Hg

uhg

uhz Δ++=++22

22

2

21

11αα

211

22

21

2hhz

guuH L −++

−=Δ

hguuH L Δ−

−=Δ

2

22

21

LHΔ

hΔ


Penerapan persamaan momentum :

( ) ( )122

211212

1 21

21

21 uuqhgzzhhghg

AdVuFCA

−=−+++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∫∑

→→

ρρρρ

ρ

( ) ( )

( ){ } ( )

( ){ } ( ){ } ( )

( ){ } ( ){ } ( )12222211211

1222211211

12222

22

11

12222

22

11

2212121

21

21

uuhuhhzhhzhg

uuhuhzhhzhg

uuhuhzhg

uuhuhgzhg

−=+−+−+

−=++−+

−=−+

−=−+

ρρ

ρρρ

( ){ } ( ){ } ( )12222221 uuhuhhhg −=+Δ−Δ−

untuk saluran lebar sekali q = Q /B

(3.14.8)


sehingga Persamaan (3.14.8) dapat disederhanakanmenjadi :

( )( ) ( )12222221 uuhuhhg −=Δ−

( )g

uuuh 122 −−=Δ (3.14.9)

dengan menggabungkan Persamaan (3.14.9) dan Persamaan (3.14.7) didapat :

( )g

uuuug

uuuguuH L 2

22

22

2221

21122

22

21 +−

=−

+−

=Δ

( )guuH L 2

221 −=Δ (3.14.10)

Persamaan (3.14.10) dikenal dengan nama “Persamaan Carnot dan Borda”.


Persamaan kehilangan tinggi energi tersebut dapat dinyatakan dalam beberapa bentuk lain, yaitu :

(3.14.11)

(3.14.12)

Kemudian dengan menggunakan persamaan kontinuitas :

atau :

kehilangan tinggi energi juga dapat dinyatakan sebagai berikut :

(3.14.13)

gu

uu

H L 21

21

2

1

2⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=Δ

gu

uu

H L 21

22

2

2

1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=Δ

2211 uAuAQ ==

gu

AQAQ

H L 2//

12

1

2

1

2⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=Δ

gu

AA

H L 21

21

2

2

1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=Δ


(3.14.14)g

uAA

H L 21

22

2

1

2⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=Δ

Apabila aliran cairan melalui suatu saluran tertutup berbentuk pipa berdiameter D1 yang melebar tiba-tiba menjadi diameter D2 maka Persamaan (3.14.13) dan Persamaan (3.14.14) dapat dinyatakan sebagai berikut :

(3.14.15)

atau :

(3.14.16)atau :

gu

DDH L 2

12

1

2

22

21⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=Δ

gu

DDH L 2

12

2

2

21

22

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=Δ

Persamaan-persamaan kehilangan tinggi energi tersebut menunjukkan bahwa kehilangan tinggi energi di dalam aliran turbulen adalah proporsional pada kecepatanaliran.


Apabila besaran Δh tidak diabaikan terhadap 2h2 (lihatPersamaan 3.14.9) maka persamaan kehilangan tinggienergi dapat dinyatakan sebagai berikut :

(3.14.17)( )( )

guuu

hhh

guuH L 22

42

122

2

22

22

1 −−Δ

−−

=Δ

( ) ( ) ( )( )211

2112122

21

22

2 hzhhzh

guuu

guuH L ++

−+−+

−=Δ (3.14.18)

Dalam hal aliran mempunyai diagram kecepatansedemikian sehingga harga koefisien momentum β tidaksama dengan satu, maka Persamaan (3.14.10) harusdikoreksi dengan memasukkan harga β sehinggamenjadi :

( )g

uuH L 2

22211 ββ −

=Δ (3.14.19)


PERUBAHAN DARI PIPA KE SUATU TANDON (RESERVOIR)

Perlebaran tiba-tiba dapat terjadi pada perubahan alirandari suatu satu pipa ke suatu tandon. Misalnya alirantersebut seperti pada Gambar (3.22) dibawah ini :

1D

Gambar 3.22.Perubahan penampang aliran dari

suatu pipa ke suatu tandon

guH L 2

21=Δ

(3.14.20)

Kehilangan tinggi energi ini juga dikenal dengan sebutan“Erit Loss”.


PELEBARAN LAMBAT LAUN (DIFFUSER)

1D 2D 2uθ

Di dalam praktek sering dijumpai aliran di dalam suatupipa yang melebar tetapi tidak tiba-tiba. Perlebarantersebut melalui suatu transisi sehingga aliran melebarsecara lambat laun, seperti tampak pada Gambar 3.23 dibawah ini.

Gambar 3.23.Aliran di dalam pipa yang mengalami perubahan diameter secara lambat laun


Perlebaran secara lambat laun ini dibuat untuk menurunkan kehilangan enegi karena perlebaran aliran, dengan cara mengurangi pusaran-pusaran arus yang terjadi. Perlebaran semacam ini dikenal sebagai penyebaran arus (diffuser). Dengan perlebaran lambat laun ini menyebabkan timbulnya kehilangan tinggi energi akibat geseran dinding yang besarnya dapat berkurang apabila sudut θ bertambah. Besarnya kehilangan energi karena perlebaran lambat laun ini dapat dicari dengan cara “Gibson” dengan menggunakan persamaan :

(3.14.21)( )

guuKH L 2

212 −=Δ

dimana K adalah suatu koefisien yang besarnya dapat dicari diagram seperti pada Gambar 3.24 berikut ini :


1V 2V

o0 o20 o40 o60 o80 o100 o120 o140 o160 o1800

2,0

4,0

6,0

8,0

0,1

2,1

( )gVV

KHL2

212 −=

31

2 =DD

5,11

2 =DD

Gambar 3.24.Koefisien kehilangan energi untuk perlebaran lambat laun


dimana KE adalah koefisien kehilangan tinggi energi karena perlebaran lambat laun yang dapat ditentukan dengan menggunakan tabel 3.1.

Selain dengan menggunakan perumusan Gibson, kehilangan tinggi energi pada perlebaran aliran lambat laun juga dapat ditentukan dengan cara lain yaitu dengan menggunakan Persamaan (3.14.22) berikut ini :

(3.14.22)⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=Δ

guKH EL 2

21

1D 2Dθ

Bentuk perlebaran D1 / D2 KE θ = 100 KE θ = 1800

0

0,2

0,40

0,60

0,80

0,13

0,11

0,06

0,03

1,00

0,92

0,72

0,42

0,16


Cara lain untuk menentukan harga kehilangan tinggienergi karena perlebaran lambat laun adalah denganmenggunakan Persamaan (3.14.21), yaitu :

( )guuKH L 2

22

21 −

=Δ (3.14.21)

dimana harga K dapat ditentukan menurut harga θ sebagai

berikut :

Tabel 3.2.Harga K menurut besarnya θ0

θ0 =

K =

20 40 60 80

0,20 0,28 0,32 0,35


PENYEMPITAN TIBA-TIBA

2D1D

CA1 2

Gambar 3.25.Penyempitan tiba-tiba

Pada aliran yang mengalami penyempitan tiba-tiba akanmengalami kontraksi. Gambar 3.26 menunjukkan bahwatepat di hilir penyempitan terjadi suatu vena kontrakta, yaitu suatu penampang tersempit dimana garis-garisarusnya lurus. Sesudah vena kontrakta aliran melebarlagi untuk memenuhi penampang pipa. Perlebaran ini menyebabkan terjadinya pusaran-pusaran arus diantara vena kontrakta sampai ke dinding pipa.


Dari Gambar 3.25 dapat dilihat bahwa diantara vena kontrakta dan penampang 2 dimana aliran kembali seragam, pada aliran adalah sama dengan pola aliran yang melebar tiba-tiba. Dengan demikian persamaan kehilangan tinggi energi karena pelebaran tiba-tiba dapat digunakan disini yang pertama adalah Persamaan (3.14.14), yaitu :

(3.14.22)

dimana AC= penampang penyempitan atau (vena kontrakta).

gu

AA

HC

L 21

22

2

2⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=Δ

Persamaan tersebut dapat disederhanakan menjadi :

(3.14.23)g

uKH CL 2

22=Δ

dimana KC disebut koefisien kehilangan tinggi energi akibat penyempitan yang besarnya dapat ditentukan dengan menggunakan tabel sebagai berikut :


Disamping itu, seorang bernama “Weisback” menggunakankoefisien kontraksi CC untuk menentukan besarnyakehilangan tinggi energi pada penyempitan tiba-tiba.

D1 / D2 4,00 3,50 3,00 2,50 2,00 1,50 1,10 1,00

KC 0,45 0,43 0,42 0,40 0,37 0,28 0,01 0

2AA

C CC =

Tabel 3.3.Koefisien kehilangan tinggi energi akibat penyempitan tiba-tiba

Persamaan yang digunakan juga Persamaan (3.14.22) dengan mengambil harga

sehingga Persamaan (3.14.22) berubah menjadi :


atau : (3.14.25)gu

CH

CL 2

11 22

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=Δ

A2/A1 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

CC 0,624 0,632 0,643 0,659 0,681 0,712 0,755 0,813 0,892 1,000

dimana harga CC dapat ditentukan dari harga-harga didalam tabel 3.4 berikut ini :

Tabel 3.4.Harga-harga koefisien kontraksi CC

gu

ACA

HCC

CL 2

12

2

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=Δ


PERUBAHAN ALIRAN DARI TANDON KE SUATU PIPA

Suatu hal khusus dari kehilangan tinggi energi akibat

penyempitan tiba-tiba adalah kehilangan tinggi energi

pada masuknya aliran dari suatu tandon (reservoir) ke

dalam suatu pipa yang dikenal dengan “entry loss”

(lihat Gambar 3.27). Karena luas basah dari penampang

melintang tandon jauh lebih besar daripada luas

penampang pipa maka perbandingannya D2 / D1 ≈ 0

atau A2 / A1 ≈ 0.


2

1

2DQ

Vena kontratta

Gambar 3.26.Perubahan aliran dari suatu tandon ke suatu pipa

Besarnya kehilangan tinggi energi ditentukan dengan menggunakan Persamaan (3.14.26), yaitu :

guKH CL 2

22=Δ

(3.14.26)

dimana harga KC tergantung pada bentuk hubungan antara tandon dan pipa (bentuk inlet ke pipa) yang ditunjukkan pada Gambar 3.27 berikut ini :


D

D

D

D

α

50,040,0 −=CK

18,06030:

30,010,000

=<<

−=

C

C

Kuntuk

K

θ

αα 2cos2,0cos3,050,0 ++=CK

0,18,0 −=CK

(a) (b)

(c)

(d)

(e)

dR /CK

05,025,0

1,017,0

2,008,0

3,005,0

4,004,0

Tandon

Tandon

Tandon

Tandon

Tandon

2/D

θ

R

Gambar 3.27.Bentuk pemasukan ke dalam pipa dan koefisien kehilangan tinggi energi


PENYEMPITAN LAMBAT LAUN (CONFUSOR)

Seperti halnya perlebaran, aliran yang menyempit jugadapat terjadi secara lambat laun seperti tampak padaGambar 3.28 berikut ini :

θ 2D1D 1U2U

Gambar 3.28.Aliran pada penyempitan lambat laun

Besarnya kehilangan tinggi energi pada penyempitanlambat laun dapat ditentukan dengan menggunakanPersamaan (3.14.27), yaitu :

(3.14.27)( )

guuKH L 2

22

21 −

=Δ


dimana K dapat diambil dari harga-harga di dalam tabel3.5 berikut ini :

Tabel 3.5.Koefisien kehilangan tinggi energi K untuk penyempitan lambat laun

θ o 6 10 20 40 60 80 100 120 140

K untuk D1 = 3 D2 0,12 0,16 0,39 0,80 1,00 1,06 1,04 1,04 1,04

K untuk D1 = 1,5 D2 0,12 0,16 0,39 0,96 1,22 1,16 1,10 1,06 1,04


BELOKAN DAN SAMBUNGAN PADA BELOKAN

Apabila aliran membelok pada suatu lintasan arus yang melingkar, akan terdapat gaya-gaya yang bekerja di arah radial ke dalam yang menyebabkan percepatan ke dalam. Dengan demikian akan terdapat peningkatan tekanan didekat dinding belokan luar mulai dari titik A dan naiksampai harga maksimum di titik B (lihat Gambar 3.29)

A

B

CD

(a)

Gambar 3.29.Aliran di dalam belokan


Bersamaan dengan itu terjadi pula pengurangan tekanan

di dekat dinding belokan dalam dengan tekanan maximum

pada C dan diukur suatu kenaikan dari C sampai D. Oleh

karena itu cairan akan mengalami suatu gradien tekanan

terbalik yang menyebabkan pemisahan aliran dari dinding

dan akibatnya terjadi kehilangan energi. Disamping itu,

kehilangan energi juga diakibatkan oleh aliran sekunder

(secondary flow) yang terjadi pada belokan. Untuk

keperluan praktis kehilangan energi tinggi energi pada

aliran di dalam belokan dapat ditentukan dengan

menggunakan Persamaan (3.14.28), yaitu :(3.14.28)

guKH bL 2

2

=

dimana harga K dapat diambil dari harga-harga di dalamtabel 3.6 berikut ini :


Tabel 3.6.Harga koefisien kehilangan tinggi energi pada belokan

Pembuatan belokan tidak tajam seperti tampak pada Gambar b di Pembuatan belokan tidak tajam seperti tampak pada Gambar b di dalam Tabel 3.6 biasanya dilakukan dengan sambungan. dalam Tabel 3.6 biasanya dilakukan dengan sambungan. HargaHarga Kb Kb tersebuttersebut telahtelah mempertimbangkanmempertimbangkan adanyaadanya sambungansambungan tersebuttersebut. .

R/D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Kb 0,30 0,16 0,12 0,11 0,09 0,09 0,08 0,08 0,08

α 50 100 150 300 450 600 900

Kb 0,02 0,04 0,05 0,15 0,28 0,55 1,20α

(a)Belokan

tajam

α

D

(b)

R

Bentuk belokan Harga koefisien kehilangan tinggi energi

Documents

Mekanika Fluida Dan Hidrolika 2