Memoria de la Tesis

Universidad de Buenos AiresFacultad de Ingeniería

Laboratorio de Sistemas Embebidos

Tesis de Grado de Ingeniería Electrónica

Diseño e Implementación de un

Controlador para la Orientación de un

QuadRotor

Autor: Daniel Martín SchermukDirector: Dr. Ing. Ariel Lutenberg

Diciembre, 2012

A mi familia,a MMM,y a mis amigos.

Resumen del Presente Trabajo

En este trabajo se presenta el desarrollo y validación experimental de un con-trol para la orientación de un quadrotor. Primeramente se presenta un modelomatemático que describe la dinámica de la aeronave, considerando los aspectosconstructivos y la dinámica de los actuadores. Para esto, se evalúa el uso dediferentes herramientas matemáticas para la descripción de la orientación de laaeronave, comparando sus ventajas y desventajas ante diversas situaciones deoperación. Luego se prosigue por la identificación de los parámetros del quadro-tor, realizando los ensayos correspondientes en diferentes bancos de prueba yanalizando los resultados obtenidos. A continuación se procede a la síntesis delos controladores a utilizar, optando por sintetizar un control PID y un controlLQR. Como parte de la estrategia de control, se proponen dos formas de estabi-lización de la aeronave, siendo una de ellas la rotación de trayectoria mínima yla otra proponiendo una estabilización con trayectoria libre. A continuación sesimula el sistema en Matlab, se analizan los resultados y se obtienen conclusio-nes acerca del funcionamiento esperado en la implementación en el sistema real.Como paso final, se presentan y analizan los resultados obtenidos a partir deensayos realizados sobre un quadrotor en un banco de pruebas. De este modo,en este trabajo se obtienen resultados interesantes respecto a: (a) el impactode utilizar diferentes herramientas matemáticas para describir la orientación dela aeronave, (b) la implementación de diferentes técnicas de control y (c) laestabilización mediante diferentes trayectorias.

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Agradecimientos

En primer lugar agradezco a todos mis compañeros del Laboratorio de Sis-temas Embebidos y, muy especialmente, a su director y mi tutor de tesis, el Dr.Ing. Ariel Lutenberg, por su gran apoyo y optimismo. Agradezco a cada uno delos miembros por hacer del lugar de trabajo un ambiente cálido y relajado.

Agradezco a los profesores que fueron parte de mi formación académica,esforzándose por transmitir sus conocimientos y experiencia con responsabilidad.Entre ellos quiero mencionar a quienes dejaron una mayor marca en mí: el Dr.Ing. Aníbal Zanini, el Ing. Carlos Belautegui Goitia, el Dr. Ing. Juan IgnacioGiribet, el Ing. Daniel Casaglia, el Ing. Juan Carlos Fernandez, el Dr. SebatiánGrynberg, el Dr. Ing. Guillermo Santiago, y otros que pueden escapar de mirecuerdo en este momento.

Durante el transcurso de la carrera he conocido muchas personas con lascuales hemos entablado una relación amistosa. Quiero mencionar muy especial-mente a quienes fueron mi gran ayuda durante todo este camino, personas quefueron indispensables para poder afrontar cada uno de los desafíos que proponela carrera. Quiero agradecer a mis compañeros de estudio y amigos: EzequielEspósito, Federico Roasio, Federico von Bergen, Fernando Gama, Juan MartínBalan, Alan Kharsansky y Matías Stahl. Cada uno de ellos dieron un poco desí para ayudarme con mi estudio y formación, todo ese esfuerzo quedará porsiempre en mí.

Agradezco a mis más grandes amigos, pilares esenciales de mi vida, conquienes compartimos desde hace muchos años horas de estudio y de diversión,Gabriel Harari, Daniel Hammerschlag, Daniel Wolff, Daniel Jeifetz, MenajemKaprow, Dror Hertzl, Jonathan Micha, Darío Satalovsky, Eliel Micha, AlanTerk, Jonathan Müller.

Quiero agradecer a mi máximo mentor, ejemplo de perfeccionamiento per-sonal y dedicación al trabajo, el R. Daniel Oppenheimer. Quiero expresar miadmiración y mis sentimientos de cariño hacia él y su familia.

Agradezco especialmente a mi familia, quienes me brindaron amor y apo-yo incondicional en cada uno de los emprendimientos personales que encausé.Agradezco el esfuerzo y la dedicación de cada uno. A mis hermanos por el grancompañerismo y cariño que existe entre nosotros, son mi más cercanos amigosy confidentes. A mis abuelos por el constante apoyo y muestras de amor. A mimadre, quien con su gran dedicación y esfuerzo procuró brindarme todo lo quenecesitara en cada etapa de mi vida, tanto en afecto y amor como en el aspec-to material. A Sergio, ejemplo diario de rectitud, honradez y valores. No haypalabras para describir la dedicación con la cual me crió y se preocupó por micompleto bienestar. A mi padre, quien siempre confió en mí y procuró ayudarmeen todos mis emprendimientos.

Quiero agradecer a la familia Goldberg, con quienes hemos compartido unsinfín de momentos hermosos. Quiero agradecer su gran apoyo y cariño, losquiero como una segunda familia.

Finalmente quiero agradecer a Dios, por haberme pertmitido llegar a estemomento rodeado de la gente a quien amo.

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Índice general

1. Introducción 1

1.1. Qué es un Quadrotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Desplazamiento y Orientación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3. Estructura del quadrotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.1. Armazón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3.2. Rotores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3.3. Controladores de Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.4. Electronica de a bordo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.5. Batería . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4. Desarrollos Previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2. Modelado del Quadrotor 13

2.1. Consideraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2. Sistemas de Referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3. Dinámica del cuerpo del quadrotor . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4. Actuadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4.1. Descripción de los actuadores . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4.2. Modelo Simplificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.5. Fuerzas y Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.5.1. Fuerzas de Sustentación, Translación y Torques . . . . . . 192.5.2. Efectos Giroscópicos en los Rotores . . . . . . . . . . . . . 202.5.3. Fuerza de Sustentación - Lift . . . . . . . . . . . . . . . . 212.5.4. Fuerza de Gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.5.5. Fuerzas Aerodinámicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.6. Modelo Completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.7. Representación de la Orientación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.7.1. Orden de Rotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.7.2. Ángulos de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.7.3. Quaterniones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.7.4. Comparación de las representaciones . . . . . . . . . . . . 26

2.8. Trayectoria de Estabilización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.8.1. “Eigenaxis” - Rotación de Trayectoria Mínima . . . . . . 272.8.2. Corrección de Ángulos de Euler - Trayectoria Libre . . . . 28

2.9. Estrategia de Accionamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.10. Desacoplamiento de los ejes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

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vi ÍNDICE GENERAL

3. Identificación del los Parámetros del Quadrotor 31

3.1. Identificación de los Parámetros del Cuerpo Rígido . . . . . . . . 333.1.1. Validación del Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.1.1.1. Péndulo Bifilar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.1.1.2. Medición del Momento de Inercia del Quadrotor 36

3.2. Actuadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.2.1. Velocidad Angular ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.2.2. Empuje - Thrust - T y Punto de Trabajo ω0 . . . . . . . 403.2.3. Momento de Arrastre - drag - δ . . . . . . . . . . . . . . . 413.2.4. Respuesta al Escalón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.2.5. Validación del Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4. Diseño del Controlador 49

4.1. Estructura de Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.1.1. Categorización de los Sistemas de Control de Vuelo . . . . 514.1.2. Estructura de control del quadrotor . . . . . . . . . . . . 52

4.2. Control PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.3. Control LQR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.3.1. Desarrollo del Controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.3.2. Compensación Giroscópica . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.3.3. Compensación del Empuje . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.3.4. Controlador Completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.4. Análisis de Robustez de los Controladores . . . . . . . . . . . . . 584.4.1. Márgenes de Ganancia y Fase . . . . . . . . . . . . . . . . 584.4.2. Función de Sensibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5. Simulaciones 63

5.1. Bloques en Simulink . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.1.1. Dinámica del quadrotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.1.2. Dinámica de los actuadores . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.1.3. Operaciones algebraicas en quaterniones . . . . . . . . . . 665.1.4. Bloque de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.1.5. Diagrama Completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.2. Resultado de las Simulaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.2.1. Orientación: Ángulos de Euler y Quaterniones . . . . . . 695.2.2. Ajuste de los controladores . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.2.3. Control PID: Trayectoria libre y Eigenaxis . . . . . . . . 735.2.4. Eigenaxis: Control PID y LQR . . . . . . . . . . . . . . . 77

6. Implementación y Resultados 89

6.1. Descripción del banco de mediciones . . . . . . . . . . . . . . . . 916.2. Diseño del Firmware . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

6.2.1. Descripción general del Firmware . . . . . . . . . . . . . . 926.2.2. Definición de las operaciones numéricas . . . . . . . . . . 936.2.3. Operaciones con Quaterniones . . . . . . . . . . . . . . . 94

6.3. Control PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946.3.1. Implementación y Resultados en el sistema real . . . . . . 946.3.2. Perturbación en el modelo del QuadRotor . . . . . . . . . 966.3.3. Tiempo ocioso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.4. Control LQR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

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ÍNDICE GENERAL vii

6.4.1. Implementación y Resultados en el sistema real . . . . . . 976.4.2. Perturbación en el modelo del QuadRotor . . . . . . . . . 986.4.3. Tiempo ocioso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

7. Conclusiones 101

7.1. Conclusión General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1037.2. Trabajos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

A. Control Proporcional al Error del Eigenaxis 105

Bibliografía 109

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viii ÍNDICE GENERAL

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Capítulo 1

Introducción

En la presente sección se describen las características principales de los qua-drotores, se mencionan sus campos de aplicación, sus ventajas frente a otrosvehículos y su principio de funcionamiento. A su vez, se decribe la estructuradel quadrotor utilizado en el presente trabajo, detallando los componentes uti-lizados. Por último se mencionan desarrollos previos y centros de investigaciónespecializados en este tipo de plataforma.

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CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 3

1.1. Qué es un Quadrotor

El Quadrotor (o Cuadricóptero) es un vehículo aereo cuya fuente de susten-tación y propulsión son cuatro rotores ubicados en un mismo plano espacial.La disposición de los rotores es en forma simétrica y equidistante del centrodel vehículo, teniendo generalmente una forma de cruz, como se observa en laFigura 1.1.1.

Figura 1.1.1: Ejemplo de un quadrotor

Durante los últimos años se ha incrementado en forma sustancial el interés enlos vehículos completamente autónomos, denominados UAV (Unmanned AerialVehicles) o no-tripulados[1, 2], como es el quadrotor.

El campo de aplicación de este tipo de vehículos es muy grande, abarcan-do desde el ámbito militar hasta el uso civil, servicios de búsqueda y rescate,agricultura, agrimensura, filmaciones aéreas, inspección de terrenos, entre otras[3].

El desarrollo de los vehículos aéreos de tamaños reducidos se vio histórica-mente limitado debido a la dificultad de la miniaturización de sus componentes,como ser los motores, baterías, microcontroladores, sensores, etc. pero debidoal reciente avance tecnológico en cuanto a los dispositivos y actuadores de ta-maño reducido (MEMS - Micro Electromechanical Systems) y al desarrollo detecnologías de almacenamiento y optimización de energía, ha aumentado sus-tancialmente la popularidad de este tipo de aeronaves [1].

Existen ciertas aplicaciones que requieren de la capacidad de realizar manio-bras de despegue vertical (VTOL - Vertical Take-Off and Landing). Una de lasaeronaves más populares en este sentido es el quadrotor. En comparación conlos aviones, este tipo de aeronave es múcho más ágil para maniobrar, pero sudinámica es más compleja e inestable, y consigue un vuelo estacionario establea través del balance de las fuerzas ejercidas por sus motores y hélices.

En cuanto a las ventajas de los quadrotores frente a un helicóptero conven-cional, se pueden mencionar:

Mayor maniobrabilidad.

Mayor sencillez mecánica, proporcionando el control de movimiento a tra-vés de la variación de las velocidades de los rotores. Esto evita el llamadoplato de control de los helicópteros convencionales, el cual posee una me-cánica compleja y tiene como objetivo variar el ángulo de ataque de lahélice del rotor (pitch).

Mayor capacidad de carga, dado que se suman los empujes de cuatrorotores.

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4 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

Como puntos desfavorables, este tipo de vehículos presenta un peso y consumomayores que las otras aeronaves, dada la cantidad de rotores.

Dada la gran complejidad de la dinámica inherente a este tipo de aeronaves,las cuales suelen ser subactuadas, multivariables y presentan alinealidades, eldesarrollo de sistemas de control para las mismas no es trivial. Este tipo dedinámica la que exige la utilización de técnicas avanzadas de control y modela-do, con el fin de aumentar la fiabilidad del sistema, y para obtener resultadosadecuados deben tenerse en cuenta las alinealidades propias de la aeronave.

Como punto indispensable para la tarea de control del quadrotor, es estric-tamente necesario conocer su orientación, posición y velocidad. Para contar condicha información se disponen de dos implementaciones ampliamente utilizadas.La primera es la navegación inercial, que se basa en la medición de aceleracionesy velocidades de angulares en el vehículo. Generalmente se utilizan giróscopos yacelerómetros, los cuales pueden ser complementados con magnetómetros, baró-metros, GPS, etc. a fin de evitar derivas temporales en las mediciones [4]. Estetipo de navegación otorga una libertad casi total a la aeronave, siendo que norequiere de elementos externos para su funcionamiento. La segunda variante,también ampliamente utilizada, es el seguimiento visual, que se basa en colocarcámaras que realicen un seguimiento de la aeronave, estableciendo su posición yorientación. Este tipo de seguimiento suele ser más preciso en cuanto a la derivatemporal, pero limita las posibiildades de utilización de la aeronave, restringien-do su uso a ambientes controlados y con rango visual. En este trabajo se utilizaun sistema de navegación inercial, que incorpora acelerómetros, giróscopos ymagnetómetros.

Considerando que uno de los puntos de mayor interés en los UAVs es supequeño tamaño, es deseable que los mismos puedan ser guiados en espaciosreducidos, realizando maniobras repentinas, las cuales demandan un alto gradode agilidad a la aeronave. Este tipo de maniobras demanda al controlador unagran capacidad de estabilización, dado que ante la menor pérdida de control, elUAV puede resultar dañado o destruido. Para lograr este nivel de control sonnecesarios dos requerimientos básicos: una buena estimación de la orientacióny un contorlador adecuado. En el caso de las aeronaves que estiman su orien-tación mediante una plataforma de sensores inerciales y mediante algoritmostrigonométricos, que son frecuentemente aproximados por sus descomposicioneslineales, se introduce un error en la estimación. En este trabajo se propone unaestimación a partir de vectores de rotación, los cuales poseen un error muchomenor, permitiendo una mejor estimación de la orientación. Para la validaciónde este concepto se implementará un controlador y se realizarán ensayos perti-nentes.

1.2. Desplazamiento y Orientación

El quadrotor tiene seis grados de libertad, ya que es una aeronave sin res-tricciones en ninguno de sus ejes. Estos grados de libertad corresponden a lostres ejes de desplazamiento que conforman un espacio tridimensional y las res-pectivas rotaciones alrededor de los mismos. Como se demostrará en la sección2.5.1, el quadrotor sólo puede ser accionado en cuatro de sus grados de libertadsimultáneamente, lo cual establece una restricción en cuanto a la posibilidadde controlar todas sus variables de estado en forma concurrente. Como conse-

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cuencia de esta limitación, no se podrá controlar el desplazamiento en el planohorizontal sin modificar la inclinación de la nave.

(a) Perspectiva superior

(b) Perspectiva lateral (c) Perspectiva lateral inclinada

Figura 1.2.1: Perspectivas del quadrotor

Usualmente los rotores del quadrotor tienen igual sentido de rotación sobrecada eje y contrario entre ejes, como se puede observar en la Figura (1.2.1a). Estohace que el momento lineal aportado por la rotación de las hélices se compense,evitando una rotación constante e indeseada sobre su centro de masa.

En la figura (1.2.1b) se muestra la perspectiva horizontal del quadrotor,junto con un diagrama de fuerzas de empuje de los rotores, las cuales se su-man aportando la fuerza total de empuje T , denominada Throttle. En el casoque la aeronave se encuentre perfectamente nivelada, este empuje será pura-mente vertical, lo que no aportará fuerzas laterales que modifiquen la posicióndel quadrotor. Encontrándose en esta orientación, la nave no podrá desplazarsehorizontalmente. Para lograr un desplazamiento horizontal, la aeronave deberáinclinarse con respecto al plano de la tierra, con el fin de introducir una compo-nente de propulsión horizontal, la cual será la proyección del vector ortogonalal plano del quadrotor en el plano de tierra.

Considerando lo antedicho, es evidente la estrecha relación que existe entre lacorrecta orientación de la aeronave y el desplazamiento de la misma. Si existieseun error en la orientación, podrían ocurrir desplazamientos indeseados en direc-ciones erróneas. Es decir, se deduce que siempre que la aeronave no tenga unaorientación puramente vertical, ésta se estará acelerando en alguna dirección,por lo cual es de vital importancia poder minimizar el error en la orientación

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vertical.Como punto adicional, si se considera la necesidad de un control de traslación

para la aeronave, la efectividad de dicho controlador dependerá directamente dela bondad del controlador de orientación. Es decir que el control de orientaciónserá el más básico o de más bajo nivel en la aeronave.

1.3. Estructura del quadrotor

El quadrotor utilizado en los ensayos experimentales de este trabajo fuearmado con componentes disponibles en el mercado del aeromodelismo. Se pro-curó utilizar componentes de bajo costo, para que la plataforma resulte lo másecoómico posible. A continuación se detallan los componentes utilizados.

1.3.1. Armazón

Para la estructura del quadrotor, se utilizó el armazón comercial X525, elcual se ilustra en la Figura 1.3.1. El mismo está compuesto por varillas desección rectangular de aluminio y piezas de fibra de carbono. Esta combinaciónde materiales hace que su peso sea relativamente ligero y su estructura sea rígida.

Figura 1.3.1: Armazón del quadrotor (X525)

Además, los brazos del quadrotor cuentan con un sistema de amortiguaciónen sus extremos, que evitan posibles daños ante eventuales caídas desde alturasmoderadas. Por último cabe mencionar que los brazos del armazón poseen colo-res que permiten identificar visualmente la orientación del mismo, permitientoun pilotaje manual sencillo.

1.3.2. Rotores

Los rotores de la aeronave se componen de un motor y una hélice, cada uno.El quadrotor cuenta con cuatro motores BLDCM (BrushLess DC Motor), loscuales son los encargados de convertir la fuerza eléctrica, provista por la batería,en la fuerza mecánica requerida para accionar la aeronave, regulando su veloci-dad a través de los comandos enviados a los ESC. Este tipo de motores presenta

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una gran cantidad de ventajas respecto los motores a escobillas o BDCM, lasprincipales son: mayor vida útil, mejor relación de torque por unidad de peso,mayor potencia por unidad de volúmen, menor emisión electromagnética y me-nor ruido de operación [5, 6, 7], lo que los vuelve convenientes para este tipode aplicaciones. Los motores BLDCM son operados mediante onduladores detensión, denominados ESC (Electronic Speed Controller), los cuales son alimen-tados por la batería y reciben una señal de control para el ajuste de la velocidadangular del motor, normalmente PWM. En particular, se utilizó un conjuntode motores XXD 2212, los cuales, según el fabricante, pueden ser combinadoscon hélices de tamaño 10×4,5”. Las hélices utilizadas son de una combinaciónde Nylon y Carbono, lo cual contribuye a un bajo peso, una gran rigidez y unabuena tolerancia a golpes [8]. En la Figura 1.3.2 se muestran los componentesutilizados.

(a) Motor brushless XXD 2212 (b) Hélices Gafman de Nylon-Carbono

de 10x4,5”

Figura 1.3.2: Conjunto Motor-Hélices

1.3.3. Controladores de Velocidad

Para el accionamiento de los motores se utilizaron controladores electrónicosde velocidad, conocidos como ESC por sus siglas en inglés (Electronic SpeedController). Estos funcionan como onduladores de corriente, accionando los di-ferentes bobinados del motor y controlando así su velocidad. Los ESC recibenuna señal de referencia, cuyas características dependen de cada modelo en par-ticular, a partir de la cual establecen la velocidad de rotación del motor. Paralograr un correcto accionamiento del motor, los controladores miden la fuerzacontraelectromotriz (Back-EMF ) generada en el motor y excitan las bobinascorrespondientes. Los ESC se dimensionan por la intensidad de corriente queson capaces de proveer al motor. En particular, para los motores utilizados eneste trabajo, el fabricante recomienda utilizar controladores de 20A. Los ESCutilizados son los HobbyWing SkyWalker de 20A [9], los cuales requieren de unaseñal de control con modulación PWM. En la Figura 1.3.3 se muestra una fotodel controlador de velocidad. Se observan los dos cables de entrada de alimen-tación y el de control a la izquierda y los tres cables de salida trifásica a laderecha.

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Figura 1.3.3: ESC HobbyWing SkyWalker 20A

1.3.4. Electronica de a bordo

Para el procesamiento de los datos proporcionados por los sensores y elcómputo de las acciones de control a realizar, se instaló en la aeronave una placaCrius SE [10]. La misma cuenta con los sensores necesarios para la estimaciónde la orientación del quadrotor y un procesador para computar las acciones decontrol. Los sensores disponibles en la placa son: 3 acelerómetros, 3 giróscopos,3 magnetómetros y un barómetro. El procesador instalado en la placa es unATMega328P, compatible con Arduino. La placa cuenta con una conexión depuerto serie UART disponible para la telemetría y la comunicación, además desalidas PWM para el control de los ESC. En la Figura 1.3.4 se muestra una fotode la placa utilizada.

Figura 1.3.4: Placa Crius MultiWii SE

1.3.5. Batería

Para la alimentación de la aeronave se utilizó una batería de Litio-PolímeroTurnigy 3S 2200mAh 25C. La misma proporciona una tensión de 11,1V y escapaz de entregar una intensidad de corriente máxima de 55A. Este tipo de ba-

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terías tienen una relación peso/volúmen/potencia que es muy conveniente paralas aplicaciones de aeromodelismo [11]. Se estima que esta batería proporcionauna autonomía de aproximadamente 10 minutos de vuelo. En la Figura 1.3.5 semuestra una foto de la batería utilizada.

Figura 1.3.5: Batería Turnigy 3S 2200mAh 25C

1.4. Desarrollos Previos

Como se mencionó en la sección 1.1, los quadrotores han ganado una granpopularidad en los últimos años, siendo un objeto de estudio atractivo paralos investigadores en el área del control automático. Esta popularidad generóque varias universidades de todo el mundo crearan laboratorios específicamentedestinados para la investigación en torno a este tipo de plataformas. Aquí semencionarán algunos de los desarrollos existentes.

Hacia el año 2004 Bouabdallah [12], del Swiss Federal Institute of Techno-logy, presentó trabajos sobre el control de quadrotores de tamaño reducido, par-ticularmente uno denominado OS4, ilustrado en la Figura 1.4.1. Posteriormente,junto un grupo de colaboradores, desarrolló técnicas de simulación aplicadas aeste tipo de aeronaves, utilizando Matlab y Simulink [13].

Figura 1.4.1: quadrotor “OS4”

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Contemporaneamente al desarrollo de Bouabdallah, la Australian NationalUniversity desarrolló el “X-4 FlyerMark II”, ilustrado en la Figura 1.4.2, unquadrotor de aproximadamente 4kg, con hélices de pitch variable, efecto incluí-do en su modelo matemático. Esa aeronave fue utilizada para desarrollos decontroladores MIMO y SISO y experimentar con técnicas de control robusto.

Figura 1.4.2: quadrotor X-4 FlyerMark II

Ya hacia el 2006 Mokhtari publicó un trabajo sobre control robusto en qua-drotores [14], el cual aborda temas como la no linealidad del modelo del qua-drotor, la saturación de los actuadores, perturbaciones y ruidos de medición.Además, para esa época, ya se investigaba en el control por inspección visual,con trabajos como [15], donde se utilizaba una única cámara para la estimaciónde la posición, orientación y velocidades de la aeronave. En ese trabajo se con-cluye que dicho sistema de control es útil para vuelos en hovering, es decir, envuelo estacionario.

Para ampliar el campo de investigación, Hoffmann [16] notó que los trabajosse centraban en condiciones de operación cercanas al punto de hovering, por locual se dedicó al estudio de efectos secundarios en situaciones lejanas a dichopunto, como las variaciones de empuje ante un ángulo de ataque extremo y elefecto de la flexión de las aspas. Este tipo de estudios permitió un avance en laextensión de controladores para casos de maniobras de mayor agresividad.

Dentro del estudio de los quadrotores, se pueden mencionar las universida-des de Stanford [17], MIT [18] y Pennsylvania [19], las cuales han dedicado unagran cantidad de recursos en la formación de laboratorios y especializacionesen técnicas de control para vehículos no tripulados. Sus trabajos se basan ma-yormente el control visual, utilizando un arreglo de cámaras para establecer laposición, orientación y velocidades de la aeronave.

Resumen Final del Capítulo

En el presente capítulo se presentó el quadrotor. En la sección 1.1 se descri-bió la estructura del quadrotor, enumerando sus principales diferencias con otro

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tipo de aeronaves, y mencionando algunas de los campos de aplicación de laaeronave. En la sección 1.2 se desarrolló el principio de desplazamiento del qua-drotor, desarrollando la dependencia de dicho desplazamiento con la orientaciónde la aeronave. En la sección 1.3 se describen los componentes del quadrotorutilizado en los ensayos experimentales de este trabajo, describiendo el arma-zón, los actuadores y la electrónica de abordo. Finalmente en la sección 1.4 sedescriben brevemente algunos de los desarrollos previos relacionados con estetipo de aeronaves.

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Capítulo 2

Modelado del Quadrotor

En el presente capítulo se introduce el desarrollo del modelo matemático delquadrotor. Se presentan los sistemas de referencia que serán utilizados a lo largodel capítulo y luego se procede al análisis de las fuerzas y momentos actuantessobre la aeronave, derivando en las ecuaciones que describen el comportamientode la misma. Luego se procede al análisis de los actuadores presentes en laaeronave, analizando los grados de libertad de acción disponibles. Finalmentese describen las posibles representaciones matemáticas de la orientación de laaeronave y se realiza un breve análisis y una comparación de las mismas.

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CAPÍTULO 2. MODELADO DEL QUADROTOR 15

2.1. Consideraciones

Para obtener un modelo matemático de la aeronave, se considerarán lassiguientes hipótesis [2]:

El cuerpo del quadrotor es completamente rígido.

La estructura del quadrotor es perfectamente simétrica.

El centro de masa y el sistema de referencia intrínseco del quadrotor coin-ciden espacialmente.

Las hélices son completamente rígidas.

El empuje y el arrastre son proporcionales a la raíz cuadrada de la velo-cidad del rotor [6].

2.2. Sistemas de Referencia

Para el modelado del quadrotor se definirán dos sistemas de referencia. Estoes necesario debido a que los sensores ubicados en la aeronave registran fuerzasrelativas a su orientación, lo cual refiere a un sistema de referencia solidario ala aeronave. A este sistema se lo denominará OB y tendrá sus ejes x e y enla dirección de los brazos del quadrotor, con su origen en el centro de masadel mismo y formando una terna derecha con el eje vertical z, el cual tendrádirección hacia abajo, como se ilustra en la Figura 2.2.1a. Dado que este sistemade referencia se moverá en conjunto con la aeronave, se debe tomar en cuenta queel mismo puede resultar no inercial, lo cual debe ser considerado en el modeladodel vehículo.

La necesidad de un segundo sistema de referencia se debe a que la fuerza degravedad tiene una dirección y sentido que no son dependientes de la posiciónni de la orientación del quadrotor, sino que tiene una dirección radial respec-to al centro de la Tierra. Esta dirección constante hace que dicha fuerza seafácilmente modelizada en un sistema de referencia NED (North-East-Down).Para el desarrollo del modelo, se adopta un sistema de referencia denominadoONED, solidario al centro de masa de la aeronave pero con orientación fija enlas direcciones cardinales especificadas. Estos sistemas se ilustran en la Figura2.2.1.

(a) Sistema de referencia OB(b) Sistema de referencia ONED

Figura 2.2.1: Sistemas de referencia

Considerando que la relación entre los sistemas de referencia propuestos OB

y ONED es una rotación, se puede vincular ambos sistemas mediante la siguiente

15

16 CAPÍTULO 2. MODELADO DEL QUADROTOR

ecuaciónOB

= RBNEDONED (2.2.1)

donde RBNED es una matriz de rotación, que será desarrollada en la sección 2.7.2.

2.3. Dinámica del cuerpo del quadrotor

Para el modelado de la dinámica de cuerpo rígido del cuadrotor, se utilizaráel sistema de referencia OB , con sus ejes ortogonales x, y y z. A partir de estesistema de referencia se definirán el vector de velocidades V = [u v w]T y elvector de rotaciones Ω = [p q r]T , siguiendo la nomenclatura propuesta en [20].En la Figura 2.3.1 se ilustra lo antedicho.

Figura 2.3.1: Sistema de referencia para el modelo del quadrotor

Para cualquier sistema de referencia inercial se deberá cumplir la ecuaciónde torque:

M dL

dt=

d

dt

I · Ω

(2.3.1)

Siendo I el tensor de inercia del cuerpo en cuestión:

I =

Ixx Ixy IxzIyx Iyy IyzIzx Izy Izz

(2.3.2)

donde se tomará la simplificación Iij = 0 ∀i = j, la cual es válida para cuerposcon distribución de masa simétrica. Esto conlleva a la matriz

I =

Ix 0 0

0 Iy 0

0 0 Iz

(2.3.3)

Para representar el momento en el sistema de referencia asociado al cuerpodel quadrotor, debemos tener en cuenta el efecto Coriolis, el cual introduce unsegundo término a ser añadido en la ecuación (2.3.1). Considerando el vector de

16


momento angular L = [Ixp Iyq Izr] resulta [20, 21]:

M dL

dt

cuerpo

+ Ω× L ⇐⇒ M = I · Ω+ Ω×I · Ω

(2.3.4)

Desarrollando el producto vectorial se obtiene:

Mx = Ixp+ (Iz − Iy) qrMy = Iy q + (Ix − Iz) rpMz = Iz r + (Iy − Ix) pq

(2.3.5)

que son las denominadas “ecuaciones de momento”. Estas ecuaciones implicanque la rotación en torno a dos ejes generará un torque en el tercero.

Utilizando un razonamiento análogo al anterior, se pueden deducir las ecua-ciones de traslación del quadrotor [20, 22]. Aplicando la segunda ley de Newtonpara un sistema de referencia inercial:

F =dP

dt=

d

dt

m · V

(2.3.6)

donde m es la masa total del quadrotor y P su momento lineal y refiriendo estaecuación al sistema de referencia solidario al cuerpo del vehículo y considerandolos efectos relacionados con su carácter no inercial se obtiene:

F =

dP

dt

cuerpo

+ Ω× P ⇐⇒ F = mV + Ω× V

(2.3.7)

Desarrollando el producto vectorial se obtiene:

Fx = m (u+ qw − vr)Fy = m (v + ru− wp)Fz = m (w + pv − uq)

(2.3.8)

De este modo se logra modelar la dinámica del cuerpo de la aeronave enun conjunto de ecuaciones, que permiten la descripción matemática del sistemafísico.

2.4. Actuadores

2.4.1. Descripción de los actuadores

Los motores BLDCM pueden ser, en general, modelados con el circuito co-rrespondiente a los motores a escobillas de corriente contínua, ilustrado en lafigura 2.4.1.

donde u es la tensión aplicada, Ra es la resistencia de armadura, La es lainductancia de armadura y Vb es la fuerza electromotriz. El valor de dicha fuerzadependerá de la velocidad angular del motor ωa y de los parámetros del motorkv, de la siguiente forma

Vb = ωa kv (2.4.1)

17


Figura 2.4.1: Circuito equivalente de un motor

Analizando el circuito y aplicando primero la ley de Kirchoff y luego latransformada de Laplace se obtiene [20]

ia(S) =u− kv ωa

La S +Ra(2.4.2)

lo cual indica que el motor se comporta como un sistema de primer órden.Esta dinámica, a pesar de ser correcta para el motor, no contempla los efectos

de carga y arrastre generados por la hélice. Estos efectos introducen una amor-tiguación extra en el sistema, aumentando el órden de la ecuación que describesu comportamiento [6, 3]. Sumado a este fenómeno físico, existen alinealidadespropias de los ESC, las cuales incluyen efectos diferentes en la aceleracion ydesaceleración del rotor. Esta suma de fenómenos dificulta la obtención de unmodelo matemático exacto del conjunto motor-hélice, por lo cual se optó porutilizar un modelo de primer orden, que es descripto en 2.4.2.

2.4.2. Modelo Simplificado

Para lo modelización de los actuadores, se deben tener en cuenta los dosefectos principales en las hélices: el efecto de arrastre o drag, el cual introduceun torque de sentido contrario al de la rotación, y el efecto de empuje, debidoal desplazamiento del aire en sentido descedente. Ambos efectos dependen de lavelocidad angular de los rotores, siendo

δj = f2(ωj) (2.4.3)

el efecto de arrastre, el cual depende en forma polinómica de la velocidad angularωj [6, 3], y

Tj = f1(ωj) (2.4.4)

la fuerza de empuje resultante del rotor indicado con el subíndice j = 1,2,3,4[21].

Para la obtención de un modelo linealizado de los actuadores, se debe es-tablecer el punto de linealización ω0. El criterio utilizado para establecer ω0 esconsiderar:

T = mg = 4 f1(ω0) (2.4.5)

es decir, que el empuje en dicho punto es igual a la fuerza de gravedad aplicadaen el cuerpo de la aeronave. En este punto, y suponiendo orientación totalmente

18


vertical, el quadrotor podría compensar todas las fuerzas actuantes y no deberíasufrír aceleraciones en ningún sentido. Este punto se lo denomina de hovering,tal como se explicó en 1.4. Alrededor de este punto, se pueden describir losfenómenos como incrementos, de la siguiente forma [20]

Tj = f1(ωj) ≡ nωj + f1(ω0)

δj = f2(ωj) ≡ mωj + f2(ω0)(2.4.6)

donde ωj refiere a las variaciones de la velocidad angular en torno al puntode operación.

En la sección 3.2.2 se determina el punto ω0 y se procede a la identificacióny linealización de la dinámica de los actuadores [7, 23].

2.5. Fuerzas y Momentos

En esta sección se incluirán todas las fuerzas y momentos derivados hastaaquí.

2.5.1. Fuerzas de Sustentación, Translación y Torques

Cuando los rotores de la aeronave giran, empujan el aire en una determinadadirección, en este caso −z. Este movimiento de aire produce lo que se denominaEmpuje o Thrust. Este flujo de aire, además, genera fricción sobre las aspas, loque produce un efecto conocido como Par de Arrastre o Drag Torque.

Al presentarse una diferencia en el empuje que proporcionan los rotoresubicados en un mismo eje, aparece un momento alrededor del mismo. Además,para el eje vertical z, aparece el arrastre debido a la fricción del aire con lasaspas, δj . Estos efectos conllevan a las ecuaciones

Mx = la (T4 − T2)

My = la (T1 − T3)

Mz = δ1 − δ2 + δ3 − δ4

(2.5.1)

donde la es el largo de los brazos de la aeronave, los subíndices x, y, z re-presentan el eje sobre el cual se ejerce el momento y los subíndices 1, 2, 3, 4identifican el rotor en cuestión, acorde a la Figura 2.3.1.

Considerando la dinámica de los actuadores como un sistema de primer ordenlinealizado, podemos asumir una dependencia lineal de las fuerzas de arrastreδj con respecto al torque Tj . Esto equivale a decir que nf2(ωj) = mf1(ωj). Deesta forma, podemos escribir la matriz que los relaciona de la siguiente forma

TMx

My

Mz

=

1 1 1 1

0 −la 0 la−la 0 la 0

c −c c −c

T1

T2

T3

T4

(2.5.2)

donde c =mn . La matriz resultante es invertible, lo que indica que la relación

entre los momentos de los rotores y las fuerzas aplicadas estarán determinadasunívocamente. Esta conclusión es importante debido a que refleja la cantidad deejes de libertad que se podrán controlar. En este caso la cantidad de entradases igual a la cantidad de grados de libertad en los cuales se puede accionar.

19


El quadrotor tiene 4 entradas, lo que resultará en 4 grados de libertad para laacción de control.

2.5.2. Efectos Giroscópicos en los Rotores

Dado el movimiento de los rotores, con su velocidad angular ωj , éstos in-troducen un factor giroscópico en el quadrotor. Este efecto puede introducir unmovimiento de yaw, lo que puede ser de utilidad para controlar la posición de laaeronave [2, 21]. Adicionalmente a este momento, el efecto giroscópico afecta alresto de los ejes, aunque de forma mucho menor. Analizando cómo afecta estefenómeno a la aeronave, se concluye genéricamente para cada rotor

Mj=

dLj

dt+Ω× Lj

= Ij · ωj+Ω×

Ij · ωj

(2.5.3)

donde las letras enfatizadas con negrita (bold) son matrices, e Ij representa elmomento giroscópico del quadrotor, dado por las partes giratorias del motor yhélices [20, 21]. Desarrollando el producto vectorial se obtiene

Mj=

Ijxω

jx

Ijy ωjy

Ijz ωjz

+

pqr

×

Ijxω

jx

Ijyωjy

Ijzωjz

=

Ijxω

jx + Ijzω

jzq − Ijyω

jyr

Ijy ωjy + Ijxω

jxr − Ijzω

jzp

Ijz ωjz + Ijyω

jyp− Ijxω

jxq

(2.5.4)

Considerando que el eje de rotación de los motores es paralelo al eje verticalz, todas las componentes correspondientes al resto de los ejes serán nulas, loque deriva en

M jx = Ijωjq

M jy = −IjωjpM j

z = Ijωj

(2.5.5)

Con el fin de considerar el efecto de todos los rotores y suponiendo la masagiroscópica de cada rotor idéntica, Ir, se suman todas las velocidades angulares,teniendo en cuenta su dirección.

LR = Ir

4

j=1

ωj = Ir (ω1 − ω2 + ω3 − ω4) (2.5.6)

Estas fuerzas tendrán su reacción en el cuerpo de la aeronave, las fuerzasresultantes serán inversas a (2.5.5), con lo cual el momento total estará dadopor

MRx = −IrωRq = −LRqMR

y = IrωRp = LRpMR

z = −IrωR = −LRr(2.5.7)

Este conjunto de ecuaciones otorga una descripción matemática del efectogiroscópico de los rotores sobre el cuerpo de la aeronave, y los torques resultan-tes.

20


2.5.3. Fuerza de Sustentación - LiftLa fuerza de sustentación está dada por los rotores y es la encargada de man-

tener a la aeronave suspendida en el aire. Dado que se ha tomado la referenciaen el cuerpo del quadrotor, esta fuerza estará siempre alineada al eje verticalz y tendrá componentes nulas en el resto de los ejes. Considerando la fuerzaejercida por cada rotor, se puede calcular la fuerza aplicada en el cuerpo de laaeronave como

Tz = −4

j=1

Tj = −T (2.5.8)

Finalmente, la fuerza experimentada en el quadrotor resulta

FT =

0

0

−T

(2.5.9)

2.5.4. Fuerza de Gravedad

Una de las fuerzas presentes en el cuerpo del quadrotor es la resultante delcampo gravitatorio de la Tierra. En el sistema de referencia ONED, dicha fuerzaes fácilmente descriptible como

FNEDg =

0

0

mg

(2.5.10)

aplicada en el centro de masa de la aeronave y donde g = 9, 81m/s2. Sin embargoesta fuerza debe ser descripta en el sistema de referencia OB . Para llevar a cabola descripción de esta fuerza, es necesario aplicar una rotación, la cual vinculaa ambos sistemas de referencia, como en (2.2.1). Esta matriz será utilizada envarias ocasiones y se desarrollará en 2.7. La transformación se puede escribircomo

FBg = RB

NED FNEDg (2.5.11)

donde RBNED es la matriz que será desarrollada en la sección 2.7.2.

2.5.5. Fuerzas Aerodinámicas

Cuando se mencionan las fuerzas aerodinámicas, se refiere a las fuerzas pre-sentes debido al rozamiento del aire con el cuerpo del quadrotor debido a sudesplazamieto o rotación. Asumiendo que la velocidad del aire propulsado porlas hélices es mucho mayor que la velocidad de desplazamiento de la aeronave,podemos despreciar el efecto aerodinámico en los rotores, siendo éste muchomenor que el empuje. Esto no es así en el caso del cuerpo del quadrotor, dondese deberá considerar la fricción con el aire. Dado que el efecto aerodinámicoes pequeño en relación al resto de las fuerzas aplicadas, se utilizará un modelolineal de primer orden, donde se considera la fricción como una fuerza contrariay proporcional a la velocidad de desplazamiento de la aeronave.

FBa = −diag(tad)V (2.5.12)

21


análogamente para los momentos debidos a la aerodinámica

MBa = −diag(rad)Ω (2.5.13)

2.6. Modelo Completo

Habiendo desarrollado las fuerzas y momentos actuantes en el quadrotor, esposible obtener el modelo del mismo a partir de introducir (2.5.7) y (2.5.1) en(2.3.5). Admitiendo la simetría de la aeronave, podemos asumir que Ix = Iy,con lo cual el producto p q será nulo. Luego de reagrupar los términos paradiferenciar los diferentes efectos se obtienen las ecuaciones de momentos de laaeronave [21, 20]

p =laIx

(T4 − T2) +gx(ω,Ω)

Ix− radp

Ixp

q =laIy

(T1 − T3) +gy(ω,Ω)

Iy− radq

Iyq

r =laIz

(δ1 − δ2 + δ3 − δ4)− radp

Izr

(2.6.1)

donde las funciones gx(ω,Ω) y gy(ω,Ω) representan los torques giroscópicos, defi-nidos como

gx(ω,Ω) = (Iy − Iz) q r − LRqgy(ω,Ω) = − (Ix − Iz) r p− LRp

(2.6.2)

Análogamente, combinando (2.5.8) y (2.5.11) en (2.3.8), se obtienen las ecua-ciones de fuerzas de la aeronave [21, 20]

u = −q w + v r +FB

gxmt

− tadumt

u

v = −r u+ w p+FB

gy

mt− tadv

mtv

w = −p v + q u− TmT

+FB

gzmt

− tadwmt

w

(2.6.3)

2.7. Representación de la Orientación

2.7.1. Orden de Rotación

Para describir la orientación de la aeronave en función del sistema de re-ferencias OB intrínseco a la misma, se puede descomponer la rotación sufridaen una sucesión de rotaciones alrededor de los ejes x, y y z [24]. Este tipo derepresentación se denomina de rotaciones intrínsecas. Para este tipode represen-tación, dado que el sistema de referencia sobre el cual se realizan las rotacionesse mueve solidariamente a la aeronave, es necesario establecer el orden de apli-cación de dichas rotaciones, dado que la orientación resultante dependerá delórden de aplicación de las rotaciones. Esta característica no conmutativa de lasrotaciones se ilustra en la Figura 2.7.1.

2.7.2. Ángulos de Euler

En el campo de la aeronáutica existen diversas formas de representar larotación de un cuerpo rígido en el espacio [25]. Una de las representacionesmás utilizadas son los Ángulos de Euler, φ, θ y ψ, los cuales son ingresados

22


Figura 2.7.1: Comparación de órden de aplicación de rotaciones

al controlador como señal proporcional al error [1, 3, 23, 26]. Estos ángulosrepresentan rotaciones sucesivas del cuerpo en cuestión, alrededor de los ejes derotación establecidos en el sistema de referencia OB .

La representación de los ángulos de Euler posee una singularidad cuando elángulo de pitch es θ = nπ

2 , con n ∈ Z. Este fenómeno surge debido al denomina-do gimbal lock, situación en la cual el ángulo de pitch toma un valor crítico queimposibilita diferenciar los angulos de roll y yaw [25]. Esta singularidad pue-de ser observada en la ecuación (2.7.6) donde hay elementos con denominadorcos(θ). Es importante resaltar que cualquier representación en ángulos de Eulertendrá este inconveniente, independientemente del órden de rotación elegido.Este inconveniente conlleva a malas estimaciones de la orientación de la aerona-ve, incluso llegándose a interpretar como un cambio de orientación instantáneode 180º.

Dada la no conmutatividad de las rotaciones, es necesario establecer un órdenpara las mismas con el fin de garantizar que el controlador las interprete en elórden correcto [1], como se ha desarrollado en 2.7.1.

Para obtener la matriz RBNED que se mencionó previamente en las secciones

2.2 y 2.5.4, se consideran las matrices de rotación alrededor de cada uno de losejes

RX(φ)BNED =

1 0 0

0 cosφ sinφ0 − sinφ cosφ

(2.7.1)

RY (θ)BNED =

cos θ 0 − sin θ0 1 0

sin θ 0 cos θ

(2.7.2)

23


RZ(ψ)BNED =

cosψ sinψ 0

− sinψ cosψ 0

0 0 1

(2.7.3)

y se establece que el orden de aplicación de las rotaciones es RZ(ψ)BNED →RY (θ)BNED → RX(φ)BNED , lo que equivale a una multiplicación de las matricesde rotación de la siguiente forma:

RBNED = RX(φ)BNED ·RY (θ)

BNED ·RZ(ψ)

BNED (2.7.4)

y así se obtiene la siguiente matriz:

RBNED =

cos θ cosψ cos θ sinψ − sin θ

− cos θ sinψ + sinφ sin θ cosψ cos θ cosψ + sinφ sin θ sinψ sinφ cos θsinφ sinψ + cosφ sin θ cosψ − sin θ cosψ + cosφ sin θ sinψ cosφ cos θ

(2.7.5)Esta matriz se la conoce como Matriz de Coseno Director (DCM - DirectionCosine Matrix ) [25].

Para obtener la orientación de la areonave en base a las mediciones de lasvelocidades angulares de la misma, se debe tener en cuenta que los ángulos bus-cados refieren a un sistema de referencia ONED, mientras que las medicionesrefieren al sistema OB . Para adecuar esta diferencia de referencias, es posibleestablecer una relación aplicando las rotaciones en el orden establecido anterior-mente, lo que conlleva a [20, 26]

φθψ

=

1 sinφ tan θ cosφ tan θ0 cosφ − sinφ0

sinφcos θ

cosφcos θ

pqr

(2.7.6)

donde [p q r] son las velocidades angulares en el sistema de referencia OB , me-didas con los giróscopos de la aeronave, y

φ θ ψ

son las variaciones de los

ángulos de Euler. Como es evidente de (2.7.6), la matriz posee singularidadesen θ = ±π

2 . Este problema será desarrollado en (2.7.4).Además del inconveniente de la singularidad, ya mencionado, la represen-

tación en ángulos de Euler tiene la desventaja de ser complejo computacional-mente, debido al uso reiterado de funciones trigonométricas. Esta complejidadaritmética puede ser una necesidad excluyente para ciertos sistemas con capa-cidades modestas de cómputo y puede, además, introducir errores debido a lasaproximaciones realizadas por los algoritmos de resolución trigonométrica [1]. Esdebido a este problema computacional que se intenta simplificar el modelo, asu-miendo que los movimientos son pequeños, permitiendo así una simplificaciónde las matrices y una menor complejidad algorítmica [1].

Asumiendo una velocidad de muestreo de los sensores mucho mayor al anchode banda del modelo de la aeronave, se puede asumir que los ángulos desplazadosson suficientemente pequeños como para realizar las siguientes aproximaciones[20]

α → 0 ⇒cosα 1

sinα α(2.7.7)

lo que conlleva a una relación equivalente a (2.7.6), pero simplificada de la

24


siguiente forma [1, 26, 27]

RBNED = RB

NED

0 −r qr 0 −p−q p 0

(2.7.8)

La ecuación (2.7.8) presenta una gran utilidad para sistemas de movimientolento o con sensores inerciales de alto ancho de banda, permitiendo una esti-mación rápida de la orientación de la aeronave, pero introduce errores frente amaniobras agresivas. Este problema se evidenciará mediante simulaciones en lasección 5.2.1.

2.7.3. Quaterniones

Otra forma de representar la rotación de un cuerpo es a través de los cuater-niones. Estos son una extensión de los números reales y pueden ser interpretadoscomo un vector y un escalar concatenados. Para la representación de rotacio-nes, se utilizará el vector como indicador del eje de rotación y al escalar comoel ángulo a rotar, como se ilustra en la figura 2.8.1. Este tipo de representaciónintroduce una cierta redundancia, al necesitar de 4 escalares para describir unarotación en 3 grados de libertad. Considerando un eje de rotación r, un ánguloα y el cuaternión Q, se puede establecer la relación [21, 25]

Q =

q1q2q3q4

=

cos

α2

sinα2

r

(2.7.9)

Además, el álgebra de quaterniones establece la siguiente relación

lnQ =rα

2(2.7.10)

donde se aprecia que el quaternión Q ∈ R4×1, se relaciona directamente conel vector r ∈ R3×1, de 3 elementos, evidenciando la redundancia previamentemencionada.

A pesar de esta redundancia, la representación con quaterniones presentavarias ventajas, las cuales serán desarrolladas en la sección 2.7.4. Los cuaternio-nes de rotación deben tener norma unitaria y su vector de rotación r tambiéndebe ser unitario, de forma de conservar la norma a través de las rotaciones yno necesitar un ajuste de magnitudes, simplificando su uso y la propagación delas rotaciones del cuerpo a través del tiempo.

Para representar rotaciones sucesivas, se introduce la notación de una mul-tiplicación especial, exclusiva para cuaterniones, representada por el símbolo ⊗.La multiplicación de dos cuaterniones unitarios resulta en otro cuaternión uni-tario, el cual representa la rotación equivalente a las rotaciones sucesivas de losdos cuaterniones multiplicados. Esta operación no es conmutativa, lo cual re-salta el hecho de que un cuerpo rígido tendrá diferente orientación dependiendodel órden de aplicación de las rotaciones, como se ha descrito en 2.7.1. A su vez,se define un cuaternión conjugado Q−1, el cual representa la rotación inversa al

25


cuaternión original Q. La relación entre un quaternión y su conjugado es

Q =

q1q2q3q4

⇐⇒ Q−1=

q1−q2−q3−q4

(2.7.11)

lo que puede ser interpretado como un cambio de signo en el ángulo de despla-zamiento α, a realizarse sobre el mismo eje r.

Una de las propieades de los quaterniones es su propagación temporal, lamisma se define como [27, 28]

dQ

dt= Q =

1

2

0 −p −q −rp 0 −r qq r 0 −pr −q p 0

Q (2.7.12)

Como se puede ver de (2.7.12), la propagación del quaternion de orientaciónde la aeronave no implica el cálculo de funciones trigonométricas. Este resultadoes súmamente útil, dado que no supone restricciones al ángulo rotado ni implicacálculos trigonométricos. En la sección 2.7.4 se analizarán estas ventajas frentea la representación en ángulos de Euler.

2.7.4. Comparación de las representaciones

Para determinar qué representación de la orientación resulta más convenientepara la aplicacion en cuestión, se procederá a comparar las representacionespropuestas.

Como se ha mencionado en 2.7.2, los ángulos de Euler son ampliamenteutilizados en el campo aeronáutico. Esta difusión de los mismos se debe en granmedida a que son de fácil comprensión y uso. Las desventajas principales de estarepresentación, como ya se indicó en 2.7.2, son: (1) que tiene singularidades en ladefinición de los ángulos, lo que conlleva al problema de gimbal lock, descripto enla sección (2.7.2), y (2) que son menos precisos que los quaterniones a la hora deintegrar los incrementos de rotación del cuerpo rígido [24, 25, 26, 29]. Es por estasdesventajas que en muchas aplicaciones se prefiere el uso de los quaternionesde rotación, los cuales no poseen singularidades y son más apropiados para laintegración de las velocidades angulares de la aeronave para la obtención de laorientación. Las mayores desventajas del uso de los quaterniones residen en: (1)que no son tan intuitivos como los ángulos de Euler, y (2) que se debe procurarmantener una norma unitaria, lo que involucra el cómputo de funciones raiz-cuadráticas, lo que dificulta la optimización de los algoritmos [30].

Desde el punto de vista de la propagación de errores en la integración de lasmediciones de los sensores, se evidencia de las ecuaciones (2.7.6) y (2.7.12) laventaja de los quaterniones, al no requerir de operaciones aritméticas para elcómputo de la orientación. Esta independencia de los algoritmos trigonométricosevita la propagación de errores debida a las aproximaciones en la implementaciónde dichas funciones matemáticas. Dado que la noción de la orientación surgede la integración de las velocidades angulares (con sus respectivas rotacionesy acondicionamientos), la presencia de errores de cómputo introduce un drifto deriva en los valores, lo cual resulta en un incremento gradual del error de

26


estimación. En la sección 5.2.1 se realiza una comparación entre el uso de losÁngulos de Euler y del uso de Quaterniones.

2.8. Trayectoria de Estabilización

2.8.1. “Eigenaxis” - Rotación de Trayectoria Mínima

El teorema de rotación de Euler establece que cualquier cuerpo rígido quese rota en un espacio euclídeo tridimensional de forma tal que alguno de suspuntos permanece en el mismo lugar, puede ser descripto por una única rotaciónalrededor de un eje que pasa por ese mismo punto. De este mismo teoremase desprende que una sucesión de rotaciones sobre un mismo punto puede serdescripta por una única rotación. El eje al que hace mención el teorema se conocecomo Vector de Rotación de Euler o Eigenaxis. [5]

En la Figura 2.8.1 se ilustran el eje de Euler r y el ángulo de rotación α,que describen la rotación de un cuerpo rígido cualquiera.

Figura 2.8.1: Rotación de un cuerpo rígido en torno a un eje r

Del teorema anterior se desprende que la rotación de menor desplazamientoposible, sobre un dado eje, para lograr la orientación final es aquella que serealiza en torno a este eje. Esta conclusión tiene una gran importancia a la horade desarrollar el controlador de rotaciones, dado que el seguimiento de dichatrayectoria puede resultar en determinados beneficios, tales como un menordesplazamiento, mayor maniobrabilidad, mayor autonomía, etc [7].

Para la obtención del quaternion de rotación en torno al eigenaxis pertinentea cada caso, se computará

Qe = Q−1 ⊗ Q (2.8.1)

donde Q es la orientación actual de la aeronave, expresada mediante un qua-ternión, y Q es la orientación final de la areonave. Esto equivale a decir que laorientación final Q se alcanza a través de una rotación Qe, desde la orientaciónoriginal Q, es decir

Q = Q⊗Qe (2.8.2)

Dado que tanto Qe como −Qe representan rotaciones que llevan a la orien-tación deseada, diferenciándose en el sentido de rotación, se elegirá el que poseatrayectoria mínima. Dado que la componente q1 del quaternión se computa comocos

α2

, la rotación de menor ángulo, α, tendrá componente positiva, mientras

27


que la rotación complementaria tendrá una componente q1 negativa. Es me-diante esa diferencia en el signo que se elegirá la rotación de trayectoria mínima[28].

Utilizando la relación 2.7.10, se puede definir un vector de error, equivalentea Qe, y que representa la rotación necesaria para alcanzar la orientación deseadaa partir de la actual, de la siguiente forma

Ex Ey Ez

T= 2 ln

Q−1 ⊗ Q

(2.8.3)

donde Ej representa el error del eje correspondiente, siendo j = x, y, z. Es-to otorga un parámetro para cada uno de los ejes a partir del cual se pudráncomputar las acciones de control, como se explica en el Apéndice A, que esposible realizar la maniobra de corrección de la orientación controlando las ve-locidades angulares de la aeronave proporcionalmente al vector de error. Esteresultado será utilizado en el desarrollo de los controladores de rotación en lassecciones 4.2 y 4.3.

2.8.2. Corrección de Ángulos de Euler - Trayectoria Libre

Otro enfoque pasa lograr la estabilización de la aeronave es operar los ac-tuadores en base a la realimentación de los ángulos de Euler [29]. Este tipode control no intenta seguir una trayectoria específica sino que apunta a la es-tabilización final del quadrotor. Este enfoque de control es el más difundidoentre los aficionados y en las plataformas comerciales de menor costo, debidoa su simplicidad de implementación y la fácil adaptación a diferentes aerona-ves con distintas características físicas. La desventaja principal de este tipo decontrolador es que no garantiza una rotación mínima, lo que puede contribuir aorientaciones intermedias que deriven en aceleraciones en direcciones no desea-das, debiendo ser posteriormente compensadas. Este efecto enlentece el procesode estabilización de la aeronave en la orientación final.

2.9. Estrategia de Accionamiento

Habiendo desarrollado la dinámica de la aeronave y llegado a las ecuaciones

p =laIx

(T4 − T2) +gx(ω,Ω)

Ix− radp

Ixp

q =laIy

(T1 − T3) +gy(ω,Ω)

Iy− radq

Iyq

r =laIz

(δ1 − δ2 + δ3 − δ4)− radp

Izr

(2.9.1)

u = −q w + v r +FB

gxmt

− tadumt

u

v = −r u+ w p+FB

gy

mt− tadv

mtv

w = −p v + q u− TmT

+FB

gzmt

− tadwmt

w

(2.9.2)

que corresponden respectivamente a (2.6.1) y (2.6.3), se puede establecer unaestrategia de accionamiento para el control del quadrotor. Dado que lo que sebusca es la correcta orientación de la aeronave, se deberá proponer una acciónde control que accione en cada uno de los ejes de rotación p q r en formaindependiente. De la ecuación (2.9.1) se puede observar que si se aplica un torque

28


diferencial en rotores de un mismo eje, (1, 3; 2, 4), el momento resultanteafectará sólamente al eje sobre el cual estén situados los rotores. Por otro ladose puede observar que mientras la suma de δ1 y δ3 sea igual a la de δ2 y δ4, nohabrán fuerzas actuantes en el eje del yaw. Esto significa que si la suma de lasvelocidades angulares de los pares de rotores ubicados sobre el mismo eje soniguales, el quadrotor no rotará alrededor del eje z.

A partir de estos resultados, se proponen los accionamientos de la Figura(2.9.1)

Figura 2.9.1: Esquema de accionamientos de la aeronave

Se observa que la aeronave puede moverse en cualquier dirección.

2.10. Desacoplamiento de los ejes

Para establecer la orientación del quadrotor, es necesario establecer la incli-nación de los ejes x e y del sistema de referecnia OB . Utilizando los resultadosdesarrollados en la sección 2.4.2, asumiendo una dinámica idéntica para cadauno de los ejes, considerando que el error en la orientación, dado por (2.8.3), sepuede representar como una integral temporal de la velocidad angular [21, 27],se logra desacoplar los ejes de la aeronave si se considera la siguiente ecuación

Ex =lalx(T4 − T2) +

radp

IxEx +

gx(ω,Ω)Ix

Ey =laly(T1 − T3) +

radq

IyEy +

gy(ω,Ω)Iy

Ez =1Iz

(q1 − q2 + q3 − q4) +radrIz

Ez

(2.10.1)

29


Este desacoplamiento permite una representación matricial independientepara los ejes x e y, de la siguiente manera

xj =

− l+m

Ir0 0

nlaIj

radj

Ij0

0 1 0

xj +

kIr0

0

(uj)

Ej =0 0 1

xj

(2.10.2)

donde j = x, y es el índice de los ejes, mientras que ux = (T4 − T2) y uy =

(T1 − T3). Aplicando una lógica análoga, se obtiene para el eje vertical z

xz =

− l+m

Ir0 0

laIz

radrIz

0

0 1 0

xz +

kIrkIz0

(uz)

Ez =0 0 1

xz

(2.10.3)

donde uz = (u1 − u2 + u3 − u4).Este resultado permite la operación sobre cada uno de los ejes en forma

independiente del resto, pudiendo encarar el control de la aeronave como unconjunto de controladores independientes entre sí, que accionen sobre cada unode los ejes.


En el presente capítulo se desarrolladó un modelo matemático para la diná-mica del quadrotor, obteniendo las ecuaciones que modelan su comportamiento.Se contemplaron las fuerzas y momentos actuantes sobre el cuerpo de la aerona-ve y las acciones de control. En la sección 2.7 se abordó la importancia de unaadecuada representación de la orientación, mostrando las principales diferenciasentre la representación con quaterniones y con ángulos de Euler. Además, enla sección 2.8, se propusieron dos estrategias de control, una con trayectorialibre y otra con una rotación sobre el eigenaxis, lo cual otorga una rotación detrayectoria mínima. Finalmente, en la sección 2.9, se propuso un esquema deaccionamiento correspondiente a cada uno de los movimientos posibles.

30

Capítulo 3

Identificación del losParámetros del Quadrotor

En esta sección se desarrollará el proceso de identificación de los parámetrosfísicos del quadrotor utilizado en los ensayos experimentales de este trabajo. Secomienza por el análisis de su estructura y se continúa con la dinámica de susactuadores.

31

CAPÍTULO 3. IDENTIFICACIÓN DEL LOS PARÁMETROS DELQUADROTOR 33

3.1. Identificación de los Parámetros del Cuerpo

Rígido

Utilizando una balanza digital, se registró un peso total de la aeronave (con-tando el cuerpo, batería, motores, hélices y electrónica) de m = 1, 247 kg. Elpeso registrado para cada uno de los rotores, con sus respectivas hélices, esmr = 0, 067 kg. Cabe destacar que la balanza utilizada posee una sensibilidadde 1gr y que el peso registrado por todos los motores resultó igual. Conside-rando la simetría del quadrotor, y para el cómputo de un modelo simple, sesupondrá que toda su masa (excepto la de los rotores) se distribuye en formade una esfera de radio R y que los rotores se consideran como masas puntualesa una distancia la del centro de masa. Este modelo es utilizado en [21, 20] y sepuede observar en la figura 3.1.1

Figura 3.1.1: Modelo del cuerpo del quadrotor

Sabiendo que una esfera de radio R tiene un momento de inercia alrededorde un eje σ que pasa por su centro de masa de bIσ =

25mbR2, y que una masa

puntual j, alejada del centro de rotación a una distancia la, tiene un momentode inercia jIr = mrl2a, podemos calcular el momento de inercia cada uno de losejes de la aeronave, los cuales debido a su simetría resultan

Ix = Iy =2 Ix +

4 Ix +b Ix =

1 Iy +3 Iy +

b Iy = 2mrl2a +

2

5mbR

2 (3.1.1)

donde cada uno de los momentos de inercia tienen la forma jIr, representando elmomento de inercia de la masa j para una rotación alrededor del eje r, y dondemb = m− 4mr = 0, 979 kg es la masa del armazón del quadrotor y R = 8, 5 cmcorrespondiente al tamaño aproximado de la batería, estructura y electrónicade abordo.

Para el eje vertical z se deben tener en cuenta la totalidad de los rotores, locual conlleva a

Iz =1 Iz +

2 Iz +3 Iz +

4 Iz +b Iz = 4mrl

2a +

2

5mbR

2 (3.1.2)

En la tabla 3.1.1 se resumen los parámetros identificados, los cuales se uti-lizarán para las simulaciones e implementación

33

34CAPÍTULO 3. IDENTIFICACIÓN DEL LOS PARÁMETROS DEL

QUADROTOR

Parámetro Valor Descripciónm 1,247 kg Masa total del quadrotorla 0,3m Largo de brazo del quadrotor

Ix = Iy 0,01489 kg.m2Momento de inercia del

quadrotor alrededor de los ejesx e y

Iz 0,02695 kg.m2 Momento de inercia delquadrotor alrederor del eje z

Cuadro 3.1.1: Parámetros identificados de la aeronave

3.1.1. Validación del Modelo

Para la validación del modelo físico de la aeronave se propone la realizaciónde ensayos en un Péndulo Bifilar. Dicho es utilizado para medir en forma expe-rimental los momentos de inercia del quadrotor. A continuación se describe laestructura del péndulo y el procedimiento utilizado para las mediciones.

3.1.1.1. Péndulo Bifilar

El péndulo bifilar consiste en la suspensión de una masa, a la cual se lequiere medir el momento de inercia, por medio de dos hilos [31]. Dichos hilosdeben tener la misma longitud y deben estar equidistantes del centro de masadel cuerpo a analizar. En la Figura 3.1.2 se ilustran las vistas frontal, lateral ysuperior de un péndulo bifilar, suspendiendo una barra.

(a) Vista frontal del péndulo bifilar (b) Vista la-

teral del pén-

dulo bifilar

(c) Vista superior del péndulo bifilar

Figura 3.1.2: Péndulo bifilar

Aplicando la Ley de Newton con respecto al eje de rotación vertical que pasapor el centro de masa C de la masa y considerando que la altura de la barra conrespecto al piso no cambia significativamente (L a), se obtiene la ecuación[31]

I · θ = −2 · a · F (3.1.3)

34


dondeF =

M · g2

· sin(φ) (3.1.4)

Asumiendo que la rotación de la barra es pequeña (θ 1), se podrá utilizar laaproximación lineal de las funciones trigonométricas para ángulos pequeños, dela forma

sin(φ) φ (3.1.5)

sin(θ) θ (3.1.6)

Lo que resulta, para ángulos pequeños, en

X = L · φ = a · θ (3.1.7)

y por consiguiente

φ =a · θL

(3.1.8)

Reescribiendo (3.1.4) cno la consideración de ángulos pequeños, resulta

F =M · g2

· sin(φ) M · g2

· φ =M · g2

· a · θL

(3.1.9)

Introduciendo (3.1.9) en (3.1.3), resulta

I · θ = −2 · a · M · g2

· a · θL

= −M · g · a2

L· θ (3.1.10)

lo que deriva en un sistema de segundo órden homogéneo de la forma

θ +M · g · a2

I · L · θ = 0 (3.1.11)

con una frecuencia de oscilación

ω =

M · g · a2

I · L (rad/seg) (3.1.12)

y un período de oscilación

T = 2 · π ·

I · L

M · g · a2 (3.1.13)

Despejando el momento de inercia I de la ecuación (3.1.13), resulta

I =1

4 · π2· M · g · a2 · T 2

L(3.1.14)

Como se observa de la ecuación (3.1.14), es posible determinar experimen-talmente el momento de inercia del cuerpo en estudio a partir del conocimientode su peso (M · g), su distancia al centro de masa (a), el largo de los hilos desuspensión (L) y el período de oscilación (T ).

35


QUADROTOR

3.1.1.2. Medición del Momento de Inercia del Quadrotor

Para la medición experimental del momento de inercia del quadrotor, sepropone utilizar los resultados obtenidos en la subsección 3.1.1.1 y realizar unensayo con un péndulo bifilar, suspendiendo el quadrotor. Para la realización dedicha medición, se procuró respetar las consideraciones planteadas durante laderivación de las ecuaciones correspondientes, siendo las mimas

θ 1 Angulo de rotacion pequeno (3.1.15)

L a Largo del hilomuchomayor al largo del brazo del quadrotor (3.1.16)

El péndulo construído cuenta con dos hilos de 1,5m de largo, de los cualescuelga el quadrotor. Para verificar el correcto armado del banco, se utilizó unnivel de burbuja de aire, con el cual se verificó la orientación horizontal de laaeronave. En la Figura 3.1.3 se ilustra el péndulo armado.

Figura 3.1.3: Péndulo bifilar armado

A continuación se describe el procedimiento para la medición del momentode inercia de cada un de los ejes de rotación:

1. Se suspende el quadrotor, orientando el eje de rotación a analizar verti-calmente y equidistante de ambos hilos.

2. Se pone el quadrotor en movimiento oscilatorio, cuidando que el centrodel mismo no se mueva y que el ángulo de movimiento θ sea pequeño.

3. Se registra el período de oscilación.

4. Se computa el momento de inercia, dado por la ecuación (3.1.14).

36


Utilizando este procedimiento, se prosiguió con la medición de los momentos deinercia de la aeronave. Dada la simetría de la aeronave, se determinó que sólose deben medir los momentos de inercia correspondientes a los ejes de rotación,realizando tres mediciones, una para cada eje.

Procurando que el ángulo de giro θ no sea grande, se apartaron los extremosdel quadrotor de su posición original sólo 1cm (X = 1cm), obteniéndose unaoscilación definida y de ángulo pequeño. Con el fin de reducir los errores demedición del tiempo de oscilación, se utilizaron los sensores inerciales presentesen la aeronave, registrando las oscilaciones y promediando su período. En laFigura 3.1.4 se muestra el gráfico de las oscilaciones registradas para una de lasmediciones.

Figura 3.1.4: Oscilaciones del quadrotor registradas por los sensores

Los parámetros del péndulo construido se muestran en la Tabla 3.1.2.

Parámetro Descripción Magnitud UnidadM · g Peso 1,247 kgL Largo de los hilos 1,5 ma Distancia del centro de masa a cada hilo 0,3 m

Cuadro 3.1.2: Parámetros del péndulo bifilar

En la Tabla 3.1.3 se muestran los resultados de las mediciones y del cálculodel momento de inercia obtenido.

Observando los resultados obtenidos de las mediciones utilizando el péndulobifilar, se puede apreciar que las diferencias entre el modelo analítico son muypequeñas. Esto aporta validez al modelo analítico derivado en la sección 3.1,mostrando éste ser apto para su utilización en presente trabajo.

37


QUADROTOR

Eje Tiempo deoscilación

Momento deinercia calculado

Momento deinercia del modelo

Diferencia

x 2,82Seg 0,01507 kg.m20,01489 kg.m2

1,2%y 2,83Seg 0,01518 kg.m2

0,01489 kg.m21,9%

z 3,71Seg 0,02609 kg.m20,02695 kg.m2

3,2%

Cuadro 3.1.3: Resultados de las mediciones con el péndulo bifilar

3.2. Actuadores

Para obtener los parámetros de los rotores, se tomaron por verdaderos losdatos proporcionados por el fabricante, siendo ellos kv y el tamaño óptimo dehélice para el motor, y se realizaron experimentos de laboratorio para identificarla dinámica del conjunto motor+hélice, suponiendo todos los motores, hélices ycontroladores de velocidad idénticos.

3.2.1. Velocidad Angular ω

Para la obtención de los parámetros que relacionan la excitación u del rotorcon su velocidad angular ω, se realizaron pruebas denominadas de “estado esta-cionario”, donde se excitó el motor con valores constantes de señal y se midió lavelocidad rotacional del motor. El banco de mediciones propuesto se represen-ta en la figura 3.2.1, utilizando el conjunto de motor y hélices descriptos en lasección 1.3.

Figura 3.2.1: Banco de medición de la velocidad angular ω

Con el micrófono se detectó el paso de las aspas de la hélice en rotación.Considerando que por cada rotación se sensa el pasaje de ambas aspas de lahélice, la frecuencia obtenida debe ser dividida por dos para obtener la velocidadde rotación correcta. Observando las señales obtenidas, las cuales contaban conmucho ruido debido a la turbulencia del aire, se decidió aplicar un filtrado a laseñal, con el objetivo de suavizarla. Estimando las velocidades de rotación de lahélice en cuestión entre 1000RPM y 8000RPM (33Hz y 267Hz), se optó por unfiltro pasabajos de primer órden, con frecuencia de corte superior ωc = 280Hz,el cual fue implementado en forma digital.

En la figura 3.2.2 se muestran dos ejemplos de la señal obtenida del micró-fono, 3.2.2a muestra la señal original capturada por el micrófono y mientrasque 3.2.2b muestra la señal filtrada digitalmente para eliminar el ruido por lasvibraciones.

Para interpretar los resultados, se computa la velocidad angular de la si-

38


(a) Señal del micrófono sin filtrar

(b) Señal del micrófono filtrada digitalmente

Figura 3.2.2: Señales del mirófono para la medición de las RPM

39


QUADROTOR

guiente forma

ωRPM =1

Tr∗ 60Seg [min−1

] (3.2.1)

ωrad/S =2π

Tr[rad/S] (3.2.2)

Observando las características indicadas por el fabricante [9], el ESC utili-zado distingue 128 pasos entre los comandos correspondientes al 0% y el 100%,en forma lineal. Considerando esta información, se aplicaron señales de entradaque permitieran observar todas las velocidades angulares posibles utilizando elconjunto ESC+motor+hélice provistos. En la figura 3.2.3 se pueden observarlos resultador obtenidos en función del nivel de entrada aplicado.

Figura 3.2.3: Velocidad angular en función de la señal de entrada

Como se observa de 3.2.3, la característica ω (u) muestra una tendencia apro-ximadamente lineal entre los comandos de 20%y 80% aproximadamente. Antesdel 20% se aprecia una zona en la cual el motor no realiza ningún movimiento,la cual se la puede describir como una zona muerta. Por otro lado, a partirdel 80% aproximadamente, la característica del conjunto tiende a perder la li-nealidad y llegan a una saturación, la cual establece una velocidad máxima derotación aproximada de unas 7150RPM .

3.2.2. Empuje - Thrust - T y Punto de Trabajo ω0

Para identificar el punto de trabajo ω0, alrededor del cual se linealiza la di-námica de los actuadores, es necesario medir la fuerza de empuje proporcionadapor los rotores en función de su velocidad angular. Para la obtención de dichacaracterística se implementó un banco de medición como el ilustrado en la figura3.2.4, donde se aplicaron diferentes referencias u a los motores, obteniéndose enla balanza la lectura sus correspondientes empujes. Con el objetivo de realizarlas mediciones de ambos parámetros (T y ω) simultáneamente, se colocó unmicrófono como en 3.2.1 para la medición de la velocidad angular.

40


Figura 3.2.4: Banco de medición de empuje T

Las mediciones obtenidas pueden ser observadas en la figura 3.2.5. En lafigura 3.2.5a se ilustran los resultados obtenidos en función de la señal de en-trada proporcionada, mientras que en 3.2.5b se grafica la medición de empujeen función de la medición de la velocidad de rotación ω.

Suponiendo una dependencia cuadrática entre el empuje y la velocidad an-gular [6], se realizó un ajuste de la curva relevada, obteniéndose una curva es-timada, como se muestra en la figura 3.2.6. El ajuste de curva realizado resultóen una dependencia de la siguiente forma

T (ω) = 1,012 · 10−3 · grs

(radseg )

2· ω2 − 5,710 · 10−3 · grs

radseg

· ω − 0,8121 · grs (3.2.3)

Sin embargo se observó que dadas las grandes magnitudes de la velocidad an-gular en cuestión, predomina la característica cuadrática, pudiendo aproximar(3.2.3) a

T (ω) = 1,012 · 10−3 · grs

(radseg )

2· ω2 (3.2.4)

Esta característica está graficada en línea de trazos en la Figura 3.2.6.A partir de las mediciones realizadas, se estimó el punto de trabajo ω0, ob-

servando la velocidad angular necesaria para que cada rotor genere un empujeequivalente a m/4 312 grs. A partir del ajuste cuadrático se interpoló la velo-cidad necesaria en ω0 = 555 rad/Seg, la cual ha sido marcada con un círculo enla figura 3.2.6.

3.2.3. Momento de Arrastre - drag - δPara la identificación de la dependencia del momento de arrastre δ con res-

pecto a la velocidad angular del motor, se construyó un banco de medicionescomo el que se ilustra en la figura 3.2.7. El motor fue colocado en una barrarígida, con libertad de rotación alrededor de su centro, la cual tiene el doblede longitud que el brazo de la aeronave. Sobre la barra se colocó un micrófono,para la medición de la velocidad angular ω. El otro extremo de la barra fuecolocado sobre una balanza, la cual registra la fuerza aplicada sobre ella por labarra, debida al momento ejercido por la rotación del motor.

Como el largo la de la barra es el mismo que el del brazo del quadrotor, lamedición de la balanza se corresponde directamente con el momento aplicadoal centro de la aeronave, de la siguiente forma

δ = Fbalanza/la (3.2.5)

41


QUADROTOR

(a) Medición de empuje en función de la señal de entrada

(b) Empuje en función de la velocidad angular ω, obtenido de las mediciones con el banco

de la Figura 3.2.4

Figura 3.2.5: Resultados de la medición de empuje

42


Figura 3.2.6: Comparación de la curva de empuje medida y el ajuste aproximado

Figura 3.2.7: Banco de medición del momento de arrastre

43


QUADROTOR

Aplicando diferentes señales de entrada, y siguiento una metodología análogaa la utilizada en 3.2.2, se procedió a relevar la dependencia del momento dearrastre δ con la velocidad angular ω y del duty cicle de la señal de entrada. Losresultados se presentan en la figura 3.2.8.

(a) Momento de arrastre en función del duty cicle a la entrada

(b) Momento de arrastre en función de la velocidad angular ω, obtenido de las mediciones

con el banco de la Figura 3.2.7

Figura 3.2.8: Momentos de arrastre registrados en el experimento

En la figura 3.2.8a se observa la dependencia del momento de arrastre en fun-ción de la entrada aplicada, mientras que en 3.2.8b se ilustra dicha dependenciaen función de la velocidad angular del rotor.

De forma similar a lo realizado en 3.2.2, se realizó un ajuste de curvas paraobtener un modelo simplificado de la dependencia del momento de arrastre enfunción de la velocidad angular del rotor. Los resultados obtenidos, luego de un

44


ajuste cuadrático, resultaron en

δ (ω) = 1,212·10−6· Nm

(radseg )

2·ω2−11,766812686·10−6· Nm

(radseg )

·ω+1765,345194307·10−6·Nm

(3.2.6)De modo análogo a lo propuesto anteriormente, se contempló la preponderanciacuadrática de la dinámica de los actuadores y se aproximó la misma de la forma

δ (ω) = 1, 212 · 10−6 · Nm

(radseg )

2· ω2 (3.2.7)

Esta característica aproximada se encuentra graficada en trazo en la figura3.2.8b.

3.2.4. Respuesta al Escalón

Para identificar la dinámica del conjunto motor-hélice se sealizó una medi-ción de su respuesta ante una referencia con forma de escalón. Las medicionesse realizaron con el mismo banco utilizado en 3.2.2, ilustrado en la figura 3.2.4.Por limitaciones del hardware utilizado en el banco de ensayo, las muestras queregistran la velocidad angular fueron tomadas con una frecuencia de muestreode fs 85Hz.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

100

200

300

400

500

600

700

800

Step Response

Tiempo [Seg] (seconds)

Velo

cidad A

ngula

r [r

ad/S

eg]

Figura 3.2.9: Medición de la velocidad angular frente a un escalón en la señalde entrada y su aproximación

Para la obtención de un modelo aproximado de los actuadores se procedióa hacer una identificación de la dinámica de los rotores mediante una ajustepor cuadrados mínimos. En la figura 3.2.9 se ilustran la dinámica medida y laaproximada, siendo la transformada de Laplace, en función de su variable S, delmodelo aproximado

ω(S)

U(S)≈ 2,114 · 106

S2 + 136 · S + 3127· radseg

(3.2.8)

45


QUADROTOR

A partir de las pruebas realizadas y en función del análisis de los resultadosobtenidos, se derivó en el modelo lineal de segundo órden (3.2.8) que aproximala dinámica de los actuadores. La derivación empírica de este modelo es particu-larmente importante dado que los fenómenos físicos involucrados en la dinámicadificultan en gran medida obtenerlo en forma analítica.

3.2.5. Validación del Modelo

Para la validación de la dinámica obtenida en 3.2.4, se empleó el banco demediciones utilizado en 3.2.2 y se generó la señal de referencia para los motores,que se ilustra en la Figura 3.2.10. Se simuló la velocidad angular determinadapor (3.2.8) y se midió la velocidad de rotación del rotor. Los resultados obteni-dos pueden ser observados en la figura 3.2.10. Se aprecia que en la figura 3.2.10,la transferencia obtenida mediante el ajuste de cuadrados mínimos resulta satis-factoria para el modelado de la dinámica de los rotores, sin embargo existe unadiferencia en el tiempo de establecimiento durante la desaceleración del motor.Esta diferencia surge debido a que los tiempos de crecimiento y decrecimien-to del motor son diferentes, conformando un sistema no lineal. Este problemacon las diferencias en la aceleración y desaceleración del motor impiden su re-presentación mediante un sistema lineal [21, 3], por lo que se ha optado porconservar el modelo identificado, desestimando las diferencias existentes entrela aceleración y desaceleración.

Figura 3.2.10: Señales de prueba del modelo


En el presente capítulo se identificaron los parámetros necesarios para ladeterminación de los modelos matemáticos de la dinámica de cuerpo rígido quedescribe el comportamiento de la aeronave y de sus actuadores. En la sección

46


3.1 se identificaron las dimensiones y pesos del cuerpo de la aeronave. Luego seprocedió al desarrollo del modelo matemático del cuerpo, el cual fue validadoutilizando un péndulo bifilar. El modelo derivado para la dinámica de los ac-tuadores en la sección 2.4, se validó utilizando señales de prueba y contrastandolas mediciones obtenidas con las simulaciones realizadas. El resultado obteni-do fue satisfactorio, mostrando una conconrdancia entre las simulaciones y lasmediciones realizadas.

Los modelos derivados en este capítulo son utilizados en la síntesis de loscontroladores, desarrollados en el capítulo (4).

47

Capítulo 4

Diseño del Controlador

En el presente capítulo de aborda la síntesis de los controladores a utilizaren las simulaciones e implementación. Se categorizan los sistemas de control devuelo, se desarrolla la estructura jerárquica de control para el quadrotor y seintroducen brevemente los sistemas de Navegación, Control y Guiado. Luego seprocede a la descripción de los controladores y la formulación matemática de losmismos. Para el control LQR se propone una extensión por medio de funcionesde mapeo de entrada-salida, con el fin de extender su rango de utilización.

49

CAPÍTULO 4. DISEÑO DEL CONTROLADOR 51

4.1. Estructura de Control

4.1.1. Categorización de los Sistemas de Control de Vuelo

En general, los sistemas de control de vuelo pueden clasificarse en tres cate-gorías:

Sistemas para Aumentar la Estabilidad (SAS - Stability Augmentation Sys-tems): Esta clase de sistemas tiene como objetivo controlar la aeronave yprocurar su estabilidad, lidiando con la dinámica de la misma. Esto per-mite al piloto abstraerse de la dinámica del sistema, la cual puede no serintuitiva.

Sistemas para Aumentar el Control (CAS - Control Augmentation Sys-tems): Estos sistemas se encuentran en un nivel jerárquico superior a losSAS y apuntan a que el vehículo pueda responder a referencias dadas porel piloto, como por ejemplo velocidades de desplazamiento.

Sistemas de Piloto Automático (Autopilot): Son sistemas que pueden, enforma completamente automática y sin intervención humana, realizar ma-niobras con la aeronave. Estas maniobras pueden ser de despegue, aterri-zaje, seguimiento de trayectorias, estabilización en altura, etc.

Esta división de los sistemas de control aeronáutico pueden representarse comose ilustra en la fiugra 4.1.1.

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Figura 4.1.1: Estructura de los sistemas de control aeronáuticos

Para cualquier sistema de navegación autónoma, es habitual realizar la si-guiente subdivisión:

Control: es el sistema que manipula los actuadores de forma que se cum-plan las consignas del sistema de Guiado.

Navegación: es el responsable de la determinación de la posición y actitud(ángulos de inclunación) del vehículo.

51

52 CAPÍTULO 4. DISEÑO DEL CONTROLADOR

Guiado: es el sistema que decide sobre la trayectoria del vehículo así comode las consignas de rumbo y velocidad que debe tomar el Control.

4.1.2. Estructura de control del quadrotor

Para el caso específico del quadrotor, se puede establecer una estructura decontrol en la cual se evidencia una estructura jerárquica, dividida en subsistemascon diferentes responsabilidades, como se ilustra en la Figura 4.1.2, organizadade la siguiente forma:

Control de Orientación: este sistema se encarga de posicionar la aero-nave en la orientación indicada. Para eso tiene en cuenta la dinámica delquadrotor y manipula los actuadores.

Control de Traslación: este sistema se encarga de establecer el movi-miento de la aeronave, en función de las referencias obtenidas del Sistemade Guiado. Este bloque estima una orientación deseada, la cual es refe-renciada al Control de Orientación. Este sistema no tiene acceso a losactuadores, sólo a bloques de menor nivel jerárquico.

Sistema de Navegación: este sistema se encarga de procesar los da-tos obtenidos de los sensores y estimar la orientación y velocidades detraslación actuales de la aeronave.

Sistema de Guiado: este sistema se encarga de que el quadrotor siga unadeterminada ruta, utilizando la posición de la aeronave, proporcionada porel Sistema de Navegación. Este bloque estima las velocidades de traslaciónnecesarias y las referecia al Control de Traslación. Este sistema no tieneacceso a los acutadores ni al Control de Orientación, sino que su accesoqueda limitado a los bloques de nivel jerárquico inmediatamente menor alsuyo.

Como se observa de la estructura descripta, el único bloque con acceso a lamanipulación de los actuadores es el de Control de Orientación, lo cual evidenciaque la totalidad del sistema queda dependiendo de sus características.

4.2. Control PID

Como primer sistema de control de orientación se propone un contraldor PID(Proporcional, Integral y Derivativo). Este tipo de controlador está ampliamentedifundido y estudiado en el área de control debido a su simplicidad [1, 30, 29, 32].Además de la popularidad del controlador, el mismo es frecuentemente utilizadopara hacer comparaciones entre diversas técnicas de control, sirviendo como unareferencia “conocida y probada”.

Como se ha desarrollado en la sección 2.10, es posible controlar cada uno delos tres ejes de rotación por separado, por lo que el controlador final se compon-drá de tres controladores PID independientes, uno para cada eje de la aeronave.Además, como se ha mencionado previamente en la sección 2.8.1, es posibleestabilizar la aeronave controlando la velocidad angular del eje en cuestión enfunción del elemento de error correspondiente Ej . En este trabajo se utiliza una

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Figura 4.1.2: Estructura de control del quadrotor

estructura de PID paralelo, en la cual cada acción (Proporcional, Integral y De-rivativa) tiene una constante independiente del resto, no multiplicándose entresí como en el caso de un PID serie. En la figura 4.2.1 se muestra la estructura deun controlador PID paralelo para un eje cualquiera, donde el bloque indicadocon el ∗ corresponde al cálculo del quaternión de error Qe y al cómputo delelemento de error del eje correspondiente, como se indica en (2.8.1) y (2.8.3).

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Figura 4.2.1: Estructura del controlador PID paralelo para un eje

Esta estructura relaciona la acción de control del eje j, uj , con el elementode error Ej de la siguiente forma

uj (t) = Kp.Ej +Kd.dEj (t)

dt+Ki.

ˆ t

0Ej (τ) dτ (4.2.1)

La conformación del controlador completo se ilustra en la figura 4.2.2.

53

54 CAPÍTULO 4. DISEÑO DEL CONTROLADOR!

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Figura 4.2.2: Estructura del control PID

Para el ajuste de las constantes de los controladores, se ha utilizado el métodode root locus, evaluando el desempeño del sistema en función de su respuesta alescalón.

4.3. Control LQR

En la presente sección se realiza una breve introducción al control LQR (Li-near Quadratic Regulator) y se desarrolla un controlador LQR para el quadrotor.Dicho controlador es óptimo en el sentido de la minimización de una función decosto, definida a partir de la representación del sistema en variables de estado.El método de control LQR tiene como ventajas principales la obtención de uncontrol estable a lazo cerrado y un gran márgen de fase [33].

4.3.1. Desarrollo del Controlador

Para el desarrollo de un controlador LQR es necesario que la planta a contro-lar (suponiendo p entradas, q salidas y n variables de estado) pueda ser descriptaen espacio de estados, de la siguiente forma

x = Ax+Buy = Cx+Du

(4.3.1)

donde x ∈ Rn es el vector de estados, u ∈ Rp es el vector de entradas, y ∈ Rq

es el vector de salidas, A ∈ Rn×n es la matriz de estados, B ∈ Rn×p es la matrizde entradas, C ∈ Rq×n es la matriz de salidas y D ∈ Rq×p es la matriz detransferencia directa.

Utilizando la descripción del sistema en variables de estado, se define unafunción de costo cuadrática de la siguiente forma

J =

ˆ ∞

0

xT

(t)Qx(t) + uT(t)Ru(t)

dt (4.3.2)

donde Q y R son matrices que asignan peso a cada uno de los términos de lafunción. El primer término de la función de costo, tiene su magnitud asociada

54


a la energía de los estados, x2, mientras que el segundo tiene una magnitudasociada a la energía de las entradas del sistema u2. La elección de las matricesQ y R se determina en función de la minimización de la función de costos (4.3.2)y en general termina siendo una relación de compromiso entre la magnitud de lasseñales de control aplicadas y la velocidad de convergencia del sistema. Existenvarios criterios con los cuales elegir dichas funciones, entre los cuales se ha optadopor el criterio de Bryson, el cual aporta un criterio simple a partir del cual sepueden realizar iteraciones en función de la necesidad particular de la aplicación[34]. El criterio de Bryson propone las siguientes matrices diagonales:

Qii =1

xiMAX

2 i ∈ 1, 2, 3 . . . n (4.3.3)

Rjj =1

ujMAX

2 j ∈ 1, 2, 3 . . . p (4.3.4)

Estas matrices conforman una primera aproximación al control LQR, pudiendoser modificadas en función de la aplicación requerida. En el caso particular deeste trabajo, las mismas fueron modificadas levemente, utilizando el softwareMATLAB para realizar simulaciones, hasta obtener una respuesta al escalónsatisfactoria.

A partir de la obtención de las matrices anteriores, se procede a establecerla ley de control, a partir de la realimentación de los estados. El control LQRpropone una ley de control de la forma [35]

u = −Kx (4.3.5)

donde la ganancia K se define como

K = R−1BTP (4.3.6)

donde P es la solución a la ecuación de Ricatti [34]. Proponiendo un enfoquede horizonte infinito, el cual plantea hacer tender el tiempo final a ∞, dichaecuación resulta de la forma

PA+ATP +Q− PBR−1BTP = 0 (4.3.7)

Para la resolución de esta ecuación, se utilizó el MATLAB.Como un recaudo adicional a la hora de implementar el control, se propone la

extensión del modelo de estados del sistema, agregando estados artificiales quepermitan un correcto seguimiento de las referencias. Dichos estados adicionalesconstan de la integral de la señal de error, los cuales aportan la informaciónnecesaria para un seguimiento asintótico de las referencias[21, 20]. Finalmente,considerando los modelos obtenidos en el capítulo 2 y adicionando la integraldel error, el vector de realimentación resulta en

Luj = −Kj

ωj

Ωj

Ej´ t0 Ej (τ) dτ

(4.3.8)

55


donde nuevamente j = x, y, z es el índice de los ejes. Las velocidades angularesωj de los ejes pueden ser vinculadas, aplicando el principio de superposición, ala velocidad angular de los rotores ω de la siguiente forma

ωx

ωy

ωz

=

0 1 0 −1

−1 0 1 0

1 −1 1 −1

ω (4.3.9)

Las tildes denotan unas variables especiales, que se utilizarán en 4.3.4,como variables de estado del controlador. En esa misma sección se desarrollarála relación entre dichas variables y las variables reales del quadrotor.

4.3.2. Compensación Giroscópica

Como se ha desarrollado en la sección 2.6, los cambios de velocidad angularen los rotores introducen efectos giroscópicos, los cuales resultan en torques en laaeronave. Dado que dichos torques no pueden ser medidos, los mismos deberánser compensados utilizando controles a lazo abierto. Considerando los efectosdescriptos en (2.6.2) y teniendo en cuenta la disponibilidad de los parámetros ωy Ω, de los cuales dependen dichos efectos giroscópicos, se definen [21, 20]

Gux = − m+ln k la

P gx(ω,Ω) +D gx(ω,Ω)

Guy = − m+ln k la

P gy(ω,Ω) +D gy(ω,Ω)

(4.3.10)

donde P y D son constantes para el control de lazo abierto, las cuales se ajustanmanualmente en las simulaciones, procurando lograr una respuesta al escalónque logre compensar en la mayor medida posible los efectos giroscópicos inde-seados. Esta compensación se introducirá en la formulación final del control LQen la sección 4.3.4.

4.3.3. Compensación del Empuje

Análogamente al problema presentado antreriormente en (4.3.2), al produ-cirse una reorientación en el quadrotor, el empuje resultante se modifica, lo quederivará en una variación de la fuerza de empuje. Dado que no es posible lamedición del empuje vertical efectivo generado por los rotores, se propone lasíntesis de un control a lazo abierto que compense las variaciones estimadas endicha fuerza de empuje. Dicha ley de control tendrá la forma [21]

T u =ω0 l + f2 (ω0)

4 f1 (ω0)T (4.3.11)

4.3.4. Controlador Completo

Utilizando el principio de superposición y teniendo en consideración (4.3.8),(4.3.2) y (4.3.11), se obtiene como ley de control [21]

u1

u2

u3

u4

=

1 0 −0,5 0,251 0,5 0 0

1 0 0,5 −0,251 −0,5 0 0

T u

Lux + Gux

Luy + Guy

Luz

(4.3.12)

56


Con el objetivo de extender el rango de operación del control al apartarse delpunto de linealización de los actuadores u0, el cual provee la velocidad angulardel punto de trabajo ω0, se propone un mapeo del estilo entrada-salida entrelas variables utilizadas por el controlador y las variables reales utilizadas paralos modelos físicos de la aeronave [21]

T u ↔T u

uj ↔ uj

ωj ↔ ωj

Como se mostró previamente en 3.2.2 y 3.2.3, tanto el empuje de cada rotor,tj , como el momento de arrastre de los mismos, δj , tienen una dependencia, enrégimen estacionario aproximadamente parabólica respecto de la señal de entra-da uj . Para que el controlador conserve su dinámica en el punto de operación,es necesario que la derivada de la función de mapeo sea unitaria en dicho punto.Para satisfacer este requerimiento, se deriva la función propuesta

d

du

√u =

1

2√u

(4.3.13)

Con el objetivo de cumplir el requerimiento anterior, se introduce una constanteki, que satisfaga

ki

2√u

= 1 (4.3.14)

cuando el sistema se encuentre en su punto de operación, siendo la relación entrelas variables

ki√u = u0 (4.3.15)

Esto lleva a una constante ki =√2u0. El mapeo final de entrada resulta

uj = kiuj (4.3.16)

Donde uj es la acción obtenida por el controlador y uj es el valor real de la

señal que se envía a los motores.Dado que u0 = ki

√u0, se debe compensar T u con el objetivo de que pre-

serve el valor correcto en el punto de operación. Para lograr dicho objetivo, seintroduce una constante kd =

u0

k2i=

12 , de forma que

u0 = ki

kdu0 (4.3.17)

Esto conlleva a un mapeo de la forma

T u= kd T u (4.3.18)

Utilizando (4.3.18) y (4.3.16), se logra extender el rango de operación de lasacciones de control computadas por el controlador y proveer una entrada másadecuada al actuador, logrando una mejor acción de control.

Así como se realizaron mapeos para las señales de entrada, se propone unmapeo para el cómputo de las velocidades angulares. Esta necesidad surge de queel controlador utiliza un modelo que relaciona linealmente el empuje generadopor el rotor, tj , con su velocidad angular, ωj . Habiendo observado en 3.2.2 que

57


dicha relación puede aproximarse por una función cuadrática, se procede almapeo de las variables de estado utilizadas en el controlador con las velocidadesangulares utilizadas en los cómputos de los parámetros físicos.

Como se mencionó anteriormente, la derivada de la función que relacione losparámetros deberá tener derivada unitaria en el punto de operación. Asumiendouna dependencia cuadrática se tiene

d

dωω2

= 2ω (4.3.19)

Para satisfacer el requerimiento anterior, se introduce la constante li =1

2ω0, de

forma de que2liω0 = 1 (4.3.20)

Esto establece el mapeo de salida de la forma

ωj = li

√ωj (4.3.21)

Finalmente el controlador LQR se compone de (4.3.8), (4.3.9), (4.3.10),(4.3.11), (4.3.12), (4.3.16), (4.3.18) y (4.3.21).

Cabe destacar que si bien el controlador LQR es lineal, tanto las funcio-nes de mapeo de variables como la compensación giroscópica y el cómputo delquaternión de error son funciones no-lineales.

4.4. Análisis de Robustez de los Controladores

Los controladores desarrollados en las secciones 4.2 y 4.3 fueron diseñadosparticularmente para el quadrotor en uso, utilizando el modelo matemático delmismo, derivado en el capítulo 2. Dado que pueden existir diferencias entre elmodelo matemático y el sistema real (el quadrotor), en esta sección se analizala robustez de los controladores, es decir, la capacidad de satisfacer las espe-cificaciones a pesar de dichas diferencias, las cuales en la jerga se denominanincertidumbres [36].

Las fuentes de incertidumbres pueden ser varias, dentro de las cuales seenumeran: linealización del modelo físico, no linealidades inherentes al siste-ma (saturación, zona muerta, cuantización, etc.), imperfecciones en el modelomatemático (mal modelado del sistema).

4.4.1. Márgenes de Ganancia y Fase

Para el análisis de la robustez de los controladore se utilizarán los márgenesde ganancia y fase, conocidos como las medidas clásicas de robustez o como lasmedidas de estabilidad relativa. Dichos factores de mérito dan una idea de enqué medida puede verse modificada la dinámica de la planta, en amplitud o fase(sólo uno a la vez), y aún ser estable el sistema a lazo cerrado.

Como sistema de análisis, se definen una planta P (S) y un control C(S),ilustrados en la Figura 4.4.1.

El márgen de ganancia Am es una especificación del punto en que, sobreel diagrama de Nyquist, la respuesta en frecuencia de la función del lazo debecruzar el eje real negativo. Esta especificación determina un márgen de ganan-cia, dado que define un factor multiplicativo para la ganancia, para el cual el

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Figura 4.4.1: Sistema de control realimentado

sistema se volvería inestable. Dicho factor puede ser obtenido, análogamente,del diagrama de Bode del sistema, observando la distancia entre la ganancia delsistema y la ganancia unitaria, en el punto donde la fase vale −π, notada comoω−π. El valor de Am se define a través de la condición:

Am |C(jω−π)P (jω−π)| = 1 (4.4.1)

De esta forma, queda definido

Am =1

|C(jω−π)P (jω−π)|(4.4.2)

La interpretación del márgen de ganancia cómo una figura de mérito de larobustez del sistema, indica que en el caso en que el modelo del sistema seaincorrecto, la incertidumbre puede ser tal que la planta aumente su gananciaestática en un valor Am y el sistema a lazo cerrado seguirá siendo estable.

Por otro lado, el márgen de fase, φm, especifica en qué cantidad puede re-tardarse la fase del sistema de forma que la rotación producida en el diagramade Nyquist lo llevara a cruzar por el punto (−1, 0). Análogamente, utilizandoel diagrama de Bode, el márgen de fase corresponde al complemento necesariopara que la fase del sistema sea −π, en la frecuencia para la cual la gananciadel sistema es unitaria, notada como ω1. El márgen de fase especifica, entonces,el retardo de fase que puede sufrir el sistema antes que su comportamiento delazo cerrado sea inestable. El valor de φm queda definido por la condición

− φm + argC(jω1)P (jω1) = −π (4.4.3)

De esta forma, queda definido

φm = π + argC(jω1)P (jω1) (4.4.4)

De manera similar al márgen de ganancia, la interpretación del márgen defase como figura de mérito de la robustez del sistema, indica que en el caso enque exista una incertidumbre en el sistema, el mismo puede sufrir un retraso defase adicional de φm antes de volverse inestable a lazo cerrado.

En la Figura 4.4.2 se ilustra un diagrama de Nyquist genérico, sobre el cualse han marcado los márgenes de ganancia y fase.

Cabe remarcar que tanto el márgen de ganancia como el de fase, indicanlas incertidumbres admisibles en forma independiente, es decir, que exista erroren la ganancia o fase únicamente. Estos márgenes no son adecuados para es-tudiar la robustez de la planta a lazo cerrado cuando existan simultáneamenteincertidumbres en la fase y ganancia. Ante ese tipo de incertidumbres mixtas,se requerirán análisis utilizando métricas diferentes, como sería la sensibilidadmáxima, como se desarrolla en[37].

59


Figura 4.4.2: Diagrama de Nyquist genérico, con lo márgenes de ganancia y fasemarcados

Analizando las expresiones para el márgen de fase y ganancia en (4.4.4)y (4.4.2), se puede observar que en el caso del control PID, los mismos de-penderán en forma exclusiva de los parámetros de ajuste y de dinámica de laplanta, pudiendo sintonizar dicho controlador para obtener los márgenes desea-dos (mientras la planta a controlar lo permita), estableciendo una relación decompromiso entre los mismos y el resto de los parámetros del controlador, comoser el tiempo de establecimiento o el sobrepico.

Para el caso general del controlador LQR, contando con un sistema repre-sentado como en (4.3.1), admitiendo un control por realimentación de estadosde la forma (4.3.5), con una ganancia determinada por (4.3.6), se tenderá unamatriz de transferencia de la forma

L(S) = K · (S · I −A)−1 ·B (4.4.5)

Utilizando la Desigualdad de Kalman [34, 36], se obtiene

|1 + L(jω)| ≥ 1 ∀ω ∈ R (4.4.6)

Esto significa que el trazo del diagrama de Nyquist del control tendrá, en todomomento, una distancia mínima al punto crítico (−1, 0) de 1. Esta implicanciaconlleva a una serie de conclusiones:

El márgen de ganancia positivo será infinito, dado que al aumentar dichaganancia, el diagrama se expande, alejándose aún más del punto crítico,sin cambiar la cantidad o el sentido de las circunvalaciones al mismo

El márgen de ganancia negativo será de −6dB, dado que si se multiplicala planta por una ganancia 0,5 < k < 1, el diagrama sigue sin cruzar por elpunto crítico, sin cambiar la cantidad o el sentido de las circunvalacionesal mismo

El márgen de fase mínimo es de ±60º, dado que incluso con esa rotación,no cambia el número de circunvalaciones al punto crítico.

60


De los anteriores análisis se deriva que el control LQR garantiza un nivel mínimode robustez, lo que permite considerar el uso de los modelos obtenidos mediantela identificación del quadrotor, en el capítulo (3), los cuales pueden estar sujetosa errores en el modelado o en las mediciones.

Dado que el estudio realizado en base a los márgenes de amplitud y fase sonconsiderados para controles SISO (Single Input- Single Output), cabe destacarque dichos análisis pueden ser utilizados en los sistemas de control propuestosen este trabajo. En el caso del control PID, cada eje cuenta con un control in-dependiente y SISO, por lo que se podrán analizar cada uno por separado. Porotro lado, en el caso del controlador LQR, dado que las matrices Q y R pro-puestas según el criterio de Bryson son diagonales, se puede interpretar a cadacontrol axial como un controlador independiente, no existiendo interacciónentrelos mismos.

Considerando los parámetros de ajuste para los controladores, obtenidos enla sección 5.2.2, los márgenes de ganancia y fase de los controladores resultan:

AmPID = 8dB φmPID = 57

AmLQR = [−6.43,∞]dB φmPID = 62

En vista de los resultados obtenidos, sería de esperar que el control LQRpresente una mayor robustez frente a una modificación de la amplitud o fase, enforma independiente. Sin embargo, no es posible establecer conclusiones acercadel comportamiento de los controladores frente a una incertidumbre en ambosparámetros. En dicho caso se deberán analizar los controladores mediante el usode la función de sensibilidad.

4.4.2. Función de Sensibilidad

Para un correcto análisis de los controladores frente a una incertidumbre enla ganancia como en la fase de la planta, se propone la utilización de la funciónde sensibilidad. Esta función establece la dependencia de la transferencia a lazocerrado del sistema, definida como

Tlc(s) =P (s)C(s)

1 + P (s)C(s)(4.4.7)

en función de las incertidumbres presentes en la planta, denominadas P,deforma que la planta a controlar será

P (s) = Po(s) +P (4.4.8)

donde Po(s) representa la planta nominal y P son sus incertidumbres. Con-llevando a una transferencia de lazo cerrado de la forma

Tlc(s) = Tlc,o(s) +Tlc (4.4.9)

donde, análogamente, Tlc,o(s) es la transferencia nominal y Tlc es su variación.La función de sensibilidad se define como [37]

STlcP = lım

P→0

Tlc(s)/Tlc,o(s)

P (s)/Po(s)= S(s) (4.4.10)

61


La función de sensibilidad S(s) representa en qué medida se ve afectada ladinámica de la planta a lazo cerrado ante una incertidumbre en la misma. Estamedida es dependiente de la frecuencia, por lo que no es posible su uso como unafigura de mérito, por lo menos en forma inmediata. Con el fin de poder utilizaresta función como indicador de la robustez del sistema, se puede interpretar ala función de sensibilidad como la inversa de la distancia entre el punto (−1, 0)y el trazo del diagrama de Nyquist [37]. En base a esta interpretación, se podrádefinir una nueva figura de mérito

Ms.= max

ω|S(jω)| = max

ω

1

1 + C(jω)P (jω)

(4.4.11)

Esta figura de mérito se denomina máximo de sensibilidad, y representa la dis-tancia mínima entre el punto crítico (−1, 0) y la curva en el diagrama de Ny-quist. Además, éste es el valor máximo de la función de sensibilidad, otorgandouna noción de la máxima variación de la transferencia a lazo cerrado ante unavariación en la planta.

Para el caso de los controladores desarrollados en el presente capítulo, yutilizando los ajustes obtenidos en la sección 5.2.2, los máximos de sensibilidadobtenidos para los controladores fueron

MsPID = 1, 5

MsLQR = 1, 8

Analizando los resultados obtenidos, se podrá concluir que en este caso,para la elección particular de los ajustes de los controladores, es esperable queel control PID presente una mayor robustez que el LQR ante una variación enla ganancia y la fase de la planta de forma simultánea.


En el presente capítulo se describió la estructura general de los sistemasde vuelo y se propuso una estructura para el control particular del quadrotor.Adicionalmente, en la sección 4.1, se describieron brevemente los conceptos deNavegación, Control y Guiado. En las secciones 4.2 y 4.3,se procedió a desarro-llar los controladores PID y LQR, respectiamente, para el quadrotor, contandoeste último con una extensión para ampliar el rango de utilización del mismo.Finalmente en la sección 4.4 se realizó un análisis de robustez de los controla-dores.

62

Capítulo 5

Simulaciones

En el presente capítulo se muestran las simulaciones del sistema realizadascon el software Simulink. Las mismas tiene como propósito servir de herramientapara ajustar debidamente los parámetros de los controladores y a su vez propor-cionar referencias para contrastar con los resultados de los ensayos realizadosen el Capítulo 6. Se describen los bloques de Simulink utilizados y se realizansimulaciones de los controladores bajo diferentes situaciones. Adicionalmente serealizan simulaciones de estimación de orientación utilizando las diferentes re-presentaciones matemáticas (quaterniones y ángulos de Euler), observando susdiferencias.

63

CAPÍTULO 5. SIMULACIONES 65

5.1. Bloques en Simulink

Con el fin de poder simular los controladores desarrolados, se implementa-ron bloques específicos en Simulink. Los subsistemas fueron categorizados de lasiguiente forma:

Dinámica del quadrotor

Dinámica de los actuadores

Operaciones algebráicas en quaterniones

Bloque de control

5.1.1. Dinámica del quadrotor

El bloque que describe la dinámica del quadrotor tiene como propósito lasimulación de las características físicas de la aeronave. El bloque considera lasecuaciones de momento (2.6.1) y las ecuaciones de fuerzas (2.6.3) de la aeronave.Este bloque tiene como parámetros:

Entradas: M (vector de momentos), F (vector de fuerzas)

Salidas: Q (quaternión de orientación), Ω (vector de velocidades angulares),V (vector de velocidades de desplazamiento)

Figura 5.1.1: Bloque de Simulink del quadrotor

5.1.2. Dinámica de los actuadores

El bloque que describe la dinámica de los actuadores, considerando a losmismos como el conjunto ESC+motor+hélice, los cuales fueron descriptos eidentificados en la sección 3.2. Este bloque tiene como parámetros:

65

66 CAPÍTULO 5. SIMULACIONES

Entradas: U (vector de señales de control)

Salidas: T (vector de empujes), Ω (vector de velocidades angulares), L (vec-tor de momentos lineales), M (vector de torques)

Figura 5.1.2: Bloque de Simulink del actuador

5.1.3. Operaciones algebraicas en quaterniones

Estos bloques realizan las operaciones algebraicas entre quaterniones, to-mando los recaudos necesarios para su cómputo. Las operaciones implementadasfueron: multiplicación y logaritmo, siendo sus parámetros:

Multiplicación

Entradas: Q1, Q2 (quaterniones a multiplicar)

Salidas: Qp (quaternión del producto)

Figura 5.1.3: Bloque de Simulink del producto de quaterniones

Logaritmo

Entradas: Q (quaternión de entrada)

Salidas: Eq (vector resultante)

5.1.4. Bloque de control

El bloque recibe las variables de estado y las referencias y computa la acciónde control a realizar. Este bloque incluye el controlarod específico, teniendo ensu interior el controlador PID y el LQR, pudiendo optar cuál utilizar. Estebloque tiene como parámetros:

66


Figura 5.1.4: Bloque de Simulink del logaritmo de un quaternión

Entradas: Q (quaternión de orientación actual), Q (quaternión de orienta-ción de referencia), Ω (vector de velocidades angulares), ω (vectorde velocidades angulares de los rotores), T (fuerza de empuje totaldeseada)

Salidas: U (vector de señales de control)

Figura 5.1.5: Bloque de Simulink del producto de quaterniones

5.1.5. Diagrama Completo

Utilizando los bloques descriptos anteriormente, se armó un modelo de simu-laciones del quadrotor y el controlador. Dicho diagrama se muestra en la Figura5.1.6.

67


Figura 5.1.6: Diagrama completo de Simulink

5.2. Resultado de las Simulaciones

En la presente sección se presentan los resultados obtenidos de las diferentessimulaciones realizadas a partir del modelo de simulación desarrollado en el Ca-pítulo 2 e implementado en Simulink, descripto en la subsección 5.1.5. El órdenelegido para las simulaciones que se presentan procura mostrar las diferenciasentre los controladores y las técnicas de control utilizadas.

68


5.2.1. Orientación: Ángulos de Euler y Quaterniones

Como se mencionó en la sección 2.7, existen diferentes formas de representarlas rotaciones y estimar la orientación actual de la aeronave. En la presentesección se mostrarán diferencias entre las mismas ante diversas situaciones, si-mulando cada caso utilizando ambas representaciones.

Las simulaciones se realizaron tomando la versión simplificada de los ángulosde Euler, descripta por la ecuación (2.7.8), linealizada en torno al punto deoperación φ, θ,ψ = 0, 0, 0. Para el caso de los Quaterniones, no hace faltaestablecer un punto de operación, como se explica en la sección 2.7.3. Para todoslos casos, se variará únicamente el ángulo de Roll. Cabe mencionar que para lassimulaciones realizadas en este apartado, las cuales estiman la orientación de laaeronave, se utilizaron únicamente las velocidades angulares de la aeronave. Estoequivaldría, en un ensayo, a utilizar sólo las velocidades angulares obtenidas apartir de los sensores inerciales integrados en la placa de electrónica, obviandola información provista por los magnetómetros. Esto se debe a que estos últimosotorgan una referencia absoluta de la orientación del quadrotor, compensando(en cierta medida) los errores introducidos por los sensores inerciales, los cualesotorgan información relativa a la posición actual de la aeronave. De esta formase intenta evidenciar las diferencias entre la utilización de la representación conquaterniones y con ángulos de Euler en un sistema que estime su orientación deforma exclusivamente inercial.

Como primer caso de análisis, se tomó una pequeña rotación de la aeronave,en un entorno de su punto de operación, φ, θ,ψ = 0, 0, 0 → φ, θ,ψ =

15, 0, 0. Los resultados se muestran en la Figura 5.2.1. Se puede observar queel error cometido por ambas representaciones es similar. Esto se debe a que ladistancia al punto de operación no es tal que evidencie la linealización de lasfunciones trigonométricas en la representación por ángulos de Euler.

Como segundo caso de análisis, se tomó una rotación mayor, partiendo delpunto de operación. Los errores en la orientación se presentan en la Figura 5.2.2.Se puede observar que el error cometido en la representación de los ánglos deEuler es sustancialmente mayor a la obtenida mediante el uso de quaterniones.Esto se debe a que al ser la rotación efectuada mayor que en el caso anterior,la distancia al punto de trabajo (y de linealización) es mayor, evidenciando lasimplificación efectuada en el caso de los ángulos de Euler, e intriduciendo unerror en la estimación de la orientación.

Sumado a los resultados anteriores, se debe mencionar que los ángulos deEuler son suceptibles al fenómeno de Gimbal Lock, descripto en la sección(2.7.4).Esto conlleva a que la estimación de la orientación mediante el uso delos ángulos de Euler no es aplicable bajo esas circunstancias, dado que la re-presentación posee una singularidad en el punto donde el pitch vale 90º, la cualimposibilita el cómputo de la orientación. A su vez es apreciable de las ecuacio-nes desarrolladas en esa misma sección, que la estimación resultante mediante eluso de quaterniones no posee dicha limitación, pudiendo realizarse la estimaciónindependientemente de la orientación de la aeronave.

69


(a) Estimación del ángulo de la aeronave

(b) Error en la estimación del ángulo de la aeronave

Figura 5.2.1: Estimación del ángulo de Roll ante una variación pequeña

70


(a) Estimación del ángulo de la aeronave

(b) Error en la estimación del ángulo de la aeronave

Figura 5.2.2: Estimación del ángulo de Roll ante una variación grande

Como conclusión se obtiene que mediante las simulaciones realizadas, seevidencia la ventaja de la utilización de los quaterniones para el cómputo y re-presentación de la orientación. En este trabajo se utilizará de ahora en más larepresentación mediante el uso de los quaterniones, dadas las ventajas mencio-nadas anteriormente.

71


5.2.2. Ajuste de los controladores

Para el correcto funcionamiento de los controladores, es necesario ajustar losparámetros de los mismos. Dada la simetría de la aeronave y el desacoplamientode los ejes, como se mencionó en la subsección 2.10, los ejes de pitch y rolltendrán los mismos parámetros. Esto significa que sólo es necesario efectuar elajuste de dos controladores, uno de inclinación (que se duplicará para pitch yroll) y otro para el yaw.

Para el caso del ajuste de los parámetros del control PID, se utilizó el soft-ware MATLAB, el cual cuenta con una herramienta especialmete diseñada paraeste fin, denominada Control System Toolbox. El proceso de ajuste consistió enmodificar las constantes del controlarod e ir visualizando la respuesta al esca-lon de dicha configuración. El criterio para la elección final de los parámetrosdel controlador fueron una relación adecuada entre el sobrepico obtenido y eltiempo de establecimiento, siendo esos dos parámetros los principales en estaaplicación. En la Figura 5.2.3 se ilustra la interfaz del software utilizado, dondese puede ver un gráfico correspondiente a una respuesta al escalón. Debajo dedicho gráfico hay una barra, la cual se puede desplazar para obtener una res-puesta de mayor o menor tiempo de establecimiento. En base al movimientode dicha barra y la apreciación de la respuesta al escalón obtenida, se determi-naron los parámetros del PID utilizado, los cuales resultaron en Kpx,y = 3,86,Kix,y = 0,15 y Kdx,y = −0,64, para los ejes x ey. Para el eje z resultaronKpx,y = 4, 03, Kix,y = 0,12 y Kdx,y = −0,41.

Figura 5.2.3: Control System Toolbox de MATLAB

Para el caso del control LQR, el ajuste se realizó partiendo del criterio deBryson, mencionado en la subsección 4.3.1. A partir de la obtención de lasmatrices Q y R, se computó la matriz de ganancia K, utilizando el MATLAB.Luego se analizó la respuesta al escalón obtenida utilizando dichas matrices.Con el fin de obtener una respuesta al escalón satisfactoria, como en el casodel contol PID, se consideraron el sobrepico y el tiempo de establecimientocomo factores de mérito, ajustando las matrices Q y R e iterando nuevamente

72


el proceso descripto hasta la obtención de la respuesta deseada. Cabe destacarque las matrices Q y R se eligieron diagonales.

Los parámetros obtenidos para cada uno de los controladores son los quese utilizaron a lo largo de todas las simulaciones y para la implementación,descripta en el capítulo 6.

5.2.3. Control PID: Trayectoria libre y Eigenaxis

Como se ha descritpo en la sección 2.8, existen infinitas trayectorias porlas cuales estabilizar la aeronave. Dentro de esas posibles trayectorias hay sólouna que cumple con el Teorema de Rotación de Euler y que tiene un recorridomínimo. A continuación se muestran las simulaciones de la estabilización delquadrotor, con rotación libre y con el cómputo de los eigenaxis.

Para simplificar la simulación, se utilizó el control PID, desarrollado en lasección 4.2. Para el seguimiento de la trayectoria mínima, se utilizaron los re-sultados del Apéndice A, en el cual se demuestra que dicha trayectoria puedeser obtenida accionando los actuadores en forma proporcional al vector de errorallí definido. Las siguientes simulaciones muestran los parámetros del quadrotormientras éste pasa de su posición original φ, θ,ψ = 0, 0, 0 a una posiciónfinal (elegida de forma arbitraria) φ, θ,ψ = 30, 25, 0.Como se puede obser-var en las Figuras 5.2.4, 5.2.5 y 5.2.6, el tiempo de estabilización mediante elseguimiento de la trayectoria mínima, para este caso en particular, es menoral de la estabilización mediante trayectoria libre en un 46%. Este resultado esde gran utilidad, debido que un menor tiempo de establecimiento permite unamayor maniobrabilidad de la aeronave, permitiendo maniobras más agresivas.

Como observación adicional, se puede notar que en el caso de la estabiliza-ción mediante la trayectoria determinada por la rotación sobre el eigenaxis, eltiempo de establecimiento es igual para ambos ejes. Esto se debe a que la tra-yectoria a seguir tiene como último punto el de referencia, lo que implica que laestabilización se dará cuando se llegue al punto final de la misma. En otras pala-bras, el tiempo de estabilización en el caso de la trayectoria libre dependerá deltiempo que tarde el controlador del eje más apartado de la referencia, mientrasque el otro eje puede haberse estabilizado completamente en un tiempo menor.En cambio, en el caso de la estabilización con trayectoria mínima, el tiempoestabilización será determinado por el largo de la trayectoria a seguir, tardandolo mismo en ambos ejes.

Como resultado adicional, en la Figura (5.2.7) se muestran las energías delas señales de control de ambos casos, normalizadas en función de la energía má-xima, donde se observa que la señal obtenida para el caso de los eigenaxis tieneuna menor energía, resultado de un accionamiento más efectivo de los actuado-res, lo que implica un menor consumo energético [7, 5, 6]. En este caso particularde reorientación, se aprecia que la señal de control correspondiente al controlrotación por trayectoria mínima posee un pico de energía aproximadamente un25% menor al caso de la reorientación por trayectoria libre.

De este modo, observando las Figuras 5.2.4 a 5.2.7, se puede notar la me-joría del seguimiento de la trayectoria de estabilización obtenida a partir deseguir la trayectoria del eigenaxis. Dicha mejoría reside tanto en el tiempo deestablecimiento como en la eficiencia con la cual se manipulan los actuadores,requiriendo menor energía para estabilizar la aeronave.

73


4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 80

5

10

15

20

25

30

35

40

Tiempo [Seg]

Áng

ulos

[Gra

dos]

(!,",#)Referencia

!

"

#

(a) Reorientación con trayectoria libre

4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 80

5

10

15

20

25

30

35

40

Tiempo [Seg]

Áng

ulos

[gra

dos]

(!,",#)Referencia

!

"

#

(b) Reorientación con rotación sobre eigenaxis

Figura 5.2.4: Respuesta al escalón del controlador PID

74


4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8!5

0

5

10

15

20

25

30

35

Tiempo [Seg]

Err

or

[Gra

dos]

!Error

"Error

#Error

(a) Error en los ángulos para la reorientación con trayectoria libre

4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8!5

0

5

10

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20

25

30

35

Tiempo [Seg]

Err

or

[gra

dos]

!Error

"Error

#Error

(b) Error en los ángulos para la reorientación con eigenaxis

Figura 5.2.5: Error en la orientación

75


4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 80

5

10

15

20

25

30

35

40

Tiempo [Seg]

Dis

tanci

a a

la P

osi

ción F

inal

Distancia

(a) Distancia a la orientación final para la reorientación con trayectoria libre

4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 80

5

10

15

20

25

30

35

40

Tiempo [Seg]

Dis

tanci

a a

la P

osi

ción F

inal

Distancia

(b) Distancia a la orientación final para la reorientación con eigenaxis

Figura 5.2.6: Distancia a la orientación final

76


Figura 5.2.7: Señal de control para la reorientación de la aeronave

5.2.4. Eigenaxis: Control PID y LQR

En esta subsección de propone comparar los controles PID y LQR en su ca-pacidad para realizar la maniobra de reorientación de la aeronave siguiendo latrayectoria dictada por la rotación sobre el eigenaxis. Para realizar las compara-ciones se propone una reorientación de la aeronave en la cual se modifiquen lasinclinaciones de varios de sus ejes, lo que requiere el accionamiento del contro-lador sobre todos los actuadores de la aeronave, mostrando un funcionamientopleno.

Para el primer caso de análisis, se muestra una reorientación de la aeronave,pasando del estado de hovering φ, θ,ψ = 0, 0, 0 a una nueva orientaciónφ, θ,ψ = 45, 55, 0.

Como se puede observar de las Figuras 5.2.8 y 5.2.9, ambos controladoreslogran un correcto seguimiento de la trayectoria. En base a los resultados obte-nidos se observa un mejor resultado con el control LQR, teniendo un tiempo deestablecimiento 37% menor y un sobrepico 9% menor. Sin embargo, se proponesimular casos donde exista una modificación en los parámetros del quadrotor,como la modificación de su peso o alguna anomalía en uno de sus actuadores,con el fin de observar el comportamiento de los controladores.

Como primer caso de análisis, se propone la modificación de la masa de laaeronave, incrementándola en un 25%, e intentando realizar las mismas manio-bras realizadas anteriormente, utilizando el mismo controlador. Los resultadosse muestran en las Figuras 5.2.10 y 5.2.11. Se observa que ambos controladoresse ven afectados por el cambio de la masa de la aeronave, pero particularmenteel control LQR sufre una mayor modificación en su funcionamiento, aumentan-do su tiempo de estblecimiento en un 17% y su sobrepico en un 11%. Estecomportamiento puede ser altamente perjudicial en un quadrotor, dado que ge-neralmente se los utiliza para transportas algún tipo de carga, como puede seruna cámara de fotos o un sensor en general, lo cual modifica su masa.

77


Como segundo caso de análisis, se propone la introducción de ruido en lamedición de los sensores. Observando la hoja de datos de los sensores provistosen la placa de electrónica MultiWii SE, de la aeronave, sus giróscopos (ITG3205)poseen una potencia de ruido promedio relativa de 0,7%. Procurando tomar elpeor caso posible, se introdujo un ruido porcentual del 1% en las mediciones delos giróscopos, lo cual derivó en los resultados mostrados en las Figuras 5.2.12y 5.2.13. Observando los resultados se puede notar la presencia del ruido en laorientación de la aeronave. En este caso de análisis y para este nivel de ruido,no es posible establecer una mejoría de alguno de los dos controladores.

Para el siguiente caso de estudio, se introdujo un malfuncionamiento en unode los motores, elegido al azar. Dicho malfuncionamiento consta en una mayorzona muerta, descripta en la sección 3.2, y una menor ganancia. Esto se traduceen que dicho motor tendrá una menor velocidad angular que el resto ante la mis-ma señal de control. Los resultados de dichas simulaciones se muestran en lasFiguras 5.2.14 y 5.2.15. Como se puede observar, la introducción del malfuncio-namiento de un motor afectó el rendimiento de ambos controladores en cuantoal error de estado estacionario. En el caso del control PID, el error estacionariofinal es de 1,82%, mientras que el del control LQR es de 2,73%. Por otro lado,se puede apreciar que el control LQR tiene un tiempo de establecimiento menorque el PID, con lo que la elección del controlador se verá sujeta a una relaciónde compromiso entre estas dos características.

Como conclusión se puede decir que en el intento por realizar una manio-bra de reorientación de la aeronave, siguiendo la trayectoria resultante de unarotacion en torno al eigenaxis, se utilizaron un control clásico PID y un con-trol óptimo LQR. Ambos controladores mostraron un correcto funcionamientofrente a condiciones normales de operación, donde el quadrotor preserva sus pa-rámetros y sus actuadores funcionan correctamente. En este caso, se notó unapequeña mejoría del LQR frente al PID, la cual reside en el tiempo de estable-cimiento y un menor sobrepico. Al simularse condiciones de funcionamiento enlas cuales la dinámica de la aeronave se ve alterada con respecto a la utilizadapara la síntesis de los controladores, se notaron alteraciones en el funcionamien-to de los controladores. Dichas alteraciones residen principalmente en el tamañodel sobrepico y en el tiempo de estabilización, siendo el rendimiento del controlPID relativamente mejor al LQR. Por último se observó que si se incluye unruido en la información de las velocidades angulares de la aeronave, las cualesson las utilizadas para estimar su orientación, ambos controladores presentanun comportamienteo peor que en el resto de los casos. Ante esta inclusión deruido, se observó que el control PID obtuvo resutados más satisfactorios que elLQR.

Como comentario final, se puede concluir que el control clásico PID tienemejores resultados frente a variaciones en la dinámica de la aeronave, mientrasque el control LQR muestra un mejor rendimiento ante condiciones normales defuncionamiento. Este resultado condice con los análisis de robustez realizadosen la sección 4.4.2.

78


4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 80

10

20

30

40

50

60

70

Tiempo [Seg]

Áng

ulos

[Gra

dos]

(!,",#)Referencia

!

"

#

(a) Reorientación con control PID

4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 80

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

Tiempo [Seg]

Áng

ulos

[gra

dos]

(!,",#)Referencia

!

"

#

(b) Reorientación con control LQR

Figura 5.2.8: Reorientaciones de la aeronave con controles PID y LQR

79


4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8!10

!5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

Tiempo [Seg]

Err

or

[Gra

dos]

!Error

"Error

#Error

(a) Errores con control PID

4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8!10

!5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

Tiempo [Seg]

Err

or

[gra

dos]

!Error

"Error

#Error

(b) Errores con control LQR

Figura 5.2.9: Errores en la orientación con controles PID y LQR

80


4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.50

10

20

30

40

50

60

70

Tiempo [Seg]

Áng

ulos

[Gra

dos]

(!,",#)Referencia

!

"

#

(a) Reorientación con control PID, con cambio en la masa de la aeronave

4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.50

10

20

30

40

50

60

70

Tiempo [Seg]

Áng

ulos

[Gra

dos]

(!,",#)Referencia

!

"

#

(b) Reorientación con control LQR, con cambio en la masa de la aeronave

Figura 5.2.10: Reorientaciones de la aeronave con controles PID y LQR

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4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8!20

!10

0

10

20

30

40

50

Tiempo [Seg]

Err

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[Gra

dos]

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"Error

#Error

(a) Errores con control PID, con cambio en la masa de la aeronave

4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8!20

!10

0

10

20

30

40

50

Tiempo [Seg]

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[Gra

dos]

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#Error

(b) Errores con control LQR, con cambio en la masa de la aeronave

Figura 5.2.11: Errores en la orientación con controles PID y LQR

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4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8!5

0

5

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15

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Tiempo [Seg]

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ulos

[gra

dos]

(!,",#)Referencia

!

"

#

(a) Reorientación con control PID, con ruido de medición

4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8!10

!5

0

5

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Tiempo [Seg]

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!

"

#

(b) Reorientación con control LQR, con ruido de medición

Figura 5.2.12: Reorientaciones de la aeronave con controles PID y LQR, conruido de medición

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4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8

!10

!5

0

5

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Tiempo [Seg]

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#Error

(a) Errores con control PID, con ruido de medición

4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8!10

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0

5

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60

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Tiempo [Seg]

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or

[gra

dos]

!Error

"Error

#Error

(b) Errores con control LQR, con ruido de medición

Figura 5.2.13: Errores en la orientación con controles PID y LQR, con ruido demedición

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4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 80

10

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30

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50

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Tiempo [Seg]

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ulos

[Gra

dos]

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!

"

#

(a) Reorientación con control PID, con un motor averiado

4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 80

5

10

15

20

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Tiempo [Seg]

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ulos

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!

"

#

(b) Reorientación con control LQR, con un motor averiado

Figura 5.2.14: Reorientaciones de la aeronave con controles PID y LQR, con unmotor averiado

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4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8!5

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5

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(a) Errores con control PID, con un motor averiado

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5

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20

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(b) Errores con control LQR, con un motor averiado

Figura 5.2.15: Errores en la orientación con controles PID y LQR, con un motoraveriado


En el presente capítulo se presentaron los bloques de Simulink utilizados y undiagrama completo del sistema simulado. Utilizando esa herramienta, se simulóel comportamiento de la aeronave bajo diferentes circunstancias de funciona-miento, las cuales varían desde reorientaciones pequeñas hasta reorientacionesgrandes. En la sección 5.2.1 se mostró la utilidad de la utilización de quaternio-

86


nes para la representaciñon de la orientación, los cuales introducen un menorerror de estimación que los ángulos de Euler. En la sección 5.2.3 se mostraron lasventajas del seguimiento de la trayectoria determinada por la rotación alrededordel eigenaxis. Luego, en la sección 5.2.4, se procedió a comparar el rendimientode los controladores PID y LQR para el seguimiento de la trayectoria antedi-cha, mostrando que con el LQR se obtiene un mejor rendimiento en condicionesnormales de operación. Como caso adicional, se alteró el modelo del quadrotorcon el fin de comparar nuevamente el rendimiento de los controladores ante lamodificación de la planta. Los casos analizados son el incremento de la masade la aeronave y un malfuncionamiento en uno de sus motores. En estos casos,ambos controladores resultaron afectados, pero siendo el PID el cual obtuvomejores resultados.

87

Capítulo 6

Implementación y Resultados

En la presente sección se implementan los controles desarrollados en el tra-bajo en el QuadRotor descripto en la sección 1.3. Se describen los problemasencontrados, analizando su causa, y se detallan las acciones correctivas tomadaspara solucionarlos. Además se presentan y analizan los resultados obtenidos delas mediciones.

89

CAPÍTULO 6. IMPLEMENTACIÓN Y RESULTADOS 91

6.1. Descripción del banco de mediciones

Para la realización de experimentos con el sistema real, fue necesaria la cons-trucción de un banco de pruebas que permitiera realizar rotaciones libremente,pero que no permitiera al QuadRotor desplazarse, dado que de otra forma elmismo se estrellaría contra las paredes del recinto. El banco construído constade un vínculo mecánico, libre de rotación pero fijo en su posición, al cual sele adjuntó el cuerpo de la aeronave, de forma que la misma pudiera rotar li-bremente en cualquiera de sus ejes. Dicho banco se ilustra en la Figura 6.1.1.Se tuvo especial recaudo de que el rozamiento presente en el vínculo fuera elmínimo posible y que los materiales utilizados fueran lo más rígidos posibles,para evitar vibraciones debidas a los mismos.

Figura 6.1.1: Banco de medición para ensayos de reorietación

Para la construcción del banco de mediciones, se consideraron los siguientespuntos:

Poca fricción entre el quadrotor y el banco, con el fin de no introducirtorques externos.

Poca adición de peso al quadrotor, con el fin de no modificar la masa delmismo y que el rendimiento del controlador se vea afectado.

Rigidez del banco, para evitar vibraciones que introduzcan errores en lamedición.

Libertad de movimiento suficiente en todas las rotaciones, para que el topedel banco no afecte el movimiento del quadrotor.

En base a estas consideraciones, se diseñó el banco en base a una rótula mecá-nica, la cual permite una rotación libre en en ángulo del yaw y una inclinaciónlibre para ángulos menores que 75º. Dicha rótula se ilustra en la Figura 6.1.2.

Con el fin de que el eje de las rotaciones sea lo más cercano al centro de masade la aeronave, se adjuntó a la misma lo más cercanamente posible a la partesuperios de la rótula, quedando una distancia aproximada de unos 2cm entreel centro físico de la aeronave y el punto de rotación. Además, de este modo selogra que la masa adicionada al quadrotor sea sólamente la correspondiente ala parte exterior de la rótula, la cual no supera los 20gr.

91

92 CAPÍTULO 6. IMPLEMENTACIÓN Y RESULTADOS

Figura 6.1.2: Rótula mecánica

La parte inferior de la rótula fue fijada mediante una varilla metálica rígidaal suelo, procurando reducir en la mayor medida posible las vibraciones. Dichavarilla tiene un largo de 60cm, lo cual permite despreciar el efecto suelo [6], porla distancia de la aeronave al piso, y reduce las vibraciones, debido a su cortalongitud.

Finalmente el banco desarrollado fue lubricado con aceite para que el roza-miento debido a la rótula fuera el menor posible. El banco de ensayos propor-ciona rotaciones con bajo rozamiento para los tres ejes.

6.2. Diseño del Firmware

6.2.1. Descripción general del FirmwareComo se mencionó en la descripción de la electrónica de abordo, en la sección

1.3.4, la placa con la que cuenta la aeronave es una MultiWii SE, la cual poseelos sensores necesarios para la estimación de la orientación y las velocidadesangulares, y un microcontrolador, para procesar los datos y enviar las señalesde control a los ESC. Dicha placa es compatible con Arduino, lo que posibilitacodificar en lenguaje C y el uso de las librerías de dicha plataforma para compilarel código. El microcontrolador presente en la placa cuenta con 6 salidas de PWMpor hardware, las cuales se utilizan para el comandado de los ESC.

Para la implementación de los controladores en la aeronave, se propone unciclo de operación con el siguiente órden: obtención de referencias, estimaciónde la orientación actual, cómputo de las acciones de control y actualización delas señales de control. Estas acciones se computan constantemente en un ciclode operación, ilustrado en la Figura 6.2.1.

A continuación se describe cada uno de los bloques del ciclo:

Obtención de Referencias: En este bloque se obtiene la referencia queindica la orientación deseada.

Estimación de la Orientación Actual: En este bloque se realiza unaestimación de la orientación actual. La misma se hace mediante la pro-pagación de las mediciones inerciales, utilizando quaterniones, como se

92


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Figura 6.2.1: Ciclo de ejecición del Firmware

menciona en la sección 2.7.3. La información acerca de las velocidadesangulares es obtenida de la medición de los sensores inerciales.

Cómputo de las Acciones de Control: En este bloque se implemen-tan los algoritmos de control resultantes de los desarrollos previos de loscontroles PID y LQR. Este bloque es el único que se modifica al pasar deun controlador al otro.

Actualización de las Señales de Control: En este bloque se actualizanlos valores del Duty Cicle de los PWM que comandan a los ESC, convir-tiendo los valores porcentuales de accionamiento en el tiempo de trabajodebido.

Con el fin de establecer una única frecuencia de lazo, y poder realizar las com-paraciones para dicha frecuencia, se midieron los tiempos de ciclo para cadauno de los controladores. El controlador con un tiempo de ciclo mayor resultóel LQR, el cual registró una frecuencia de operación de unos 80,6Hz, correspon-diente a un tiempo de ejecución de ciclo de unos 12,4ms, mientras que el controlPID registró un tiempo de ciclo de 11,9ms, correspondiente a una frecuenciade 84Hz. En base a este resultado, se determinó un tiempo de cíclo único paraambos controladores de 80Hz y un tiempo de ciclo de 12,5ms.

6.2.2. Definición de las operaciones numéricas

Dado que para la implementación de los controladores es necesario el cómpu-to de integrales y derivadas, se procede a definir el método numérico a utilizaren cada caso.

93


En el caso de la derivación numérica, se definió a la derivada de la funciónf(k) en el instante k como

d f(k)

dk f(k)− f(k − 1)

T(6.2.1)

donde T es el tiempo entre el instante k − 1 y el instante k. Esta clase dederivación numérica aporta simplicidad y resulta en una buena aproximaciónpara sistemas con una frecuencia de muestreo superior a su ancho de banda[38].

Para el caso de la integración, se decidió utilizar el método del rectángulo,donde se supona a la función como constante entre muestras. Esta suposiciónconlleva a una definición de la integral de la forma

ˆ k

k−1f(n) dn f(k − 1) · T (6.2.2)

donde T es el tiempo entre el instante k − 1 y el instante k. Al igual que en elcaso de la derivación numñerica, este método de integración aporta simplicidady proporciona buenos resultados para sistemas con una frecuencia de muestreosuperior a su ancho de banda [38].

6.2.3. Operaciones con Quaterniones

Dada la necesidad de operar con quaterniones, fue necesario implementaruna librería en lenguaje C que permita la realización de operaciones aritméticasentre los mismos. La librería generada es completamente independiente de laaplicación y sirve solamente como herramienta matemática para el cómputo delas operaciones algebraicas. La definición de cada operación con quaterniones sepuede encontrar en [39].

6.3. Control PID

6.3.1. Implementación y Resultados en el sistema real

El control PID tiene como una de sus grandes ventajas la simplicidad deimplementación, dado que la misma puede ser prácticamente hecha en una solalínea [40]. Esta simplicidad reside en que la acción de control es el resultado deuna sumatoria de los términos proporcional, integral y derivativo.

Para la implementación en el sistema real, se codificó el algoritmo del PID,determinado por (4.2.1), en el lenguaje de programación C. Las constantesutilizadas son las que se utilizaron previamente en las simulaciones, las cua-les habían sido ajustadas para lograr la respuesta al escalón deseada. Para elprimer ensayo, se tomó un cambio de orientación de φ, θ,ψ = 0, 0, 0 aφ, θ,ψ = 45, 55, 0, con el fin de comparar los resultados con los obtenidosmediante la simulación en la sección 5.2.4. Los resultados se muestran en laFigura 6.3.1.

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(!,",#)Referencia

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"

#

(b) Simulación

Figura 6.3.1: Reorientación con control PID

Como se observa en la Figura 6.3.1, el controlador logra realizar un segui-miento de la trayectoria mínima, cometiendo un error levemente mayor al regis-trado en las simulaciones, pero con resultados satisfactorios. Además se puedeobservar una modificación en el ángulo de yaw, el cual en todo momento deberíapermanecer inmutado. Esta perturbación puede ser atribuída a una variacióndel momento angular de la aeronave, el cual depende de la velocidad angularde los rotores. Dicha variación puede ser resultante de la leve diferencia entreel tiempo de crecimiento y de decrecimiento de los motores, mencionado en lasección 3.2.5. Esta diferencia ocasiona que dichas velocidades angulares no seanulen entre sí, introduciendo un torque que deriva en la rotación del yaw. Sinembargo, a pesar de esta acción indeseada, el controlador logra revertir dichaperturbación y estabilizar la aeronave en la orientación deseada.

95


6.3.2. Perturbación en el modelo del QuadRotor

Como se ha mencionado anteriormente en la sección 5.2.4, el controlador essintonizado en función de la dinámica del modelo, por lo que es esperable queante una variación de la misma, el comportamiento del controlador cambie. Eneste ensayo se propone modificar la masa de la aeronave, con el fin de observar losresultados en el controlador, para la misma maniobra realizada anteriormente.Para variar la masa del QuadRotor, se agregó una pesa de 250gr lo más cercaposible al centro de masa. Los resultados se muestran en la Figura 6.3.2.

Como se aprecia en la Figura 6.3.2, la respuesta obtenida con el controladorpresenta un mayor tiempo de establecimiento. Este comportamiento se atribuyea que el controlador utilizado está sintonizado para una planta con una masamenor a la utilizada en este ensayo.

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(a) Mediciones

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#

(b) Simulaciones

Figura 6.3.2: Reorientación con control PID, con cambio en la masa de la aero-nave

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6.3.3. Tiempo ocioso

Considerando que este tipo de aeronaves es generalmente utilizada para algu-na aplicación específica, como se mencionó en la sección 1.1, se propone analizarel tiempo ocioso del microcontrolador, a fin de evaluar la posibilidad de imple-mentar funcionalidades para la aplicación en cuestión. Para dicho análisis, seutilizó un contador, el cual se encarga de registrar el tiempo en el cual el mi-crocontrolador se encuentra activo y el tiempo en el cual se encuentra ocioso.Luego se los ensayos, se computó la relación entre dichos tiempos, la cual mos-tró un estado ocioso de aproximadamente un 2,5% del tiempo. Este nivel deocupación del microcontrolador imposibilita la implementación de algún códigode aplicación, requiriendo hardware externo para cualquier aplicación adicio-nal. Si se deseara codificar alguna aplicación adicional, sería necesario disminuirla frecuencia del lazo de control, lo que reduciría el tiempo de ocupación delmicrocontrolador, a costas del rendimiento del control.

6.4. Control LQR

6.4.1. Implementación y Resultados en el sistema real

Para la implementación del control LQR en el sistema real, se codificó elalgoritmo de control LQR en lenguaje C. Para dicho algoritmo, se utilizaron lasmatrices Q, R y K obtenidas en las simulaciones. Las matrices Q y R parten delcriterio de Bryson y han sido levemente modificadas para obtener una respuestaal escalón satisfactoria. Al igual que en los casos de ensayo anteriores, se proponeun cambio de orientación de φ, θ,ψ = 0, 0, 0 a φ, θ,ψ = 45, 55, 0. Losresultados de dicho ensayo se presentan en la Figura 6.4.1.

Como se observa de la Figura 6.4.1, el controlador logra una correcta esta-bilización de la aeronave, pero a diferencia de los resultados obtenidos en lassimulaciones, el tiempo de establecimiento es un 23% mayor y se observa unincremento en el sobrepico, además de la presencia de oscilaciones y ruido. Ade-más, al igual que en los resultados obtenidos con el control PID, se observauna perturbación en el ángulo de yaw. Este comportamiento, apartado de lassimulaciones, puede atribuirse a las diferencias entre el modelo físico del Qua-dRotor, desarrollado en el Capítulo 2, y la dinámica real del sistema. Asimismola perturbación del yaw puede ser nuevamente atribuida a las diferencias entre eltiempo de crecimiento y de decrecimiento de los motores, como se mencionó enla sección 6.3.1. Cabe destacar que a pesar de el comportamiento del controladorLQR no resulta idéntico al registrado en las simulaciones, éste proporciona unrendimiento superior al del PID, obteniéndose un menor sobrepico y un menortiempo de establecimiento.

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(!,",#)Referencia

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"

#

(b) Mediciones

Figura 6.4.1: Reorientación con control LQR

6.4.2. Perturbación en el modelo del QuadRotor

Habiendo observado una anomalía en el funcionamiento del control LQR yhabiendo atribuído el mismo a las discrepancias entre la dinámica de la plantay su modelo, se propone modificar el mismo de forma intencional, con el fin deobservar el nuevo comportamiento del controlador. En este ensayo se propone laadición de una masa de 250gr a la aeronave, colocada lo más cercano posible a sucentro de masa. Nuevamente se propone un cambio de orientación de φ, θ,ψ =

0, 0, 0 a φ, θ,ψ = 45, 55, 0. Los resultados se presentan en la Figura 6.4.2.Como se observa en la Figura 6.4.2, el rendimiento del controlador decreció

notablemente. Esto puede ser atribuído a que esta modificación de la dinámicade la planta, sumada a las (supuestas) discrepancias previas entre el modeloy la dinámica de la aeronave, hagan que el controlador no logre estabilizarcorrectamente la planta, manipulando los actuadores de una forma ineficiente.

98


Estos ensayos concluyen en que es de gran importancia el preciso modeladode la aeronave para la implementación de un control LQR, dado que dichocontrol es altamente dependiente del modelo.

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(!,",#)Referencia

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#

(b) Simulaciones

Figura 6.4.2: Reorientación con control LQR, con cambio en la masa de laaeronave

6.4.3. Tiempo ocioso

Como se detalló en la sección 6.3.3, se procedió a la medición del tiempoocioso del microcontrolador, la cual resultó en aproximadamente un 1, 75% deltiempo. Si bien el tiempo ocioso para este controlador es menor que para el PID,ninguno de los dos permite la codificación de una aplicación adicional para elmicrocontrolador, lo cual no presenta ventajas a niguno de los controladores.

99



En el presente capítulo se presentó el banco de medición utilizado para losensayos experimentales. Se describió su estructura y su funcionamiento. En lasección 6.2 se describió el la estructura del firmware desarrollado, indicando lasfrecuencias de operación y el ciclo de operaciones del mismo. Se definieron lasoperaciones numéricas utilizadas para la derivación e integración y se implemen-tó una librería para el álgebra de quaterniones. En la sección 6.3 se presentaronlas mediciones de los ensayos con el control PID, para las cuales se tomó un casode operación normal y otro con el quadrotor cargado con una masa de 250 gr.En la sección 6.4 se presentaron las mediciones realizadas en los ensayos con elcontrol LQR, para los mismos casos que en el control PID.

100

Capítulo 7

Conclusiones

101

CAPÍTULO 7. CONCLUSIONES 103

7.1. Conclusión General

En el presente trabajo se desarrolló, simuló e implementó un controladorde orientación para una quadrotor. Durante el desarrollo del trabajo se analizóla estructura de la aeronave, describiendo su principio de funcionamiento y lanecesidad de un controlador de orientación para la misma. Para la realizaciónde los controladores, fue necesario el desarrollo de un modelo matemático dela aeronave, el cual fue derivado de su geometría y de las características físi-cas y eléctricas de sus rotores. En el trabajo se analizaron las diferencias entrela representación con Ángulos de Euler y con Quaterniones, concluyendo queestos últimos proveen una mejor herramienta para la integración de los senso-res inerciales e introducen un menor error en el cómputo. Para la obtención delos parámetros físicos de la aeronave, se realizaron pruebas de identificación delos mismos, empleando bancos de medición especialmente diseñados para cadaensayo. Durante las simulaciones se mostró la ventaja del seguimiento de unatrayectoria determinada por la rotación sobre el eigenaxis, que proporciona unanotable disminución en las acciones de control, ahorrando energía y disminu-yendo el tiempo de reorientación de la aeronave. Finalmente, como resultado dela implementación, se observó que el control LQR es altamente dependiente delmodelo de la planta, haciendo que las discrepancias entre el mismo y la dinámicareal del sistema afecten su rendimiento de forma notable. En cuanto al controlPID, éste proporciona una mayor robustez ante las imperfecciones del modelo,lo cual resulta en una doble ventaja: rendimiento similar con imperfecciones enel modelo y mayor facilidad de implementación.

Como conclusión general del trabajo, se puede mencionar que se notaron ven-tajas en la utilización de quaterniones para la estimación de la orientación y enel seguimiento de la trayectoria mínima. Estas ventajas mencionadas anterior-mente no dependen del controlador a utilizar sino que corresponden al modeladodel sistema y la estrategia de control planteada. En cuanto al controlador en sí,se puede mencionar que el control LQR muestra ventajas en las simulaciones encondiciones normales de operación, sin embargo durante la implementación seobservaron problemas debidos a las diferencias existentes entre el modelo de laplanta y su dinámica real. Finalmente se concluye que en la implementación elcontrol PID proporciona resultados satisfactorios y su desarrollo es más simple,otorgando dos ventajas por las cuales optar por dicho controlador.

7.2. Trabajos Futuros

Para los trabajos futuros se propone la siguiente lista:

Desarrollo de un modelo físico más detallado para el quadrotor: este desa-rrollo beneficiaría altamente el rendimiento del control LQR y posibilitaríael uso de diferentes técnicas de control altamente dependientes del modelo.

Desarrollo de un observador de Kalman: este desarrollo posibilitaría lasíntesis de un control LQG, al unir el observador de Kalman con el controlLQR, lo que resultaría en una mayor inmunidad al ruido y una mejorestimación de la orientación.

Implementación en una placa de mayor poder de procesamiento: esta im-

103

104 CAPÍTULO 7. CONCLUSIONES

plementación permitiría el desarrollo de aplicaciones avanzadas sin la ne-cesidad de hardware externo.

Desarrollo de controles de velocidad y posición: partiendo de la orientación,se pueden generar aceleraciones, las cuales actúan sobre las velocidades,las cuales a su vez, modifican la posición. Partiendo de este trabajo, esrelativamente sencillo el desarollo de un control de posición.

104

Apéndice A

Control Proporcional al Errordel Eigenaxis

105

APÉNDICE A. CONTROL PROPORCIONAL AL ERROR DELEIGENAXIS 107

En este apartado se presenta la demostración de que tomando una acción decontrol proporcional al error del eigenaxis, se logra la maniobra de estabilizacióncorrecta, como se muestra en [21].

Dem. Como primer paso, se dan las siguientes identidades de quaterniones

Q =

q1q2q3q4

=

cos

α2

sinα2

r

(A.0.1)

lnQ =rα

2(A.0.2)

donde r es el eje de rotación (eigenaxis) y α es el ángulo a rotar.Luego se define el quaternión de error Qe, tal que

Qe = Q−1 ⊗ Q (A.0.3)

donde Q es el quaternión que representa la orientación actual y Q es el querepresenta la orientación final deseada. De esta forma Qe es la rotación necesariapara pasar de la orientación actual a la deseada, lo que es equivalente a

Q = Q⊗Qe (A.0.4)

Considerando el conocimiento de las velocidades angulares del cuerpo encuestión, Ω = [p q r], se define la propagación del quaternión de orientacióncomo

Q = W (Ω)Q =1

2

0 −p −q −rp 0 −r qq r 0 −pr −q p 0

Q (A.0.5)

donde W (Ω) es la matriz de propagación, determinada en la ecuación anteriory donde Q debe ser renormalizado para conservar la norma unitaria. Utilizandoel álgebra de quaterniones, la propagación temporal de Q puede ser escritaen función de un quaternión que contenga las velocidades angulares, QΩ =

[0 p q r]T, de forma que las derivadas temporales de los elementos correspondana una rotación infinitesimal de Q por QΩ, quedando

Q =1

2Q⊗

0

pqr

(A.0.6)

Si suponemos que Ω = cΩ, donde Ω es unitario y constante a lo largo de unintervalo [0, T ] y c es la función temporal que denota la magnitud de la rotación(sería la velocidad anular del eigenaxis), la integral temporal de (A.0.5) desdeel quaternión Q, preservando norma unitaria, durante la maniobra resulta en

Q = deW (Ω)IQ, I =

ˆ T

0c(τ)dτ (A.0.7)

donde d es un escalar que preserva la norma unitaria. Esta operación puedeinterpretarse por la mltiplicación por una matriz constante en ese intervalo

107

108APÉNDICE A. CONTROL PROPORCIONAL AL ERROR DEL

EIGENAXIS

de tiempo. Adicionalmente, utilizando el álgebra de los quaterniones, se puedereemplazar la multiplicación de dicha matriz por una multiplicación por otroquaternión, Qr, de forma que

Q = Q⊗Qr (A.0.8)

Asimismo, si se integra (A.0.6), se obtiene la misma multiplicación por el mismoquaternión Qr

Q = Q⊗ d

0

p Iq Ir I

= Q⊗Qr, I =

ˆ T

0c(τ)dτ (A.0.9)

Se define, pues, el quaternión de maniobra, Qr, que representa la operaciónnecesaria para alcanzar la orientación Q desde la orientación actual Q, como

Qr =

a

bΩI

, I ≤ 2π (A.0.10)

donde a = cos(α2 ) y b es un escalar que preserva la norma unitaria. Dado queel ángulo de rotación total debe ser α = I (dado que la rotación a efectuar esla misma), si se substituye el quaternión de maniobra Qr por el quaternión deerror Qe en (A.0.3), y luego comparando con (A.0.2) y (A.0.1), se obtiene

rα = 2ln(Q−1 ⊗ Q) = Ω

ˆ T

0c(τ)dτ (A.0.11)

lo que significa que la maniobra necesaria para la corrección de la orientaciónpuede ser realizada accionando los actuadores de forma tal que la velocidadangular sea proporcional al error en el eigenaxis, lo que equivale a Ω(t) = c(t)r.

La única restricción presente en la aplicación de esta demostración hacia elproblema abordado en el presente trabajo reside en que se supuso Ω constan-te. Esto no estrictamente cierto, pero puede ser una buena aproximación si elerror es recalculado en cada iteración del controlador, conllevando a un errorsignificativamente menor al cometio con el uso de los Ángulos de Euler.

108

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