ME_Studiul de caz 6_PL in numere reale.pdf

Seminar Modelare Economica - an.univ. 2014-2015

1

Studiu de caz 6: Determinarea structurii optime de productie pentru variabile numere reale –

Studiul de caz 4 din cartea RSC, LF, HD, CN, Modelare economică, Ed. ASE, 2009, p. 100

O societate comercială specializată în realizarea de ţesături urmează să producă în luna

următoare, pe baza studiilor de piaţă întreprinse, trei tipuri de stofe: Stofa1, Stofa2 şi Stofa3. Se

doreşte stabilirea unui program optim de producţie în următoarele condiţii:

1. Maximizarea venitului dacă preţurile de vânzare sunt: 57 u.m./metru pentru Stofa1, 70

u.m./metru pentru Stofa2 şi 50 u.m./metru pentru Stofa3;

2. Obţinerea unei producţii fizice de cel puţin 8000 metri (pentru care există contracte

ferme) şi cel mult 10000 metri;

3. Consumul din materia primă de import MI să nu depăşească

2400 kg, cunoscându-se consumurile specifice: 0,2 kg/metru Stofa1,

0,3 kg/metru Stofa2, 0,1 kg/metru Stofa3.

Modelul economico - matematic

Se notează cu x vectorul programului de producţie pentru luna următoare format din

componentele:

x1 = cantitatea din Stofa1



Funcţia obiectiv:

max (57x1 + 70x2 + 50x3)

Restricţiile liniare:

x1 + x2 + x3 8000

x1 + x2 + x3 10000

0,2x1 + 0,3x2 + 0,1x3 2400

Restricţiile referitoare la semnul variabilelor:

x1 0

x2 0

x3 0

Rezolvarea problemelor de programare liniară

Metodele de rezolvare ale modelelor de programare liniară au la bază algoritmul simplex

construit de G. Dantzig24

. Acest algoritm presupune transformarea în ecuaţii a restricţiilor liniare de

tip inecuaţii. Astfel, o restricţie de tip „” va deveni ecuaţie prin scăderea, din partea stângă a

restricţiei, a unei variabile nenegative de surplus, iar o restricţie „” va deveni ecuaţie prin adăugarea,

în partea stângă a restricţiei, a unei variabile nenegative de rezervă.

În ambele situaţii, aceste variabile au semnificaţii economice specifice procesului economic modelat.

Prin aceste transformări, un sistem cu m restricţii liniare de tip inecuaţii şi cu n necunoscute va

deveni un sistem cu m ecuaţii liniare şi (n + m) necunoscute. Acest sistem de ecuaţii este

nedeterminat şi are o infinitate de soluţii în cazul în care domeniul definit de restricţii este nevid.

24

J. A. Lawrence, B. A. Pasternack, Applied Management Science. A Computer Integrated Approach for Decision

Making. John Wiley & Sons Inc., New York, 1998


2

Forma duală a modelului de programare liniară

Orice problemă de programare liniară are două forme: forma primală şi forma duală.

Prin rezolvarea uneia dintre ele se obţin soluţiile pentru ambele forme. Unele programe

informatice construiesc automat duala problemei de programare liniară introdusă de utilizator.

Pentru Studiul de caz 4, forma duală a modelului de programare liniară este următoarea:

Funcţia obiectiv:

min (8000u1 + 10000u2 + 2400u3)

Restricţiile liniare:

u1 + u2 + 0,2u3 57

u1 + u2 + 0,3u3 70

u1 + u2 + 0,1u3 50

Restricţiile referitoare la semnul variabilelor:

u1 0

u2 0

u3 0

Forma duală se poate obţine prin aplicarea următoarelor reguli:

- Fiecărei restricţii liniare din primală se asociază o variabilă duală numită şi preţ dual

sau preţ umbră. Rezultă ca numărul variabilelor duale este egal cu numărul restricţiilor liniare ale

primalei;

- Fiecărei variabile din primală se asociază o restricţie liniară în duală construită cu

coeficienţii variabilei respective în primală. Termenii liberi din partea dreaptă a sistemului de

restricţii liniare din duală sunt coeficienţii variabilelor din funcţia obiectiv a primalei. Rezultă ca

numărul de restricţii liniare ale dualei este egal cu numărul variabilelor primalei.

- Dacă funcţia obiectiv a primalei este de maxim atunci funcţia obiectiv a dualei este de

minim şi invers. Coeficienţii din funcţia obiectiv duală sunt termenii liberi din partea dreaptă a

sistemului de restricţii liniare din primală.

- Semnele variabilelor duale şi ale restricţiilor din duală depind de tipul primalei şi de

semnele restricţiilor din primală, respectiv semnele variabilelor primale. Pentru forma primală de

maxim: fiecărei restricţii de forma , , =, din forma primală, îi corespunde în forma duală o

variabilă nenegativă, nepozitivă, respectiv oarecare; fiecărei variabile nenegative, nepozitivă,

oarecare din primală îi corespunde în forma duală o restricţie de forma , , respectiv =. Pentru

forma primală de minim: fiecărei restricţii de forma , , =, din forma primală, îi corespunde în

forma duală o variabilă nepozitivă, nenegativă, respectiv oarecare; fiecărei variabile nenegative,

nepozitivă, oarecare din primală îi corespunde în forma duală o restricţie de forma , , respectiv

=.

Rezolvarea în sistem conversaţional se poate efectua cu produse informatice cum sunt: QM/Linear

Programming, WINQSB/Lp – ilp, SOLVER care este un instrument add-ins al sistemului Excel.

I. Rezolvarea cu WINQSB/Lp-ilp

Rezolvarea cu produsul informatic WINQSB presupune parcurgerea următoarelor etape:

• se selectează modulul Linear and Integer Programming (LP-ILP)

Introducerea datelor problemei - se completează următoarele câmpuri:

Problem Title - titlul problemei (opţional)

Number of Variables – numarul variabilelor modelului (Variables): 3

Number of Constraints – numarul restricțiilor (Constraints): 3

Objective Criterion – sensul optimizării funcției obiectiv: Maximizare


3

Default Variable Type – tipul variabilelor: numere reale nenegative (Nonnegative

continuous)

Data Entry Format – modul de introducere a datelor problemei: tabelar (Spreadsheet

Matrix Form)

După completarea acestora, se continuă prin OK.

Se introduc datele specifice problemei analizate:

coeficienții variabilelor funcției obiectiv și

inecuațiile aferente fiecărei restricții

Prin rezolvarea modelului de programare liniara (Solve and Analyze – Solve the Problem) se

obține următorul raport:


4

Parametrizarea coeficientului c1 asociat variabilei x1 în funcţia obiectiv (Results – Perform

Parametric Analysis):

Results – Graphic Parametric Analysis


5

Parametrizarea termenului liber b3 asociat restricţiei C3 referitoare la materia primă de import

(Results – Perform Parametric Analysis):

Results – Graphic Parametric Analysis

Interpretarea rezultatelor obținute prin rezolvarea cu WINQSB/Lp – ilp:

Prima parte a Tabelului 5.1 se referă la soluţia optimă a modelului de programare liniară.

Coloana Solution value conţine soluţia optimă, adică varianta decizională care conduce

la cea mai bună valoare a criteriului de performanţă specificat prin funcţia obiectiv. Astfel,

programul de producţie propus pentru luna următoare prevede realizarea de 7000 m Stofa2 şi

3000 m Stofa3. Produsul Stofa1 nu face parte din programul optim de producţie.


6

Coloana Unit cost or profit c(j) conţine coeficienţii variabilelor de decizie din funcţia

obiectiv. În exemplul numeric, aceşti coeficienţi reprezintă preţurile unitare de vânzare propuse

de decident.

Tabelul 5.1 Combined Report

Decision

Variable

Solution

Value

Unit

Cost or

Profit

c(j)

Total

Contri-

bution

Reduced

Cost

Basis

Status

Allowable

Min. c(j)

Allowable

Max. c(j)

1 X1 0 57.00 0 -3.00 at bound -M 60.00

2 X2 7000.00 70.00 490000.00 0 basic 64.00 150.00

3 X3 3000.00 50.00 150000.00 0 basic 44.00 70.00

Objective Function (Max)= 640000.00

Constraint Left

Hand

Side

Direc-

tion

Right

Hand

Side

Slack

or

Surplus

Shadow

Price

Allowable

Min. RHS

Allowable

Max. RHS

1 C1 10000.00 >= 8000.00 2000.00 0 -M 10000.00

2 C2 10000.00 <= 10000.00 0 40.00 8000.00 24000.00

4 C3 2400.00 <= 2400.00 0 100.00 1000.00 3000.00

Coloana Total Contribution se obţine prin înmulţirea elementelor din coloana

Solution value cu elementele corespunzătoare din Coloana Unit cost or profit c(j). Prin

însumarea acestor produse se obţine valoarea totală a criteriului de performanţă. Astfel, venitul

total estimat să se realizeze prin vânzarea a 7000 m Stofa2 şi 3000 m Stofa3 este de 490000 u.m.

+ 150000 u.m. = 640000 u.m.

Coloana Reduced Cost conţine costurile reduse (cj – zj) folosite în algoritmul simplex

pentru verificarea optimalităţii soluţiilor problemei de programare liniară. Costul redus este

diferit de zero numai dacă variabila asociată are valoarea zero în soluţia optimă şi arată cu cât s-

ar înrăutăţi valoarea funcţiei obiectiv dacă valoarea variabilei asociate ar creşte de la 0 la 1. În

valoare absolută, costul redus (cj – zj) arată cu cât trebuie îmbunătăţit coeficientul cj din funcţia

obiectiv, astfel încât xj să devină eficient. În Tabelul 5.1, x1 are valoarea zero şi costul redus egal

cu -3 u.m. Rezultă că, pentru a fi eficientă introducerea în programul de producţie a produsului

Stofa1 este necesar ca preţul său de vânzare să fie mai mare de (57 + 3) u.m. În condiţiile

specificate, realizarea unui metru din Stofa1 va conduce la modificarea programului optim de

producţie şi la reducerea venitului total cu 3 u.m. Venitul total obţinut va fi de (640000 – 3) = 639997

u.m.

Coloana Basis Status arată dacă variabilele decizionale sunt variabile bazice sau

nebazice. Variabilele nebazice au valoarea zero (at bound).

Coloanele Allowable Min c(j) şi Allowable Max c(j) definesc intervale de optimalitate

pentru coeficienţii cj din funcţia obiectiv. Aceste intervale sunt necesare la analiza senzitivităţii

valorii optime a funcţiei obiectiv la variaţia coeficienţilor cj asociaţi variabilelor decizionale.

Partea a doua a Tabelului 5.1 se referă la restricţiile liniare ale problemei de programare

liniară. În lipsa unor denumiri specificate de utilizator, restricţiile sau constrângerile au fost

denumite C1, C2 şi C3.

Coloana Left Hand Side conţine valoarea fiecărei restricţii în raport cu soluţia optimă.

Coloana Right Hand Side conţine valorile specificate de decident pentru termenii

liberi din partea dreaptă a sistemului de restricţii.


7

Coloana Slack or Surplus conţine valorile optime ale variabilelor de rezervă (slack)

sau de surplus. Se observă că se vor realiza 2000 m în plus faţă de cantitatea totală contractată de

8000 m.

Coloana Shadow Price conţine valorile optime ale variabilelor duale care se mai

numesc preţuri duale sau preţuri umbră. Ele sunt asociate restricţiilor liniare. Preţul umbră este

diferit de zero numai dacă restricţia asociată este verificată cu egalitate de către soluţia optimă a

primalei. Astfel, restricţiile C2 şi C3 sunt verificate cu egalitate, au preţurile umbră de 40 u.m. şi

respectiv 100 u.m. Preţurile umbră sunt folosite la analiza senzitivităţii valorii optime a funcţiei

obiectiv primale la variaţia termenilor liberi din partea dreaptă a restricţiilor liniare.

Coloanele Allowable Min RHS şi Allowable Max RHS definesc pentru fiecare

restricţie, intervalul de variaţie al termenului bi din partea dreaptă (RHS) pentru care este valabil

preţul umbră asociat, în ipoteza că nu se modifică alţi coeficienţi ai modelului. Astfel, preţul

umbră de 100 u.m. asociat restricţiei C3 este valabil pentru variaţia disponibilului b3 de materie

primă de import MI între 1000 kg şi 3000 kg.

Analiza senzitivităţii soluţiei optime curente la variaţia unui singur coeficient din funcţia obiectiv

Această analiză se referă numai la soluţia optimă curentă a primalei. Se studiază

stabilitatea soluţiei optime primale la variaţia unui singur coeficient cj din funcţia obiectiv, în

ipoteza că ceilalţi coeficienţi ai modelului nu se modifică.

Dacă se cunoaşte soluţia optimă şi intervalul de variaţie al unui coeficient cj al funcţiei

obiectiv, în ipoteza că ceilalţi coeficienţi ai modelului nu se modifică, se poate determina variaţia

corespunzătoare a valorii optime a funcţiei obiectiv.

Din Tabelul 5.1 rezultă că, dacă preţul de vânzare pentru Stofa1 este mai mic de 60

u.m./metru atunci x1 = cantitatea realizată din Stofa1 va rămâne zero. Creşterea de la

57u.m./metru la 58 u.m./metru a preţului de vânzare nu va genera venit suplimentar deoarece (58

– 57)*0 = 0.

Dacă ceilalţi coeficienţi nu se modifică, dar se modifică de la 70 u.m./metru la 72

u.m./metru preţul asociat lui x2, deoarece 72 aparţine intervalului [64; 150], iar x2 = cantitatea

optimă realizată din Stofa2 = 7000 metri, atunci venitul total va creşte cu (72-70)*7000 = 14000

u.m., adică de la 640000 u.m. la 654000 u.m.

Parametrizarea unui singur coeficient din funcţia obiectiv

În Tabelul 5.2 sunt prezentate rezultatele obţinute cu WINQSB/Lp-ilp în cazul

parametrizării coeficientului c1 asociat variabilei x1 în funcţia obiectiv.

Tabelul 5.2

Parametric Analysis for LP Sample Problem -- Objective Function

Range From Coeff.

of X1

To Coeff.

of X1

From

OBJ Value

To

OBJ Value Slope

Leaving

Variable

Entering

Variable

1 57.00 60.00 640000.00 640000.00 0 X3 X1

2 60.00 70.00 640000.00 700000.00 6000.00 X2 Slack_C3

3 70.00 M 700000.00 M 10000.00

4 57.00 -M 640000.00 640000.00 0

Se observă că s-au obţinut patru intervale de variaţie pentru preţul unitar de vânzare al

produsului Stofa1: trei intervale la dreapta preţului iniţial de 57 u.m./metru propus de decident şi

un singur interval la stânga lui. În Figura 5.1 este reprezentată variaţia valorii funcţiei obiectiv

adică a venitului total care poate fi realizat dacă se modifică preţul de vânzare pentru Stofa1, iar


8

preţurile unitare de vânzare pentru Stofa2 şi Stofa3 se menţin la 70 u.m./metru şi respectiv 50

u.m./metru.

640000640000

700000

640000

600000

700000

800000

900000

30 40 50 60 70 80 90

Coeficientul lui x1 din functia obiectiv

Valo

are

a f

unctie

i obie

ctiv

M

-M 57 M

Figura 5.1

In coloana Slope din Tabelul 5.2, este prezentat, pentru fiecare interval de variaţie al

coeficientului lui x1, raportul dintre variaţia funcţiei obiectiv şi variaţia coeficientului. In acest

tip de parametrizare, raportul reprezintă chiar valoarea optimă a variabilei decizionale al cărui

coeficient variază. Rezultă că pentru preţul de vânzare cuprins între 57 u.m./metru şi 60

u.m./metru, valoarea lui x1 în programul optim de producţie este zero. Aceeaşi situaţie apare şi

pentru un preţ mai mic de 57 u.m./metru.

Prin urmare, valoarea x1 = 0 este optimă pentru orice preţ mai mic de 60 u.m./metru. Dacă preţul

de vânzare pentru Stofa1 va deveni mai mare de 60 u.m./metru atunci se va modifica programul

de producţie. Din coloanele Leaving Variable şi Entering Variable se observă că în acest caz va

ieşi din program x3, adică Stofa3 şi va intra în program x1, adică Stofa1.

Dacă valoarea coeficientului lui x1 variază între 60 u.m./metru şi 70 u.m./metru atunci

venitul total creşte de la 640000 u.m. la 700000 u.m., iar valoarea optimă a lui x1 va fi de 6000

metri. Dacă preţul de vânzare pentru Stofa1 devine mai mare de 70 u.m./metru atunci va ieşi din

program Stofa2 şi va deveni pozitivă variabila de rezervă asociată restricţiei C3 referitoare la

materia primă de import.

Pentru preţul mai mare de 70 u.m./metru pentru Stofa1, programul optim de producţie

constă în realizarea de 10000 metri Stofa1.

Analiza senzitivităţii preţurilor umbră curente la variaţia unui singur termen din partea

dreaptă a restricţiilor

Această analiză se referă numai la soluţia optimă curentă a dualei.

Se studiază invariabilitatea soluţiei optime duale, adică a preţurilor umbră optime, la variaţia unui

singur termen liber din partea dreaptă a sistemului de restricţii liniare, în ipoteza că ceilalţi

coeficienţi ai modelului nu se modifică.

Din Tabelul 5.1 rezultă că, în cazul modificării unui termen liber în intervalul definit

pentru fiecare restricţie prin Allowable Min RHS şi Allowable Max RHS, variabilele x2 şi x3 vor

rămâne variabile bazice nenegative, iar x1 va avea valoarea zero, fiind nebazică. În noua situaţie,

se vor realiza tot produsele Stofa2 şi Stofa3 ca şi în soluţia optimă iniţială, dar în alte cantităţi


9

deoarece s-a modificat un termen liber şi atunci vectorul b => b', astfel încât xB = B-1b' 0

pentru Produsul Stofa1 nu va fi inclus în programul optim de producţie.

Dacă se cunoaşte intervalul de variaţie al termenului liber bi şi preţul umbră asociat ui, în

ipoteza că ceilalţi coeficienţi ai modelului nu se modifică, se poate determina variaţia

corespunzătoare a valorii optime a funcţiei obiectiv primale. Preţul umbră ui arată cu cât se va

modifica valoarea optimă a funcţiei obiectiv, dacă s-ar putea mări cu o unitate termenul liber bi.

În cazul exemplului numeric analizat, preţul umbră asociat restricţiei C3 referitoare la

materia primă de import MI este 100 u.m./kg. Acest preţ este valabil (adică rămâne neschimbat)

dacă disponibilul de resursă MI variază între 1000 kg şi 3000 kg. Dacă disponibilul de resursă

creşte de la cantitatea curentă 2400 kg la 2500 kg, atunci se va obţine un spor de

venit = (2500 – 2400)*100 = 10000 u.m., adică venitul total va fi de

(640000 + 10000) = 650000 u.m. De asemenea, dacă disponibilul de resursă scade de la

cantitatea curentă 2400 kg la 2300 kg, atunci se va obţine o reducere de venit = (2300 –

2400)*100 = -10000 u.m., adică venitul total va fi de (640000 – 10000) = 630000 u.m.

Preţul umbră poate fi folosit pentru analiza investiţiei necesare pentru suplimentarea

resursei. Pentru ca investiţia să poată fi recuperată, preţul unitar de achiziţie trebuie să fie mai mic

decât preţul umbră de 100 u.m.

În ipoteza că ceilalţi coeficienţi ai modelului nu se modifică, iar disponibilul de resursă MI

variază între 1000 kg şi 3000 kg, programul optim de producţie va include numai tipurile Stofa2 şi

Stofa3. Tipul Stofa1 nu va face parte din programul de producţie pentru luna următoare. În

terminologia teoriei programării liniare, pentru acest interval de variaţie, x1 este variabilă nebazică,

iar x2 şi x3 sunt variabile bazice. De aceea, intervalul [1000; 3000] este interval de admisibilitate al

soluţiei de bază curente.

Parametrizarea unui singur termen din partea dreaptă a restricţiilor

În Tabelul 5.5 sunt prezentate rezultatele obţinute cu WINQSB/Lp-ilp în cazul

parametrizării termenului liber b3 asociat restricţiei C3 referitoare la materia primă de import.

Tabelul 5.5

Parametric Analysis for LP Sample Problem - Right-Hand-Side

From RHS

of C3

To RHS

of C3

From

OBJ Value

To

OBJ Value

Slope

Leaving

Variable

Entering

Variable

1 2400.00 3000.00 640000.00 700000.00 100.00 X3 Slack_C3

2 3000.00 M 700000.00 700000.00 0

3 2400.00 1000.00 640000.00 500000.00 100.00 X2 Slack_C2

4 1000.00 800.00 500000.00 400000.00 500.00 Surplus_C1

5 800.00 -Infinity Infeasible

S-au obţinut cinci intervale de variaţie pentru disponibilul de materie primă: două

intervale la dreapta disponibilului de 2400 kg şi trei intervale la stânga lui. În Figura 5.3 este

reprezentată variaţia valorii funcţiei obiectiv adică a venitului total care poate fi realizat dacă se

modifică disponibilul de resursă MI, iar ceilalţi termeni liberi se menţin la 8000 metri de stofă

contractată şi respectiv 10000 metri cerere maximă estimată.


10

Figura 5.3

În coloana Slope din Tabelul 5.5, este prezentat, pentru fiecare interval de variaţie al

termenului liber b3, raportul dintre variaţia funcţiei obiectiv şi variaţia termenului liber. In acest

tip de parametrizare, acest raport reprezintă chiar valoarea optimă a preţului umbră asociat

restricţiei al cărui termen liber variază. Rezultă că pentru disponibilul de resursă cuprins între

2400 kg şi 3000 kg, valoarea optimă a preţului umbră asociat va fi de 100 u.m./kg. Aceeaşi

situaţie apare şi dacă disponibilul de resursă se reduce de la 2400 kg la 1000 kg. Prin urmare,

preţul umbră optim de 100 u.m./kg este valabil pentru orice disponibil de resursă cuprins între

1000 kg şi 3000 kg. Dacă disponibilul de resursă va deveni mai mare de 2400 kg atunci se va

modifica programul de producţie. Din coloanele Leaving Variable şi Entering Variable se

observă că în acest caz va ieşi din program x3, adică Stofa3 şi va deveni pozitivă variabila de

rezervă Slack_C3, adică va rămâne materie primă neutilizată.

Dacă firma dispune de o cantitate de resursă de import MI mai mare de 3000 kg, atunci

venitul total de 700000 u.m. rămâne neschimbat, iar valoarea optimă preţului umbră asociat este

zero.

În cazul unei cantităţi de resursă MI mai mică de 1000 kg, va ieşi din programul de

producţie Stofa2 şi va deveni pozitivă variabila Slack_C2 care reprezintă cererea fără contract

neonorată.

Dacă se reduce cantitatea de resursă de la 1000 kg la 800 kg, venitul total se reduce de la

500000 u.m. la 400000 u.m. Preţul umbră al resursei pentru acest interval de variaţie este de 500

u.m./kg.

Pentru o cantitate de resursă MI mai mică de 800 kg nu există soluţie admisibilă, adică nu

se poate realiza cantitatea de stofă contractată.


11

II. Rezolvarea in Excel

- Introducerea datelor de intrare

- Rezolvarea cu optiunea Solver. Dupa activarea optiunii se adauga restrictiile din fereastra Subject

to the constraints dand click pe butonul Add.


12

- Cele 3 rapoarte selectate din Reports se genereaza in sheeturi separate:

ANSWER REPORT

Worksheet: [aplicatie PL in xls.xls]model PL

Result: Solver found a solution. All Constraints and optimality conditions are satisfied.

Solver Engine

Engine: Simplex LP

Solution Time: 0 Seconds.

Iterations: 4 Subproblems: 0

Solver Options

Max Time 100 sec, Iterations 100, Precision 0,000001

Max Subproblems Unlimited, Max Integer Sols Unlimited, Integer Tolerance 5%, Solve Without Integer Constraints

Objective Cell (Max)

Cell Name

Original Value Final Value

$F$2 valoarea functiei obiectiv 0 640000


13

Variable Cells

Cell Name

Original Value Final Value Integer

$B$11 x1 0 0 Contin

$C$11 x2 0 7000 Contin

$D$11 x3 0 3000 Contin

Constraints

Cell Name Cell Value Formula Status Slack

$E$6 c1 LHS 10000,00 $E$6>=$G$6 Not Binding 2000,00

$E$7 c2 LHS 10000,00 $E$7<=$G$7 Binding 0

$E$8 c3 LHS 2400,00 $E$8<=$G$8 Binding 0

$B$11 x1 0 $B$11>=0 Binding 0

$C$11 x2 7000 $C$11>=0 Not Binding 7000

$D$11 x3 3000 $D$11>=0 Not Binding 3000

SENSITIVITY REPORT

Microsoft Excel 14.0 Sensitivity Report Worksheet: [aplicatie PL in xls.xls]model PL

Variable Cells

Final Reduced Objective Allowable Allowable

Cell Name Value Cost Coefficient Increase Decrease

$B$11 x1 0 -3 57 3 1E+30

$C$11 x2 7000 0 70 80 6

$D$11 x3 3000 0 50 20 6

Constraints

Final Shadow Constraint Allowable Allowable

Cell Name Value Price R.H. Side Increase Decrease

$E$6 c1 LHS 10000 0 8000 2000 1E+30

$E$7 c2 LHS 10000 40 10000 14000 2000

$E$8 c3 LHS 2400 100 2400 600 1400

LIMITS REPORT

Microsoft Excel 14.0 Limits Report Worksheet: [aplicatie PL in xls.xls]model PL

Objective

Cell Name Value

$F$2 valoarea functiei obiectiv 640000

Variable

Lower Objective

Upper Objective

Cell Name Value

Limit Result

Limit Result

$B$11 x1 0

0 640000

0 640000

$C$11 x2 7000

5000 500000

7000 640000

$D$11 x3 3000

1000 540000

3000 640000


14

III. Rezolvarea in QM for Windows

Rezolvarea cu produsul informatic QM presupune parcurgerea următoarelor etape:

• se selectează modulul Linear Programming

Introducerea datelor problemei - se completează următoarele câmpuri:

Title - titlul problemei (opţional)

Number of Variables – numarul variabilelor modelului (Variables): 3

Number of Constraints – numarul restricțiilor (Constraints): 3

Objective – sensul optimizării funcției obiectiv: Maximizare

Raw names – bifăm prima opțiune: Constraint 1,...

Column names – bifăm prima opțiune: X1,....

Introducem valorile coeficienților fiecărei variabile din funcția obiectiv și restricții. Automat, în

ultima coloană se compune forma inecuațiilor și a funcției obiectiv.


15

Apăsăm Solve, iar rezultatele indică programul de producție următor:

Accesăm Window/2 Ranging și vom obține un tabel cu soluțiile primalei și dualei.

În prima parte a tabelului avem:

Coloana Value ce conţine soluţia optimă.

Coloana Reduced Cost conţine costurile reduse (cj – zj).

Coloana Original Val conţine coeficienţii c(j) ai variabilelor de decizie din funcţia

obiectiv.

Coloanele Lower Bound și Upper Bound definesc intervale de optimalitate pentru

coeficienţii c(j) din funcţia obiectiv.


16

În a doua parte a tabelului avem:

Coloana Dual Value conţine valorile optime ale variabilelor duale care se mai numesc

preţuri duale sau preţuri umbră.

Coloana Slack/Surplus conţine valorile optime ale variabilelor de rezervă (slack) sau de

surplus.

Coloana Original Val conţine coeficienţii c(j) ai variabilelor de decizie din funcţia

obiectiv.

Coloanele Lower Bound și Upper Bound definesc pentru fiecare restricţie, intervalul de

variaţie al termenului liber din partea dreaptă (RHS) pentru care este valabil preţul umbră

asociat, în ipoteza că nu se modifică alţi coeficienţi ai modelului.


17

Un alt mod de a afișa atât soluția primalei (Solution), cât și soluția dualei (Dual) este disponibil

prin accesarea Window/ Original Problem w answers.

Documents

ME_Studiul de caz 6_PL in numere reale.pdf