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8/18/2019 Met Energ 2 Castigl 1 y 2.pdf

1/8

Il ll

64

sólucioriando elsistema de ecuaciones, se obtiene:

{XB} {20.0285}'

XE ;A

~2.4077

E

2.3792

CAP.2, MÉTODOS ENERGÉTICOS

.

~)1

LFy=O

0= -2.3792 + 10sen30°- 4.0268sen

ex

0=-2.3792+5 -2.6206

5

Si


2/8

·f '.·•••·'- •.•···'• ':··'••:·:·•• '

CAP2.MÉmDOS [',éRGÉTiCOS

TWREMASD¿ CASI1GL ANO

67

egundo teorem de astigliano

pero, de acuerdo con la ecuac ión 2 .54, Uint =

Te,

susti tuyendo esta relac ión en la

ecuación 2.65, se obtiene;

(2.hll¡

(2.70)

(2.71 J

2.n.}

(2.7:;,

dT=dP¡do¡

U·

r

T

a

Ujnt

dP

-L).

+--

1m mt i)p

Z

,

T~= Te+ dP¡

Oj

• dUint s:

Uint +---

di;

=

1 .

+

dP¡ V¡

ap¡

dT=dP¡Ó¡

P, P {rdP¡ P

~ $m • •• ••• •• • , • • • • • •• • ··t u • •• •

_-..v::,. .

~.~\r..~:

. _ _-~

. ()

,

,t .~

Figura 2.19. Desplazamientos en el punto de aplicación de la carga

P¡-

La ecuación 2.70 muest ra que

•.. P1ll sila carga

p¡

se apliCa primero odespués que las otras , l a energl il .

de deformación interna será la misma en ambos casos .

SllPóngase_que~~c:a 8alLª~.IDentauna~antidaddifereI1 ~iªl

ejE

enton ( 'S

el trahajo interno aumentará' a~ma cantidad Ulnt el Ola: se expresa corno:

Si el incremento diferencial de la carga dP; se aplica primero, produce

In

desplazamiento diferencial dó¡ de modo que el correspondiente trabajo exte r .

no reaJjza~d1l (l~~ ;i.ª~cacióE..~~_~aªif_e~~n_c~1 ~c:.a~.?a

dP;

es,

.

Después de aplicarlascargasP1, P2 Pn, eltrahajo desarrollado se pue

de escribir como:

• igua landolaecuadón 2~69conla 2.72,

(2.65)

(2.66 )

(2.67)

(2.68)

aUUlt =p¡

dÓ¡

Te= f p¡,P2, •• Pn)

Uint =f (p,¡,

P2,

••• Pn)

dU

UiJlt + dÓllil

do;

= Te

+ lJ

dÓ¡

(l

Corno la energía de deformación iIlJerna

Uint

de be serig lal al trabajo externo •

T~,

igualando las ecuaciones 2.63

y2.64 ,

se tiene 10siguiente:

Laecuación 2.66 se conoce como elprimer t~orerna de c:~tigliapo y se pue

de enunciar corno: En una estructura cualquiera cuyo lll~t:.c:Jja,L~~~0:g:i~o,la

primera derivada parcial de la en~rgía de deformación interna con respecto a

cualquier componente del desplazamiento, es igual a la[tl~fzª~Pª-0l:~a._~~e1

pun toy en la dirección correspondiente a esa componente del desplazamiento.

Para uti lizar este teorema es evidente que hayquege.t~rrr>.mªr la,e...n~rgía

(le ddormª ci~I mte.El a ~Efunción de los~esp1a;oaI~ieI ÍQs 3)1>~, . . : ' ¡5n~Al aplicar

t'l teorema, 10guest:_()º1:LeIl~sP 1lascargasqu_eg,eneran ~icJ:lps~e~p ¿¡4ª¡:pien

t¡ )5, sin embargo,1º C@esec()I).oce gene~arillenJe s()f11~§~argªs qtJ~ s~ap lican a

la estfl1ct~ra,y loque -se ~e~ea con9s;er sQnJ~A~splél~@J,ientQSgetlerados al

él plicar dichas cargas, razón por lacual este teorema no es de u1ilida< práctica .

.. ~_ ' __ _,' < ..-- __

. c ' • • •_ _ . _ • • __

Para deducir es te teorema, considérese una est ructura a la cual se le apli

can en forma gradual las cargas

Pt,

P2, •••

Pn

El trabajo exterÍ10 desarrollado

por estas cargas es función de las mismas, por lo que,-' - - --

C~ornola ~nt:~a d~ defor ª~ié.l _Í l t~I la es igual al trabajo externo realizado

por las cargas durante su aplicacioIÍ-gradua1, entonces l~ energía de deforma

ción inte rna también se puede escribir en función de estas cargas ,

Por otro lado, se sabe que l?_~E~J:gfacl~ ~eformacióIl in~eIl1.~112d~p~1}s:le

del orden eIl9:u.e._~e~pli~e..glª$.ca¡g.a,s, es decir, alaplicar el sistema de cargas

l·

\1/\


3/8

......•

6C

OSxs L/2

Osxs

L/2

~

;:?

Vy=P

2

M _Px

, z- ,-

2

La eJ:le~&ade defo®ación interna al cº 1.~der~~~rza_cort~nte

y

1111)-

~I1.t9 fl~~m:e está dada por:

Al?)

L

f

V2 L

M2

U. = r .... LL dx + 1 _z_ dx

In Jo'

2GA

o

2Elz

[lU2 ffy P /2)2 - lU2 Px/2i

U· =2 ~--dx+ ---dx

m O 2GA O 2EI

Z

sustituyendo y considerando simetría,

1

JJ

(2.75)

C AP . 2 .

aUint =0

ap¡

aUint

=O¡

ap¡

f

p~.;:.)

\2.0.0:1t+'

~ r-

, ,

(1t :::

Alconsiderar que Uint = Te,Ysustituyendo en la

Laecuación 2.74 se conocecomo elsegundo te91:e~ de

puede enunciar como: EIlllna estructuraéli-aIqUíer~91..Yº-iiilii:~itá1;g,S'~~M1ico,

la p m-eraeri~-ªparc. al

I~

L/2

L/2 •

igur 2.20. Viga simplemente apoyada sujeta a una

Para determinar las ~cuaciones que definen los elemelfti.

dna distancia

x,

se sigue la convención planteada en Jafigura,2.

esta figura, las ecuaciones l ara fuerzas cOl::tan~entQ.s fri

rededor del eje z';a1iiiadiStanciaX-delapoyoizquierdo, estánd;;

f.

integrando,

]L/2 ]U2

= f¡yPx +

Px3

=:

y 2GA 6Elz

o o

sustituyendo límites,

ffyPL

PL3•

y= 4GA + 48EI

z


4/8

-

,

7

CAP LMÉrODOSENERGt'TlCOS

ITOH.iMA\ Dé CASTIC.UA,\¡O

71

La ecuac iÓn anter ior muestra que la fleC '1íi está compuesta por clospartes,

laprimera corresponde a la ipBuencia de la f'uer:zacoÍtantc'(yJ y la segunda al

rnornel~toJle~i() lªnte

Ym),

así, ..

n_'_~,_ .. _ ,.,....

f¡),PL..

Yv= 4GA

p[}

Ym = 48Elz

apljcando el pr~ciQ~5~] -:


5/8

.~

n

e

x L¡p

Pyc=P

OS;x¡ S;3

W=2

ton/m

u

._

L

1\;.[2

t

Jj _x

• o

2EI dx.

Mzc=O

Mz1=0

B

A

Figura 4 Condiciones de la estructura para determinar

Mz1

U fL¡ M;l d fL2 M;2 d fL3 M;3 d

int

= Jo 2El Xl + Jo 2El X2 + Jo 2EI X3

zl x2


6/8

A

74

m

e

2EI

El

Figura 2.27. Marco.

B

D

+ 5m ~

A

5 ton

La en er gí a d e def or maci ón i nt er na p ar a el mar co es :

~

1

N xi .3

- (-- --)

+(36Px3-216x3J] =0

21 3 4 o o

P(6f~_

6)4

+

36

P(3)-

216(3)

=

O

~ ;j~

,1

P=

5.625

ton

,v[

f~

') e-

r'

-o ::¡, ' '.)

v b

¡/ •

Ejemplo 2.7. Encontrar el valor de las reacciones en el apoyoD para el

marc o q ue s e mu es tr a en l a f igu ra 2. 27 .

75

- f3 dx¡ fll ,)') dX2f3 ,1 dx,

= O) -+ (Px2-x.;)---+

(6P-36)-··-,

In o

2El

o -,

2E(2I)

o' . lE1

2 2 2

U iLl .NI l d iLz lvlz2 d

fL3

A1z3

= --

Xl+ --- x +

---dX3

mt

o

2EI

o

2El ¿

o

2EI.

,1 z2 23

a pl ic ando e l pri nc ipio del t ra ba jo mínimo,

integrando,

oU¡nt =0

oP

1

16 o

1

J3 .

- (Px, -

Xi )

x.,

dxo

+ -

(6P -

36)(6)

dx., =

O

2EI o - - - - El o . ~

Para det ermi na r l as e cuac ione s de momentos a lrededorde l ejezAJz1• Al,,,

y Mz3 se proce de e n forma simil ar a l e je mplo a nt erior, a sí , para det ermi na r ;\--[ 1

véase fig. 2.28),

Osx¡::;;3

Os

X2::;;

6

0:::;;x3::;;3

P:::;;x3::;;3

OS~2::;6

MzB=6P-36

PyB=P-12

Mz3=6P-36

Mz¡=O

Mz2=Px2-~

Mz3=6P-36

x,

_1 P

< .

rv= 2 ton/m

MZ2=::Px2-~

Figura 2.26. Condiciones de la estructura para determinar

Mz3

Figura 2.25. CondIciones de la estructura paradeterminar M¡2-

susti tuyendo en la ecuación de la energía de deformación interna, •

En resumen se t ie ne :

en forma gráfica fig. 2.26):

U n a v ez más , si s e t rasmi te el

efecto

qu

e

generan l as c arga s sobre l a barra

B(: al p unt o B, es to es, al ev al uar l a ecu aci ón an ter io r y l as car gas v er ti cal es en

.x~ =6,

. . ,• •• . .. ,. .. · r - · · ~ ,


7/8

Mzc=-3Rz

Pxe=-Rz

Pyc=R¡

Los resultados de trasmitir los efectos de las reacciones alpunto

e,

con las

condiciones para determinar

Mzz•

se muestran en la f igura 2.29.

o

S; XJ S; 3

O:5:X¡

~3

O:5:xz:5:S

0S;x3:5::3

l\1.B

B

x3'

PxB

Mz¡ =-RZx1

Mzz =

R¡

Xz

- 3Rz

Mz3 =5R¡-3Rz

5

-Rz) x3

Mz3

=MzB -

PxBX3

Mz3=SR¡-3Rz (5 -Rz)xJ

13(-Rzx¡)Z 15 (R¡xz-3Rzi

· t = ---

dx¡

+ ----

dx

+

ID o 2E(2l) o 2E

~

r3 [SR¡-3Rz- 5-Rz)x3F

dx

Jo

2E

3

116.67 R¡

-60

Rz

-11~.50= O

Figura2 3

Condiciones de la estructura para determinar Mz3.

15 (Rl Xz 3Rz) Xz d 13SR¡ -3Rz

(5 -

Rz) X3](S) d _

O

xz+ .

X3-

o El o El

En resumen:

TEOREMAS DE. CASTIGLlANO

sus ti tuyendo en la ecuación de la ener~a de deformación interna ,

.

~Representándolo¡; gráficamente fig. 2.30 :

apl icando e lprincipio del t rabajo mínimo con respecto a

Rl

integrando, susti tuyendo límites y reduciendo términos,

. apl icando el principio del t rabajo mínimo con respecto aRz.

Rz

R,

e

xt[ R,

O:5:xz:5:S

0:5:x¡:5:3

MzB=

SR¡ 3Rz

PxB=S-Rz

PyB=R¡

A

Mz1 =-RZXl

B

Mzz

=Rl Xz

-3

Rz

A

Figura 2 28

Condiciones para determinar Mz1•

5

ton

lB

5 ton

Figura 2 29

Condiciones de la estructura para determinar Mz2•

~

Para t rasmi ti r el efecto de las cargas a lpunto B véase f igura 2.30 ,

man l as cargas en dicho punto, es decir, en Xz =5,

evaluando las cargas en el nodo e, es dec ir , s ix¡ = 3,

•

.......•

•


8/8

A

(276)

~

E

Nv =nvPv

Vvy=v.yPv

Vv¿=Vvz

Pv

lM' ,,=mvxPv

Mvy=mvyP

Mw=mvzPv

79

Figura 2.31. Estructuras con diferentes cargas.

f,L(N+Tl.vPv? iL fy(Vy+VvyPv)2 d

.= ----ds+ ~ s+

m O 2EA O ZGA

r: ft(Vz+vvzP )2 ds+ rL (Mx+TflvxP f ds+ (2.77)

Jo . 2GA Jo ZG] .

fL Mv+m . Pvf rL (Mz+m .P f

ds

+ J, - -- -- -

ds

O

2EI

O 2El

z

real), los cuales sedenotan por: N, Vy' Vz' Mx>My, M.y al aplicar la carga viml lal

Pven

e l punto y dirección en donde se desea calcula r e l desplazamiento, esna.

carga genera otros sei s elementos mecánicos (elementos mecánicos por

Cél;~

virtual), los cuales sedenotan por Nv, Vvy'Vvz' Mvx, MVJ'Mvz. Los elementos~

cánicos por carga virtual

P

se pueden escribi r como una relac ión o función dr

la misma, como se indica en la ecuación 2.76:

Los elementos mecánicos por efecto de ambas cargas (elementos

medm

cos por carga real más cargá vírtual) serán:

(N + nvPv), (Vy +vvyPv} Cv,;+vvzPv),

(Mx

+

mvx Pv) ,

(My

+

m ,Pv) , (Mz

+

mvz

Pv)' .

La energía de deformación interna en términos de los elementos medni

cos totales está dadapor:

IR }={ 62}

z 1.28

arreglando en forma mat ricial las ecuaciones que resul tan de aplica r el princi

pio del trabajo mínimo,

MÉTODO DE L RG VIRTU L UNIT RI

.

solucionando el sistema de ecuaciones,

integra nclo,susti tuyendo límites y reduciendo términos,

Las otras reacc iones sepueden determinar con ayuda de las ecuaciones

rice equilibrio estático.

[116.67 -60]{R¡}={112.50}

60 58.5 Rz -22.5

-

f3_ .-_R_2_X_¡)_ -_X_1_) dx +J5_ R_l._X2_-_3_R_2)_ ~_3) dx.) +

o 2ET

¡

o El ~

r3[5R¡-3Rc 5-R2)x:J -3+X3), ..•

dx.,

= °

o

El·

.

-60 R¡+

58.5

Rz+

22.5

=

O

De los ejemplos ante riores en donde se aplicó el segundo teorema de Cas

t igliano, se~observa que sólo se pueden determinar los desplazamientos linea

les en puntos donde hay cargas concent radas y lós desplazamientos angula res

en puntos donde hay momentos apl icados directamente, s in embargo, se pue

de tener otro t ipo de carga obien, desear cq1cu1are l desplazamiento en puntos

donde no existen cargas aplicadas, por ejemplo en los puntos

D

y E de laest ruc

tura que se muest ra en l a f igura

131.•

Como no hay carga concentrada o momento aplicado en los puntos

D

y E,

coo el segundo teorema de Cast igl iano no se puede det erminar ninguno de l os

~s desplazamient os, por l oque se t iene que recurrir al método de l a c arga vir

mI

unitaria, que consiste en aplicar una carga virtual

Pven

elpunto y dirección

E lil

que sequiere conocer el desplazamiento.

Al aplica r en laest ructura·el s is tema de cargas

W, P),

en e l Gasamás ge

:neral , se generan sei s e lementos mecánicos (elementos mecánicos por carga

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