Э. Р. Розендорн

Математические вопросыметеорологии

Конспект лекций

Версия 2.1

εγ

Предисловие к версии 1.0

Одноименный спецкурс читается на мехмате МГУ. Спецкурс годовой,здесь представлена первая его часть. Данный конспект есть просто–напросто электронная версия тетрадки, куда я делал записи по этой темев 2003–2004 учебном году. Авторская разбивка на главы и параграфысохранена, равно как термины и обозначения, введенные автором.

Те книги, что указаны в Списке литературы, ни к чему не обязывают:лектор о них не говорил, просто к ним обращался я сам, когда возникаливопросы, а обращался скорее всего по причине того, что они были подрукой.

В Приложении помещены экзаменационные вопросы по данному кур-су, предлагавшиеся, опять же, в 2003–2004 учебном году.

Даже если я и найду нужные слова, их все равно будет мало, чтобывыразить благодарность лектору — Эмилю Ренольдовичу Розендорну —за столь интересный курс. Это правда.

Буду рад критике и пожеланиям. Пишите на epsgam@yandex.ru.

Пригодится для следующей версии.

Зеленоград,сентябрь 2004

1

Предисловие к версии 2.0

Две части, не претерпев изменений, объединились в один файл. Это,пожалуй, единственное отличие. Нумерация глав, рисунков и уравненийнезависимая для каждой части. Общий у них только список литературы.

В конспекте версии 2.1 исправлены некоторые стилистические и гра-фические неточности.

Зеленоград,май 2006

2

Часть I

3

Введение

О прогнозе погоды

Прогнозы на срок до трех суток принято считать краткосрочными,до десяти суток — среднесрочными. Своеобразным пределом предсказа-ния здесь является срок в три недели. Такие факторы как перемешива-ние траекторий воздушных частиц и турбулентность трудно поддаютсяпрогнозированию, хотя их влияние в течение месяца может быть оченьвелико. Однако в некоторых случаях прогноз на более длительный пе-риод, выявляющий определенные отклонения от нормы по температуреи влажности, может оказаться весьма полезным. Это относится, напри-мер, к сельскому хозяйству.

Улучшение качества прогноза во второй половине XX века связано впервую очередь с использованием вычислительной техники, искусствен-ных спутников Земли, автоматизацией всего процесса сбора и обработкиинформации. Впрочем, любое целенаправленное наблюдение атмосфе-ры — с аэростата, ракетного зонда, самолета или с земли — может слу-жить источником метеорологических данных.

Нижняя атмосфера Земли в умеренных

широтах

На графике зависимости (см. рис. 1) температуры атмосферы Земливыделяется нижний слой до 2 км. Суточные колебания температуры уповерхности составляют 3–4 градуса для суши, и 1–2 градуса для моря.Фактически, этот слой — часть тропосферы, простирающейся до 10–11км в полярных и умеренных широтах и до 14–17 км в тропических. Втропосфере температура убывает приблизительно на 6 за каждый ки-

4

лометр высоты, достигая к тропопаузе в среднем −55C . Тот факт, что встратосфере начинается повышение температуры, объясняется присут-ствием озона, который поглощает ультрафиолетовое излучение Солнцаи, тем самым, создает теплый слой. Так, уровню стратопаузы соответ-ствует примерно нулевая температура. В термосфере ультрафиолетовоеизлучение поглощается молекулярным кислородом.

5

Высота, км

Температура, К0

20

40

60

80

100

200 250 300

Тропопауза

Стратопауза

Мезопауза

Рис. 1

6

Глава 1

Вспомогательные сведения измеханики и физики

§ 1.1. Атмосферное давление

Сначала для простоты будем считать, что подстилающая поверхностьявляется плоскостью z = z∗. Пусть задана величина p∗ атмосферногодавления вблизи этой поверхности. Уравнение ρ = ρ(T, p), где ρ — плот-ность, в общем случае будет зависеть от конкретного вещества и егофазового состояния. Для атмосферного воздуха используем уравнениесостояния идеального газа

p = RρT . (1)

Здесь R = 8,31 Дж/(моль·К) — молярная газовая постоянная.Рассмотрим цилиндр с основанием площади S, лежащим в плоскости

z = z∗. Зафиксируем некоторый уровень z > z∗. Тогда на объем возду-ха, заключенный в цилиндре между уровнями z и z + ∆z, сонаправленнодействуют сила давления p(z + ∆z)S и вес S∆z〈ρg〉. Их уравновешива-ет действующая в противоположном направлении сила давления p(z)S.Следовательно,

p(z + ∆z)S + S∆z〈ρg〉 = p(z)S ,

откудаp(z + ∆z) − p(z)

∆z= −〈ρg〉 .

Через 〈ρg〉 обозначили усреднение переменной, вообще говоря, величины

7

по рассматриваемому объему. Переходя к пределу, получаем

∂p

∂z= −ρg . (2)

Предположим, что g = const. В этом случае из (1) и (2) вытекает

1

p

∂p

∂z= − g

R

1

T (z),

откуда

p(z) = p∗ exp

− g

R

z∫

z∗

ds

T (s)

.

Эта формула больше соответствует условиям холодного времени года,когда величина T на отрезке [z∗, z] меняется не столь значительно.

§ 1.2. Атмосферное давление. Продолжение

В общем случае подстилающая поверхность плоскостью не будет. Врассмотрение придется включить силы давления, действующие и на бо-ковую поверхность цилиндра.

§ 1.3. Вращающаяся система координат и

центробежная сила

Пусть неподвижная система координат OXY Z и подвижная Oxyzтаковы, что Z = z, и Oxyz вращается вокруг оси OZ в положитель-ном направлении с угловой скоростью ω. Рассмотрим произвольнуюточку w = x+ iy в плоскости Oxy. Ей будет соответствовать точкаW = X + iY в плоскости OXY , так что W = (cosωt+ i sinωt)w = eiωtw.Второй закон Ньютона запишется так:

~F = m~a = m

X

Y

Z

= m

(W

Z

)= m

(Wz

). (3)

Один и тот же вектор силы в каждой из двух систем коор-динат можно представить как ~F = FX , FY , FZ = FW , FZ и

8

~f = fx, fy, fz = fw, fz, где FZ = fz. Тогда, FW = eiωtfw, и (3)примет вид

eiωtfw = mWfz = mz .

Поскольку W = eiωtw, то W = (w + 2iωw − ω2w)eiωt, следовательно,

~f = m

(w −ω2w+ 2iωwz

),

откуда окончательно получаем

m

xyz

= ~f +mω2

(w0

)− 2imω

(w0

). (4)

Второе слагаемое в правой части (4) представляет центробежную силу.

§ 1.4. Сила Кориолиса

Распишем третье слагаемое:

−2imω

(w0

)= −2imω

xy0

= 2mω

y−x0

.

Последнее представим в виде векторного произведения

2m

xyz

×

00ω

,

которое и являет собой силу Кориолиса.

§ 1.5. Уравнение движения. Примитивная

система

Попробуем представить, как будет выглядеть основанное на второмзаконе Ньютона уравнение движения некоторой частицы вещества в ат-мосфере. Если m — масса, ~V — скорость частицы, то левая часть урав-

нения примет вид m~V . А какова будет его правая часть? Во–первых,

9

в нее войдет вес (сила тяготения и центробежная сила), во–вторых, си-ла Кориолиса, в–третьих, сила давления, наконец, сила сопротивлениявязкой среды, различные электромагнитные силы и т. д. В частности,учитывать электромагнитные силы необходимо при изучении моделейверхних слоев атмосферы. Сейчас ограничимся моделью для тропосфе-ры выше 1 км и стратосферы, причем, это будет невязкая модель безучета сил трения. Вес, кориолисова сила и сила давления соответствен-

но запишутся как −mg~n, 2m[~V ×~ω], −U−−−→grad p, где ~n — единичный вектор,

направленный против силы тяжести, ~ω — угловая скорость Земли, p —атмосферное давление, U — объем рассматриваемой частицы. С учетомсказанного получаем уравнение движения

~V = −g~n+ 2[~V × ~ω] − 1

ρ

−−−→grad p . (5)

Модель (5) пригодна для построения краткосрочного прогноза (до трехсуток включительно).

Следует сделать некоторые замечания относительно выбора непо-движной системы координат. Можно рассматривать инерциальные си-стемы отсчета — такие, для которых выполняются первый и второй за-коны Ньютона и которые движутся друг относительно друга равномернопрямолинейно. Если в качестве начала отсчета выбрать центр Солнца,а оси ориентировать по достаточно удаленным (мало прецессирующим)звездам, то полученная система координат будет инерциальной. Ее мож-но считать

”неподвижной“ системой координат.

Фактически, уравнение (5) является следствием закона сохраненияимпульса. Воспользовавшись законом сохранения массы, придем к урав-нению неразрывности; на основе закона сохранения энергии с привлече-нием некоторых эмпирических соотношений получим уравнение притокатепла; уравнение притока влаги получается из того же закона сохране-ния массы, но уже применительно к воде земной атмосферы. Наконец,есть уравнение состояния (1), которое можно исследовать с поправкамина учет влажности. Итак, расписав векторное уравнение (5) по трем ком-понентам, получим семь скалярных уравнений против семи скалярныхнеизвестных (~V , ρ, T , p и плюс к тому переменная, каким–то образомхарактеризующая влажность). Эта система носит название примитив-ной.

Предпринимались попытки решить подобную систему уравненийвручную (Великобритания, 1920–е). Решение, найденное в результате

10

длительного кропотливого труда многих вычислителей, никак не моглобыть признано удовлетворительным. Расхождение, как позже выясни-лось, было следствием вычислительной неустойчивости задачи.

§ 1.6. Локальные модели. Исходные

предпосылки

Пусть начало системы координат лежит на поверхности планеты, аорты выбраны следующим образом: ~n — ранее упоминавшийся вектор,действующий в направлении противоположном весу, ~τ2 направлен по ме-ридиану на север, ~τ1 — по параллели. Тройка ~τ1, ~τ2, ~n ориентированаположительно. Поскольку вектор ~ω лежит в координатной плоскости,справедливо ~ω = (ω cos θ)~τ2 + (ω sin θ)~n, где θ — угол от ~ω к ~τ2, ω = |~ω|.Обозначим l = 2ω sin θ (параметр Кориолиса) и l = 2ω cos θ.

Распишем входящие в уравнение (5) векторные величины по компо-нентам в полученной системе координат:

~V = u~τ1 + v~τ2 + w~n ,

−−−→grad p =

∂p

∂x~τ1 +

∂p

∂y~τ2 +

∂p

∂z~n ,

2[~V × ~ω] = (lv − lw)~τ1 + (−lu)~τ2 + (lu)~n .

Ускорение ~V будем рассматривать в той же жестко связанной с планетойсистеме координат:

~V = u~τ1 + v~τ2 + w~n .

В итоге из (5) получаем систему в координатной записи

u = lv − lw − 1

ρ

∂p

∂x

v = − lu − 1

ρ

∂p

∂y

w = − g + lu − 1

ρ

∂p

∂z.

(6)

В дальнейшем будем придерживаться допущений о том, что либоg, l, l постоянны (первая локальная модель), либо g = const, l = l(y),β(y) = l′(y) — параметр Россби (вторая локальная модель).

11

§ 1.7. Гидростатическое и квазистатическое

приближение

Для упрощения модели (6) используют гидростатическое и квазиста-тическое приближения. В гидростатическом приближении пренебрега-ют малыми в некоторых ситуациях величинами w и lu в третьем урав-нении системы (6) — оно тем самым превращается в уравнение (2). В

квазистатическом приближении отбрасывают не только w и lu, но иlw, в результате чего (6) преобразуется в

u = −1

ρ

∂p

∂x+ lv

v = −1

ρ

∂p

∂y− lu

∂p

∂z= −ρg .

(7)

Стоит отметить, что эта модель мало подходит для экваториальных тер-риторий, где величина l максимальна.

§ 1.8. Геострофический ветер

Допустим, что в некоторой точке выполнено u = v = 0. Тогда из (7)следует система

0 = −1

ρ

∂p

∂x+ lv

0 = −1

ρ

∂p

∂y− lu ,

решение которой дает векторное поле ~Vg = ug~τ1 + vg~τ2, где

ug = − 1

ρl

∂p

∂y, vg =

1

ρl

∂p

∂x. (8)

Это так называемый геострофический ветер. На высоте он почти сов-падает с реальным ветром.

12

Глава 2

Двумерная (одноуровневая)геострофическая схема прогноза

§ 2.1. Специальная замена переменных

Рассмотрим функцию f = f(X), где через X обозначена точка(x, y, z, t). Пусть z = z(ζ), и z строго монотонна по ζ . Можно записать,

что z = h(x, y; ζ ; t) и f(X) = f(x, y, h(x, y; ζ ; t), t

). В качестве новой систе-

мы независимых переменных возьмем x, y, ζ, t. Выразим производные fпо старым переменным через производные по новым. Дифференцирова-ние в новых переменных будем обозначать как (...)′x, а в старых — как∂

∂x(...). Тогда f ′

ζ =∂f

∂zh′ζ , а поскольку из–за монотонности справедливо

h′ζ 6= 0, то

∂f

∂z=f ′

ζ

h′ζ. (9)

Отсюдаdf

dz=f ′

ζ

h′ζкак для функции от параметра. Затем,

f ′

x =∂f

∂xx′x +

∂f

∂yy′x +

∂f

∂zh′x +

∂f

∂tt′x =

∂f

∂x+∂f

∂zh′x ,

откуда с учетом (9) получаем

f ′

x =∂f

∂x+ h′x

f ′

ζ

h′ζ,

13

и в итоге∂f

∂x= f ′

x −h′xh′ζf ′

ζ . (10)

Аналогично поступаем для∂f

∂yи∂f

∂z. Заметим, что поверхности уровня

ζ = const уже не будут плоскостями в общем случае.

§ 2.2. Единицы измерения давления.

ζ – координаты

В системе СГС единицей измерения силы является дина = г · см / с 2,а в СИ — ньютон, Н = кг ·м/ с 2. По–разному определяются и едини-цы давления: Бар I = дина / см 2, Па = Н/м 2 = 10Бар I . Существуюттакже технические единицы: кГ = 9,81 Н, атмосфера = кГ/ см 2. В ме-теорологии часто используется значение 1013 гПа ≈ 760 мм ртутногостолба — типичное атмосферное давление на уровне моря в хорошуюпогоду. Поэтому вводится p0 = 1000 гПа.

Будем рассматривать безразмерную величину, характеризующуюдавление

ζ =p

p0.

Единичная масса, поднятая на высоту z, обладет потенциальной энер-гией

Φ =

z∫

0

g dz = Φ(x, y; ζ ; t) ,

называемой геопотенциалом. В частности, при g = const (т. е. в рамкахрассматриваемой первой локальной модели) получим Φ = gh(x, y; ζ ; t).

§ 2.3. Преобразование уравнения состояния

и гидростатической формулы

Из (1), (2) и определения ζ следует

∂p

∂z= −ρg = −gp0ζ

RT,

14

с другой стороны, в силу (9) получаем, что при

∂p

∂z=p′ζh′ζ

=g(p0ζ)

′

ζ

gh′ζ=gp0

Φ′

ζ

.

Объединяя, имеемζΦ′

ζ +RT = 0 . (11)

§ 2.4. Преобразование уравнения движения

В первых двух уравнениях

u = −1

ρ

∂p

∂x+ lv

v = −1

ρ

∂p

∂y− lu

(12)

системы (7) перейдем к ζ – координатам: возьмем проекцию траекто-рии движения частицы на плоскость переменных x, y, в результате чегоu, v, u, v останутся прежними. Преобразуем

ρ = −1

g

∂p

∂z= −1

g

(p0ζ)′

ζ

h′ζ= − p0

Φ′

ζ

,

и с помощью (10)

∂p

∂x= (p0ζ)

′

x −h′xh′ζ

(p0ζ)′

ζ = −Φ′

x

Φ′

ζ

p0 .

Действуя для∂p

∂yаналогично, получим

1

ρ

∂p

∂x= Φ′

x ,1

ρ

∂p

∂y= Φ′

y , (13)

на основе чего (12) примет вид

u = lv − Φ′

x

v = −lu− Φ′

y .(14)

15

§ 2.5. Условная вертикальная скорость

Условной вертикальной скоростью будем называть ζ =1

p0

dp

dt. Так

как

w = z =d

dth(x, y; ζ ; t) = h′x

∂x

∂t+ h′y

∂y

∂t+ h′ζ

∂ζ

∂t+ h′t ,

то по (11) будет

gw = uΦ′

x + vΦ′

y + ζ(−RT

ζ

)+ Φ′

t ,

откуда находим

ζ =ζ

RT

(Φ′

t + (uΦ′

x + vΦ′

y) − gw). (15)

§ 2.6. Уравнение вихря скорости

Перепишем систему (14) в виде

u′t + uu′x + vu′y + ζu′ζ − lv + Φ′

x = 0

v′t + uv′x + vv′y + ζv′ζ + lu+ Φ′

y = 0 .

Теперь продифференцируем уравнения по y и x соответственно, а за-тем вычтем первое из второго. В обозначениях D = u′x + v′y, Ω = v′x − u′yполученное станет таким

Ω′

t + u′xΩ + v′yΩ + uΩ′

x + vΩ′

y + ζΩ′

ζ + ζ ′xv′

ζ − ζ ′yu′

ζ + lD = 0 .

Здесь использована перестановочность вторых производных функций u,v, Φ, а также то, что, напомним, l = const в условиях первой локальноймодели. Наконец, свернув при помощи дополнительного обозначенияΩa = Ω + l, получим уравнение вихря скорости

dΩa

dt+ ΩaD + det

(ζ ′x ζ ′yu′ζ v′ζ

)= 0 . (16)

16

§ 2.7. Сеточная задача Дирихле

Постановка задачи Дирихле такова: дана область Σ и некотораяфункция z(x, y), которая удовлетворяет заданному уравнению в этойобласти, а на границе Γ = ∂Σ совпадает с функцией f(s), где s — па-раметр кривой Γ. Рассмотрим более конкретный случай, когда областьпредставляет собой квадрат со сторонами, параллельными осям коорди-нат, а уравнение

∂2f

∂x2+∂2f

∂y2= F (x, y) .

Выберем шаг h (можно, впрочем, сделать его неодинаковым по двумосям) и построим сетку

(m,n) : m,n = 0, N

. Тогда получим разност-

ный аналог уравнения

1

h2(zm+1,n − 2zm,n + zm−1,n + zm,n+1 − 2zm,n + zm,n−1) = Fm,n ,

с краевым условием

zm,0 = f 1m, zm,N = f 2

m, z0,n = f 3n , zN,n = f 4

n .

Теперь можно применять один из итерационных методов решения этойзадачи.

§ 2.8. Приближенное уравнение для

тенденции геопотенциала

Обозначим q = Φ′

t — тенденцию геопотенциала. Применяя (13) кгеострофическому ветру (8), имеем

ug = −1

lΦ′

y , vg =1

lΦ′

x . (17)

По аналогии с ранее введенными обозначениями Ωg = (vg)′

x − (ug)′

y иDg = (ug)

′

x + (vg)′

y . В силу (17) справедливо

Ωg =1

l

(Φ′′

xx + Φ′′

yy

)=

1

l∆Φ,

а также

Dg =1

l

(−Φ′′

yx + Φ′′

xy

)= 0,

17

поскольку рассматриваемые функции заранее считаются гладкими. Пе-репишем теперь уравнение вихря скорости (16) применительно к геост-рофическому ветру, пренебрегая величинами D и ζ. Получим

(Ωg)′

t + ug(Ωg)′

x + vg(Ωg)′

y = 0 ,

или1

l∆Φ′

t +(−1

lΦ′

y

)(1l∆Φ)′

x+(1lΦ′

y

)(1l∆Φ)′

x= 0 .

Более компактно∆q = FΦ , (18)

где обозначено

FΦ =1

ldet

((∆Φ)′x (∆Φ)′y

Φ′

x Φ′

y

).

§ 2.9. Схема прогноза

Рассмотрим точку на поверхности Земли и некоторую ее окрестность.Введем на ней прямоугольную сетку с шагом h и выделим как ее частьквадрат Σ, Γ = ∂Σ.

1. Пусть в момент t = t0 сделаны метеонаблюдения. Зафиксируемуровень ζ = ζ1 (например, 0,5 , что соответствует 500 гПа).

2. По наблюдениям определим Φ(x, y; ζ1; t0) для, вообще говоря, всехx и y из окрестности выбранной точки.

3. С помощью разностных отношений вычислим значения производ-ных (Φ′

x и др.) в узлах сетки — так, фактически, узнаем FΦ(xm, yn; ζ1; t0).

4. Назначим искусственное граничное условие q∣∣∣Γ

= 0 и решим урав-

нение (18).5. Для шага по времени используем аппроксимацию геопотенциала

Φ∣∣∣tk+∆t

≈ Φ∣∣∣tk

+ q∣∣∣tk

∆t , tk+1 = tk + ∆t , k = 0, 1, . . . . Так выясним зна-

чение Φ при ζ = ζ1 , t = t0, t1, . . . для области Σ .

6. Считаем, что u ≈ ug = −1

lΦ′

y , v ≈ vg =1

lΦ′

x .

7. Приближенно построив траектории движения воздушных частиц,будем знать эволюцию атмосферного давления (Φ) и ветра (u, v), а такжеперемещение облачных скоплений.

18

Глава 3

Атмосферные фронты.Циклоны и антициклоныумеренных широт. Обсуждениесхемы прогноза

§ 3.1. Теплый фронт

Теплый воздух движется на наблюдателя и поднимается над холод-ным, в результате чего холодный воздух оттесняется назад. Наблюда-тель вначале видит перистые облака, которые затем сменяются перисто–слоистыми, высокослоистыми и, наконец, слоисто–дождевыми. Такаякартина длится в среднем 0,5 суток. Протяженность облачной систе-мы — 600–800 км, ее верхняя часть может достигать верхней тропосфе-ры. Повышение температуры составляет 10–15 градусов.

§ 3.2. Холодный фронт

Здесь наоборот, наблюдается отход теплого воздуха. Но длитель-ность этого процесса может быть разной. Медленный холодный фронтво многом противоположен теплому фронту: холодный воздух вытесня-ет теплый воздух вверх и сдвигает его. Такой фронт, однако, перистойоблачностью не заканчивается.

19

Быстрый холодный фронт характеризуется непрямолинейным разде-лом двух сред. Движущийся с большой скоростью холодный воздух вы-талкивает теплый воздух на большую высоту, способствуя образованиюгрозовых облаков летом. Зимние же грозы имеют место только благо-даря быстрым холодным фронтам. Продолжительность грозовой фазыбыстрого холодного фронта составляет 0,5–1 час.

§ 3.3. Другие виды атмосферных фронтов

Возможна ситуация, когда, к примеру, два фронта — теплый, а затемхолодный — движутся в одном и том же направлении и догоняют другдруга. В результате теплый воздух вытесняется вверх, оказываясь зажа-тым холодным воздухом с обеих сторон. Это так называемая окклюзия,комбинированное явление, иногда весьма длительное.

§ 3.4. Циклоны и антициклоны

В северном полушарии геострофический ветер огибает антициклоны(области высокого давления) по часовой стрелке, а циклоны — наобо-рот, поскольку в силу (8) он ортогонален градиенту давления. Областьнаиболее низкого давления, центр циклона умеренных широт находитсявблизи окклюзии. Радиус такого образования около 1 тыс. км.

§ 3.5. Обсуждение геострофического

приближения

В решении задачи Дирихле (18) были сделаны следующие допуще-ния: 1) молекулярное строение вещества не учитывается; 2) локальнаямодель; 3) гидростатическое приближение; 4) приближение с помощьюгеострофического ветра; 5) приближение производных; 6) смешаные про-изводные не совпадают в случае атмосферных фронтов; 7) атмосферныефронты не учитываются; 8) искусственное граничное условие на q . Кро-ме того, (18) — эллиптическое уравнение, поэтому изменение гранично-го условия влечет изменение решения во всей области. Несмотря на этиогрубления, верное решение получить можно. Для одноуровневой схемы

20

прогноза оптимальный шаг h = 300 км, ∆t = 1 час. При этом прогнозудовлетворительно работает на 0,5 суток для скорости ветра около 1200км в сутки.

21

Глава 4

Перенос тепла при движениисухого воздуха

§ 4.1. Первый закон термодинамики

Рассмотрим условную тепловую машину с веществом массы m = 1 иудельной внутренней энергии U в цилиндре. Пусть извне за время ∆tпоступает количество теплоты ∆Q, в результате чего поршень совершаетработу A , противодействуя давлению p . Следовательно A = Sp l, гдеS — площадь поршня, l — перемещение. Но иначе Sl = ∆U , где U —удельный объем вещества, значит A = p∆U . Таким образом,

∆Q = ∆U + p∆U ,

откуда, переходя к пределу по ∆t→ 0 , получаем первый закон термо-динамики в формулировке

dQ = dU + p dU . (19)

§ 4.2. Идеальный газ

Поскольку U =1

ρ, то из (1) получаем

U =RT

p. (20)

22

Для идеального газа считаем выполненным

U =RT

κ − 1, (21)

где 1 < κ < 2 — некоторая безразмерная постоянная. Соотношения (20)и (21) характеризуют идеальный газ независимо друг от друга.

Определим удельную теплоемкость газа. Удельная теплоемкостьидеального газа при постоянном объеме

cU =dU

dT=

R

κ − 1,

так как dU = 0 . Удельная теплоемкость идеального газа при постоянномдавлении

cp =dQ

dT

∣∣∣p=const

=d

dT

(RT

κ − 1

)+ p

(dU

dT

)=

R

κ − 1+R =

Rκ

κ − 1,

в силу (1) и (20). Отсюда κ =cpcU

> 1.

§ 4.3. Адиабатический процесс.

Потенциальная температура

Зададимся условием dQ = 0 адиабатического процесса. Тогда из(19)–(21) получим

0 = d

(RT

κ − 1

)+ pd

(RT

p

)=

Rκ

κ − 1dT − RT

pdp ,

или, разделив на RT ,cpR

dT

T− dp

p= 0 .

Теперь перейдем от p к ζ . Обозначив k =R

cp=

κ − 1

κ, имеем

dT

T− k

dζ

ζ= 0 .

Это полный дифференциал d ln(Tζ−k) = 0 . Значит, величина θ = Tζ−k

постоянна для данной порции газа в адиабатическом процессе. Она но-сит название потенциальной температуры.

23

§ 4.4. Сухоадиабатический градиент.

Некоторые следствия

Пусть γa =

∣∣∣∣dT

dz

∣∣∣∣ — сухоадиабатический градиент при условии вер-

тикального адиабатического движения газа. С помощью определенийпотенциальной температуры и геопотенциала, используя (9) и (11), рас-пишем

γa =

∣∣∣∣∣T ′

ζ

h′ζ

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣ζg(θζk)′

ζ

ζgh′ζ

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣ζgθkζk−1

ζΦ′

ζ

∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣kgT

−RT

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣g

cp

∣∣∣∣ .

Окончательноγa =

g

cp. (22)

Следовательно, γa не зависит ни от температуры, ни от давления, а из-меняется лишь вместе с g. Возможны следующие случаи:

1) T с высотой возрастает или сохраняется (θ возрастает);2) T с высотой убывает, но медленнее, чем предписывает γa (θ воз-

растает);3) T с высотой убывает согласно γa (θ = const);4) T с высотой убывает быстрее, чем предписывает γa (θ убывает).Первые два случая соответствуют устойчивой стратификации сухого

воздуха, третий — нейтральной, а четвертый — неустойчивой.Стандартное значение γa чуть менее 10 на км. В слое до 1 км наблю-

дается, как правило, нейтральная стратификация, у теплой поверхностиЗемли — неустойчивая, выше 1 км — устойчивая. Здесь, однако, невключен в рассмотрение водяной пар, иногда играющий важную роль.Если предположить наличие нейтральной стратификации выше 1 км, тополучится, найдется такая высота H , на которой будет достигнут абсо-

лютный нуль, так как в этом случае H =T ∗

γa

, где T ∗ — температура на

поверхности планеты.Найдем связь H с высотойH∗ однородной атмосферы (H∗ определяет

интервал высот, на котором плотность и давление воздуха изменяются вe раз [1]). Рассмотрим воздушный столб высоты H∗, массы M и единич-ной площади поперечного сечения. Уравнение состояния для приземно-го воздуха запишется как p∗ = RρT ∗. Тогда из соотношений Mg = p∗ и

24

M = H∗ρ , а также из (22) выводим

h =RT ∗

g=RT ∗

cpγa=

κ − 1

κ

T ∗

γa= kH.

§ 4.5. Уравнение состояния смеси

идеальных газов

Рассмотрим смесь нескольких газов. Пусть Mj — масса, ρj — плот-ность, а µj — молекулярная масса каждого из них. Считаем, что дав-ление p и температура T для всех газов постоянны. Тогда уравнениесостояния (1) каждого газа примет вид

1

ρj

=R0

µj

T

p,

где R0 = Rµj — универсальная газовая постоянная. Обозначив

UMj=Mj

ρj, получим

µjUMj= R0

T

pMj .

Просуммируем уравнение по j. Для этого введем обозначения

Mc =∑j

Mj . Примем также, что Uc =∑j

UMj. Тогда

Uc

∑

j

λjµj = R0T

pMc ,

где λj =UMj

Uc

— объемная доля газа. Отсюда получаем уравнение состо-

яния для смеси идеальных газов

p =R0

µρT, (23)

где µ =∑

j λjµj — усреднение по объемам, ρ =Uc

Mc— плотность смеси.

Газовый состав атмосферного воздуха по объемным долям (за исклю-чением воды во всех агрегатных состояниях) такой: азот — 78 %, кисло-род — 21 %, аргон — 1 %, прочие газы — менее 1 %. Он сохраняется довысоты 80 км.

25

Значение параметра κ для двухатомных газов (таких как азот и кис-лород) принимается равным 1,40. Оно же используется для сухого воз-духа.

§ 4.6. Тепловая энергия атмосферы

Обозначим виды энергии атмосферы: W — кинетическую, J — внут-реннюю, Π — потенциальную. Существует также лабильная энергияL = Π + J . Будем считать, что вся атмосфера заключена в интервалевысот от 0 до H . Таким образом, если на поверхности Земли давлениеp = p∗ , то на высоте H оно пренебрежимо мало, практически нулевое.

Пусть также ζ∗ =p∗

p0. В силу (2) справедливо dp = −ρg dz . Тогда для

единицы объема

W =

bH∫

0

(1

2V 2ρ

)dz = − 1

2g

bH∫

0

V 2 dp =p0

2g

ζ∗∫

0

V 2 dζ .

Аналогично

Π =

bH∫

0

(gz)ρ dz = −bH∫

0

z dp =

bH∫

0

p dz = R

bH∫

0

ρT dz =

=R

g

ζ∗∫

0

p0T dζ =Rp0

g

ζ∗∫

0

T dζ ,

где, перед тем как использовать равенство (1), проинтегрировали по ча-стям. Наконец, применяя (21), получим

J =

bH∫

0

Uρ dz = −bH∫

0

RT

κ − 1ρ dz = − R

g(κ − 1)

bH∫

0

T dp =Rp0

g(κ − 1)

ζ∗∫

0

T dζ .

Объединяя, имеем

L =p0

g(κ − 1)

ζ∗∫

0

κRTdζ .

26

Воспользуемся формулой для скорости звука a (см. например [2])

√κRT = a .

Тогда

L =p0

g(κ − 1)

ζ∗∫

0

a2dζ .

Следовательно, для усреднений по высоте

W

L=

(g(κ − 1)

p0

p0

2g

) 〈V 2〉〈a2〉 =

κ − 1

2

〈V 2〉〈a2〉 .

Принимая κ равным7

5, получим, что

W

L=

1

5

〈V 2〉〈a2〉 .

Поскольку характерные значения V ≈ 20 м/с , a ≈ 300 м/с, можно при-близительно оценить, как соотносятся кинетическая и лабильная энергииатмосферы.

§ 4.7. Приток тепла к атмосфере

Нагрев атмосферы происходит, в основном, за счет ИК–волн, отра-женных от земной поверхности. Они активно поглощаются водянымпаром, содержащимся в воздухе. Рассмотрим модель нижней страто-сферы (12–20 км в средних широтах). Считаем, что на подстилающейповерхности задана температура T ∗ , а на некоторой высоте располагает-ся воображаемая

”пластина“ неизвестной температуры T , находящаяся

в тепловом равновесии. Из курса физики известно, что количество теп-лоты имеет вид cT 4 . Таким образом, подстилающая поверхность будетотдавать количество теплоты c∗(T ∗)4 , а воображаемая

”пластина“ — ко-

личество теплоты 2cT 4 , в силу состояния теплового равновесия. Еслитеперь допустить, что константы c и c∗ совпадают, получим

T = T ∗2−1/4 .

27

Действительно, зимой, когда водяного пара в воздухе относительнонемного, T ∗ ≈ −20C , откуда T ≈ −50 ÷−60C . Летом же уровень под-стилающей поверхности смещается до высоты, где влияние водяного па-ра значительно ниже, чем у Земли, и температура поэтому тоже около−20C . Заметим, что полученное значение T соответствует реальномузначению температуры в нижней стратосфере.

§ 4.8. Уравнение притока тепла

Из (19)–(21), переходя к ζ – координатам, как и ранее, получим

dQ = dU + pdU =Rκ

κ − 1dT − RT

pdp = cpdT − RT

dζ

ζ.

Обозначим E =dQ

dt— приток тепла к единице массы за единицу времени.

Тогда

E =d

dt

(cpdT −RT

dζ

ζ

)= cp

dT

dt− RT

ζζ . (24)

Используя представление T = θζk через потенциальную температуру,имеем

E = cpζk dθ

dt+ cpkζ

k−1θζ − Rθζk

ζζ ,

или собственно уравнение притока тепла

dθ

dt=

1

cpζ−k

E .

§ 4.9. Преобразование уравнения притока

тепла

На основе равенств (11) и (24) получаем

E = cpdT

dt+ Φ′

ζ ζ . (25)

Поскольку T = T (x, y; ζ ; t) , справедливоdT

dt= uT ′

x + vT ′

y + ζT ′

x + T ′

t . Ес-ли ввести

γ = −dTdz

,

28

то по (9) будет γ = −T ′

ζ

h′ζ, а затем T ′

ζ = −γgΦ′

ζ . С учетом сказанного, а

также (22), уравнение примет вид

T ′

t =E

cp− (uT ′

x + vT ′

y) −1

g(γa − γ)Φ′

ζ ζ . (26)

29

Глава 5

Трехмерная геострофическаясхема прогноза

§ 5.1. Условие на верхней границе

Под верхней границей подразумеваем уровень ζ = 0 . Продифферен-цируем (11) по t . В силу гладкости Φ , полученное можно представитькак

ζ2q′ζ = −ζRT ′

t .

Из физического смысла задачи следует, что величина |T ′

t | ограничена.Тогда, переходя к пределу в предыдущем равенстве по ζ → 0 , получимусловие

limζ→0

(ζ2q′ζ

)= 0 . (27)

§ 5.2. Уравнение притока тепла в

геострофическом приближении

Преобразуем уравнение (26). Будем использовать геострофическийветер ug, vg в качестве приближения для u и v . Тогда по (17) окажется,что

ugT′

x + vgT′

y =1

l

(−Φ′

yT′

x + Φ′

xT′

y

).

30

Выразим T ′

x и T ′

y из результатов дифференцирования (11) по переменным

x, y : T ′

x = − 1

RζΦ′′

xζ , T ′

y = − 1

RζΦ′′

yζ . Значит,

ugT′

x + vgT′

y =ζ

RfTΦ ,

где

fTΦ =1

ldet

(Φ′′

xζ Φ′′

yζ

Φ′

x Φ′

y

).

Из того же (11) следует и T ′

t = − ζ

Rq′ζ . Вышесказанное позволяет пред-

ставить (26) в виде

−ζq′ζ =R

cpE − ζfTΦ −

R

g(γa − γ)Φ′

ζ ζ ,

или, с учетомR

cp= k ,

−ζq′ζ + ζfTΦ +R

g(γa − γ)Φ′

ζ ζ = kE . (28)

§ 5.3. Приближенная формула для ζ

Величина (γa − γ) положительна. Предположим, существует такаяфункция a = a(ζ), что

R

g(γa − γ) ≈ a(ζ) .

В таком случае на основании (28) получим

ζ ≈ 1

a(ζ)Φ′

ζ

(kE + ζq′ζ − ζfTΦ

). (29)

§ 5.4. Аппроксимация притока тепла

Можно считать, что E ≈ ET — некий функционал, зависящий оттемпературы. Если Tj — температура на каждом из выделенных уровней

высоты, то ET = EiT ∗, T1, T2, . . . , где i — номер того уровня, длякоторого вычисляется E.

31

§ 5.5. Граничное условие на подстилающей

поверхности

Нижний слой атмсоферы толщиной около 1 км заменяется границейζ = 1 . При этом рельеф поверхности планеты игнорируется. Прини-маем, что на нижней границе функция a(ζ) экстраполируется вниз доζ = 1 , и a(1) = a1 . Кроме того используем гипотезу твердая стенка:w = 0 при ζ = 1 . В выражении

w =dz

dt=

d

dth(x, y; ζ ; t) =

1

g(Φ′

t + uΦ′

x + vΦ′

y + ζΦ′

ζ)

приблизим u ≈ ug , v ≈ vg , учитывая при этом (17). Получим, что

w ≈ 1

g

(q + ζΦ′

ζ

).

Применяя (11), заключаем, что условие w = 0 будет выглядеть так:

q∣∣∣ζ=1

= −ζΦ′

ζ

∣∣∣ζ=1

. (30)

Из (29) имеем

−q∣∣∣ζ=1

=(ζΦ′

ζ

) ∣∣∣ζ=1

=1

a1

(kE∣∣∣ζ=1

+ q′ζ

∣∣∣ζ=1

− ζfTΦ∣∣∣ζ=1

).

Обозначим −kE∣∣∣ζ=1

+ fTΦ∣∣∣ζ=1

= f∗ . Эта величина будет известна, как

только будут известны Φ и T . В итоге

q′ζ + a1q = f∗ , ζ = 1 . (31)

§ 5.6. Об уравнении неразрывности

Закон сохранения массы, примененный к движущейся сплошной сре-де, в ζ–координатах дает следующий результат:

u′x + v′y + ζ ′ζ = 0 ,

или в наших обозначенияхζ ′ζ = −D . (32)

32

§ 5.7. Об уравнении вихря скорости

Как и в одноуровневой схеме прогноза пренебрежем в уравнении (16)определителем, а также величинами ζΩ′

ζ и ΩD , считая при этом, чтоl = const. Останется

Ω′

t + uΩ′

x + vΩ′

y + lD = 0 .

По геострофичечкому приближению u ≈ ug , v ≈ vg и по (17) имеем

Ω ≈ Ωg =1

l∆Φ и Ω′

t ≈1

l∆q . Тогда

∆q + l2D ≈ 1

ldet

(∆Φ′

x ∆Φ′

y

Φ′

x Φ′

y

),

а с учетом (32) получим

∆q − l2ζ ′ζ ≈1

ldet

(∆Φ′

x ∆Φ′

y

Φ′

x Φ′

y

). (33)

По аналогии с l , Ω — удвоенная угловая скорость вращения воздушныхмасс. Например, для циклона типичные параметры такие: радиус около1 тыс км, скорость около 50 км/ч, угловая скорость около 1

5об/сек.

Величина |Ω| в стандартной ситуации приблизительно в 5 раз меньшевеличины |l| .

§ 5.8. Параметр Обухова

Рассмотрим величинуR

g(γa − γ)RT

1

l2. Среднее для выбранной мест-

ности и сезона ее значение обозначим через m2 . При этом m имеет раз-мерность длины и носит название параметра Обухова. Для умеренныхширот m ≈ 800 км. Из определения следует

R

g(γa − γ)RT ≈ l2m2 . (34)

33

§ 5.9. Схема прогноза

Из (28)

−ζq′ζ + ζfTΦ +R

g(γa − γ)Φ′

ζ ζ ≈ kE ,

домножив на (−ζ) , при помощи (11) и (34) получим

−ζ2q′ζ + l2m2ζ = ζ2fTΦ − ζkE . (35)

Домножим уравнение (33) на m2 , а (35) продифференцируем по ζ исложим результаты:

m2∆q + (ζ2q′ζ)′

ζ = k(−ζE)′ζ + FΦ , (36)

здесь FΦ объединяет все оставшиеся слагаемые. Левая часть (36) за-дает уравнение в частных производных эллиптического типа с вырож-дением при ζ = 0 . Это уравнение — основа прогноза. Рассматриваемаяобласть пространства ограничена поверхностями ζ = 0 (верхняя грани-ца), ζ = 1 (эквивалент подстилающей поверхности) и Γ — боковой по-верхностью. Дополним задачу (36), (27), (31) граничным условием

q∣∣∣Γ

= 0 . (37)

1. Пусть в момент t = t0 сделаны метеонаблюдения.2. По значению атмосферного давления p определим Φ ; T и влаж-

ность — из начальных данных.3. Найдем q , решив задачу (36),(31),(27),(37) при t = t0.

5. По q вычислим Φ∣∣∣tk+∆t

≈ Φ∣∣∣tk

+ q∣∣∣tk

∆t , tk+1 = tk + ∆t .

6. Из (11) вытекает T ′

t = − 1

Rζq′ζ , на основе чего

T∣∣∣tk+∆t

≈ T∣∣∣tk−(ζ

Rq′ζ

) ∣∣∣tk

∆t , tk+1 = tk + ∆t .

7. Пересчитаем по этим данным правую часть (36) и f∗ .8. Используя геострофическое приближение, построим траектории

движения воздушных частиц в плоскости (x, y) . Затем с помощью при-ближения для ζ получим законы T (t) и p(t) . По ним можно сказать,когда и где произойдет конденсация влаги и выпадение осадков.

34

В трехмерной схеме ∆x = ∆y = 250 км, ∆t ≈ 40 мин. Удовлетвори-тельная работа прогноза — до 3 суток (Φ , T , ветер, качественная карти-на осадков). Схема также допускает и приблизительный учет испаренияс подстилающей поверхности. Подобная схема прогноза использоваласьдля расчетов в 1960–х годах в московском гидрометеобюро.

35

Глава 6

Учет влажности

§ 6.1. Цикл Карно

Будем рассматривать p , T , U как координаты в трехмерном про-странстве. Пусть плотность ρ = ρ(p, T ) известна (например, из (1)), то-гда

Uρ(p, T ) = 1 . (38)

Это уравнение задает некоторую поверхность в пространстве (p, T,U) .Допустим, что существует нагреватель, сообщающий рабочему веще-

ству количество теплоты Q . Представим теперь, что температура нагре-вателя и температура вещества в цилиндре отличаются незначительно.В этом случае переход тепла будет тоже осуществляться. В предель-ном случае, когда температуры нагревателя и вещества одинаковы (илиразница температур не поддается физическому измерению), нагревательтакже будет сообщать веществу соответствующее количество теплоты.И рабочее вещество, в свою очередь, тоже будет передавать теплоту на-гревателю (ввиду симметрии данного случая). Обратимость как раз иозначает возможность введения работы извне с последующей передачейтеплоты от холодильника к нагревателю.

Рассмотрим поведение температуры T в координатах (p,U) . В про-межутке от точки O до точки A (см. рис. 2) температура соответствуеттемпературе нагревателя (изотерма T = T1), а в промежутке от точкиB до точки C — температуре холодильника (изотерма T = T2). Тогдаадиабаты AB и CO будут участками, когда температура соответственнопонижается и повышается. Пусть Q — то количество теплоты, которое

36

p

U

O

A

BC

Рис. 2

поступает от нагревателя, а Q — то, которое передается холодильнику.

§ 6.2. КПД тепловой машины

Согласно постулату Карно, тепловую энергию физического тела(или ее часть) нельзя превратить в механическую работу, не произве-дя при этом никаких изменений в других физических телах.

Определим КПД тепловой машины как η =Q− Q

Q. КПД обратимой

тепловой машины условимся обозначать η0 .

Теорема 1. (Карно) При заданных T1 и T2 наибольший КПД имеетобратимая тепловая машина. Все обратимые тепловые машины име-ют одинаковый КПД.

Приведем схему доказательства. Предположим, что возможен случай,когда η > η0 . Рассмотрим две тепловые машины: обратимую и необ-ратимую. Ту, у которой КПД больше, запустим в обратную сторону.Таким образом, в ней будет наблюдаться передача тепла от холодильни-ка к нагревателю.

37

§ 6.3. Вычисление η0

Рабочим веществом будем считать идеальный газ. Тогда на каждойиз адиабат потенциальная температура θ = Tζ−k постоянна. Но

ζ =p

p0

=RρT

p0

=RT

p0U,

то есть

θ = T

(RT

p0U

)−k

,

следовательно, величина T 1−kUk (а вместе с ней и TUκ−1 , поскольку1 − k = 1

κ) тоже постоянна на адиабате. Итак, для AB:

T1 (U(A))k−1 = T2 (U(B))k−1 ,

а для CO:T1 (U(O))k−1 = T2 (U(C))k−1 ,

откуда (U(C)

U(O)

)k−1

=T1

T2

=

(U(B)

U(A)

)k−1

. (39)

Рассмотрим теперь, например, изотерму OA . Произведенная работа:

AOA =

∫

OA

p dU =

∫

OA

RT1

UdU = RT1 ln U

∣∣∣A

O.

На цикле Карно ∆U = 0 , а в силу (19) ∆Q = ∆U + A , работа, соответ-ствующая OA

RT1 lnU(A)

(O)= Q .

Аналогично получаем, что для изотермы BC

RT2 lnU(B)

(C)= Q .

Отсюда на основании (39) следует

(U(A)

U(O)

)k−1

=

(U(B)

U(C)

)k−1

,

38

p

U

O

A

B

C

δU

δp

Рис. 3

иQ

Q=T2

T1.

Итак,

η0 =A

Q=

∆Q

Q=Q− Q

Q=T1 − T2

T1. (40)

§ 6.4. Бесконечно малый цикл Карно

Если цикл достаточно мал, его приближенно можно считать парал-лелограммом (см. рис. 3). В этом случае суммарная работа

A =

∫

OAB

p dU −∫

BCO

p dU = δp δU .

Но с другой стороны, по (40)

A = η0 δQ =δT

TδQ ,

следовательноδT

TδQ = δp δU . (41)

39

Примем T и U в качестве аргументов. Тогда p = p(T,U) , U = U(T,U) , и

δp =∂p

∂TδT ,

а на основании (19)

δQ = δU +

∫p dU ≈ δU + p δU =

(∂U

∂U+ p

)δU .

С учетом этого (41) перепишется в виде

δT

T

(∂U

∂U+ p

)δU =

∂p

∂TδT δU ,

откуда вытекает∂U

∂U= T

∂p

∂T− p (42)

для U = U(U, T ) .

§ 6.5. Энтропия

Теорема 2. На поверхности (38) линейная дифференциальная формаdQ

Tявляется полным дифференциалом.

Доказательство. Согласно (19)

dQ = dU + p dU .

Поэтому

dQ

T=

1

T

(∂U

∂TdT +

∂U

∂UdU + p dU

)=

1

T

∂U

∂TdT +

1

T

(∂U

∂U+ p

)dU .

ФормаdQ

Tбудет полным дифференциалом по переменным T и U, если

выполнено равенство

∂

∂U

(1

T

∂U

∂T

)=

∂

∂T

(1

T

(∂U

∂U+ p

)).

40

В правой части воспользуемся (42):

∂

∂T

(1

T

(T∂p

∂T

))=∂2p

∂T 2.

В левой части∂

∂U

(1

T

∂U

∂T

)=

1

T

∂2U

∂U∂T.

Будем считать, что функция U(U, T ) достаточно гладкая, и, поменявпорядок дифференцирования, на основе (42) получим

1

T

∂2U

∂T∂U=

1

T

∂

∂T

(T∂p

∂T− p

)=∂2p

∂T 2.

Другими словами, требуемое равенство выполняется. Теорема доказана.Это утверждение позволяет ввести понятие удельной энтропии

S =

∫dQ

T,

определенной в данной случае с точностью до постоянной интегрирова-ния. Под вторым законом термодинамики иногда понимается, что взамкнутых физических системах энтропия S не убывает. А третий за-кон термодинамики (постулат Нернста) гласит, что S → 0 при T → 0 .

§ 6.6. Тепловая машина со сменяющимся

рабочим веществом

В цикле Карно применялась модель идеального газа, но реально втепловой машине используется смена рабочего вещества (например, вы-хлоп). Рассмотрим вещество с параметрами p1 , U1 . Считаем, что вначальный момент газа в цилиндре машины не было.

1. Всасывание. Работа A1 = p1U1 .2. Извне поступает количество теплоты δQ , происходит дальнейшее

расширение. Здесь δQ = δU + δA , где δA = A2 .3. Выхлоп. Работа A3 = −p2U2 .За весь цикл Ac = A1 + A2 + A3 , при этом A2 = δQ− δU ,

δU = U(p2,U2) − U(p1,U1) . Следовательно

Ac = p1U1 + δQ− U(p2,U2) + U(p1,U1) − p2U2 .

41

Введем величину H = U + pU , называемую удельной энтальпией (теп-лосодержанием). Тогда

Ac = δQ− δH ,

где δH = H(p2,U2) − H(p1,U1) .

§ 6.7. Переход к переменным (p, T )

Равенство (42) записано в переменных (U, T ) . Преобразуем (19):

dQ = dU + p dU = dU + p dU + U dp− U dp = dH − U dp .

Тогда

dS =dQ

T=

1

T(dH − U dp) =

1

T

(∂H

∂p− U

)dp+

1

T

∂H

∂TdT .

Последнее выражение заведомо является полным дифференциалом, по-этому

∂

∂T

(1

T

(∂H

∂p− U

))=

∂

∂p

(1

T

∂H

∂T

).

Отсюда

− 1

T 2

(∂H

∂p− U

)+

1

T

∂2H

∂T∂p− 1

T

∂U

∂T=

1

T

∂2H

∂p∂T.

Как и ранее при условии достаточной гладкости функции H , переста-новка порядка дифференцирования дает

1

T 2

∂H

∂p− U

T 2+

1

T

∂U

∂T= 0 ,

или∂H

∂p+ T 2 ∂

∂T

(U

T

)= 0 . (43)

А поскольку U =1

ρ, возможен такой вариант:

∂H

∂p= −T 2 ∂

∂T

(1

ρT

).

42

§ 6.8. Вычисление удельной энтальпии и

удельной энтропии

Рассмотрим в координатах p, T точку (p0, T0) , так что H0 = H(p0, T0) ,S0 = S(p0, T0) , и H0 = U(p0, T0) + p0U(p0, T0) . Требуется вычислить зна-чения H и S в точке (p, T ) . Допустим, что известны удельный объемU(p, T ) и теплоемкость cp(p, T ) .

Так как dQ = dH − U dp ,

cp =dQ

dT

∣∣∣p=const

=∂H

∂T.

Следовательно, в силу (43)

H(p, T ) = H0 +

∫dH = H0 +

T∫

T0

∂H

∂TdT +

p∫

p0

∂H

∂pdp =

=

T∫

T0

cp(p0, T ) dT − T 2

p∫

p0

∂

∂T

(U(p, T )

T

)dp .

Затем,

dS =dQ

T=dH − U dp

T=

1

T

(∂H

∂p− U

)dp+

1

T

∂H

∂TdT .

С помощью (43) получается, что

∂S

∂p=

1

T

(∂H

∂p− U

)=

1

T

(−T ∂U

∂T

)= −∂U

∂T,

а∂S

∂T=

1

T

∂H

∂T=cpT, p = const .

Итак,

S(p, T ) = S0 +

T∫

T0

cp(p0, T )

TdT −

p∫

p0

∂U

∂T

∣∣∣T=const

dp .

43

§ 6.9. Некоторые свойства водяного пара и

влажного воздуха

Пусть e — та часть атмосферного давления, которая создается при-сутствием водяного пара. Тогда (p− e) будет давлением сухого воздуха.Допустим, что существует некоторая зависимость e 6 E(T ) . Также вве-дем обозначение T0 для температуры замерзания воды при атмосферномдавлении p0 , которое, напомним, составляет 1000 гПа. Примем, что

E(T ) = E(T0) exp(T − T0)c1

T

есть вид зависимости E(T ) , основанный лишь на теоретических данных,а уже

E(T ) = E(T0) exp(T − T0)c0T − T1

является уточненным с помощью эксперимента (так называемая фор-мула Магнуса). Здесь c0, c1 — некоторые постоянные, T1 ≈ 38K , аE(T0) = 6,1 гПа.

Рассмотрим теперь характеристики водяного пара и влажного возду-ха.

1. Относительная влажность определяется какe

E(T ). Тогда E(T )

называется насыщающим давлением. Отметим, что”пересыщения“ бо-

лее чем на 1% в атмосфере не наблюдается. Это происходит из–за при-сутствия в воздухе конденсирующих частиц.

2. Отношение массы воды в единице объема к массе воды в том жеобъеме воздуха вместе с водой носит название удельного влагосодержа-ния (или удельной влажности, если e < E(T )).

3. Отношение смеси — это масса воды, отнесенная к массе воздухабез воды.

4. Водностью называется отношение массы сконденсировавшейся во-ды (в том числе и твердой фазы) к единице объема. Это величина раз-мерности г/м3 .

По аналогии с (1) и (23) для сухого воздуха имеет место соотношение

p− e = RdρdT =R0

µρdT ,

44

поэтому ρd =(p− e)µ

R0T. А для водяного пара соответственно ρw ≈ eµw

R0T.

Здесь µ ≈ 29 , µw = 18 . Обозначим λ =µw

µ= 0,622 . . . , тогда ρw ≈ λeµ

R0T,

и

ρ = ρd + ρw =(p− e+ λe)µ

R0T=µ (p− (1 − λ)e)

R0T.

Удельная влажность будет

ρw

ρ=

λe

(p− e) + λe≈ λE(T )

p=λE(T )

p0ζ. (44)

Если E(T ) ≪ p , то удельная влажность при насыщении окажется равнойλE(T )

p− (1 − λ)E(T ).

§ 6.10. Прогноз обложных осадков в

трехмерной геострофической схеме

Включим удельную влажность во входные данные задачи. Затембудем сравнивать удельную влажность рассматриваемой воздушной ча-стицы, движущейся по найденной траектории, с величиной (44). Еслипри некотором t достигается равенство, то в момент времени t долж-на произойти конденсация. Так можно спрогнозировать качественнуюкартину осадков.

§ 6.11. Виртуальная температура

Если воздух содержит примеси, то идеальным газом он, вообще гово-ря, не будет. Другими словами, плотность воздуха будет зависеть такжеот вектора примесей ~η = (η1, . . . , ηn) , и из (23)

Tv =pµ

R0ρ(p, T, ~η).

Это и есть виртуальная температура. В частности, для тропосферыЗемли ~η = η1 = e . Виртуальную температуру Tv придется рассматри-вать в качестве температуры T в (1), (11) и других равенствах.

45

§ 6.12. Переход к аргументам p, S

Предположим, что в распоряжении имеются величины p , T , U ,S , H , причем S = S(p, T ) и ~η = η1 — удельная влажность, а вектор~ζ = (ζ1, ζ2) таков, что ζ1 + ζ2 — водность для данной области (ζ1 соот-ветствует жидкой, а ζ2 — твердой фазе). Итак, S = S(p, T, ~η) строго

монотонна по T , поскольку∂S

∂T=cpT

, и cp > 0 . Значит, можно выразить

T через p , S , ~η , исключив тем самым аргумент T .

§ 6.13. Влажноадиабатический

температурный градиент. Конвекция

Пусть известны ρ = ρ(p, S, ~η) , T = T (p, S, ~η) . Влажноадиабатиче-ский температурный градиент определим как

γwa = −dTdz

∣∣∣S=const

.

В силу (2)

γwa = −dpdz

∂T

∂p= ρ(p, S, ~η)g

∂T (p, S, ~η)

∂p.

Здесь, как и ранее, ~η = η1 — удельная влажность. Таким образом, вид-но, что γwa < γa — это просто следует из определений температурныхградиентов.

Воздух, в котором присутствует водяной пар, имеет меньшую сум-марную плотность, поэтому на него действует архимедова сила, вытал-кивающая его вверх. В средних широтах уровню, на котором начинает-ся процесс кристаллизации частиц водяного пара воздуха соответствуеттемпература около −12C . Визуально наблюдаемое

”размывание“ верх-

ней части кучевого облака, располагающейся примерно на этом уровне,свидетельствует о том, что вскоре из облака пойдет дождь.

§ 6.14. Фен

Рассмотрим ситуацию, когда циклон пересекает горный хребет сред-ней высоты. Этот процесс служит примером изменения влажноадиаба-тической модели на сухоадиабатическую. Дело в том, что выпадение

46

осадков, сопровождающее преодоление горного хребта, влечет измене-ние удельной энтропии и удельной энтальпии. В частности, энтальпияменяется благодаря многим факторам. Это и диссипация энергии засчет сил трения, и работа, связанная с перепадом высот, и увеличениекинетической энергии (увеличение скорости ветра после прохожденияхребта). Удельная влажность падает, а температура, наоборот, растет.

47

Глава 7

Уравнение баланса ветра идавления. Двумернаясоленоидальная схема прогноза

§ 7.1. О классификации уравнений с

частными производными

Напомним, что равенство

F

(x, y, z,

∂z

∂x,∂z

∂y,∂2z

∂x2,∂2z

∂x∂y,∂2z

∂y2

)= 0 ,

снабженное граничными условиями, называется уравнением с частны-ми производными. Здесь z = z(x, y) — искомая функция. Если краткозаписать правую часть в виде F(x, y, z, p, q, r, s, t) , то формальный опре-делитель

D = det

(F′

r12F′

s12F′

s F′

t

)

будет характеризовать тип данного уравнения:1) если D > 0 , уравнение эллиптического типа;2) если D < 0 , уравнение гиперболического типа;3) если D = 0 в области, уравнение параболического типа;4) если D > 0 (D < 0) , и есть точки, в которых D = 0 , то уравнение

эллиптическое (гиперболическое) с вырождением;

48

5) если D меняет знак, уравнение смешанного типа.Уравнение линейно, если F линейна по аргументам z, p, q, r, s, t и ква-

зилинейно, если F линейна по аргументам r, s, t . Другими словами, ква-зилинейное уравнение имеет вид

A∂2z

∂x2+ 2B

∂2z

∂x∂y+ C

∂2z

∂y2+ F = 0 ,

где функции A,B,C, F зависят от x, y, z, p, q . Квазилинейное уравнениевида

det

(∂2z∂x2

∂2z∂x∂y

∂2z∂x∂y

∂2z∂y2

)+ A

∂2z

∂x2+ 2B

∂2z

∂x∂y+ C

∂2z

∂y2+ F = 0

носит название уравнения Монжа — Ампера.

§ 7.2. Приближенная теорема Ролля

В курсе математического анализа имеется следующая

Теорема 3. Пусть функция f = f(x) непрерывна на невырожденномотрезке [a, b] , дифференцируема в интервале (a, b) и f(a) = f(b) , то-гда в интервале (a, b) существует такая точка ξ , что f ′(ξ) = 0 ,

известная как теорема Ролля. Если потребовать, чтобы |f(a) − f(b)| < ε

для достаточно малого ε , то получим, что |f ′(ξ)| < ε

b− a.

§ 7.3. Бездивергентный средний уровень

тропосферы

Из (32) следует, что D + ζ ′ζ = 0 . Как показывают наблюдения, у

подстилающей поверхности, а также вблизи тропопаузы |ζ| значитель-но меньше, чем в средней тропосфере. Воспользовавшись приближен-ной теоремой Ролля, получим, что ζ ′ζ ≈ 0 (и следовательно D ≈ 0) при

некотором ζ = ζ . Это бездивергентный средний уровень тропосферы,который в моделях, как правило, принимается равным 0,5 или 0,7 .

49

§ 7.4. Функция тока

Пусть D = 0 . Рассмотрим дифференциальную форму v dx− u dy .Она является полным дифференциалом, так как (−u)′x − v′x = −D = 0

ввиду (32). Следовательно,

∫v dx− u dy =

∫dψ = ψ + const . Функция

ψ называется функцией тока, и v = ψ′

x , u = −ψ′

y .

§ 7.5. Уравнение баланса ветра и давления

Во второй локальной модели l = l(y) , β(y) = l′y . Перепишем еще разсистему (14) в виде

u′t + uu′x + vu′y + ζu′ζ − lv + Φ′

x = 0

v′t + uv′x + vv′y + ζv′ζ + lu+ Φ′

y = 0 .

Продифференцируем уравнения по x и y соответственно и сложим:

D′

t + u′xu′

x + 2u′yv′

x + v′yv′

y + uD′

x + vD′

y + ζD′

ζ+

+ζ ′xu′

ζ + ζ ′yv′

ζ + l(−v′x + u′y) + βu+ ∆Φ = 0 .

Предположим, чтоD = 0 не только в точке ζ , но и в некоторой ее окрест-ности. Иначе говоря, есть некоторый слой, в котором D = 0 , и поэтомууравнение примет вид

(u′x)2 + 2u′yv

′

x + (v′y)2 + ζ ′xu

′

ζ + ζ ′yv′

ζ + l(−v′x + u′y) + βu+ ∆Φ = 0 .

Перейдем от u и v к функции тока ψ . Получим

(−ψ′′

yx)2 +2(−ψ′′

yy)ψ′′

xx +(ψ′′

xy)2 + ζ ′xu

′

ζ + ζ ′yv′

ζ + l(−ψ′′

xx−ψ′′

yy)−βψ′

y +∆Φ = 0 .

Наконец, аналогично подобным случаям, пренебрежем величинойζ ′xu

′

ζ + ζ ′yv′

ζ . Тогда

det

(ψ′′

xx ψ′′

xy

ψ′′

xy ψ′′

yy

)+l

2∆ψ +

β

2ψ′

y =1

2∆Φ . (45)

В данном уравнении баланса ветра и давления все, что так или иначеотносится к ветру, находится в левой части. Правая часть характеризуетдавление.

50

§ 7.6. Связь уравнения баланса ветра и

давления с геострофическим

приближением

Пусть ε =1

lдля l 6= 0 , тогда из (45) следует

2ε det

(ψ′′

xx ψ′′

xy

ψ′′

xy ψ′′

yy

)+ ∆ψ + εβψ′

y =1

l∆Φ .

При ε → 0 сразу получим

∆ψ =1

l∆Φ .

В первой локальной модели частное решение будет ψ =1

lΦ , что, опять

же, соответствует геострофическому ветру ug = −ψ′

y , vg = ψ′

x .

§ 7.7. Исследование типа уравнения баланса

ветра и давления

Представим (45) в виде уравнения Монжа — Ампера

det

(ψ′′

xx ψ′′

xy

ψ′′

xy ψ′′

yy

)+ Aψ′′

xx + 2Bψ′′

xy + Cψ′′

yy + F = 0 ,

где A =l

2, B = 0 , C =

l

2, F =

1

2(−βu− ∆Φ) . В данном случае

D = det

(F

′

r12F

′

s12F′

s F′

t

)=l2

4+

1

2∆Φ +

1

2βu .

Тип уравнения будет определяться знаком этого выражения. В частно-сти, для циклона северных широт уровни Φ = const вогнуты, поэтому∆Φ > 0 .

51

§ 7.8. Некоторые модели для ветра в

тропиках и на экваторе

Выберем в качестве граничного условия на экваторе гипотезу”твер-

дая стенка“ (допускается только скольжение воздуха вдоль границы).1. Пусть Φ = Φ(y) , y — широта, ищем ψ в виде ψ(y) . Так как заранее

известно, что ψ от x не зависит, то (45) примет более простой вид, аименно

lψ′′

yy + l′yψ′

y = Φ′′

yy ,

или(lψ′

y)′

y = Φ′′

yy .

Интегрирование дает

ψ′

y(y) = −u(y) =1

l(y)

(Φ′

y(y) − Φ′

y(0)), y 6= 0 .

Здесь учли, что l(0) = 0 .2. Перейдем к пределу в найденном решении:

u(0) = − 1

β(0)Φ′′

yy , β(0) > 0 .

Довольно часто вдоль экватора наблюдается так называемая барическаяложбина. Это означает, что Φ′′

yy > 0 . Но тогда u < 0 , и ветер должендуть с востока на запад (восточный перенос).

3. Допустим, что на экваторе есть область, где Φ не зависит от аргу-ментов x, y , D = 0 (существует функция тока ψ), u, v не зависят от x, yпри некоторых t (равенство (45) должно быть выполнено при каждомтаком t). Тогда от (45) останется лишь

βψ′

y = 0 ,

откуда следует, что uβ(0) = 0 , значит u = 0 , так как β(0) 6= 0 . Полу-чается, что ветер должен иметь строго меридиональное направление,что опровергает гипотезу

”твердая стенка“. Такое действительно имеет

место: течение Финлейтера (у Мадагаскара) как раз меридиональногонаправления.

52

§ 7.9. Схема прогноза

Отправной точкой будет уравнение (16):

dΩa

dt+ ΩaD + det

(ζ ′x ζ ′yu′ζ v′ζ

)= 0 .

Пренебрегая третьим слагаемым, а также учитывая, чтоD = 0 , получим

Ω′

t + uΩ′

x + vΩ′

y + ζΩ′

ζ +dl

dt= 0 ,

поскольку Ωa = Ω + l . Перейдем теперь к функции тока ψ : u = −ψ′

y ,v = ψ′

x , значит Ω = v′x − u′y = ∆ψ , во второй локальной моделиdl

dt= l′yv = βψ′

x . Тогда

(∆ψ)′t − ψ′

y(∆ψ)′x + ψ′

x(∆ψ)′y + βψ′

x = 0 ,

или

∆ψ′

t = det

((∆ψ)′x (∆ψ)′yψ′

x ψ′

y

)− β(y)ψ′

x . (46)

Уравнения (45), (46) лежат в основе схемы прогноза. Рассмотрим сред-ний уровень тропосферы.

1. Пусть в момент t = t0 на границе области сделаны метеонаблюде-ния.

2. По известным Φ, u, v определим значение функции тока

ψ = ψ0 +

∫v dx− u dy на границе.

3. Введем для (45) граничные условия Φ′

t = 0 и ψ′

t = 0 , а также по-требуем, чтобы D > D0 > 0 , где D0 выражается через l.

4. Решим поставленную задачу Дирихле (45). Так определим значе-ние ψ внутри области для фиксированного момента времени t0 .

5. Задачу (46) решаем шагами по времени ∆t . После каждого шагавычисляем из (45) геопотенциал, а затем и ветер.

Изложенная выше схема прогноза была предложена скандинавскимученым Болином. Численное решение задачи Дирихле (45) осуществ-лялось в ней с помощью 150–200 итераций. Двумерная соленоидальнаясхема дает удовлетворительный прогноз на сутки при ∆x = ∆y = 200 км,

53

∆t ≈ 30 мин. Подобная схема прогноза применялась в 1970–80 годах вНовосибирске.

Случай, когда D 6= 0 , сводится к подобному, поскольку при этомu = −ψ′

y + ϕ′

x , v = ψ′

x + ϕ′

y , и D = ϕ′′

xx + ϕ′′

yy .

Отметим, что полная (примитивная) система уравнений с∆x = ∆y = 150 км использовалась в 1970–х годах в Великобритании.Необходимость учитывать звуковые волны накладывает ограничение на

шаг по времени. Применявшийся ∆t был равен1

27,5 мин.

54

Часть II

55

Введение

Вертикальный разрез атмосферы Земли

Вспомним график температуры атмосферы Земли (рис. I.1). Име-ет смысл рассматривать шкалу высот до так называемой нижней гра-ницы околоземного космоса (минимальная высота орбиты космическогоаппарата, на которой возможен полный виток вокруг Земли), составля-ющей 160–170 км. Напомним также сведения о газовом составе атмо-сферы. Приблизительно до мезопаузы сохраняется одинаковый составатмосферного воздуха без воды: азот — 78 %, кислород — 21 %, аргон —1 %, прочие газы — менее 1 % по объемным долям.

Об уравнении движения

В случае краткосрочного прогноза уравнения (I.5) было вполне до-статочно. Для построения долгосрочного прогноза в это уравнение необ-ходимо внести некоторые уточнения:

~V = −−−−−→gradW + 2[~V × ~ω] − 1

ρ

−−−→grad p+ ~N . (1)

Здесь первое слагаемое — все тот же, но по–другому записанный, вес(сумма двух потенциальных сил: тяготения и центробежной), а послед-нее — та часть ускорения частицы вещества, которая определяется дей-ствием силы вязкости.

56

Баротропность и бароклинность

Из эксперимента известно, что ~N = ~0 при ~V = ~0 . В жидкостях, вотличие от твердых тел, трения покоя нет. При ~V = ~0 имеем

~V = −−−−−→gradW − 1

ρ

−−−→grad p .

Возьмем ротор от обеих частей этого уравнения. Для этого обозначим~Ω = rot ~V и учтем, что для достаточно гладких f и ~F справедливы та-

кие свойства ротора как rot−−−→grad f = ~0 и rot(f ~F ) = [

−−−→grad f × ~F ] + f rot ~F .

Тогда получим

~Ω =1

ρ2

[−−−→grad ρ×−−−→

grad p].

Если−−−→grad ρ ‖ −−−→

grad p , то среда называется баротропной. В этом слу-

чае согласно уравнению состояния (I.1)−−−→grad ρ ‖ −−−→

grad p ‖ −−−−→gradT . Если−−−→

grad ρ ∦−−−→grad p , то среда называется бароклинной. Причиной тому может

быть, например, ее неравномерное нагревание. В этом случае имеет ме-сто вращательное движение в жидкой или газообразной среде, поскольку~Ω 6= ~0 .

57

Глава 1

Криволинейные ортогональныекоординаты

§ 1.1. Коэффициенты Ламе

Пусть O — начало координат, а X — текущая точка пространства,

тогда радиус–вектор ~X =−−→OX . Считаем, что ~X = ~X(u, v, w) , u = u(t) ,

v = v(t) , w = w(t) на траектории AB , и s =

∫

AB

| ~X′

t| dt . Дифференциал

дуги ds2 =(| ~X′

t| dt)2

=(~X′

t,~X′

t

)dt2 .

Так как ~X′

t = ~X′

u

du

dt+ ~X′

v

dv

dt+ ~X′

w

dw

dt, то для ds2 =

3∑

i,j=1

gij duiduj полу-

чим gij =(~X′

ui, ~X′

uj

)при (u1, u2, u3) = (u, v, w) .

В случае ортогональной системы координат дифференциал дуги при-

мет вид∑

i

gii du2i . Тогда gii = H2

i > 0 , и

~X′

ui= Hi~τi , (2)

где Hi — коэффициенты Ламе, а ~τi — единичные орты.

58

§ 1.2. Вспомогательные сведения из

дифференциальной геометрии

Пусть поверхность задана в виде z = (x, y) , где x , y — координаты вкасательной плоскости к этой поверхности в данной точке, z — по норма-ли. Из–за такого выбора системы координат тейлоровское разложениефункции в окрестности данной точки будет начинаться со 2–й степени.Слагаемые 2–й степени образуют так называемый соприкасающийся па-раболоид. Согласно характеристике точек C2–гладкой поверхности, еслисоприкасающийся параболоид является плоскостью или параболоидомвращения, данная точка называется омбилической; если соприкасаю-щийся параболоид является эллиптическим параболоидом, данная точканазывается эллиптической; если соприкасающийся параболоид являетсяпараболическим цилиндром, данная точка называется параболической;наконец, если соприкасающийся параболоид является гиперболическимпараболоидом, данная точка называется гиперболической. Заметим, ес-ли все точки поверхности являются омбилическими, то это сфера илиплоскость. Имеет место

Теорема 4. (Дюпен) Пусть дана поверхность в криволинейной орто-гональной системе координат. Тогда координатные поверхности пере-секаются по линиям кривизны.

Рассмотрим некоторые следствия теоремы Дюпена.1. Допустим, что на поверхности введена сеть из двух семейств

взаимно–ортогональных линий. Будем считать их координатными лини-ями. Продолжение полученной ортогональной системы в пространствоневозможно по теореме Дюпена.

2. С плоскости и со сферы такое продолжение возможно.

§ 1.3. Градиент

Рассмотрим функцию f = f(X) , где текущая точка пространства

X = X(u1, u2, u3) . Вычислим−−−→grad f в локальной декартовой системе ко-

ординат с началом в точке X и ортами ~τj :

−−−→grad f =

∂f

∂x1~τ1 +

∂f

∂x2~τ2 +

∂f

∂x3~τ3 .

59

Обозначим через sj длину дуги по направлению ~τj , тогда∂f

∂xj=∂f

∂sj.

Кроме того ds2 =∑

j

H2j du

2j =

∑

j

ds2j , и dsj = Hj duj . Поэтому

−−−→grad f =

∑

j

∂f

∂sj~τj =

∑

j

df

Hj duj~τj =

∑

j

hj∂f

∂uj~τj , (3)

где hj =1

Hj

.

§ 1.4. Скорость движения

Считаем, что uj = uj(t) — криволинейные координаты движущейсяточки, t — время. Тогда скорость

~V =d

dt~X =

∑

j

∂~X

∂uj

duj

dt.

С помощью (2) получим

~V =∑

j

Hj~τj uj =∑

j

vj~τj ,

где vj = Hj uj .

§ 1.5. Деривационные формулы

Имеет место следующее разложение

∂~τi∂uj

=∑

k

ηijk~τk .

Коэффициенты ηijk образуют трехмерную матрицу размера 3 × 3 × 3 .

Обозначим hij =∂Hi

∂sj

= hj∂Hi

∂uj

.

60

Теорема 5. Все ηijk выражаются через коэффициенты Ламе и ихчастные производные 1–го порядка:

η112 = −h12, η113 = −h13, η122 = h21, η133 = h31,

η211 = h12, η221 = −h21, η223 = −h23, η233 = h32,

η311 = h13, η323 = h23, η331 = −h31, η332 = −h32,

остальные — нулевые.

§ 1.6. Ускорение

Определим полную производную ~a =d~V

dt, тогда

~a =

3∑

j=1

aj~τj =d

dt

(3∑

j=1

vj~τj

)=

3∑

j=1

(vj~τj + vj

d

dt~τj

).

Согласно деривационным формулам

d

dt~τi =

3∑

j=1

∂~τi∂uj

duj

dt=

3∑

j=1

(3∑

k=1

ηijk~τk

)uj ,

следовательно

~a =3∑

k=1

vk~τk +3∑

i=1

vi ~τi =3∑

k=1

vk~τk +3∑

i=1

(3∑

j=1

3∑

k=1

hjvjηijk~τk

)vi =

=

3∑

k=1

vk~τk +

3∑

k=1

~τk

(3∑

i,j=1

hjηijkvivj

),

или покомпонентно

ak = vk +

3∑

i,j=1

hjηijkvivj . (4)

Второе слагаемое здесь представляет собой несимметризованную квад-ратичную форму.

61

§ 1.7. Запись силы и ускорения Кориолиса

Аналогично § I.2.6 введем на сфере репер ~τ1, ~τ2, ~τ3, так что ~τ3 = ~n —нормаль к эквипотенциальной поверхности поля силы тяжести. Пустьθ — угол между векторами ~ω и ~n, а l = 2ω3 = 2|~ω| cos θ — параметр Ко-риолиса. Тогда

2[~V × ~ω] = (lv2 − 2ω2v3)~τ1 + (2ω1v3 − lv1)~τ2 + (2ω2v1 − 2ω1v2)~n .

При |v3| ≪√v21 + v2

2 можно считать

2[~V × ~ω] ≈ lv2~τ1 − lv1~τ2 + (2ω2v1 − 2ω1v2)~n .

С учетом (3) и (4) проекции (1) на ~τ1 и ~τ2 примут вид

vk = −3∑

i,j=1

hjηijkvivj + (−1)3−klv3−k −1

ρhk

∂p

∂uk

+Nk, k = 1, 2 . (5)

62

Глава 2

Вязкость и турбулентность

§ 2.1. Молекулярная вязкость

Известен следующий экспериментальный факт: на”твердой стенке“

наблюдается явление прилипания, т. е. ~V = ~0. Происходит обмен им-пульсом между силами, подгоняющими медленный слой вещества, и си-лами, тормозящими быстрый слой. Если считать, что ~V = ~V (z), гдекоордината z характеризует высоту слоя, то справедлива простая зави-симость

~Fvis = ηS∂~V

∂z.

Здесь S — площадь рассматриваемого участка”твердой стенки“, а η —

некий коэффициент. Разность между верхним и нижним слоем

~Ftop − ~Fbtm = δ

[ηS

∂~V

∂z

].

Располагающееся в левой части равенства приращение силы вязкостиможно проинтерпретировать иначе, воспользовавшись массой и разни-цей слоев δz ,

(S δz ρ) ~N = δ

[ηS

∂~V

∂z

].

Разделим обе части на выражение в скобках и перейдем к пределуδz → 0. В случае когда вектор скорости ~V перпендикулярен оси z,

63

получим

~N =∂

∂z

(ν∂~V

∂z

), (6)

где ν =η

ρ— кинематическая вязкость. Параметр η носит название

динамической вязкости. Для неподвижной системы координат при от-сутствии силы Кориолиса часто применяется аналог уравнения (1) вида

ρd~V

dt= −ρ−−−−→gradW −−−−→

grad p+ η∆~V +

(ζ +

1

3η

)grad div ~V .

Здесь ζ — так называемая вторая вязкость, а η считается постояннойвеличиной (хотя в некоторых случаях это не так). В метеорологическихзадачах используется

~N =∂

∂z

(ν1∂~V

∂z

)+ ν2∆~V .

На искривленной поверхности ∆ действует как оператор Бельтрами —Лапласа.

§ 2.2. Размерности. Число Рейнольдса

Известны размерности [z] = см, [S] = см2, [~V ] = см/сек, [∂~V

∂z] = 1/сек,

[ρ] = г/см3, [~F ] = г·см/сек2. Поэтому [η] = г/(см·сек) и [ν] = см2/cек. Втабл. 1 представлены величины вязкостей для некоторых веществ.

η, г/(см·сек) ν, см2/cек

ртуть 0,0156 0,0012вода 0,010 0,0010спирт 0,018 0,022глицерин 8,5 6,8воздух 0,00018 0,15

Табл. 1

Допустим, что задан характерный масштаб длины [L] = см и скорости

[u] = см/сек. Тогда безразмерная величинаLu

νносит название числа

Рейнольдса и обозначается Re.

64

§ 2.3. Скорость диссипации энергии

Рассмотрим частный случай ~V = u, 0, 0 и η = 0, тогда получимуравнение схожее с первым уравнением (I.6), а именно

ρdu

dt= −∂p

∂x. (7)

Если теперь η = const 6= 0 и u(0) = u(H) = 0 для z ∈ [0, H ] (горизонталь-ное движение между двух

”твердых стенок“), то

ρdu

dt= −∂p

∂x+ η

∂2p

∂z2. (8)

Допустим также, что среда несжимаема, т. е. ρ = const. Кинетическая

энергия для единицы объема E =1

2ρu2. Далее по (7) имеем

dE

dt= ρu

du

dt= −u∂p

∂x,

и следовательно

δE ≈(dE

dt

)δt = −∂p

∂x(uδt) = −∂p

∂xδx ≈ −δp .

Пусть энергия, равная работе сил давления, перешла в тепловую фор-му (произошла диссипация энергии). Значит δE = 0 . Из (8) следует

(uρdu

dt

)δt = −δt u∂p

∂x+

(uη∂2p

∂z2

)δt .

Проинтегрируем это равенство по параллелепипеду, разделим на объемH и на δt . Согласно предыдущим заключениям получим

1

H δt

H∫

0

δE dz =1

H δt

H∫

0

(−δp) dz +η

H δt

H∫

0

u∂2u

∂z2δt dz .

А так как δE = 0, то

1

H

H∫

0

δp dz =η

H

H∫

0

u∂2u

∂z2δt dz .

65

Проинтегрировав по частям, благодаря условию прилипанияu(0) = u(H) = 0, получим

1

H

H∫

0

(−δpδt

)dz =

η

H

H∫

0

(∂u

∂z

)2

dz . (9)

Если u = u(z), то можно считать, что

∣∣∣∣∂p

∂z

∣∣∣∣ =∣∣∣−−−→gradu

∣∣∣ . Согласно (9) по-

лучим, что для единицы объема

Diss = η

⟨(−−−→grad u

)2⟩,

а для единицы массы за единицу времени

E =Diss

ρ= ν

⟨(−−−→gradu

)2⟩.

§ 2.4. Закон Колмогорова — Обухова

Таким образом E =δE

ρ δt. Пусть λ — линейный масштаб, vλ —

перепад скоростей за счет вихря. Найдем такую комбинацию ве-личин λ и vλ, которая имела бы ту же размерность, что и[E] = (г/см3)·(см2/сек2)·(см3/г)·(1/сек) = см2/сек3 . Отсюда следует(см/сек)α · смβ = см2/сек3, а затем α + β = 2, −α = −3, поэтому α = 3,β = −1 . Тогда

v3λλ

−1 = CE,

где C — безразмерный коэффициент, постоянный для данного потока.Пусть C = c

3, тогда закон Колмогорова — Обухова (1941) запишетсятак:

vλ = c(λE)1/3 . (10)

§ 2.5. Внешний и внутренний масштабы

турбулентности

Если величина числа Рейнольдса превышает некоторое Recr, наблю-дается турбулентность. Пусть Recr = 100. Тогда в случае каменистой

66

поверхности для турбулентности достаточно относительно небольшого

среднего размера камней, поскольку Re =Lu

ν, где L — типичный раз-

мер камней, u — скорость ветра, ν = 0,15.Пусть l — размер самых крупных вихрей, λ0 — размер самых мелких

вихрей, λ — некий промежуточный размер. Тогда l и λ0 будут обозна-чать соответственно внешний и внутренний масштабы турбулентно-сти. Скорости обозначим через ∆u, vλ, vλ0

. Применяя (10), получим

(∆u)3

l= c

3E =

(vλ0)3

λ0,

откудаvλ0

= cE1/3λ0

1/3,

(vλ0)3

λ0=

∆u

l1/3λ0

−2/3 .

Но вместе с тем

Recr =vλ0

λ0

ν=

(vλ0)3

λ0

λ02

ν=

∆u

l1/3λ0

−2/3λ02

ν,

следовательно

λ0 =

(Recr ν

∆u

)3/4

l1/4 .

Например, если ветер за время τ = 20 сек плавно меняет свою скоростьв пределах от 7 м/сек до 13 м/сек, то ∆u = 6 м/сек, а l = τu, где средняяскорость u = 10 м/сек . Тогда λ0 ≈ 1 см.

§ 2.6. Турбулентная вязкость

В метеорологии часто используется такой параметр как турбулент-ная вязкость. В частности, для воздуха νturb = 4 ÷ 12 м2/сек, что,очевидно, не совпадает с соответствующим значением ν. Так как

E = ν

⟨(−−−→gradu

)2⟩

, то

E = ν

(vλ0

λ0

)2

= νλ

(vλ

λ

)2

= νturb

(∆u

l

)2

.

67

Отсюда cогласно (10)

νλ

ν=

(vλ0

λ0

)2

·(λ

vλ

)2

=

(cλ0

1/3

λ0

)2

·(

λ

cλ1/3

)2

=

(λ

λ0

)4/3

.

Поэтому при λ = l получим

νturb = ν

(l

λ0

)4/3

.

Так в предыдущем примере для l = 200 и λ0 = 1 турбулентная вязкостьνturb ≈ 8 м2/сек.

§ 2.7. Геострофический ветер

Рассуждая аналогично §§ I.3.6 – I.3.8, считаем, W = const, и получим

u = lv − lw − 1

ρ

∂p

∂x+ N1

v = − lu − 1

ρ

∂p

∂y+ N2

w = − g + lu − 1

ρ

∂p

∂z+ N3.

Геострофический ветер ~Vg = ug, vg, 0, где

ug = − 1

ρl

∂p

∂y, vg =

1

ρl

∂p

∂x.

§ 2.8. Планетарный пограничный слой и

свободная атмосфера

Рассмотрим в качестве упрощения следующую удобную в расче-тах модель: ~V = ~Cz2 . Сделаем небольшую прикидку: известно, что∣∣∣2[~V × ~ω]

∣∣∣ должно быть в несколько раз больше, чем∣∣∣ ~N∣∣∣ . Воспользовав-

шись (6), придем к выводу, что в данной упрощенной модели толщинаприземного слоя атмосферы будет порядка 1000 м.

68

16

30 50305090

6

@@R

BBBN

AAU

HHj * -@@R6

6

@@I

BBN

HHjHHHHHYHHj 6

?PPPq PPPq

PPPq -

6

6

стратосфералетомВысота, км

Широта, град

Рис. 1

§ 2.9. Задача о повороте ветра в

планетарном пограничном слое

Имеются следующие краевые условия:”прилипание“ у поверхности

Земли ~V = ~0 и геострофический ветер ~V = ~Vg на верхней границе слоя.

Значения l, ρ,∂p

∂x,∂p

∂yфиксируются в данной точке, и считается, что

u = u(z), v = v(z), w = 0 . В результате — система обыкновенных диф-ференциальных уравнений 2–го порядка. Если νturb = const, то решениебудет получено в эллиптических функциях, хотя на самом деле турбу-лентная вязкость νturb зависит от z и от других величин.

§ 2.10. Атмосферные фронты, циклоны и

антициклоны

Напомним, что в северных широтах геострофический ветер обходитциклоны против часовой стрелки (подробности см. в главе I.3).

69

§ 2.11. Задача о толщине тропосферы

В части I обсуждался лучистый теплообмен. Теперь используем дру-гой подход: циклоны и антициклоны ведь можно рассматривать как тур-булентности с масштабом l порядка нескольких сотен км. Тогда будетдругой турбулентная вязкость (обозначим ее νl) и увеличится толщинапограничного слоя. В упрощенной модели из § 2.8 толщина h тропо-

сферы пропорциональна1√l

(здесь l — параметр Кориолиса, нулевой на

экваторе и максимальный на полюсе). Фактически, это и есть зависи-мость толщины тропосферы от географической широты. На экваторезначение h достигает 17 км, а на полюсах оно около 8 км. На рис. 1 так-же изображена схема движения воздушых масс для тропосферы и длястратосферы северного полушария в летний период.

§ 2.12. Струйные течения и отрицательная

вязкость

Кроме того график (см. рис. 1) на самом деле имеет разрывы в обла-стях так называемых струйных течений. Эти течения обладают высо-кой скоростью, так что иногда приходится допускать νl < 0.

70

Глава 3

О построении примитивнойсистемы уравнений

§ 3.1. О примитивной системе уравнений

При построении системы уравнений (см. § I.1.5) будем опираться нафундаментальные физические законы: 1) сохранения вещества (второйзакон Ньютона и, следовательно, уравнение движения); 2) свойства ве-щества (уравнение состояния); 3) сохранения массы (уравнение нераз-рывности); 4) сохранения энергии (уравнение притока тепла); 5) балансавлажности. Независимые переменные: три пространственные координа-ты и время. Искомых скалярных функций семь: T , p, ρ, ~V = u, v, w,а также влагосодержание. Скалярных уравнений столько же, системазамкнута. К тому же в случае долгосрочного прогноза необходимо учи-тывать и другие воздушные примеси кроме воды.

§ 3.2. Уравнение неразрывности

Пусть S — некоторая неподвижная поверхность в потоке сплошнойсреды, ~n — единичный вектор нормали к ней. Обозначим через ~V ско-рость, а через ρ плотность сплошной среды. Если M = M(t) — массавыделенного объема G, то

M =

∫∫∫

G

ρ dU,

71

поэтомуdM

dt=

∫∫∫

G

∂ρ

∂tdU.

Изменение массы за промежуток времени δt есть

δM =

−

∫∫

S

(ρ~V , ~n) dS

δt,

значит производнаяdM

dt= −

∫∫

S

(ρ~V , ~n) dS.

Здесь ρ~V — так называемая массовая скорость. По формуле Гаусса —Остроградского

dM

dt= −

∫∫∫

G

div(ρ~V ) dU,

в итоге ∫∫∫

G

(∂ρ

∂t+ div(ρ~V )

)dU = 0

для любого объема G . Отсюда уравнение неразрывности

∂ρ

∂t+ div(ρ~V ) = 0. (11)

§ 3.3. Преобразование уравнения

неразрывности

Известно, что div(ρ~V ) = ρ div ~V + (−−−→grad ρ, ~V ). Тогда из (11)

∂ρ

∂t+ (

−−−→grad ρ, ~V ) + ρ div ~V = 0,

или объединяя в полную производную вдоль траектории,

dρ

dt+ ρ div ~V = 0.

72

Разделив на ρ > 0, получим другую форму уравнения неразрывности

d

dt(ln ρ) + div ~V = 0.

В частном случае, если сплошная среда несжимаема,

div ~V = 0.

§ 3.4. Обсуждение вывода уравнения

неразрывности

Отметим, что вывод уравнения опирался на гипотезу, согласно ко-торой изменение массы M для данного объема G происходит только засчет движения со скоростью ~V . Есть случаи, когда это не так:

1) (астрофизический) потоки вещества и потоки электромагнитногоизлучения;

2) (гидрогеологический) пористые породы с трещинами;3) (метеорологический) ветер и дождь.В дальнейшем будем преобразовывать часть примитивной системы

уравнений с тем, чтобы в явной записи выделилось уравнение для при-земного давления p∗.

73

Глава 4

Уравнения в специальныхкоординатах

§ 4.1. Специальная замена координат

Пусть ξ1, ξ2, ξ3 — пространственные координаты, одна из которых —например, третья ξ3 = z — выделена. Будем рассматривать функции ар-гумента (X, t) = (ξ1, ξ2, ξ3, t). Применительно к атмосферному давлениюp(X, t) есть два замечательных параметра: типичное давление p0 = constна уровне моря (см. § I.2.2) и приземное давление p∗(ξ1, ξ2, t). Обозначим

ζ =p

p0, σ =

p

p∗.

Как ζ так и σ можно принять за новую координату по вертикальному

направлению. Здесь важно то, что p0 > 0, p∗ > 0 и∂p

∂zсохраняет знак.

Рассмотрим функцию f(ξ1, ξ2; σ; t), считая, что z = Z(ξ1, ξ2; σ; t). Произ-водная в новой системе координат будет выражаться через производнуюв старой системе как

f ′

ξk=∂f

∂ξk+∂f

∂zZ ′

ξk, f ′

σ =∂f

∂zZ ′

σ,

поэтому∂f

∂ξk= f ′

ξk−Z ′

ξk

Z ′

σ

f ′

σ, k = 1, 2. (12)

74

§ 4.2. Модель”тонкая атмосфера“

Введем на поверхности уровня W = const координаты ξ1, ξ2, z так,что ξ1, ξ2 — ортогональные координаты этой поверхности, а ось z на-правлена по нормали вверх. Модели

”тонкая атмосфера“ свойственны

следующие допущения:1) толщина атмосферы много меньше радиуса планеты;2) g = g(ξ1, ξ2) не зависит от z;3) метрика ds2 = H2

1dξ21 +H2

2dξ22 + dz2, где Hj = Hj(ξ1, ξ2), j = 1, 2.

§ 4.3. Геопотенциал

Поверхность W = const принимается за уровень Z = 0. Тогда в рам-ках модели

”тонкая атмосфера“ единичная масса обладает потенциаль-

ной энергией Φ =

z∫

0

g dz = gZ(ξ1, ξ2; σ; t). Это и есть геопотенциал.

§ 4.4. Условная вертикальная скорость

По аналогии с § I.2.5 обозначим σ =dσ

dt. Для представления

~V = v1~τ1 + v2~τ2 + w~n согласно (3) справедливо ξj = hjvj. Затем

w =dz

dt=dZ

dt= Z ′

ξ1

dξ1dt

+ Z ′

ξ2

dξ2dt

+ Z ′

σ

dσ

dt+ Z ′

t.

Следовательно

σ =1

Z ′

σ

(w − Z ′

t −2∑

j=1

Z ′

ξjhjvj

),

или

σ =1

Φ′

σ

(gw − Φ′

t − g

2∑

j=1

Z ′

ξjhjvj

). (13)

75

§ 4.5. Дивергенция в ортогональных

криволинейных координатах

Пусть дано векторное поле ~f =3∑

j=1

fj~τj (в нашем случае ~τ3 = ~n) и мет-

рика ds2 =3∑

j=1

H2j dξ

2j . Обозначим B = H1H2H3, b =

1

B(здесь использо-

вано сходство с hj =1

Hj). Тогда

div ~f = b3∑

j=1

∂

∂ξj(Bhjfj). (14)

§ 4.6. Гидростатическое приближение —

запись в σ–координатах

В модели”тонкая атмосфера“ ds2 =

2∑j=0

H2j dξ

2j + dz2, так как H3 = 1,

поэтому

−−−→grad p =

2∑

j=1

hj∂p

∂ξj~τj +

∂p

∂z~n.

Считаем, что вектор ~n направлен против силы тяжести, тогда из опре-деления σ

∂p

∂z=p′σZ ′

σ

=(p∗(ξ1, ξ2, t)σ)′σ

Z ′

σ

.

Из (I.2) следует, чтоp∗

Z ′

σ

= −ρg,

или

ρ = − p∗

Φ′

σ

. (15)

76

§ 4.7. Горизонтальная дивергенция

Займемся преобразованием дивергенции. Для ~V = v1~τ1 + v2~τ2 + w~n в(14) справедливо Bh1 = H2, Bh2 = H1, Bh3 = H1H2, поэтому

div ~V = b

(∂

∂ξ1(H2v1) +

∂

∂ξ2(H1v2) +H1H2

∂w

∂z

)=

= b

(∂

∂ξ1(H2v1) +

∂

∂ξ2(H1v2)

)+∂w

∂z.

Применяя (12), получим

div ~V = b

((H2v1)

′

ξ1+ (H1v2)

′

ξ2− 1

Z ′

σ

2∑

j=1

hjZ′

ξj(vj)

′

σ

)+∂w

∂z. (16)

Обозначим через Dσ~V = b((H2v1)

′

ξ1+ (H1v2)

′

ξ2

)— горизонтальную σ–

дивергенцию. Если w = 0, и если v1, v2 не зависят от z (тогда они не

зависят и от σ), то Dσ~V = div ~V .

§ 4.8. Вспомогательные преобразования

1. Из (15) известно, что Z ′

σ < 0. Значит

d

dtln |Z ′

σ| =d

dtln(−Z ′

σ) =1

Z ′

σ

(Z ′′

σt +2∑

j=1

Z ′′

σξj

dξjdt

+ Z ′′

σσσ

),

илиd

dtln |Z ′

σ| =1

Z ′

σ

(Z ′′

σt +

2∑

j=1

hjvjZ′′

σξj+ Z ′′

σσσ

).

2. На основе рассуждений из § 4

∂w

∂z=w′

σ

Z ′

σ

=

=1

Z ′

σ

(Z ′′

tσ + Z ′′

σσσ + Z ′

σ(σ)′σ +

2∑

j=1

(Z ′′

ξjσhjvj + Z ′

ξjhj(vj)

′

σ

))=

77

= (σ)′σ +1

Z ′

σ

2∑

j=1

Z ′

ξjhj(vj)

′

σ +d

dtln |Z ′

σ|.

3. Из предыдущего, а также из (16) следует

div ~V = Dσ~V + (σ)′σ +d

dtln |Z ′

σ|.

4. Наконец, на основе (15)

ln ρ = ln

(p∗

g

)− ln |Z ′

σ|.

§ 4.9. Уравнение неразрывности в

σ–координатах

Заметим, что

d

dt

(lnp∗

g

)=

(p∗)′tp∗

+2∑

j=1

(g

p∗

)(p∗

g

)′

ξj

hjvj .

Подставим теперь все вычисленные значения в уравнение неразрывностивида

d

dt(ln ρ) + div ~V = 0

и получим

(p∗)′t + p∗(σ)′σ + gDσp∗

g~V = 0. (17)

Следует отметить, что это уравнение — результат точного преобразова-ния формул без

”выбрасывания“ каких–либо величин.

§ 4.10. Уравнение неразрывности в

ζ–координатах

Рассуждая аналогично для ζ =p

p0, p0 = const в случае, когда

g = const получим(ζ)′ζ +Dσ~V = 0.

Таким образом, получается, что в пространстве координат ξ1, ξ2, ζ име-ется движущаяся несжимаемая сплошная среда.

78

§ 4.11. Граничное условие для σ

Будем считать, что z∗ = Z∗(ξ1, ξ2) — уровень рельефа планеты, и, со-ответственно, Φ∗ = gZ∗. Введем дополнительные предположения: пустьверхняя и нижняя границы рассматриваемой области пространства, атакже траектории воздушных частиц являются гладкими функциями.Тогда потребуем, чтобы σ = 0 на подстилающей поверхности (σ = 1) ина верхней границе (σ = 0).

§ 4.12. Уравнение для p∗

Проинтегрируем (17) по σ от 0 до 1, учитывая, что p∗ не зависит от σ,

(p∗)′t + g

1∫

0

Dσp∗

g~V dσ + p∗

1∫

0

(σ)′σ dσ = 0.

В силу установленных граничных условий последнее слагаемое занулит-

ся. Введем обозначения: g

1∫

0

Dσ1

g~V dσ = Dσ~V и

1∫

0

vj dσ = vj. Тогда

после перегруппировки в уравнении получим

(ln p∗)′t + h1v1(ln p∗)′ξ1 + h2v2(ln p

∗)′ξ2 +Dσ~V = 0. (18)

§ 4.13. Уравнение состояния

Как известно, в уравнении состояния p = RρT идеального газа по-

стоянная R =R0

µ, где µ — средняя молекулярная масса смеси. Приме-

си характеризуются набором параметров ~η = (η1, . . . , ηn). Здесь ηj естьотношение массы j–й примеси к массе воздуха без примесей. Тогда вобщем случае ρ = ρ(p, T, ~η). Виртуальная температура, согласно § I.6.11,определяется как

Tv =p

Rρ(p, T, ~η),

где постоянная R соответствует воздуху без примесей. Если функцияρ(p, T, ~η) известна, то известна и виртуальная температура Tv(p, T, ~η).

79

Уравнение состояния примет вид

p = RρTv. (19)

§ 4.14. Преобразование слагаемого1

ρgrad p

в уравнении движения

Согласно (12) и (15)

−1

ρhj∂p

∂ξj~τj =

(−Φ′

σ

p∗

)hj

(p′ξj

−Z ′

ξj

Z ′

σ

p′σ

)~τj .

На основе (15) и (19) получим аналог равенства (I.11)

−σΦ′

σ = RTv,

поэтому

−1

ρhj∂p

∂ξj~τj = hj

(RTv(ln p

∗)′ξj+ g

(1

gΦ

)′

ξj

)~τj .

Здесь в правой части находятся Tv, p∗, Φ — искомые в примитивной

системе уравнений.

§ 4.15. Вычисление Φ

Рассмотрим два варианта постановки задачи для нахождения Φ.1. Пусть известна функция Tv = Tv(p, T, ~η), T и ~η как функции от σ

при фиксированных ξ1, ξ2, t, а также p∗ и z∗. Тогда будет известной ифункция

Φ∣∣∣σ=1

= g(ξ1, ξ2)z∗(ξ1, ξ2).

Следовательно

Φ(ξ1, ξ2; σ; t) = gz∗ −σ∫

1

RTv

σdσ.

2. Допустим, что имеет место случай идеального газа. Тогда Tv = T .Пусть известна температура T как функция от z. Будем искать функцию

80

Z, решая задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравне-ния

σgZ ′

σ +RT (Z) = 0, Z∣∣∣σ=1

= z∗.

Например, если T = T ∗ − γZ, z∗ = z1, g = const, то решение уравне-ния типа Эйлера

σZ ′

σ +R

g(T ∗ − γZ) = 0

в случае, когда p∗ = p0 (а значит, и σ = ζ), в виде геопотенциала приметоблик

Φ = Φ1ζγ + Φ

(1 − ζ γ

),

где Φ1 = gz1, Φ =gT ∗

γ, γ =

Rγ

g.

§ 4.16. Вычисление σ

Связь σ и w =dz

dtизвестна:

w = Z ′

t + Z ′

σσ +2∑

j=1

hjvjZ′

ξj=

1

g

(Φ′

t −RTvσ

σ

)+

2∑

j=1

hjvj

(1

gΦ

)′

ξj

,

однако сама величина w точному измерению не поддается (можно ска-зать, что это скорость порядка нескольких сантиметров в секунду). По-этому для вычисления σ вернемся к уравнению неразрывности (17). Про-изведем интегрирование его слагаемых (p∗)′t и p∗(σ)′σ по отрезкам [0, 1] и[0, σ] и, благодаря граничным условиям, получим

1∫

0

(p∗)′t dσ = (p∗)′t ,

σ∫

0

(p∗)′t dσ = σ(p∗)′t ,

1∫

0

p∗(σ)′σ dσ = 0,

σ∫

0

p∗(σ)′σ dσ = p∗σ.

Теперь из результатов интегрирования (17) по [0, 1] и по [0, σ] выразим

σ =g

p∗

σ1∫

0

Dσp∗

g~V dσ −

σ∫

0

Dσp∗

g~V dσ

.

81

§ 4.17. Об уравнении притока тепла

Пусть уравнение состояния ρ = ρ(p, T, η1, . . . , ηn). Рассмотрим про-странство координат p, U, T (см. § I.6.1), в котором задана поверхностьU = U(p, T ) для фиксированного ~η. Теплоемкость cp = cp(p, T, η1, . . . , ηn)также будем считать известной. Тогда согласно второму закону термо-

динамикиdQ

Tявляется полным дифференциалом. Обозначив его dS,

получим (см. § I.6.8), что

S = S(p0, T0) +

(p,T )∫

(p0,T0)

(−∂U∂T

dp+cpTdT

).

Ну а согласно постулату Нернста S∣∣∣T=0

= 0. Пусть E — приток тепла

к единице массы движущегося воздуха за время t. ЗначитdQ

dt= E, и

уравнение притока тепла в общем виде

dS

dt=E

T. (20)

Если допустить, что cp > 0, то и∂S

∂T> 0, и следовательно, в силу моно-

тонности S(T ), существует T (S). Соответственно виртуальная темпера-тура Tv = Tv(p, S, η1, . . . , ηn).

§ 4.18. Обсуждение примитивной системы

Итак, если рассматривать простейший случай, когда η = η1 толькодля водяного пара, то искомыми в примитивной системе будут семь ска-лярных функций ~V = u, v, w, ρ, p, T , η. Скалярных уравнений будет

столько же: (1), (11), (19), (20) и уравнение баланса влажности дляdη

dt.

Основные сопутствующие проблемы:1) густота сети пунктов наблюдения;2) граничные условия, в особенности, на подстилающей поверхности

в сложном рельефе;3) уточнение притока тепла E, турбулентной вязкости ~N , величин,

связанных с переносом влаги, испарением и конденсацией.

82

Глава 5

Полиномы Лежандра исферические функции

§ 5.1. Уравнения и полиномы Лежандра

Решения дифференциального уравнения

d

dµ

[(1 − µ2)

dy(µ)

µ

]+ n(n + 1)y(µ) = 0

будем называть полиномами Лежандра [3] Pn(µ). Справедливо рекур-рентное соотношение Pn+1(µ) = (2n+ 1)µPn(µ) − nPn−1(µ), P0(µ) = 1,P1(µ) = µ.

§ 5.2. Присоединенные функции Лежандра

Исходное дифференциальное уравнение можно переписать как

(1 − µ2)y′′ − 2µy′ + n(n+ 1)y = 0.

В результате m–кратного дифференцирования этого уравнения получим

(1 − µ2)x′′ − 2(m+ 1)µx′ + (n(n + 1) −m(m+ 1))x = 0,

где 0 6 m 6 n и x(µ) =dmy

dµm. Сделаем теперь замену

x(µ) =z(µ)(

−√

1 − µ2)m .

83

Тогда уравнение примет вид

d

dµ

[(1 − µ2)

dz(µ)

µ

]+

(n(n + 1) − m2

1 − µ2

)z(µ) = 0.

Но так как y(µ) = Pn(µ) — полином Лежандра, то соответственно

x(µ) = P(m)n (µ), и z(µ) =

(−√

1 − µ2)m

P(m)n (µ) = Pm

n (µ) — присоединен-

ные функции Лежандра. Условимся считать, что P 0n = Pn.

§ 5.3. Тригонометрическая форма

Пусть µ = sin ξ, тогда 1 − µ2 = cos2 ξ. Если |ξ| 6π

2, то

√1 − µ2 = cos ξ. Следовательно

Pmn (sin ξ) = (− cos ξ)mP (m)

n (sin ξ), n = 0, 1, 2, . . . , 0 6 m 6 n.

Посколькуd

dµ=

1

cos ξ

d

dξ, уравнение будет

(cos ξ)d

dξ

((cos ξ)

dz

dξ

)+(n(n + 1) cos2 ξ −m2

)z = 0. (21)

Отметим также одну вспомогательную формулу

(1 − µ2)(Pmn )′ =

1

2n+ 1

((n+ 1)(m+ n)Pm

n−1 + n(n−m+ 1)Pmn+1

). (22)

§ 5.4. Сферические функции

Введем координаты на сфере: долготу λ и широту ξ. Будем рассмат-ривать наборы сферических функций

Pn(sin ξ), Pmn (sin ξ) cosmλ, Pm

n (sin ξ) sinmλ.

Функции Pn(sin ξ) четны при четном n и нечетны — при нечетном. Ана-логично, функции Pm

n (sin ξ) cosmλ и Pmn (sin ξ) sinmλ четны при четном

(n+m) и нечетны в противоположном случае.

84

Глава 6

Околополюсный вихрь. Индексциркуляции

§ 6.1. О сферических координатах

Пусть ξ1 = λ — долгота, ξ2 = ξ — широта, ξ3 = z = r − r0, причем

радиус r0 задан. Тогда в метрике ds2 =

3∑

j=1

ds2j будет ds1 = r cos ξdλ,

ds2 = rdξ, ds3 = dz, т. е. H1 = r cos ξ,H2 = r,H3 = 1. Если ~τ1, ~τ2, ~τ3 = ~n—единичные векторы координатных линий , то согласно деривационнымформулам

∂~τi∂ξj

=3∑

k=1

ηijk~τk .

В частности, ηi3k = 0, так какd~τidξ3

= ~0.

§ 6.2. Упрощенная сферическая модель

Будем придерживаться следующих допущений:1) подстилающая поверхность — сфера;

2) p∗ = p0 = const и ζ =p

p0;

3) ~N = ~0 — невязкая модель;4) гидростатическое приближение (см. § I.1.7);

85

5)dz

dt= w и

dζ

dt= ζ достаточно малы;

6) g = const.

Основываясь на них, для ~V =

3∑

k=1

vk~τk получим

(v1)′

t +1

r0

(1

cos ξv1(v1)

′

λ + v2(v1)′

ξ − (tg ξ)v1v2

)+

+1

r0 cos ξΦ′

λ − 2(ω sin ξ)v2 = 0,

(23)

(v2)′

t +1

r0

(1

cos ξv1(v2)

′

λ + v2(v2)′

ξ + (tg ξ)v21

)+

+1

r0Φ′

ξ + 2(ω sin ξ)v1 = 0.

§ 6.3. Частное решение — стационарный

зональный поток

Пусть Φ = Φ(ξ, ζ). Тогда существует решение системы (23), не за-

висящее от времени t и от долготы λ, так что скорость ~V направленапо параллели. Таким образом, v1 = U , v2 = 0 и, стало быть, (v1)

′

t = 0,(v1)

′

λ = 0, Φ′

λ = 0. От системы (23) останется одно уравнение

U2 tg ξ + 2(r0ω sin ξ)U + Φ′

ξ = 0 (24)

относительно U = U(ξ, ζ).

§ 6.4. Грубая модель температуры в

тропосфере

Для четной на[−π

2,π

2

]функции справедливо тейлоровское прибли-

жениеf(ξ) ≈ a0

2+ a1 cos 2ξ = (

a0

2− a1) + 2a1 cos2 ξ.

86

Используем эту аппроксимацию для температуры атмосферы одного по-лушария Земли: T = T0 + (δT ) cos2 ξ по широте и T = T ∗ − γz по высоте(на каждой из широт). Можно считать, что

T = T ∗

0 + (δT ∗) cos2 ξ − (γ0 + (δγ) cos2 ξ)z.

Примем также, что Tv = T . Для геопотенциала используем приближениев виде стационарного зонального потока Φ(ξ, ζ):

Φ ≈ Φst = Φ0(ζ) +B(ζ) cos2 ξ, Φ∣∣∣ζ=1

= Φ1.

Тогда Φ′

ξ = −2B cos ξ sin ξ, и из (24)

U2 tg ξ + 2(r0ω sin ξ)U − 2B cos ξ sin ξ = 0.

Решая квадратное уравнение, имеем

U =(√

(r0ω)2 + 2B − r0ω)

cos ξ = r0ωα,

где индекс циркуляции

α =

√(r0ω)2 + 2B − r0ω

r0ω.

Итак, имеет место так называемое твердотельное вращение: при каж-дом ζ воздух вращается как единое целое.

§ 6.5. Линеаризация

Полагаем v1 = U + u, v2 = v и Φ = Φst + r0ϕ cos ξ. Считая, что u, v,ϕ находятся в достаточно малой окрестности нуля, линеаризуем (23).Получим

u′t + αu′λ − 2ω1v sin ξ + ϕ′

λ = 0v′t + αv′λ + 2ω1u sin ξ + (ϕ cos ξ)′ξ = 0,

(25)

где ω1 = ω + α.

87

§ 6.6. Сезонные изменения индекса

циркуляции

В табл. 2 указаны примерные значения параметраα

ωв процентах для

трех ситуаций:1)

”лето“: T ∗ = 300 K, высота тропопаузы на экваторе 17,5 км

(T = 200 K), на полюсе — 9 км (T = −50C), γ0 = 4 градуса на км;2)

”зима“: то же, но для полюса — 8 км и −60C соответственно;

3)”зима, нижняя тропосфера“: то же, но для полюса −40C.

ζ”лето“

”зима“

”зима, ниж. тр–ра“

0,7 1,8 – ≈ 3

0,5 3,1 4,2 –0,3 4,6 6,5 –

Табл. 2

А в табл. 3 указаны значения того же параметра для северного полу-шария в среднем за год, максимальное и минимальное.

ζ среднегодовое max min

0,7 2,3 3 1,70,5 3,7 4,6 2,80,3 5,5 6,8 4,5

Табл. 3

88

Глава 7

Линейная теория длинных волнв средней тропосфере

§ 7.1. Бездивергентный средний уровень.

Функция тока

Согласно определению

Dσ~V = h1h2

((H2v1)

′

ξ1+ (H1v2)

′

ξ2

)=

=1

r20 cos ξ

((r0(U + u))′λ + ((r0 cos ξ)v)′ξ

)=

=1

r0 cos ξ

(u′λ + (v cos ξ)′ξ

),

где H1 = r0 cos ξ, H2 = r0, и hj =1

Hj

, j = 1, 2.

Из эксперимента известно, что на подстилающей поверхности и околотропопаузы |ζ| много меньше, чем в средней тропосфере, поэтому поприближенной теореме Ролля (см. § I.7.2) (ζ)′ζ = 0 для некоторого уровняζ . Благодаря уравнению неразрывности в ζ–координатах это означает,что Dσ~V = 0, а следовательно и

u′λ + (v cos ξ)′ξ = 0.

Это, в свою очередь, значит, что дифференциальная форма−u dξ + v cos ξ dλ является полным дифференциалом dψ. Здесь ψ —

89

функция тока, иψ′

ξ = −u, ψ′

λ = v cos ξ.

§ 7.2. Система уравнений для ψ, ϕ

Сделаем следующее преобразование: второе уравнение (25) продиф-ференцируем по λ и вычтем из него первое, домноженное на cos ξ и про-дифференцированное по ξ. Получим

(∇2ψ)′t + α(∇2ψ)′λ + 2ω1ψ′

λ = 0, (26)

где оператор Лапласа на сфере

∇2ψ =1

cos2 ξψ′′

λλ +1

cos ξ(ψ′

ξ cos ξ)′ξ,

так как

v′λ − (u cos ξ)′ξ =

(ψ′

λ

cos ξ

)′

λ

+ (ψ′

ξ cos ξ)′ξ = (cos ξ)∇2ψ.

Затем в первом уравнении (25) перейдем к функции тока

(ψ′′

ξt + αψ′′

ξλ) cos ξ + 2ω1ψ′

λ sin ξ = ϕ′

λ cos ξ. (27)

Система (25) распалась: уравнение (26) теперь не содержит неизвестнойфункции ϕ. Правда, это уравнение третьего порядка.

§ 7.3. Частное решение для функции тока

Будем искать функцию ψ в виде ψ(λ, ξ, t) = z(ξ) exp (im(λ− βt)), гдеβ = const. Тогда

ψ′

ξ = z′ξ exp (im(λ− βt)) , ψ′

λ = imz exp (im(λ− βt)) , ψ′′

λλ = −m2ψ,

∇2ψ = − m2ψ

cos2 ξ+

1

cos ξ

(z′ξ exp (im(λ− βt)) cos ξ

)′

ξ=

= exp (im(λ− βt))

(1

cos ξ(z′ξ cos ξ)′ξ −

m2z

cos2 ξ

).

90

В итоге (26) примет вид

im exp(im(λ− βt))

((−β + α)

(1

cos ξ(z′ξ cos ξ)′ξ −

m2z

cos2 ξ

)+ 2ω1z

)= 0.

(28)Считая, что β < α, обозначим

2ω1

α− β= n(n+ 1).

Тогда из (28) следует

1

cos ξ

(z′ξ cos ξ

)′

ξ+

(n(n+ 1) − m2z

cos2 ξ

)z = 0.

Согласно (21) этому уравнению удовлетворяет присоединенная функцияЛежандра z = Pm

n (sin ξ). Другими словами, существует решение

ψ = Pmn (sin ξ) exp (im(λ− βnt)),

где формула Гаурвица

βn = α− 2(ω + α)

n(n + 1).

§ 7.4. Частное решение для ϕ

Аналогично, будем искать ϕ в специальном видеϕ = z(µ) exp(im(λ− βnt)), где µ = sin ξ.

Подставим найденное решение ψ в левую часть (27), а в правую —функцию ϕ. Получим

((1 − µ2)(Pm

n (µ))′µ(im)(−βn + α) + 2ω1(imµ)Pmn (µ)

)exp (im(λ− βnt)) =

= exp (im(λ− βnt)) z(µ).

Пусть

Hmn (µ) = µPm

n (µ) +1 − µ2

n(n+ 1)(Pm

n (µ))′µ.

Следовательноz(µ) = 2ω1H

mn ,

91

иϕ = 2ω1H

mn (sin ξ) exp (im(λ− βnt)).

Для вычисления (Pmn )′µ можно воспользоваться формулой (22), полагая,

что Pmn ≡ 0 при m > n.

Например,

H13 (µ) =

1

8(45µ2 − 1)µ

√1 − µ2,

или

H13 (sin ξ) =

45

8

(sin2 ξ − 1

45

)sin ξ cos ξ.

§ 7.5. Планетарные волны

Итак, после разделения вещественных и мнимых частей, полученысерии решений

ψImn = Pm

n (sin ξ) cosm(λ− βnt),

ϕImn = 2(ω + α)Hm

n (sin ξ) cosm(λ− βnt),

(29)

ψIImn = Pm

n (sin ξ) sinm(λ− βnt),

ϕIImn = 2(ω + α)Hm

n (sin ξ) sinm(λ− βnt),

поскольку ω1 = ω + α. По сути дела эти решения соответствуют волнам,движущимся вдоль параллели при m 6 n. Это перемещение происходитсогласно формуле Гаурвица.

§ 7.6. Разложение геопотенциала и схема

прогноза

Сначала делается допущение, что Φ нечетен по ξ. Поэтому в разло-жении Φ в начальный момент времени по сферическим функциям будутприсутствовать только такие, у которых сумма индексов нечетна. На-пример, по (22)

H11 =

1

6P 1

2 , H13 =

3 · 34 · 7P

14 +

4 · 43 · 7P

12 , . . . .

92

Зафиксировав при t = 0 геопотенциал в виде Φ = Φst +Hmn , затем

включим в рассмотрение решения (29) при t отличном от нуля. В частно-сти, для среднего уровня ζ = 0, 5 по ним можно определить геопотенциал(а значит, давление) и ветер в определенный момент времени.

§ 7.7. Некоторые комментарии

Данная схема не учитывает взаимодействие атмосферных явлений наразных высотах. Нечетность Φ означает, что вблизи экватора Φ = Φst —стационарный зональный поток. В качестве дальнейшего развития дан-ного подхода, можно сразу иметь дело с разложениями по сферическимфункциям всех величин, входящих в примитивную систему.

§ 7.8. Ультрадлинные волны

Среди величин Hmn выделяют несколько групп. Так, при m = 5 вол-

ны фактически неустойчивые, быстро разрушающиеся после появле-ния. Наиболее хорошо подчиняются линейной теории волны с m = n + 2,m = n + 4 при m > 5. Части с m≪ n и m = n появляются в разложени-ях с малыми коэффициентами и вносят, в целом, незначительный вклад.Ультрадлинные волны (m = n+ 2, m = n + 4 при m < 5) присутствуютпостоянно, но линейной теории не подчиняются.

§ 7.9. Блокирующие ситуации

Если βn = 0, то

α =2(ω + α)

n(n + 1),

и следовательноα

ω=

2

n(n + 1) − 2.

В частности, для n = 8 и m = 6 (хороший линейный случай)α

ω≈ 2,8 %.

Судя по табл. 3, это, в сущности, минимум для среднего уровня ζ = 0, 5.Значит, волна должна практически стоять на месте, так как угловая ско-рость минимальна. Такая блокировка имела место, когда каждая волна

93

была примерно по 60 вдоль всей параллели, и три крупных антициклонас центрами над Британскими островами, Восточно–Европейской равни-ной и Якутией в течение длительного срока не меняли своего положения.

94

Глава 8

Верхняя атмосфера. Проблемадолгосрочного прогноза

О долгосрочном прогнозе

Основная задача долгосрочного прогноза (2–3 недели и более) — вы-явить отклонения от нормы для усредненной по региону месячной (де-кадной) температуры и для осадков. О точном прогнозировании в дан-ном случае говорить не приходится. Например, известно, что циклысолнечной активности оказывают влияние на тропосферу Земли. Понят-но, что в целях получения более точного прогноза на длительный срок,неплохо было бы учитывать и данные о вспышках на Солнце. Другоедело, как спрогнозировать сами вспышки.

Ионосфера

Термосфера простирается от 85–90 км и приблизительно до 600 км.Весь этот слой входит в состав ионосферы, нижняя граница которойнаходится на высоте около 60 км днем и 80 км ночью. Ионосфера харак-теризуется наличием свободных электронов, хотя и сам состав

”воздуха“

меняется с высотой: появляются группы OH и атомарный кислород O.Верхняя граница ионосферы составляет около 1000 км.

95

Приложение

Программа первой части курса

1. Центробежная сила и сила Кориолиса. Уравнение движения. Пер-вая локальная модель. Гидростатическое приближение. Геострофиче-ский ветер.

2. Изменение с высотой атмосферного давления. Геопотенциал. Пе-реход в уравнениях к ζ–координатам.

3. Уравнение вихря скорости. Приближенное уравнение для тенден-ции геопотенциала. Двумерная геострофическая схема прогноза.

4. Первый закон термодинамики. Удельные теплоемкости идеаль-ного газа. Потенциальная температура. Сухоадиабатический темпера-турный градиент. Устойчивые и неустойчивые стратификации сухоговоздуха.

5. Тепловая энергия атмосферы. Уравнение притока тепла.6. Преобразование уравнения притока тепла в геострофическом при-

ближении. Постановка граничных условий для трехмерной геострофи-ческой схемы прогноза.

7. Уравнение неразрывности в ζ–координатах (без вывода). Уточнен-ное уравнение для тенденции геопотенциала. Трехмерная геострофиче-ская схема прогноза.

8. Цикл Карно. КПД обратимой тепловой машины. Энтропия.9. Тепловая машина со сменяющимся рабочим веществом. Энталь-

пия. Вычисление удельной энтальпии и удельной энтропии.10. Прогноз обложных осадков в трехмерной геострофической схеме.

Влажноадиабатический температурный градиент. Влияние влажностина развитие тепловой конвекции.

11. Бездивергентный средний уровень тропосферы. Функция тока.Уравнение баланса ветра и давления; исследование его типа. Модели

96

ветра в тропиках и у экватора.12. Связь геострофического приближения с уравнением баланса вет-

ра и давления. Вторая локальная модель. Запись уравнения вихря сфункцией тока. Двумерная соленоидальная схема прогноза.

Программа второй части курса

1. Сила давления в жидкости. Потенциал силы тяжести. Уравнениедвижения. Гидростатическое приближение. Геострофический ветер.

2. Баротропность и бароклинность. Молекулярная вязкость. ЧислоРейнольдса. Турбулентность; диссипация энергии в турбулентном пото-ке.

3. Закон Колмогорова — Обухова. Внешний и внутренний мас-штаб турбулентности, турбулентная вязкость. Планетарный погранич-ный слой. Задача о повороте ветра в пограничном слое.

4. Ортогональные криволинейные координаты, коэффициенты Ла-ме, формулировка теоремы Дюпена. Выражения для градиента и дляскорости. Деривационные формулы (без вывода), выражения для уско-рения.

5. Уравнение состояния. Специальная замена переменных. Геопо-тенциал и его вычисление в σ–координатах.

6. Преобразование уравнения движения к σ–координатам. Условнаявертикальная скорость.

7. Запись дивергенции в ортогональных криволинейных координа-тах. Уравнение неразрывности и его запись в декартовых и в криволи-нейных координатах.

8. Преобразование уравнения неразрывности к σ–координатам.9. Уравнение для приземного давления. Вычисление σ и w.10. Энтропия; формула для ее вычисления (без вывода); уравнение

притока тепла. Примитивная система уравнений.11. Полиномы Лежандра, присоединенные и сферические функции.

Теоремы о разложении по сферическим функциям (без доказательства).12. Упрощенная сферическая модель. Частное решение — стацио-

нарный зональный поток. Индекс циркуляции. Линеаризация.13. Следствие из теоремы Ролля. Бездивергентный средний уровень.

Функция тока. Вывод системы уравнений для среднего уровня в линеа-ризованной модели.

97

14. Частное решение для функции тока. Формула Гаурвица.15. Частное решение для геопотенциала. Планетарные волны. Схема

прогноза.

98

Список литературы

[1] Бабаджанов П. Б. Метеоры и их наблюдение. — М.: Наука, 1987.

[2] Ферри А. Аэродинамика сверхзвуковых течений. — М., Л.:

Гостехиздат, 1952.

[3] Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции (Формулы, гра-фики, таблицы). — М.: Наука, 1968.

c© Э. Р. Розендорн, 2004c© George "epsgam" Epishin, конспект, 2003–2006

99