METODE NUMERICE PENTRU APROXIMAREA SOLUTIEI UNICE A UNEI

PROBLEME CAUCHY

METODE NUMERICE DE APROXIMARE

Viteza, temperatura, densitate timp

Ecuatia diferentiala de ordin I = model matematic

Solutia = valabilitatea modelului ales

PROBLEMA CAUCHY

x(0) = 0 D = {(t,x) ∈ R2 : |t |≤ 2, |x|≤ 2} ⇒ D= [-2,2] x [-2,2]

Studiul existentei solutiei problemei Cauchy

x' = 2t + x

PROBLEMA CAUCHY

unde = min {a, } = min {2, } =

M = (t,x)| = 6

= [0,]

h =

(∃!) Solutia x=x(t,0,0) : I = [-δ, +δ] → R

D: 𝑡0 =0 < 𝑡1= 115 < 𝑡2= 215 < 𝑡3 = 315 < 𝑡4 = 415 < 𝑡5 = 13

METODA EULER (METODA LINIILOR POLIGONALE)

Metoda dezvoltarii in serie Taylor

Formula de calcul:

= + (∀) j = 0,4തതതത , 𝑓𝑗 =𝑓(𝑡𝑗,𝑥𝑗)

GRAFIC 1 – METODA EULER

t 0

x 0 0 0,008 0,027 0,055 0,095

 

x 0,095 𝑀5 0,055 𝑀4

0,027 𝑀3 0,008 𝑀2 𝑀0 𝑀1 t

0 115 215 315 415 13

GRAFIC 1 Metoda Euler

METODA EULER MODIFICATA

Formula de calcul:

= + 𝑓𝑗 =𝑓(𝑡𝑗,𝑥𝑗) , 𝑡𝑖+12 = 𝑡𝑖 + ℎ2 , (∀) j = 0,4തതതത

GRAFIC 2 – METODA EULER MODIFICATA

t 0

x 0 0 0,004444 0,0090369 0,01838 0,027881 0,042461 0,0572099 0,0773863 0,0977436

 

METODA EULER-CAUCHY

Algoritmul de calcul:

= + h

= + h

=

= = + ( + )

ALGORITMUL DE CALCUL PENTRU METODA EULER-CAUCHY

Fie f : D→ , 𝑓(𝑡,𝑥) = 2t + x , D = [-2,2] x [-2,2] , 𝑥(0) = 0

= + dt Pas 2: Aproximam prin metoda dreptunghiului

Pas 3: Aproximam prin metoda trapezuluiPas 4: Alegem aproximația inițială dată de relația: = + h

GRAFIC 3 – METODA EULER-CAUCHYt 0

x 0 0,004 0,018 0,042 0,077 0,123

  x 𝑀4 0,077 𝑀3 0,042 𝑀2 0,018 𝑀1 0,004 t

𝑀0 0 115 215 315 415

GRAFIC 3 Metoda Euler - Cauchy

METODA RUNGE-KUTTA

Formula de calcul:

=

𝒙 𝒊+𝟏=𝒙𝒊+∆ 𝒙 𝒊

GRAFIC 4 – METODA RUNGE-KUTTA

t 0

x 0 0,004 0,019 0,043 0,078

  x

0,078 M4

0,043 M3

0,019 M2

0,004 M1 M0 t 0,0666 0,1333 0,2 0,2666

GRAFIC 4 Metoda Runge - Kutta

SOLUTIA EXACTA A PROBLEMEI CAUCHY

Ecuația diferențială x'=2t+x este de tip liniar Soluția generală are reprezentarea explicită:

x=x(t,c)=c X

0,078

0,043

0,018 M

0,004 t

0 115

215 315 415

GRAFIC 5 Solutia exacta

CONCLUZIE

tSolutie Euler

Erori EulerSolutie Euler-

Cauchy

Erori Euler-

Cauchy

Solutie Runge-Kutta

Erori Runge-Kutta

Solutia exacta

=0 0 0 0 0 0 0 0

= 0 0,004 0,004 0 0.004 0 0,004

= 0,008 0,01 0,018 0 0,019 0,001 0,018

= 0,027 0,016 0,042 0,001 0,043 0 0,043

= 0,055 0,023 0,077 0,001 0,078 0 0,078