Upload
others
View
3
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Pertemuan Minggu ke-11
1. Bidang Singgung, Hampiran
2. Maksimum dan Minimum
3. Metode Lagrange
1. BIDANG SINGGUNG, HAMPIRAN
Tujuan mempelajari: memperoleh persamaan bidang singgung
terhadap permukaan z = f(x, y) di titik (x0, y0, z0).
Bagaimana caranya ?
1. BIDANG SINGGUNG, HAMPIRAN
• Kita mulai dengan situasi yang lebih umum, dengan suatu
permukaan ditentukan oleh persamaan
Perhatikan bahwa
dapat dituliskan sebagai
1. BIDANG SINGGUNG, HAMPIRAN
• Perhatikan sebuah kurva pada permukaan ini yang melalui titik
(x0, y0, z0).
• Jika x = x(t)
y = y(t)
z = z(t)
adalah persamaan parameter
untuk kurva tersebut, maka
untuk semua t,
1. BIDANG SINGGUNG, HAMPIRAN
• Dengan Aturan Rantai,
Kita dapat mengungkapkan ini, dalam bentuk gradien dari F dan
derivatif dari ungkapan vektor untuk kurva
sebagai
1. BIDANG SINGGUNG, HAMPIRAN
• Seperti pada pertemuan sebelumnya, menyinggung kurva.
(Baca bab 14.4, buku Kalkulus dan Geometri Anlitis Edisi Keempat)
• Sehingga, gradien di (x0, y0, z0) tegak lurus pada garis singgung
di titik ini.
Berlaku untuk sebarang kurva yang
melalui (x0, y0, z0) yang terletak pada
permukaan F(x, y, z) = k
1. BIDANG SINGGUNG, HAMPIRAN
Definisi
Andaikan F(x, y, z) = k menentukan suatu permukaan dan misalkan
F dapat didiferensialkan di sebuah titik P(x0, y0, z0) dari permukaam
dengan F(x0, y0, z0) 0. Maka bidang yang melalui P yang tegak
lurus F(x0, y0, z0) dinamakan bidang singgung terhadap
permukaan itu di P.
1. BIDANG SINGGUNG, HAMPIRAN
Bukti. Pernyataan pertama adalah langsung dan yang kedua menyusul
darinya dengan memperhatikan F(x,y,z) = f(x,y) – z.
Teorema A
(Bidang singgung). Untuk permukaan F(x, y, z) = k, adalah
Fx(x0, y0, z0) (x ̶ x0) + Fy(x0, y0, z0) (y ̶ y0)
+ Fz(x0, y0, z0) (z ̶ z0) = 0
Secara serupa, untuk permukaan z = f(x, y), persamaan bidang
singgung di (x0, y0, f(x0,y0)) adalah
z ̶ z0 = fx(x0, y0) (x ̶ x0) + fx(x0, y0) (y ̶ y0)
1. BIDANG SINGGUNG, HAMPIRAN
Contoh 1:
Maka persamaan bidang singgung di titik (1,1,2) adalah
atau
Cari persamaan bidang singgung
terhadap z = x2 + y2 di titik (1,1,2).
Penyelesaian:
maka
Jadi,
Teorema A
z ̶ z0 = fx(x0, y0) (x ̶ x0) + fx(x0, y0) (y ̶ y0)
1. BIDANG SINGGUNG, HAMPIRAN
Contoh 2:
Cari persamaan bidang singgung dan garis normal terhadap permukaan
x2 + y2 + 2z2 = 23 di (1,2,3).
Penyelesaian:
sehingga
Teorema A, persamaan bidang singgung
sehingga persamaan bidang singgung di titik (1,2,3)
Persamaan simetri dari garis normal yang melalui (1,2,3) adalah
Fx(x0, y0, z0) (x ̶ x0) + Fy(x0, y0, z0) (y ̶ y0) + Fz(x0, y0, z0) (z ̶ z0) = 0
1. BIDANG SINGGUNG, HAMPIRAN
DIFERENSIAL DAN HAMPIRAN
• Andaikan z = f(x,y) dan P(x0, y0, z0)
suatu titik tetap pada permukaan
yang berpadanan.
Berikan• sumbu-sumbu koordinat
baru (sumbu – sumbu dx, dy, dan dz)
yang sejajar dengan sumbu-sumbu
lama, dengan P sebagai titik asal.
• Pada sistem yang lama, bidang singgung di P mempunyai
persamaan
1. BIDANG SINGGUNG, HAMPIRAN
DIFERENSIAL DAN HAMPIRAN
• Pada sistem yang lama, bidang singgung di P mempunyai
persamaan
tetapi pada sistem yang baru persamaan ini mengambil bentuk
sederhana
Definisi
Andaikan z = f(x, y), dengan f suatu fungsi yang dapat
didiferensialkan, dan andaikan dx dan dy (disebut diferensial-
diferensial dari x dan y) berupa peubah-peubah. Diferensial dari
peubah tak bebas, dz, disebut juga diferensial total dari f dan
ditulis df(x,y), didefinisikan oleh
1. BIDANG SINGGUNG, HAMPIRAN
DIFERENSIAL DAN HAMPIRAN
Pentingnya• dz adalah dari kenyataan bahwa jika
dx = x dan dy = y, masing-masing mewakili perubahan kecil
dalam x dan y, maka dz akan berupa suatu hampiran (aproksimasi)
yang baik terhadap z, perubahan dalam z.
Contoh:
1. BIDANG SINGGUNG, HAMPIRAN
DIFERENSIAL DAN HAMPIRAN
Pada gambar di atas, dz tidak kelihatan berupa suatu hampiran yang
baik terhadap z.
Hampiran terhadap z akan semakin baik jika x dan y semakin
kecil.
1. BIDANG SINGGUNG, HAMPIRAN
DIFERENSIAL DAN HAMPIRAN
CONTOH 3:
Andaikan . Hitung z dan dz bila
(x,y) berubah dari (2,1) ke (2,03 , 0,98).
Penyelesaian:
di (2,1) dengan x = 0,03 dan y = -0,02.
1. BIDANG SINGGUNG, HAMPIRAN
DIFERENSIAL DAN HAMPIRAN
CONTOH 4:
Rumus P = k(T/V), dengan k suatu konstanta, memberikan tekanan P
dari suatu gas yang terkurung yang volumenya V dan suhu T. Secara
hampiran, cari persentase kesalahan (galat) maksimum pada P yang
ditimbulkan oleh suatu kesalahan 0,4% pada pengukuran suhu dan
suatu kesalahan 0,9% pada pengukuran volume.
Penyelesaian:
Kesalahan pada P (P) akan dihampiri dengan dP.
0,004T
0,009T
1. BIDANG SINGGUNG, HAMPIRAN
DIFERENSIAL DAN HAMPIRAN
CONTOH 4 (lanjutan penyelesaian):
Kesalahan relatif maksimum, , kira-kira 0,013, dan persentase
galat maksimum kira-kira 1,3%.
BIDANG SINGGUNG, HAMPIRAN1.
DIFERENSIAL DAN HAMPIRAN
Pada kasus fungsi satu peubah, masalah diferensial menuju ke
hampiran yang sahih dekat x0
Analog dengan yang di atas, untuk fungsi dua peubah adalah
2. MAKSIMUM DAN MINIMUM
• Baca Bab 4 (Pasal 4.1 dan Pasal 4.3) Buku Kalkulus dan Geometri
Analitis Jilid 1, Edwin J. Purcell & Dale Varberg.
• Andaikan p = (x, y) dan p0 = (x0, y0) masing-masing berupa sebuah
titik peubah dan sebuah titik tetap, di ruang dimensi dua
Definisi
Andaikan p0 suatu titik di S, yaitu wilayah dari f.
(i) f(p0) adalah nilai maksimum (global) dari f pada S
jika f(p0) f(p) untuk semua p di S.
(ii) f(p0) adalah nilai minimum (global) dari f pada S
jika f(p0) f(p) untuk semua p di S.
(iii) f(p0) adalah nilai ekstrem (global) dari f pada S jika ia adalah
suatu nilai maksimum (global) atau suatu nilai minimum (global).
Definisi yang sama berlaku dengan kata global digantikan oleh lokal
jika, pada (i) dan (ii), kita hanya memerlukan bahwa pertaksamaan
berlaku pada N S, dengan N suatu lingkungan dari p0.
2. MAKSIMUM DAN MINIMUM
Gambar di atas memberikan tafsiran geometri dari definisi tentang
nilai maksimum, nilai minimm, global dan lokal.
Perhatikan bahwa suatu maksimum (atau minimum) global secara
otomatis adalah suatu maksimum (atau minimum) lokal.
2. MAKSIMUM DAN MINIMUM
Teorema A
(Teorema Keujudan Maksimum-Minimum). Jika f kontinu pada
suatu himpunan tertutup dan terbatas S, maka f mencapai suatu nilai
maksimum (global) dan suatu nilai minimum (global) dua-duanya di
sana.
Pembuktian dapat ditemui pada hampir semua buku kalkulus
DIMANA NILAI-NILAI EKSTREM MUNCUL ?
2. MAKSIMUM DAN MINIMUM
Teorema B
(Teorema Titik Kritis). Andaikan f didefinisikan pada suatu
himpunan S yang mengandung p0. Jika f(p0) adalah suatu nilai
ekstrem, maka p0 haruslah berupa suatu titik kritik; yakni, p0 berupa
salah satu dari:
(i) Suatu titik batas dari S; atau
(ii) Suatu titik stasioner dari f; atau
(iii) Suatu titik singular dar f
Titik-titik batas, lihat Pasal 15.3 Buku Kalkulus dan Geometri
Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell & Dale Varberg
2. MAKSIMUM DAN MINIMUM
Teorema B
(Teorema Titik Kritis). Andaikan f didefinisikan pada suatu
himpunan S yang mengandung p0. Jika f(p0) adalah suatu nilai
ekstrem, maka p0 haruslah berupa suatu titik kritik; yakni, p0 berupa
salah satu dari:
(i) Suatu titik batas dari S; atau
(ii) Suatu titik stasioner dari f; atau
(iii) Suatu titik singular dar f
Titik-titik stasioner.
Kita sebut p0 suatu titik stasioner jika p0 adalah suatu titik dalam dari
S dimana f terdiferensialkan dan f(p0) = 0.
Pada titik yang demikian, bidang singgung adalah mendatar.
2. MAKSIMUM DAN MINIMUM
Teorema B
(Teorema Titik Kritis). Andaikan f didefinisikan pada suatu
himpunan S yang mengandung p0. Jika f(p0) adalah suatu nilai
ekstrem, maka p0 haruslah berupa suatu titik kritik; yakni, p0 berupa
salah satu dari:
(i) Suatu titik batas dari S; atau
(ii) Suatu titik stasioner dari f; atau
(iii) Suatu titik singular dar f
Titik-titik singular.
Kita sebut p0 suatu titik singular jika p0 adalah suatu titik dalam dari S
dimana f tidak terdiferensialkan – misalnya, titik dimana grafik f
mempunyai pojok tajam.
2. MAKSIMUM DAN MINIMUM
Teorema Titik Kritis Fungsi Satu Peubah.
Fungsi g(x) = f(x,y0) mempunyai suatu nilai ekstrim di x0 jika
Dengan cara yang serupa, fungsi h(y) = f(x0,y) mempunyai suatu nilai
ekstrim di y0 jika memenuhi
Gradien adalah 0 karena kedua parsialnya adalah 0.
2. MAKSIMUM DAN MINIMUM
Contoh 1:
Cari nilai-nilai maksimum atau minimum lokal dari
Penyelesaian:
- Fungsi yang diberikan dapat didiferensialkan sepanjang wilayahnya,
yaitu bidang xy.
- Jadi, titik-titik kritis yang mungkin adalah titik-titik stasioner yang
diperoleh dengan cara menetapkan fx(x,y) dan fy(x,y) sama dengan
nol.
Tinggal memutuskan
apakah (1,0) memberikan
suatu maksimum atau
suatu minimum atau bukan
keduanya.
2. MAKSIMUM DAN MINIMUM
Contoh 1 (lanjutan penyelesaian):
- Kita akan segera mengembangkan suatu alat sederhana untuk
menjawab pertanyaan di atas.
- Namun, sementara kita gunakan langkah sederhana
Tinggal memutuskan apakah (1,0) memberikan suatu
maksimum atau suatu minimum atau bukan keduanya.
Jadi, f(1,0) sebenarnya
adalah suatu minimum global
untuk f. Tidak terdapat nilai-
nilai maksimum lokal.
2. MAKSIMUM DAN MINIMUM
Contoh 2:
Tentukan nilai-nilai minimum atau maksimum lokal dari
Penyelesaian:
Titik-titik kritis diperoleh dengan menetapkan
Hasil dari hitungan di atas adalah (0,0).
Apakah memberikan suatu nilai maksimum, minumin atau bukan
keduanya ?
2. MAKSIMUM DAN MINIMUM
Contoh 2 (lanjutan penyelesaian):
Hasil dari hitungan, titik kritis adalah (0,0).
Apakah memberikan suatu nilai maksimum, minimun
atau bukan keduanya ?
Titik (0,0) tidak memberikan suatu
nilai maksimum ataupun minimum.
Titik ini disebut titik pelana.
Fungsi yang diberikan tidak
mempunyai ekstrem lokal
2. MAKSIMUM DAN MINIMUM
• Contoh 2 mengilustrasikan kenyataan yang menyulitkan bahwa
tidak menjamin bahwa terdapat suatu ekstrem lokal di (x0,y0).
Apakah ada syarat untuk menentukan suatu titik merupakan
nilai ekstrem ?
2. MAKSIMUM DAN MINIMUM
SYARAT CUKUP UNTUK EKSTREM
Teorema C
(Uji Parsial-Kedua). Andaikan bahwa f(x,y) mempunyai turunan
parsial kedua kontinu di suatu lingkungan dari (x0,y0) dan bahwa
, hitung
Maka:
(i) Jika D > 0 dan fxx(x0,y0) < 0, maka f(x0,y0) adalah nilai maksimum
lokal.
(ii) Jika D > 0 dan fxx(x0,y0) > 0, maka f(x0,y0) adalah nilai minimum
lokal.
(iii) Jika D < 0, maka f(x0,y0) bukan suatu nilai ekstrem ((x0,y0) adalah
titik pelana).
(iv) Jika D = 0, maka pengujian tidak memberi kesimpulan.
2. MAKSIMUM DAN MINIMUM
SYARAT CUKUP UNTUK EKSTREM
Contoh 3:
Tentukan ekstrem, jika ada, untuk fungsi F yang didenisikan oleh
F(x,y) = 3x3 + y2 – 9x + 4y.
Penyelesaian:
Sehingga (x,y) adalah (1,-2) dan (-1,-2)
dan
2. MAKSIMUM DAN MINIMUM
SYARAT CUKUP UNTUK EKSTREM
Contoh 3 (lanjutan penyelesaian):
(x,y) adalah (1,-2) dan (-1,-2)
Pada titik (1,-2)
Karena D > 0 dan Fxx > 0 maka
F(1,-2) = -10 adalah nilai minimum lokal dari F.
2. MAKSIMUM DAN MINIMUM
SYARAT CUKUP UNTUK EKSTREM
Contoh 3 (lanjutan penyelesaian):
(x,y) adalah (1,-2) dan (-1,-2)
Pada titik (-1,-2)
karena D < 0 maka (-1,-2) adalah titik pelana dan F(-1,-2) bukan
merupakan nilai ekstrem.
2. MAKSIMUM DAN MINIMUM
SYARAT CUKUP UNTUK EKSTREM
Contoh 4:
Tentukan jarak minimum antara titik asal dan permukaan
z2 = x2y + 4
Penyelesaian:
- Ambil P(x,y,z) titik sebarang pada permukaan tersebut.
- Kuadrat jarak dari titik asal dan P adalah
- Kita mencari koordinat P yang memberikan d2 suatu minimum.
- Karena P terletak pada permukaan itu, koordinatnya memenuhi
persamaan permukaan.
2. MAKSIMUM DAN MINIMUM
SYARAT CUKUP UNTUK EKSTREM
Contoh 4 (lanjutan penyelesain):
z2 = x2y + 4
- Substitusi z2 = x2y + 4 pada , kita peroleh
d2 sebagai fungsi dua peubah x dan y:
- Untuk mencari titik kritisnya, kita tetapkan fx(x,y) = 0 dan fy(x,y) = 0.
- Dengan menghilangkan y dari persamaan – persamaan ini, kita
dapatkan
Jadi, atau .
2. MAKSIMUM DAN MINIMUM
SYARAT CUKUP UNTUK EKSTREM
Contoh 4 (lanjutan penyelesain):
- Jadi, atau .
- Substitusi nilai-nilai di atas pada persamaan
diperoleh
dan
- Sehingga, titik-titik kritisnya adalah (0,0),
- Untuk menguji masing-masing ini, kita perlukan
2. MAKSIMUM DAN MINIMUM
SYARAT CUKUP UNTUK EKSTREM
Contoh 4 (lanjutan penyelesain):
- Titik-titik kritis adalah (0,0), ,
- Untuk menguji masing-masing ini, kita perlukan
- maka titik dan
tidak memberikan suatu ekstrem.
- dan , sehingga (0,0)
menghasilkan jarak minimum.
2. MAKSIMUM DAN MINIMUM
SYARAT CUKUP UNTUK EKSTREM
Contoh 4 (lanjutan penyelesain):
- Berdasarkan perhitungan D dan fxx, titik (0,0) memberikan jarak
minimum.
- Jarak minimum antara titik asal dan permukaan adalah
2. MAKSIMUM DAN MINIMUM
SYARAT CUKUP UNTUK EKSTREM
Contoh 5:
Tentukan nilai-nilai maksimum dan minimum dari
Pada himpunan tertutup
Penyelesaian:
Satu-satunya titik kritis dalam adalah (1,1).
Batas dari S adalah lingkaran , yang secara parameter
dapat dijelaskan oleh
2. MAKSIMUM DAN MINIMUM
SYARAT CUKUP UNTUK EKSTREM
Contoh 5 (lanjutan penyelesaian):
Kita ingin memaksimumkan dan meminimumkan fungsi satu peubah
,
Dengan Aturan Rantai,
2. MAKSIMUM DAN MINIMUM
SYARAT CUKUP UNTUK EKSTREM
Contoh 5 (lanjutan penyelesaian):
g’(t) = 0 tant = 1
2. MAKSIMUM DAN MINIMUM
SYARAT CUKUP UNTUK EKSTREM
Contoh 5 (lanjutan penyelesaian):
adalah 2 titik kritis untuk g.
Adakah titik kritis yang lain ?
2. MAKSIMUM DAN MINIMUM
SYARAT CUKUP UNTUK EKSTREM
Contoh 5 (lanjutan penyelesaian):
Ilustrasi dari tracing titik yang
memenuhi fungsi f(x) = sinx
2. MAKSIMUM DAN MINIMUM
SYARAT CUKUP UNTUK EKSTREM
Contoh 5 (lanjutan penyelesaian):
Ilustrasi dari tracing titik yang
memenuhi fungsi f(x) = cosx
2. MAKSIMUM DAN MINIMUM
SYARAT CUKUP UNTUK EKSTREM
Contoh 5 (lanjutan penyelesaian):
f(x) = cosxf(x) = sinx
2. MAKSIMUM DAN MINIMUM
SYARAT CUKUP UNTUK EKSTREM
Contoh 5 (lanjutan penyelesaian):
adalah 2 titik kritis untuk g.
Adakah titik kritis yang lain ?
Dan
dalam x dan y , keempat titik tersebut setara dengan ?
pada lingkaran batas.
ADA
2. MAKSIMUM DAN MINIMUM
SYARAT CUKUP UNTUK EKSTREM
Contoh 5 (lanjutan penyelesaian):
Dari perhitungan di atas, titik-titik batas adalah
Nilai-nilai f di titik-titik batas ini adalah:
Maksimum
Minimum
3. METODE LAGRANGE
Kita mulai dengan membedakan dua jenis masalah, yaitu:
1.Untuk mencari nilai minimum dari
adalah suatu masalah nilai ekstrem bebas.
2. Untuk mencari nilai minimum dari
terhadap kondisi bahwa
adalah masalah nilai ekstrem terkendala.
Banyak permasalahan di dunia nyata, khususnya di bidang ekonomi,
termasuk jenis yang kedua.
Sebagai contoh, seorang pengusaha ingin memaksimumkan
keuntungan, tetapi dibatasi oleh banyaknya bahan mentah yang
tersedia, banyaknya tenaga kerja, dan sebagainya.
3. METODE LAGRANGE
Contoh 4 di atas adalah sebuah masalah nilai ekstrem terkendala.
Kita diminta mencari jarak minimum dari permukaan
ke titik asal.
Kita formulasikan masalah sebagai peminimuman
terhadap kendala .
3. METODE LAGRANGE
Kita tangani masalah tersebut dengan substitusi nilai z2 dari kendala
dalam rumus untu d2 dan kemudian menyelesaikan masalah nilai
ekstrem bebas yang dihasilkan.
Tetapi, seringkali terjadi nahwa persamaan kendala tidak mudah
diselesaikan untuk salah satu peubah dan, kendatipun jika ini dapat
dikerjakan, boleh jadi terdapat metode lain yang lebih praktis.
Metode tersebut disebut metode pengali Lagrange, dinamai menuurt
Joseph-Louis Lagrange.
3. METODE LAGRANGE
TAFSIRAN GEOMETRI DARI METODE
▪ Pertama, mari kita pandang kasus dimana kita ingin
memaksimumkan atau meminimumkan f(x,y) terhadap kendala
g(x,y) = 0.
▪ Gambar di bawah memberikan saran suatu tafsiran geometri dari
masalah ini.
3. METODE LAGRANGE
TAFSIRAN GEOMETRI DARI METODE
▪ Kurva ketinggian dari f adalah kurva-kurva f(x,y) = k, dengan k
suatu konstanta.
▪ Kurva-kurva tersebut diperlihatkan sebagai kurva-kurva hitam
pada gambar di atas untuk k = 200, 300, …, 700.
▪ Grafik dari kendala g(x,y) = 0 juga berupa sebuah kurva, yang
diperlihatkan dalam warna biru pada gambar di atas.
3. METODE LAGRANGE
TAFSIRAN GEOMETRI DARI METODE
▪ Untuk memaksimumkan f terhadap kendala g(x,y) = 0 sama
dengan mencari kurva ketinggian dengan kemungkinan k terbesar
yang memotong kurva kendala.
▪ Secara geometri, kurva ketinggian yang maksimum menyinggung
kurva kendala di suatu titik P0(x0,y0).
▪ Nilai maksimum f terhadap kendala g(x,y) = 0 adalah f(x0,y0).
3. METODE LAGRANGE
TAFSIRAN GEOMETRI DARI METODE
▪ Metode Lagrange menyajikan suatu prosedur aljabar untuk
penentuan P0 dan P1.
▪ Karena di titik-titik demikian, kurva ketinggian dan kurva kendala
saling menyinggung(yaitu, mempunyai suatu garis singgung
bersama), kedua kurva tersebut mempunyai suatu garis tegak lurus
bersama.
3. METODE LAGRANGE
TAFSIRAN GEOMETRI DARI METODE
▪ Berdasar Pasal 15.5, di sebarang titik dari kurva ketinggian, vektor
gradien adalah tegak lurus.
▪ Dan dengan cara serupa adalah tegak lurus terhadap kurva
kendala.
3. METODE LAGRANGE
TAFSIRAN GEOMETRI DARI METODE
Jadi▪ , dan sejajar di P0 dan juga di P1; yaitu
dan
untuk suatu bilangan 0 dan 1 tidak nol.
3. METODE LAGRANGE
TAFSIRAN GEOMETRI DARI METODE
Teorema A
(Metode Lagrange). Untuk memaksimumkan atau meminumkan
f(p) terhadap kendala g(p) = 0, selesaikan sistem persamaan
untuk p dan .
Tiap titik p yang demikian adalah suatu titik kritis untuk masalah
nilai ekstrem tekendala dan yang berpadanan disebut pengali
Lagrange.
dan
3. METODE LAGRANGE
CONTOH 1:
Berapa luas daerah terbesar yang dapat dimiliki oleh suatu persegi
panjang jika panjang diagonalnya 2 ?
Penyelesaian:
Letakkan• persegi panjang dikuadran pertama.
Dua• sisi persegi panjang sepanjang sumbu-sumbu koordinat.
Titik• sudut yang berhadapan dengan titik asal mempunyai
koordinat (x,y), dengan x dan y positif.
Panjang• diagonalnya adalah
dan luasnya adalah xy.
Jadi• , kita boleh merumuskan masalah berupa pemaksimuman
f(x,y) = xy terhadap kendala g(x,y) = x2 + y2 – 4 =0
3. METODE LAGRANGE
CONTOH 1 (lanjutan penyelesaian):
Jadi• , kita boleh merumuskan masalah berupa pemaksimuman
f(x,y) = xy terhadap kendala g(x,y) = x2 + y2 – 4 =0
• Memanggil kembali Teorema A
• Gradien yang berpadanan adalah
• Persamaan Lagrange menjadi
yang harus diselesaikan secara serentak.
dan
(1)
(2)
(3)
3. METODE LAGRANGE
CONTOH 1 (lanjutan penyelesaian):
(1)(2)
(3)
Persamaan (1) dikalikan dengan y, menjadi:
(4)
(5)
Dari Persamaan (4) dan Persamaan (5), diperoleh:
(6)
Dari Persamaan (6) ke Persamaan (4), diperoleh:
dan
Substitusi nilai x dan y ke Persamaan (1), diperoleh:
3. METODE LAGRANGE
CONTOH 1 (lanjutan penyelesaian):
(1)(2)(3)
Jadi, penyelesaian Persamaan (1) sampai (3), dengan membuat x dan
y positif, adalah
Kita simpulkan bahwa persegi panjang yang luasnya terbesar dengan
diagonal 2 adalah bujursangkar, yang panjang sisinya . Luasnya
adalah 2.
Tafsiran geometri masalah ini diperlihatkan pada Gambar pada slide
selanjutnya.
3. METODE LAGRANGE
CONTOH 1 (lanjutan penyelesaian):
3. METODE LAGRANGE
CONTOH 2:
Gunakan metode Lagrange untuk mencari nilai-nilai maksimum dan
minimum dari
pada ellips
Penyelesaian:
Kita boleh menuliskan kendala sebagai g(x,y) = x2 + 4y2 – 4 = 0
Persamaan-persamaan Lagrange adalah
(1)
(2)
(3)
3. METODE LAGRANGE
Perhatikan dari persamaan ketiga bahwa x dan y keduanya tidak dapat
sama dengan nol.
Jika , persamaan (1) menyimpulkan bahwa .
Kemudian, Persamaan (2) mensyaratakan bahwa .
Kita simpulkan dari Persamaan (3) bahwa .
Jadi, kita telah memperoleh titik-titik kritis .
(1)
(2)
(3)
CONTOH 2 (lanjutan penyelesaian):
Persamaan-persamaan Lagrange adalah
3. METODE LAGRANGE
Kemudian, jika , dari Persamaan (2) diperoleh .
Berdasar Persamaan (1), .
Dari Peramaan (3), .
Kita simpulan bahwa juga merupakan titik-titik kritis.
(1)
(2)
(3)
CONTOH 2 (lanjutan penyelesaian):
Persamaan-persamaan Lagrange adalah
3. METODE LAGRANGE
CONTOH 2 (lanjutan penyelesaian):
Dari hasil penyelesaian Persamaan Lagrange, kita memperoleh titik-
titik kritis adalah ( 2,0) dan (0,1).
Sekarang, untuk ,
Sehingga nilai minimum dari f(x,y) pada ellips yang diberikan adalah
-4; nilai maksimum adalah 1.
3. METODE LAGRANGE
CONTOH 3:
Tentukan minimum f(x,y,z) = 3x + 2y + z + 5, terhadap kendala
g(x,y,z) = 9x2 + 4y2 –z = 0.
Penyelesaian:
Gradien f dan g adalah:
Untuk menemukan titik-titik kritis, kita pecahkan
dan
3. METODE LAGRANGE
CONTOH 3 (lanjutan penyelesaian):
dan
Solusi
Ini setara, dengan memecahkan sistem empat persamaan simultan
berikut dalam empat peubah x, y, z, .
(1)
(2)
(3)
(4)
Gradien:
3. METODE LAGRANGE
CONTOH 3 (lanjutan penyelesaian):
Dari Persamaan (3), diperoleh:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Substitusi Persamaan (5) ke Persamaan (1), diperoleh:
(5)
(6)
Substitusi Persamaan (5) ke Persamaan (2), diperoleh:
(7)
3. METODE LAGRANGE
CONTOH 3 (lanjutan penyelesaian):
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
Substitusi Persamaan (6) dan Persamaan (7) ke Persamaan (4),
diperoleh:
Jadi penyelesaian sistem empat persamaan simultan tersebut adalah
3. METODE LAGRANGE
CONTOH 3 (lanjutan penyelesaian):
Dan satu-satunya titik kritis adalah
Maka nilai minimum f(x,y,z) terhadap kendala g(x,y,z) = 0 adalah
Bagaimana kita mengetahui bahwa nilai di atas adalah suatu nilai
minimum ?
3. METODE LAGRANGE
• Bilamana lebih dari satu kendala yang ditekankan pada peubah-
peubah suatu fungsi yang harus dimaksimumkan atau
diminimumkan, digunakan pengali-pengali Lagrange tambahan.
• Sehingga terdapat satu pengali Lagrange untuk setiap kendala.
• Misalnya, jika kita mencari ekstrem suatu fungsi f tiga peubah,
terhadap dua kendala g(x,y,z) = 0 dan h(x,y,z) = 0, maka kita
pecahkan persamaan-persamaan:
(1)
(2)
(3)
untuk x, y, z, dan , dengan dan adalah pengali-pengali
Lagrange.
3. METODE LAGRANGE
Ini• setara dengan terhadap pencarian penyelesaian sistem lima
persamaan simultan dalam peubah-peubah x, y, z, dan .
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Dari penyelesaian sistem ini, kita peroleh titik-titik kritis.
3. METODE LAGRANGE
CONTOH 4:
Tentukanlah nilai-nilai maksimum dan minimum dari
pada ellips yang merupakan perpotongan tabung
pada bidang
3. METODE LAGRANGE
CONTOH 4 (lanjutan penyelesaian):
Penyelesaian:
Kita ingin memaksimumkan dan meminimumkan
dan
terhadap
Persamaan-persamaan Lagrange yang berpadanan adalah
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
3. METODE LAGRANGE
CONTOH 4 (lanjutan penyelesaian):
Persamaan-persamaan Lagrange yang berpadanan adalah
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Dari Persamaan (1), diperoleh
(6)
Dari Persamaan (2) dan (3), diperoleh
(7)
3. METODE LAGRANGE
CONTOH 4 (lanjutan penyelesaian):
Persamaan-persamaan Lagrange yang berpadanan adalah
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Substitusi Persamaan (6) dan Persamaan (7) ke Persamaan (4),
diperoleh
(6)
Jika
(7)
3. METODE LAGRANGE
CONTOH 4 (lanjutan penyelesaian):
Kita simpulkan bahwa 5 adalah nilai maksimum dan 1 adalah nilai
minimum.
TERIMAKASIH