Metodika matematickog obrazovanja

Metodika vaspitno-obrazovnog rada 2(Metodika matematikog obrazovanja)

Metodika vaspitno - obrazovnog rada 2 (Metodika matematikog obrazovanja)

__________________________________________________________________________ _

POJAM, PREDMET I ZNAAJ MATEMATIKE Poznavanje matematike je bitan uslov koncipiranja nastave ovog predmeta. Rije matematika je grkog porijekla i znai nauka o veliinama. Predmet ima razliita odreenja: najee se definie kao izuavanje prostornih formi i koliinskih odnosa realnog svijeta, a nemaju veze sa objektivnom realnou. Pejovi odreuje: matematika je nauka o prouavanju prostornih formi i koliinskih odnosa misaonih realnosti. Svi matematiki pojmovi su navedeni iz realnog svijeta, ali su toliko matematiki odreeni da nemaju vie svrhu u realnom svijetu. Matematiku karakterie potpuno apstrahovanje kvalitativnih svojstava. Jedna je od najstarijih nauka ali je uvijek mlada zahvaljujui novim sadrajima. Definicije matematike zavise od vremena u kome se definie: Grosman: ``Matematika je nauka o vezama meu veliinama.`` Prvanovi: ``Matematika prouava odreena karakteristina svojstva i operacije i relacije realnog svijeta.`` Pinter: ``Matematika je apstraktna nauka koja deduktivnim putem prouava pojmove prostornih i vremenskih odnosa.`` Leksileon: ``Nauka o odnosu meu veliinama i prostornim formama.`` Francuski matematiari Nikola Burbani (?) (pseudonim grupe: ``Matematika je nauka koja prouava matematike strukture.`` Bekon: ``Kopija, klju i nauka.`` Rasel: ``Matematika je nauka u kojoj nikada ne znamo da li je ono to govorimo tano i znamo li ta govorimo.`` Matematika je znaajna iz vie razloga: 1. Primjenjuje se u svim prirodnim i drutvenim naukama, u linom ivotu je dio kulture; 2. Omoguila je nauci da napravi veliki korak; 3. Za razvoj struke, zanimanja, umjetnikog izraavanja. Nastupila je era matematizacije i nauke i prakse. Lobaevski: ``Vjerovatno nee postojati ni jedna grana matematike koja nee biti nekad primjenjena u realnom svijetu.``

2


__________________________________________________________________________ _ POJAM I PREDMET METODIKE MATEMATIKE OBRAZOVANJA Nekada se koristio termin didaktika nastave matematike, pa i pedagogija nastave matematike. Rije metodika je grkog porijekla i znai nauka o nainima. Metodika matematikog obrazovanja (MMO) je relativno mlada nauna disciplina, ali je ve afirmisana u veini zemalja svijeta. MMO, koju izuavamo, sastoji se iz 2 dijela: 1. MMO predkolske djece 2. Metodika nastave matematike Meu njima postoje razlike u sadrajima, ciljevima i sl. 1. MMO predkolske djece prouava matematiko obrazovanje na tom nivou, ali ono obrazovanje koje se obavlja institucionalno; 2. Metodika nastave matematike prouava nastavu matematike od prvog razreda osnovne kole do fakulteta. MMO je proces matematikog obrazovanja, tj. proces ovladavanja sadrajima i metodama matematike. MMO je nauna disciplina i ona je, s obzirom na predmet prouavanja, pedagoka disciplina i, s obzirom na nain prouavanja, interdisciplinarna ali i autonomna, s obzirom na rezultate. Pedagoka je disciplina zato to prouava jedan pedagoki fenomen vaspitanje i obrazovanje u nastavi matematike i predkolske djece. U predmet MMO ulaze: ciljevi, sadraji, organizacija nastave, nastavni oblici i metode rada i vrednovanja. Predmet MMO iroko se definie i obuhvata sve ono to je posredno ili neposredno vezano za matematiko obrazovanje.

3


__________________________________________________________________________ _ CILJ I ZADACI MMO Cilj je da: - omogui studentima da shvate MMO kao pedagoku disciplinu i nastavni predmet, - da studente osposobi teorijski i praktino da mogu nesmetano pratiti i unapreivati rad na matematikom obrazovanju djece. Osnovno zadatak MMO je da: - utvrdi i objasni specifine zakonitosti koje se javljaju u vaspitanju i obrazovanju djece, na matematikim sadrajima u nastavi matematike; - zadatak je i da utvruje ciljeve, zadatke i sadraje matematikog obrazovanja. Mora se reavati za svaki nivo obrazovanja posebno; - zadatak je da, polazei od rezultata pedagogije, psihologije i didaktike prouava i utvruje najuspjenije oblike i metode koji dovode do optimalne realizacije ciljeva nastave; - prouava praksu matematikog obrazovanja i podie nivo obrazovanja; - zadatak je i da pomogne u osposobljavanju uenika da samostalno misli.

PODJELA MMO Osnovna podjela MMO na: MMO predkolske djece i Metodika nastave matematike takoe se dijeli na nekoliko djelova: 1. Metodika poetne nastave matematike - prouava probleme matematikog obrazovanja u prva 4 razreda osnovne kole; 2. Metodika opteg matematikog obrazovanja - prouava probleme obrazovanja od VVIII razreda osnovne kole i u svim srednjim kolama opteg usmjerenja; 3. Metodika profesionalne MO prouava probleme matematike obrazovanja koja slui kao neposredna priprema za profesionalnu djelatnost; 4. Metodika uvoenja u nauni rad; 5. Metodika vankolskog matematikog obrazovanja podrazumijeva uenje MO putem radija, TV, literature i sl.

4


__________________________________________________________________________ _ ISTORIJSKI OSVRT NA RAZVOJ MMO 1. EPOHA RAANJA MATEMATIKE Prvi matematiki pojmovi su formirani spontano kroz rad i igru. Po horizontal i vertikali. Stariji su uili mlae i uili su jedni od drugih. Prvi zapisi su bili u Rimu na papirusima i spomenicima. Rind papirus - najstariji zapis otkriven tek u 19 v. u Egiptu, uva se u Britanskom muzeju u Londonu smatra se da je nastao izmeu 16 i 19 v.p.n.e. Njegov naslov je : Istrukcije za upoznavanje tajnih stvari. Poznata je Axmesova raunica ( on je bio staroegipatski svetenik), napisao je egipatsku zbirku zadataka. Osim brojeva u epohi raanja matematike poznavali su i mjere za duinu, zapreminu, razlomke, imali su raunsku mainu ``ABAK``. ABAK - je vertikalna ploa sa ljebovima u koje se ubacuju kamenii. Bila je jo u vrijeme 19 v.p.n.e. Japanski uenici moraju i danas prei raunanje na ABAK - u. Stara grka - strari grci su bili prvi u prilici da sistematizuju i zabiljee ih vie nego drugi. Oni su cjelokupno znnje civilizacije koje su im bile dostupne objedinili. Javljaju se i jave kole. Euklid - njegova geometrija. On je nju deduktivno zasnivao i napisao je u knjizi Elementi. Sve do prolog vijeka to je bila jedina geometrija. Loboevski - je izmjenio samo jedan postulat - kroz taku van prave se moe postaviti proizvoljan broj taaka koje su paralelne sa pravom. Sokrat - pitanjima dovodi uenike da shvate da neto ne znaju i da dou do odgovora majeutika. Tales od Mileta - visina piramide ( pomou sjenke), poznata je Talesova teorema. Pitagora - pitagorejci - pitagorejske kole Platon - indukcija; analiza i sinteza Za staru Grku - tri uvena problema grke matematike. 1. dupliranje kocke ( konstrukcija vee kocke) 2. trisekcija ugla ( ugao se presjee na tri dijela) 3. kvadratura kruga ( da se konstruie krug i kvadrat koji ima zapreminu kao krug)?

5


__________________________________________________________________________ _ 2. EPOHA ELEMENTARNE MATEMATIKE - od 6 v.p.n.e. do17. v.n.e. Vaan trenutak je 3.v.n.e ( desilo se otkrie 0 (nule) u Indiji je prvi put pronaena nula) najvee otkrie u matematici. Otkriem nule stvarali su se uslovi za stvaranjem dekadnog sistema ( cifra ima apsolutnu i po mjestu pisanja)? U 8 v.n.e. preko indijskih svetenika, sredozemng mora prelo u paniju pa onda u Francusku i na sjever Evrope. Srednji vijek - u nastavi - uenje napamet, bez razumjevanja. Matematika jo nije bila obavezan predmet u kolama, izuavala se u privatnim kolama u kojima su predavali majstori rauna. U 17 v.n.e. matematika je uvedena kao obavezan predmet. Matematika postaje dio opte kulture. Mnogo se vodilo rauna o matematikim problemima i nainu na koji se predaje. 3. EPOHA PROMJENLJIVIH VELIINA - od 17 do 19 v.n.e. Poinje sa matematiarem Reneom Dekartom (Dekartov pravougli dekadni sistem) Noio je u Ulnu (Njumaki grad) 10.11.1619. usnio je ideju koja mu se javila u snu o analitikoj geometriji. Napisao je djelo``Rasprava o metodi.`` Prvi koji je napravio spoj algebra i geomatrije bio je Dekart. Sa stanovita metodike nastave matematike je znaajan Dekart. Pripadao je racionalizmu - Racio - um, izreka racionalista - Mislim dakle postojim - Corgito ergo sum. U nastavi uenici moraju poeti misliti, razumjevati stvari. U postupku nastave uenik mora navoditi razloge, zato radi ba tako. Insistirao je na provjeravanju koliko je to moigue. Uenik mora da bude kritian o rjeenju do kojeg je doao. Poinje da se naglaava formalni zadatak nastave. Mnogo je vaan nain na koji se ui a ne sadraj koji se ui. Don Lok - zalaganje za oiglednu nastavu Komenski - didaktika na ekom jeziku. 1632 - Didaktika magna, 1643.- na latinskom jeziku. Komenski je napisao jo jedno djelo - ulni svjet u slikama. Fridrih Frebel (njemac) - blokovi brojeva. Da se ide korak po korak. Pestaloci - ( vajcarski pedagog) - Sve za druge za sebe nita. Svaka stvar ima BROJ, OBLIK I RIJE. Insistirao je na oiglednosti , razumjevanju. Povezao je saznanje na osnovu razuma, senzualizam i racionalizam. Objedionio i sistematizovao znanja iz aritmetike. . Pestaloci je osniva matodike nastave matematike. Pestaloci je smatrao da se svi pojmovi moraju stei oiglednim putem. U uenju lakeg ka teem. Da se rauna napamet, sa neimenovanim brojevima.

6


__________________________________________________________________________ _ Buse je napravio veliki korak - doao je na ideju da uvede brojevne slike 3 4 5

Disterveg - uitelj uitelja - osposobljavao je uitelje. Smatrao je da raunanje napamet i pismeno raunanje ne treba odvajati. Nastavu treba povezati sa praktinim ivotom. Da uenici u toku nastave treba da razvijaju intelektualne sposobnosti.

4. EPOHA SAVREMENE MATEMATIKE (danas) Konferencija u Meranu, u Italiji 1905. (Meranska konferencija) na kojoj su se okupili metodiari matematike i matematiari. ta je to to iz korpusa matematike treba da se nae u programu. Koja znanja treba da uu u program a koja da se izbace. Utrli su put od konkretnog do apstraktnog miljenja od indukcije do dedukcije i tako je razbijena dilema. Dogovorili su se da se za kratko vrijeme ponovo nau 1908. godine u Rimu da uporede rezultate gdje se ta i kako uradilo. Zakljueno je da se pokua uraditi korelacija nastave i drugih predmeta.. Da se ukine granica izmeu aritmetike i geometrije. Pijae, Vigotski, Kolmagorov, doprinjeli su svojim radovima u rasvjetljavanju mnogih problema. ta e ui u program? Kako da se ui? Koje metode da se koriste? Kako vrednovati?...

7


__________________________________________________________________________ _ ISTORIJSKI OSVRT NA RAZVOJ MMO Matematika je jedna od najstarijih nauka. Prve poetke imamo u najstarijoj fazi razvoja ovjeanstva to je bilo stihijsko prenoenje iskustva sa starijih na mlae. O izvjesnoj organizovanosti govori se u Egiptu, Vaviloniji i naroito Staroj Grkoj. Matematiko obrazovanje je bilo usmjereno na podruje geometara, konstrukcije i sl. Istorija MMO se dijeli na 3 dijela: 1. Klasini od VI v.p.n.e. do zavretka grke vlade; 2. Srednji vijek sa renesansom; 3. Savremeni period poinje sa analitikom geometrijom. Kolmogorov daje sledeu periodizaciju: 1. 2. 3. 4. Epoha raanja matematike do VI Epoha elementarne metodike, tj. epoha konstantnih veliina - od IV v.p.n.e. do XVII v. Epoha promjenljivih veliina od XVII do XIX v. Epoha savremene matematike od XIX v.

8


__________________________________________________________________________ _ SAVREMENI TOKOVI U MATEMATICI OBRAZOVANJA Savremeni period je od Dekarta, kada se razvoj matematike strelovito odvijao. Vani su brojni dogaaji: Meranska konferencija (1905. god.) prvi put je dogovoreno da se iz svih nauka izbace jednostavna, parcijalna znanja, da se programi organizuju razvijanje racionalnog miljenja, matematikih sposobnosti. U nastavi geometrije polazi se od posmatranja a tek onda da se zakljuci izvode apstrakcijom. Treba razviti sposobnost funkcionalnog miljenja. Poslije Meranske konferencije pristupilo se promjenama i nastava matematike je postepeno blia ivotu uenika. Kinela njegova shvatanja doprinijela su unapreivanju nastave koja je, s jedne strane, zasnovana na logici matematike, a s druge strane psiholokim zakonitostima djetinjstva. Uvaavajui zakone razvoja u nastavi matematike ne smije se prerano poeti sa apstrakcijama. Djeca treba da rade na oiglednom materijalu tako dugo dok ne budu u stanju da preu na apstraktno miljenje i raunanje - preuranjene apstraktne operacije vode formalizmu. Nastava matematike treba da razvija kod uenika sposobnost matematikog posmatranja i shvatanja, to se ne moe postii verbalnim shemama, ve uenike treba dovesti u situaciju da sami uoavaju brojne odnose. Iz nastave matematike proisticao je program vjebanja i kola je, u manjoj mjeri, bila kola ``dila``. Matematika ne smije postati cilj, a nastava matematike sama sebi svrha. Nastava matematike treba da bude zasnovana na djeijoj okolini i ivotnoj praksi i toj praksi i da slui. U novije vrijeme, pod uticajem matematiara i psihologa, javlja se analitiko-sintetika koncepcija nastave matematike. Najzasluniji su Veber i Vitman. Veoma veliki podsticaj za razvoj MMO dao je Pijae. Od brojnih kongresa treba pomenuti IV kongres u Rimu 1908. godine. Na tom Kongresu insistiralo se na nekoliko stvari: 1. koje su to grane matematike neophodne za opte matematiko obrazovanje; 2. insistiralo se na prouavanju psiholokih osnova nastave matematike; 3. insistira se na praktinoj primjeni sadraja matematike; 4. korelaciji nastave matematike sa drugim predmetima; 5. uklanjanje granica izmeu aritmetike i geometrije; 6. OSCD i UNESKO danas vode brigu o svim problemima; - Metodiare interesuje kakvo mjesto dati i na koji nain odraziti tekovine matematike ta unijeti u programe; - Utvrivanje oblika i metoda rada koji omoguavaju najefikasnije i najracionalnije matematiko obrazovanje.

9


__________________________________________________________________________ _ ODNOS MMO PREMA DRUGIM NAUKAMA I NAUNIM DISCIPLINAMA MMO, kao i druge naune discipline, tijesno je povezana sa velikim brojem drugih nauka i disciplina i ta veza je dvostruka. S jedne strane MMO koristi saznanja do kojih su dole druge nauke i zahvaljujui korienju tih znanja poveava svoju djelatnost. I sopstvenim dostignuima MMO vri povratni uticaj. Od brojnih nauka treba pomenuti matematiku, pedagogiju, predkolsku pedagogiju, didaktiku, filosofiju, logiku, etiku itd. MMO se oslanja na matematiku i pedagogiju dok je neki smatraju matematikom, a neki pedagokom disciplinom. a) Odnos MMO i matematike Matematika je nauka o kvantitativnim i prostornim odnosima. Nastava matematike je proces vaspitanja i obrazovanja na matematikim sadrajima. MMO je pedagoka disciplina koja ukazuje na nain vaspitanja i obrazovanja putem nastave matematike. MMO uspostavlja vezu sa matematikom, najprije bez matematike podloge koja omoguava postojanje MMO. Odreeni sadraji su uslov bez koga nema i ne moe biti MMO. Iz ukupnog znanja matematike bira se jedan segment, u zavisnosti od cilja i zadataka vaspitanja i obrazovanja, uzrasta uenika, vrste kole, organizacije matematikih sadraja na kojima se ostvaruje nastavni proces. Metodika nastave matematike je vezana sa matematikom, prije svega radi izbora odreenih matematikih sadraja, a zatim i korienja matematikih metoda saznavanja (indukcija, dedukcija i sl.). Ta veza se oznaava vezom prvog reda. b) MMO i pedagogija MMO u velikoj mjeri koristi rezultate pedagogije. Predmet pedagogije je vaspitanje i obrazovanje mladih u najirem smislu rijei. Mnogi smatraju da je MMO pedagoka disciplina. Time se ukazuje na znaajnu karakteristiku MMO koja predstavlja sintezu matematike i pedagogije ili metodiko obrazovanje predstavlja sintezu matematikog i pedagokog obrazovanja. Ovim shvatanjem se ukazuje na znaaj matematike i pedagogije za MMO. Danas u naoj zemlji preovladava shvatanje da je MMO pedagoka disciplina . MMO je povezana sa istorijom, i to onim dijelom koji je vezan za nastanak matematike. Predkolska pedagogija - danas je prisutna tendencija sve veeg obuhvatanja svih institucija pedagoko oblikovanim obrazovanjem. Didaktika iz MMO koristi praktino sve. Veza izmeu MMO i didaktike izraava se kao odnos opteg i posebnog. Opta didaktika znanja se na poseban nain koriste u vaspitnoj matematici. Sasvim jasno znamo da didaktika, kao opta teorija nastave, predstavlja osnovu za svaki pojedinani predmet ukoliko je nastava razvijenija prua osnovu za razvoj didaktike i matematikog obrazovanja. Rezultati do kojih dolazi MMO se uoptavaju i bitno utiu na didaktika saznanja. Osim toga, nema dobre MMO koja ne polazi od psiholokih znanja i karakteristika uenika odreenog uzrasta. Ta veza sa psiholokim disciplinama daje psiholoku podlogu za nastavu matematike i doprinosi da se proces uenja maksimalno racionalizuje. Veza MMO sa psiholokim naukama omoguava MMO da objasni nastavnu praksu , tj. da odgovori na pitanje: zato uvesti neku pojavu a ne neto drugaije? 10


__________________________________________________________________________ _ Kao to se vidi, MMO je povezana sa nizom naunih disciplina pa govorimo o njoj kao o interdisciplinarnoj nauci. MMO ima nekoliko osnova: 1. 2. 3. 4. pedagoko-psiholoke, logike, kibernetike i saznajne osnove

Pedagoko-psiholoke to svi koji se bave MMO treba da znaju kakve su mogunosti djece, tj. uenika odreenog uzrasta, kakvi su psiholoki mehanizmi formiranja odreenih pojmova, kako bi na osnovu tih saznanja mogli projektovati optimalni nastavni proces. Dobro poznavanje psiholokih osnova djeteta nije da se uspjeno stimulie njegov razvoj, ve da se razvoj ne sputava i ne gui. Savremena psihologija razlikuje 4 perioda, od roenja do zrelosti : 1. senzo-motorna faza (od roenja do 2. godine) 2. preoperaciona (faza pripreme konkretnih operacija, od 2. do 6. godine) 3. faza konkretnih operacija (7. - 12. godine) 4. faza formalnih operacija (od 11, 12. godine do zrelosti) Skoro identinu periodizaciju dao je Pijae (tri nivoa razvoja djeteta): 1. nivo osjeta do 6. godine 2. nivo konkretnih operacija (7 11 god.) i 3. nivo formalnih operacija (11 14 god.). Preoperativna faza dijete ui iskljuivo na osnovu manipulacije stvarima, formira prve pojmove i predstave, ali nisu dovoljno samostalni. Dijete nije u stanju za grupisanje mentalnih operacija ono zakljuke slae jedne pored drugih, ne povezujui ih. Inteligencija djeteta je egocentrina, to ne znai da je sebino, ve jednostavno usredsreeno prema sebi. 1. etapu Pijae dijeli na dvije: simboliko i intuitivno miljenje. Brojnim eksperimentima Pijae je pokazao da je praktina i misaona aktivnost djeteta uslov izgraivanja poetnih matematikih pojmova. Osim toga, utvrdio je da predkolsko uenje djece nije uenje koje treba da se zasniva na verbalnom prenoenju znanja. Saznati neki objekat ne znai sluati o njemu, nego djelovati svim raspoloivim reakcijama. Ne samo priati, ve uticati da djeca manipuliu tim predmetima. To praktino znai da se poetno uenje mora shvatiti kao stvaranje uslova, tj. oblikovanje sredine koja e biti bogata , izabrana podsticajima koji e dovesti do formiranja matematikih pojmova. - Daju se brojni i raznovrsni primjeri; - biraju se oni primjeri kod kojih su zajednika svojstva izraena i ta svojstva su u granicama pojma koji elimo formirati; - svim primjerima to manje nebitnih svojstava. 2. nivo nivo konkretnih operacija (7 11 god.) miljenje je vezano za konkretne aktivnosti i predmete, dijete trai uzroke, postavlja pitanja, nezadovoljno je odgovorom, mora sebe motivisati na razvoj. 3. nivo - nivo formalnih operacija miljenje se u potpunosti oslobaa konkretnosti, razvija se simbolika sposobnost, mladi su osposobljeni da zakljuuju prema zakonima formalne logike.

11


__________________________________________________________________________ _ Pijae razvoj miljenja - odluijui preokret je 7 - 11. god. U periodu konkretnih operacija. Operacija je unutranja radnja; radnja je najprije spoljanja, a zatim unutranja, misaona ali nikada se ne gubi predmetni karakter. Pravci operacije su samo razliite kategorije zadnje unutranje operacije koju karakterie to to se ne obavlja pomou realnih slika, predmeta i znakova. Pijae istie da svaka mentalna radnja nije operacija. Ona e postati radanja kada se nae u uzajamnoj povezanosti sa drugim radnjama na tome da ini sistem. Cjelina u kojoj se jedne operacije nalaze u simetriji sa drugim pomou reverziboilnosti. Reverzibilnost znai da za svaku operaciju postoji druga koja je simetrina i suprotna, koja polazi od rezultata prve i uspostavlja poetni sistem. Reverzibilnost podrazumijeva osobinu miljenja da pree saznajni proces, najprije u jednom, a zatim u drugom smjeru i tano se vrati u poetnu situaciju. Kada je dijete steklo reverzibilnost u miljenju postaje sposobno za niz drugih operacija. Reverzibilnost omoguava da se, u nastavi matematike, inverzne operacije (+, -), obrauju istovremeno. Eksperimenti su pokazali da intenzivno usvajanje operacija predstavlja racionalniji, ispravniji put do njihovog odvojenog usvajanja intenzivno usvajanje operacija omoguava da se izmeu njih uspostavi funkcionalna veza. Kod nekih trajno ostaju dva odvojena procesa. Reverzibilnost povlai za sobom shvatanje invarijantnosti i konzervacije pojmova. Vrenje tih operacija: - ekvivalentnost (u dva skupa ima isti broj elemenata); - unosa (dvije kugle od plastelina, ako napravimo valjak; invarijantnost vraanje valjka u kuglu); - povrina (dva pravougaonika); - duina (dvije ice); Pijae smatra da razvoj djeteta, vremenski i funkcionalno, prethodi usvajanju pojmova. Uenik u nastavi moe da usvaja one pojmove za koje su ve razvijene strukture ili je razvoj pri kraju. Vigotski- Miljenje i govor Korienje Pijaeovih za njegova shvatanja razvoj ovjeka je usmjeren biolokim zakonima i na razvoj se ne moe spolja uticati. Na takvom shvatanju izgraena je tradicionalna nastava da se prilagodi razvojnim mogunostima uenja. Vigotski smatra da takva nastava kaska za razvojem. Aktivni razvoj zahtijeva samostalno rijeavanje i karakteristian je za ve formalnu fazu. Naredni razvoj je faza u kojoj dijete uz neiju pomo uspijeva da rijei zadatak. Vigotski smatra zonu narednog razvoja vanijom za intelektualni razvoj nego aktivnu zonu. U saradnji sa odraslim, dijete se podie na vii intelektualni nivo i prelazi sa onoga to ne umije da umije. Nastavnik treba da se orijentie na procese koji se tek razvijaju a ne koji se zavravaju. Uenje da prethodi razvoju. Vigotski uzima u obzir uzrasne karakteristike uenika moramo ih poznavati ali ih se ne smijemo slijepo pridravati. Ova shvatanja su doprinijela koncepciji savremene nastave. Metodiki postupci Vigotski predlae sledee etape: - posmatra se i upoznaje neposredna stvarnost; - izdvajaju se odreena matematika obiljeja stvarnosti; - formira se matematiki pojam i usvaja njegov nosilac; - usvaja se znak za matematiki pojam. 12


__________________________________________________________________________ _ Osim Vigotskog u razvijanju i bogaenju postavki doprinos su dali Galjperin, Davidov i dr. Postavljena su 3 zadatka: 1. da se odrede optimalni naini izgradnje nastavnog gradiva; 2. utvrde uzrasne mogunosti uenika; 3. stvaraju zakonitosti miljenja u nastavi matematike. Bruner je utvrdio da najbolje rezultate u poetnom matematikom obrazovanjupostiu ona djeca koja manipuliu materijom. Bruner smatra da nastavu treba tako organizovati da djeca to ee manipuliu odgovarajuim objektima i da se to ee govorno izraava. Bruner smatra da se mora krenuti od manipulacije predmetima, ta manipulacija se mora pratiti govorom, operisanje brojevima se izraava govorom. Ovladavanje jezikim formama je uslov za bavljenje matematikim obrazovanjem uslov za rjeavanje matematikih problema. Ne postoji jedan put i postupak kojim se mogu rjeavati zadaci. Nanovo se trai put, a u traenju tog puta slui se razumnim misaonim postupcima.

13


__________________________________________________________________________ _ LOGIKE OPERACIJE: APSTRAKCIJA I GENERALIZACIJA Apstrakcija je misaoni pstupak kojim se iz jednog ili vie primjera (srodnih sluajeva) izdvajaju odreena svojstva, a sva ostala se odbacuju. Time se omoguava formalizacija apstraktnog pojma taj pojam osim posmatranih obuhvata i sve druge primjere sa zadranim svojstvima. Generalizacija je misaoni postupak kojim se uoena svojstva skupa proiruju na najiri skup sa tim svojstvima. Pomou apstrakcije i generalizacije formiramo pojam take, ravni, broja, izvodimo formule itd. Mnogo primjera bi se moglo navesti ako hoemo ilustrovati apstrakciju i generalizaciju, to isto radimo i sa skupom elemenata.

KONKRETIZACIJA I SPECIJALIZACIJA Konkretizacija je misaoni postupak kojim se identifikuju primjeri sa svojstvima nekog opteg pojma. Specijalizacija je misaoni postupak prenoenja svojstava elemenata njegovog generalnog skupa na elemente njegovog pravog podskupa. Ova 4 pojma su relativno misaoni procesi. Analiza je rastavljanje na djelove, a sinteza spajanje u cjelinu. Analiza u matematici ima 2 koraka rastavljanje i uoavanje odnosa meu elementima. Mnogi se problemi rjeavaju analizom i sintezom. 1) Zadatak: Duina obima pravougaonika 96m, a duina je 3 puta vea od irine. Izraunaj povrinu. svi X analiza du 3X 2) Zadatak: Zbir 3 prirodna broja iznosi 440. Prvi od njih je 2 puta manji od drugog, a 7 puta vei treeg. I 7a II 14 a III a analiza 22 a = 440 sinteza od O = 2X + 6X = 96 X = 12 sinteza

14


__________________________________________________________________________ _ ANALOGIJA Analogija je zakljuivanje po slinosti. Iz jedne poznate injenice izvodi se druga injenica, i to na osnovu djelimine slinosti meu predmetima. Zajednika svojstva utvrena za dvije pojave nazivamo pozitivnom analogijom. Ukupna zajednika svojstva nazivamo totalnom zajednikom analogijom. Svojstva po kojima se dvije ili vie pojava razlikuju nazivamo negativna analogija. Ukupnost svojstava po kojima se dvije ili vie pojava razlikuju nazivamo totalna negativna analogija. Ovakav zakljuak je znaajniji to je cjelokupno zakljuivanje veoma proeto analogijom pa je djeci lake da zakljuuju po analogiji. Zakljuci do kojih dolazimo analogijom smisaono vjerovatno ne moraju biti apsolutno istiniti i njihovu istinitost moemo prihvatiti na osnovu provjere injenica. Njena slabost je to smisao ostaje na istom nivou optosti. Primjeri zakljuivanje po analogiji - uslovi zakljuivanja: 1) slina obiljeja objekta moraju biti sutinska a njihov broj to vei; 2) da razliita svojstva objekata moraju biti nebitna i njihov broj minimalan; 3) ispravnost zakljuivanja po analogiji se mora dokazati (nauno verifikovati) Zahvaljujui analogiji i uenici i uitelji mnogo grijee pa je neophodno biti oprezan. Analogija ipak omoguava da na ekonomian nain uvedemo uenike u nova saznanja. Kod definicija je esto prisutno zakljuivanje po analogiji. Primjer: 1) Zbir brojeva je 30. Jedan od njih je za 2 vei od drugog. Izraunaj te brojeve. Imamo 2 broja 2X + 2 = 30 2X = 30 2 X = 28 X= 14, X+2=16 I X II X + 2 16 + 14 = 30

2) Milan i Dragan imaju 30 dinara. Dragan ima 2 dinara vie nego Milan. Koliko ima svaki od njih? Milan X 2X= 30-2 Dragan X+2 2X= 28 X=14 Dragan ima 16, a Milan 14 dinara. Analogija kod nevjetog uitelja moe suvie da afirmie pamenje kod uenika. Tako, matematika moe negativno da utie na razvoj kreativnosti.

15


__________________________________________________________________________ _ INDUKCIJA Indukcija je misaoni postupak kojim se opti zakljuak izvodi iz pojedinanih sluajeva. Ti sluajevi nazivaju se premisama. Opti stav naziva se zakljuak . Indukcija se dijeli na potpunu i nepotpunu. Potpuna je takva indukcija kod koje su premisama obuhvaeni svi mogui sluajevi opteg. Primjer: Dokazati da se ni jedan kvadrat prirodnog broja ne zavrava cifrom 3 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81. Potpuna indukcija ima 2 odlike: 1) Zakljuci izvedeni ovom indukcijom su tani; 2) Ako je veoma neproduktivna, neekonomina, rijetki su primjeri u kojima je mogue izvesti te premise da bi se dolo do zakljuka. Potpuna indukcija rijetko se koristi u nastavi matematike. Ona nema posebni obrazovni znaaj. Ova indukcija slui jasnijem sagledavanju nekog problema, kasnijem formiranju stavova i sl. Nepotpuna indukcija je indukcija kod koje su premisama obuhvaeni samo neki od pojedinanih sluajeva. Odlike ove indukcije su: 1. ona je ekonomina; 2. zakljuivanje je u izvjesnoj mjeri pouzdano; 3. posebna vrijednost je to se njome dolazi do novih zakljuaka taj zakljuak ne sadri samo poznate sluajeve , ve i one nepoznate. U tome je njena najvea obrazovna vrijednost. Postavlja se pitanje od ega zavisi stepen pouzdanosti? 1. zavisi od broja pojedinih sluajeva to je vei broj vea je pouzdanost; 2. reprezentativnost sluajeva reprezentativniji pojedinani sluajevi rezultiraju veom pouzdanou uzorka; 3. da li je zakljuak izveden iz bitnih, sutinskih karakteristika. Bez obzira na slabosti ova indukcija ima znaajnu ulogu u nastavi matematike. Posebno je znaajna metoda kauzalne indukcije kojom se utvruju uzrono-posledine veze meu pojavama. Njeno postojanje dugujemo Bekonu i Milu. Milove metode: 1. Metoda slaganja ako vie sluajeva istraivane pojave ima samo jednu zajedniku okolnost zakljuuje se da je ta okolnost uzrok ili posledica te pojave; 2. Metoda razlike ako u sluaju, u kome se istraivana pojava dogaa i u sluaju u kome se ne dogaa , da budu zajednike sve okolnosti osim jedne koja se dogaa samo u prvom sluaju, zakljuuje se da je ta okolnost posledica, uzrok ili neophodni dio uzroka te pojave. 3. Kombinovana - slaganja i razlike ako vie sluajeva u kojima se istraivana pojava dogaa imaju jednu zajedniku okolnost, a vie sluajeva u kojima se ta pojava ne dogaa nemaju nita zajedniko, zakljuuje se da je ta okolnost posledica, uzrok ili neophodan dio uzroka te pojave. 4. Metoda propratnih pojava iz uvida u to da se neka pojava na odreeni nain mijenja uvijek kada se na neki poseban nain mijenjaneka druga pojava, zakljuuje se da izmeu te dvije pojave postoji kauzalna povezanost. Postoji i teorijska matematika indukcija koristi se iskljuivo u matematici. Ona je potpuno siguran oblik zakljuivanja. To je, u sutini, dedukcija mada po formi lii na indukciju. 16


__________________________________________________________________________ _ DEDUKCIJA Dedukcija je misaona operacija ili niz misaonih operacija kojima se istinitost nekog tvrenja izvodi iz istinitosti prihvaenih i ranije utvrenih istina. Znaaj i vrijednost dedukcije je u tome to se iz stava o optem dolazi do stava o posebnom, ali se pri tom i opte obogauje. Deduktivni oblik zakljuivanja najee se sastoji u tome da, ono to vai u optem sluaju, vai i za pojedinano. Pravila deduktivnog zakljuivanja: I Pravilo odvajanja II Pravilo kontrapozicije Ako je x => y onda je x => y p => r p => r III Tranzitivnost implikacije x => y y => z x => z Karakteristike deduktivnog zakljuivanja: 1. Svaki zakljuak izvodi se iz ranije prihvaenih karakteristika. 2. Svi zakljuci su logiki povezani u niz i taj niz ima kraj. Kraj je poseban zakljuak. 3. Ako su tvrdnje, iz kojih se izvodi zakljuak (premise) tane, onda je i zakljkuak taan. Matematika kao nauka je deduktivno zasnovana. Meutim, na uzrastu od I do IV razreda nije mogua opta dedukcija. Zato se ovdje pribjegava lokalnoj dedukciji. Sutina lokalne dedukcije preko deduktivnog zakljuivanja moemo doi do zakona. Zakljuivanje po dedukciji moe biti neposredno i posredno: - neposredno je ono koje se izvodi iz jedne premise: a = b; a2 = b2 - posredno zakljuivanje je takvo koje se izvodi iz dvije ili vie premisa. Primjeri: Svi kvadrati su pravougaonici sa jednakim stranicama, svi pravougaonici sa jednakim stranicama su kvadrati (neposredno). Svi paralelogrami su etvorougli, svi rombovi su paralelogrami, znai, svi rombovi su etvorougli (posredno).

17


__________________________________________________________________________ _ INTUICIJA Intuicija je nasluivanje da se konkretni zadatak moe rijeiti na odreeni nain. Intuiciju shvatamo kao skraeni vid zakljuivanja. Reenja do kojih se dolazi intuicijom su problematina, nepouzdana i moraju se dokazivati. Postupak dokazivanja mora biti rigorozan i doprinositi razvoju matematike razmiljanja. Intuicija se moe zasnivati i na ulnom i na umnom saznanju. Uenike treba osposobiti da koriste intuiciju u reavanju zadataka. Primjeri: Kojom cifrom se zavrava proizvod u kome se broj 7 pojavljuje kao inilac 100 puta? 7 x 7 x 7 .......... 7 x 7 x 7 49 x 50 2401....................2401 1 Proizvod u kome se broj 7 pojavljuje 100 puta, zavrava se brojem 1. I niz 1 + 3 + 5 + 99 II niz 2 + 4 + 6 + 100 Koji je zbir vei i za koliko? Vei je zbir II i to za 50. 49 x 49 .......... 49 x 49 2901 x 25

18


__________________________________________________________________________ _ KIBERNETIKE OSNOVE NASTAVE MATEMATIKE Kibernetika je nauka o upravljanju. Opti procesi upravljanja u svim oblastima nauke. Prema shvatanju kibernetiara, svaki sistem se, u sutini, sastoji iz 4 elementa. Ima svoj cilj, sredinu u kojoj se realizuje, upravljaki sistem i upravljani sistem.

UPRAVLJAKI SISTEM

CILJ UPRAVLJANI SISTEM

SREDINA

Da bi sistem efikasno funkcionisao kibernetiari smatraju da cilj mora biti jasno definisan. Mora imati razvojni sistem upravljanja, da se tano zna kako e se djelovati u datoj situaciji. Mora postojati stalna informacija u upravljakom sistemu o stanju u upravljanom sistemu i mora se upravljaki sistem prilagoavati upravljanom sistemu na nain na koji to zahtijeva povratna informacija. S obzirom da je nastava matematike sistem, moraju se potovati ova pravila. Cilj upravljanja definie drutvo kroz zakonske propise, ali se tu definicija ne zaustavlja, nego svaki nastavnik definie cilj za svaki as. Ako je cilj jasno definisan onda je lake napraviti program upravljanja. Program upravljanja znai, sastaviti uputstvo na koji nain e rad na asu biti organizovan, oblici rada, metode, sredstva, vrijeme korienja i sl. Ali, samo to nije dovoljno jer nedostaje povratna informacija. Da bi rad bio uspjean mora postojati povratna informacija jer, zavisno od nje, tee i program predavanja. Kibernetiki pristup u poetnoj nastavi matematike obuhvata cjelinu nastavnog procesa, ali naglasak daje na njegovu kontrolu, jasnost cilja i upravljanje. Takvim pristupima se znatno obogauje nastava matematike i njen kvalitet podie na vii nivo. Mnogi, s pravom smatraju, da nema nastave matematike ako joj jedna od osnova nije kibernetika osnova. Tu se javljaju problemi jer, u nastavi matematike, nije mogue definisati program upravljanja. Kroz ovaj pristup je mnogo lake ostvariti obrazovne nego vaspitne zadatke.

19


__________________________________________________________________________ _ SAZNAJNE OSNOVE MMO Osnovna razlika izmeu matematike obrazovanja i obrazovanja u okviru drugih disciplina je u tome to djeca u procesu matematikog obrazovanja usvajaju pojmove, a u okviru veine drugih nastavnih disciplina usvajaju injenice. injenica je iskustveno utvren ili utvrdljiv , objektivno postojei odnos meu predmetima (neki predmet ili podatak). Pojam je misao o sutini nekog stvarnog ili zamiljenog predmeta. Razlika izmeu injenice i pojma ogleda se u tome to su injenice empirijskog porijekla, nezavisne od naina saznavanja, a pojam nije realno postojei objekat, nije dostupan ulnoj aktivnosti. Iz takve prirode injenica i pojmova proizilazi razlika o nainu njihovog usvajanja. Tako je usvajanje injenica rezultat empirijskog, a usvajanje pojmova rezultat racionalnog saznavanja. Razlika izmeu injenica i pojmova postoji i u razumijevanju. injenice se mogu uiti bez razumijevanja a pojmovi ne mogu. Razumijevanje ukljuuje mnotvo misaonih aktivnosti. Pojmovi koje djeca stiu u nastavi matematike mogu se podijeliti na: - jednostavne i - sloene pojmove. Jednostavni pojmovi su oni koji imaju jednu oznaku, a sloeni oni koji imaju dvije ili vie oznaka. Tako je pojam prirodnog broja jednostavan pojam. Ova podjela je samo uslovna. Nekada je kod uenika lake formirati sloen nego jednostavan pojam. Ona ne govori o teini tih pojmova.

20


__________________________________________________________________________ _ AKSIOMI I POSTULATI METODIKE NASTAVE MATEMATIKE Hilbertova definicija matematike je igra koja se, prema jednostavnim pravilima igra, i prema oznakama koje nemaju nikakvo znaenje. Matematika je igra koja se igra po pravilima koje odreuju aksiomi. Aksiomi su istine koje se ne dokazuju. Savremeni matematiari kau da aksiomi nisu tako jednostavni, da od njih nema jednostavnijih. esto se koristi pojam pretpostavka od koje se polazi. Sistem aksioma mora biti potpun i neprotivurijean. Prvi sistem aksioma je postavio Euklid Euklidov sistem aksioma (Euklidova geometrija). I II III IV V da se kroz svake dvije take moe postaviti prava; da se svaki pravac moe neogranieno produavati; da se iz proizvoljnog centra sa proizvoljnim prenicima uvijek moe opisati krunica; svi pravi uglovi su meusobno jednaki; dvije prave presjeene trom sijeku se na onoj strani na kojoj je zbir tako dobijenih uglova manji od dva prava ugla; Loboeski je napravio novu geometriju gdje prostor nema tri, nego etiri dimenzije. Leonov sistem aksioma (aritmetika): I II III IV V broj 1 je prirodan broj; svaki prirodan broj ima svog sledbenika tako da je P = P + 1; broj 1 nije sledbenik nijednog prirodnog broja; ako je m = n onda je m = n; svaki skup koji sadri broj 1, i koji za svako P sadri P + 1 sadri sve prirodne brojeve.

Prvanovi istie 3 aksioma ( u MMO): 1. Inteligencija se ne donosi roenjem, uroen je njen razvojni put; 2. Ne postoji dar za rad u nastavi matematike, postoje samo jae ili slabije obrazovnomatematike dispozicije; 3. U svakom djetetu, osim teko mentalno zaostalih, postoje: - spontana i vrlo jaka tenja za saznavanjem onoga to ga okruuje; - spontana i jaka tenja za stvaranjem i stvaralakim radom. Bez napornog rada nema ni obimnih ni genijalnih matematikih otkria. Prvanovi je postavio i postulate: 1. Voditi uenika kroz kontinuiran niz adekvatnih aktivnosti koje ga ne skreu sa razvojnog puta njegove inteligencije; 2. Dopustiti ueniku slobodu da sam izgrauje pojmove, otkriva injenice, pravila i, uopte, sam reava problem i da stvaralaki radi; 3. Matematiko obrazovanje je duno da ubrzava, intenzivira uenikov intelektualni razvoj, maksimalno skrauje i proiruje spontan razvojni put njegove inteligencije. 21


__________________________________________________________________________ _ FORMIRANJE POJMOVA Pojam je opta ideja. Kompleti karakteristika vezanih za misli. Takvim odreenjem jedna rije se prebacuje na drugu rije. Matematiki pojmovi, njihovo znaenje je sloenije, jer je njihovo formiranje u veini sluajeva nemogue kroz spontano izraavanje uenika. Oni se ne mogu formirati odjednom, taj proces je esto dugotrajan, a esto se aktivno povezuje sa pojmovima van nastave. Matematiki pojmovi formiraju se po jednostavnoj shemi. Matematiki pojam ima 3 komponente (Marjanovi)

2. MENTALNA SLIKA

3. IME, NAZIV, ZNAK

1. PRIMJERI

U praksi je est sluaj da se pojam izjednai sa jednom od komponenti, to je tetno za nastavu. Djeca na ranom uzrastu spontano formiraju neke pojmove koji su vezani za bia i predmete iz njihove okoline, npr. Uoavajui to djeca stiu razliite predstave o uglovima, veliini itd. Niz senzornih utisaka o tom predmetu stiu spontano. Spontano i postepeno se njihovi senzori koncentriu oko neprocjenjivih karakteristika pojma i oni stiu neku optu predstavu o tom pojmu i prodiru u sutinu tog pojma. Mentalna slika se odnosi na spontanost djeteta, da bez prisustva objekta, stvori sliku tog objekta u svojoj glavi. To je pojednostavljeno realna slika, ali koja ima tendencije da se projektuje smo na najvanije karakteristike. Crtei koje djeca prave na ranom uzrastu najbolje pokazuju tu mentalnu sliku. Ta trajnost unutar predstava omoguuje kasnije procese prepoznavanja, a ono se moe smatrati osnovnim vidom klasifikovanja, jer klasifikuje sve stolove u jednu mentalnu sliku. Jednu takvu predstavu prati ime sto koje se vee za sve stolove koje je vidjelo ili nije i to doprinosi izdvajanju pojmova u jedinstvenu klasu. Nju ne treba poistovjeivati ni sa jednom slikom koju realizujemo, nego da crtanjem treba vidjeti samo nain na koji se u procesu formiranja pojmova djeca spretno snalaze, projektujui unutranje na objektivno i spoljanje. Vano je istai da je mentalna slika kvalitetnija ukoliko je u individualnom iskustvu vie primjera, npr. predstava o stolu u nekom zabaenom selu je drugaija od predstave koju ima dijete u nekoj velikoj sredini (npr. gledajui razne vrste drvea dijete uoava njihove zajednike karakteristike, formira mentalnu sliku i naui njihova imena). I ovdje mentalna slika zavisi od geografskog podruja. Crtei koji ilustruju mentalnu sliku mogu biti razliiti, mada su invarijantna svojstva slina. Uporedo tee i drugi proces odbacivanja nebitnih svojstava. Sva ta svojstva, koja nisu bitna za jedan pojam, ali se vezuju za njega kako nazivamo u metodici umom. um u naem ivotu oznaava sve ono to ometa dolazak i formiranje pojma, tj. sticanje mentalne slike, npr. um kod prave je njen poloaj kako je nacrtana, koso ili pravo i sl. Sam pojam ne posjeduje um. 22


__________________________________________________________________________ _ Svi matematiki pojmovi se formiraju po navedenoj shemi i to je najvanije. Ime je rije iz prirodnog jezika, bez obzira da li je izgovorena ili napisana, simbol je oznaka imena. Kod simbola se mogu javiti razne nedoumice, jer su neki simboli, manje ili vie vjerne grafike interpretacije objekata i tada se zovu slikovna ili ikonika. Drugi simboli su proizvoljna forma ije je znaenje dogovorom utvreno i nazivaju se konvencionalnim simbolima. Veina pojmova se omoguava konvencionalnim simbolima koji niim ne podsjeaju na sutinu pojma koji omoguavaju, npr. arapske cifre oblikom ne sugeriu brojeve koji omoguavaju, dok, kroz rimske, ta veza postoji donekle. Meutim, pojmovi se esto oznaavaju dvojako: kako rijeima iz prirodnog jezika tako i konvencionalnim simbolima: brojevi, slova, matematiki znaci... Simboliko oznaavanje je znaajnije zbog toga to poveava brzinu manipulisanja i miljenja. Ne treba zanemariti ni pozitivna svojstva slike kao simbola, npr. jedna fotografija iz slike se mogu nauiti mnogi vani detalji jednim pogledom. Pojam 3: primjeri su svi skupovi koji sadre 3 lica, predmeta, elementa i sl. Da bi bila to jasnija mentalna slika bira se primjer sa to manje uma (skup od 3 take). Mi dajemo naziv svim rijeima i uvidimo simbol, a to je 3. Pojam je rezultat misaone aktivnosti i kao takav nije dostojan ulnom saznavanju.

23


__________________________________________________________________________ _ SKUP KAO NAJOPTIJI POJAM KLASINE MATEMATIKE Pojam skupa je stara tekovina materijalne kulture ovjeka. Njime su se ljudi sluili i prije nego to su znali za pojam broja. I pored tako duge tradicije, teorija skupova se poela razvijati tek u drugoj polovini XIX v. Tvorac teorije skupova je danski trgovac Kantor. On je svoje prve radove i prva istraivanja iz ove oblasti poeo 1879.god.Tu teoriju savremenici su razliito doekali. Anri Penkavc je sarkastino izjavio da je Kantorova bolest od koje treba lijeiti matematiare, a Hesman Vaje je teoriju skupova nazvao maglom nad maglama. Rasel je smatrao da je teorija skupova, vjerovatno, najvee otkrie nove epohe, a Hilbert je rekao da nas niko ne moe istjerati iz raja koji je Kantor napravio. Danas se smatra da pojava teorije skupova oznaava poetak moderne matematike. Ako se posmatra ili analizira program matematike ne moe se zamisliti bez prisustva pojava iz teorije skupova. Aktuelni program predvia obradu materije iz teorije skupova (I - IV razreda): - U I razredu zadatak je da uenici uoavaju razne primjere skupova, podskupova, pripadnost elemenata skupova i usvoje termine: skup, podskup i elementi. Moraju znati da opti skup, navoenjem lanova ili svojstava, pridruivanje elemenate i razlikovanje skupova sa istim ili razliitim brojem elemenata. - U II razredu sadraji se proiruju i trai se da uenici moraju da koriste znak za skup i pripadnost elemenate skupu. - Sadraji iz oblasti skupova prisutni su i u III i IV razredu, mada nisu eksplicitno navedeni u programu, ali se trai da navedu skup nejednaine. Formiranje pojmova iz teorije skupova se, pri tom, zasniva na igri i praktinim aktivnostima uenika na konkretnim primjerima, pri emu treba aktivno koristiti rije skup ili element skupa. Pri izdvajanju skupova vodi se rauna o tome da uenicima bude jasan klju po kome je izvreno izdvajanje elemenata u neki skup. Razlozi za uvoenje skupova su: 1) pojam prirodnog broja se moe izvesti na primjeru skupova. Olakava se put kojim se formira pojam broja; 2) operacije nad skupovima - omoguavaju da se rad sa brojevima oigledno zasniva; 3) teorija skupova predstavlja osnovni renik savremene matematike. Njeno uvoenje u program pribliava nastavu matematike matematici kao nauci; 4) eksperimentima je dokazano, a i praktino provjereno, da ve u poetnoj nastavi matematike uenici sa lakoom usvajaju odreene pojmove u teoriji skupova, odnosno intuitivno posjeduju mnoge pojmove o skupu; 5) zahvaljujui slikovnoj interpretaciji sadraja, uenici se bre osposobljavaju u apstraktnom miljenju sagledavanjem cjeline itd. 6) Teorija skupova omoguava lake uoptavanje i elastiniju obradu mnogih sadraja u matematici. Teorija skupova postaje metodoloki i metodiki princip. Ona je podreena izuavanju drugih sadraja i koristi se u formiranju drugih pojmova. Cilj je da se skupovi koriste kao didaktiki materijali za formiranje drugih pojmova. 24


__________________________________________________________________________ _ OZNAAVANJE SKUPOVA Uenici u svakodnevnom ivotu termin skup ne uju tako esto, ali, i pored toga, u njihovoj svijesti postoji donekle izgraen pojam koji se uslovno moe nazvati skupom. Taj pojam ima malo zajednikog sa skupom u metematici.: 1) razlika je u tome to u obinom govoru skup oznaava neto to je mnogo, a matematiki skup oznaava i ono to je mnogo i ono to ima samo 1 element ili jedan (prazan) skup; 2) razlika je u tome to se, u obinom govoru, pod skupom podrazumijeva samo ono to ima iste elemente (skup ljudi, ptica i sl.) dok u matematici skup moe biti sastavljen i od razliitih elemenata. Zato je pogreno da neko, interpretirajui pojam skupa, govori o raznovrsnim i istovrsnim skupovima.; 3) razlika je i u tome to, u obinom govoru, rije skup uglavnom oznaava predmete koji su jedan uz drugi, a matematiki skup mogu initi planete sunevog sistema , glavni gradovi drava, iako su prostorno udaljeni: 4) razlika je u tome to ponekad, ono to je u obinom govoru skup, u matematici nije. Npr. ispred zgrade filozofskog fakulteta je skup studenata, a to nije skup u matematici zato to se ne moe tvrditi ko ini taj skup, a skup je odreen samo ako se odrede njegovi elementi. Matematiari o skupu govore samo onda ako utvrde da li neki elementi pripadaju ili ne pripadaju odreenom skupu. Kada je rije o formiranju pojma skupa, metodiki je opravdano da se taj pojam izvede iz prirodne situacije i jezika. Moemo posmatrati razne slike, a to su rijei koje proizilaze iz svakodnevnog govora i traimo od uenika da imenuju elemente. Neprirodno bi bilo da kaemo jato cvijea, sveanj ptica i sl. Svaka rije ide prirodno uz odreene elemente, ali nije neprirodno rei skup ptica, skup cvijea i sl. jer, sasvim spontano, djeca prihvataju rije skup. S obzirom da je skup osnovni pojam teorije skupova, to nas oslobaa obaveze da ga definiemo. Jednostavno, od skupa ne moemo nai jednostavniji pojam. Meutim, u udbenicima i literaturi se moe nai da je skup mnoina objekata sa nekim zajednikim svojstvima. Ali, skup moe imati i elemente koji nemaju zajedniko svopjstvo. Istovremeno sa usvajanjem termina skup usvojeno je u program i termin elementi. Pitamo djecu koliko ima cvjetova, a onda pitamo koliko taj skup ima elemenata. to vie razliitih primjera da se dobije mentalna slika ta je to skup i elementi skupa. Taj proces formiranja pojmova je dugotrajan. Ne treba mnogo navoditi skupove iji su elementi brojevi ili slova, jer uenici jo nisu njima dovoljno ovladali pa im to pravi dodatne probleme. Ispravno je navoditi one skupove iji su elementi oni o kojima uenici ve imaju neko iskustvo i sa kojima su u dodiru. Kad god je mogue prvo navoditi primjere iz porodice, odjeljenja, igrake i namjetaj u kui ili koli, objekte iz neposredne okoline. Najvanije za uenike je da shvate skup kao tvorevinu proisteklu iz realnosti a ne kao vjetaku tvorevinu. Tek poslije realnih primjera prelazi se na misaono formiranje skupova prema datim svojstvima, ali treba biti oprezan pri navoenju svojstava.

25


__________________________________________________________________________ _ Postoje 3 naina obiljeavanja skupa: 1. skupovi se mogu obiljeiti slikom; 2. mogu se obiljeavati navoenjem elemenata skupa; 3. mogu se obiljeavati navoenjem osobina koje imaju elementi skupa. Kada se skup predstavi slikom insistira se na tome da li pojedini elementi pripadaju ili ne . a pripadaju skupu A . .b C .

Slovo nije element skupa, nego taka. Njime se samo oznaava skup. Panju treba posvetiti redosledu grafikog prikazivanja. Prvo treba nacrtati elemente skupa, pa tek onda liniju oko tih elemenata. Skupovi se obiljeavaju velikim slovima, a njihovi elementi malim. Navoenjem elemenata skup se oznaava: A = {a, b}. Opisivanje elemenata takav nain se primjenjuje u situacijama kada skup ne moemo izraziti navoenjem svih elemenata, ve ga moramo zadati opisno: A = {x/4 ili y?? 1 000 000} A ={sve djevojice nae kole} Koji e se nain primjeniti zavisi od konkretne situacije. Ako je neki objekat element skupa, njegovi elementi nisu djelovi tog skupa (npr. bicikl toak nije element tog skupa) A = {D, D} skup ima samo 1 element A = {a, b, a, c} skup ima 3 elementa A = {A, D} skup ima 2 elementa Zadatak: Koliko elemenata ima rije matematika?

Ima 6 elemenata.

Skup ne zavisi od rasporeda elemenata, zato prilikom zadavanja zadataka treba praviti razliit raspored, kako bi uenici shvatili da on nije vaan. Primjer: A = {{1, 2}, {2, 3, 4}, {2}} skup ima 3 elementa. Da li je broj 2 element skupa? Ne pripada ovom skupi jer je ovo skup skupova Prazan skup { } ili ili { } Skup koji ima 1 element skupa naziva se jednolani ili jedinini skup. 26


__________________________________________________________________________ _ POJAM PODSKUPA Posmatra se npr. skup djeaka u .odjeljenju, a zatim se posmatra drugi skup, a to su 7 djeaci koji sjede do prozora. Sutina je da uenici shvate da je ovaj skup ujedno i element skupa djeaka u odjeljenju. Ili npr. porodica skup djece. Sluaj da su elementi jednog skupa ujedno i elementi nekog drugog skupa onda govorimo2o .podskupu toga skupa. . A 3 . . z

Kada se ovako formira pojam podskupa onda uenicima damo jedan skup i traimo da potrae sve mogue podskupove toga skupa. Vano je da uenici uoe da je svaki skup podskup sam sebi, a drugo da je prazan skup podskup svakog skupa. esta je grka uitelja: A . Oigledno je da je ovaj skup sastavljen od 2 skupa a oni dalje naglaavaju da je rije o podskupu skupa kruaka on je samo podskup voa.

Primjer: A = {1, 2, 3} Podskupovi: {1},{2},{3},{1, 2},{1, 3},{2, 3},{ },{1, 2, 3}

27


__________________________________________________________________________ _ UPOREIVANJE SKUPOVA Moe se vriti na 3 naina: 1) pogledom 2) prebrojavanjem i 3) uporeivanje pridruivanjem Trei nain je najei i tako se dobija odgovor na pitanje da li dva skupa imaju jednak broj elemenata ili jedan ima vie ili manje. Da bi mogli uporeivati skupove pridruivanjem, uenici prvo moraju upoznati sam postupak pridruivanja. U tom cilju se razgovara sa uenicima o realnim situacijama u kojima se pridruivanje javlja kroz igru (stolice 20, uenici 19 pridrui uenicima stolice). Ako se utvrdi da se dva skupa mogu uzajamno jednoznano preslikati onda za nih kaemo da su ekvivalentni ili istobrojni. Treba nastojati da svaki uenik to vie puta izgovori te rijei. Kada navedete primjere treba pitati i uenike da navedu neki primjer. Prvi korak je uoiti dve ekvivalentna skupa a zatim 3, 4, 5... Ne treba ii na preskok (2, 5). Treba im primjerima u svijest ugraivati da je ekvivalentnost relacijaekvivalencije i da ima 3 osobine: refleksivnost, simetrinost i tranzitivnost. - refleksivnost znai da je svaki skup ekvivalentan sam sa sobom; - simetrinost ako je skup A ekvivalentan sa skupom B, onda je i skup B ekvivalentan sa skupom A; - tranzitivnost ako je skup A ekvivalentan skupu B, a skup B ekvivalentan skupu C, onda je i skup A ekvivalentan skupu C. Pirtanja treba postavljati tako da ova svojstva dou do izraaja. Tek kada uenici do kraja upoznaju ekvivalentne skupove treba ih upoznati sa neekvivalentnim. Upoznavanje sa neekvivalentnim skupovima takoe se vri pridruivanjem, ali tako da ostane nepridruenih elemenataPridruivanja treba da proizilaze iz neposredne okoline i uenikovog iskustva (svaki uenik ima stolicu, ali svaka stolica nema uenika). Treba pronai vie primjera (npr. vie putnika nego sjedita u autobusu). Pridruivanje se moe pokazati rijeima, stvarima, aktivnostima i gramatikim putem. A

B - vano je u ekvivalentnosti da sve ide redom i da se strelice ne poklapaju.

A

B

- onda trba uvoditi pridruivanje koje nije po redu, da se izbjegne mehaniko pridruivanje 28


__________________________________________________________________________ _

POJAM JEDNAKOSTI SKUPOVA Tee je uvesti ovaj pojam nego uporeivanje. Treba poeti sa primjerima. Imamo 3 djeaka koji se igraju u dvoritu i ta 3 djeaka uu u uionicu. To su dva ista skupa ili:

makaze kljuno

= {makaze, klju, no} Napomena: u skupu su ovi predmeti nacrtani!

Dva skupa su jednaka samo ako su oba sastavljena od istih elemenata , npr. Beograd je glavni grad SCG. Redosled navoenja elemenata je irelevantan zajednakost skupova. Svaki skup je jednak samom sebi. I brojno i realno elementi moraju biti jednaki. Zadatak: Uenici treba da izdvoje crvene i ute etone i naprave 2 skupa. Jednakost skupova se oznaava znakom =. Nova relacija je relacija ekvivalencije to znai da je refleksivna, simetrina i tranzitivna. R:A=A S : A = B = >B = A T: A = B B = C = >A = C Ove termine ne upotrebljabamo, ali navodimo primjere da bi uenici shvatili ove relacije. Ako su dva skupa ekvivalentna, oni ne moraju biti isti, a ako su jednaki onda moraju biti ekvivalentni.

29


__________________________________________________________________________ _

OPERACIJE SA SKUPOVIMA Unija dva skupa (U). A = {1, 2, 3}; B = {3, 4, 5}. Svi elementi prvog skupa u A U B = {1, 2, 3, 4, 5}, oni koji su iz drugog skupa, a nisu u prvom. A B

1AUB

1 23

3 45

2 3

45

Ako dva skupa nemaju nita zajedniko onda su: disjunktivni skupovi. Presjek ine svi elementi zajedniki u oba skupa A B = {3} Razlika skupova: A\ B = {1, 2}; B \ A = {4, 5}

KOMPLEKSNOST SKUPA

CBA kompleksnost skupa A u odnosu na skup B su oni elementi koji ga dopunjuju dounije.

CBA = {4, 5} Z A CAB = {1, 2} Z BZadatak. U jednom odjeljenju ima 30 uenika, 18 su lanovi recitatorske a 23 lanovi literarne sekcije. Odrediti kojiko uenika su:a) lanovi obje sekcije; b) lanovi samo literarne sekcije; c) lanovi recitatorske sekcije. R L

7

11 12

30


__________________________________________________________________________ _

FORMIRANJE POJMA PRIRODNOG BROJA

To je jedan od najvanijih zadataka poetne nastave matematike. Prirodni broj je osnova za dalji rad u matematici. Razvoj prirodnog broja je proao kroz 3 faze: 1. formiranje broja 1 i 2 2. formiranje brojeva do 6 3. formiranje beskonanog niza prirodnih brojeva. Zajedniko obiljeje za prve dvije faze je upotreba karakteristinih skupova. Npr. za broj 1 pokazati na Sunce; za broj 2 na oi, ruke, noge, krila ptice; za broj 3 nojeva apa, za boj 4 kande ptice, za broj 5 prsti ruke itd. Treu fazu karakterie nastanak pojma - sledbenik, nastanak pojma broja koji je za jedan vei od prethodnog. Sledbenik je onaj inilac koji je omoguio da se od neposrednog posmatranja moe formirati beskonaan niz. Moe se zakljuiti da su brojevi 1 i 2 nastali iskljuivo neposrednim zakljuivanjem. Brojevi od 3 do 6 nastali su neposrednom opservacijom i sledbenikom. Ostali brojevi su rezultati brojeva i raunanja, prije svega sabiranja. U prvoj fazi razvoja sve skupove ljudi smatraju i podvode pod pojam mnogo. U drugoj fazi, karakteristika mnogo vezuje se za broj 7. Ostaci toga vjerovanja su intenzivno prisutni i danas u narodnim predavanjima (???). Metodika matematike pokazuje razliite pristupe formiranju pojma prirodnog broja. Pet je pristupa: 1) verbalni; 2) perceptivni; 3) brojevni; 4)skupovni i 5) kombinovani. 1) Verbalni pristup dominira u srednjovjekovnoj nastavi i periodu renesanse. U tom periodu se smatralo da se pojam prirodnog broja moe izraziti izgovorenom ili napisanom rijei. Smatralo se da se, kroz manipulisanje oznakama, shvata njihovo znaenje. Ovaj pristup je neodgovarajui jer brojevi nisu rijei. Rije je samo ime broja. 2) U XIX v. Se javlja drugi pristup koji se zasniva na shvatanju po kome su percepcije i predstave osnove za formiranje pojma prirodnog broja. Zasnovan je na senzualistikoj filozofiji Loka, Nila i dr. Senzualisti smatraju da je porijeklo pojma u naim ulima. Pristalice perceptivnog pristupa smatraju da se posmatranjem uspostavlja veza izmeu fizike strukture objekta i mentalne strukture koje se formiraju na osnovu posmatranja. Kao predmet posmatranja mogli su se uzeti razliiti objekti rasporeeni u prostor, slike tih objekata i ono to je karakteristino, mogle su biti posmatrane i brojevne slike iji su elementi jednostavni. Njih su konstituisali Born (???) i dr. Sastavljene su iz kruia iji se sadraj moe jednim pogledom obuhvatiti: Bornove slike:

Bitno obiljeje ovog pristupa je to vie posmatranja, kako bi se stekle predstave o nekom broju i apstrakcijom dolo do opteg pojma. Prednosti nad verbalnim pristupom su to unosi oiglednost 31


__________________________________________________________________________ _ u nastavu matematike, stavra bolje uslove za usvajanje pojma prirodnog broja. Najvea slabost je to su brojevne slike statine. U istom su rasporedu pa se tada broj poistovjeuje. Ako se promijeni raspored slike to vie nije taj broj. Oteano je i razumijevanjeinvarijantnosti broja elemenata u skupu, a brojevne slike ne omoguavaju to shvatanje. Nedostatak je to se pojam broja formira posmatranjem statinih brojevnih slika, a zanemaruje se aktivnost kao to je uenikovo manipulisanje skupovima. 3) Brojevni pristup pojma broja se izgrauje brojanjem i aktivnostima sa brojevima. Polazi se od pretpostavke da veina djece ve zna da broji i da to manje treba uzeti za osnovu. Metodiari ovoga pristupa smatraju, ako dijete ve poznaje pojam broja, da se brojanjem moe formirati pojam svakog prirodnog broja. Treba raunati na to da se broj 1 uzme dovoljan broj puta kao dobrojenik. Brojevna prava je oigledan pristup:

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Ovaj pristup je, zahvaljujui brojevnoj pravoj, matematikog karaktera, ali nije dovoljno za formiranje pravih brojeva. Ovaj pristup je, u sutini, aksiomatski. Zasnovan je na Peonovim (Leonovim???) aksiomama. Glavna obiljeja su: - do pojma broja dolazi se brojanjem; - broj se poistovjeuje sa brojevnom rijei; - oigledna podloga za brojanje je brojevna osa; - broj se ne vezuje za realnost, ne uspostavlja se veza sa skupom. Zbog toga se, ovako formirani pojam, oteano primjenjuje u realnosti i oteano se formiraju odnosi meu brojevima. 4) Skupovni pristup je zasnovan na shvatanju da se pojam broja moe izvoditi radom sa skupovima, odnosno pomouekvivalentnog skupa. Javlja se poetkom XX v. i potie od Fregela (?) i Rasela. Pristalice ovog pristupa smatraju da meusobno ekvivalentni skupovi ine tzv. klasu ekvivalentnih skupova zajedniko svojstvo te klase je izraeno koordinativnim brojem. Tako npr. ako posmatramo skup od 2 elementa i sve mogue skupove koji su njima elementi, i zajedniki im je koordinatni broj 2. Koordinatni broj jedininih skupova je 1, a koordinatni broj praznog skupa je 0. Prednost ovog pristupa je: omoguava da se pojam broja izvede iz objektivne realnosti osnovna ideja mu je da objektivnom broju naemo odgovarajui primjer iz realnosti. Osim toga, ovaj pristup je usklaen sa dijalektikim putem sticanja znanja. ivo opanje se ostvaruje u procesu posmatranja i manipulisanja. Apstraktno miljenje se ostvaruje u procesu odbacivanja nevanih pojmova i prednost je to on uvaava uzrasne razlike uenika i omoguava im da svoje miljenje podkrepljuju operacijama sa konkretnim objektima. Obiljeja ovog pristupa su: - da se broj shvata kao svojstvo konanih skupova; - pojam broja izvodi se iz realnosti i lako se u njoh primjenjuje; - do broja se dolazi polazei od skupova, apstrahujui nevana i generalizujui vana svojstav; - brojevne rijei dobijaju ispravno tumaenje, oznaavaju svojstvo brojevnih skupova; - koriste se razliiti didaktiki materijali, kocke, kuglice, plodovi i sl. 32


__________________________________________________________________________ _ - skupovi se formiraju iz didaktikih materijala; - skupovni pristup obezbjeuje materijalistiko shvatanje pojma broja. 5) Kombinovani pristup metodiari matematike danas smatraju da pojmove prvih brojeva treba formirati skupovnim, a ostale brojevnim pristupom. Skupovnim se stvaraju uporine take za dalje formiranje pojmova. Taj rad ima za cilj da uenicima omogui prelaz iz podruja ulnog u podruje racionalnog saznanja. Neki metodiari smatraju da je dovoljno prvih 5 brojeva uvesti skupovnim pristupom, a ostale brojevnim. Drugi smatraju da prvih 10 brojeva treba uvesti skupovnim pristupom, a neki, i da brojeve do 20 treba tako uvesti. Poznajui nae uenike, prva varijanta je dovoljna (brojevi do 5). Moe se ii i do 10 ako je sastav odjejlenja takav u razvijanju sposobnosti uenika. Do datog broja se koriste razne vjebe u kojima uenike stimuliemo da, prema zadatom broju, jednostavno odvoje odreeni broj predmeta koji kasnije, postepeno smanjujemo, a misaona aktivnost postaje vea.

33


__________________________________________________________________________ _

POETNI BLOKOVI BROJEVA To su neki okviri u kojima nastavnik na datom uzrastu treba da se kree. Kada je rije o uporeivanju poetnih blokova brojeva, metodiari su jedinstveni. Ti blokovi su: blok brojeva do 10, do 20, do 100, do 1000, do 1000 000. Jedino neslaganje nastaje kada je u pitanju prvi blok, do 10. Tako neki metodiari, kao Marojevi, zalau se za podjelu ovog bloka na 2, do 5 i do 10. Drugi opet smatraju da to treba da ostane blok brojeva do 10. Zalaui se za blok brojeva do 5 Marojevi istie da djeca pogledom razlikuju 1 lan, 2 lana i 5 lanova skupa. Oni pogledom razlikuju i one skupove 3+1, 3+2, 4+1 a to je osnova za raunske operacije. U tim prvim koracima akcenat nije na raunskim operacijama ve uvjebavanje pisanja brojeva i formiranja pojma broja. Oni koji se zalau za blok do 10 istiu da je to u skljadu sa matematikom sistematikom i da je on dovoljno irok za poetno upoznavanje sabiranja i oduzimanja, a osnova za uvoenje znakova relacija i uvaava prethodno znanje i aktivnost uenika. 10 je i prirodna cjelina za dekadni brojevni sistem. Blokovi se uvode u sadraje matematike koje obradimo u jednom bloku, po analigiji prenosimo na sledei i samo ih proirujemo. U svakom sledeem bloku primjenjuju se prethodna znanja i dalje proiruju. BLOK BROJEVA DO 5 Prvi kontakt sa uenicima koristimo da steknemo predstavu o tome ta imaju uenici, kroz razgovor sa svakim pojedinano. Obraditi ovaj blok znai: - formirati pojam svakog broja od 1 do 5; - nauiti uenika da broji; - nauiti uenika da pie brojeve; - upoznati znaenje znaka za relaciju vee, manje, jednako; - upoznati operacije sabiranja, oduzimanja i znakova za njih; - osposobiti uenike da reavaju zadatke u okviru ovog bloka; - ovaj pristup obavezuje uitelja da odri 5 asova iz ove oblasti; - mora se potovati opta shema; - formiranje brojeva. 1. Formiranje pojma broja 1 uoavamo skupom koji ima 1 element (uitelj, slika, knjiga i sl.). Traimo od uenika da sami pronau takve primjere. Drugi korak je pokazivanje slika, skupova koji imaju 1 element. Trai se da uenici u govoru stalno potenciraju rije jedan.

- jedna vaza

............1 - sledei korak je kada uz sliku piemo odgovarajui broj

34


__________________________________________________________________________ _ Onda uenici shvataju da brojem 1 oznaavamo apstraktni pojam. Kada je u pitanju broj 2, najbolje je poeti sa primjerima skupova koji su u paru (cipele, rukavice i sl.). Kasnije se prelazi na primjere koji nisu prirodno vezani. Od uenika se trai da sami daju primjere. Mogu se koristiti i drugi didaktiki materijali (tapii, etoni i sl.) Didaktiki materijali omoguavaju vizuelizaciju matematikih objekata koji su, po prirodi, apstraktni. Pored opte sheme za brojeve 3, 4 i 5 treba koristiti odreene brojevne slike: 2+1=3 2+2=4 3+2=5

Ujedno se stvaraju osnove za upoznavanje operacije sabiranja. Uenici potpunije shvataju sutinu brojeva. Opta metodika shema u svim sluajevima je ista, razlika je to se kasnije ne mora navoditi toliki broj primjera. Na isti nain se formiraju i prvih pet pojmova broja u predkolskim ustanivama. 2) Nauiti uenike da broje brojanje po redosledu dolazi onda kada uenici steknu pojam broja. Uenici tako stiu znanja o povezanosti rijei i broja elemenata. Pri prebrojavanju elemenata vano je insistirati da uenici spoznaju koliko ukupno ima elemenata. Prilikom osposobljavanja uenika za brojanje treba se pridravati sledeeg postupka brojanje predmete pomicanjem, to je najlaki nain koji obezbjeuje vizuelnu, tekstualnu i kinestetiku percepciju predmeta. Istraivana je i fizika aktivnost. Isto je i brojanje dodirivanjem, predmeti se ne pomjeraju, treba im dati predmete koji se ne mogu pomijerati da ne bi dolo do sluaja da ponovo pomjere predmet.

35


__________________________________________________________________________ _

RELACIJE BROJEVA DO 5 Uvijek se po nivou razredne nastavepolazi od uporeivanja skupova konkretnih predmeta. To mogu biti razni didaktiki materijali ali se bira ono to je uenicima blisko. Drugi korak je uporeivanje brojevakoji su karakteristini za te skupove. Trei korak je upoznavanje relacijskih znakova >, 3 3

I korak II korak III korak

4

Insistira se da uenici izgovore npr. broj 4 je vei od broja 3

ili 2 3

2< 3

Kada se prevazie faza skupova prelazi se na brojevnu polupravu. Rezultat treba da bude shvatanje injenice da je broj na polupravoj sa lijeve strane uvijek manji od broja sa desne strane. To treba i govorom ovladati: Broj 1 je manji od broja 4 jer je sa lijeve strane na brojevnoj skali.

0

1

2

3

4

5

Relacija jednakosti se uvodi tek poslije relacije jednaka broju 2.

< i >.

Treba insistirati na tome da je rije dva

36


__________________________________________________________________________ _

FORMIRANJE POJMA SABIRANJA PRIRODNIH BROJEVA Uvodi se tek poslije uvoenja relacija. To je prva raunska operacija koja se usvaja. Danas se u veini zemalja istovremeno uvodi pojam sabiranja i oduzimanja ili mnoenja i dijeljenja, tj. suprotne raunske operacije. To daje bolje rezultate kada se radi odvojeno. Postoje dvije etape u uvoenju sabiranja: I Etapa konkretnih operacija II Etapa apstraktnih operacija I Etapa implicira osnovno metodiko pravilo, a to je da do pojma sabiranja u bloku brojeva do 5, moramo doi na taj nain to emo stvarati konkretne situacije koje nam daju povod da operiemo, sabirajui. Kad stvorimo takvu situaciju organizujemo manipulisanje sa skupovima, zatim slijedi zapis a + b i tek na kraju iznalaenje zbira a + b = c. Manipulisanje moe biti dvojako: a) rastavljanje skupova na njegove podskupove; b) imamo dva skupa i vrimo njihovo zdruivanje, tj. uniju. Novija shvatanja pokazuju da je izgleda djelotvorniji prvi postupak. Osnovni cilj je da osposobimo uenike da razumiju odnos izmeu cjeline i djelova te cjeline, tj. skupa i podskupa. Rastavljanje skupova na podskupove radi se zato da se uenici osposobe da kasnije mogu brojeve rastavljati na njihove cjeline. Skup na podskupove moemo rastavljati s obzirom na: a) logike odnos npr skup djevojica, skup jabuka... b) brojevne odnose npr. skup 5 olovaka. Prvi znai rastavljanje razliitih vrsta elemenata, a drugi rastavljanje elemenata iste vrste. Ponekad je korisno da, nakon rastavljanja skupa C obzirom na brojevne odnose > ponovo vrimo zdruivanje elemenata i na taj nain se vraamo na poetni poloaj. U tom smislu uenici shvataju da je 4 = 3 + 1 i obrnutozdruivanje 3 + 1 = 4. Kada je rije o zdruivanju dva skupa karakteristino je da, ako imamo dva disjunktivna skupa, odrede se njihovi koordinatni brojevi, a nepoznata je unija i zbir tih brojeva. Na osnovu toga izvodimo zapis za zbir i uvodimo znak za operaciju. Trei korak se odnosi na objedinjavanje ova 2 disjunktivna skupa i koristi se znak jednakosti. Ovdje je vanije da se do zbira dva broja ne dolazi zapamivanjem, nago zbrajanjem 2 broja.

2 1 3 2 1 37


__________________________________________________________________________ _ 2+1=3 2+1=3

II Etapa smisao sabiranja u apstraktnoj etapi je, u sutini, iznalaenje sledbenika nekom broju, tj. dodavanje po 1, npr. 1 + 1, 2 + 1...i, po pravilu, kod ovog dodavanja, nema velikih problema. Ovdje se tekoe javljaju kada treba dodati 2. Metodiari zaj postupak treba da osmisle da uenici zbir 3 + 2 shvate kao traenje sledbenika, npr. 3 + 2 = (3 + 1) + 1 ili 4 + 2 = (4 + 1) + 1. Ovdje je raunaljka nezaobilazno sredstvo. Ovo je dobar uvod u misaono sabiranje.

POJAM ODUZIMANJA PRIRODNIH BROJEVA Polazi kroz etapu konkretnih i apstraktnih operacija. I etapa data su 2 skupa A i B, pri emu je podskup skupa A i njihov koordinatni broj, nepoznata je njihova razlika A\B i njen koordinatni broj. Tek poto shvate pojam oduzimanja, uvode se pojmovi umanjenik, umanjilac i razlika. Zadaci za oduzimanje mogu se davati u 2 varijante: zadaje skupove i elemente u skupovima i zadaci. II etapa kada uenici shvate pojam oduzimanja onda se to znanje povezuje u cjelinu sa sabiranjem, npr. 5 2 = 3 jer je 2 + 3 = 5. Zadaci pogodni za sabiranje i oduzimanje su brojanje unaprijed i brojanje unazad. Kod oduzimanja treba uvaavati odreenu postupnost u pogledu zahtjeva, npr. 1) Zeiu su date 5 argarepa, pojeo je 3 a ostale su 2; 2) Na igralitu igra 5-oro djece, nekoliko ih je otilo a ostalo je 2. Koliko je djece otilo? 3) Na tacni je 5 jabuka, a na drugoj 1. Koliko je jabuka na dvije tacne, za koliko je vie na prvoj nego na drugoj?

FORMIRANJE BROJA 0 (NULA) Obrauje se na kraju obrade bloka brojeva do 5. Broj 0 se prirodno javlja sa oduzimanjem kao koordinatnim brojem skupa. Vano je da uenici shvate da se 0 uvijek dobije kada se oduzimaju dva jednaka broja.

38


__________________________________________________________________________ _

BLOK BROJEVA DO 10 Karakteristike ovog bloka su: 1. Ovaj blok je karakteristian to se u njemu svi brojevi, osim broja 10 zapisuju jednom cifrom, a broj 10 sa dvije cifre; 2. Brojevi u bloku do 10 imaju elemente ijim kombinovanjem nastaju svi drugi prirodni brojevi. U tom bloku, uenike smo ve uveli u odreene brojeve, npr. 0, 1, 2, 3, 4, 5. Kako formiramo brojeve 6, 7, 8, 9 i 10 moemo na 2 naina: skupovni i brojevni pristup.

FORMIRANJE BROJA 10 Pojam broja 10 treba shvatiti kao sledbenikbroja 9, ali pojam broja 10 treba shvatiti i kao zbir dva broja, npr. 8 + 2 = 10 i 6 + 4 =10. Broj 10 treba shvatiti kao osnovu za formiranjedesetke koja nije nita drugo nego broj, jedinica drugog reda. Sa uvoenjem broja 10 otvaraju se 2 problema: problem razlike izmeu cifre i broja i problem pozicionog struktuisanja i zapisivanja niza prirodnih brojeva. U bloku brojeva do 10 prvo se obrauju: - relacije >, 13.

SABIRANJE DO 20 Ima svoj metodiki redosled: 1) sabiranje broja 10 i nekog jednocifrenog broja (10 + 3); 2) sabiranje dvocifrenog i jednocifrenog broja iji je zbir 20, npr. 13 + 7 = 20; 3) sabiranje jednocifrenog i dvocifrenog bloka, kada je zbir u okviru bloka brojeva do 20; 4) sabiranje sa prelaskom preko desetice. Redosled je bitan i zasnovan na Distevergovim pravilima: od poznatog ka nepoznatom, od jednostavnog ka sloenom. Najpogodiniji didaktiki materijal su tapii:

42


__________________________________________________________________________ _

METODIKI REDOSLED SABIRANJA 1) Kada imamo deseticu i jednocifren broj, npr. 10 + 3 ; prvo zahtijevati da uenici broje koliko su ve prethodno nauili, ne treba biti problema (tapii) 2) Sabiranje dvocifrenog i jednocifrenog broja, npr. 14 + 6, zasniva se na prethodno steenom znanju da je 4 + 6 = 10 i odgovarajuoj oiglednoj podlozi, npr. 14 + 6 = 10 + (4 + 6) = 10 + 10 = 20; 3) Sabiranje dvocifrenog i jednocifrenog broja kada je zbir u okviru do 20 (14 + 3) 14 + 3 = 10 + (4 + 3) = 10 + 7 = 17; 4) Sabiranje sa prelaskom preko desetice: 8 + 5 = ( 8+ 2) + 3 ; 8 + 5 = 3 + (5 + 5) To je veliki broj operacija za uenike ovog uzrasta. Oni moraju: 1) znati dopunjavati brojeve; 3) znati kojiko je ostalo kod broja koji smo uzeli; 3) broju 10 treba dodavati ostale brojeve. Kada je u pitanju sabiranje 2 broja sa prelaskom preko desetice mehanizuje se efikasnom sabiranju sa grupisanjem sabiraka koji su jednaki. Zadaci koji se mogu zadavati - za sabiranje: - zadaci promjene, npr. ako djeak ima 5 kifli, majka mu da jo 5. Koliko ima ukupno kifli? - kombinovani zadaci, npr. ako Marko ima 7, a Bojan 8 olovaka. Koliko olovaka imaju zajedno? - zadaci uporeivanja, npr. Vlado ima 5 sliica, a Dunja 2 puta vie od njega. Koliko sliica ima Dunja? ODUZIMANJE U BLOKU DO 20 Vai isto i kod sabiranja: - polazi se od realne situacije; - polazi se bez didaktikih materijala; - radi se sa imenovanim i neimenovanim brojevima; Kada je u pitanju sadraj u bloku brojeva do 20, onda taj sadraj treba rasporediti na sledee sluajeve: 1) oduzimanje jednocifrenog broja od dvocifrenog, tako da razlika bude 10 (15 5), (16 6)...; 2) oduzimanje jednocifrenog broja od 20 (20 6), (20 3)...; 3) oduzimanje jednocifrenog broja od dvocifrenog u okviru druge desetice (18 5), (13 2)...; 4) oduzimanje sa prelazom preko desetice (15 8), (14 9)... Mentalne sheme za svaki sluaj: 1) 15 5 = 10 + (5 5) = 10 + 0 = 10 2) 20 6 = 10 + (10 6) = 10 + 4 = 14 3) 18 5 = 10 + (8 5) = 10 + 3 = 13 43


__________________________________________________________________________ _ 4) I 15 8 = 7 + (8 8) = 7 + 0 = 7 II 15 8 = (15 5) (8 5) = 10 3 = 7 III 15 8 = (15 + 5) (8 + 5) = 20 13 = 7 Potrebno je to vie tekstualnih zadataka jer ima vie praktinih problema. BLOK BROJEVA DO 100 Uenici teba da shvate sledee: 1) deseticu kao brojevnu jedinicu drugog reda; 2) sutinu dekadnog sistema; 3) da potpuno ovladaju terminom usmenog sabiranja i oduzimanja do 100, primjenjujui najcjelishodnije raunske postupke i sluei se tablicom sabiranja i oduzimanja; 4) da potpuno savladaju tablicu mnoenja i dijeljenja; 5) da se upoznaju sa postupcima mnoenja i dijeljenja koji nisu obuhvaeni tablicama. U bloku brojeva do 100 imamo sline ciljeve kao i kod ostalih blokova i sline metodike postupke. Razlika je u tome to se oiglednost koristi sve manje. Kada je rije o formiranju pojmova do 100, prisutan je brojevni pristup i za neke od brojeva se rijetko moe koristiti brojevna prava. Ako se koristi didaktiki materijal, uenici broje tapie do 10, vezuju ih u skupove i onda broje desetice. Brojevi iz bloka do 100 sastoje se iz 2 dijela: jedan dio je desetica, drugi jedinica npr. 24 (dvadesetetiri), 36 ( tridesetest). Veliku panju treba posvetiti analizi broja. Uenici treba da shvate da npr. broj 84 ima 8 desetica i 4 jedinice, ali i da istovremeno znaju da se 5 desetica i 8 jedinica zapisuje kao 58. SABIRANJE I ODUZIMANJE DO 100 Ove dvije operacije do 100 vre se po sledeem redosledu: 1) sabiranje i oduzimanje desetica (4 + 3 = 7 => 40 + 30 = 70; 80 + 20 = 100, 8 + 2 =10) 2) sabiranje i oduzimanje dvocifrenog i jednocifrenog broja sa i bez prelaza 10; 20 + 7 = 27 3) sabiranje i oduzimanje dvocifrenog broja 36 + 3 = 30 + (6 + 3) = 30 + 9 = 39 Kod sabiranja bez prelazapreko desetice su 3 sluaja: 1) 20 + 7 = 27 2) 36 + 3 = 30 + (6 + 3) = 30 + 9 = 39 3) 28 + 2 = 20 + (8 + 2) = 20 + 10 = 30 Kod oduzimanja su 2 sluaja: 1) bez prelaza preko desetice: 28 8 = 20 + ( 8 8) = 20 + 0 = 20 67 3 = 60 + (7 3) = 60 + 4 = 64 44


__________________________________________________________________________ _ 2) sa prelazom preko desetice: 74 7 = 74 (4 + 3) = (74 4) 3 = 70 3 = 67

Trei sluaj kod sabiranja. 1) bez prelaza preko desetice: 30 + 27 = 30 + 20 + 7 = 50 + 7 = 57 46 + 32 = 40 + 6 + 32 = 40 + 38 = 40 + 30 + 8 = 70 + 8 = 78 47 + 23 = 40 + 7 + 23 = 40 + 30 = 70 40 + 7 + 20 + 3 = 60 + 10 = 70 2) sa prelazom preko desetice: 45 + 38 = 40 + 5 + 38 = 40 + 43 = 83 Oduzimanje: 1) bez prelaza desetice: 48 20 = 40 + 8 20 = (40 20) + 8 = 20 + 8 = 28 89 32 = (80 30) + (9 2) = 50 + 7 = 57 60 23 = 60 (20 + 3) = (60 20) + 3 = 47 3) sa prelazom: 63 35 = 63 (30 + 5) = 63 30 5 = 28

MNOENJE I DIJELJENJE Uenici se sa mnoenjem i dijeljenjem susreu u 3. razredu. Mnoenje i dijeljenje posmatramo sa sledeeg aspekta: 1) formiranje pojmova mnoenja i dijeljenja; 2) upoznavanje sa tablicom mnoenja i dijeljenja; 3) dijeljenje sa ostatkom. POJAM MNOENJA Prirodne brojeve obraujemo u 2 faze: I etapa konkretnih operacija II etapa apstraktnih operacije I etapa - karakterie je to da se pojam mnoenja izvodi izvodi iz realnosti, u 3 koraka:

1. polazimo od situacije koja daje povod mnoenju ali te situacije moemo opisati kao disjunktivne unije jednako broju skupova; npr. na 2 ruke imamo po 5 prstiju; na 3 bicikla ima po 2 toka; na 2 kola ima po 4 toka. 45


__________________________________________________________________________ _ 2. kao reakcija na unaprijed navedene primjere u 1. koraku formira izraz a x b; npr. 2 x 5 a) na 3 bicikla po 2 toka 3x2 b) na 3 auta po 4 toka 3x4

3. izraunavanje vrijednosti izraza a i b na sledee naine: - prebrojavanjem (2 x 5 = 10); - pomou sabiranja, tj. zdruivanja; - korienjem tablice mnoenja. Zdruivanje se mora govorno pratiti. Savremenu nastavu matematike karakterie uvoenje pojma mnoenja na osnovu Dekartovog proizvoda skupova A = {1, 2, 3}; B = {4, 5} A x B = { (1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5) } Dekartov skup je skup ureenih parova. Moe se grafiki predstaviti i formulisati pomou tablica. II etapa poinje tek nakon formiranja pojma mnoenja, tj. poinje u trenutku kada se teite aktivnog rada sa uenicima prenosi na broj, tj. misaono podruje, kada se odvojio od realne podloge. Potom se uvode sledei pojmovi: prvi inilac, drugi inilac i proizvod. Pojam mnoenja uvodimo da bi se mogli reavati zadaci, i to 3 tipa: 1. na x mjesta po y elemenata; 2. zadaci tipa poreenja; 3. zadaci tipa direktnog (Dekartovog) proizvoda. Najjednostavniji je prvi tip.

46


__________________________________________________________________________ _

KOMUTATIVNOST MNOENJA

a) u 2 reda po 4 elementa; b) u 4 reda po 2 elementa - Asocijativno svojstvo mnoenja

- Zakon distributivnosti je prvi zakon koji uspostavlja vezu izmeu 2 raunske operacije, sabiranja i mnoenja. Npr. brojevna slika 3 x (4 + 2) = 3 x 4 + 3 x 2

Osim distributivnih zakona sabiranja i mnoenja uvodi se i distributivni zakon odnosa mnoenja i oduzimanjad d d d d d d d d d d d

3 x (6 2) = 3 x 6 3 x 2

47


__________________________________________________________________________ _

DIJELJENJE Pojam dijeljenja se izvodi iz realnosti. Prolazi kroz 2 etape: I Etapa konkretnih operacija II Etapa apstraktnih operacija I etapa sastoji se iz 3 koraka: 1) Svodi se na uoavanje sheme koja ini skup iju vrijednost znamo npr. X, ali taj skup vidimo razvijenog na Y jednakobrojnih skupova. Kada rastavljamo skup na jednake brojevne podskupove imamo 2 mogunosti: 1. moe se traiti broj tih podskupova; 2. moe se traiti broj elemenata tih podskupova . Korisno je rastavljeni skup predstaviti grafikim putem, Ono je uvijek identino, tj. uvijek se razlikuje po vizuelnoj strukturi. 2) Rastavljanje na navedene situacije izvedene iz realnosti, zapisom x : y, npr. 10 prstiju na 2 ruke 10 : 2; 15 klupa na 3 uenika 15 : 3 3) Odreivanje vrijednosti x : y = z npr. 15 : 3 = 5; 10 : 2 = 5 Vrijednost x : y se moe odrediti: - prebrojavanjem i putem veze mnoenja i dijeljenja. II etapa nastaje kada se dobro usvoji pojam dijeljenja i pree se na misaono podruje. Prelaz sa I na II etapu, u sutini, ide postepeno. Ne prelazi se odmah na brojeve. Na kraju uvidimo pojam dijeljenja, djelilac i kolinik i prelazimo na reavanje zadataka koji su istog tipa kao i kod mnoenja samo to je ovdje dijeljenje u pitanju.

48


__________________________________________________________________________ _

TABLICA MNOENJA I DIJELJENJA Metodiari razlikuju 2 oblika mnoenja i dijeljenja : - tabliko i - vantabliko Tabliko mnoenje podrazumijeva mnoenje jednocifrenog broja i opet jednocifrenog i mnoenje jednocifrenog broja brojem 10. Tabliko dijeljenje podrazumijeva dijeljenje jednocifrenog ili dvocifrenog broja jednocifrenim, tako da kolinik bude jednocifreni broj. Svi ostali sluajevi mnoenja i dijeljenja su vantabliki. Tabliko mnoenje i dijeljenje je osnova cjelokupne raunske nastave. Zabiljeeno je da je Pitagora u IV v.p.n.e. nainio jednu takvu tablicu. Razliiti su pristupi usvajanja mnoenja i dijeljenja. U prolosti se tablica mnoenja i dijeljenja uila napamet, tj. mehaniki. Savremena matematika zahtijeva da uenici trajno usvoje tablicu mnoenja i dijeljenja, ali svjesno. Da bi se tablica mnoenja i dijeljenja usvojila, navike moraju da se sprovedu. Postoje 3 etape: 1. Uenik stvara tablicu mnoenja; 2. Uenik ui tablicu mnoenja; 3. Uenik mehanizuje tablicu mnoenja. 1. postupak pravilno uveden pojam mnoenja i dijeljenja. Kada uenik stvara tablicu polazi se od realnih i jednostavnih primjera. Vrlo vano pitanje, kada je rije o stvaranju tablice, je kojim redom stvarati tablicu ( od 1 do 10 ili ne). Jedna od varijanti sastoji se u udvostruavanju brojeva: - prvo se obrazuje tablica mnoenja, brojevi 2, 4, 8; - drugi nivo su brojevi 5 i 10; - trei nivo su brojevi 3, 6 i 9; - etvrti nivo je broj 7. Ima metodiara koji smatraju da treba potovati tablicu mnoenja ovim redom: 1) broj 10 i 5 (kao najlaki sluajevi); 2) brojevi 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9 3) Danas se smatra da se tablica mnoenja i dijeljenja kod nas usvaja sledeim redosledom: 2, 10, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9. Nema brojeva 0 i 1 jer autori smatraju da mnoenje tih brojeva predstavlja lakou. a x 0 = 0; 3 x 0 = 0; 0 : a = a; a 0 a x 1 = a; 3 x 1 = 3; a : 1 = a; 3:1=3 Tablica mnoenja se moe sastaviti na 2 naina: 49


__________________________________________________________________________ _ 1. Stalan je prvi inilac, npr. 3 x 2; 3 x 3; 3 x 4... Koristi se najee kod sastavljanja tablice 2. Stalan je drugi inilac, npr. 2 x 3; 3 x 3; 4 x 3... Koristi se najee kod utvrivanja i ponavljanja. 2. postupak uenik treba da naui tablicu koju je sastavio, redom ili preko reda. - redom 2 x 6 = 12; 3 x 6 = 18; 4 x 6 = 24... - preko reda 6 x 6 = 36; 8 x 6 = 48... 3. postupak mehanizovanje tablice je mulotrpan posao i teak, mora biti dinamian i raznovran, a to znai da moemo usmeno kratko ponavljati tablicu redom i preko reda, moemo pismeno i pomou testova, pomou tekstualnih zadataka, usmeno reavati zadatke...

VANTABLIKO MNOENJE I DIJELJENJE U bloku brojeva do 100 razlikujemo 2 sluaja vantablikog mnoenja: 1) mnoenje bez prelaza preko desetice, npr. 30 x 2 = 60; 20 x 2 = 40... 2) mnoenje koje prelazi preko desetice, npr. 28 x 3 = 84; 23 x 2 = 46... Ne smije se dozvoliti odmah prelaz na pismeno mnoenje . Kada je rije o vantablikom dijeljenju, razlikujemo sledee sluajeve: 1) dijeljenje dvocifrenog broja jednocifrenim, i to: - bez rastavljanja desetica 40 : 2 = 20; 69 : 3 = 23 - sa rastavljanjem desetica 50 : 2 = 25; 76 : 2 = 38 2) dijeljenje dvocifrenog broja dvocifrenim i imamo 2 sluaja: - bez rastavljanja desetica 80 : 20; 55 : 11; - sa rastavljanjem desetica 60 : 15; 56 : 14... 69 : 3 = (60 + 9) : 3 = 60 : 3 + 9 : 3 = 20 + 3 = 23 80 : 2 = (70 + 10) : 2 = 70 : 2 + 10 : 2 = 35 + 5 =40 76 : 2 = ( 60 + 16) : 2 = 60 : 2 + 16 : 2 = 30 + 8 = 38 88 : 22...

DIJELJENJE SA OSTATKOM To je, u sutini, zavrna faza izuavanja dijeljenja u bloku brojeva do 100, npr. 15 : 2 = 7 (ostatak 1); 11 : 3 = 3 (ostatak 2) 25 : 4 = 6 ( ostatak 1); 59 : 7 = 8 (ostatak 3); 59 = 7 x 8 + 3

50


__________________________________________________________________________ _

DIDAKTIKI PRINCIPI U NASTAVI MATEMATIKE PRINCIP NAUNOSTI PRINCIP VASPITNOSTI (iz didaktike) PRINCIP SVJESNE AKTIVNOSTI (iz didaktike) PRINNCIP ODMJERENOSTI I INDIVIDUALNOSTI PRINCIP SISTEMATINOSTI I POSTUPNOSTI PRINCIP OIGLEDNOSTI PRINCIP OIGLEDNOSTI Specifinost u oiglednosti u matematici obrazovanja je da su matematiki objekti apstraktni, koji nemaju konkretnu interpretaciju u praksi. Mnogi smatraju da je to razlog to uenici teko shvataju pojedine matematike pojmove. Kada je u pitanju ovaj princip u nastavi matematike svodi de na sledee: 1. uenici ne identifikuju model i pojam; 2. moramo imati u vidu da oiglednost u nastavi matematikeima ogranienu ulogu; Matematika operie apstraktnim objektima i cilj je da ih uenici shvate i njima operiu. Na njih se u nastavi matematike oslanjamo dotle dok uenici ne formiraju pojam, a kad ga formiraju prestaje oiglednost. Znaaj oiglednosti u matematici obrazovanja u sutini proizilazi iz naina saznanja. Nema nita u naem razumu to prije toga nije bilo u ulima (senzualistika teorija). Oiglednost se posebno primjenjuje u procesu formiranja pojmova. Pojam se formira na 2 naina: 1. ulni nivo 2. Logiki nivo Oiglednost u matematici moemo podijeliti na: prirodnu vjetaku i simboliku Drugi nain je da uitelj doe sa unaprijed pripremljenim materijalom, radi sa uenicima a oni uviaju. Greke u nastavi: - uitelj pokae pravu, ovdje se poistovjeuju pojam i model, to je greka; - pokae se model kocke, otvori krake na estaru i kae: Ovo je ugao

Documents

Metodika matematickog obrazovanja