UNIVERSIDAD AUTNOMA DE SINALOA. FACULTAD DE INGENIERA. INGENIERA
EN PROCESOS INDUSTRIALES.
METODO DE LA FALSA POSICION.
ALVAREZ VALENZUELA ADRIANA. BUENO RIVERA RAYMUNDO. GALVEZ QUIROZ
MAGALI. VAZQUEZ FELIX CARLOS HERNAN. GRUPO 2.1 LABORATORIO DE
METODOS NUMERICOS.
TITULAR SIMON RENE AVILA LOPEZ.Culiacn Rosales, Sin., Mex., a 13
de febrero de 2012.
INFORMACION RECOPILADA 4.6 Mtodo de la falsa posicin El mtodo de
la falsa posicin pretende conjugar la seguridad del mtodo de la
biseccin con la rapidez del mtodo de la secante. Este mtodo, como
en el mtodo de la biseccin, parte de dos puntos que rodean a la
razf(x) = 0, es decir, dos puntos x0 y x1tales que f(x0)f(x1) <
0. La siguiente aproximacin, x2, se calcula como la interseccin con
el eje X de la recta que une ambos puntos (empleando la ecuacin
(35) del mtodo de la secante). La asignacin del nuevo intervalo de
bsqueda se realiza como en el mtodo de la biseccin: entre ambos
intervalos, [x0,x2] y [x2,x1], se toma aquel que cumpla f(x)f(x2)
< 0. En la figura (9) se representa geomtricamente este
mtodo.
Figure: Representacin geomtrica del mtodo de la falsa
posicin.
El hecho de que se reemplace la curva por una lnea recta de una
"falsa posicin" de la raz; de aqu el nombre de mtodo de la falsa
posicin, o en latn, regula falsi. Tambin se le conoce como mtodo de
interpolacin lineal.
Frmula Usando tringulos semejantes, la interseccin de la lnea
recta con el eje de las x se estima mediante:
Multiplicando en cruz la ecuacin anterior obtenemos:
Agrupando trminos y reordenando:
Dividiendo entre
Esta es una de las formas del mtodo de la falsa posicin. Esta
puede ponerse en una forma alternativa al separa los trminos:
sumando y restando xu en el lado derecho:
Agrupando trminos se obtiene:
o:
Esta es la frmula de la falsa posicin. El valor de xr calculado
con la ecuacin reemplazar, despus, a cualquiera de los dos valores
iniciales, xl o xu, y da un valor de la funcin con el mismo signo
de f(xr). De esta manera, los valores xl y xu siempre encierran la
verdadera raz. El proceso se repite hasta que la aproximacin a la
raz sea adecuada. Algoritmo Paso 1: Elija valores iniciales
inferior, xi, y superior xu, que encierran la raz, de forma tal que
la funcin cambie de signo en el intervalo. Esto se verifica
comprobando que f(xl) f(xu) 0, entonces la raz se encuentra dentro
del subintervalo superior o derecho. Por lo tanto, haga xl = xr y
vuelva al paso 2. c) Si f(xl)f(xr) = 0, la raz es igual a xr;
termina el clculo.
Pseudocdigo FUNCTION FalsaPos(xl, xu, es, imax, xr, iter, ea)
iter=0 fl=f(xl) DO xrold=xr xr=xu-((f(xu)*(xl-xu))/(f(xl)-f(xu)))
fr=f(xr) iter=iter+1 IF xr!=0 THEN ea=ABS((xr-xold)/xr)*100 END IF
test=fl*fr IF test0 THEN xl=xr fl=fr ELSE ea=0 END IF IF ea= imax
EXIT END DO FlasaPos=xr END FalsaPos
EJEMPLO: Ejemplo 1 Usar el mtodo de la regla falsa para
aproximar la raz de , comenzando en el intervalo y hasta que .
Solucin. As pues, ya sabemos que es contnua en el intervalo dado y
que toma signos opuestos en los extremos de dicho intervalo. Por lo
tanto podemos aplicar el mtodo de la regla falsa. Calculamos la
primera aproximacin:
Puesto que solamente tenemos una aproximacin, debemos seguir con
el proceso. As pues, evaluamos Y hacemos nuestra tabla de
signos:
De donde vemos que la raz se encuentra en el intervalo Con este
nuevo intervalo, calculamos la nueva aproximacin:
.
En este momento, podemos calcular el primer error
aproximado:
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso.
Evaluamos de signos: , y hacemos la tabla
De donde vemos que la raz se encuentra en el intervalo con el
cual, podemos calcular la nueva aproximacin:
,
Y el error aproximado:
Como se ha cumplido el objetivo, conclumos que la aproximacin
buscada es:
