Metodo Di Mononobe e Okabe

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Corso di Fondamenti di Geotecnica Prof. Ing. M.Grisolia

Esercitazione n°8 – Opere di sostegno

Esercitazione N°8 – Opere di sostegno Esercizio 8.1 – Verifica di stabilità di un muro di sostegno in zona sismica

Effettuare le verifiche di stabilità del muro di sostegno (verifica allo scorrimento, verifica al ribaltamento e

verifica di stabilità della fondazione) riportato in figura secondo le indicazioni prescritte dalla Normativa

Vigente (DM08). Il terreno sulla soletta di fondazione è da intendere come un carico permanente, mentre il

sovraccarico Δq pari a 20 kPa è un carico accidentale.

Dall’analisi di pericolosità sismica, il valore di accelerazione orizzontale massima attesa su sito di

riferimento rigido è pari a ag = 0.155 g (SLC).

Ipotizzando i seguenti dati sulla costruzione:

- Classe d'uso: 2

- Vita Nominale: 50 anni

- Coefficiente d'uso: 1.0

- Vita di riferimento: 50 anni

- Probabilità di superamento nella vita di riferimento: 0.050 (SLC) Periodo di ritorno: 974.7

(anni);

e assumendo un coefficiente di amplificazione stratigrafica SS = 1.15, topografica ST=1.0, un valore di βm

pari ad 1.0, e non considerando l’azione dovuta al sovraccarico accidentale in condizioni sismiche,

effettuare la verifica sismica agli stati limite di collasso (SLC) secondo le indicazioni del nuovo Testo Unico

DM08.

Figura 1- Schema geometrico e profilo geotecnico del sito

*δ : nel caso di fondazione in calcestruzzo gettata direttamente sulla terra, l'angolo di attrito fondazione -

terreno è pari a δ = 2/3 φ’

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Verifica della capacità portante con il Testo Unico DM08

Verifiche nei confronti degli stati limite ultimi (SLU)

Le verifiche eseguite mediante analisi di interazione terreno-struttura o con metodi semplificati devono

sempre rispettare le condizioni di equilibrio e congruenza e la compatibilità con i criteri di resistenza del

terreno. E’ necessario inoltre portare in conto la dipendenza della spinta dei terreni dallo spostamento

dell’opera. Nelle verifiche di sicurezza devono essere presi in considerazione tutti i meccanismi di stato

limite ultimo, sia a breve sia a lungo termine.

Gli stati limite ultimi delle opere di sostegno si riferiscono allo sviluppo di meccanismi di collasso

determinati dalla mobilitazione della resistenza del terreno, e al raggiungimento della resistenza degli

elementi strutturali che compongono le opere stesse.

Per ogni stato limite ultimo deve essere rispettata la condizione

Rd ≥ Ed

dove Ed è il valore di progetto dell’azione o dell’effetto dell’azione

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= d

M

kkFd aXFEE ;;

γγ

e Rd è il valore di progetto della resistenza del sistema geotecnico:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= d

M

kkF

Rd aXFRR ;;1

γγ

γ

Gli effetti delle azioni e la resistenza Ed sono espressi in funzione delle azioni di progetto γFFk , dei parametri

geotecnici di progetto Xk / γM e della geometria di progetto ad . Nella formulazione della resistenza Rd,

compare esplicitamente un coefficiente γR che opera direttamente sulla resistenza del sistema.

La verifica della condizione Rd ≥ Ed deve essere effettuata impiegando diverse combinazioni di gruppi di

coefficienti parziali, rispettivamente definiti per le azioni (A1 e A2), per i parametri geotecnici (M1 e M2) e

per le resistenze (R1, R2 e R3).

Opere di sostegno: muri

Per le opere di sostegno devono essere effettuate le verifiche con riferimento almeno ai seguenti stati limite:

SLU di tipo geotecnico (GEO) e di equilibrio di corpo rigido (EQU)

- stabilità globale del complesso opera di sostegno-terreno;

- scorrimento sul piano di posa;

- collasso per carico limite dell’insieme fondazione-terreno;

- ribaltamento;

La verifica di stabilità globale del complesso opera di sostegno-terreno deve essere effettuata secondo

l’Approccio 1:

- Combinazione 2: (A2+M2+R2)

tenendo conto dei coefficienti parziali riportati nelle Tabelle 1 e 2 per le azioni e i parametri geotecnici.

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Tabella 1 (1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es. i carichi permanenti portati) siano

compiutamente definiti, si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti.

Tabella 2

Le rimanenti verifiche (scorrimento, ribaltamento e capacità portante) devono essere effettuate secondo

almeno uno dei seguenti approcci:

Approccio 1:



Approccio 2:

- Combinazione 1: (A1+M 1 +R3)

Nell’approccio 1 devono essere verificate due combinazioni di carico, la prima (A1+M1+R1) in cui si

applicano coefficienti di amplificazione alle sole azioni (permanenti o variabili, strutturali o geotecniche) e la

seconda (A2+M2+R2) in cui si applicano coefficienti di amplificazione alle azioni strutturali variabili e

coefficienti di riduzione ai parametri che esprimono le proprietà meccaniche del terreno.

L’approccio 3 prevede una sola combinazione di carico (A1+M1+R3), in cui sono amplificate le azioni e

imposto un coefficiente di sicurezza globale γR maggiore.

Nell’ambito di ciascun approccio si calcolano in questo modo l’azione di progetto Ed e la resistenza di

progetto Rd, che sono già affette dai coefficienti di sicurezza parziali, per cui la verifica impone

semplicemente che sia soddisfatta la disuguaglianza Rd ≥ Ed.

Coefficienti parziali relativi alle azioni per verifiche DM08 γf

EQU A1

STR A2

GEO Permanente favorevole 0.9 1.0 1.0

Permanente sfavorevole γG

1.1 1.3 1.0 Permanenti portati favorevoli 0.0 0.0 0.0 Permanenti portati sfavorevoli

γG2 1.5 1.5 1.3 Variabile favorevole 0.0 0.0 0.0 Variabile sfavorevole

γQ 1.5 1.5 1.3

Coefficienti parziali per i parametri del terreno γm

M1 M2 tan(ϕ'k) 1,0 1,25

c'k 1,0 1,25 Granulare γ 1,0 1,0

cuk 1,0 1,4 Coesivo

γ 1,0 1,0

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Il valore di progetto delle azioni Ed nei due approcci è calcolata considerando i seguenti coefficienti

parziali γf (Tabella 1):

Ed = γG ⋅G + γQ ⋅ Q

I coefficienti parziali interessano i carichi permanenti (strutturali), i carichi permanenti portati (non

strutturali, terreno e acqua, per i quali, se compiutamente definiti e non variabili nel tempo, si possono

adottare i medesimi coefficienti dei carichi permanenti strutturali), e i carichi variabili, definiti favorevoli e

sfavorevoli ai fini della verifica di stabilità da eseguire.

Per il calcolo della resistenza di progetto Rd i corrispondenti valori di progetto delle proprietà del terreno Xd

devono essere ricavati dai "valori caratteristici Xk" mediante la:

Xd = Xk /γm

dove γm è il coefficiente parziale (Tabella 2).

I coefficienti parziali γR che operano direttamente sulla resistenza del sistema sono definiti in Tabella 3.

Tabella 3

Lo stato limite di ribaltamento non prevede la mobilitazione della resistenza del terreno di fondazione e deve

essere trattato come uno stato limite di equilibrio come corpo rigido (EQU), utilizzando i coefficienti parziali

sulle azioni della tabella 1 e adoperando coefficienti parziali del gruppo (M2) per il calcolo delle spinte.

In generale, le ipotesi di calcolo delle spinte devono essere giustificate sulla base dei prevedibili spostamenti relativi

manufatto-terreno, ovvero determinate con un’analisi dell’interazione terrenostruttura. Le spinte devono tenere conto

del sovraccarico e dell’inclinazione del piano campagna, dell’inclinazione del paramento rispetto alla verticale, delle

pressioni interstiziali e degli effetti della filtrazione nel terreno. Nel calcolo della spinta si può tenere conto dell’attrito

che si sviluppa fra parete e terreno. I valori assunti per il relativo coefficiente di attrito devono essere giustificati in base

alla natura dei materiali a contatto e all’effettivo grado di mobilitazione.

Ai fini della verifica alla traslazione sul piano di posa di muri di sostegno con fondazioni superficiali, non si deve in

generale considerare il contributo della resistenza passiva del terreno antistante il muro. In casi particolari, da

giustificare con considerazioni relative alle caratteristiche meccaniche dei terreni e alle modalità costruttive, la presa in

conto di un’aliquota (comunque non superiore al 50%) di tale resistenza è subordinata all’assunzione di effettiva

permanenza di tale contributo, nonché alla verifica che gli spostamenti necessari alla mobilitazione di tale aliquota siano

compatibili con le prestazioni attese dell’opera.

Coefficienti parziali relativi alle azioni per verifiche DM08 Verifica R1 R2 R3

Capacità portante della fondazione γR = 1,0 γR = 1,0 γR = 1,4 Scorrimento γR = 1,0 γR = 1,0 γR = 1,1

Resistenza terreno a valle γR = 1,0 γR = 1,0 γR = 1,4

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Traccia della soluzione

Si consideri il muro di sostegno di lunghezza infinita (L>>B) Per lo studio e le verifiche si può quindi fare

riferimento ad un tratto di lunghezza unitaria cosi come illustrato in figura 2:

Figura 2 – Schema geometrico per il calcolo delle spinte per metro di lunghezza del muro

Il Testo unitario DM08 prevede per i muri di sostegno l’esecuzione di quattro verifiche di stabilità relativi ai

possibili stati limite:

- stabilità globale del complesso opera di sostegno-terreno;

- scorrimento sul piano di posa;

- collasso per carico limite dell’insieme fondazione-terreno;

- ribaltamento;

In questa esercitazione la verifica di stabilità globale del complesso opera di sostegno-terreno non dovrà

essere effettuata.

Verifica allo scorrimento e della capacità portante

Il Testo unitario DM08 richiede di verificare lo scorrimento e la capacità portante del sistema terreno-

fondazione utilizzando una dei due approcci che prevedono le seguenti combinazioni di carico:

Approccio 1

Combinazione 1: A1+M1+R1


Approccio 2

Combinazione: A1+M1+R3

Nella prima dell’approccio 1 (A1+M1) si applicano coefficienti di amplificazione alle sole azioni

(permanenti o variabili, strutturali o geotecniche) lasciando invariati i valori dei parametri caratteristici

geotecnici; nella seconda (A2+M2) si applicano coefficienti di amplificazione alle azioni strutturali variabili

e coefficienti di riduzione ai parametri che esprimono le proprietà meccaniche del terreno;

Nell’approccio 2 si applicano coefficienti di amplificazione alle sole azioni (permanenti o variabili,

strutturali o geotecniche) lasciando invariati i valori dei parametri caratteristici geotecnici.

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a) Verifica allo scorrimento

Nella verifica allo scorrimento le azioni sono le forze agenti parallelamente al piano di posa della

fondazione, mentre le resistenze sono rappresentate dalla risultante delle tensioni tangenziali limite sullo

stesso piano.

Nel caso di un muro a mensola, l’azione è data dalla componente orizzontale della spinta del terreno Ph .

Questa si ottiene integrando su tutta l'altezza del muro la tensione orizzontale σ’h (con σ’h = ka · σ’v) e

moltiplicando per il cosδ; per il calcolo della tensione verticale σ’v si tenga conto anche del contributo del

terreno e del contributo del sovraccarico Δq, ossia σ’v = γ’·z + Δq.

Per il calcolo del coefficiente di spinta attiva della terra ka, si può fare riferimento alla soluzione della teoria

di Coulomb (1773), con le convenzioni di cui alla figura 3;

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

2

2

2

''1

'

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−−+

+−⋅

+=

βαδαβϕδϕδαα

ϕα

sensensensensensen

senka

Figura 3 - Convenzione sugli angoli

Come e possibile osservare in figura 3, il diagramma della spinta del terreno ha un andamento triangolare,

per cui la spinta St sara applicata nel baricentro del triangolo (ad 1/3H dalla base); analogamente, il

diagramma della spinta dovuta al sovraccarico Δq ha un andamento rettangolare, per cui, per il calcolo del

momento, la spinta Sq sara applicata nel baricentro del rettangolo (ad 1/2H dalla base).

Figura 3 - Diagramma di spinta del terreno sull'opera

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Il coefficiente di spinta attiva ka dipende da vari parametri tra cui anche l’angolo di resistenza al taglio ϕ’ e

l’angolo di attrito fondazione-terreno δ, che è pari a δ = 2/3 φ’.

Dunque nelle verifiche bisogna tener conto del valore di ka di calcolo, che sarà diverso a seconda della

combinazione M1 o M2 adottata.

Le resistenze sono date dal prodotto:

( ) δtgWWP tmv ⋅++

dove:

W = peso del muro Wm + peso del terreno Wt sovrastante la soletta di fondazione (a vantaggio della

sicurezza non si considera il contributo del carico verticale accidentale sulla soletta interna);

Pv = componente verticale della spinta del terreno (che può anche essere trascurata);

Il peso del terreno sulla soletta di fondazione può essere ragionevolmente considerato alla stessa maniera del

peso del muro come una azione permanente favorevole strutturale.

Una volta calcolata la resistenza di progetto Rd utilizzando il parametri geotecnici ottenuti nelle varie

combinazioni (M1, M2), a questa si applica un coefficiente parziale γR che opera direttamente sulla resistenza

del sistema definito in Tabella 3, in funzione del tipo di verifica e della combinazione (R1, R2 o R3).

b) Verifica della capacità portante

Nel caso della verifica della capacità portante del sistema terreno-muro di sostegno, il Testo unitario DM08

richiede di verificare la capacità portante del sistema terreno-fondazione utilizzando almeno uno dei due

approcci (1 e 2).

Nell’ambito di ciascun approccio si calcolano in questo modo l’azione di progetto Ed e la resistenza di

progetto Rd, che sono già affette dai coefficienti di sicurezza parziali, per cui la verifica impone

semplicemente che sia soddisfatta la disuguaglianza Rd ≥ Ed.

Il valore di progetto delle azioni Ed nei due approcci è calcolata considerando i seguenti coefficienti

parziali γf (Tabella 1):

Ed = γG ⋅G + γQ ⋅ Q

In questo caso, i coefficienti parziali interessano il peso del muro e il peso del terreno sovrastante la soletta di

fondazione, entrambi da considerare come una azione permanente sfavorevole strutturale.

Una volta calcolata la resistenza di progetto Rd con la formula di Brinch Hansen utilizzando il parametri

geotecnici ottenuti nelle varie combinazioni (M1, M2), a questa si applica un coefficiente parziale γR che

opera direttamente sulla resistenza del sistema definito in Tabella 3, in funzione del tipo di verifica e

naturalmente della combinazione (R1, R2 o R3).

La verifica impone semplicemente che sia soddisfatta la disuguaglianza Rd ≥ Ed.

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Calcolo della capacità portante

Per il calcolo della qlim, si faccia riferimento alla formula di Brinch-Hansen (1970):

qlim =c 'N c s c d c i c b c g c +qN q s q d q i q bqg q +1/2γBN γ s γ i γ b γ g γ

dove:

Nc , Nq , Nγ = fattori di capacità portante dipendenti dall'angolo di attrito ϕ';

sc , sq , sγ = fattori di forma della fondazione;

ic , iq , iγ = fattori correttivi che tengono conto dell'inclinazione del carico;

bc , bq , bγ = fattori correttivi che tengono conto dell'inclinazione della base della fondazione;

gc , gq , gγ = fattori correttivi che tengono conto dell'inclinazione del piano campagna;

dc , dq = fattori correttivi che dipendono dalla profondità del piano di posa.

In essa si dovrà tener conto dell'eccentricità "e" della risultante dei carichi; per far ciò valore della larghezza

B da introdurre nell'equazione di Brinch – Hansen è quello corrispondente all'area effettiva equivalente

(Meyerhof, 1953), ossia alla minima superficie ridotta rispetto alla quale la risultante risulta centrata.

Nel caso di fondazioni quadrate o rettangolari, il valore da assumere (in tutte le formule) per la base della

fondazione e dato da B* = B-2eb, dove B è il valore della dimensione della fondazione reale ed eb =M/N

costituisce l'eccentricità.

In essa:

- M = risultante dei momenti, calcolati rispetto all'asse della fondazione (punto C di figura 1), di tulle

le forze agenti (peso del muro, peso del terreno sovrastante la soletta di fondazione, carico verticale

accidentale sulla soletta interna, spinta orizzontale del terreno, spinta orizzontale dovuta al

contributo del sovraccarico Δq);

- N = risultante dei carichi verticali (peso del terreno + peso del terreno sovrastante la fondazione +

sovraccarico accidentale sulla soletta).

Si ricorda che, a seconda dell’approccio scelto, le varie combinazioni A1-M1 e A2-M2 prevedono valori

delle azioni di progetto di calcolo diversi, per cui si otterranno diversi valori dell’eccentricità eb di calcolo:

(1) eb (A1-M1) =M(A1-M1) / N(A1-M1)

(2) eb (A2-M2) =M(A2-M2) / N(A2-M2)

I fattori di capacità portante Nc, Nq, e Nγ possono essere ricavati, in funzione dell'angolo di attrito, dalle

seguenti espressioni:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

2'452' ϕϕπ tgeN tg

q ( )

( )'tan1

ϕ−

= qc

NN (Prandtl, 1921 e Reissner, 1924)

( ) ( )'tan12 ϕγ += qNN (Vesic, 1970)

I fattori di forma della fondazione (sc , sq , sγ), di inclinazione della base della fondazione (bc , bq , bγ) e quelli di

inclinazione del piano campagna (gc , gq , gγ), non essendoci tali condizioni, sono tutu unitari.

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I fattori di inclinazione del carico possono essere calcolati con le seguenti espressioni

(Meyerhof —Vesic, 1975):

ic = iq = (1-α/90°)2 ed iγ = (1-α/φ')2 dove α e l'angolo tra la risultante dei carichi e la componente verticale, cosi

come illustrato in figura 5:

Figura 5 – Convenzione sugli angoli

I fattori di profondità possono essere ricavati dalle espressioni (Brinch — Hansen, 1970):

kdc 4.01+=

( )2'1'tan21 ϕϕ senkdq −⋅⋅+=

1=γd

con k = D/B per D/B ≤ 1

k = 1/tan(D/B) per D/B > 1

(D = profondità del piano di posa della fondazione)

Verifica al ribaltamento

Secondo il DM08, lo stato limite di ribaltamento non prevede la mobilitazione della resistenza del terreno di

fondazione e deve essere trattato come uno stato limite di equilibrio come corpo rigido (EQU), utilizzando i

coefficienti parziali sulle azioni della tabella 1 e adoperando coefficienti parziali del gruppo (M2) per il

calcolo delle spinte.

Nella verifica al ribaltamento le azioni sono espresse dai momenti ribaltanti, dovuti alla componente

orizzontale della spinta del terreno e dell'azione del sovraccarico Δq. Il momento e quindi dato dal prodotto

della forza the si sta considerando (applicata nel baricentro del diagramma di spinta) per il braccio, calcolato

rispetto al centro istantaneo di rotazione (punto A di figura 1).

Le resistenze sono i momenti stabilizzanti, dovuti al peso del muro e al peso del terreno sovrastante la soletta

di fondazione (analogamente a quanto detto per la verifica allo scorrimento, a vantaggio di sicurezza si

trascura il contributo dovuto alla componente verticale della spinta del terreno e del carico accidentale sulla

soletta interna).

Il peso del terreno sulla soletta di fondazione può essere ragionevolmente considerato alla stessa maniera del

peso del muro come una azione permanente favorevole strutturale.

H

P V

H = P sen α V = P cos α α

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Una volta calcolata la resistenza di progetto Rd utilizzando i coefficienti parziali sulle azioni della tabella 1

nell’ipotesi di stato limite di equilibrio come corpo rigido (EQU), le azioni di progetto Ed, cioè le spinte,

sono calcolate utilizzando i parametri geotecnici ottenuti nella combinazione M2.

La verifica al ribaltamento è soddisfatta se il rapporto tra momenti stabilizzanti (Rd) e momenti ribaltanti

(Ed) è maggiore di 1:

0.1≥=∑∑

ribaltanti

ntistabilizza

d

d

MM

ER

Verifica sismica

Sotto l’effetto dell’azione sismica di progetto le opere e i sistemi geotecnici devono rispettare gli stati limite

ultimi e di esercizio definiti precedentemente.

A meno di analisi dinamiche avanzate, l’analisi della sicurezza dei muri di sostegno in condizioni sismiche

può essere eseguita con il metodo pseudostatico, mediante i metodi dell’equilibrio limite.

Il modello di calcolo deve comprendere l’opera di sostegno, il cuneo di terreno a tergo dell’opera, che si

suppone in stato di equilibrio limite attivo (se la struttura può spostarsi), e gli eventuali sovraccarichi agenti

sul cuneo suddetto.

Le azioni da considerare nelle analisi di sicurezza delle fondazioni sono fornite dalla spinta esercitata dal

terrapieno, dalle azioni gravitazionali permanenti e dalle azioni inerziali agenti nel muro, nel terreno e negli

eventuali sovraccarichi.

Rispetto al caso statico, le verifiche agli stati limite ultimi devono essere effettuate ponendo pari all’unità i

coefficienti parziali sulle azioni e impiegando i parametri geotecnici e le resistenze di progetto, con i valori

dei coefficienti parziali indicati nella verifica in condizioni statiche.

In aggiunta all’analisi della sicurezza nei confronti dello stato limite ultimo, devono essere condotte verifiche

nei confronti dello stato limite di danno. In particolare, gli spostamenti permanenti indotti dal sisma devono

essere compatibili con la funzionalità dell’opera e con quella di eventuali strutture o infrastrutture interagenti

con essa.

Nell’analisi pseudostatica, l’azione sismica è rappresentata da una forza statica equivalente pari al prodotto

delle forze di gravità per un opportuno coefficiente sismico.

Nelle verifiche allo stato limite ultimo, i valori dei coefficienti sismici orizzontale k h e verticale k v possono

essere valutati mediante le espressioni:

kh =βm (amax/g)

kv = 0,5 kh

dove

- ama x = accelerazione orizzontale massima attesa al sito;

- g = accelerazione di gravità.

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In assenza di analisi specifiche della risposta sismica locale, l’accelerazione massima può essere valutata con

la relazione

amax= S · ag =SS · ST· ag

dove

- S= coefficiente che comprende l’effetto dell’amplificazione stratigrafica (SS) e dell’amplificazione

topografica (ST);

- ag = accelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido.

Nella precedente espressione, il coefficiente βm assume i valori riportati nella Tabella 4.

Tabella 4

Per muri che non siano in grado di subire spostamenti relativi rispetto al terreno, il coefficiente assume

valore unitario. Nel caso di muri di sostegno liberi di traslare o di ruotare intorno al piede, si può assumere

che l’incremento di spinta dovuta al sisma agisca nello stesso punto di quella statica. Negli altri casi, in

assenza di specifici studi si deve assumere che tale incremento sia applicato a metà altezza del muro.

Spinte di calcolo del terreno e dell'acqua

La forza di calcolo Ed è da considerare come la risultante delle spinte statiche e dinamiche del terreno.

In assenza di uno studio più dettagliato che prenda in considerazione la rigidezza relativa, il tipo di

movimento e la massa dell'opera di sostegno, si deve assumere che la forza dovuta alla spinta dinamica del

terreno sia applicata a metà altezza del muro.

Si deve assumere che la distribuzione lungo il muro delle pressioni dovute ad azioni statiche e

dinamiche agisca con un'inclinazione rispetto alla normale al muro non superiore a (2/3) ϕ', per lo stato di

spinta attiva, ed uguale a zero per lo stato di spinta passiva.

La spinta totale di progetto Ed esercitata dal terrapieno ed agente sull'opera di sostegno, è data da:

( ) wsvd EKHkE +±= 2* 121 γ

dove

- H è l'altezza del muro;

- Ews è la spinta idrostatica;

- γ* è il peso specifico del terreno (definito ai punti seguenti);

- K è il coefficiente di spinta del terreno (statico + dinamico).

Categoria di sottosuolo

A B, C, D, E

βm βm

0,2 < ag(g) ≤0,4 0,31 0,31 0,1 < ag(g) ≤0,2 0,29 0,24

ag(g)≤0,1 0,20 0,18

64



Il primo termine di Ed rappresenta la spinta dello scheletro solido del terreno, in cui il coefficiente K è

calcolato mediante la formula di Mononobe e Okabe. e assume differenti valori per le diverse definizioni

della tangente dell’angolo θ, specificate in funzione della presenza o meno dell’acqua di porosità e del

comportamento di quest’ultima in presenza dell’azione sismica.

Il coefficiente di spinta del terreno può essere calcolato per stati di spinta attiva:

( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−−−−+

+−−

−+=−≤

βψδθψθβϕδϕδθψψθ

θϕψθϕβ

sensensensensensencos

senK''1

' :'2

2

( )( )δθψψθ

θϕψθϕβ−−

−+=−>

sensencossenK 2

2 ' :'

Nelle precedenti equazioni vengono usate le seguenti notazioni:

- ϕ è il valore di calcolo dell'angolo di resistenza a taglio del terreno in condizioni di sforzo efficace;

- ψ, β è l'angolo di inclinazione rispetto all'orizzontale rispettivamente della parete del muro

rivolta a monte e della superficie del terrapieno;

- δ è il valore di calcolo dell'angolo di resistenza a taglio tra terreno e muro;

- θ è l'angolo definito nei punti 1 e 2.

La scelta del peso dell’unità di volume del terreno γ* è condizionata, così come l’angolo θ, dalla presenza e

dal comportamento dell’acqua.

I casi previsti sono:

1) Livello di falda al di sotto del muro di sostegno

Valgono le seguenti definizioni e relazioni:

γ* = γ peso specifico del terreno

v

h

kk±

=1

tanθ

β

δ

ψ

S

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2)Terreno impermeabile in condizioni dinamiche al di sotto del livello di falda

Valgono le seguenti definizioni e relazioni:

v

h

w

w

kk±−

=

−=

1tan

*

γγγθ

γγγ

dove:

- γ= peso specifico del terreno saturo

- γw= peso specifico dell’acqua.

Nel caso di falda assente, γ* coincide con il peso dell’unità di volume naturale del terreno γ. L’angolo θ è

quello relativo a forze d’inerzia proporzionali, sia in direzione orizzontale sia in direzione verticale, al peso γ.

Procedimento

Nell'analisi pseudo-statica prevista nel DM08, l'azione sismica è rappresentata da un insieme di forze

statiche orizzontali e verticali date dal prodotto delle forze di gravità per un coefficiente sismico.

I coefficienti sismici orizzontale (kh) e verticale (kv) che interessano tutte le masse sono funzione di amax,

l’accelerazione orizzontale massima attesa al sito. Questa a sua volta è data dal valore dell’accelerazione

orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido ag moltiplicata per un coefficiente SS, dipendente

dalle caratteristiche stratigrafiche dei terreni, e un coefficiente ST in funzione delle caratteristiche

topografiche.

Le azioni sismiche di progetto, in questo caso il valore di ag, in base alle quali valutare il rispetto dei diversi

stati limite considerati, si definiscono a partire dalla “pericolosità sismica di base” del sito di costruzione.

Ipotizzando una vita nominale VN dell’opera di 50 anni ed un coefficiente d’uso CU pari a 1.0 corrispondente

ad un normale affollamento, il periodo di riferimento VR è 50 anni. Le probabilità di superamento nel

periodo di riferimento, PVR, alle quali bisogna riferirsi per individuare l’azione sismica agente in ciascuno

degli stati limite considerati, sono riportate nella successiva Tabella 5 è pari rispettivamente a:

- 63% per stato limite di danno

- 5 % per stato limite di collasso

Il periodo di ritorno TR di riferimento è pari a:

( )VR

RR P

VT−

−=1ln

Se tale periodo di ritorno non rientra nei valori gabellati nell’allegato delle norme tecniche bisogna effettuare

una interpolazione nel dominio del tempo per calcolare il valore di ag da considerare nelle verifiche.

Quindi a partire dai valori di ag presenti in corrispondenza dei quattro vertici del reticolo (reticolo di

riferimento) in cui il territorio italiano è stato schematizzato, è possibile calcolare con una semplice

interpolazione i valori necessari per la determinazione delle azioni sismiche per il sito considerato.

Nel caso in esame, dall’analisi di pericolosità sismica è scaturito un valore di accelerazione orizzontale

massima attesa su sito di riferimento rigido pari a ag = 0.1555 g (SLC).

66



Assumendo un coefficiente di amplificazione stratigrafica SS = 1.15, topografica ST=1.0, ed un valore di βm

pari ad 1.0, è possibile calcolare il valore dei coefficienti sismici kH e kV.

Verifica allo scorrimento e della capacità portante in condizioni sismiche

Analogamente al caso statico, le verifiche allo scorrimento e della capacità portante del sistema terreno-

fondazione in condizione sismica deve essere effettuato utilizzando una dei due approcci che prevedono le

seguenti combinazioni di carico:

Approccio 1



Approccio 2

Combinazione: A1+M1+R3

Rispetto al caso statico, i valori dei coefficienti parziali sulle azioni γG e γQ sono pari ad 1.0, mentre per

quanto riguarda i parametri geotecnici e le resistenze di progetto, essi, analogamente al caso statico, devono

essere modificati con i valori dei coefficienti parziali indicati in tabella 2 in funzione della combinazione di

carico scelta.

a) Verifica allo scorrimento

La spinta totale di progetto Ed esercitata dal terrapieno agente sull'opera di sostegno è la risultante delle

spinte statiche e dinamiche del terreno, è funzione del coefficiente K=K(θ, β, φ) che è calcolato mediante la

formula di Mononobe e Okabe e assume differenti valori per le diverse definizioni della tangente dell’angolo

θ.

La componente dinamica di spinta ΔP=Ed - PA è applicata a 0,5 H del muro, mentre la componente statica PA

a 1/3H.

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Le azioni di calcolo da considerare nel caso sismico sono date dalla spinta statica applicata ad H/3,

dall’incremento di spinta sismica applicata ad H/2, e dalle forze di inerzia orizzontali kHW agenti

direttamente sul muro e sul terrapieno applicate nel loro baricentro.

La spinta dovuta al sovraccarico non viene considerata in condizioni sismiche.

Le resistenze sono date dal prodotto:

( )( ) δtgWWkP tmVv ⋅+±+ 1

dove:

- W = peso del muro Wm + peso del terreno Wt sovrastante la soletta di fondazione (a vantaggio della

sicurezza non si considera il contributo del carico verticale accidentale sulla soletta interna);

- kVW componente verticale delle forze di inerzia agenti verso l'alto e verso il basso, in modo da

produrre gli effetti più sfavorevoli.

- Pv = componente verticale della spinta del terreno (che può anche essere trascurata);

Anche in questo caso il peso del terreno sulla soletta di fondazione può essere ragionevolmente considerato

alla stessa maniera del peso del muro come una azione permanente favorevole strutturale.

Sisma verso l’alto

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Sisma verso il basso

Una volta calcolata la resistenza di progetto Rd utilizzando il parametri geotecnici ottenuti nelle varie

combinazioni (M1, M2), a questa si applica un coefficiente parziale γR che opera direttamente sulla resistenza

del sistema definito in Tabella 3, in funzione del tipo di verifica e della combinazione (R1, R2 o R3).

b) Verifica della capacità portante

Si procede analogamente al caso statico, tenendo presente che i coefficienti parziali sulle azioni sono unitari,

e che il peso del terreno sovrastante la soletta di fondazione, considerato un’azione permanente

sfavorevole, è da considerare moltiplicata per (1±kv).

Una volta calcolata la resistenza di progetto Rd con la formula di Brinch Hansen utilizzando il parametri

geotecnici ottenuti nelle varie combinazioni (M1, M2), a questa si applica un coefficiente parziale γR che

opera direttamente sulla resistenza del sistema definito in Tabella 3, in funzione del tipo di verifica e

naturalmente della combinazione (R1, R2 o R3).

La spinta dovuta al sovraccarico non viene considerata in condizioni sismiche. La verifica impone che sia

soddisfatta la disuguaglianza Rd ≥ Ed.

Verifica al ribaltamento

Analogamente al caso statico, lo stato limite di ribaltamento non prevede la mobilitazione della resistenza del

terreno di fondazione e deve essere trattato come uno stato limite di equilibrio come corpo rigido (EQU),

utilizzando i coefficienti parziali del gruppo (M2) per il calcolo delle spinte.

Nella verifica al ribaltamento le azioni sono espresse dai momenti ribaltanti, dovuti alla componente

orizzontale della spinta del terreno, l’incremento della spinta dovuta al sisma, e le forze di inerzia

orizzontali. Il momento data dalla spinta dovuta al sovraccarico non viene considerata in condizioni

sismiche.

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Il momento e quindi dato dal prodotto della forza the si sta considerando (applicata nel baricentro del

diagramma di spinta) per il braccio, calcolato rispetto al centro istantaneo di rotazione (punto A di figura 1).

Le resistenze sono i momenti stabilizzanti, dovuti al peso del muro e al peso del terreno sovrastante la soletta

di fondazione (analogamente a quanto detto per la verifica allo scorrimento, a vantaggio di sicurezza si

trascura il contributo dovuto alla componente verticale della spinta del terreno e del carico accidentale sulla

soletta interna).

Si tenga presente che il peso del terreno sovrastante la soletta di fondazione, considerato un’azione

permanente favorevole, è da considerare moltiplicata per (1±kv),

Una volta calcolata la resistenza di progetto Rd considerando i coefficienti parziali sulle azioni pari ad 1.0, le

azioni di progetto Ed, cioè le spinte, sono calcolate utilizzando i parametri geotecnici ottenuti nella

combinazione M2.

La verifica al ribaltamento è soddisfatta se il rapporto tra momenti stabilizzanti (Rd) e momenti ribaltanti

(Ed) è maggiore di 1:

0.1≥=∑∑

ribaltanti

ntistabilizza

d

d

MM

ER

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Metodo Di Mononobe e Okabe