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1
Método do Coeficiente de Envelhecimento
)t()t()t,t( 0cc0c σ−σ=σ∆
0t,c
000c00cc
E
)t,t(')t,t(1)t,t()t,t(J)t()t(
ϕ⋅χ+⋅σ∆+⋅σ=ε σ
)t,t()()t()( 0c0cc σ∆⋅τξ+σ=τσ
( ) 0t,cc0c Et =⋅ε=σ σ
( ) ( )aj,c
0c
eq,c
0cc
E
t,t
E
)t(t
σ∆+
σ=ε σ
( )0
0t,ceq,c
t,t'1
EE
ϕ+=
( ) ( )00
0t,caj,c
t,t't,t1
EE
ϕχ+=
Expressões principais
com J (t, t0) = 1 + ϕ' (t, t0)
Ec,t0
2
Aplicação a Viadutos com Pré-Fabricação
Viaduto na Scut da Beira Interior
3
Soluções nas Ligações com Continuidade do Tabuleiro
Tabuleiro apoiado em apoios fixos ou móveis
Tabuleiro com continuidade para os apoios verticais
4
Pormenores das Pré-Lajes de um Tabuleiro
5
Exemplo de um Faseamento Construtivo
6
Exemplo de um Faseamento Construtivo (continuação)
7
secção 1
pElemento primário
ϕ’1,0 = ϕ’1 (t1 , t0)
i1,1
i1,W
M
A
NPσ +=
0C
σ i1, =
( )0,1'1 ϕ+⋅
+=
i1,1t01,
i1,W
M
A
N
E
1ε
( )0,110t,11
'1IE
M
R
1ϕ+=
ε σ
MN
Deformação do Elemento Principal entre t1 e t0
8
Esforços de Fixação para Impedir a Deformação Livre no Elemento Principal entre t1 e t
( ) ( )1111
t,1aj,1
t,t't,t1
EE 1
ϕχ+=
ε=0 σ
M*N*
CG1
110t,1
'AE
Nϕ∆=ε∆
110t,1
'IE
M
R
1ϕ∆=
∆
( ) ( ) ( )1'1111 t,t, ∞ϕ⋅∞χ≡χϕ
( )N
E
E
1
'*N
0t,1
1t,1
1
1 ⋅⋅χϕ+
ϕ∆−=
( )M
E
E
1
'*M
0t,1
1t,1
1
1 ⋅⋅χϕ+
ϕ∆−=
( )[ ] ( )[ ]1t,1
0t,11ef1
E
E11 ⋅χϕ+=χϕ+
( )[ ]N
1
'*N
ef1
1 ⋅χϕ+
ϕ∆−=
( )[ ]M
1
'*M
ef1
1 ⋅χϕ+
ϕ∆−=
( )[ ]
+
χϕ+
ϕ∆−=σ
i,11ef1
1Pi,2
W
M
A
N
1
'
0R
1
2
=
9
Aplicação dos Esforços de Fixação ao Conjunto da Secção (Homogeneizada) entre t1 e t
ε
M*N*CG2
σ
( ) ( )( ) ( )1c1c
1111
1t,1
1t,chom
t,'t,1
t,'t,1x
E
Ek
∞ϕ⋅∞χ+
∞ϕ⋅∞χ+=
aj,1t,1
aj,1t,chom
E
Ek =
( )[ ]N
1
'*N
ef1
1 ⋅χϕ+
ϕ∆=
( )[ ] 2
ef1
1 M1
'*M ⋅
χϕ+
ϕ∆=
( )CGNMM2 ∆−=
- resultantes simétricas a (N*, M*), mas com centro
de aplicação no centro de gravidade da secção
homogeneizada 2
( )** M,N
( )[ ]
+
χϕ+
ϕ∆=σ
i,2
2
2ef1
1Pi,3
W
M
A
N
1
'
( )[ ] homi,2
2
2ef1
1Ci,3 k
W
M
A
N
1
'
+
χϕ+
ϕ∆=σ
( )( )
( ) 20t,1
1t,1
1
1
h,21t,1
1
ajh,21t,1
*
3
ME
E
1
'
IE
1
IE
M
R
1⋅⋅
χϕ+
ϕ∆⋅
χϕ+==
com ( )( ) h,2
1
1t,1
ajh,21t,1 I1
EIE
χϕ+=
h,20t,1
21
3 IE
M'
R
1ϕ∆=
10
Solução Final correspondente à Soma dos Passos Anteriores
∑=
∞ σ=σ3
1j
Pi,j
Pi,
∑=
∞ σ=σ3
1j
Ci,j
Ci, ( )[ ] hom
i,22ef1
1Ci,3 k
W
M
A
N
1
'
+
χϕ+
ϕ∆=σ
i1,1
i1,W
M
A
NPσ +=
( )[ ]
+
χϕ+
ϕ∆−=σ
i,11ef1
1Pi,2
W
M
A
N
1
'
( )[ ]
+
χϕ+
ϕ∆=σ
i,2
2
2ef1
1Pi,3
W
M
A
N
1
'
Se
i,11
P
i,1W
M
A
N+=σ
i,2
2
2
P
i,2W
M
A
N+=σ e0
C
i,1 =σhom
i,2
2
2
Ci,2 k
W
M
A
N
+=σ, ,
Então( )[ ]
σ−σ
χϕ+
ϕ∆+σ=σ∞
Pi,1
Pi,2
ef1
1Pi,1
Pi,
1
'
( )[ ]
σ−σ
χϕ+
ϕ∆+σ=σ∞
Ci,1
Ci,2
ef1
1Ci,1
Ci,
1
'
Tensões
11
Solução Final correspondente à Soma dos Passos Anteriores
Deformações
∑=∞
=
3
1j jR
1
R
1
( )0,110t,11
'1IE
M
R
1ϕ+=
0=
2R
1
h,20t,1
21
3 IE
M'
R
1ϕ∆=
Se
10t,11 IE
M
R
1=
e
,
h,20t,1
2
2 IE
M
R
1=
( )2
1
1
0,1R
1'
R
1'1
R
1
⋅ϕ∆+
⋅ϕ+=
∞
Então ( ) 2110,1 ''1 δ⋅ϕ∆+δ⋅ϕ+=δ∞
12
onde M∞,j representa o momento total a tempo infinito,
representa o momento total calculado no sistema estrutural 1
e representa o momento total calculado no sistema estrutural 2
No caso do pré-esforço os momentos são os totais e referidos ao centro de gravidade da secção j no
sistema estrutural 2.
1,jM
2,jM
Modificação Conjunta do Sistema Estrutural e da Secção
( )[ ]( )1,j2,j
ef1
11,jj, MM
1
'MM −
χϕ+
ϕ∆+=∞
p
p
K1K1
K2K2
secção 1
secção 2Sistema estrutural 2
Sistema estrutural 1
es
tru
tura
isa
lte
raçõ
es
13
M∞,j = Mj,1 + ∆ϕ1
[1+(χϕ)1]ef ( )Mj,2 - Mj,1
σ∞,j = σ1,j + ∆ϕ1
[1+(χϕ)1]ef ( )σ2,j - σ1,j
δ∞ = (1 + ϕ1,0) δ1 + ∆ϕ1 δ2
[1+(χϕ)1]ef = [1+χ1(∞, t1) . ϕ1(∞, t1)] . E1,t0
E1,t1
∆ϕ1 = ϕ0 (∞, t0) - ϕ0 (t1, t0)
Sistema 2 – coincide sempre com o sistema final
Sistema 1 – definido, para cada acção, como sendo o que existe quando aquela actua, durante a construção
Modificação Conjunta do Sistema Estrutural e da Secção
Expressões Gerais Mais Importantes
14
Exemplo de Aplicação – Faseamento Construtivo
Fase 1 e 2: Colocação das vigas e pré-esforço das barras sobre os apoios
Fase 3: Betonagem da laje numa faixa de 6.00 m para cada lado dos apoios
Sistema estrutural longitudinal Secção no vão Secção no apoio
Fase 4: Betonagem da restante laje
Fase 5: Colocação do betuminoso e restantes cargas permanentes
15
Exemplo de Aplicação – Ligação das Vigas nos Apoios
Corte longitudinal Corte transversal
16
0,00 26,00 61,00 96,00 122,00
fctm = 3800
-20000
-15000
-10000
-5000
0
5000
0,00 20,00 40,00 60,00 80,00 100,00 120,00
x [m]
ten
sã
o V
i (k
Pa
)
Exemplo de Aplicação
yi
Fibra inferior
Tensões calculadas nos sistemas 1
Tensões calculadas no sistema 2
Tensões a tempo infinito
σ∞,j = σ1,j + ∆ϕ1
[1+(χϕ)1]ef ( )σ2,j - σ1,j
Distribuição de tensões ao longo da obra na fibra inferior
Cargas Permanentes do peso da estrutura
17
0,00 26,00 61,00 96,00 122,00
fctm = 3800
-20000
-15000
-10000
-5000
0
5000
0,00 20,00 40,00 60,00 80,00 100,00 120,00
x [m]
ten
são
Vi (k
Pa
)
0.00 26.00 61.00 96.00 122.00
-15000
-10000
-5000
0
5000
10000
15000
20000
0.00 20.00 40.00 60.00 80.00 100.00 120.00
M (
kN
m)
Exemplo de Aplicação
Combinações de Acções Quase Permanentes
Variação da distribuição de momentos entre t1 e t∞∞∞∞ e a variação da posição da sobrecarga
Variação da distribuição de tensões na fibra inferior entre t1 e t∞∞∞∞ e a variação da posição da sobrecarga
18
0,00 26,00 61,00
0
10
20
30
40
50
60
70
0,0 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0 60,0 70,0
x [m]
N
67%52Análise A
91%58Análise Base, endurecimento rápido
91%62Projecto original
Vão de 35m
70%36Análise A
92%39Análise Base, endurecimento rápido
92%42Projecto original
Vão de 26m
NP0,eff,med
P0max
Modificação do Critério de Dimensionamento
Projecto original
Análise A à alternativa
Projecto original com cimento de endurecimento rápido
19
0,00 26,00 61,00 96,00 122,00
fctm = 3800
-20000
-15000
-10000
-5000
0
5000
0,00 20,00 40,00 60,00 80,00 100,00 120,00
x [m]
ten
sã
o V
i (k
Pa
)
Envolvente de tensões para a análise alternativa A
Envolvente de tensões para o projecto original
Modificação do Critério de Dimensionamento
Análises efectuadas com iguais características dos materiais
Vão principal – 52 cordões Vão principal – 58 cordões
Distribuição de tensões ao longo da obra na fibra inferior
20
Variantes ao processo construtivo:
•••• Variante C – Todas as pré-lajes colocadas na primeira fase com o sistema isostático das vigas
•••• Variante D – Betonagem de toda a laje do tabuleiro antes da continuidade estrutural.
Influência do Processo Construtivo
0,00 26,00 61,00
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0,0 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0 60,0 70,0
x [m]
N
Variante A – 36 cordões; 52 cordões
Variante C – 38 cordões; 58 cordões
Variante D – 42 cordões; 70 cordões
Variante A
Variante D
Variante C
21
0,00 26,00 61,00 96,00 122,00
fctm = 3800
-8000
-6000
-4000
-2000
0
2000
4000
6000
0,00 20,00 40,00 60,00 80,00 100,00 120,00
x [m]
ten
são
Vi (k
Pa
)
0,00 26,00 61,00 96,00 122,00
fctm = 3800
-8000
-6000
-4000
-2000
0
2000
4000
6000
0,00 20,00 40,00 60,00 80,00 100,00 120,00
x [m]
ten
são
Vi (k
Pa
)
Influência do Processo Construtivo
Distribuição de tensões na fibra inferior para a variante C
Distribuição de tensões na fibra inferior para a variante D
Combinações de Acções Quase Permanentes
22
76%70Análise D
67%58Análise C
67%52Análise A
91%62Projecto original
Vão de
35,0m
77%42Análise D
69%38Análise C
70%36Análise A
92%42Projecto original
Vão de
26,0m
NP0,eff,med
P0max
Para esta obra rodoviária o aumento da eficiência do pré-esforço verifica-se com:
• Maiores comprimentos de embainhamento
• Processo construtivo com continuidade prévia sobre os apoios, do tipo do adoptado no projecto
Estudos recentes mostram que para obras ferroviárias em particular para a alta
velocidade o processo construtivo com betonagem do tabuleiro sem continuidade
(caso D) é mais eficiente e com menos comprimentos com embainhamento
Processo Construtivo e Traçado de Pré-Esforço