Métodos para resolver sistema de ecuaciones de primer grado 3x3

Reyna Bianey Alonso Cortez

0110220

Se cuenta con cuatro métodos para resolver ecuaciones de primer grado.

• Método gráfico• Método suma y resta

• Método de igualación• Método de sustitución

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Método gráfico

Este método debemos recordar que solo funciona para ecuaciones de 2 x 2 debido a que al momento de graficarlo podremos hacerlo manualmente por ser una figura plana. Para resolver por medio de este método ecuaciones de 3 x 3 debe realizarse con herramientas como un programa en la computadora o una calculadora gráficadora por se una figura tridimensional.

Nota: cuando se habla de ecuaciones 2 x 2 se refiere a dos incógnitas de dos ecuaciones. Y 3 x 3 a tres incógnitas con tres ecuaciones

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Resolver sistema de ecuaciones

Ejemplo de un Sistema 2 x 2 Paso 1

◦ (1) 3x + 4y = 7◦ (2) 5x – 3y = 2

Nota:

El (1) significa ecuación 1

Al igual en el (2). Es para identificar las ecuaciones.

◦ En seguida tenemos que despejar el coeficiente literal “y” para poder resolver el sistema de ecuaciones por el método gráfico, así como se muestra en seguida:

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Resolver sistema de ecuaciones

Paso 2 Ejemplo

• Ahora pasamos a Tabular cada ecuación despejada asignándole valores a la incógnita “x”.

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Paso 3 Graficar

• Ahora con estos datos obtenidos, graficamos las dos funciones de la siguiente manera:

El punto de intersección es el resultado de las incógnitas “x” y “y” las coordenadas (1,1)Corresponde a X= 1 y Y= 1.

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Paso extra: Comprobación • Para comprobar solo se sustituye los valores en las

ecuaciones.

(1) 3x + 4y = 7 3(1) + 4(1) = 7 3 + 4 =7 7=7 ✓

(2) 5x – 3y = 2 5(1) – 3(1) = 2 5 – 3 = 2 2=2 ✓

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Fin del método

Método suma y resta

En este método usaremos un sistema de ecuaciones de 3 x 3. De esa forma abarcaremos el 2 x 2 al mismo tiempo. Dependiendo de los signos que se presente en las expresiones algebraicas es como se usara suma o resta.

Nota: cuando se habla de ecuaciones 2 x 2 se refiere a dos incógnitas de dos ecuaciones. Y 3 x 3 a tres incógnitas con tres ecuaciones

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Resolver sistema de ecuaciones

Ejemplo de un Sistema 3 x 3 Paso 1

◦ (1) 4x – 2y – 3z= 8◦ (2) 5x + 3y – 4z = 4◦ (3) 6x – 4y – 5z = 12

Nota:

El (1) significa ecuación 1

Al igual en el (2) y así sucesivamente. Es para identificar las ecuaciones.

◦ Escogemos dos ecuaciones para eliminar una de sus literales con el método, en este caso escogeremos las ecuaciones (2) y (3).

Ejemplo(2) 5x + 3y – 4z = 4(3) 6x – 4y – 5z = 12

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Resolver sistema de ecuaciones

Paso 2 Ejemplo

• En seguida multiplicamos los miembros de la ecuación (2) por 4 y los de la ecuación (3) por 3; resultando que los coeficientes numéricos de “y” se igualan dando como resultado un mismo coeficiente numérico pero con signo contrario.

4 (5x + 3y – 4z = 4) 3 (6x – 4y – 5z = 12)

Resultado de la multiplicación

• 20x + 12y – 16z = 16• 18x – 12y – 15z = 36

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Paso 3

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Ahora sumamos algebraicamente ambas ecuaciones resultando:

20x + 12y – 16z = 16

18x – 12y – 15z = 36

(4) 38x 0 – 31z = 52

No debemos olvidar también el miembro derecho de la igualación para hacer la operación correspondiente a los signos.

Obtuvimos una nueva ecuación que denominaremos (4) siendo de dos incógnitas.

Paso 4 Entonces proseguimos a realizar lo mismo para la ecuación (1) utilizando una de las dos ecuaciones que ya se han usado, en este caso utilizaremos la ecuación (2). Con estas dos ecuaciones eliminaremos otra vez la literal “y” para poder conseguir un nueva ecuación.

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Obtuvimos una nueva ecuación que denominaremos (5) siendo de dos incógnitas.

Paso 5

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Ahora que tenemos dos ecuaciones nuevas de solo dos incógnitas, repetimos el mismo paso de eliminación de una literal la cual será en este caso “z”:

Paso 6

Teniendo como -36x = -108 solo es cuestión de aplicar propiedad de la igualdad.

Paso 7

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Consiguiendo la incógnita “x” sustituimos el valor en una de las dos ecuaciones de 2x2 de ecuación (4) o (5) para encontrar la incógnita “z” en este caso usaremos la ecuación (4).

38x – 31z = 5238 (3) – 31z = 5214 – 31z = 52

Utilizamos la propiedad de la igualdad

Obteniendo los valores de las incógnitas “x” y “z” solo es sustituir los valores en las primeras ecuaciones, ya sea en (1), (2) y (3). En este caso usaremos la (1).

Con eso concluimos el método de suma y resta, con los resultados de las incógnitas:

X = 3

Y = -1

Z = 2

Fin del método

Método de Sustitución

Este método usaremos un sistema de ecuaciones de 3 x 3. De esa forma abarcaremos el 2 x 2 al mismo tiempo. Se debe recordar muy bien la propiedad de la igualdad para no fallar en este método, se recomienda practicar todo sobre una expresión algebraica.

Nota: cuando se habla de ecuaciones 2 x 2 se refiere a dos incógnitas de dos ecuaciones. Y 3 x 3 a tres incógnitas con tres ecuaciones

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Resolver sistema de ecuaciones

Ejemplo de un Sistema 3 x 3 Paso 1

◦ (1) x + 2y – z= 2◦ (2) 2x – y + z = 3◦ (3) 2x +2y – z = 3

Nota:

El (1) significa ecuación 1

Al igual en el (2) y así sucesivamente. Es para identificar las ecuaciones.

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◦ Considerando las tres ecuaciones a resolver, debemos escoger una ecuación para despejar, de preferencia la que resulte fácil realizar el despeje, en este caso escogeremos la ecuación (1) para despejar la incógnita “z”.

Ejemplo

Resolver sistema de ecuaciones

Paso 2 Ejemplo

• Teniendo despejada la incógnita “x” lo encontrado lo sustituimos en las otras dos ecuaciones que quedaron, en esta ocasión es la ecuación (2) y (3). Y resolvemos ambas ecuaciones con el despeje de “x” de la ecuación (1).

Nueva ecuación

Nueva ecuación

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Paso 3

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Ahora tenemos dos ecuaciones nuevas de las cuales ambas contienen dos incógnitas, enseguida repetimos el mismo paso, escogemos una de las dos nuevas ecuaciones (4) y (5) para utilizar la propiedad de la igualdad y despejar la incógnita que queramos. En esta ocasión utilizaremos la ecuación (5) despejando “z”.

Ya obteniendo el despeje de la “z” en la ecuación (5). Pasamos a sustituir la “z” en la otra ecuación que es la (4). Para encontrar el valor de la incógnita “y”.

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Ahora que tenemos el valor de “y” podemos sustituir ese valor en la ecuación (5) ya que esta despejada la “z” es más fácil encontrar el valor.

Ya que tenemos los valores encontrados de “y” y “z” solo nos falta encontrar el de “x” para eso tomaremos la ecuación (1) que ya habíamos despejado la “x”

Fin del método

Método de igualación

Este método usaremos un sistema de ecuaciones de 3 x 3. De esa forma abarcaremos el 2 x 2 al mismo tiempo. Se debe recordar muy bien la propiedad de la igualdad para no fallar en este método, se recomienda practicar todo sobre una expresión algebraica.

Nota: cuando se habla de ecuaciones 2 x 2 se refiere a dos incógnitas de dos ecuaciones. Y 3 x 3 a tres incógnitas con tres ecuaciones

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Resolver sistema de ecuaciones

Ejemplo de un Sistema 3 x 3 Paso 1

◦ (1) 4x – 2y – 3z= 8◦ (2) 5x + 3y – 4z = 4◦ (3) 6x – 4y – 5z = 12

Nota:

El (1) significa ecuación 1

Al igual en el (2) y así sucesivamente. Es para identificar las ecuaciones.

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◦ El siguiente paso para utilizar el método de igualación consiste en despejar una de las incógnitas de las ecuaciones anteriores, puede ser “x”, “y” o “z” pero siempre y cuando sea la misma incógnita en las tres ecuaciones, en este caso despejaremos literal “y” como se muestra en seguida:

Ejemplo

Resolver sistema de ecuaciones

Paso 2 Ejemplo

• A continuación procedemos a escoger dos ecuaciones despejadas para igualarlas, puede ser cualquiera, puede ser (1) y (2), (1) y (3) o (2) y (3). En este caso igualaremos (1) y (2).

Ya igualando las dos ecuaciones, procedemos a multiplicar los divisores por el numerador contrario:

Paso 3

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Paso 4

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Ahora solo pasamos a multiplicar, realizar operaciones, agrupar términos y los reducimos.

Después despejamos una de las dos incógnitas mediante la propiedad de la igualdad, para obtener una nueva ecuación, en este caso despejaremos “z”.

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Y obtenemos una nueva ecuación pero en este caso es de dos incógnitas, ahora tendremos que hacer los mismos pasos pero con la combinación de (1) y (3), Igualamos para obtener otra ecuación con dos incógnitas.

Paso 5

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Teniendo las dos nuevas ecuaciones y con despeje de la misma incógnita, ahora pasamos a igualarlas para encontrar el valor de “y”.

Ahora se utilizara la propiedad de la igualdad para poder despejar la única incógnita y obtener el valor de la misma.

Paso 6

• Ahora teniendo el valor de una incógnita en este caso la “y” la sustituimos en una de las ecuaciones donde ya tenemos solo dos incógnitas en este caso en las ecuaciones de (4) y (5). En seguida se mostrara la sustitución en la ecuación (4).

Y por último sustituimos los valores encontrados de “y” y “z” en las ecuaciones despejadas de (1), (2) y (3), puede ser en cualquiera para encontrar el valor de “x”. A continuación se mostrara el proceso en este caso con la ecuación despejada (2).

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Fin del método

Método de suma y resta

Respuestas

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x = −4y = 6z = 1

x = −3y = 7z = 0

x = −4y = 5z = 2

Método de sustitución

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x = −8y = 1z = 1

x = 0y = 5z = 6

x = 1y = 1z = 1

Método de igualación

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x = 3y = -2z = 4

x = 1y = 2z = 3

x = −2y = 4z = 2

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