7.3. Modelado matemtico del proceso
El modelado matemtico del proceso se realizar con el fin de
obtener una herramienta que nos permita simular dentro de un rango
especfico el funcionamiento de los sistemas de bioadsorcin de
metales pesados en aguas residuales en modo batch y continuo. Luego
de haber identificado y entendido el fenmeno que se pretende
simular, y los parmetros que intervienen en ste, la estructura del
modelado del proceso estar representada por los siguientes
pasos:
Se debern plantear las aproximaciones, limitaciones y
consideraciones que vayan a restringir nuestro modelo
matemtico.
Luego se debern plantear las ecuaciones referentes a los
balances de masa, energa e hidrodinmicos que sean necesarios en el
sistema. As mismo, se realizar la seleccin de las ecuaciones de
velocidad de reaccin correspondientes a los modelos cinticos,
teniendo como criterios de seleccin la consistencia terica de stos
y su comportamiento al ser validados parcialmente con datos
ubicados en la literatura.
El modelo final ser obtenido a partir del acople entre las
distintas ecuaciones formuladas para los balances de masa, energa e
hidrodinmicos que sean necesarios y las ecuaciones de velocidad de
reaccin, teniendo en cuenta las restricciones, consideraciones y
limitaciones establecidas.
7.3.1 Modelo para sistemas en batch
Para desarrollar una descripcin matemtica del proceso en batch,
se incorporan tres resistencias a la separacin de equilibrio ideal:
resistencia en la pelcula, difusin intrapartcular e interaccin
cintica soluto-ligando.
Se considera que el movimiento de soluto involucra su transporte
interfacial desde el seno del lquido hasta la superficie del
adsorbente a travs de una pelcula estancada que rodea al adsorbente
caracterizada por un coeficiente de transferencia de masa , la
difusin dentro del lquido del poro del adsorbente descrita por un
coeficiente , y el paso de adsorcin del soluto en los sitios
activos sobre la superficie del adsorbente. Debido al equilibrio no
lineal que caracteriza a este proceso, el comportamiento de la
adsorcin se describe ms apropiadamente mediante teoras
cinticas.
A partir de estas consideraciones comenzamos a plantear el
modelo cintico, empezando por el balance de materia general
aplicado a cualquier tipo de sistemas:
(1)
Donde E, representa la entrada al sistema, P la produccin, A la
acumulacin, C el consumo y S la salida de materia; debido a que el
sistema es cerrado no hay ni entrada, ni produccin, ni salida de
materia, como es un proceso de adsorcin no se producir materia sino
que se consumir, entendiendo esto como la adsorcin que se da por
parte del metal hacia la biomasa, por lo que nuestra ecuacin
queda
(2)
La acumulacin de la materia ira variando con del tiempo,
entonces:
(3)
representa la masa del metal en la fase acuosa (mg).
Como sabemos que
(4)
es la concentracin en el equilibrio (mg/L)
es el volumen (L)
Entonces combinando (3) y (4)
(5)
Debido a que el consumo tendr que ser directamente proporcional
a la masa de adsorbente, a la concentracin en cada momento y a la
diferencia de carga a la que la biomasa tiende menos la de ese
momento. Tambin tiene que haber un factor que ser propio y nico
para cada biomasa, pues influye su porosidad, ramificaciones, su
capa lmite, etc Todo esto se expresa diciendo que:
(6)
A partir de combinar (2), (5) y (6) obtenemos
(7)
La carga que posee el adsorbente a cada instante corresponde
a
(8)
En el balance podemos ver que el trmino representa la carga
hacia la que tiende la biomasa, esta carga de equilibrio vendr
expresada por la isoterma de adsorcin del proceso, donde:
(9)
Para la simulacin del proceso se utilizaran las isotermas
descritas en el marco referencial correspondientes a los modelos de
Langmuir, Freundlich, Toth y DubininRadushkevich.
Donde:
es la carga del metal en ese momento (mg adsorbidos/mg
adsorbente)
es la carga a la que tiende, la de equilibrio (mg adsorbidos/mg
adsorbente)
es la concentracin en ese instante (mg/L)
es la masa de adsorbente utilizado (mg)
en esta constante se agruparan todos los parmetros que son
propios de la biomasa como por ejemplo el dimetro de los poros, y
tambin se incluyen los factores de velocidad de transporte dentro y
fuera de ella teniendo en cuenta as la capa lmite. Las unidades de
este parmetro son L/mg.
Transferencia de masa intrapartcular con dominio de la difusin
superficial
Una vez realizado el balance de masa a nivel macroscpico es
necesario definir el tipo de mecanismo que se plantear para abordar
la difusin intrapartcular, en el caso de sistemas dominados por la
difusin en los poros, se aplica un mtodo de solucin numrica algo
complejo en donde se discretizan las variables de inters y se
llevan a una forma adimensional, para ser calculadas a travs del
mtodo de Crank Nicolson.
Sin embargo, en el caso de la difusin superficial, se puede
aplicar un mtodo numrico mucho ms simplificado (Tien 1961; Larson y
Tien 1984).
Las ecuaciones en que se basa la adsorcin batch para el caso de
una difusin superficial son
Y
El promedio de concentracin de la fase adsorbida est definido
como se menciona en la ecuacin (7). La relacin entre la
concentracin de la fase en solucin y esta dado por la ecuacin
(8).
Para la adsorcin batch en general, la concentracin de la fase
adsorbida en la solucin en la interface es una funcin del tiempo.
Aplicando el teorema convollution, se puede fcilmente obtener una
solucin general de la ecuacin (7,68) (En trminos de o a ). La tasa
de consumo correspondiente , se da como
La ecuacin (12), junto con las ecuaciones (11 c) y (8), son las
ecuaciones que describen la adsorcin batch para el caso de una
difusin superficial.
Por la incorporacin de estas variables adimensionales:
Las ecuaciones principales pueden escribirse como
La ecuacin (15b) puede ser fcilmente integrada numricamente. Por
ejemplo, si aplicamos el mtodo Runge-Kutta, entonces podemos
encontrar el valor de a , luego
Donde
Donde g es el valor de evaluado a un valor especfico de .
El clculo es simple y directo. Asumiendo valores para y contra
se conocen hasta , el valor de a un valor de puede ser calculado
por la ecuacin (17). Al hacer el clculo, puede ser encontrado de la
ecuacin (18a). Podemos obtener y , de las ecuaciones (18b), (18c) y
(18d) respectivamente.
Donde es el valor igual a o 1, es:
La segunda integral de la ecuacin (7.77) puede ser aproximada
a
Combinando las ecuaciones (7.79), (7.77) y (7.52), tenemos
As, de la expresin anterior, dejando y , podemos de las
ecuaciones previas, fcilmente calcular . Note que y estn conectados
por las relaciones de equilibrio de la ecuacin (16), asumiendo que
versus son conocidos hasta que . Conociendo y , podemos encontrar
el valor de por la ecuacin (18b). El mismo procedimiento puede ser
repetido para calcular y . Una vez que , i=1, 2, 3 y 4 son
conocidos, a puede ser calculado por la ecuacin (7.75).
7.3.2 Modelo para sistemas en continuo
En modo continuo el planteamiento matemtico para describir la
transferencia de masa en un elemento diferencial de columna ser
planteado bajo las siguientes consideraciones:
a)Se reduce el problema a una sola dimensin espacial, en la
direccin del eje de la columna, asumiendo que todas las secciones
transversales son homogneas y mantienen condiciones isotrpicas. Se
supone, por lo tanto, que el valor de las funciones consideradas es
constante en la direccin radial.
b)La seccin de paso por el relleno de la columna se calcula como
la seccin transversal de la columna por su porosidad o fraccin
vaca.
Comenzando con el balance de masa descrito en la ecuacin (1)
pero teniendo en cuenta que esta vez s tendremos una entrada y una
salida, y continuaremos teniendo la acumulacin y el consumo al
igual que en el sistema en batch, obtenemos la siguiente
ecuacin:
(10)
La acumulacin sigue siendo igual que la ecuacin (5) y el consumo
a la ecuacin (6) mientras que la entrada y la salida sern
proporcionales al caudal que ser el mismo en ambos caso y a la
concentracin que obviamente sern diferentes, por lo tanto:
(11)
(12)
Q es el caudal de entrada (L/min)
Cines la concentracin de la entrada (mg/L)
Cout, es la concentracin de salida correspondiente a la de
equilibrio (mg/L) Reemplazando las ecuaciones (5), (6), (11) y (12)
en el balance global (10) nos queda:
(14)
Donde q y qeq son representados por las ecuaciones (8) y (9)
respectivamente.
Debemos tener en cuenta que si se supone que la concentracin de
adsorbato en el fluido es diluida, se considera que la operacin es
casi isotrmica y por lo tanto se elimina la necesidad de resolver
el balance de energa en la columna. Adems si se supone una cada de
presin pequea en el lecho y un perfil de velocidades de flujo pistn
se elimina la necesidad de resolver la ecuacin de cantidad de
movimiento (Maddox y Hines 1987).
Aun as uno de los parmetros ms importantes para el diseo de las
columnas de adsorcin es la cada de presin y no podemos dejar sin
evaluar, para estose usar la correlacin de Leva, por medio de la
ecuacin (15), la cual es vlida en todo rgimen de flujo paraun
lquido incompresible que atraviesa el lecho.
En donde, ReD es el nmero de Reynolds modificado, n es un
exponente, funcin del nmero de Reynolds modificado; dp es el
dimetro promedio dela partcula, definido como el dimetro de una
esfera del mismo volumen dela partcula; S es el factor de forma del
slido, definido como el cociente del rea de una esfera equivalente
al volumen de la partcula dividido por la superficie real de la
misma, fm es el factor de friccin, funcin de Re.
7.3. Modelado matemtico del proceso
El modelado matemtico del proceso se realizar con el fin de
obtener una herramienta que
nos permita
simular dentro de un rango especfico
el funcionamiento de los sistemas de
bioadsorcin de metales pesados en aguas
residuales en modo batch y continuo. Luego de
haber identificado y entendido el fenmeno
que se pretende simular, y los
parmetros que
intervienen en
ste,
la estructura del modelado del proceso estar representada por
los
siguientes pasos:
Se debern plan
tear las aproximaciones, limitaciones y consideraciones que
vayan a
restringir nuestro modelo
matemtico.
Luego se debern plantear las ecuaciones referentes a los
balances de masa, energa
e hidrodinmicos
que sean necesarios
en el sistema. As mismo, se
realizar la
seleccin de las ecuaciones de velocidad de reaccin
correspondientes a los modelos
cinticos, teniendo como criterios de seleccin la consistencia
terica de
sto
s
y s
u
comportamiento al ser validado
s parcialmente con datos ubicados en la lit
eratura.
El modelo final ser obtenido a partir del acople
entre
las distintas ecuaciones
formuladas para los balances de masa, energa e hidrodinmicos
que sean necesarios
y las ecuaciones de velocidad de reaccin
, teniendo en cuenta las restricciones,
consideraciones y limitaciones establecidas.
7.3.1 Modelo para sistemas en batch
Para desarrollar una descripcin matemtica del proceso en batch,
se incorporan tres
resistencias a la separacin de equilibrio ideal: resistencia en
la pelcula, difusin
int
rapartcula
r
e interaccin cintica soluto
-
ligando.
Se considera que el movimiento de soluto involucra su transporte
interfacial desde el seno
del lquido hasta la superficie del adsorbente a travs de una
pelcula estancada que rodea al
adsorbente caracte
rizada por un coeficiente de transferencia de masa
??
??
,
la difusin dentro
del lquido del poro del adsorbe
nte descrita por un coeficiente
????
, y el paso de adsorcin del
soluto en los sitios activos sobre la superficie del adsorbente.
Debido al equilibrio no lineal
que caracteriza a este proceso, el c
omportamiento de la adsorcin se describe ms
apropiadamente mediante teoras cinticas.
7.3. Modelado matemtico del proceso
El modelado matemtico del proceso se realizar con el fin de
obtener una herramienta que
nos permita simular dentro de un rango especfico el
funcionamiento de los sistemas de
bioadsorcin de metales pesados en aguas residuales en modo batch
y continuo. Luego de
haber identificado y entendido el fenmeno que se pretende
simular, y los parmetros que
intervienen en ste, la estructura del modelado del proceso estar
representada por los
siguientes pasos:
Se debern plantear las aproximaciones, limitaciones y
consideraciones que vayan a
restringir nuestro modelo matemtico.
Luego se debern plantear las ecuaciones referentes a los
balances de masa, energa
e hidrodinmicos que sean necesarios en el sistema. As mismo, se
realizar la
seleccin de las ecuaciones de velocidad de reaccin
correspondientes a los modelos
cinticos, teniendo como criterios de seleccin la consistencia
terica de stos y su
comportamiento al ser validados parcialmente con datos ubicados
en la literatura.
El modelo final ser obtenido a partir del acople entre las
distintas ecuaciones
formuladas para los balances de masa, energa e hidrodinmicos que
sean necesarios
y las ecuaciones de velocidad de reaccin, teniendo en cuenta las
restricciones,
consideraciones y limitaciones establecidas.
7.3.1 Modelo para sistemas en batch
Para desarrollar una descripcin matemtica del proceso en batch,
se incorporan tres
resistencias a la separacin de equilibrio ideal: resistencia en
la pelcula, difusin
intrapartcular e interaccin cintica soluto-ligando.
Se considera que el movimiento de soluto involucra su transporte
interfacial desde el seno
del lquido hasta la superficie del adsorbente a travs de una
pelcula estancada que rodea al
adsorbente caracterizada por un coeficiente de transferencia de
masa ??
??
, la difusin dentro
del lquido del poro del adsorbente descrita por un coeficiente
????, y el paso de adsorcin del
soluto en los sitios activos sobre la superficie del adsorbente.
Debido al equilibrio no lineal
que caracteriza a este proceso, el comportamiento de la adsorcin
se describe ms
apropiadamente mediante teoras cinticas.
