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Redes y maquinas electricas
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REDES ELCTRICAS
PROFESOR: FRANCISCO ALONSO V.
INGENIERO CIVIL ELECTRNICO, PUCV
MAGSTER INGENIERA CIVIL INDUSTRIAL, MENCIN GESTIN, PUCV
VIA DEL MAR, 2015
FACULTAD DE INGENIERA
ESCUELA DE INDUSTRIAS
INGENIERA CIVIL INDUSTRIAL
INTRODUCCIN
Los mtodos vistos anteriormente no podan aplicarse si las fuentes no se encuentran en serie o paralelo, ya que existira una interaccin entre las fuentes que no permitira emplear la tcnica de reduccin utilizada para determinar la resistencia total y la corriente de fuente.
Mtodos:
1.- Anlisis de corriente de rama. 2.- Anlisis de malla. 3.- Anlisis de nodos.
Cada mtodo puede aplicarse a la misma red.
Todos los mtodos pueden aplicarse a las redes bilaterales lineales.
Lineal: Las caractersticas de los elementos de red (como resistores) son inde-pendientes del voltaje o de la corriente que pasa a travs de ellos.
INTRODUCCIN
Bilateral: No existir un cambio en el comportamiento o en las caractersticas de un elementos si la corriente o el voltaje en el elemento se invierten
Se considerar la fuente de corriente y las conversiones entre fuentes de voltajey de corriente.
Se analizarn las redes puente y las conversiones (delta) Y (estrella) e Y -
FUENTES DE CORRIENTE
Suministra una corriente fija a la rama en la que se ubique, mientras que su voltaje puede variar segn lo determine la red a la que se aplica.
Dualidad: Indica simplemente un cambio de corriente o de voltaje como formade distinguir las caractersticas de una fuente de las de la otra.
Inters -> Dispositivos semiconductores (Transistor).
Transistor: Dispositivo controlado por corriente.
FUENTES DE CORRIENTE
Una fuente de corriente determinar la corriente dentro de la rama en la que seubique.
La magnitud y la polaridad del voltaje en una fuente de corriente estarn en fun-cin de la red a la que sta se aplique.
CONVERSIONES DE FUENTES
Fuente de corriente descrita anteriormente -> Fuente ideal. (Ausencia de cual-quier resistencia interna).
Todas las fuentes (corriente y voltaje) cuentan con una resistencia interna
CONVERSIONES DE FUENTES
Las conversiones de fuentes son equivalentes slo en sus terminales externas.
Las caractersticas internas de cada fuente son muy diferentes.
Se busca la equivalencia para asegurar que la carga aplicada (RL) recibir la misma corriente, voltaje y potencia desde cada fuente y sin tener que saber o preocuparse por cul fuente se encuentra presente.
Resultado -> Equivalencia entre ambas redes
LS
S
LS
Ss
LSS
SL
LSLS
L
RR
IR
RR
RER
RR
E
R
RI
RR
E
RR
EI
/
1
CONVERSIONES DE FUENTES
FUENTES DE CORRIENTE EN PARALELO
Si dos o ms fuentes estn en paralelo, todas pueden ser reemplazadas por una fuente de corriente que tenga la magnitud y la direccin de la resultante, la cual se encuentra mediante la suma de las corrientes en una direccin y la resta de las corrientes en direccin opuesta.
FUENTES DE CORRIENTE EN SERIE
Las fuentes de corriente con distintos valores nominales de corriente no se conec-tan en serie de la misma forma que las fuentes de voltaje con distintos valores nominales de voltaje no se conectan en paralelo.
ANLISIS DE CORRIENTE DE RAMA
Este mtodo obtendr la corriente a travs de cada rama de la red, la corriente de rama. Una vez que sta se conoce, todas las dems cantidades como el vol-taje o la potencia, pueden determinarse.
1.- Asigne una corriente distinta de direccin arbitraria a cada rama de la red. 2.- Indique las polaridades para cada resistor segn lo determine la direccin de la
corriente asumida. 3.- Aplique la ley de voltaje de kirchhoff alrededor de cada lazo cerrado independien-
te de la red. 4.- Aplique la Ley de corriente de kirchhoff al nmero mnimo de nodos que incluya
todas las corrientes de rama de la red. El nmero mnimo de nodos ser uno me-nos que el nmero de nodos independientes de la red.
5.- Resuelva las ecuaciones lineales simultneas resultantes para las corrientes de rama asumidas.
Nodo: Unin de dos o ms ramas; Rama: Combinacin de elementos en serie.
ANLISIS DE CORRIENTE DE RAMA
Encontrar en nmero de ventanas dentro de la red, antes de aplicar LKV.
ANLISIS DE CORRIENTE DE RAMA
Ejemplo: Aplique el mtodo de corriente de rama a la red de la figura.
ANLISIS DE CORRIENTE DE RAMA
1.- Existen tres ramas distintas (cda, cba, ca), se seleccionan tres corrientes con direccin arbitraria (I1, I2, I3). Las direcciones se eligieron para que coincidan con la presin aplicada por las fuentes E1 y E2, respectivamente. Por LKC, comoI1 e I2 ingresan al nodo, I3 lo abandona.
ANLISIS DE CORRIENTE DE RAMA
2.- Se trazan las polaridades de cada resistor para que concuerden con las direccio-nes de corriente supuestas.
ANLISIS DE CORRIENTE DE RAMA
3.- Se aplica LKV alrededor de cada lazo cerrado (1 y 2) en el sentido de las manec-cillas del reloj.
Lazo 1:
Lazo 2:
0)4()2(2
0
31
1 31
IIV
VVEV RR
06)1()4(
0
23
223
VII
EVVV RR
ANLISIS DE CORRIENTE DE RAMA
4.- Aplique LKC al nodo a (en una red de dos nodos, la ley se aplica slo sobre un nodo).
Nodo a:
5.- Existen tres ecuaciones y tres incgnitas (se eliminan las unidades para mayor claridad):
321
23
31
0614
0422
III
II
II
321 III
0
640
2402
321
32
31
III
II
II
ANLISIS DE CORRIENTE DE RAMA
Utilizando determinantes de tercer orden, se tiene:
Un signo negativo frente a una corriente de rama indica nicamente que la corriente real tiene direccin opuesta a la corriente asumida.
AI 1
111
410
402
110
416
402
1
AI 2
111
410
402
101
460
422
2
AI 1
111
410
402
011
610
202
3
ANLISIS DE MALLAS
Malla: Derivado de las similitudes en apariencia entre los lazos cerrados de una red y una malla de tela metlica.
El mtodo anlisis de mallas simplemente elimina la necesidad de sustituir los resultados de la ley de Kirchhoff en las ecuaciones derivadas a partir de la ley de voltaje de Kirchhoff.
1.- Asigne una corriente diferente en el sentido de las manecillas del reloj a cadalazo cerrado e independiente de la red.
2.- Indique las polaridades dentro de cada lazo para cada resistor segn lo determine la corriente de lazo en ese lazo. Advierta el requisito de que las polaridades se co-loquen dentro de cada lazo.
ANLISIS DE MALLAS
3.- Aplique LKV alrededor de cada lazo cerrado en el sentido de las manecillas del re-loj.
Si un resistor cuenta con dos o ms corrientes asumidas a travs de l, la corriente total por l ser la corriente asumida del lazo en el que se est apli-cando LKV, ms las corrientes asumidas de los otros lazos que lo cruzan en lamisma direccin, menos las corrientes asumidas que van en direccin opuesta.
La polaridad de la fuente de voltaje no se ve afectada por la direccin asignada de las corrientes de lazo.
4.- Resuelva las ecuaciones simultneas resultantes para las corrientes de lazo.
ANLISIS DE MALLAS
Ejemplo: Encuentre la corriente a travs de cada rama de la red de la figura utilizan-do el anlisis de mallas.
ANLISIS DE MALLAS
Observe que las polaridades del resistor de 6 son distintas para cada corriente de lazo.
Se aplica LKV alrededor de cada lazo cerrado en el sentido de las manecillas del reloj:
Lazo 1:
I2 fluye a travs del resistor de 6 en direccinopuesta a I1.
Lazo 2:
010))(6()1(5
0
211
2211
VIIIV
EVVE
0)2())(6(10
0
212
322
IIIV
VVE
ANLISIS DE MALLAS
AI 120
20
3656
6040
86
67
810
65
1
AI 220
40
20
3070
20
106
87
2
1086
567
21
21
II
II
ANLISIS DE MALLAS
Dado que I1 e I2 son positivas y fluyen en direcciones opuestas a travs del resistor de 6 y la fuente de 10V, la corriente total en esta rama es igual a la diferencia de las dos corrientes en la direccin de la ms grande:
En direccin de I2.
AAAIII
AAII
R 112
)12(
12
12
2
ANLISIS DE NODOS
Se utiliza LKC para desarrollar un mtodo denominado anlisis de nodos.
Nodo: Unin de dos o ms ramas.
Se puede definir un nodo de cualquier red como referencia (punto con potencial cero o tierra), los nodos restantes de la red tendrn un potencial fijo respecto a esta referencia.
Para una red con N nodos, existirn (N-1) nodos con potencial fijo respecto del nodo de referencia asignado.
Las ecuaciones que relacionan estos voltajes nodales pueden escribirse al aplicar LKC sobre cada uno de los (N-1) nodos
ANLISIS DE NODOS
1.- Determine el nmero de nodos de la red.
2.- Escoja un nodo de referencia, y etiquete cada nodo restante con un valor de vol-taje con subndice: V1, V2, etc.
3.- Aplique LKC sobre cada nodo excepto sobre el de referencia. Asuma que todaslas corrientes desconocidas abandonan el nodo por cada aplicacin de LKC. Paraque cada nodo no se vea influenciado por la direccin que una corriente descono-cida en oro nodo pudiera haber tenido. Cada nodo se debe tratar como una en-tidad distinta e independiente de la aplicacin de LKC a los otros nodos.
4.- Resuelva las ecuaciones resultantes para los voltajes nodales.
ANLISIS DE NODOS
1.- Determine el nmero de nodos de la red.
2.- Escoja un nodo de referencia, y etiquete cada nodo restante con un valor de vol-taje con subndice: V1, V2, etc.
3.- Aplique LKC sobre cada nodo excepto sobre el de referencia. Asuma que todaslas corrientes desconocidas abandonan el nodo por cada aplicacin de LKC. Paraque cada nodo no se vea influenciado por la direccin que una corriente descono-cida en oro nodo pudiera haber tenido. Cada nodo se debe tratar como una en-tidad distinta e independiente de la aplicacin de LKC a los otros nodos.
4.- Resuelva las ecuaciones resultantes para los voltajes nodales.
ANLISIS DE NODOS
Ejemplo: Aplique el anlisis de nodos a la red de la figura.
ANLISIS DE NODOS
La red cuenta con dos nodos. El nodo inferior se define como el nodo de refe-rencia al potencial de tierra (cero volts), y el otro nodo como V1, que es el vol-taje del nodo 1 a tierra.
Se establece que I1 e I2 abandonan el nodo, y se aplica LKC:
La corriente I2 se relaciona con el voltaje nodal V1 mediante la ley de Ohm:
La corriente I1 tambin est determinada por la ley de Ohm:
21 III
2
1
2
22
R
V
R
VI
R
EVV
R
VI
R
R
1
1
1
1
1
ANLISIS DE NODOS
Sustituyendo en la ecuacin de LKC.
Sustituyendo los valores numricos:
IR
E
RRV
R
E
RRV
R
V
R
E
R
VI
R
V
R
EVI
121
1
121
1
2
1
11
1
2
1
1
1
11
11
VV
AV
V
20
16
24
12
1
6
1
1
1
ANLISIS DE NODOS
Las corrientes I1 e I2 pueden determinarse entonces utilizando las ecuaciones anteriores:
AVVV
R
EVI 667.0
6
4
6
2420
1
11
AV
R
VI 667.1
12
20
2
12
REDES PUENTE
Configuracin que tiene mltiples aplicaciones (circuitos rectificadores).
Utilizadas en medidores de ca como de cd.
Tambin denominada red en celosa simtrica si R2 = R3 y R1 = R4.
REDES PUENTE
Analizando una configuracin de puente estndar utilizando corrientes de mallas.
052152
054254
2024243
213
312
321
III
III
VIII
0852
05114
20249
321
321
321
III
III
VIII
REDES PUENTE
Con el resultado de que:
La corriente neta a travs del resistor de 5 ser:
AI
AI
AI
667.2
667.2
4
3
2
1
AAAIII 0667.2667.2325
REDES PUENTE
Analizando una configuracin de puente estndar utilizando anlisis de nodos.
05
1
2
1
1
1
2
1
5
1
05
1
4
1
5
1
2
1
4
1
3
20
2
1
4
1
2
1
4
1
3
1
213
312
321
VVV
VVV
AVVV
01
1
2
1
5
1
5
1
2
1
05
1
5
1
2
1
4
1
4
1
3
20
2
1
4
1
2
1
4
1
3
1
321
321
321
VVV
VVV
AVVV
REDES PUENTE
Dando como resultado:
Y el voltaje en el resistor de 5 es:
Dado que V5 = 0V, es posible insertar un corto en lugar del puente sin afectar el comportamiento de la red.
VV
VV
VV
667.2
667.2
8
3
2
1
VVVVVV 0667.2667.2325
REDES PUENTE
Determinando el Voltaje en R4.
V
VVVV
V
VV
667.215
40
942
202
3
9
3
4
3
2
203
2
36
8
3
2
203
2
32412
2012
1
1
REDES PUENTE
Mediante el anlisis de malla se encontr que I5 = 0A, lo cual tiene su equivalente de circuito abierto. (Ciertamente I=V/R=0/()=0A.)
V
VVV
VVV
V
667.23
8
21
81
832
202
336
2036
1
3
REDES PUENTE
La condicin V5 = 0V o I5 = 0A se presenta slo para una relacin particular entre los resistores de la red.
Se derivar la relacin utilizando la red de la figura, en la que se indica que I = 0A y V = 0V. El resistor Rs no aparece en el siguiente anlisis. Se dice que la red se encuentra balanceada cuando se presenta la condicin I = 0A o V = 0V.
Si V=0V (corto circuito) entonces:
O bien
21 VV
2211 RIRI 1
221
R
RII
REDES PUENTE
Adems, cuando V = 0V.
Si se establece I = 0A, entonces I3 = I1 e I4 = I2, ocasionando que la ecuacin anterior se convierta en.
Al sustituir I1 en la ecuacin anterior resulta:
43 VV
4433 RIRI
423
1
22 RIRR
RI
4231 RIRI
4
2
3
1
R
R
R
R
REDES PUENTE
Si la razn de R1 a R3 es igual a la de R2 a R4, el puente estar balanceado, e I = 0A o V =0V.
Para el ejemplo anterior, R1 = 4, R2 = 2, R3 = 2, R4 = 1, y:
Si la proporcin no se satisface, existir una ca-da de potencial en el brazo de balance y una co-rriente a travs de l.
21
2
2
4
4
2
3
1
R
R
R
R
CONVERSIONES Y- (T-) Y -Y (-T)
Con frecuencia se encuentran configuraciones de circuito en las que los resistores no parecen estar en serie o en paralelo.
Puede ser necesario convertir el circuito de una forma a otra para resolver algunas cantidades desconocidas si no se aplica el anlisis de nodos o mallas.
Dos configuraciones de circuito que, por lo general, presentan estas dificultades son las configuraciones ye (Y) y delta (). Tambin se denominan como configuracin en te (T) y pi ().
CONVERSIONES Y- (T-) Y -Y (-T)
Con frecuencia se encuentran configuraciones de circuito en las que los resistores no parecen estar en serie o en paralelo.
Puede ser necesario convertir el circuito de una forma a otra para resolver algunas cantidades desconocidas si no se aplica el anlisis de nodos o mallas.
Dos configuraciones de circuito que, por lo general, presentan estas dificultades son las configuraciones ye (Y) y delta (). Tambin se denominan como configuracin en te (T) y pi ().
CONVERSIONES Y- (T-) Y -Y (-T)
Propsito -> Desarrollar las ecuaciones para convertir de la configuracin a Y, o viceversa.
Con las terminales a, b y c mantenidas, si se deseara la configuracin en Y en lugar de la configuracin de delta invertida (), slo sera necesario una aplicacin directa de las ecuaciones que se obtendrn.
Encontrar alguna expresin para R1, R2 y R3 entrminos de RA, RB y RC, y viceversa, por la cualsea seguro que la resistencia entre dos termina-les cualquiera de la configuracin en Y ser la misma que la de la configuracin en que seinserte en lugar de la configuracin en Y (yviceversa).
Si los dos circuitos sern equivalentes, la resistencia total entre dos terminales cualesquiera deber ser la misma.
CONVERSIONES Y- (T-) Y -Y (-T)
Considrense las terminales a-c en las configuraciones -Y de la figura:
Se supone que se desea convertir la configuracin (RA, RB, RC) a la Y (R1, R2, R3).
1. La resistencia deber ser la misma entre las terminales a-c para ambas configuraciones ( e Y).
CONVERSIONES Y- (T-) Y -Y (-T)
)()( caca RYR
CABCAB
caRRR
RRRRRR
)(31
BACBAC
baRRR
RRRRRR
)(21
CBACBA
cbRRR
RRRRRR
)(32
1
2
3
CONVERSIONES Y- (T-) Y -Y (-T)
CBA
AB
RRR
RRR
22 3
CBA
ABCA
RRR
RRRRRR
32
CBA
CBAB
CBA
ACBC
RRR
RRRR
RRR
RRRRRRRR 3121
Restando la ecuacin 1 de la ecuacin 2 resulta:
De manera que:
Restando la ecuacin 4 de la ecuacin 3 resulta:
De manera que:
4
CBA
ABCA
CBA
CABA
RRR
RRRR
RRR
RRRRRRRR 3232
CONVERSIONES Y- (T-) Y -Y (-T)
CBA
CA
RRR
RRR
2
CBA
CB
RRR
RRR
1
CBA
BA
RRR
RRR
3
Dando por resultado la siguiente expresin para R3 en trminos de RA, RB y RC.
Siguiendo el mismo procedimiento para R1 y R2, se tiene:
Y:Cada resistor de la configuracin Yes igual al producto de los resistoresen las dos ramas ms cercanas de la configuracin dividido entre la suma de los resistores en la .
5
6
7
CONVERSIONES Y- (T-) Y -Y (-T)
1//
/
//
/
1323
13
1323
132
RRRR
RRR
RRRRRRR
RRRRR C
CCC
CC
C
B
CBACA
CBABA
R
R
RRRRR
RRRRR
R
R
/)(
/
2
3
C
A
CBACB
CBABA
R
R
RRRRR
RRRRR
R
R
/
/
1
3
Para obtener las relaciones necesarias y convertir de una Y a una , primero se divide la ecuacin 5 entre la ecuacin 6:
Luego se divide la ecuacin 5 entre la ecuacin 7:
Sustituyendo RA y RB en al ecuacin 7 resulta:
1
3
R
RRR CA
2
3
R
RRR CB
CONVERSIONES Y- (T-) Y -Y (-T)
1
323121
R
RRRRRRRA
3
323121
R
RRRRRRRC
323121
32
21323121
132
/
/
RRRRRR
RRR
RRRRRRRR
RRRR CC
Al ajustarlos sobre un denominador comn se obtiene:
Se sigue el mismo procedimiento para RB y RA:
2
323121
R
RRRRRRRB
El valor de cada resistor de la es igual a la suma de las posibles combinacionesde productos de las resistencias de la Ydividida entre la resistencia de la Y msalejada del resistor a ser determinado.
CONVERSIONES Y- (T-) Y -Y (-T)
33
2
3A
A
A
AAA
AA
CBA
BA R
R
R
RRR
RR
RRR
RRR
3
R
RY
32
ARR
Si RA = RB = RC, la ecuacin 5 se convertira (utilizando nicamente RA) en lo siguiente:
Y siguiendo el mismo procedimiento:
Por tanto, en general:
31
ARR
YRR 3
Para una Y con tres resistores iguales, el valor de cada resistor de la es igual a tres veces el valor de cualquier resistor dela Y.
El teorema de Superposicin
Teorema: Afirmacin que se puede probar matemticamente, hecho que lo diferencia de una definicin o una ley. (Derivacin).
Se utiliza para encontrar la solucin a redes con dos o ms fuentes que estn en serie o en paralelo.
No requiere el uso de una tcnica matemtica como los determinantes para encontrar la corriente o tensin requerida.
Cada fuente es tratada independientemente y la suma algebraica se encuentra para determinar una cantidad particular desconocida de la
red.
La corriente o tensin de un elemento es igual a la suma algebraica de las corrientes o tensiones producidas independientemente por cada fuente
TEOREMA DE CIRCUITOS
El teorema de Superposicin
Nmero de redes por analizar = Nmero de fuentes independientes
Para considerar los efectos de cada fuente independientemente se re-quiere que las fuentes sean removidas y reemplazadas si afectar el re-sultado final.
A.- Remover una fuente de voltaje -> Diferencia de potencial entre las terminales debe hacerse igual a 0 (corto circuito).
TEOREMA DE CIRCUITOS
El teorema de Superposicin
Nmero de redes por analizar = Nmero de fuentes independientes
B.- Remover una fuente de corriente -> Terminales sean abiertas (circuito abierto).
Cualquier resistencia o conductancia interna asociada con las fuentes desplazadas no es eliminada pero, no obstante, debe ser considerada.
TEOREMA DE CIRCUITOS
El teorema de Superposicin.
La corriente total a travs de cualquier porcin de la red es igual a la suma algebraica de las corrientes producidas independientemente por cada fuente.
Si las corrientes estn en direcciones opuestas, se calcula la diferencia y la direccin de la corriente es la de la mayor.
El principio de superposicin no es aplicable para el clculo de la potencia ya que laprdida de potencia de un resistor vara con el cuadrado (no lineal) de la corriente o
del voltaje.
NT IIII ....21
TEOREMA DE CIRCUITOS
El teorema de Superposicin
AI
RRcc
IRI cc 0
60
*)0(*
1
1
Solucin:
Haciendo E = 0V se obtiene la figura, donde un corto circuito equivalente
ha reemplazado la fuente de 30 V. La fuente de corriente escoger la tra-
yectoria de corto circuito, e I1 = 0 A. Al aplicar la regla de divisor de co-
rriente.
Ejemplo:
Determine I1 para la red de la figura.
Solucin:
Al establecer I en cero ampere resultar la red de la figura, con la fuente
de corriente reemplazada por un circuito abierto. Aplicando la ley de Ohm,
AV
R
EI 5
6
30
1
1
AAAIII 550 111
Solucin:
Como I1 e I1 tienen la misma direccin definida en las figuras anterio-
res, la corriente I1 es la suma de las dos, y:
TEOREMA DE CIRCUITOS
El teorema de Superposicin.
AV
RR
E
R
EI
T
2612
36
21
2
Solucin:
Considerando el efecto de la fuente de 36 V:
Ejemplo:
Usando la superposicin, encuentre la corriente a travs del resistor de 6 de la red de la figura. Demuestre que la superposicin no es aplicable a
los niveles de potencia.
Solucin:
Considerando el efecto de la fuente de 9A, aplicando la regla del divisor
de corriente:
Solucin:
La corriente total a travs del resistor de 6 es:
AAA
RR
IRI 6
18
108
612
)9(*)12(*
21
12
AAAIII 862 222
TEOREMA DE CIRCUITOS
Teorema de circuitos: El teorema de Superposicin.
WARIPotencia 384)6(*)8(* 222
2
Solucin:
La potencia para el resistor de 6 es:
La potencia calculada para el resistor de 6 debida a cada fuente,
usando el principio de superposicin, es:
Esto resulta porque , pero:
WWPP
WARIP
WARIP
384240
216)6(*)6(*)(
24)6(*)2(*)(
21
2
22
2
21
AAA 862 222 )8()6()2( AAA
TEOREMA DE CIRCUITOS
El teorema de Superposicin.
RVRI /;* 22
Solucin:
El principio de superposicin no es aplicable para los clculos de potencia ya que la
potencia es proporcional al cuadrado de la corriente o de la tensin:
La figura es una grfica de la potencia entregada al resistor de 6 en funcin de la
corriente. Trazado de la potencia entregada al resistor de 6 ohm
en funcin de la corriente a travs del resistor
0
100
200
300
400
500
0 2 4 6 8 10
Corriente (A)
Po
ten
cia
(W
)
TEOREMA DE CIRCUITOS
El teorema de Superposicin.
Solucin:
Para una relacin lineal, como entre el voltaje y la corriente del resistor tipo fijo de
6, la superposicin puede ser aplicada, como se demuestra mediante la grfica de
la figura, donde a + b = c 2A + 6A = 8A.
Trazado de I en funcin de V para el resistor de 6 ohm.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0 10 20 30 40 50 60
Tensin (V)
Co
rrie
nte
(A
)
TEOREMA DE CIRCUITOS
Teorema de circuitos: El Teorema de Thevenin
Definicin de la tensin y resistencia Thevenin
Tensin Thevenin VTH: Tensin que aparece entre los terminales de la carga cuando se desconecta la resistencia de carga. (Tensin de circuito abierto.)
Resistencia Thevenin RTH: Resistencia que
un hmetro mide a travs de los terminales
de la carga cuando todas las fuentes se anu-
lan y la resistencia se abre.
Resistencia Thevenin: RTH = RCA
TEOREMA DE CIRCUITOS
El Teorema de Thevenin
Definicin de la tensin y resistencia Thevenin
Para anular una fuente de tensin, se reemplaza por un cortocircuito (Garantiza tensin cero cuando una corriente pasa a travs de la fuente de tensin.)
Para invalidar una fuente de corriente, se sustituye por un circuito abierto. (Asegura corriente cero cuando existe una tensin a travs de la fuente de corriente.)
TEOREMA DE CIRCUITOS
El Teorema de Thevenin
La derivacin
Caja negra: Cualquier circuito con fuentes continuas y resistencias lineales (no cambia con el incremento de la tensin).
No importa lo complicado que sea el circuito dentro de dicha caja, ya que producir exactamente la misma corriente por la carga que el circuito simple de la figura.
IL = VTH / (RTH + RL)
TEOREMA DE CIRCUITOS
El Teorema de Thevenin
La derivacin
Ejemplo:
Cules son la tensin y la resistencia Thevenin en el circuito de la
Figura?
El Teorema de Thevenin
La derivacin
Solucin: Obtencin de VTH
En primer lugar, calculamos la tensin Thevenin. Para hacerlo hay
que abrir la resistencia de carga, que es equivalente a desconectarla del
circuito. Como 8 mA circulan a travs de 6 k en serie con 3 k,
Aparecern 24 V a travs de 3 k. Luego, VTH = 24 V.
El Teorema de Thevenin
La derivacin
Solucin: Obtencin de RTH
El segundo punto es obtener la resistencia Thevenin para lo cual hay que
anular una fuente continua, que es equivalente a reemplazarla por un
cortocircuito. Si conectamos un hmetro en los terminales AB se leer 6
k, ya que el hmetro ve 4 k en serie con una conexin en paralelo de
3 k y 6 k. Se puede escribir.
RTH = 4 k + (3 k * 6 k)/(3 k + 6 k)
RTH = 6 k
TEOREMA DE CIRCUITOS
El Teorema de Thevenin
La derivacin
Ejemplo: En el circuito de la Figura, Cul es el valor de la corriente por
la carga para los siguientes valores de RL: 2 k, 6k y 18 k?
El Teorema de Thevenin
La derivacin
Solucin: Se puede utilizar el circuito de la figura. Cuando la resistencia
de carga es 2 k:
IL = 24 V / (6 k + 2 k) = 3 mA.
Para RL = 6 k
IL = 24 V / (6 k + 6 k) = 2 mA.
Para RL = 18 k
IL = 24 V / (6 k + 18 k) = 1 mA.
TEOREMA DE CIRCUITOS
El Teorema de Thevenin
La derivacin
Ejemplo: Una placa grapinada es un circuito construido a menudo con
conexiones sin soldaduras dando poca importancia a la localizacin final
de las partes para probar si es o no un diseo factible. Supongamos que
Tenemos el circuito de la Figura grapinado en un banco de laboratorio.
Cmo mediramos la tensin y la resistencia de Thevenin?
El Teorema de Thevenin
La derivacin
Solucin: Empecemos por reemplazar la resistencia de carga por un polmetro,
como se muestra en la Figura. Despus de inicializar el Polmetro para medir
voltios debe indicar 9 V. Esta es la tensin Thevenin.
El Teorema de Thevenin
La derivacin
Solucin: Ahora, reemplacemos la fuente continua por un cortocircuito.
Fije el polmetro para que mida ohmios e indicar 1,5 k. Esta es la
Resistencia de Thevenin.
TEOREMA DE CIRCUITOS
Teorema de Norton
Corriente de Norton IN: Corriente por la carga cuando la resisten-
cia de carga se cortocircuita (Corriente por la carga en cortocircuito)
Corriente de Norton: IN = ICC
Resistencia de Norton RN: Resistencia
que un hmetro mide en los terminales
de la carga cuando todas las fuentes se
anulan y la resistencia de carga queda
abierta.
Resistencia de Norton: RN = RCA
Como RTH = RCA -> RN = RTH
TEOREMA DE CIRCUITOS
Teorema de Norton
Idea Bsica
El circuito de la caja negra producir exactamente la misma tensin en la carga que el circuito simple de la Figura inferior.
VL = IN * (RN * RL)/(RN + RL)
La tensin en la carga es igual a la corriente
de Norton multiplicada por la resistencia de
Norton en Paralelo con la resistencia de carga
TEOREMA DE CIRCUITOS
Teorema de Norton
La derivacin
El T. Norton se deduce del principio de dualidad.
Principio de Dualidad: Para cualquier teorema de circuitos elctricos hay un teorema dual (opuesto) en el que se reemplazan las cantida-
des originales por cantidades duales.
Tensin -------------- Corriente
Fuente de Tensin -------------- Fuente de Corriente
Serie -------------- Paralelo
Resistencia en Serie -------------- Resistencia en Paralelo
TEOREMA DE CIRCUITOS
Teorema de Norton
La derivacin
Se pueden utilizar cualquiera de los circuitos (Thevenin Norton) en los clculos.
TEOREMA DE CIRCUITOS
Pasos para obtener los valores de Thevenin y de Norton.
Proceso Thevenin Norton
Paso 1 Abrir la resistencia de carga Cortocircuitar la resistencia de carga.
Paso 2 Calcular o medir la tensin en circuito abierto. Esta es la tensin Thevenin.
Calcular o medir la corriente en cortocircuito. Esta es la corriente de Norton.
Paso 3 Cortocircuitar las fuentes de tensin y abrir las fuentes de corriente.
Cortocircuitar las fuentes de tensin, abrir las fuentes de corriente y abrir la resistencia de carga.
Paso 4 Calcular o medir la resistencia en circuito abierto. sta es la resistencia Thevenin
Calcular o medir la resistencia en circuito abierto. sta es la resistencia Norton.
TEOREMA DE CIRCUITOS
Teorema de Norton
La derivacin
Ejemplo: Supongamos que hemos reducido un circuito complicado la circuito
Thevenin que se muestra en la figura. Cmo podemos convertir este en un circuito
Norton?
Teorema de Norton
La derivacin
Solucin: Utilizamos la ecuacin IN = VTH/RTH para obtener el siguiente resultado:
IN = 10 V / 2 k = 5 mA
La figura presenta el circuito de Norton:
TEOREMA DE CIRCUITOS
TEOREMA DE CIRCUITOS
Teorema de la Mxima Transferencia de Potencia
Una carga recibir potencia mxima de una red de cd lineal bilateral cuando su valor resistivototal sea exactamente igual a la resistencia de Thvenin de la red como es vista por la car-ga.
La potencia mxima ser entregada a la carga cuando:
Al aplicar el teorema de Thvenin, con respecto al teorema de la mxima transferencia, se estarconsiderando los efectos totales de cualquier reda travs de un resistor RL.
ThL RR
TEOREMA DE CIRCUITOS
Teorema de la Mxima Transferencia de Potencia
Para el circuito equivalente de Norton, la potencia mxima ser entregada a la carga cuando:
NL RR
TEOREMA DE CIRCUITOS
Teorema de la Mxima Transferencia de Potencia
22
2
2
LTh
LThL
L
LTh
ThLL
LTh
Th
RR
REP
RRR
ERIP
RR
EI
TEOREMA DE CIRCUITOS
Teorema de la Mxima Transferencia de Potencia Ejemplo
La potencia a la carga es determinada por:
L
L
LTh
LL
LLTh
ThL
L
L
LTh
LThL
R
VR
RR
VRV
R
V
RR
EI
R
R
RR
REP
9
6060
9
60
9
360022
2
L
L
LTh
LL
LLTh
ThL
L
L
LTh
LThL
R
VR
RR
VRV
R
V
RR
EI
R
R
RR
REP
9
6060
9
60
9
360022
2
TEOREMA DE CIRCUITOS
L
L
LTh
LL
LLTh
ThL
L
L
LTh
LThL
R
VR
RR
VRV
R
V
RR
EI
R
R
RR
REP
9
6060
9
60
9
360022
2
TEOREMA DE CIRCUITOS
Teorema de la Mxima Transferencia de Potencia Ejemplo
De la grfica anterior se concluye:
1.- PL es mximo cuando RL = RTh = 9.
2.- La curva de potencia crece ms rpidamente hacia su valor mximo que lo que disminuye despus de su punto mximo.
3.- Un pequeo cambio en la resistencia de la carga para valores de RL por debajo de RTh ten-dr un efecto ms considerable sobre la potencia entregada que cambios similares en RLpor arriba del valor de RTh.
TEOREMA DE CIRCUITOS
L
L
LTh
LL
LLTh
ThL
L
L
LTh
LThL
R
VR
RR
VRV
R
V
RR
EI
R
R
RR
REP
9
6060
9
60
9
360022
2
TEOREMA DE CIRCUITOS
Teorema de la Mxima Transferencia de Potencia Ejemplo
De la grfica anterior se concluye:
1.- El VL y la IL cambian no linealmente, con el voltaje terminal creciendo con un incremento en la resistencia de la carga conforme la corriente disminuye.
2.- Los cambios ms considerables en VL e IL ocurren para valores de RL menores que RTh.
3.- Cuando:
ThThmxmxLThLThL REIIIEVRR /,2/,2/,
TEOREMA DE CIRCUITOS
Teorema de la Mxima Transferencia de Potencia Ejemplo
La eficiencia operativa en cd de un sistema est definida por la razn de la potencia entrega-da a la carga a la potencia suministrada por la fuente; esto es:
Para la situacin definida por la figura,
%100% s
L
P
P
%100%
%100%100%2
2
LTh
L
TL
LL
s
L
RR
R
RI
RI
P
P
TEOREMA DE CIRCUITOS
Teorema de la Mxima Transferencia de Potencia Ejemplo
Para una RL que es pequea comparada con RTh, RTh >>RL y RTh + RL RTh con:
La eficiencia porcentual resultante, ser relativamente baja (ya que k es pequea) y crecer casi linealmente cuando RL aumente.
Para situaciones donde la resistencia de la carga RL esmucho mayor que RTh, RL >> Rth y RTh + RL RL.
%100%1001
%100%
tan
LL
teCons
ThTh
L kRRRR
R
%100%100% L
L
R
R
TEOREMA DE CIRCUITOS
TEOREMA DE CIRCUITOS
Teorema de la Mxima Transferencia de Potencia Ejemplo
La eficiencia crece lineal y considerablemente para niveles pequeos de RL y luego comienzaa nivelarse al acercarse al nivel de 100% para valores muy grandes de RL.
A niveles de eficiencia cercanos al 100%, la potencia entregada a la carga puede ser tan pequea que tenga poco valor prctico.
Del ejemplo:
Cuando RL = 1000, aun cuando el nivel de eficiencia ser:
%11.99%1001009
1000%100%
LTh
L
RR
R
TEOREMA DE CIRCUITOS
Teorema de la Mxima Transferencia de Potencia
Cuando RL= RTh.
Bajo condiciones de mxima transferencia de potencia, PL es un mximo, pero la eficiencia en cd es de slo 50%; slo la mitad de la potencia entregada por la fuente est llegando a la carga.
Eficiencia relativamente baja 50% -> Tolerable en situaciones don-de los niveles de potencia son bajos, como una amplia variedad desistemas electrnicos
Para grandes niveles de potencia, como estaciones generadoras, eficiencias del 50% no sern aceptables .
%50%1002
%100%
L
L
LTh
L
R
R
RR
R
Grfica Semilogartmica de PL y la potencia en-tregada por la fuente Ps = ETh*IL, en funcin de RL para ETh = 60V y RTh = 9.
Amplio intervalo de RL permitido.
La curva PL tiene slo un mximo (en RL = RTh),mientras PS disminuye para todo aumento de RL.
Para niveles bajos de RL, slo una pequea por-cin de la potencia entregada por la fuente llega a la carga.
Cuando RL = RTh -> Ps = 2PL
Para valores de RL mayores que RTh, las dos cur-vas se acercan entre s hasta que forman una sola a niveles altos de RL.
TEOREMA DE CIRCUITOS
Teorema de la Mxima Transferencia de Potencia
La potencia entregada a RL bajo condiciones de potencia mxima (RL = RTh) es:
)(4
),(4
42
2
22
2
22
2
WRI
PWwattsR
EP
R
RER
R
ERIP
R
E
RR
EI
NNL
Th
ThL
Th
ThThTh
Th
ThLL
Th
Th
LTh
Th
mxmx
TEOREMA DE CIRCUITOS
Teorema de la Mxima Transferencia de Potencia
Para cargas conectadas directamente a un suministro de voltaje de cd, la potencia mxima se-r entregada a la carga cuando la resistencia de carga sea igual a la resistencia interna de lafuente.
intRRL
TEOREMA DE CIRCUITOS
Teorema de Millman
Cualquier nmero de fuentes de voltaje en paralelo puede ser reducido a una fuente.
Permite encontrar la corriente o el voltaje en RL sin tener que aplicar un mtodo tal como el anlisis de malla, el anlisis de nodo, la superposicin, etc.
TEOREMA DE CIRCUITOS
Teorema de Millman
1.- Convierta todas las fuentes de voltaje a fuentes de corriente.
2.- Combine las fuentes de corriente en paralelo.
321
321
GGGG
IIII
T
T
TEOREMA DE CIRCUITOS
Teorema de Millman
3.- Convierta la fuente de corriente resultante a una fuente de voltaje, obteniendo la red deseada de una sola fuente.
TEOREMA DE CIRCUITOS
Teorema de Millman Generalizacin
Establece que para cualquier nmero de fuentes de voltaje en paralelo.
N
NNec
N
N
T
Tec
GGGG
GEGEGEGEE
GGGG
IIII
G
IE
....
....
....
....
321
332211
321
321
TEOREMA DE CIRCUITOS
Teorema de Millman Generalizacin
La resistencia equivalente es:
En trminos de los valores de resistencia,
NT
ecGGGGG
R
....
11
321
N
ec
N
N
N
ec
RRRR
R
RRRR
R
E
R
E
R
E
R
E
E1
.....111
1
1...
111
.....
321321
3
3
2
2
1
1
TEOREMA DE CIRCUITOS
Teorema de Millman Generalizacin
El dual del teorema de Millman para fuentes de corriente:
En trminos de los valores de resistencia,
321 RRRRec
321
332211
RRR
RIRIRIIec
TEOREMA DE CIRCUITOS
Teorema de Sustitucin
Si el voltaje y la corriente a travs de cualquier rama de una red de cd bilateral son conocidos, esta rama puede ser reemplazada por cualquier combinacin de elementos que mantendr el mismo voltaje y la misma corriente a travs de la rama escogida.
Establece que para la equivalencia de rama, el voltaje y la corriente en las terminales deben ser los mismos.
TEOREMA DE CIRCUITOS
Teorema de Sustitucin - Ejemplo
Considere el siguiente circuito:
TEOREMA DE CIRCUITOS
Teorema de Sustitucin - Ejemplo
Para cada rama equivalente, el voltaje en las terminales y la corriente son los mismos.
La respuesta del resto del circuito no cambia al sustituir cualquiera de las ramas equivalentes.
Una diferencia de potencial y una corriente conocidas en una red pueden ser reemplazadaspor una fuente de voltaje y una fuente de corriente ideales respectivamente.
El teorema no puede ser utilizado para resolver redes con dos o ms fuentes en serie o en pa-ralelo. Para aplicarlo, un valor de diferencia de potencial o de corriente debe ser conocido o encontrado usando una de las tcnicas vistas antes.
TEOREMA DE CIRCUITOS
Teorema de Sustitucin - Ejemplo
TEOREMA DE CIRCUITOS
Teorema de Reciprocidad
Aplicable slo a redes de una sola fuente.
La corriente I en cualquier rama de una red, debida a una sola fuente de voltaje E en cualquier otra parte de la red, ser igual a la corriente a travs de la rama en que la fuente estaba origi-nalmente localizada si la fuente es colocada en la rama en que la corriente I se midio en un principio.
La ubicacin de la fuente de voltaje y la corriente resultante pueden ser intercambiadas sin que se registre un cambio en corriente.
Requiere que la polaridad de la fuente de voltaje tenga la misma correspondencia con la direc-cin de la corriente de rama en cada posicin.
TEOREMA DE CIRCUITOS
Teorema de Reciprocidad