métodos de CHOLESKY

Matemática básica II Sistema de ecuaciones lineales

CONTENIDO

CONTENIDO..............................................................................................................................1

INTRODUCCIÓN:......................................................................................................................2

I. EXPLICAR METODO.......................................................................................................3

SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES............................................................3

SISTEMAS SIMÉTRICOS..................................................................................................4

MÉTODO DE CHOLESKY..................................................................................................4

II. DEDUCCION DE FORMULAS.....................................................................................5

III. ALGORITMO MÉTODO CHOLESKY........................................................................11

IV. PROGRAMA – ALGORITMO MÉTODO CHOLESKY..............................................12

VI. EJEMPLOS.......................................................................................................................14

U.N.P.R. FICSA ING. CIVIL


INTRODUCCIÓN:

La solución de los sistemas de ecuaciones lineales es un tema clásico

de las matemáticas, en ideas y conceptos, de gran utilidad en ramas

de cono cimiento tan diversas como la economía, biología, física,

psicología, etc.

La resolución de sistemas casi de cualquier número de ecuaciones

(10, 100, 1000, etc.) es una realidad hoy en día gracias a las

computadoras, lo cual proporciona un atractivo especial a las

técnicas de soluciones directas interactivas: su propagación, los

cálculos necesarios, la propagación de errores, etc.

sin embargo, todo lo anterior requiere una revisión de los conceptos

básicos sobre matrices, ortogonalización de vectores y la existencia y

unicidad delas soluciones.



I. EXPLICAR METODO

SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Gran número de problemas prácticos de ingeniería se reduce al

problema de resolver un sistema de ecuaciones lineales. Por

ejemplo:

Puede citarse la solución de sistemas de ecuaciones no lineales,

la aproximación polinomial la solución de ecuaciones

diferenciales parciales.

Un sistema de m ecuaciones lineales en n incognitas tiene la

forma general

Puede demostrarse que el número máximo de vectores columna

linealmente independientes de una matriz A es igual al numero

máximo de vectores fila linealmente independientes

Con la notación matricial se puede escribir la ecuación anterio

como:

Y correctamente como Ax=b.


a1,1 x 1+a 1,2 x 2+. ..+a 1 , n x n = b 1

a2,1 x 1+a 2,2 x 2+. ..+a 2 , n x n = b 1

. . . . . . . . . . . .

a m,1 x 1+a m,2 x 2+ .. .+a m,n x n = b 1


[a 1,1 x 1 a 1,2 x 2 . . . a 1, n x n

a 2,1 x 1 a 2,2 x 2 . . . a 2, n x n

. . .

. . .

. . .a m,1 x 1 a m,2 x 2 . . . a m,n x n

][x 1

x 2

x 3

x 4

x 5

x 6

]

[b 1

b 2

b 3

b 4

b 5

b 6

] Donde A es una matriz del sistema, el vector incógnita y b el

vector de términos independientes

Dados a y b, se entiende por resolver el sistema, encontrar el

valor x que lo satisfaga. Antes de estudiar las técnicas que

permita encontrar x se expondrán algunas consideraciones

teóricas

SISTEMAS SIMÉTRICOS

En caso de que la matriz coeficiente del sistema Ax = b sea

simétrica, los cálculos de la factorización (si es posible) se

simplifican, ya que se reduce a:

Esto disminuye considerablemente el trabajo, en particular cuando

n es grande.

l i,j

a j , i

a j , j i = j+1,. .. ,n; j = 1,2, .. . ,n-1

MÉTODO DE CHOLESKY

Una matriz A cuyas componentes son números reales, es positiva

definida si y solo si los determinantes de A son positivas.



|a1,1| 0,

|a1,1 a 1,1

a1,1 a 1,1|

0,…,

|

a 1,1 a 1,2 . . . a 1, n

a 2,1 a 2,2 . . . a 2, n

. . .

. . .

. . .a n, 1 a n, 1 . . . a n, n

|

0

En caso de tener un sistema AX=b, con A positiva definida, la

factorización de A en la forma L U es posible y muy sencilla ya

que toma la forma L LT, donde L es triangular inferior.

L

|

l1,1 l 1,2 . . . l1 , n

l 2,1 l 2,2 . . . l2 , n

. . .

. . .

. . .l n,2 ln,2 . . . l n,n

|

Los cálculos se reducen, ya que ahora vasta estimar n(n+1)

elementos (los l 1,1 0), en lugar de los n2 elementos de una

factorización nominal (los l 1,1 tales que i j y los u 1,1 tales que i

j). El número de cálculos es prácticamente la mitad.



II. DEDUCCION DE FORMULAS

1. si se tiene un sistema de la forma AX=b donde la matriz A es

simétrica y su determinante es mayor que cero.

2. se aplica EL METODO CHOLESKY que es la factorización de A

en la forma LU que toma la forma LLT

3. para poder factorizar la matriz L debe ser triangular superior.

4. una vez hallado la matriz L

5. Se resolver el sistema Lc=b donde se encontrara la matriz

columna C

6. luego con la matriz transpuesta LT se resuelve el sistema LTx=c

de donde nos dará el resultado de las X

DEDUCCION AX=b

[a 1,1 a 1,2 . . . a 1 , n

a 2,1 a 2,2 . . . a 2 , n

. . .

. . .

. . .a m, 1 a m ,2 . . . a m, n

][x 1

x 2

.

.

.x m

]

[b 1

b 2

.

.

.b m

] FACTORIZA A



[l1,1 0 0 0 0l2,1 l 2,2 0 0 0l3,1 l3,2 l 3,3 0 0l4,1 l 4,2 l 4,3 l 4,4 0l5,1 l5,2 l 5,3 l 5,4 l5,5

] [l1,1 l 2,1 l 3,1 l4,1 l 5,1

0 l 2,2 l 3,2 l4,2 l 5,2

0 0 l 3,3 l 4,3 l 5,3

0 0 0 l 4,4 l5,4

0 0 0 0 l 5,5] =

[a 1,1 a1,2 . . a 1,5

a 2,1 a2,2 . . a 2,5

. . .

. . .a 5,1 a5,2 a 5,3 a 5,4 a 5,5

]Primera fila por columnas (1, 2, 3, 4, 5)

l21,1 = a1,1

l 1,1= a1, 1

l1,1 l2,1 = a1,2

l 2,1 =

a 1,2

l 1,1

l 1,1 l 3,1

a 1,3

l 3,1 =

a 1,3

l 1,1

l 1,1 l 4,1

a 1,4

l 4,1 =

a 1,4

l1,1

l 1,1 l 5,1

a 1,5

l 5,1 =

a 1,5

l 1,1

Segunda fila por columna (2, 3, 4, 5)

l22,1+¿ l

22,2=¿ a2,2 ¿ l2

2,2=¿ a2,2+¿ l2

2,1 ¿ l 2,2=√a2,2−¿ l2

2,1 ¿¿

¿

l 2,1 × l3,1 + l2,2 × l3,2 = a 2,3

l 2,2 × l3,2 = a 2,3 - l2,1 × l3,1

l 3,2 = a2,3 - l 2,1× l 3,1l 2,2



l 2,1 × l4,1 + l 2,2 × l 4,2 = a 2,4

l 2,2 × l 4,2 = a 2,4 - l 2,1 × l 4,1

l 4,2 = a 2,4 - l 2,1× l 4,1l2,2

l 2,1 × l5,1 + l2,2 × l 5,2 = a 2,4

l 2,2 × l 5,2 = a 2,5 - l 2,1 × l5,1

l 5,2 = a2,5 - l 2,1× l 5,1l 2,2

Tercera fila por columna (3, 4, 5)

l23,1 + l2

3,2 + l23,3 = a 3,3

l23,3 = a 3,3 - (l2

3,1 + l23,2 )

l 3,3 =√a 3,3 - ( l23,1 + l2

3,2 )

l 3,1 × l 4,1 + l 3,2 × l 4,2 + l 3,3 × l4,3 = a 3,4

l 3,3 × l4,3 = a 3,4 - ( l 3,1 × l 4,1 + l 3,2 × l 4,2 )l4,3 =

a 3,4 - (l 3,1 × l4,1 + l 3,2 × l 4,2 )l3,3

l 3,1 × l5,1 + l3,2 × l 5,2 + l 3,3 × l5,3 = a3,4

l 3,3 × l4,3 = a 3,4 - ( l 3,1 × l 4,1 + l 3,2 × l 4,2 )l5,3 =

a 3,4 - ( l3,1 × l 4,1 + l3,2 × l4,2 )l3,3



Cuarta fila por columna (4, 5)

l24,1+ l2

4,2+l24,3+l2

4,4= a 4,4

l24,4= a 4,4 - ( l2

4,1+l24,2+l2

4,3 ) l 4,4=√a 4,4 - ( l2

4,1+ l24,2+l2

4,3 )

l 4,1 × l 5,1 + l 4,2 × l 5,2 + l 4,3 × l5,3 + l 4,4 × l5,4= a 3,4

l 4,4 × l5,4 = a 3,4 - ( l 4,1 × l 5,1 + l 4,2 × l5,2 + l 4,3 × l5,3 )l5,4 =

a 3,4 - ( l 4,1 × l5,1 + l 4,2 × l5,2 + l 4,3 × l 5,3 )l4,4

Quinta fila por columna (5)

l25,1 +¿ l2 5,2 +¿ l2 5,3 +¿ l2 5,4 +¿ l25,5 = a 4,4 ¿ l25,5 = a5,5 - ( l25,1 + l25,2 + l25,3)¿ l5,5 = √a 5,5 - ( l25,1 + l2 5,2 + l25,3 )

¿¿

Formulas de la deducción de este algoritmo

para un sistema de “n” ecuaciones



l 1,1=√a 1,1

l i , 1 =a 1,1

l1,1 i = 2,3 . .. ,n

l i , i = (a i,i−∑k=1

i−1

l2

i , k )12

i = 2,3 .. . ,n

li , i¿1li , i (a i,i−∑

k=1

i−1

l2

i , k l j , k) i = 2,3 .. . ,n j = i+1,i+2 , .. . ,n−1l i , i = 0 i< j

Luego resolver el sistema Lc = b

[l1,1 0 0 0 0l2,1 l 2,2 0 0 0l3,1 l3,2 l 3,3 0 0l4,1 l 4,2 l 4,3 l 4,4 0l5,1 l5,2 l 5,3 l 5,4 l5,5

] [c 1

c 2

c 3

c 4

c 5]=[

b 1

b 2

b 3

b 4

b 5]

l 1,1×¿c 1 = b 1 ¿⇒ c 1 =

b1l1,1



l 2,1×¿c 1 + l2,2 ×¿ c2 = b2 ¿⇒ c 2 = b 2−l2,1×¿c 1l 2,2

¿¿

l 3,1×¿c 1 + l3,2 ×¿c 2 + l3,3 ×¿ c3 =¿b 3 ¿⇒ c 3 =b 3−¿¿¿¿¿¿¿¿

¿

l 4,1×¿ c1 + l 4,2 ×¿c2 +¿ l4,3 ×¿c3 +¿ l4,3 ×¿ c4 =¿ b 4 ¿⇒ c4 =b 4 −¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿

¿

l 5,1×¿c 1 +¿ l5,2 ×¿ c2 + l5,3 ×¿ c3 + l 5,3 ×¿c3 +¿ l5,4 ×¿ c5 =¿b 5¿⇒ c5 =b5−¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿

¿

Luego resolver el sistema LT X= c 1

[l1,1 l 2,1 l 3,1 l4,1 l 5,1

0 l 2,2 l 3,2 l4,2 l 5,2

0 0 l 3,3 l 4,3 l 5,3

0 0 0 l 4,4 l5,4

0 0 0 0 l 5,5][

x 1

x 2

x 3

x 4

x 5]=[

c 1

c 2

c 3

c 4

c 5]

l 5,5×¿ x5 = c5 ¿ ⇒ x 5 =c 5

l 5,5

l 4,4×¿ x4 + l5,4 ×¿ x5 = c4 ¿ ⇒ x 5 = c 4−l4,4×¿l x4l5,4

¿¿

l 3,3×¿ x3 + l4,3 ×¿ x 4 + l 5,3 ×¿ x5 = c 3¿ ⇒ x 5 = c3−¿¿¿¿¿¿¿

¿



l 2,2×¿ x2 + l3,2 ×¿ x3 + l4,2 ×¿ x 4 + l5,2×¿ x5 = c4 ¿ ⇒ x5 = c 4−¿¿¿¿¿¿¿¿

¿

l 1,1×¿ x1 + l 1,2 ×¿ x2 + l 1,3 ×¿ x3 + l 1,4 ×¿ x3 + l 1,5 ×¿ x5 =¿ c5 ¿ ⇒ x5 =x5−¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿

¿

III. ALGORITMO MÉTODO CHOLESKY



IV. PROGRAMA – ALGORITMO MÉTODO CHOLESKY



El resultado de ejecutar este Programa, con las matrices de ejemplo sería:

V.



VI. EJEMPLOS Sistemas de ecuaciones lineales mediante los métodos de CHOLESKY

1.[4 1 21 2 02 0 5 ] [

x 1

x 2

x 3]

¿¿

[1¿ ] [2¿ ]¿¿

¿¿Solución:

L.LT = A

[ l1,1 0 0l2,1 l2,2 0l3,1 l3,2 l 3,3

][ l1,1 l 2,1 l 3,1

0 l 2,2 l 3,2

0 0 l 3,3] =

[4 1 21 2 02 0 5 ]

l 1,1= 4l 1,1 =¿2 ¿

l 2,1 =

12

l 2,1 =¿ 0 .5 ¿

l 3,1 =

22

l 3,1 = 1

l22,1 +¿ l

22,2=a 2,2 ¿ l 2,2=√2−(12 )

2

l 2,2=¿1. 3229

¿

l 2,1 × l3,1 + l 2,2 × l 3,2 =a 2,3

l 3,2 =¿ 0 − 0 .5×11. 3229

¿ l3,2 = −0 .3780l2

3,1 + l23,2 + l2

3,3 = a 3,3

l3,3 =√5 −¿12 −(0 . 3780 )2 ¿l3,3 =¿1. 9640¿



Luego resolver el sistema Lc = b

[ 2 0 00 .5 1.3229 01 −0.3780 1.9640 ][c 1

c 2c 3 ]

=

[124 ] l 1,1×¿c 1 = b1 ¿

c 1 = 12

c 1 = 0 .5

l 2,1×¿c 1 + l2,2 ×¿ c2 = b 2 ¿¿

c 2 = 2 - 0 .5(0 .5)

1.3229c 2 = 1. 3229

l 3,1×¿c 1 + l3,2 ×¿ c2 + l3,3 ×¿ c3 = b 3 ¿¿¿

c 3 =¿ 4 - 1 × 0. 5 + 0 .3780 × 1.3229

1.9640¿

c 3 =¿ 2.0367 ¿

Luego resolver el sistema Lx = c

[2 0 .5 10 1 .3229 −0.37800 0 1 . 9640 ][ x 1

x 2

x 3]

[ 0. 51.32292 .0367 ]



l 3,3× x 3 = c 3

x 3 = 2.03671.9640

x 3 =1 .0370

l 2,2×¿ x2 + l2,3 ×¿ x 3 = c2 ¿ x 2 =1.3229+ 0. 3780×1 .03701.3229

¿ x 2 = 1 .2963

l 1,1×¿ x1 + l 2,1 ×¿ x2 + l 3,1 ×¿ x3 = c3 ¿ x1 = 0.5− 0 .5× 1 . 2963 − 1 ×1.03702

¿ x1 =¿ -0 .5926¿

¿



EJERCICIOS DESARROLADOS CON EL PROGRAMA DEL MÉTODO DE CHOLESKY EN

MATLAB.

Ejercicio Nº 1. Desarrollar el Sistema A * X = b, con el Método de Cholesky, donde la Matriz A es Simétrica y Definida Positiva de orden 3 x 3:

A=(4 1 21 2 02 0 5); X=( x1

x2

x3);b=(124)







Ejercicio Nº 2. Desarrollar el Sistema A * X = b, con el Método de Cholesky, donde la Matriz A es Simétrica y Definida Positiva de orden 4 x 4:

A=(4 −1−1 4

0 2−1 0

0 −12 0

4 11 3

); X=(x1

x2

x3

x4

); b=(63

1612

)






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