metodos numerico col1

Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e IngenieríaMETODOS NUMERICOS

CONTENIDOS

INTRODUCCION.......................................................................................................................................3

OBJETIVOS................................................................................................................................................4

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD........................................................................................................5

CONCLUSIONES.....................................................................................................................................12

REFERENCIAS BIBLIOGRAFÍCAS.......................................................................................................13


INTRODUCCION

En la vida real es muy importante las matemáticas puesto que en el diario vivir se presentan situaciones de análisis y cuya solución se puede realizar mediante procedimientos numéricos. Los métodos números nos contribuyen a resolver problemas matemáticos de maneras más sencillas y el aprovechamiento de técnicas o procedimientos para la resolución de problemas matemáticos además de la realización de diferentes cálculos los cuales nos pueden ayudar en nuestra área a ver si un programa es válido o no. Son técnicas mediante las cuales un modelo es resuelto usando operaciones aritméticas y cuyos resultados son aproximaciones del valor verdadero y que su resolución es de una forma sencilla y rápida por tal motivo se desarrolló el siguiente trabajo recorriendo algunos significados y técnicas para la resolución de problemas y cálculos, y afianzando nuestro conocimiento por medio de fórmulas y ejercicios.


OBJETIVOS

Participar activamente con aportes significativos con el fin de lograr entregar un trabajo final bien consolidado. Ello se logra por medio del agrupamiento de las ideas y conclusiones generadas por cada uno


1. Desde su campo de formación plantee y de solución a dos ejemplos sobre los tipos de errores (error absoluto, relativo, error relativo aproximado, error por truncamiento y por redondeo), teniendo en cuenta la precisión y exactitud de los mismos.

R/: Mi abuelo tiene una finca ganadera y cuando va pasar leche de un recipiente a otro le ocurre que por ejemplo:

Error absoluto: si tiene 1,000 ml de la leche al renvalsar observa que hay 0,999 ml

E = 1.000 - 999 = 1 ml

Error relativo: 0, 999/1,000 = 0,999

Error relativo aproximado (1,000- 0, 999)/ 1000 *100% = 0,1 %

Error por truncamiento cuando usamos todos los decimales de 0,999

Error por redondeo si redondeáramos 0,999 a 0,9 o a 1

2. Construir un cuadro comparativo de los métodos para calcular la raíz de una ecuación; teniendo en cuenta el número de iteraciones, condiciones, aproximaciones (formula), ilustrándolo con al menos un ejemplo.

METODOS PARA CALCULAR RAICES DE UNA ECUACION

DEFINICION EJEMPLO

Metodo de biseccion

Este es uno de los métodos de aproximación más antiguo método que requiere dividir repetidamente a la mitad los subintervalos de [a; b] y, en cada paso, localizar la mitad que contenga a p. Para empezar se supone que a1=a y b1=b y que sea p1

La función f(x) = xsenx – 1 tiene un cero en el intervalo [0,2], porque f (0) = -1 y f (2)=0.818595.


el punto medio de f (a1) y f (b1). Supongamos que f(x) es una función continúa definida en el intervalo [a, b] con f(a) y f (b) de signos diferentes.El de bisección nos dice que de acuerdo al teorema del valor intermedio existe un número p en a, b tal que f (p)=0. Aunque el procedimiento en el caso en que f(a) y f (b) tengan signos diferentes y exista más de una raíz en el intervalo (a, b), por razones de simplicidad suponemos que la raíz de este intervalo es única. el método resumido consiste en lo siguiente: debe existir seguridad sobre la continuidad de la función f(x) en el intervalo [a,b]. A continuación se verifica que f(a)*f(b) <0, se calcula el punto medio m del intervalo [a,b] y se evalúa f(m) si ese valor es igual a cero, ya hemos encontrado la raíz buscada en caso de que no lo sea, verificamos si f(m) tiene signo opuesto

Si se denota con entonces:c1 = 1. Ahora f (c1) = f (1) == -0.158529, luego la función tiene un cero en el intervalo [c1, b1] = [1,2] ; se renombraa2=c1 y b2=b1.

El nuevo punto medio es yf (c2) = f (1.5) = 0.496242, el cero está en el intervalo[a2, c2] y se renombra como:[a3, b3].


con f(a) o con f(b) se redefine el intervalo [a, b] como [a, m] ó [m, b] según se haya determinado en cuál de estos intervalos ocurre un cambio de signo, con este nuevo intervalo se continúa sucesivamente encerrando la solución en un intervalo cada vez más pequeño, hasta alcanzar la precisión deseada

Método de la regla falsa

El método de la regla falsaCombina dos métodos el de bisección y el de la secante. Este método consiste en encontrar la raíz de una ecuación. La ecuación tiene la forma f(x), es decir, es una función de x. Además, f(x) está definida en el intervalo [a, b].Este método requiere de varias condiciones:1.- F(a)*f (b) < 0 Es decir, que el producto de la función de x, f(x), evaluada en a, f(a), multiplicada por la función de x, f(x), evaluada en b, f (b), sea negativo

Este método se basa en la siguiente ecuación

un ejemplo paso a paso en la búsqueda de una raíz por este método es:


(menor a cero). 2.- Que la función f(x) se aproxime por otra función L(x).

Método de newton raphson

Este método es un método iterativo, es uno de los métodos más usados y efectivos a diferencia de los métodos anteriores, el método de newton raphson no trabaja con formula si no que se basa en su fórmula iterativaEsta es la fórmula :

1. Expresamos la ecuación en la forma f(x) = 0, e identificamos la funciónf. En el ejemplo esf(x) = ex −1x2. Calculamos la derivadaf0(x) = ex +1/3. Construimos la fórmula de recurrencia:

Método iterativo de punto fijo

Este método sirve para encontrar las raíces de una ecuación y consiste en los siguientes pasos: 1.- Nos deben dar la función a la cual le debemos encontrar la raíz, es decir, debemos conocer f(x)=0. Ejemplo: f(x)= 0.5*x - 4 = 0 2.- Nos deben de dar un valor inicial. Ejemplo = 0. 3.- De la función f(x) debemos de despejar x de manera que encontremos una nueva función de x llamada ahora g(x).

Ejemplo:F(x) = x2 - 2x - 3 = 0, tiene dos ceros. x = 3 y x = -1Supóngase que se reordena para lograr la forma equivalente:

Si se comienza con x0 = 4 y se itera con la iteración de punto fijo (1), los valores sucesivos de x son:


Parece que los valores convergen a x = 3.

3. Demostrar que f(x) = x3 + 4x2 – 10 tiene una raíz en [1, 2] y utilizando el Método de bisección determine una aproximación a la raíz con una precisión de al menos 10-4.

Es una aplicación clara del teorema de Bolzano. Si una función f continua en [a, b] tiene signos contrarios en f(a) y f(b), entonces existe un c en (a, b) tal que f(c)=0

Esta función es continua en [1, 2] por ser un polinomio

f (1 )=1+4−10=−5

f (2 )=8+16−10=14

Son signos contrarios - y +

Luego por el teorema de Bolzano tiene una raíz en (1, 2)

1)

Tomamos el punto medio 3/2

f ( 32 )= 27

8+16

4−10= (27+72+80 )

72= 19

72

Luego nos quedamos con [1, 32 ]para que los signos sean distintos


2)

El punto medio será ( 1+32

2 )=54

f ( 54 )= 125

64+ 100

16−10=

(125+400−640 )64

=−11564

Para que haya signos opuestos hay que tomar [ 54, 3

2 ]

3)

Tomamos el punto medio ( 54+ 3

2 )2 =

118

Y se acabó esto de trabajar con fracciones, ya mismo me pondré con decimales y calculadora.

54=1.25;

32=1.66…

118

=1.375

f (1.375 )=0.162109375

Hay que quedarse con [1.25, 1.375]


4)

El punto medio es (1.25+1.375 )

2=1.3125

f(1.3125) = -0.8483886719

Hay que tomar [1.3125, 1.375] para que haya signos opuestos

5) Tomamos el punto medio 1.3125+1.375

2=1.34375

f(1.34375) = -0.350982666

Debe tomarse [1.34375, 1.375] para que haya - y +

6) El punto medio es 1.34375+1.375

2=1.359375

f(1.359375) =-0.09640884399

Debe tomarse [1.359375, 1.375]

7) El punto medio es 1.359375+1.375

2=1.3671875

f(1.3671875) = 0.03235578537

Ahora hay que quitar la mitad de arriba nos quedamos con

[1.359375, 1.3671875]


8) Tomamos es punto medio 1.359375+1.3671875

2=1.36328125

f(1.36328125)= -0.03214997053

Quitamos en intervalo izquierdo, nos queda [1.36328125, 1.3671875]

9) Tomamos el punto medio 1.36328125+1.3671875

2=1.365234375

Es f(1.365234375)=0.0000720247626

Y esto ya es menor que 10^-4 = 0.0001

Luego esa es la aproximación que damos a la raíz del polinomio en [1,2], es:

x=1.365234375

4) Usando el Método de la Regla Falsa aproximar la raíz de (𝑥) = 𝑒 −𝑥 (3,2(𝑥)− 0,5𝑐𝑜𝑠(𝑥)) en el intervalo [0, 1] con ξa = 0,001

En la interacción que tendremos la raíz dentro de un intervalo [ak , bk ]Tomaremos el valor

ck f ¿¿

Tenemos [a0 , b0 ]=[ 0,1 ]

Ahora miramos donde es positiva o negativa la función

f (0 )=−0,5

f (1 )=0,8912085469

Debemos dejar siempre a la izquierda un valor que haga negativa a f y a la derecha positiva


c0=f (1 ) .0−f (0 ) .1f (1 )−f (0)

=−e0¿¿

¿ 0.5e−1 (3.2 sen (1 )−0.5 cos (1 ) )+5

=0.3593997472

f (c0 )= f (0.3593997472)=0.4598455059 Que es mayor que el valor permitido

Como f (c0 )>0 o debe ir a la derecha en próximo intervalo, será:

[a1 , b1 ]= [0 ,0.3593997472 ]

Estos son los resultados:

An Bn Cn+1 f(Cn+1) Resultado

0 10,35939975

0,45894569 Siga

00,35939975

0,18739317

0,08698114 Siga

00,18739317

0,15962452

0,01277718 Siga

00,15962452

0,15564706

0,00180268 Siga

00,15564706

0,15508791

0,00025287

Ya está: 0,15508791489055

5) Sea la función (𝒙)=(𝒙𝟐+𝟏)−𝒆𝒙𝟐𝒄𝒐𝒔(𝝅𝒙), aproximar mediante el Método de Newton-Raphson la raíz f(x) = 0, tomando como valor inicial xo=0.4, con una exactitud de 10-5.

xn+1=xn−f (xn)f '(xn)

Nosotros tenemos.


f ( x )=ln (x2+1 )−ex2 cos(πx)

La derivada es.

f ' ( x )= 2xx2+1

−12ex2 cos (πx )+π e

12 senπx

Por lo que el método será.

xn+1=xn−ln (x2+1 )−e

x2 cos πx

2 xx2+1

+ex2 ¿¿

6. Usar el Método iterativo de punto fijo para aproximar la raíz de (𝑥) = 𝑥 2 − 4𝑥 −𝑒 𝑥 comenzando con xo=0, con 4 iteraciones.

La ecuación se transforma a la equivalente x = g(x) para alguna función g, despejando de forma adecuada. Para este caso aplica:

x=gx=x2−4 x=−ex=0

Expresamos: x=−−b±√b2−4ac2a

donde ,

x= x2−ex

4

Donde la función derivada es: g ´ x= x2−ex

4

La grafica es:


Evaluamos g´(x) utilizando primero, el resultado se convierte en el nuevo valor de x y así sucesivamente hasta encontrar la raíz deseada, el valor de Ig´(x)I < 1,para,ϵ

[-1, 1] es suficiente para deducir que el método coincide en la raíz buscada.

Entonces xϵ [-1,1]

Revisando la formula iterativa se tiene: x1=g x0=0.2aproximad0 de100%¿

¿

El número -0.2, se le llama punto de g(x), sin importar cuál sea el x 0 .

El punto fijo de g(x) es la raíz de f(x).

x2=g x1=0.1557461506 erroraproximado al28.41 %

g x1=0.1557461506 erroraproximado al28.41 %

0−0.2 100 %−¿

0.1557461506 28.41 %

−¿0.1663039075 6.34 %−1.63826372 1.51 %

La aproximacion buscada es:

x4−1.63826372


CONCLUSION

Realizar ejercicios y practicar con problemas planteados, permite aplicar los conocimientos adquiridos en el desarrollo del tema de la Unidad 1, tales como: error relativo, error absoluto, formula cuadrática, y método de bisección

Se usa de manera asertiva el método de Newton - Raphson en tres iteraciones


Bibliografía

https://sites.google.com/site/metalnumericos/home/unidad-1/1-2-tipos-de-errores-error-absoluto-error-relativo-error-porcentual-errores-de-redondeo-y-truncamiento

Bucheli. C. corregido por Gómez R. revisado por López C. 2013, Pasto Métodos Numéricos, Escuela de Ciencias Básicas, tecnología e Ingeniería, Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD.




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