Metodos Numericos, Gauss-Seidel, Jacobi, Etc. DocFinal

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE COSTA RICAESCUELA DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA

LICENCIATURA EN INGENIERÍA ELECTRÓNICA

CM-3201 MÉTODOS NUMÉRICOSProfesor: Ing. Marvin Hernández

GAUSS-SEIDEL, JACOBI, RELAJACIÓN Y CONVERGENCIA

I Semestre 2004

Métodos Iterativos para Sistemas de Ecuaciones Algebraicas Lineales

Introducción

Los métodos numéricos se dividen en dos categorías generales: métodos exactos y aproximados. Los primeros, como su nombre lo indica, buscan dar resultados exactos. No obstante, como están afectados por errores de redondeo, algunas veces dan resultados imprecisos. La magnitud del error de redondeo varía en cada sistema y depende de varios factores, tales como las dimensiones del sistema, su condición y el hecho de sí la matriz de coeficientes es dispersa o densa. Además, la precisión de la computadora afectará el error de redondeo.

Se recomienda una estrategia de pivoteo en todo programa de computadora que realice métodos de eliminación exactos. Esa estrategia minimiza el error de redondeo y evita problemas como el de la división entre cero. Los algoritmos basados en la descomposición LU son los métodos que se eligen debido a su eficiencia y flexibilidad.

La tabla 1 ofrece un resumen de las ventajas y desventajas en la solución de ecuaciones algebraicas lineales simultáneas. Dos métodos (el gráfico y la regla de Cramer) están limitados a pocas ecuaciones(< 3), de modo que tienen escasa utilidad para resolver problemas prácticos. Sin embargo, dichas técnicas son herramientas didácticas útiles para entender el comportamiento de los sistemas lineales en general.

Aunque los métodos de eliminación tienen gran utilidad, el uso de toda la matriz de los coeficientes puede ser limitante cuando se trate con sistemas dispersos muy grandes. Esto se debe a que gran parte de la memoria de la computadora se dedicaría a guardar ceros que no tienen significado. Para sistemas bandeados, hay técnicas para realizar métodos de eliminación sin tener que guardar todos los coeficientes de la matriz.

La técnica aproximada por conocer como método de Gauss-Seidel, difiere de las técnicas exactas porque emplea un esquema iterativo para obtener, progresivamente, estimaciones más

Jacobi, Gauss-Seidel, Relajación Pagina de 32 2

MÉTODO ESTABILIDAD PRECISIÓNRANGO DE

APLICACIÓNCOMPLEJIDAD DE

LA PROGRAMACIÓN COMENTARIOS

GRÁFICO --- Pobre Limitado --- Puede tomar más tiempo que el método

numéricoRegla de Cramer --- Afectado por errores

de redondeoLimitado --- Excesiva complejidad

de cálculo para más de tres ecuaciones

Eliminación de Gauss (con pivoteo parcial)

--- Afectado por errores de redondeo

General Moderada

Descomposición LU --- Afectado por errores de redondeo

General Moderada Método de eliminación preferido; permite el cálculo de la matriz

inversaGauss_Seidel Puede no converger si

no es diagonalmente dominante

EXCELENTE Apropiado solo para sistemas

diagonalmente dominantes

FÁCIL

TABLA No. 1: Comparación de las características de diversos métodos alternativos para encontrar soluciones de ecuaciones algebraicas lineales simultáneas

cercanas a la solución. El efecto del error de redondeo es un punto discutible en el método de Gauss-Seidel, ya que se pueden continuar las iteraciones hasta que se obtenga la precisión deseada. Además, se pueden desarrollar versiones del método de Gauss-Seidel para utilizar de manera eficiente los requerimientos de almacenaje en computadora con sistemas dispersos. En consecuencia, la técnica de Gauss-Seidel es útil para grandes sistemas de ecuaciones, donde los requerimientos de almacenaje podrían llevar a problemas significativos con las técnicas exactas

Aplicaciones

Las técnicas iterativas se emplean rara vez para resolver sistemas lineales de dimensión pequeña ya que el tiempo requerido para lograr una precisión suficiente excede al de las técnicas directas como el método de eliminación Gaussiana. Sin embargo, para sistemas grandes con un gran porcentaje de ceros, estas técnicas son suficientes en términos de almacenamiento en la computadora y del tiempo requerido.

Los métodos de este tipo surgen frecuentemente en los sistemas con ecuaciones diferenciales, donde encontraríamos aplicaciones en todas las ramas de la ingeniería, así como en las Ciencias Sociales y la Economía. Estos métodos son útiles en la predicción del clima, donde el volumen de variables amerita el uso de extensas matrices.

Justificación

Una forma de entender el uso de los métodos numéricos y su utilidad es precisamente comparándolos con los métodos directos, esta comparación se realiza en términos de operaciones realizadas, tales como sumas, restas, divisiones y multiplicaciones. Por tanto el entendimiento de esto conlleva a su uso práctico. Las siguientes tablas muestran las diferencias en cálculo de los métodos directos de Gauss y Gauss-Jordan.

Tabla 2: Total de operaciones en el método de Eliminación de Gauss

NMultiplicaciones/Divisiones Sumas / restas

3 17 11

10 430 375

50 44150 42875

100 343300 338250


Tabla 3: Total de operaciones en el método de Eliminación de Gauss-Jordan

nMultiplicaciones/Divisiones Sumas / restas

3 21 12

10 895 495

50 64975 62475

100 509950 499950

Tabla 4: Operaciones por iteración en los métodos Iterativos

n

Multiplicaciones-Divisiones

*por iteración

Sumas / restas

*por iteración

3 17 12

10 199 90

50 4999 2450

100 19999 9900

De la Tabla 4 podemos notar que n 50 los métodos iterativos empezarían a ser más efectivos que los métodos directos. Nótese, también que los cálculos en esta tabla corresponden a una iteración por tanto para que el método sea efectivo, dos aspectos deben ser tomados en consideración

1. La precisión requerida de los resultados

2. De la aproximación inicial que se escoja.

Marco Conceptual


Antes de considerar los métodos iterativos para resolver sistemas lineales, es necesario encontrar un método para medir cuantitativamente la distancia entre vectores, para poder determinar cuando la sucesión de vectores que resulta al usar una técnica iterativa converge a la solución.

Norma vectorial: esta se define como la suma de las magnitudes de los componentes de un vector columna de dimensión n con componentes reales, esta definición en notación matemática se escribe como:

x = y la norma de x seria || x || =

Esta definición de norma es útil cuando se quiere saber la magnitud de las componentes de un vector. Pero cuando esta se aplica a los métodos numéricos es mejor utilizar el concepto de norma infinita, la cual es útil como criterio de paro para una aproximación. Esta se define como sigue:

Una técnica iterativa para resolver un sistema lineal Ax = b de n x n empieza con una aproximación inicial x(k) a la solución x, y genera una sucesión de vectores { x(k)}k = 0 hasta que se logre la aproximación requerida, que en términos de vectores se expresa como, { x(k)}k = .

La mayoría de estas técnicas iterativas involucran un proceso que convierte el sistema Ax = b en un sistema equivalente de la forma x = Tx + b. Seleccionado un vector inicial x (0) la sucesión de vectores de solución aproximada se genera calculando.

x(k) = T x(k - 1) + c (1) *

*el factor k solamente se utiliza para denotar el conteo de las iteraciones

Cabe destacar la similitud de esta ecuación con la x = g(x), que se utilizaba para el método iterativo del punto fijo. Dado esta similitud, posteriormente se analizará la convergencia de este método.

Como se mencionó anteriormente estos métodos se aplican en los sistemas con gran cantidad de ceros, a la matriz resultante se le conoce como matriz esparcida.

Considere el circuito de la figura 1 como ejemplo de este tipo de matriz.


FIGURA 1: Circuito eléctrico con solución de matriz esparcida

Convirtiéndolo a la forma matricial se obtiene lo que se denomina una matriz esparcida.


Métodos Iterativos

Estos son métodos para los cuales se da una aproximación al sistema de ecuaciones lineales y se obtiene una solución para este sistema.

A diferencia de los métodos directos, los métodos iterativos podrían no producir una solución satisfactoria, aún cuando el determinante de los coeficientes de la matriz no sea cero.

Entonces, para que estas técnicas funcionen se deben tener ciertas condiciones.

El conjunto de ecuaciones debe tener una diagonal dominante. Esta es una condición necesaria pero no suficiente. Un sistema de ecuaciones se considera Diagonal Dominante cuando se cumple

(2)

Es decir, Una condición suficiente para que se tenga una solución es que el valor absoluto de los coeficientes de la diagonal en cualquier ecuación debe ser mayor que la suma del valor absoluto de los otros coeficientes en esa ecuación.

Método de Jacobi

Es un método de sustitución simultáneo, denominado desplazamiento simultáneo, el cual tien su origen en método iterativo de Punto Fijo. En el método de Jacobi el orden de operación de las ecuaciones es irrelevante dado que el método las trata en forma independiente, de allí su nombre como método de desplazamiento simultáneos, no obstante, se debe mantener la diagonal dominante en el sistema.

Este método se puede ilustrar usando las siguientes ecuaciones.

(3)

El método comienza despejando las ecuaciones anteriores (3) para x1, x2 y x3 respectivamente e introduciendo el índice k que indicará el número de iteraciones, entonces,


(4)

Además se requiere de un vector inicial xk = (x1 (k), x2

(k), x3 (k)) el cual representa la primera

aproximación de la solución del sistema, con lo que se produce xk+1.

El proceso se continúa hasta que | xk+1 – xk | <= ea.

La generalización de esta ecuación se escribe de la siguiente forma:

(5)

Al método de Jacobi se le conoce también como el método de los desplazamientos simultáneos, dado que el orden en que las ecuaciones son examinadas es indiferente.

Ejemplo 1 (Ejercicio 11.8 Pág. 321)

Resolver el siguiente sistema de tres ecuaciones por el Método de Jacobi:

17 X1 – 2 X2 – 3 X3 = 500

-5 X1 + 21 X2 – 2 X3 = 200

-5 X1 – 5 X2 + 22 X3 = 30

Resuelva este problema para un a = 5%

Si lo pasamos al formato de una matriz y su vector de resultados, obtenemos lo siguiente:

Las siguientes fórmulas las utilizamos para encontrar X1, X2 y X3 en cada una de las iteraciones.

Para la primera iteración el valor de X1, X2 y X3 a sustituir en cada una se asumirá como cero. Entonces para X1,


para X2,

para X3,

Entonces en la primera iteración

Para calcular los nuevos valores de la segunda iteración se utilizarán los resultados de X 1, X2 y X3 obtenidos en la primera iteración. Entonces para X1,

para X2,


para X3,

Por tanto en la segunda iteración

Una vez obtenidos estos resultados se deben calcular el error aproximado porcentual para cada uno, para ello se utilizará la siguiente fórmula:

Para X2,

Para X3,


Dado que en dos de las incógnitas el error aproximado porcentual es mayor a un 5% se debe hacer una nueva iteración. Se continúa realizando el mismo procedimiento con los nuevos valores de X obtenidos hasta que los errores aproximados porcentuales en las tres incógnitas sean menores que el 5%. El resultado de estas iteraciones se presenta en la Tabla 5.

Tabla 5: Resultados de las iteraciones por el método de Jacobi del ejemplo 1 (ejercicio 11.8 pp. 321)

Iteración x1 x2 X3 a x1 a x2 a x3

0 0,00000 0,00000 0,00000

1 29,41176 9,52381 1,36364

2 30,77285 16,65648 10,21263 4,423% 42,822% 86,648%

3 33,17358 17,82331 12,14303 7,237% 6,547% 15,897%

4 33,65151 18,57876 12,95384 1,420% 4,066% 6,259%

5 33,88347 18,76977 13,23415 0,685% 1,018% 2,118%

Se resaltan los datos donde los errores obtenidos son menores que 5%, se logra un error aproximado porcentual menor en las tres incógnitas hasta la quinta iteración. Por lo tanto los resultados aproximados que cumplen con la condición establecida son:

Si sustituimos estos valores en las ecuaciones originales para verificar los resultados obtenemos que:

17 *(33,88347) – 2 *(18,76977) – 3 *(13,23415) = 498,77703

-5 *(33,88347) + 21 *(18,76977) – 2 *(13,23415) = 198,27957

-5 *(33,88347) – 5 *(18,76977) + 22 *(13,23415) = 27,88513

Al calcular los porcentajes de error de estos resultados se obtiene lo siguiente:

De acuerdo con estos datos se puede observar que los resultados obtenidos son una aproximación muy buena de los valores verdaderos.


Método de Gauss-Seidel

Este método en general converge más rápidamente que el método de Jacobi, sin embargo presenta las mismas debilidades del método de Jacobi.

El método de Gauss-Siedel supone que una mejor aproximación a la solución se obtiene sustituyendo los valores parciales obtenidos, lo cual se puede comprobar en la práctica.

Utilizando las ecuaciones vistas en (3)

(3)

Y despejando para x1, x2 y x3 de las ecuaciones (6) y adicionando los valores ya obtenidos, esta se puede expresar como:

(7)

Comparando las ecuaciones (4) y (7) se observa que el valor de x1 no se asume sino se calcula con los valores asumidos de x2 y x3.

Posteriormente el valor de x1 obtenido y x3 asumido, se usan para calcular x2. Finalmente el nuevo valor de x3 es el resultado de los valores calculados x1 y x2.

La ecuación iterativa de este método nos lleva a:

(8)


Resolver el siguiente sistema de tres ecuaciones por el Método de Gauss-Seidel:


17 X1 – 2 X2 – 3 X3 = 500

-5 X1 + 21 X2 – 2 X3 = 200

-5 X1 – 5 X2 + 22 X3 = 30

Resuelva este problema para un a = 5%



Para calcular el primer valor de X1, se asumirán X2 y X3 con valores cero. Entonces para X1,

para calcular el valor de X2, se utilizará el valor encontrado de X1 y el valor de X3 se asumirá como cero.

para calcular el valor de X3, se utilizará el valor encontrado de X1 y X2 en los pasos anteriores.



Para la segunda iteración, en el cálculo de X1 el valor de X2 y X3 serán los calculados anteriormente. Entonces para X1,


para X2 se utiliza el valor de X3 de la primera iteración y el de X1 de la segunda iteración,

para X3 se utiliza el valor de X1 y X2 calculados en la segunda iteración,

Entonces en la segunda iteración

Una vez obtenidos estos resultados, se debe calcular el error aproximado porcentual para cada uno de los resultados, para ello utilizamos la siguiente fórmula:

Para X1,


Para X2,

Para X3,

Dado que en las tres incógnitas el error aproximado porcentual es mayor a un 5% se debe hacer una nueva iteración. Se continúa realizando el mismo procedimiento con los nuevos valores de X obtenidos hasta que los errores aproximados porcentuales en las tres incógnitas sean menores que el 5%.

El resultado de estas iteraciones siguiendo el mismo procedimiento, se presenta en la tabla 6

Tabla 6: Resultados de las iteraciones por el método de Gauss_Seidel del ejemplo 2 (ejercicio 11.7 pp. 320)

Iteración x1 x2 x3 a x1 a x2 a x3

0 0,00000

1 29,41176 16,52661 11,80418

2 33,43916 18,60972 13,19293 12,044% 11,194% 10,526%

3 33,92931 18,85869 13,36091 1,445% 1,320% 1,257%

Se resaltan los datos donde los errores obtenidos son menores que 5%, se logra un error aproximado porcentual menor en las tres incógnitas en la tercera iteración. Por lo tanto los resultados aproximados que cumplen con la condición establecida son:



17 *(33,92931) – 2 *(18,85869) – 3 *(13,36091) = 498,99813

-5 *(33,92931) + 21 *(18,85869) – 2 *(13,36091) = 199,66404

-5 *(33,92931) – 5 *(18,85869) + 22 *(13,36091) = 30,00000




Convergencia

El método Gauss-Seidel, al igual que la técnica de iteración de punto fijo, puede también presentar dos problemas fundamentales: 1. en algunas ocasiones no es convergente. 2. Cuando converge, con frecuencia lo hace en forma muy lenta.

El criterio de convergencia se puede desarrollar al recordar que las condiciones suficientes para la convergencia de dos ecuaciones no lineales u(x, y) y v(x, y), son:

, y consecuentemente

En consecuencia, si el valor absoluto de g’(x) <1, entonces los errores disminuyen con cada iteración. Si el valor absoluto de g’(x) > 1, los errores crecen. También se debe tener en cuenta que si la derivada es positiva, los errores serán positivos; por otra parte si la derivada es negativa, entonces los errores oscilaran.

Este criterio de convergencia se aplica también a las ecuaciones lineales que se resuelven con el método de Gauss-Seidel. Por tanto, al aplicar este criterio sobre las ecuaciones de Gauss-Seidel y evaluando con respecto a cada una de las incógnitas, obtenemos la expresión siguiente:

, e igualmente

En otras palabras, el valor absoluto de las pendientes en la ecuación, deben ser menor que la unidad para asegurar la convergencia. Adicionalmente podemos reformular la ecuación anterior de la siguiente forma:

, e igualmente

Esto es, el elemento diagonal debe ser mayor que el elemento fuera de la diagonal para cada reglón de ecuaciones. La generalización del criterio anterior para un sistema de n ecuaciones, es directa y puede ser expresada como:


Método Gauss – Seidel con relajación

El método de Gauss-Seidel con relajación es muy similar al método de Gauss-Siedel excepto que este usa un factor de escala para reducir el error de aproximación. Considérese el siguiente conjunto de ecuaciones

xj = bi , i = 1, 2, , n

Por el método de Gauss-Seidel, de (8).

Debe notarse que para cada cálculo de xi, de las variables con índice menor que i tienen el índice k, mientras que las variables con índice mayor que i tienen el índice (k-1). La ecuación para el método de relajación se basa en la siguiente relación:

= + ( - )

= +

El término entre llaves es justo la diferencia entre

las variables de la previa y presente iteración según el método de Gauss-Siedel

= [ ]Gauss-Seidel

Esta diferencia es esencialmente el error que se aproxima a cero para esta iteración.

El método de relajación obtiene un nuevo valor estimado multiplicando esta diferencia por un

factor de escala y sumándolo al valor previo. La ecuación puede ser escrita de la siguiente forma:

= (1 ) +


Este método permite mejorar la convergencia ya que después de que se calcula cada nuevo valor de x, este se modifica mediante un promedio ponderado de los resultados anterior y actual.

donde es un factor ponderado que tiene un valor entre 0 y 2.

Si =1 el resultado no se modifica y la ecuación se transforma en la ecuación para Gauss-Siedel, cuando < 1 el método es conocido como sub-relajación el cual se emplea para hacer que un sistema no convergente converja o apresure la convergencia al amortiguar las oscilaciones.

Cuando > 1 es conocido como sobre-relajación, se utiliza cuando la convergencia se mueve en la dirección correcta hacia la solución verdadera, pero con una velocidad demasiado lenta. Por lo tanto se pretende que con la ponderación mejore la aproximación al llevarla más cerca de la verdadera.

La elección de se especifica de forma empírica, generalmente este método no se utiliza para la solución de un solo sistema de ecuaciones. Es más usual cuando un sistema en estudio se debe resolver de manera repetitiva, una buena selección de ayudará a mejorar significativamente la eficiencia del método.


Emplee el método de Gauss-Seidel con relajación para resolver (=0.90 y a = 5%):

-5 X1 + 12 X3 = 80

4 X1 – 1 X2 – 1 X3 = - 2

6 X1 + 8 X2 = 45

Si es necesario reordene las ecuaciones para que el sistema converja:


Verificando el criterio de convergencia mediante la siguiente ecuación:


Resolviendo esta ecuación para un sistema de 3 x 3 obtenemos lo siguiente:

Convergencia: Esto quiere decir que el elemento diagonal debe ser mayor al elemento fuera de la diagonal para cada fila. Por tanto reorganizamos el sistema de la siguiente forma

Por lo tanto se puede asegurar la convergencia con este arreglo.


Para calcular el primer valor de X1, se asumirán X2 y X3 con valores cero. Entonces para X1,


para calcular el valor de X2, se utilizará solamente el valor encontrado de X1, dado que a23 es cero.

para calcular el valor de X3, se utilizará solamente el valor encontrado de X1, dado que a32 es cero.


Para la segunda iteración, en el cálculo de X1 el valor de X2 y X3 serán los calculados en la primera iteración, seguidamente se le aplicará la ponderación con el factor . Entonces para X1,

aplicando la ponderación

para X2 se utiliza solamente el valor de X1 de la segunda iteración, dado que a23 es cero.



para X3 se utiliza solamente el valor de X1 calculado en la segunda iteración, dado que a32 es cero.


Entonces en la segunda iteración


Una vez obtenidos estos resultados, se debe calcular el error aproximado porcentual para cada uno de los resultados, para ello utilizamos la siguiente fórmula:

Para X1,

Para X2,

Para X3,

Dado que en las tres incógnitas el error aproximado porcentual es mayor a un 5% se debe hacer una nueva iteración. Se continúa realizando el mismo procedimiento con los nuevos valores de X obtenidos hasta que los errores aproximados porcentuales en las tres incógnitas sean menores que el 5%.


El resultado de estas iteraciones siguiendo el mismo procedimiento, se presenta en la Tabla 7.

Tabla 7: Resultados de las iteraciones por el método de Gauss_Seidel con Relajación con un =0.9 del ejemplo 3 (ejercicio 11.9 pp. 321)


0 0,00000 0,00000 0,00000

1 -0,50000 6,00000 6,45833

2 2,30313 4,10789 7,50951 121,71% 46,06% 14,00%

3 2,39423 3,85719 7,64879 3,81% 6,50% 1,82%

4 2,37827 3,84289 7,65673 0,67% 0,37% 0,10%

Se resaltan los datos donde los errores obtenidos son menores que 5%, se logra un error aproximado porcentual menor en las tres incógnitas en la cuarta iteración. Por lo tanto los resultados aproximados que cumplen con la condición establecida son:


17 *(2,37827) – 2 *(3,84289) – 3 *(7,65673) = -1,98655

-5 *(2,37827) + 21 *(3,84289) – 2 *(7,65673) = 45,01271

-5 *(2,37827) – 5 *(3,84289) + 22 *(7,65673) = 79,98941




Si graficamos la convergencia de los datos por el método de Gauss-Seidel sencillo y el que posee relajación se puede observar lo siguiente:

Como se puede ver el método con relajación amortigua las oscilaciones en los resultados hacia la convergencia.


Ejercicios adicionales

Siguiendo los mismos procedimientos se resolvieron las ecuaciones del ejercicio 11.1 de la página 320 por el método de Jacobi, el de Gauss-Seidel y el de Gauss-Seidel con relajación, con el fin de poder comparar los tres métodos. Se busca un error aproximado menor o igual al 5%.

Sistema tridiagonal del ejercicio 11.1

2 X1 – 1 X2 = 124

-1 X1 + 2 X2 – 1 X3 = 4

– 1 X2 + 2 X3 = 14


A continuación se presentan los resultados obtenidos utilizando Excel.

Ejemplo 4

Por el Método de Jacobi

Fórmulas:

Resultados obtenidos:

Iteración X1 x2 x3 a x1 a x2 a x30 0,00000 0,00000 0,00000

1 62,00000 2,00000 7,00000

2 63,00000 36,50000 8,00000 1,587% 94,521% 12,500%

3 80,25000 37,50000 25,25000 21,495% 2,667% 68,317%

4 80,75000 54,75000 25,75000 0,619% 31,507% 1,942%

5 89,37500 55,25000 34,37500 9,650% 0,905% 25,091%

6 89,62500 63,87500 34,62500 0,279% 13,503% 0,722%

7 93,93750 64,12500 38,93750 4,591% 0,390% 11,075%

8 94,06250 68,43750 39,06250 0,133% 6,301% 0,320%

9 96,21875 68,56250 41,21875 2,241% 0,182% 5,231%


%100

nuevor

anteriorr

nuevor

ax

xx

33

23213133 a

xaxabx

11

31321211 a

xaxabx

22

32312122 a

xaxabx

10 96,28125 70,71875 41,28125 0,065% 3,049% 0,151%

En amarillo se resaltan los resultados que indican un error aproximado menor o igual al 5%, esto es oscilante, hasta la décima iteración se consigue un error aproximado en las tres incógnitas que satisfaga el criterio de paro planteado.

Por lo tanto los resultados aproximados que cumplen con la condición establecida son:

Ejemplo 5

Por el Método de Gauss-Seidel

Fórmulas:



0 0,00000

1 62,00000 33,00000 23,50000

2 78,50000 53,00000 33,50000 21,019% 37,736% 29,851%

3 88,50000 63,00000 38,50000 11,299% 15,873% 12,987%

4 93,50000 68,00000 41,00000 5,348% 7,353% 6,098%

5 96,00000 70,50000 42,25000 2,604% 3,546% 2,959%

En amarillo se resaltan los resultados que indican un error aproximado menor o igual al 5%, se consigue en la quinta iteración un error aproximado en las tres incógnitas que satisfaga el criterio de paro planteado.


Como se puede observar el resultado se obtuvo en la mitad de las iteraciones que se requirieron con el método de Jacobi.


%100

nuevor

anteriorr

nuevor

ax

xx

33

23213133 a

xaxabx

11

31321211 a

xaxabx

22

32312122 a

xaxabx

Ejemplo 6

Por el Método de Gauss-Seidel con relajación

Con = 1,20

Fórmulas:



0 0,00000 0,00000 0,00000

1 62,00000 33,00000 23,50000

2 81,80000 58,98000 39,08800 24,205% 44,049% 39,879%

3 93,42800 70,11360 42,65056 12,446% 15,879% 8,353%

4 97,78256 72,63715 43,45218 4,453% 3,474% 1,845%

En amarillo se resaltan los resultados que indican un error aproximado menor o igual al 5%, se consigue en la cuarta iteración un error aproximado en las tres incógnitas que satisfaga el criterio de paro planteado.


Como se observa el resultado se obtuvo en una iteración menos que cuando se utilizó el método sin relajación.


%100

nuevor

anteriorr

nuevor

ax

xx

33

23213133 a

xaxabx

11

31321211 a

xaxabx

22

32312122 a

xaxabx

anteriori

nuevoi

nuevoi xxx )1(

Haciendo un resumen de los resultados obtenidos en la siguiente tabla:

IncógnitaValores

verdaderosIteraciones

Valores aproximados Errores verdaderosJacobi Seidel C/Relaj Jacobi Seidel C/Relaj

X1 98,5 10 96,281 96,000 97,783 2,25% 2,54% 0,73%

X2 73,0 5 70,719 70,500 72,637 3,13% 3,42% 0,50%

X3 43,5 4 41,281 42,250 43,452 5,10% 2,87% 0,11%

Se puede observar entonces que el método de Jacobi es el que utiliza una mayor cantidad de iteraciones y que además tiene errores mayores con respecto al valor verdadero.

En el caso de Seidel los errores son medianos, pero la cantidad de las iteraciones en mucho menor que en el caso de Jacobi.

Para el caso en el que se utiliza Gauss-Seidel con relajación se obtienen valores más cercanos a los verdaderos con una cantidad de iteraciones menor. Sin embargo el inconveniente radica en la elección del valor de para lo cual no hay un criterio establecido, más que la experiencia.

Observando esto gráficamente en cada una de las variables:


En modo gráfico se observa que para las tres incógnitas con método de Jacobi los resultados son más oscilantes y convergen de forma más lenta.

Por el Método de Gauss-Seidel se da una convergencia relativamente rápida.

Si al Método de Gauss-Seidel le aplicamos relajación la convergencia es mucho más rápida hacia los valores verdaderos.

Síntesis

La técnica aproximada por conocer como método de Gauss-Seidel, difiere de las técnicas exactas porque emplea un esquema iterativo para obtener, progresivamente, estimaciones más cercanas a la solución. El efecto del error de redondeo es un punto discutible en el método de Gauss-Seidel, ya que se pueden continuar las iteraciones hasta que se obtenga la precisión deseada. Además, se pueden desarrollar versiones del método de Gauss-Seidel para utilizar de manera eficiente los requerimientos de almacenaje en computadora con sistemas dispersos. En consecuencia, la técnica de Gauss-Seidel es útil para grandes sistemas de ecuaciones, donde los requerimientos de almacenaje podrían llevar a problemas significativos con las técnicas exactas.

La desventaja del método de Gauss-Seidel es que no siempre converge o algunas veces converge de manera lenta a la solución verdadera. Es confiable sólo para aquellos sistemas que son diagonalmente dominantes. Sin embargo, los métodos de relajación contrarrestan tales desventajas. Además, como muchos sistemas de ecuaciones algebraicas lineales surgen de sistemas físicos que presentan dominancia diagonal, el método de Gauss-Seidel tiene gran utilidad para resolver problemas de ingeniería.

En resumen, varios factores serán relevantes en la elección de una técnica para un problema en particular que involucre ecuaciones algebraicas lineales. No obstante, como se mencionó antes, el tamaño y la densidad del sistema son factores particularmente importantes en la determinación de su elección.

La figura 2 se emplea para resumir los algoritmos para solucionar ecuaciones algebraicas lineales y proporciona una visión general, que será de gran ayuda para revisar y aclarar las principales diferencias entre los métodos.

Figura 2: Resumen de pasos de los métodos iterativos Jacobi,


P r i m e r a i t e r a c i ó n

S e g u n d a i t e r a c i ó n

G a u s s - S e i d e l I t e r a t i v o d e J a c o b i

anter iori

nuevoi

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anter iori

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D e s p l a z a m i e n t os i m u l t á n e o

D e s p l a z a m i e n t os u c c e s i v o

Gauss_Seidel sin y con relajación

BIBLIOGRAFÍA

Steven Chapra, Raymond Canale. “Métodos numéricos para ingenieros”, cuarta edición, 2003. pp 301-313, 320-321, 344-346.

The Jacobi Method, marzo 2004. (disponible en http:/www.netlib2.cs.utk.edu/linalg/html_templates/node12.html)

The Gauss_Seidel Method, marzo 2004. (disponible en http:/www.netlib2.cs.utk.edu/linalg/html_templates/node14.html)

The Successive Overrelaxation Method, marzo 2004. (disponible en http:/www.netlib2.cs.utk.edu/linalg/html_templates/node15.html)


Documents

Metodos Numericos, Gauss-Seidel, Jacobi, Etc. DocFinal