Departamento de Ciencias 1

Sesión 3

MÉTODOS NUMÉRICOS

MÉTODO DE JACOBI Y MÉTODO DE

GAUSS - SEIDEL

Modelo de Estructura Metálica requerida

Supongamos que calentamos cada borde de una placa metálica a una temperatura constante, como se observa en la siguiente figura.

10050

0

¿De qué manera la temperatura de los puntos interiores de la plancha metálica

podrían alcanzar el equilibrio?

Finalmente, la temperatura en los puntos interiores alcanzará el equilibrio , donde pueda mostrarse que se cumpla la siguiente propiedad.

La temperatura en cada punto interior P sobre una placa es el promedio de las temperaturas sobre la circunferencia de cualquier círculo centrado en P dentro de la placa. Ver la siguiente figura.

p.

Para aplicar esta propiedad en un ejemplo real se requiere de técnicas de cálculo. Como una alternativa, podemos aproximar la situación sobreponiendo una cuadrícula o malla sobre la placa , que tenga un número finito de puntos interiores, como se ilustra en la siguiente figura.

100

100

100

0 0

50

50

 

   

El homólogo discreto de la propiedad de promediación que gobierna las temperaturas en equilibrio se establece como sigue:La temperatura de cada punto interior P es el promedio de las temperaturas en los puntos adyacentes a P.  

 

 

 

Finalmente el sistema se representa de la siguiente manera:

 

Resuelva el sistema haciendo uso de un Método Matricial

¿Qué pasaría si para realizar el análisis del reciente problema contextualizado

hacemos uso de una cuadrícula más fina?

LOGRO DE SESIÓN

Al finalizar la sesión, el estudiante resuelve sistemas de ecuaciones lineales haciendo uso de los métodos iterativos de Jacobi y Gauss – Seidel; aplicándolos en la resolución de problemas de contexto real relacionados a su especialidad; con precisión

MÉTODOS ITERATIVOS

Los métodos iterativos representan una alternativa potente para solucionar los sistemas de ecuaciones lineales, puesto que éstos se acercan más a la solución real esperada a medida que se itera, de manera que la calidad de la aproximación obtenida dependerá de la cantidad de iteraciones que se éste dispuesto a efectuar. El planteamiento consiste en suponer un valor inicial y luego usar un método sistemático para obtener una estimación refinada de la solución.

1. MÉTODO DE JACOBI

Este método junto con el de Gauss - Seidel comprenden los métodos iterativos para la solución de sistemas de ecuaciones lineales.El método parte de un sistema de ecuaciones al cual se le aplicaran unos arreglos si es necesario para poder implementar este método. Cuando se tiene el sistema de ecuaciones definido se debe hacer lo posible para que la matriz tenga la forma de diagonalmente dominante. Es decir:

1. Para emplear este método se nos debe proporcionar un vector inicial.

2. Este método se basa en el despeje de cada incógnita de un sistema de ecuaciones como el siguiente.

a11X1 + a12X2 +… + a1nXn = b1

a21X1 + a22X2 +… +a2nXn = b2

. . . . . . an1X1+ an2X2 + … + annXn = bn

3. Despejamos las incógnitas (variable x) de estas ecuaciones y empleamos el valor inicial para la primera iteración.

4. Realizamos una serie de iteraciones hasta lograr que el Ea (error absoluto relativo aproximado) sea menor de la tolerancia dada.

1.1 PASOS A SEGUIR:

LA CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE JACOBI Y DE GAUSS - SEIDEL

EJEMPLO 1

• Con un vector inicial

X1 = 0X2 = 0X3 = 0

Resolver por el método de Jacobi, el siguiente sistema de ecuaciones.

6x1 + 2x2 + x3 = 22-x1 + 8x2 + 2x3 =30 x1 - x2 + 6x3 =23

SOLUCIÓN

1. Despejamos la variable x de cada una de las ecuaciones como sigue:

x1 = (22-2x2-x3)/6x2 = (30+x1-2x3)/8x3 = (23-x1+x2)/6

2. Para un vector inicial (0 ; 0 ; 0) hallo los valores de x1, x2, x3.

x1 = [22-2(0)-(0)]/6x2 = [30+(0)-2(0)]/8x3 = [23-(0)+(0)]/6

3. Teniendo para nuestra primera iteración los siguientes valores:

X1= 3,67 X2= 3,75 X3= 3,83

4. Reemplazamos en las ecuaciones despejadas inicialmente los valores obtenidos anteriormente e iteramos hasta que Ea<1%

5. Observamos que en la 6 Iteración se alcanza la convergencia.

2. MÉTODO DE GAUSS - SEIDEL

El método de Gauss - Seidel es casi idéntico al método de Jacobi. Este ultimo encuentra valores para cada incógnita del sistema de ecuaciones lineales y en la siguiente iteración sustituye estos valores en el sistema. La única diferencia entre estos dos métodos esta en que, en el método de Gauss - Seidel una vez que se ha calculado el valor de Xi, este valor se sustituye inmediatamente en la misma iteración.

EJEMPLO 2

• Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales por medio del método de Gauss Seidel, con una tolerancia de 0,1%

6x1 + 2x2 + x3 = 22-x1 + 8x2 + 2x3 =30 x1 - x2 + 6x3 =23

Con un Vector inicial

X1=0X2=0X3=0

SOLUCIÓN

1. Al igual que en el método de Jacobi despejo en cada ecuación cada una de las incógnitas respectivamente.

x1 = (22-2x2-x3)/6x2 = (30+x1-2x3)/8x3 = (23-x1+x2)/6

2. Empleando el vector inicial, hallo el valor de la primera incógnita.

x1 = (22-2x2-x3)/6x1=[(22-2(0)-(0)]/6x1=3,66

3. Hallo la segunda incógnita (X2) empleando el valor hallado anteriormente.

x2 = (30+x1-2x3)/8x2 = [30+(3,66)-2(0)]/8x2= 4,21

4. De igual manera hallamos el valor de X3 empleando los valores de X1 y x2 hallados anteriormente.

x3 = (23-x1+x2)/6x3 = [23-(3,66)+(4,21)]/6x3= 3,925

5. Con estos valores empiezo a iterar hasta alcanzar un Ea<0,1%.

• Realizamos la tabla de iteraciones en Excel como se muestra a continuación:

• Observamos de esta manera que aunque toma más iteraciones , el método de Jacobi es mucho más preciso.

RESOLUCIÓN DEL MODELO DE ESTRUCTURA METÁLICA

Finalmente el sistema se representa de la siguiente manera:

 

Resuelva el siguiente sistema haciendo uso de los Métodos iterativos de Jacobi y Gauss – seidel.

APLICACIÓN

RESOLVER INDIVIDUALMENTE LOS EJERCICIOS 9 , 11 DEL NIVEL 2 Y 12 DEL NIVEL 3 DE LA HOJA DE TRABAJO.

BIBLIOGRAFÍA

1. Howard Anton. Introducción al Álgebra Lineal. 512.5 ANTO.

2. Grossman Stanley. Álgebra Lineal con Aplicaciones. 512.5 GROS.

3. Ayres Frank. Matrices: Teoría y Problemas.512.9434 AYRE