* Bolsista de Iniciação Científica UFERSA

Métodos numéricos para aproximação de raízes de funções

Rosane Rayanne Jota Ribeiro* Rosane_ribeiro25@hotmail.com

Matheus da Silva Menezes matheus@ufersa.edu.br

Ivan Mezzomo imezzomo@ufersa.edu.br

Universidade Federal Rural do Semi-Árido - UFERSA

59015-000, Campus Angicos, RN

www.ufersa.edu.br

Palavras-chave: Raízes de funções, funções transcendentais, Método da Bissecção, Método da Falsa

Posição, Método de Newton, Método da Secante

Resumo: O presente artigo aborda à utilização de métodos numéricos para aproximação de raízes de

funções polinomiais e transcendentais quando não dispomos de um método direto para encontrá-las ou

esta obtenção é tida como difícil. Após isolarmos o intervalo que contém uma única raiz, utilizamos

métodos numéricos para refiná-la, até a aproximação desejada. Será feita uma explanação geral sobre

a problemática abordada, aspectos básicos que possibilitarão uma compreensão geral sobre os

métodos, bem como uma aplicação em exemplos da literatura, comparando os resultados entre si. Ao

final proporcionamos uma pequena discussão sobre os fatos relevantes de cada método.

1. Introdução

Em muitos problemas científicos e de engenharias, temos a necessidade de encontrar

matematicamente soluções para o qual uma função f(x) obtenha valor igual a zero, sendo estas soluções

denominadas de raízes da equação ou zeros da função [2]. De acordo com [3] existem métodos para se

calcular analiticamente raízes de funções polinomiais de grau até 4. Apesar disto, existe uma ampla

gama de funções de grau superior a quatro e as funções transcendentes, que não possibilitam a

utilização de métodos diretos para o calculo de suas raízes. Para estes casos, segundo [3] devemos

utilizar métodos que encontrem uma solução aproximada, que são processos iterativos, que buscam

convergir para a raiz [4]. Segundo [2] embora estes métodos não disponibilizem raízes exatas, as

mesmas poderão ser calculadas com a precisão que o problema necessite, finalizando o procedimento

quando as condições impostas pela função forem atendidas. Para [7] identificar as circunstâncias em

que o método converge é fundamental para escolhê-lo. De acordo com [3] para as equações

caracterizadas como transcendentes, geralmente há dificuldade para determinar o intervalo que possui

raiz única tendo em vista que não existem teoremas que instituam padrões para que satisfaça essa

condição (funções não algébricas são denominadas transcendentes) [5]. Segundo [3] na pratica usa-se o

conhecimento a cerca da função para delimitar o intervalo em que a raiz se encontra, observando o

comportamento da curva e produzindo o tabelamento da função para busca pontos que forneçam

resultado menor que zero quando efetuado o produto de um f(a) e f(b) quaisquer, pois no intervalo

compreendido entre a e b haverá pelo menos uma raiz. A metodologia para encontrar raízes de funções, segundo [3], divide-se em duas fases

Fase 1: Localização do intervalo que contém a raiz, ou isolamento da raiz;

Fase 2: Refinamento do resultado, que consiste em melhorar sucessivamente a

aproximação inicial até que seja atingida a precisão desejada.

O teorema matemático que dá suporte a utilização dos métodos em um intervalo que contém uma

única raiz é o seguinte:

Teorema de Bolzano ou Anulamento: Seja f(x) uma função continua em um intervalo [a,b]. Se

f(a) e f(b) possuírem sinais contrário, então existirá pelo menos um c em [a,b], tal que f(c) = 0.

Obviamente, se a f(a) e f(b) possuírem sinais contrários, então: f(a). f(b) < 0.

2. Métodos Numéricos para obtenção de Zeros de funções:

Inicialmente, devemos analisar a função através de análise de tabelamento e gráfico, identificando

assim os intervalos que contém pelo menos uma raiz pela mudança do sinal de f(x). Após isolarmos as

raízes em um intervalo que garanta a unicidade da mesma, utilizamos métodos numéricos iterativos

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para refiná-la, que têm como idéia principal partir de uma aproximação inicial, efetuando em seguida de

uma metodologia que promove iterações em busca da convergência para a raiz. Os métodos utilizados

neste estudo são os seguintes:

Bissecção:. é uma técnica iterativa que incide em encurtar a amplitude do intervalo que

contém a raiz até que se atinja a exatidão necessária, empregando a divisão sucessiva de

[a,b] ao meio [6]. A cada iteração, a raiz aproximada é dada por:

Falsa Posição: consiste localizar uma raiz aproximada por meio da média aritmética

ponderada entre a e b, utilizando como pesos | f(b) | e |f(a)|, respectivamente [RUGGIERO;

LOPES]. Logo a raiz aproximada é dada por:

Newton: este método tenta acelerar a convergência, adotando como função de iteração a

equação no qual , obtendo como função de iteração.

(veja [6]).

Secante: uma das desvantagens do método de Newton o fato de ser necessário obter a f’(x) e

calcular seu valor numérico a cada iteração [4]. Contudo, esta desvantagem pode ser

eliminada [4] substituir a derivada pelo quociente das diferenças, chegando a uma

função de aproximação da raiz

3. Experimentos Computacionais

Para exemplificar a execução dos métodos numéricos, utilizamos os problemas descritos e analisados

em [3]. Os métodos foram implementados em SciLab, Versão 5.3.2., e rodados em um ambiente

Microsoft Windows 7, em um computador com processador Intel Core 2 Duo e 4 Gb de memória RAM.

Para todos os métodos foram utilizado o mesmo critério de parada: , a mesma tolerância

e número máximo de iterações de 500. Para o método de Newton adotou-se como raiz

inicial (x0) o ponto médio do intervalo.

Os problemas considerados e os resultados encontrados foram os seguintes:

Tabela 1 – Problemas e Resultados Considerados

Métodos Raiz # Iter Tempo (s)

Bissecção 1,492879 38 1,79

Falsa Posição 1,492879 78 4,64

Newton 1,492879 3 0,20

Secante -1,300384 9 0,39

Bissecção 2,000122 13 0,61

Falsa Posição 1,823557 500 30,48

Newton 2,000170 20 1,33

Secante 2,000178 29 1,34

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Bissecção -0,929560 42 2,02

Falsa Posição 0,698715 500 29,73

Newton -0,929560 10 0,47

Secante -0,929560 21 0,97

Bissecção 4,323240 34 2,27

Falsa Posição 4,323240 9 0,56

Newton 4,323240 5 0,33

Secante 4,323240 6 0,27

4. Resultados e Discussão

Ao observar os resultados dos exemplos apresentados anteriormente vemos que a maioria dos métodos

apresentou as soluções desejadas, porém com desempenhos diferentes pelo fato dos mesmos possuírem

atributos peculiares que os diferem no procedimento realizado para o calculo da raiz aproximada. A

técnica da bissecção mostrou-se ser eficiente no que diz respeito ao objetivo principal, entretanto, a

atualização da raiz sempre dividindo o intervalo ao meio é custoso computacionalmente, demandando

um tempo maior para convergir, apesar de ter convergência garantida caso obedeça aos critérios pré-

estabelecidos. O método da falsa posição encontrou os resultados buscados apenas em dois exemplos,

enquanto nos outros atingiu o numero máximo de iterações. Apesar de ter convergência garantida, a

velocidade de convergência é comprometida nos casos em que a assíntota do gráfico é grande. O

método de Newton apresentou resultados após poucas iterações, com a precisão esperada e com

rapidez. Embora seja realizado calculado da derivada da função para que o método seja implantado o

mesmo ainda mostra velocidade na execução, apesar de sua convergência não ser garantida.

Finalmente, o método da secante assim como o método de Newton executou com rapidez e realizou

poucas iterações, contudo no exemplo f1(x) o método convergiu para uma raiz fora do intervalo.

Referências

[1] R. Burian, A. C de Lima; A. H. Junior. “Fundamentos de Informática”, Cálculo Numérico. LTC,

Rio de janeiro, 2011.

[2] L. C. Barroso, M. M. A. Barroso; F.F.F. Campos; M. L. B. Carvalho; M. L. Maria. “Cálculo

Numérico com Aplicações”. HARBRA, São Paulo, 1987.

[3] F.F. Campos. “Algoritmos Numéricos”. LTC, Rio de Janeiro, 2010.

[4] N.B. Franco. “Cálculo Numérico” Pearson, São Paulo, 2006.

[5] J. Hass, M.D. Weir, F.R. Giordanno. “Cálculo 1: George B. Thomas”. Pearson, São Paulo , 2010

[6] M. A. G Ruggiero; V. L. R. Lopes. “Cálculo numérico: Aspectos Teóricos e Computacionais”. 2.

ed. Makron Books, São Paulo, 1996.

[7] D. Sperandio; J. T. Mendes; L. H. M. Silva. “Cálculo Numérico: Características Matemáticas e

Computacionais dos Métodos Numéricos”. Pearson Prentice Hall, São Paulo:, 2003.

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