UNIVERZITET U TUZLIPRIRODNO-MATEMATICKI FAKULTET

Nermin Okicic

Metricki prostori

- Skripta -

Tuzla, 2014.

Sadrzaj

1 Predmetricki prostori 1

1.1 Prametricki prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Pseudometricki prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Kvazimetricki prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Ultrametricki prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5 Sumarni pregled geneze metrike . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Metricki prostori 15

2.1 Metrika i metricki prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.1 Pravljenje novih metrika . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.2 Primjeri metrickih prostora . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.3 Ograniceni skupovi u metrickom prostoru . . . . . . . 32

2.1.4 Topologija metrickih prostora . . . . . . . . . . . . . . 39

2.1.5 Ekvivalentnost metrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.1.6 Potprostor metrickog prostora . . . . . . . . . . . . . . 54

2.2 Neprekidnost na metrickim prostorima . . . . . . . . . . . . . 57

2.2.1 Opste napomene o preslikavanjima . . . . . . . . . . . 57

2.2.2 Neprekidnost preslikavanja . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.2.3 Uniformna i Lipschitz neprekidnost . . . . . . . . . . . 62

2.3 Konvergencija u metrickim prostorima . . . . . . . . . . . . . 64

3 Kompletnost metrickih prostora 70

3.1 Kompletnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.2 Kompletiranje metrickog prostora . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.3 Kategorijalnost skupova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4 Separabilnost metrickih prostora 86

4.1 Pojam separabilnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.2 Osobine separabilnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

i

Sadrzaj

ii

5 Kompaktnost metrickih prostora 925.1 Definicija kompaktnosti i karakterizacije . . . . . . . . . . . . 925.2 Neprekidne funkcije na kompaktnim skupovima . . . . . . . . 995.3 Lokalna kompaktnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.4 Specijalni kriteriji relativne kompaktnosti . . . . . . . . . . . . 103

6 Banachov stav o fiksnoj tacki 1076.1 Kontrakcija i fiksna tacka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.2 Primjene Banachovog stava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

Bibliografija 124

iii

Metricki prostori

Predgovor

Posmatrajmo dva primjera poznata nam iz matematicke analize

Primjer 0.1. Neka je f : R R. Funkcija f je neprekidna u tacki a Rako za proizvoljno > 0 postoji > 0, tako da je |f(x) f(a)| < , kad godje |x a| < .

Primjer 0.2. Posmatrajmo preslikavanje F : R2 R. Neka je L granicnavrijednost funkcije F , kada se X(x1, x2) priblizava tacki A(a1, a2). To znacida za proizvoljno zadato > 0 postoji > 0, tako da je |F (x1, x2) L| < cim je 0 0 = d(a, b).

a < c < b: d(a, c) + d(c, b) = 0 + 0 = 0 = d(a, b).

a < b < c: d(a, c) + d(c, b) = 0 + c b > 0 = d(a, b).

5Metricki prostori

Dakle, u sva tri slucaja vrijedi: d(a, b) d(a, c) + d(c, b).Na potpuno analogan nacin se razmatra i slucaj a > b, te zakljucujemo davrijedi osobina (M4). Time je definisana funkcija d hemimetrika na X .

Razdvajajuca prametrika kojoj se namece jos i uslov simetricnosti, nazivase semimetrika.

Definicija 1.1.5

Neka je X proizvoljan skup. Funkciju d : X X R, koja za bilokakve x, y X zadovoljava uslove(M1) 0 d(x, y) < +,(M2) d(x, y) = 0 x = y,(M3) d(x, y) = d(y, x),

nazivamo semimetrika na skupu X , a odgovarajuci prostor semimetrickiprostor.

1.2 Pseudometricki prostor

Hemimetricki prostor u kome vrijedi uslov (M3), koga nazivamo simetricnost,naziva se pseudometricki prostor.

Definicija 1.2.1

Neka jeX proizvoljan skup. Funkcija d : XX R, koja za proizvoljnex, y, z X zadovoljava uslove(M1) 0 d(x, y) < +,(M2) x = y = d(x, y) = 0,(M3) d(x, y) = d(y, x),

(M4) d(x, z) d(x, y) + d(y, z),zove se pseudometrika na skupu X . Odgovarajuci prostor je pseudome-tricki prostor.

1.2. Pseudometricki prostor

6

Primjer 1.4. Neka su a = (a1, a2) i b = (b1, b2) tacke ravni R2 i neka je

funkcija d definisana sad(a, b) = |a2 b2|, (1.2)

tj. jednaka apsolutnoj vrijednosti razlike drugih koordinata tacaka. Funkcijad je pseudometrika, a uredeni par (R2, d) je pseudometricki prostor.

b

b

b

b

(a1, a2)

(b1, b2)

d(a, b)

(a1, y)

(b1, y)

d(a, b) = 0

Slika 1.1: Primjer pseudometrike u ravni.

Neka su a = (a1, a2) , b = (b1, b2) i c = (c1, c2) iz R2. Treba provjeriti

zadovoljava li funkcija d, definisana sa (1.2), uslove iz Definicije 1.2.1.

(M1) Vrijedi da je d(a, b) 0 jer je po definiciji funkcija jednaka apsolutnojvrijednosti koja je uvijek nenegativna.

(M2) Neka je a = b, odnosno a1 = b1 i a2 = b2. Tada je d(a, b) = |a2b2| = 0,te je drugi uslov pseudometrike zadovoljen.

(M3) Simetricnost je zadovoljena jer je d(a, b) = |a2b2| = |b2a2| = d(b, a),za bilo koji izbor elemenata a i b iz R2.

(M4) Nejednakost trougla vrijedi za bilo koje a, b i c iz R2 jer je

d(a, c) = |a2c2| = |a2b2+b2c2| |a2b2|+|b2c2| = d(a, b)+d(b, c).

Prema tome, (R2, d) je pseudometricki prostor.

Primjer 1.5. Neka je X proizvoljan neprazan skup, x0 element iz X , a X

skup svih preslikavanja sa skupa X u skup R, tojest

X = {f | f : X R} .Tada je za proizvoljne f i g iz skupa X, funkcija definisana sa

d(f, g) = |f(x0) g(x0)| , x0 X fiksno, (1.3)pseudometrika na X.Provjerimo je li funkcija d, definisana sa (1.3), zaista pseudometrika.

7Metricki prostori

(M1) Vrijedi da je d(f, g) 0 zbog definicije apsolutne vrijednosti, koja jeuvijek pozitivna.

(M2) Neka je f = g. Tada je f(x) = g(x) za svako x iz X . Kako ovo vrijediza svako x iz X , vrijedi i za x0, pa je f(x0) = g(x0) . Odavde je|f(x0) g(x0)| = 0, tj. d(f, g) = 0.

(M3) Simetricnost je zadovoljena jer je

d(f, g) = |f(x0) g(x0)| = |g(x0) f(x0)| = d(g, f) ,

za bilo koji izbor funkcija f i g iz X.

(M4) Posljednji uslov koji treba dokazati vrijedi za sve funkcije f , g i h, kojeslikaju X u R jer je

d(f, h) = |f(x0)h(x0)| |f(x0)g(x0)|+|g(x0)h(x0)| = d(f, g)+d(g, h).

Data funkcija zadovoljava sve uslove iz Definicije 1.2.1, pa je ona pseudo-metrika na X. Primjetimo da za definisanu funkciju d nece vrijediti uslov(M2.) jer iz d(f, g) = 0 slijedi da se funkcije f i g poklapaju samo u tackix0, a ne obavezno i u ostalim tackama domena.

1.3 Kvazimetricki prostor

Razdvajajuca prametrika koja zadovoljava nejednakost trougla zove se kva-zimetrika.

Definicija 1.3.1

Neka je X proizvoljan skup. Funkciju d : X X R, koja za bilokakav izbor elemenata x, y i z iz skupa X zadovoljava uslove

(M1) 0 d(x, y) < +,(M2) d(x, y) = 0 x = y,(M4) d(x, z) d(x, y) + d(y, z),nazivamo kvazimetrika, a uredeni par (X, d) nazivamo kvazimetrickiprostor.

1.3. Kvazimetricki prostor

8

Situacije mjerenja rastojanja opisane kvazimetrikom su ceste u realnom svi-jetu. Naime, ako mjerimo razdaljinu vremenom potrebnim da predemo odmjesta do mjesta, tada uslov (M3) ima smisla u mjestima smjestenim uravnicarskim predjelima, ali ako je selo u planinskom predjelu, onda vrijemeza stici od kuce u dnu brda do kuce na vrhu brda nije isto kao od kuce savrha brda do kuce u dnu brda. Isto tako, u gradovima sa sistemima ulicakoje mogu biti i jednosmjerne, rastojanje od ulaza u jednosmjernu ulicu doizlaza iz nje nije isto od izlaza do ulaza, u smislu mogucnosti prolaza krozulicu.

Primjer 1.6. Posmatrajmo skup R. Za proizvoljne elemente a i b iz Rdefinisimo funkciju sa

d(a, b) =

{ |a b| za a b1 za a > b

. (1.4)

Tada je d kvazimetrika, a uredeni par (R, d) predstavlja kvazimetricki prostor.Topologija inducirana ovom kvazimetrikom je Sorgenfreyeva prava.Neka su a, b i c proizvoljni elementi iz R. Provjerimo uslove kvazimetrike.

(M1) Iz definicije date funkcije vidimo da je ona uvijek pozitivna.

(M2) Neka je a = b. Onda je d(a, b) = d(a, a) = |a a| = 0.Obrnuto, neka je d(a, b) = 0. Buduci da je d(a, b) 6= 1, to mora bitia b. Slijedi da je za a b, |a b| = 0, odakle je a = b.

(M4) Treba dokazati da vrijedi

d(a, b) d(a, c) + d(c, b). (1.5)

Moguca su tri slucaja:

1. Neka je a > b, tj. a b > 0. S obzirom na to u kojem je polozajuc u odnosu prema a i b postoje tri mogucnosti.

Ako je c < b < a, onda je

d(a, b) d(a, c) + d(c, b) 1 1 + |c b| ,

a kako je uvijek |c b| 0, to je zadovoljena relacija (1.5).Ako je b < c < a, onda je

d(a, b) d(a, c) + d(c, b) 1 1 + 1 ,

sto je uvijek tacno, pa opet vrijedi (1.5).

9Metricki prostori

Ako je b < a < c, onda je

d(a, b) d(a, c) + d(c, b) 1 |a c|+ 1 ,

a kako je |a c| pozitivan broj, to posljednja relacija vrijedi, stopovlaci tacnost relacije (1.5).

Dakle, za a > b vrijedi nejednakost trougla, neovisno o tacki c .

2. Neka je a < b, tj. a b < 0. I u ovom slucaju, s obzirom napolozaj c u odnosu prema a i b, postoje tri mogucnosti.

Neka je a < b < c. Pretpostavimo suprotno, da (1.5) ne vrijedi,tj. da je zadovoljena relacija

d(a, b) > d(a, c) + d(c, b) .

Na osnovu definicije udaljenosti d je

|a b| > |a c|+ 1 .

Kako je a < b, a prema tome a b < 0, to je na osnovu definicijeapsolutne vrijednosti |a b| = (a b) = b a; a analogno i|a c| = c a, pa uvrstavanjem dobivenog u prethodnu relacijuimamo, ba > ca+1, a odavde je bc > 1, sto je u suprotnostisa b c < 0 (jer je b < c). Dakle, dosli smo do kontradikcije, padata pretpostavka ne vrijedi, tj. zadovoljena je relacija (1.5).

Neka je a < c < b. Pretpostavimo suprotno, da (1.5) ne vrijedi,tj. da je zadovoljena relacija

d(a, b) > d(a, c) + d(c, b) .

Na osnovu definicije udaljenosti d je:

|a b| > |a c|+ |c b| .

Odavde, buduci da je |ab| = ba, |ac| = ca i |cb| = bc,vrijedi

b a > c a+ b c 0 > 0 .Ovo je kontradikcija, tako da je nasa pretpostavka netacna, tj. iu ovom slucaju vrijedi nejednakost trougla.

Neka je c < a < b. Pretpostavimo suprotno, da (1.5) ne vrijedi,tj. da je zadovoljena relacija

d(a, b) > d(a, c) + d(c, b) .

1.3. Kvazimetricki prostor

10

Na osnovu definicije udaljenosti d je |a b| > 1 + |c b|. Buducida je |a b| = b a i |c b| = b c, vrijedi

b a > 1 + b c c a > 1 .Dobivena nejednakost c a > 1 je u suprotnosti s nejednakoscuc a < 0 (koja vrijedi zato sto je c < a).

3. Neka je a = b. Tada je d(a, b) = 0, tako da nejednakost trouglavrijedi.

Ovime su pokazani uslovi definicije 1.3.1, pa je funkcija d kvazimetrika naskupu X .

Primjer 1.7. Posmatrajmo skup N i neka je funkcija q : NN R defini-sana sa

q(n,m) =

1m

ako n < m0 ako n = m1 ako n > m

za proizvoljan izbor elemenata n im iz N. Definisana funkcija je kvazimetrikana N. Neka su n, m i r proizvoljni elementi iz N. Treba provjeriti jesu lizadovoljeni uslovi iz Definicije 1.3.1.

(M1) Vrijedi da je q(n,m) 0 jer je funkcija q definisana tako da je uvijekpozitivna.

(M2) Neka je n = m. Tada, po definiciji funkcije q, slijedi da je q(n,m) = 0.Obrnuto, neka je q(n,m) = 0. Tada, po definiciji funkcije q, slijedi daje n = m.

(M4) Treba ispitati u kojim se odnosima mogu naci ovi brojevi.

Za n < m < r je q(n,m) = 1m, a q(n, r) + q(r,m) = 1

r+ 1.

Za n < r < m je q(n,m) = 1m, a q(n, r) + q(r,m) = 1

r+ 1

m.

Za m < r < n je q(n,m) = 1, a q(n, r) + q(r,m) = 1 + 1. Za m < n < r je q(n,m) = 1, a q(n, r) + q(r,m) = 1

r+ 1.

Za r < m < n je q(n,m) = 1, a q(n, r) + q(r,m) = 1 + 1m.

Za r < n < m je q(n,m) = 1m, a q(n, r) + q(r,m) = 1 + 1

m.

Prema tome, u svim mogucim slucajevima nejednakost trougla je za-dovoljena.

Kako su zadovoljeni trazeni uslovi iz Definicije 1.3.1, funkcija q je kvazime-trika.

11

Metricki prostori

1.4 Ultrametricki prostor

Semimetrika je, kao sto cemo vidjeti nesto kasnije, funkcija koja zadovoljavavec dovoljno uslova da prirodno odrazava ono sto zelimo nazvati metrickomfunkcijom. Jedan od uslova koji joj fali, a koji se prirodno namece je oso-bina M4.. Ovu posljednju osobinu mozemo modifikovati na razne nacine, ajedan od njih je takav da novodobijenu funkciju nazivamo ultrametrika, kojuponekad zovemo i supermetrika ili nearhimedovska metrika.

Definicija 1.4.1

Neka jeX proizvoljan skup. Funkciju d : XX R, koja za proizvoljnex, y, z X zadovoljava uslove(M1) 0 d(x, y) < +,(M2) d(x, y) = 0 x = y,(M3) d(x, y) = d(y, x),

(M4) d(x, z) max{d(x, y), d(y, z)},nazivamo ultrametrika na skupu X . Uredeni par (X, d) naziva se ultra-metricki prostor.

Po definiciji ultrametrike moze se zakljuciti da je svaki trougao u ultrame-trickom prostoru jednakokraki, tj. za proizvoljne a, b, c X vrijedi d(a, b) =d(b, c) ili d(a, c) = d(b, c) ili d(a, b) = d(a, c).

Primjer 1.8. Neka je X proizvoljan skup. Sa XN (N je skup prirodnih bro-jeva) oznacimo skup nizova elemenata iz X . Neka je za nizove a = (a1, a2, ...)i b = (b1, b2, ...) broj n broj do kojeg se nizovi poklapaju, odnosno a1 =b1, a2 = b2, ..., an = bn, ali an+1 6= bn+1. Neka je n = 0 za a1 6= b1. Uzme lise sve to u obzir, funkcija definirana sa

d(a, b) =

{2k ; (k N) k = min{i N | ai 6= bi}0 ; (k N) ak = bk (1.6)

je ultrametrika na X .Neka su dati nizovi a = (a1, a2, ...), b = (b1, b2, ...) i c = (c1, c2, ...), ciji suelementi iz X . Treba provjeriti vrijede li uslovi iz definicije ultrametrike.

(M1) Vrijedi da je d(a, b) = 2n 0 jer je eksponencijalna funkcija uvijekpozitivna.

1.4. Ultrametricki prostor

12

(M2) Neka je a = b. Tada je a1 = b1, a2 = b2, ..., an = bn, ... odnosno, zasvako k N je ak = bk, te je po definiciji d(a, b) = 0.Obrnuto, neka je d(a, b) = 0, onda je a1 = b1, a2 = b2, ..., an = bn, ..., ato znaci da je a = b.

(M3) Ako se a od b razlikuje na n-tom mjestu (d(a, b) = 2n), tada se i b oda razlikuje na istom mjestu (d(b, a) = 2n).

(M 4) Da bi se dokazalo da vrijedi ovaj uslov pretpostavimo da je d(a, c) =2n, tj. da se nizovi a i c poklapaju u n prvih mjesta. Dakle, neka je

a = (a1, a2, ..., an, an+1, ...) , c = (a1, a2, ..., an, cn+1, ...) .

Takode, neka je d(a, b) = 2m. Posmatrat cemo dva slucaja:

Za m < n bit ceb = (a1, a2, ..., am, bm+1, ...bn, ...) ,

iz cega slijedi da je i d(b, c) = 2m. Kako vrijedi da je m < n, toje i m > n, pa i 2m > 2n, te na osnovu ovoga u

d(a, c) max{d(a, b), d(b, c)} ,proizlazi da je

2n max{2m, 2m} , tj. 2n 2m ,cime je dokazano da u ovom slucaju vrijedi (M4).

Neka je sada m n. Tada jeb = (a1, a2, ..., an, an+1, ..., am, bm+1...) ,

pa je d(b, c) = 2n. Zbog uslova m n vrijedi i 2m 2n, auvrstivsi ove rezultate u (M4) imamo

d(a, c) = 2n = max{2m, 2n} = max{d(a, b), d(b, c)} ,sto je i trebalo dokazati.

Ako se u gornjem primjeru definise funkcija samo sa d(a, b) = 2n, onda onanije ultrametrika jer nije zadovoljen uslov (M2). Zaista, za a = b ne mozemodobiti d(a, b) = 0 jer eksponencijalna funkcija nikada nije jednaka nuli.Primjer koji slijedi ilustrira primjenu ultrametrike u lingvistici, s obziromna identicnost s prethodnim primjerom necemo ga dokazivati.

13

Metricki prostori

Primjer 1.9. Neka je dat skup rijeci proizvoljne duzine (konacne ili be-skonacne) u nekom alfabetu. Funkciju izmedu dvije razlicite rijeci defini-rajmo sa 2n, gdje je n prvo mjesto u kojem se rijeci razlikuju. Funkcijakoju dobijemo je ultrametrika.

Treba primijetiti da je u Primjeru 1.8 posebno razmatran slucaj kada jed(a, b) = 0, dok je taj dio u Primjeru 1.9 izbjegnut time sto je funkcijadefinisana izmedu razlicitih rijeci.Neke od varijanti zamjene uslova (M4), osim ovoga sa ultrametrikom, su

d(x, y) p(d(x, z) + d(z, y)) , relaksirana nejednakost trougla ,

d(x, y) pmax{d(x, z), d(z, y)} , inframetricka nejednakost .

1.5 Sumarni pregled geneze metrike

Do sad smo uveli definicije raznih funkcija koje zadovoljavaju neke uslove.Prametrika je funkcija definirana tako da zadovoljava samo uslov (M1). Do-davanjem novog uslova (M3), simetricnosti, na vec postojeci, doslo se dodefinicije simetricne prametrike. Dodavanjem uslova (M2) na uslov prame-trike definisana je razdvajajuca prametrika, a uslova (M4) hemimetrika.Dalje, zahtjevom dvaju novih uslova (M2) i (M3) na uslov prametrike dobijase semimetrika, dodavanjem (M3) i (M4) pseudometrika, a (M2) i (M4)kvazimetrika.Radi preglednosti i lakseg uocavanja razlika izmedu navedenih prostora po-smatrat cemo tablicu iz koje mozemo vidjeti koji je od uslova u kojem pros-toru zadovoljen.

Tip (M1) (M2) (M3) (M4)

Prametrika + - - -Razdvajajuca prametrika + + - -Simetricna prametrika + - + -

Hemimetrika + - - +Semimetrika + + + -Pseudometrika + - + +Kvazimetrika + + - +Metrika + + + +

Posljednji red u tablici predstavlja maksimum zahtjeva, ali takode i prirod-nih za intuitivno shvatanje mjerenja rastojanja objekata, te ce o njima biti

1.5. Sumarni pregled geneze metrike

14

rijeci u sljedecem poglavlju. Ultrametrika je zbog svoje posebne prirode uodnosu na metriku izostavljena iz tablice.

2Metricki prostori

2.1 Metrika i metricki prostor . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.1 Pravljenje novih metrika . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.2 Primjeri metrickih prostora . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.3 Ograniceni skupovi u metrickom prostoru . . . . . 32

2.1.4 Topologija metrickih prostora . . . . . . . . . . . . 39

2.1.5 Ekvivalentnost metrika . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.1.6 Potprostor metrickog prostora . . . . . . . . . . . 54

2.2 Neprekidnost na metrickim prostorima . . . . . 57

2.2.1 Opste napomene o preslikavanjima . . . . . . . . . 57

2.2.2 Neprekidnost preslikavanja . . . . . . . . . . . . . 58

2.2.3 Uniformna i Lipschitz neprekidnost . . . . . . . . . 62

2.3 Konvergencija u metrickim prostorima . . . . . 64

Granicni proces jedan je od najvaznijih pojmova matematicke analize. Fa-kat na kome pociva ovaj pojam jeste da smo u mogucnosti mjeriti rastojanjeizmedu proizvoljne dvije tacke realne prave. Sta vise, veliki broj pojmovaanalize nije vezan za algebarska svojstva skupa nego upravo za koncept uda-ljenosti. Ovo nas navodi na izucavanje skupova u kojima je moguce mjeritirastojanje izmedu tacaka, tj. vodi nas ka konceptu metrickog prostora,fundamentalnog pojma moderne matematike. U svojim radovima iz 1906Frechet 1 koristi pojmove metrike i metrickih prostora, ali formalno uvodenjepojma metrickog prostora je uradio Hausdorff.2

2.1 Metrika i metricki prostor

Iako smo neformalno pojam metrickih prostora uveli u prethodnoj glavi, sadacemo dati i formalno definiciju metrickih prostora.

1Maurice Frechet 1878-1973, francuski matematicar2Felix Hausdorff 1868-1942, njemacki matematicar

15

2.1. Metrika i metricki prostor

16

Definicija 2.1.1

Neka je X proizvoljan neprazan skup. Za funkciju d : X X Rkazemo da je metrika ili metricka funkcija na X , ako zadovoljava sljedecacetiri uslova, za proizvoljne x, y i z iz X :

M1. d(x, y) 0, (nenegativnost)M2. d(x, y) = 0 ako i samo ako x = y, (strogost)

M3. d(x, y) = d(y, x), (simetricnost)

M4. d(x, y) d(x, z) + d(y, z) (nejednakost trougla).Tada kazemo da je skup X snabdjeven metrikom d, a uredeni par (X, d)nazivamo metricki prostor. Elemente skupa X nazivamo tackama, arealan broj d(x, y) nazivamo rastojanjem izmedu tacaka x i y.

Dakle, metricki prostor je uredeni par (X, d), koga cine skup X i na njemuuvedena metrika d. Kratkoce radi, umjesto oznake (X, d), mi cemo za me-tricki prostor skoro uvijek koristiti jednostavno oznaku X , kad god je jasnoo kojoj je metrici rijec.Uslovi M1.-M4. nazivaju se aksiomi metrike, a pojedinacno to su nenega-tivnost (pozitivna definitnost) (M1.), strogost (M2.), simetricnost (M3.) inejednakost trougla (M4.). Uslov (M2.) cesto se naziva i uslov identicnostiili uslov nedegenerisanosti.U prethodnom smo vidjeli da kombinujuci ove uslove, slabeci ih ili mje-njajuci drugim, dobijamo razne vrste prostora. Tako smo imali da ukolikouslov M2. zamijenimo slabijim uslovom

x = y onda d(x, y) = 0 ,

za d kazemo da je pseudometrika. Ukoliko se iz aksioma ispusti uslov M3.,za d kazemo da je kvazimetrika. Ako uslov M4. zamjenimo sa uslovom M4,koji je jaci od uslova nejednakosti trougla jer ocigledno vrijedi

max{d(x, z), d(z, y)} d(x, z) + d(z, y) ,d nazivamo ultrametrikom. Pri tome pod terminom jaci podrazumijevamoda ako je neki prostor ultrametricki, on je onda i metricki (obrat ne mora davrijedi). Ovime je potvrdena cinjenica da su pojmovi uvedeni u prethodnojglavi slabiji od uslova za metriku i da je termin predmetricki prostoriopravdan.

17

Metricki prostori

Primjetimo da je uslov (M1) suvisan, tj. da se on moze dobiti iz preostalatri uslova metrike. Zaista, neka su x, y X proizvoljni. Tada vrijedi

0 = d(x, x) d(x, y) + d(x, y) = 2d(x, y) ,odakle je jasno d(x, y) 0, pa zbog proizvoljnosti izabranih elemenata imamouslov (M1).Takode je i uslov simetricnosti suvisan. Ako u (M4) umjesto z stavimox, dobijamo nejednakost d(x, y) d(y, x). Ako jos zamjenimo mjesta x i yu nejednakosti trougla i stavimo da je z = y, imamo i nejednakost d(y, x) d(x, y), sto sa prethodnom nejednakoscu daje uslov simetricnosti.Dakle, metricka funkcija je u sustini opisana samo sa uslovima (M2) i (M4)te zato i nije najispravnije date uslove zvati aksiomama (aksiome morajuzadovoljavati uslov nezavisnosti), ali zbog prirodnosti zahtjeva u definicijimetrike se uobicajeno navode sva cetiri uslova.

Lema 2.1.1

U svakom metrickom prostoru (X, d) vrijedi pravilo mnogougla, tj. zaproizvoljne x1, x2, ..., xn X (n 3), vrijedi

d(x1, xn) d(x1, x2) + d(x2, x3) + + d(xn1, xn) .

Dokaz : Dokaz se izvodi matematickom indukcijom po n N i primjenomuslova (M4).

b

b

b

b

b

b

x1

x2

x3

xn1xn

Slika 2.1: Pravilo mnogougla

Lema 2.1.2

Za proizvoljne tri tacke x, y i z, metrickog prostora (X, d), vrijedi nejed-nakost

|d(x, y) d(y, z)| d(x, z) .

Dokaz : Neka su x, y, z X proizvoljni. Iz uslova nejednakosti trouglaimamo

d(x, y) d(x, z) + d(y, z) ,

2.1. Metrika i metricki prostor

18

odakle imamod(x, y) d(y, z) d(x, z) . (2.1)

Ako u gornjoj nejednakosti izvrsimo zamjenu mjesta elementima x i z dobi-jamo

d(z, y) d(y, x) d(z, x) ,pa mnozeci je sa 1 i koristeci simetricnost metrike imamo nejednakost

d(x, y) d(y, z) d(x, z) . (2.2)

Iz (2.1) i (2.2) imamo

d(x, z) d(x, y) d(y, z) d(x, z) ,

sto je ekvivalentno sa

|d(x, y) d(y, z)| d(x, z) .

Lema 2.1.3

Za proizvoljne cetiri tacke x, y, z i t, metrickog prostora (X, d), vrijedinejednakost

|d(x, y) d(z, t)| d(x, z) + d(y, t) .

Dokaz : Primjenimo li Lemu 2.1.1 na elemente x, y, z i t imamo

d(x, y) d(x, z) + d(z, t) + d(t, y) ,odakle koristeci osobinu simetricnosti dobijamo

d(x, y) d(z, t) d(x, z) + d(y, t) . (2.3)

Analogno vrijedi

d(z, t) d(z, x) + d(x, y) + d(y, t) ,

a odavde imamo

(d(x, y) d(z, t)) d(x, z) + d(y, t) . (2.4)Iz (2.3) i (2.4) dobijamo trazenu nejednakost.

19

Metricki prostori

2.1.1 Pravljenje novih metrika

Kao sto je i ocekivano, a uskoro cemo to i potvrditi na konkretnim primje-rima, na nekom skupu se mogu definisati razne metrike. Potvrdimo to isljedecim rezultatima.

Teorem 2.1.1

Neka je (X, d) metricki prostor. Tada je i

1. (X, d) metricki prostor, gdje je metrika d definisana sa

x, y X , d(x, y) = d(x, y)1 + d(x, y)

.

2. (X, d) metricki prostor, gdje je metrika d definisana sa

x, y X , d(x, y) = min{d(x, y), 1} .

Dokaz : 1. Pokazimo da je d takode metrika na X . Za proizvoljne x, y Xje ocigledno d(x, y) = d(x,y)

1+d(x,y) 0 jer je d metrika, pa je zadovoljen uslov

(M1).Neka je d(x, y) = 0. Na osnovu definicije funkcije d, to je ekvivalentnosa cinjenicom da je d(x, y) = 0, a opet zbog toga sto je d metrika, to jeekvivalentno sa time da je x = y, sto je uslov (M2).Simetricnost (uslov (M3)) se takode ima trivijalno jer

d(x, y) =d(x, y)

1 + d(x, y)=

d(y, x)

1 + d(y, x)= d(y, x) .

Za dokaz nejednakosti trougla, posmatrajmo funkciju f : R+ {0} R+ {0}, zadatu sa f(x) = x

1+x. Kako je f (x) = 1

(1+x)2, zakljucujemo da je

f (x) 0, za sve x R {0}, pa je funkcija f rastuca na citavom domenu.Neka su sada x, y, z X proizvoljni. Kako je d(x, y) d(x, z) + d(z, y),zbog monotonosti funkcije f imamo

d(x, y) =d(x, y)

1 + d(x, y) d(x, z) + d(z, y)

1 + d(x, z) + d(z, y) d(x, z)

1 + d(x, z)+

d(z, y)

1 + d(z, y),

odakle je d(x, y) d(x, z) + d(z, y), tj. vrijedi nejednakost trougla.

2.1. Metrika i metricki prostor

20

Nejdnakost trougla se moze pokazati i elementarnim putem. Neka su x, y, z X proizvoljni. Tadaimamo

d(x, y) d(z, y) = d(x, y)1 + d(x, y)

d(z, y)1 + d(z, y)

=d(x, y) + d(x, y)d(z, y) d(z, y) d(z, y)d(x, y)

(1 + d(x, y))(1 + d(z, y))

=d(x, y) d(z, y)

(1 + d(x, y))(1 + d(z, y) d(x, z)

(1 + d(x, y))(1 + d(z, y).

Posljednju nejdnakost imamo koristeci cinjenicu da je d(x, y) d(x, z) + d(z, y). Kako vrijedi i procjena

(1 + d(x, y))(1 + d(z, y) = 1 + d(x, y) + d(z, y) + d(x, y)d(z, y)

1 + d(x, y) + d(z, y) 1 + d(x, z) (Najednakost trougla)

Kombinujuci gornje procjene imamo d(x, y) d(z, y) d(x, z), a to upravo prdstavlja nejednakosttrougla za funkciju d.

2. Ostavljeno za vjezbu. Vrijedi cak i opsti slucaj konstrukcije nove metrike od stare.

Teorem 2.1.2

Neka je (X, d) metricki prostor i neka je f : R R strogo monotonorastuca, konkavna funkcija koja se anulira u 0. Tada je i f d metrikana X .

Dokaz : Buduci da je d metrika, vrijedi d(x, y) 0 za proizvoljne x, y X .Kako je funkcija f monotono rastuca, to je (f d)(x, y) = f(d(x, y)) f(0) =0, te f d zadovoljava osobinu M1.Neka je (f d)(x, y) = 0, odnosno f(d(x, y)) = 0 = f(0). Zbog monotonostifunkcije f zakljucujemo da je d(x, y) = 0, sto opet znaci da je x = y. Obr-nuto, ako je x = y, tada je d(x, y) = 0. a onda imamo f(0) = f(d(x, y)) = 0tojest, (f d)(x, y) = 0, te je i uslov M2. zadovoljen.Simetricnost je trivijalno zadovoljena jer iz d(x, y) = d(y, x) slijedi f(d(x, y)) =f(d(y, x)).Dokazimo i nejednakost trougla za preslikavanje f d. Kako je f konkavnafunkcija, to za svako [0, 1] i proizvoljne , R vrijedi

f(+ (1 )) f() + (1 )f() . (2.5)

Ako sada u uslov (2.5) stavimo da je = 0, = a+ b i =b

a+ b, dobijamo

f(a) = f

(b

a+ b 0 + a

a + b (a + b)

) ba+ b

f(0) + aa + b

f(a+ b) ,

21

Metricki prostori

odakle imamof(a) a

a + b f(a+ b) . (2.6)

Analogno prethodnom, ako u (2.5) stavimo da je = 0, = a+b i =a

a+ b,

imamo

f(b) = f

(a

a + b 0 + b

a+ b (a+ b)

) aa+ b

f(0) + ba+ b

f(a+ b) ,

dobijamo nejednakost

f(b) ba + b

f(a+ b) . (2.7)

Sabirajuci nejednakosti (2.6) i (2.7), zakljucujemo da vrijedi

f(a) + f(b) f(a+ b) . (2.8)Neka su sada x, y, z X proizvoljni. Stavimo u (2.8) da je a = d(x, z),b = d(y, z). Koristeci cinjenicu da je d(x, y) d(x, z) + d(y, z) i monotonostfunkcije f slijedi

f(d(x, y)) + f(d(y, z)) f(d(x, z) + d(y, z)) f(d(x, y)) ,sto predstavlja uslov M4. za preslikavanje f d.

Teorem 2.1.3

Neka su d1 i d2 dvije metrike na skupu X . Tada je i svaka konveksnakombinacija ovih metrika ponovo metrika na X .

Dokaz : Neka su d1 i d2 metrike na X i [0, 1]. Za proizvoljne x, y Xposmatrajmo funkciju

d(x, y) = d1(x, y) + (1 )d2(x, y) .Nenegativnost, strogost i simetricnost ove funkcije su ocigledne. Pokazimoda ona zadovoljava i nejednakost trougla. Neka su x, y, z X proizvoljni.

d(x, y) = d1(x, y) + (1 )d2(x, y) (d1(x, z) + d1(y, z)) + (1 )(d2(x, z) + d2(y, z))= d1(x, z) + (1 )d2(x, z) + d1(y, z) + (1 )d2(y, z)= d(x, z) + d(y, z) .

2.1. Metrika i metricki prostor

22

Teorem 2.1.4

Neka su (X1, d1), (X2, d2), ... , (Xn, dn) metricki prostori i X = X1 X2 Xn. Tada je i (X, d) metricki prostor, gdje je d : X X R,za x = (x1, x2, ..., xn) i y = (y1, y2, ..., yn) iz X X zadata sa

d(x, y) = max{d1(x1, y1), d2(x2, y2), ..., dn(xn, yn)} .

Dokaz : Neka su x = (x1, x2, ..., xn) i y = (y1, y2, ..., yn) proizvoljni iz X =X1 X2 Xn. Kako je za svako i {1, 2, ..., n} 0 di(xi, yi)

23

Metricki prostori

gdje su x = (x1, x2, ..., xn) , y = (y1, y2, ..., yn) X =n

i=1. Dokaz da je ovometrika ostavljamo za vjezbu.

Na zalost, ideju konstrukcije metrike na produkt prostoru iznesenu u gor-njem, ne mozemo primjeniti ako govorimo o prebrojivom produktu metrickihprostora. Razlog za to lezi u cinjenici sto supremum prebrojivo mnogobrojeva ne mora uvijek biti konacan, niti beskonacna suma mora biti ko-nvergentna. Ipak postoje nacini konstrukcije metrike i u ovim situacijama.

Teorem 2.1.5

Produkt prebrojivo mnogo metrickih prostora (Xi, di) (i N) ce bitimetricki prostor ako ga snabdijemo funkcijom d :

i=1Xi

i=1Xi R,

definisana sa

x = (xi)iN, y = (yi)iN , d(x, y) =i=1

1

2imin{di(xi, yi), 1} .

Konstrukcija metrike iz pseudometrike

Neka je Y proizvoljan skup. Oznacimo sa X = c(Y ) skup svih konvergentnihnizova u Y . Neka su x = (xn) i y = (yn) proizvoljni nizovi u c(Y ), pri cemuje lim

nxn = i lim

nyn = . Definisimo funkciju d : c(Y ) c(Y ) R

na sljedeci nacin: d(x, y) = | |. Ocigledno je da funkcija d zadovoljavauslove nenegativnosti, simetricnosti i nejednakost trougla, ali da ne zadovo-ljava uslov strogosti vec samo uslov M2., te je ona psudometrika. Zaista,neka je Y = R. Posmatrajmo nizove zadate opstim clanovima xn = 1 +

1ni

yn = 1 1n . Kako je limnxn = limn yn = 0, to je d(x, y) = 0, ali ociglednox 6= y.Definisimo na X relaciju

x, y X , x y def d(x, y) = 0 .

Nije tesko pokazati da je ovako definisana relacija relacija ekvivalencijena X . Pri tome ce svaka klasa ekvivalencije sadrzavati sve one nizove kojikonvergiraju ka istom broju. Oznacimo sa X skup svih klasa ekvivalencijatojest, kolicnicki skup u odnosu na datu relaciju.Definisimo sada d : X X R na nacin

[x], [y] X , d([x], [y]) = d(x, y) .

2.1. Metrika i metricki prostor

24

Iz osobina klasa ekvivalencija sada je jasno da ako je d([x], [y]) = 0 onda je[x] = [y], pa ce ovako definisana funkcija biti metrika na X . Time smo odpseudometrickog prostora (X, d) napravili metricki prostor (X, d).Koristeci ovaj primjer pokazuje se da se od svakog pseudometrickog prostoramoze konstruisati njemu odgovarajuci metricki prostor.

2.1.2 Primjeri metrickih prostora

Prije nego sto navedemo neke znacajnije primjere metrickih prostora, nave-dimo dvije vazne nejednakosti. Za njihovo dokazivanje neophodan nam jesljedeci pomocni stav.

Lema 2.1.4: Youngova nejednakost

Neka su a, b 0 i neka je za p > 1, broj q odreden tako da vrijedi1p+ 1

q= 1. Tada vrijedi

ab ap

p+bq

q.

Dokaz : Neka je 0 < m < 1. Posmatrajmo funkcije oblika f(x) = xm,definisane za x 0. Kako je f (x) = m(m 1)xm2 0 za svako x 0, toje za proizvoljno 0 < m < 1, funkcija f(x) konveksna na dole, sto geometrijskiznaci da se njen graf nalazi ispod tangente u odgovarajucoj tacki.

b

b

x = 1

1

Slika 2.2: Graf funkcije f(x) = xm sa tangentom u tacki 1.

Jednacina tangenta na posmatranu krivu u tacki x = 1 je y = m(x1)+1,pa na osnovu recenog vrijedi

xm m(x 1) + 1 .Stavimo li u gornju nejednakost da je x = a

p

bqi m = 1

p

a

bq

p

1p

(ap

bq 1)+ 1 .

25

Metricki prostori

Mnozeci posljednju nejednakost sa bq

p+1 imamo

ab apb

q

p+1q

p+

(1 1

p

)b

q

p+1 .

Kako je 1 1p= 1

q, qp+ 1 q = 0 i q

p+ 1 = q, dobijamo trazenu nejednakost.

Pokazuje se da ce u pokazanoj vezi vrijediti jednakost ako i samo ako vrijediap = bq.

Teorem 2.1.6: Nejednakost Holdera a

Neka su ai i bi (i = 1, 2, ..., n) proizvoljni realni ili kompleksni brojevi ineka je za realan broj p > 1, broj q definisan sa 1

p+ 1

q= 1. Tada za svako

n N vrijedi,ni=1

|aibi| (

ni=1

|ai|p) 1

p(

ni=1

|bi|q) 1

q

.

aOtto Holder 1859-1937, njemacki matematicar

Dokaz : Oznacimo sa ai =ai(n

j=1 |aj |p) 1

p

i bi =bi(n

j=1 |bj |q) 1

q

(i = 1, 2, ..., n).

Ocigledno vrijedini=1

|ai|p =ni=1

|bi|q = 1 . (2.9)

Za svako i {1, 2, ..., n}, za brojeve |ai| i |bi| vrijedi Lema 2.1.4, tj.

|aibi| |ai|pp

+|bi|qq

, (2.10)

gdje p i q zadovoljavaju uslove teoreme. Sumiranjem po i = 1, 2, ..., n lijevei desne strane u (2.10), dobijamo

ni=1

|aibi| n

i=1 |ai|pp

+

ni=1 |bi|qq

.

Sada na osnovu (2.9) slijedi

ni=1

|aibi| 1 . (2.11)

2.1. Metrika i metricki prostor

26

S druge strane jeni=1

|aibi| =n

i=1 |aibi|(nj=1 |aj|p

) 1p(n

j=1 |bj|q) 1

q

. (2.12)

Iz (2.11) i (2.12) imamo trazenu nejednakost. Pozitivni realni brojevi p i q koji zadovoljavaju uslov 1

p+ 1

q= 1, nazivaju

se konjugovani ili spregnuti brojevi, a specijalno ako je p = q = 2, gornjanejednakost se naziva Cauchy-Schwarzova nejednakost.

Teorem 2.1.7: Nejednakost Minkowskog a

Neka su ai i bi (i = 1, 2, ..., n) proizvoljni realni ili kompleksni brojevi ineka je p 1. Tada za svako n N vrijedi,(

ni=1

|ai + bi|p) 1

p

(

ni=1

|ai|p) 1

p

+

(ni=1

|bi|p) 1

p

.

aHermann Minkowski 1864-1909, njemacki matematicar

Dokaz : Ako je p = 1 nejednakost vrijedi iz uopstene nejednakosti za modul

|a+ b| |a|+ |b| .Zato pretpostavimo da je p > 1 i neka je broj q odreden tako da bude1p+ 1

q= 1. Tada imamo

ni=1

|ai + bi|p =ni=1

|ai + bi||ai + bi|p1

ni=1

|ai||ai + bi|p1 +ni=1

|bi||ai + bi|p1 .

Primjenjujuci Holderovu nejednakost na obje gornje sume na desnoj straninejednakosti, dobijamo nejednakost

ni=1

|ai + bi|p ( n

i=1

|ai|p) 1

p

+

(ni=1

|bi|p) 1

p

( n

i=1

|ai + bi|(p1)q) 1

q

.

Dijeleci ovu nejednakost sa izrazom u drugoj zagradi desne strane i koristecicinjenicu da je (p 1)q = p i 1 1

q= 1

p, dobijamo trazenu nejednakost.

Vrijede i opstije tvrdnje od gore navedenih, a odnose se na beskonacnesume.

27

Metricki prostori

Teorem 2.1.8

Neka su (an)nN i (bn)nN nizovi realnih ili kompleksnih brojeva, 1 < p 0 proizvoljan realan broj. Oznacimo sa a = d(x,A) i sab = d(y, A). Na osnovu definicije infimuma skupa, postoji t A, takav da je

2.1. Metrika i metricki prostor

34

d(y, t) b+ . Sada na osnovu Leme 2.1.3, za svako s A imamod(x, s) b d(x, s) d(y, t) + d(x, y) + d(s, t) + . (2.13)

Oznacimo sa

M = {d(x, s) b| s A} , N = {d(x, y) + d(s, t) + | s A} .Jasno je, na osnovu (2.13), da vrijedi infM infN . Ako u 2.13 stavimos = t, vidimo da je broj d(x, y) + u skupu N , pa onda vrijedi i infM d(x, y) + . Kako ovo vrijedi za proizvoljno > 0 to onda vrijedi i

a b d(x, y) .Gornje razmatranje mozemo u potpunosti iskoristiti zamjenjujuci mjestatackama x i y, te vrijedi i ba d(x, y), cime je iskazana tvrdnja dokazana.

Definicija 2.1.3

Neka su A i B neprazni podskupovi metrickog prostora (X, d). Rasto-janje izmedu skupova A i B definisemo sa

d(A,B) = inf{d(x, y)| x A, y B} .

Korektnost i ove definicije objasnjavamo na isti nacin kao maloprije. Ako seskupovi sijeku, jasno je da vrijedi d(A,B) = 0. Medutim, ako je d(A,B) = 0to ne znaci da je presjek skupova neprazan. Naprimjer, ako je A = (0, 1), aB = (1, 2), tada je d(A,B) = 0 i A B = . Ovo nam govori da definisanorastojanje izmedu skupova nije metrika na particiji od X , tj. na gore uvedennacin funkcija d : P(X) P(X) R zadovoljava samo osobine nenegativ-nosti i simetricnosti. Rastojanje izmedu dva skupa mozemo okarakterisati ipreko rastojanja tacke od skupa.

Lema 2.1.7

Neka je X metricki prostor. Za proizvoljne A,B X vrijedi

d(A,B) = infaA

d(a, B) = infbB

d(b, A) .

Dokaz : Neka su a A i b B proizvoljni. Tada vrijedid(a, b) inf

bBd(a, b) = d(a, B) inf

aAd(a, B) .

35

Metricki prostori

Odavde onda imamo da je

infaA,bB

d(a, b) = d(A,B) infaA

d(a, B) .

Pretpostavimo da je infaA

d(a, B) < d(A,B). Tada bi morao postojati a A,takav da je d(a, B) < d(A,B). Ovo opet znaci da je inf

bBd(a, b) < d(A,B), pa

bi opet morao postojati b B takav da je d(a, b) < d(A,B), sto je ociglednakontradikcija.

Definicija 2.1.4

Za skup A, podskup metrickog prostora (X, d), kazemo da je ogranicenili omeden ako je skup rastojanja medu tackama tog skupa ogranicenskup, tj.

(C > 0)(x, y A) 0 d(x, y) C .Specijalno, ako je A = X kazemo da jeX ogranicen prostor, a za metrikukazemo da je ogranicena na X .

Primjer 2.18. Jedinicni krug B = {(x, y) R2|x2 + y2 1} je ogranicenskup u (R2, d2).

b

b

b

X1

X2

1

Kako je za (x1, y1), (x2, y2) R2 rastojanjezadato sa

d((x1, y1), (x2, y2)) =(x1 x2)2 + (y1 y2)2 ,

jasno je da je za proizvoljne dvije tacke iz Bnjihovo rastojanje manje ili jednako precnikukruga, tj.

d((x1, y1), (x2, y2)) 2 .

Primjer 2.19. Na R, funkcija zadata sa d(x, y) = arctg|x y| je metrika(pokazati) i kako je pri tome arctgx < pi

2za proizvoljno x R, prostor R sa

ovom metrikom je ogranicen.

Primjer 2.20. Neka je (X, d) proizvoljan metricki prostor. Funkcija d :X X R, zadata sa

d(x, y) =d(x, y)

d(x, y) + 1, x, y X ,

2.1. Metrika i metricki prostor

36

je metrika na X i pri tome za proizvoljne x, y X ocigledno vrijedi

d(x, y) 1 ,

te je (X, d) ogranicen prostor.

Definicija 2.1.5

Neka je A podskup metrickog prostora (X, d). Nenegativan broj

diamA = sup{d(x, y)| x, y A} ,

nazivamo dijametrom skupa A.

Jasno je da ako vrijedi diamA = +, da je tada skup A neogranicen, tj.vrijedi

Lema 2.1.8

Skup je ogranicen ako i samo ako mu je dijametar konacan.

Primjer 2.21. U prostoru l2 posmatrajmo skup A = {en | n N}, gdje je

e1 = (1, 0, 0, ...) , e2 = (0, 1, 0, ...) , . . . , en = (0, 0, ... , 1,nto mjesto

0, ...) .

Tada je za proizvoljne n,m N, d(en, em) =2, te je skup A ogranicen i

diamA =2.

Od osobina dijametra spomenimo sljedece dvije.

Teorem 2.1.10

Za proizvoljna dva podskupa A i B metrickog prostora (X, d) vrijedi

1. Ako je A B onda je diamA diamB.2. diam(A B) diamA + diamB + d(A,B).

Dokaz : 1) Ocigledno.

37

Metricki prostori

2) Kako je d(A,B) = inf{d(x, y) | x A , y B}, to za proizvoljno > 0postoje a A i b B, takvi da je

d(a, b) d(A,B) < .

Neka su a A i b B proizvoljni, tada na osnovu relacije mnogougla vrijedi

d(a, b) d(a, a) + d(a, b) + d(b, b) < diamA + d(A,B) + diamB + .

Kako je ovo vrijedilo za proizvoljno , zakljucujemo da za sve a A i sveb B vrijedi

d(a, b) diamA + d(A,B) + diamB .Dakle, velicina diamA+ d(A,B) + diamB je jedno gornje ogranicenje skupa{d(x, y) | x, y A B}, pa vrijedi

sup{d(x, y) | x, y A B} = diam(A B) diamA + d(A,B) + diamB ,

sto je i trebalo dokazati. Sada kao direktnu posljedicu gornjeg tvrdenja imamo sljedece tvrdenje.

Posljedica 2.1.11. Unija konacno mnogo ogranicenih skupova je ogranicenskup.

Da bi definisali jos jedan pojam vezan za ogranicenost skupova u metrickimprostorima, potreban nam je pojam pokrivaca skupa.

Definicija 2.1.6

Neka je (X, d) metricki prostor. Za familiju {Ai | Ai X, i I} kazemoda je pokrivac skupa X , ako vrijedi X =

iIAi.

Pri tome, ako je skup indeksa I konacan, govorimo o konacnom pokrivacu,odnosno o prebrojivom pokrivacu, ako je I prebrojiv skup.

Primjer 2.22. Familija {(a, b) | a, b R , a < b} je pokrivac skupa R, alito je i familija {(p, q) | p, q Q , p < q}. Razlika je izmedu ostalog, sto jeprva familija neprebrojiva, a druga predstavlja prebrojiv pokrivac.

2.1. Metrika i metricki prostor

38

Definicija 2.1.7

Za skup kazemo da je totalno ogranicen ako za svako > 0 postojikonacan pokrivac tog skupa, skupovima ciji je dijametar manji od .

Koristeci cinjenicu da je konacna unija ogranicenih skupova ogranicen skup,trivijalno vrijedi tvrdnja,

Teorem 2.1.12

Svaki totalno ogranicen skup je i ogranicen.

U opstem slucaju obrat ovog tvrdenja ne vrijedi, kao sto to mozemo vidjetina primjeru metrickog prostora (N, d), gdje je d diskretna metrika. Jasno jeda za proizvoljne n,m N vrijedi d(n,m) 1, ali ovaj skup nije totalnoogranicen. Zaista, uzmemo li da je = 1, ne postoji konacno mnogo skupovadijametra (duzine) manje od 1 koji bi pokrili skup N.

Teorem 2.1.13

Svaki ograniceni podskup euklidskog prostora Rn (n N) je totalnoogranicen skup.

Dokaz : Neka je A R ogranicen skup. Tada je diamA konacan, a time cebiti i diam(A {0}) = d R+. Ako sa Id oznacimo segment [d, d] R,tada jeK =

ni=1

Id n-dimenzionalna kocka u Rn, ciji je centar u koordinatnom

pocetku, a precnik 2d.Neka je a = (a1, a2, ..., an) A proizvoljno, tada za svako i {1, 2, ..., n}vrijedi

|ai| a21 + a

22 + + a2n = d(a, 0) diam(A {0}) = d ,

te je A K. Jasno je sada da ako pokazemo totalnu ogranicenost za K, dace to vrijediti i za skup A.Za proizvoljno > 0 izaberimo k N, tako da je k > d

n

. Podijelimo li

svaki od segmenata Id = [d, d] na 2k jednakih dijelova koji su opet segmenti,oznacimo ih sa

Ii =

[d

k(i 1), d

ki

], i = (k 1),(k 2), ...,1, 0, 1, ..., k 1 ,

39

Metricki prostori

dobijamo podjelu velike kocke na sitnije kocke Ki1,i2,...,in = Ii1Ii2 Iin ,kojih ukupno ima (2k)n, a koje ujedno predstavljaju konacan pokrivac kockeK. Kako je stranica svake male kocke duzine d

ki kako je

diamKi1,i2,...,in =d

k

n < ,

zakljucujemo da je kocka K totalno ogranicen skup.

x

y

z

Slika 2.5: Podjela kocke.

Gornjim teoremom tvrdimo da su u konacnodimenzionalnim prostorimapojmovi ogranicenosti i totalne ogranicenosti skupa ekvivalentni. Medutim,u beskonacnodimenzionalnim prostorima to nije tako. Naime, kako smo po-kazali u Primjeru 2.21 skup A = {en | n N} jeste ogranicen jer je zaproizvoljna dva razlicita elementa tog skupa d(en, em) =

2. Ako sada iza-

beremo da je = 1, tada ce se u proizvoljnom skupu ciji je dijametar manjiili jednak nalaziti samo jedan element skupa A. Dakle da bi smo pokriliskup A ovakvim skupovima, njih mora biti bar onoliko koliko ima lemenatau skupu A, a ovih je prebrojivo mnogo.

2.1.4 Topologija metrickih prostora

Postoje skupovi koji igraju kljucnu ulogu u matematickoj analizi, to su otvo-reni i zatvoreni skupovi. Oni cine topoloske karakteristike bilo kog skupa. Dabi smo izvrsili topologizaciju nekog skupa, moramo odrediti sta ce biti otvo-reni skupovi u njemu tojest, moramo odrediti topologiju na datom skupu.U metrickim prostorima topologizaciju radimo pomocu kugli, i kao sto cemovidjeti, topologija ce biti odredena upravo metrikom datog prostora.

2.1. Metrika i metricki prostor

40

Definicija 2.1.8

Neka je (X, d) metricki prostor. Za proizvoljno a X i za proizvoljnor > 0 skup

B(a, r) = {x X| d(a, x) < r}nazivamo otvorena kugla u X sa centrom u tacki a, poluprecnika r.Skup

K(x, r) = {x X| d(a, x) r}nazivamo zatvorena kugla centra a i poluprecnika r, a skup

S(x, r) = {x X| d(a, x) = r}

nazivamo sfera centra u a, poluprecnika r.

Primjer 2.23. Otvorena kugla B(x0, r) na realnoj pravoj je ogranicen in-terval (x0 r, x0 + r) sa centrom u x0 i duzinom 2r. S druge strane, svakiogranicen otvoren interval (a, b) na realnoj pravoj predstavlja otvorenu kuglu

B

(a+ b

2,b a2

).

Isto tako, zatvorene kugle na realnoj pravoj su ograniceni segmenti (zatvoreniintervali) koji sadrze vise od jedne tacke.

Primjer 2.24. U R3 sa d2 metrikom centralna kugla poluprecnika R je

B(0, R) = {(x, y, z) R3 | x2 + y2 + z2 < R2} .

Primjer 2.25. U prostoru C[0, 1] sa standardnom metrikom, kugla B(f0, )je skup svih neprekidnih funkcija ciji graf lezi u -pojasu oko grafa funkcijef0.

1

f0

Slika 2.6: Kugla u C[0, 1] sa centrom u f0, poluprecnika .

41

Metricki prostori

Otvorena i zatvorena kugla kao i sfera definisane su uvedenom metrikom naskupu. To ce naravno diktirati i oblik tih skupova, sto se moze ilustrativnovidjeti na primjeru prostora R2, sa metrikama d1, d2 i d.

X0b

r

(a) Kugla u metrickomprostoru (R2, d2).

(b) Kugla u metrickomprostoru (R2, d).

(c) Kugla u metrickomprostoru (R2, d1)

Sa pojmom kugle ogranicenost skupa u metrickom prostoru mozemo izrazitiveoma intuitivno.

Teorem 2.1.14

Neka je (X, d) metricki prostor i A X . Skup A je ogranicen ako i samoako postoji x0 X i r > 0 tako da vrijedi A B(x0, r).

D

B(O, r)

O

Slika 2.7: Ogranicenost figure u R2.

Pojam kugle je izuzetno vazan jer se pomocu nje definisu skoro sve topoloskekarakteristike metrickih prostora.

Definicija 2.1.9

Neka je (X, d) metricki prostor. Za skup A X kazemo da je okolinatacke x X ako postoji r > 0, tako da je B(x, r) A.

2.1. Metrika i metricki prostor

42

Definicija 2.1.10

Za skup G podskup metrickog prostora (X, d), kazemo da je otvoren akovrijedi

(x G)( > 0) B(x, ) G .

Drugacije receno, skup G X je otvoren u metrickom prostoru ako se mozeprikazati kao unija otvorenih kugli tog prostora. Naravno da je gornja defini-cija u skladu i sa topoloskom karakterizacijom otvorenog skupa kao okolinesvake svoje tacke. Od osobina kugli neke izdvajamo sljedecim tvrdenjem.

Lema 2.1.9

Otvorene kugle u metrickom prostoru imaju sljedece osobine:

1. x B(x, r).2. B(x, r1) B(x, r2) = B(x,min{r1, r2}).3. y B(x, r) B(y, r d(x, y)) B(x, r).4. Otvorena kugla je otvoren skup.

Dokaz :

1. Neka je B(x, r) proizvoljna kugla u metrickom prostoru. Kako jed(x, x) = 0 < r, prema definiciji kugle x B(x, r).

2. Neka su B(x, r1) i B(x, r2) kugle sa istim centrom i razlicitim polu-precnicima. Ako y B(x, r1)B(x, r2), to y pripada objema kuglama.Ovo znaci da je d(x, y) < r1 i d(x, y) < r2, a sto je opet ekvivalentnosa d(x, y) < min{r1, r2} tojest, y B(x,min{r1, r2}).

3. Neka je B(x, r) proizvoljna kugla i y B(x, r). Kako je d(x, y) < r,odnosno rd(x, y) > 0, kugla B(y, rd(x, y)) je dobro definisana. Nekaje sada z B(y, r d(x, y)) proizvoljan. Tada je d(y, z) < r d(x, y),odnosno d(x, y) + d(y, z) < r. Na osnovu nejednakosti trougla imamod(x, z) d(x, y) + d(y, z) < r, te je z B(x, r).

4. Prvo konstatujmo da je B(x, r) 6= jer x B(x, r). Neka je saday B(x, r) proizvoljan. Na osnovu 3. tada imamo B(y, r d(x, y)) B(x, r), te je na osnovu definicije otvorenog skup B(x, r) otvoren skup.

43

Metricki prostori

Teorem 2.1.15

Neka je (X, d) metricki prostor. Kolekcija svih otvorenih podskupovaod X ima sljedece osobine.

1. , X .2. U, V onda U V .

3. (i I)Oi iIOi .

4. (x, y X, x 6= y)(U, V )(x U y V U V = ).

Familija koja zadovoljava osobine 1., 2. i 3. naziva se topologija na X , aako zadovoljava jos i osobinu 4., naziva se Hausdorffova topologija na X .

Primjer 2.26. U R sa euklidskom metrikom, skupovi( 1

n, 1n

)(n N) su

otvoreni skupovi (intervali), a kako su jedini otvoreni skupovi u euklidskojtopologiji na R intervali i njihove unije, to skup

nN

(1n,1

n

)= {0} ,

nije otvoren skup. Ovime potvrdujemo cinjenicu iz 3. Teorem 2.1.15 daproizvoljan presjek otvorenih skupova ne mora biti otvoren skup.

Definicija 2.1.11

Neka je A podskup metrickog prostora (X, d). Za tacku x X kazemoda je unutrasnja tacka skupa A ako postoji > 0 takav da je B(x, ) A.Skup svih unutrasnjih tacaka skupa A nazivamo unutrasnjost (interior)skupa i oznacavamo ga sa Ao.

Primjer 2.27. Nije tesko pokazati da je unutrasnjost skupa [0, 1] R, skup(0, 1). Zaista, neka je x (0, 1). Kako je (0, 1) otvoren skup, postoji > 0takav da (x , x+ ) (0, 1) [0, 1], a to upravo znaci da je x unutrasnjatacka skupa [0, 1].S druge strane, 0 nije unutrasnja tacka skupa [0, 1] jer ne postoji r > 0 takavda (r, r) [0, 1].

2.1. Metrika i metricki prostor

44

U kontekstu unutrasnjosti skupa imamo karakterizaciju otvorenih skupova.

Teorem 2.1.16

Skup u metrickom prostoru je otvoren ako i samo ako su sve njegovetacke unutrasnje tacke tojest, ako i samo ako vrijedi A = Ao.

Neke od osobina untrasnjosti dajemo sljedecim tvrdenjem.

Teorem 2.1.17

Neka su A,B podskupovi metrickog prostora (X, d). Tada vrijedi:

1. Ao je otvoren skup.

2. Ao A.3. (Ao)o = Ao.

4. Ako je A B, onda je Ao Bo.5. (A B)o = Ao Bo.6. A0 Bo (A B)o.

Definicija 2.1.12

Neka je (X, d) metricki prostor. Tacku x A X nazivamo izolovanomtackom skupa A ako postoji okolina tacke x u kojoj osim tacke x nemadrugih tacaka iz skupa A.

Prostor koji se sastoji samo od izolovanih tacaka (atoma) naziva se diskretniprostor. Neka je (X, d) diskretan metricki prostor i neka je x X proizvoljan.Kako je x izolovana tacka, postoji > 0 takav da je B(x, ) {x}, tojestvrijedi B(x, ) = {x}. Zakljucujemo da su singltoni u diskretnim metrickimprostorima otvoreni skupovi, a samim tim je svaki podskup diskretnog pros-tora otvoren (kao unija svojih singltona). Naprimjer, N kao podprostor odR je diskretan prostor.

45

Metricki prostori

Definicija 2.1.13

Tacka x X je tacka nagomilavanja skupa A ako se u svakoj okolinitacke x nalazi bar jedna tacka skupa A razlicita od x.Skup svih tacaka nagomilavanja skupa A nazivamo izvodni skup i oznaca-vamo ga sa A.

Primjer 2.28. 1. Skup A ={1, 1

2, 13, ...}na realnoj pravoj ima tacku 0

kao tacku nagomilavanja. Sta vise, to je jedina tacka nagomilavanjatojest, A = {0}.

2. Podskup Z skupa R nema niti jednu tacku nagomilavanja, te je Z = .

3. Prema poznatoj teoremi iz matematicke analize, svaki realan broj jetacka nagomilavanja skupa racionalnih brojeva. Dakle Q = R.

4. Za proizvoljan interval (a, b) R, njegove tacke nagomilavanja su svenjegove tacke ukljucujuci i rubne tacke. Sta vise,

(a, b) = (a, b] = [a, b) = [a, b] = [a, b] .

Lema 2.1.10

Neka je (X, d) metricki prostor i A X . Ako je x0 tacka nagomilavanjaskupa A, tada za proizvoljno > 0 kugla B(x0, ) sadrzi beskonacnomnogo elemenata skupa A.

Dokaz : Pretpostavimo da za neko > 0 kugla B(x0, ) sadrzi samo konacnomnogo elemenata skupa A. Neka su to tacke x1, x2, ..., xn razlicite od x0.Oznacimo sa = min{d(x1, x0), d(x2, x0), ..., d(xn, x0)}. Tada kugla B(x0, )ne sadrzi niti jednu tacku skupa A razlicitu od x0, sto je u kontradikciji sadefinicijom tacke nagomilavanja.

Definicija 2.1.14

Skup je zatvoren ako je njegov komplement otvoren skup.

Prema definiciji zatvorenih skupova, imamo dualan stav za Teorem 2.1.15.

2.1. Metrika i metricki prostor

46

Teorem 2.1.18

U proizvoljnom metrickom prostoru (X, d) vrijedi

1. , X su zatvoreni skupovi.

2. Ako su F1 i F2 zatvoreni skupovi onda je F1 F2 zatvoren skup.3. Presjek proizvoljno mnogo zatvorenih skupova je zatvoren skup.

Primjer 2.29. U R sa euklidskom metrikom, skupovi[0, 1 1

n

](n N) su

zatvoreni skupovi (segmenti). Kako je

nN

[0, 1 1

n

]= [0, 1) ,

i pri tome [0, 1) nije zatvoren skup (u euklidskoj topologiji), potvrdujemocinjenicu iz 2. gornje teoreme da proizvoljna unija zatvorenih skupova nemora biti zatvoren skup.

Lema 2.1.11

Neka je O otvoren skup i F zatvoren skup u X . Tada je skup O \ Fotvoren, a F \O zatvoren skup u X .

Dokaz : Kako vrijedi skupovna jednakost

O \ F = (X \ F ) O ,kao presjek dva otvorena skupa i O \F je otvoren skup. Analogno iz F \O =(X \O) F , kao presjek dva zatvorena skupa i skup F \O je zatvoren.

Teorem 2.1.19

Podskup metrickog prostora je zatvoren ako i samo ako sadrzi sve svojetacke nagomilavanja.

Dokaz : Neka je (X, d) metricki porstor i A X . Pretpostavimo da jeA zatvoren. Slucajevi kada je A = i A = X ocigledno zadovoljavajutvrdnju da sadrze sve svoje tacke nagomilavanja. Zato neka je A neprazan

47

Metricki prostori

i razlicit od X . Tada postoji x / A, tojest x Ac, a kako je Ac kaokomplement zatvorenog otvoren skup, to postoji r > 0 tako da je B(x, r) Ac. Medutim, to onda znaci da postoji okolina tacke x koja nema nistazajednicko sa skupom A, te tacka x nije tacka nagomilavanja skupa A. Dakle,proizvoljna tacka iz X \ A nije tacka nagomilavanja skupa A odnosno, skupA sadrzi sve svoje tacke nagomilavanja.Suprotno, neka A sadrzi sve svoje tacke nagomilavanja. Neka je x Acproizvoljna. Tada ona nije tacka nagomilavanja skupa A, pa postoji r > 0,takav da B(x, r)A = . Ovo onda znaci da je B(x, r) Ac te je Ac otvorenskup kao okolina svake svoje tacke. Time je skup A zatvoren skup.

Primjer 2.30. 1. Skup N je zatvoren podskup realne prave.

2. Skup A ={1, 1

2, 13, ...}nije zatvoren u R jer A = {0}, a 0 / A.

Teorem 2.1.20

Zatvorena kugla u metrickom prostoru je zatvoren skup.

Dokaz : Neka je (X, d) metricki prostor i K(x0, r) = {x X | d(x, x0) r}proizvoljna kugla u njemu. Neka je y proizvoljan element iz (K(x0, r))

c. Tadaje d(y, x0) > r, te je r1 = d(y, x0) r > 0. Posmatrajmo sada proizvoljanz B(y, r1). Za njega vrijedi

d(z, x0) d(y, x0) d(y, z) > d(y, x0) r1 = r .

Dakle, z / K(x0, r), ili drugacije receno z (K(x0, r))c. Zakljucujemoda vrijedi B(y, r1) (K(x0, r))c, te je (K(x0, r))c otvoren skup, odnosnoK(x0, r) je zatvoren skup. Zatvorenost skupa moze se okarakterisati i sa pojmom rastojanja tacke odskupa. Naime, vrijedi

Lema 2.1.12

Neka je (X, d) metricki prostor i A X zatvoren skup. Tada za x Xvrijedi, d(x,A) = 0 ako i samo ako x A.

2.1. Metrika i metricki prostor

48

Definicija 2.1.15

Neka je (X, d) metricki prostor i neka je A X . Najmanji u smisluinkluzije, zatvoreni skup koji sadrzi skup A, nazivamo zatvorenje iliadherencija skupa A i oznacavamo ga sa A.

Nije tesko vidjeti da vrijedi

A ={F X| F zatvoren i A F} ,

a to je ustvari topoloska definicija zatvorenja skupa.Ranije smo pokazali da je otvorena kugla B(x0, r) otvoren skup, a zatvo-rena kuglaK(x0, r) zatvoren skup u metrickom prostoru. Medutim, u opstemslucaju ne vrijedi B(x0, r) = K(x0, r). Zaista, posmatrajmo proizvoljan ne-prazan skup X snabdjeven diskretnom metrikom d. Tada je za x X ,B(x, 1) = {x} = B(x, 1), ali je K(x, 1) = X . Dakle, zatvorenje otvorenekugle ne mora biti zatvorena kugla.Neke od opstih karakteristika zatvorenja dajemo sljedecim teoremom.

Lema 2.1.13

Neka su A i B proizvoljni podskupovi metrickog prostora X . Vrijedi,

1. Zatvorenje skupa je zatvoren skup.

2. A A.

3. (A) = A

4. A B A B.5. A B = A B.6. A B A B.

Primjedba 2.1.1. Treba primjetiti da je u 5. gornje teoreme iskazanacinjenica da je zatvorenje konacne unije skupova jednako uniji zatvorenjatih skupova. U opstem slucaju, za beskonacno mnogo skupova, to ne morada vrijedi, sto pokazuje primjer skupa racionalnih brojeva. Naime, vrijedi

Q =qQ{q}. Kako je {q} = {q} za proizvoljan singlton, to je

qQ

{q} =qQ{q} = Q .

49

Metricki prostori

S druge strane je Q = R, te jeqQ{q} 6=

qQ

{q}.

Isto tako, u 6. u opstem slucaju ne vrijedi jednakost sto se vidi iz narednogprimjera.

Q I = = Q I = R R = R .U terminologiji tacaka nagomilavanja, adherencija se moze okarakterisatinarednom tvrdnjom.

Teorem 2.1.21

Neka je A podskup metrickog prostora (X, d). Tada vrijedi, A = AA.

Za proizvoljnu tacku x metrickog prostora (X, d) i njenu proizvoljnu okolinuN , postoji kugla B(x, r) N . Kako za svako r > 0 postoji n N, takavda je 1

n< r, to je onda B(x, 1

n) N . Dakle, familija {B(x, 1

n) | n N} cini

bazni sistem okolina tacke x koji je jos i prebrojiv, te metricki prostor (X, d)zadovoljava prvi aksiom prebrojivosti. Time smo ustvari pokazali sljedecutvrdnju.

Teorem 2.1.22

Svaki metricki prostor zadovoljava prvi aksiom prebrojivosti.

Teorem 2.1.23

U proizvoljnom metrickom prostoru jednoclani skupovi su zatvoreni.

Dokaz : Zaista, neka je x0 X proizvoljan (X neka je bar dvoclan skup).Posmatrajmo skup O = X \ {x0}. Za proizvoljno x O, je x 6= x0, te jer = d(x, x0) > 0. Posmatrajmo sada kuglu B = B(x,

r2). Ocigledno x0 / B

i pri tome je B(x, r2) O. Dakle, za proizvoljno x O, skup O je okolina

tacke x, tj. O je otvoren skup, a time je {x0} zatvoren skup. U opstem slucaju topoloskog prostora, jednoclani skupovi ne moraju bitizatvoreni skupovi. Na osnovu nam dobro poznate klasifikacije, iz gornjegzakljucujemo da je svaki metricki prostor T1-prostor. Medutim, za metrickeprostore vrijedi i jaca osobina.

2.1. Metrika i metricki prostor

50

Teorem 2.1.24

Svaki metricki prostor je T2 prostor.

Dokaz : Podsjetimo se, topoloski prostor je T2 prostor ili Hausdorffov pros-tor, ako se u njemu svake dvije razlicite tacke mogu separisati disjunktnimotvorenim okolinama. Da pokazemo ovu osobinu u metrickim prostorima,dovoljno je uzeti x, y X takve da je x 6= y, a tada je d(x, y) 6= 0, i po-smatrati kugle B

(x, d(x,y)

2

)i B

(y, d(x,y)

2

). Za proizvoljno z B

(x, d(x,y)

2

)vrijedi d(x, z) < d(x,y)

2, pa imamo d(y, z) |d(x, y)d(x, z)| > d(x, y)

2, a ovo

ne znaci nista drugo nego da z / B(y, d(x,y)

2

). Zbog proizvoljnosti elementa

z, zakljucujemo da vrijedi

B

(x,d(x, y)

2

) B

(y,d(x, y)

2

)= ,

i pri tome je x B(x, d(x,y)

2

), a y B

(y, d(x,y)

2

).

Koristeci Lemu 2.1.12 i Lemu 2.1.6 pokazuje se da za metricke prostorecak vrijedi i osobina normalnosti (svaka dva zatvorena disjunktna skupa semogu separisati otvorenim disjunktnim okolinama tih skupova), sto zajednosa osobinom T1 govori da je svaki metricki prostor T4 prostor.

2.1.5 Ekvivalentnost metrika

Otvorene skupove u metrickom prostoru smo uveli koristeci pojam otvo-rene kugle, koji je metricki pojam, pa zato kazemo da je ta topologija nametrickom prostoru indukovana metrikom tog prostora. Kako metrika nanekom skupu mozemo definisati raznih, postavlja se pitanje kakve su tadaveze izmedu odgovarajucih topologija?

Definicija 2.1.16

Neka su d1 i d2 dvije metrike definisane na X . Kazemo da su ove metriketopoloski ekvivalentne i pisemo d1 d2, ako se topoloske struktureindukovane tim metrikama podudaraju, tj. ako za topologiju 1 na(X, d1) i topologiju 2 na (X, d2) vrijedi 1 = 2.

51

Metricki prostori

Teorem 2.1.25

Metrike d1 i d2 definisane na X su topoloski ekvivalentne ako i samo akoza svako x X i za svaku kuglu B1(x, r1) u metrici d1, postoji kuglaB2(x, r2) u metrici d2, tako da je B2(x, r2) B1(x, r1) i obrnuto, ako zasvaku kuglu B2(x, r2) u metrici d2, postoji kugla B1(x, r1) u metrici d1,tako da je B1(x, r1) B2(x, r2).

Dokaz : Neka su na X definisane dvije metrike za koje je d1 d2 i neka je zax X , B1(x, r1) proizvoljna otvorena kugla. Tada je B1(x, r1) otvoren skupu topologiji 1, a zbog topoloske ekvivalentnosti metrika, ona je otvoren skupi u topologiji 2. Na osnovu Definicije 2.1.10 onda postoji kugla B2(x, r2),takva da je B2(x, r2) B1(x, r1). Analogno se pokazuje da za kuglu B2(x, r1)u metrici d2, postoji kugla B1(x, r1) u metrici d1, tako da je B2(x, r2) B1(x, r1).Za dokaz obratnog smjera, neka za svaku kuglu u metrici d1 postoji kuglau metrici d2, koja je sadrzana u njoj i obrnuto. Neka je O 1 proizvoljanotvoren skup u metrickom prostoru (X, d1). Tada prema Definiciji 2.1.10, zasvako x O postoji otvorena kugla B1(x, r1), takva da je x B1(x, r1) O.Prema pretpostavci onda postoji i kugla B2(x, r2) u metrici d2, takva da jex B2(x, r2) B1(x, r1) O, za proizvoljno x O, pa zakljucujemo daje skup O otvoren i u topologiji 2, sto znaci da je 1 2. Na identicannacin se pokazuje da vrijedi i obratna inkluzija 2 1, sto daje jednakosttopologija, a time i topolosku ekvivalentnost posmatranih metrika.

Teorem 2.1.26

Neka su (X, d1) i (X, d2) metricki prostori. Ako postoje konstante C1 > 0i C2 > 0, takve da je za sve x, y X zadovoljeno d1(x, y) C1d2(x, y) id2(x, y) C2d1(x, y), tada su metrike d1 i d2 topoloski ekvivalentne.

Dokaz : Neka je B1(x0, r) proizvoljna kugla u (X, d1). Posmatrajmo kuglu

B2

(x0,

r

C1

)=

{x X | d2(x0, x) < r

C1

}.

Neka je x B2(x0,

rC1

)proizvoljan. Tada je d2(x0, x) 0)(x, y X) d1(x, y) C1d2(x, y) d2(x, y) C2d1(x, y) ,

kazemo da su uniformno ekvivalentne. Iz gornjeg tvrdenja direktno imamo,

Posljedica 2.1.27. Ako su dvije metrike uniformno ekvivalentne, tada suone i topoloski ekvivalentne.

Na osnovu gornjeg kriterija sada mozemo pokazati ekvivalentnost ranijepomenutih metrika d1, d2 i d na Rn (n N).

b b

b

(x1, y1)

(x2, y2)Neka je n = 2, tada su spomenute metrike

d1((x1, y1), (x2, y2)) = |x1 x2|+ |y1 y2| ,

d2((x1, y1), (x2, y2)) =(x1 x2)2 + (y1 y2)2 ,

d((x1, y1), (x2, y2)) = max{|x1x2|, |y1y2|} .

Ocigledno je d1 rastojanje zbir kateta formiranog trougla, d je duza odtih kateta, a d2 je hipotenuza tog trougla (Euklidsko rastojanje). Pri tomevrijedi

d((x1, y1), (x2, y2)) 1 d1((x1, y1), (x2, y2))i

d1((x1, y1), (x2, y2)) 2d((x1, y1), (x2, y2)) ,sto prema gornjoj teoremi znaci da su d1 i d metrike topoloski ekvivalentne.Takode je jasno da vrijedi

d(x1, y1), (x2, y2) 1 d2(x1, y1), (x2, y2)

id2(x1, y1), (x2, y2)

2d(x1, y1), (x2, y2) ,

tj. i metrike d2 i d su topoloski ekvivalentne. Nije tesko vidjeti da je rela-cija biti topoloski ekvivalentan relacija ekvivalencije, te su sve tri metriketopoloski ekvivalentne.

53

Metricki prostori

U opstem slucaju za n N vrijede nejednakosti

d d2 n d ,

d d1 n d ,d2 d1

n d2 ,

Teorem 2.1.28

Za svaku metriku d na X , postoji njoj topoloski ekvivalentna metrika ukojoj je X ogranicen skup.

Dokaz : Neka je (X, d) metricki prostor. Posmatrajmo funkciju d : XX R, zadatu sa

x, y X , d(x, y) = d(x, y)1 + d(x, y)

.

Kao sto je pokazano u Teoremi 2.1.1, d jeste metrika na X .Kako za proizvoljne x, y X vrijedi

d(x, y) =d(x, y)

1 + d(x, y) 1 ,

zakljucujemo da je X ogranicen, odnosno d je ogranicena metrika.Za proizvoljne x X i r > 0 oznacimo sa Bd(x, r) kuglu u metrickom pros-toru (X, d). Kako je ocigledno zadovoljena nejednakost d(x, y) d(x, y),za proizvoljne x, y X , to na osnovu pokazanog u dokazu prethodne te-oreme, postoji kugla Bd(x, r), takva da je Bd(x, r) Bd(x, r).S druge strane, za proizvoljnu kuglu Bd(x, r) u (X, d), lahko se pokazujeda kugla Bd(x,

r1+r

), zadovoljava uslov Bd(x,r

1+r) Bd(x, r). Dakle, za-

kljucujemo da su topologije indukovane ovim metrikama jednake.

Primjedba 2.1.2. Primjetimo da ce i funkcija d(x, y) = min{1, d(x, y)}zadovoljiti sve osobine koje zadovoljava i funkcija d konstruisana u dokazuove teoreme.

Teorem 2.1.29

Neka su d1 ogranicena i d2 neogranicena metrika na X . Tada ove dvijemetrike nisu uniformno ekvivalentne.

2.1. Metrika i metricki prostor

54

Dokaz : Neka je d1 oogranicena, a d2 neogranicena metrika na nepraznomskupu X . Tada postoji M > 0, takav da je

(x, y X) d1(x, y) M .S druge strane, kako metrika d2 nije ogranicena, za svako > 0 postojat cex, y X , takvi da vrijedi d2(x, y) > .Ako bi ove dvije metrike bile uniformno ekvivalentne, morao bi postojatipozitivan realan broj C takav da bi vrijedilo d2(x, y) Cd1(x, y), za svex, y X . Ako stavimo = CM onda bi moralo vrijediti d2(x, y) > , zaneke x, y X , ali istovremeno i

d2(x, y) Cd1(x, y) < CM = ,sto je ocigledno nemoguce. Sta vise, moze se pokazati da uniformno ekvivalentne metrike definisane naistom skupu, moraju biti istovremeno ili ogranicene ili neogranicene. Kao stosmo primjetili, uniformno ekvivalentne metrike su i topoloski ekvivalentne.Medutim, u opstem slucaju obrat ne vrijedi. Naime, u Teoremu 2.1.28 me-trika d i konstruisana metrika d jesu topoloski ekvivalentne, ali na osnovuTeorema 2.1.29 jasno je da one ne mogu biti uniformno ekvivalentne jer jejedna ogranicena metrika (d), a druga neogranicena metrika (d).

2.1.6 Potprostor metrickog prostora

Neka je sada (X, d) proizvoljan metricki prostor i neka je Y X . Kakod : X X R i pri tome je Y Y X X , mozemo posmatrati njenurestrikciju d|YY kao restrikciju funkcije na podskup, koja tada ociglednopredstavlja metriku na skupu Y . Ovo cemo formalizovati sljedecom definici-jom.

Definicija 2.1.17

Neka je (X, d) metricki prostor i Y X . Definisimo funkciju dY :Y Y R sa

x, y Y , dY (x, y) = d(x, y) .Tada je dY metricka funkcija indukovana metrikom d, a uredeni par(Y, dY ) nazivamo metrickim potprostorom prostora (X, d).

Primjer 2.31. Segment [0, 1] shvatamo kao potprostor realne prave, prihva-tajuci da je rastojanje za dva elementa x, y [0, 1] zadato sa d(x, y) = |xy|,tj. preuzimajuci metriku iz nadredenog prostora.

55

Metricki prostori

Primjer 2.32. Kako je svaka neprekidna funkcija na [a, b] R i ogranicena,metriku na C[a, b] takode preuzimamo iz B[a, b], pa kazemo da je C[a, b]potprostor od B[a, b].Kako je C1[a, b] C[a, b], metriku mozemo preuzeti, ali kako se pokazuje,bolja metrika na C1[a, b] je zadata sa

dC1(f, g) = d(f, g) + d(f, g) ,

gdje je d metrika na C[a, b].

Topologija na potprostoru, indukovana dobijenom indukovanom metrikom,okarakterisana je na sljedeci nacin.

Teorem 2.1.30

Neka je (Y, dY ) potprostor metrickog prostora (X, d).

1. Skup O Y je otvoren u prostoru Y ako i samo ako postoji skupU X otvoren u X , tako da je O = U Y .

2. Skup V Y je zatvoren u prostoru Y ako i samo ako postoji skupF X zatvoren u X , tako da je V = F Y .

Dokaz : 1. (=)Neka je V Y otvoren u Y . Tada prema karakterizaciji otvorenih skupova,za svaki x V , postoji kugla BY (x, rx) takva da je x BY (x, rx) V .Promatrajmo kuglu BX(x, rx) s istim sredistem i radijusom, ali u prostoruX . Ocito vrijedi BY (x, rx) = BX(x, rx) Y . Ali skup U =

xV BX(x, rx)

je otvoren u X (kao unija kugli u X), pa je

U Y =(

xVBX(x, rx)

)Y =

xV

(BX(x, rx) Y )

=xV

BY (x, rx) = V .

(=)Neka je V Y , i U X otvoren skup u X takav da je V = UY . Tvrdimoda je V otvoren skup u Y . Kako je V U , za svaki x V postoji kuglaB(x, rx) takva da je x B(x, rx) U . Tada je x B(x, rx)Y UY = V .Medutim, B(x, rx) Y = BY (x, rx), dakle je x BY (x, rx) V , pa je Votvoren u Y .Dokaz tvrdenja 2. je ostavljen za vjezbu.

2.1. Metrika i metricki prostor

56

U skladu sa gornjim tvrdenjem, odnosno sa karakterizacijom otvorenih sku-pova na potprostoru metrickog prostora, dajemo sljedecu karakterizaciju ku-gle na potprostoru.

Lema 2.1.14

Neka je (X, d) metricki prostor i (Y, dY ) njegov potprostor. Za pro-izvoljno y0 Y i r > 0 vrijedi

BY (y0, r) = BX(y0, r) Y ,

gdje je BY (y0, r) otvorena kugla u Y sa centrom u y0, poluprecnika r, aBX(y0, r) otvorena kugla u X sa centrom u y0, poluprecnika r.

Primjer 2.33. Ako posmatramo [0, 1] kao potprostor od euklidskog prostoraR, prema gornjoj lemi vrijedi

B[0,1](0, 1) = BR(0, 1) [0, 1] = (1, 1) [0, 1] = [0, 1) ,

dok je

B[0,1]

(1

2,1

3

)= BR

(1

2,1

3

) [0, 1] =

(1

6,5

6

).

Teorem 2.1.31

Neka je (Y, dY ) potprostor metrickog prostora (X, d).

1. Svaki podskup od Y koji je otvoren u Y , otvoren je u X ako i samoako je Y otvoren u X .

2. Svaki podskup od Y koji je zatvoren u Y , zatvoren je u X ako isamo ako je Y zatvoren u X .

Dokaz : 1. Neka je svaki otvoren skup u Y otvoren i u X . Kako je svakiprostor otvoren skup u sebi, to je Y otvoren u Y , a onda je otvoren i u X .Neka je sada Y otvoren u X i neka je O proizvoljan otvoren skup u Y . Tadamora postojati otvoren skup U u X , takav da je O = U Y . Kako su i U iY otvoreni u X i O X , to je i O kao presjek otvorenih skupova, otvorenskup u X . Dokaz pod 2. ostavljen je za vjezbu.

57

Metricki prostori

2.2 Neprekidnost na metrickim prostorima

2.2.1 Opste napomene o preslikavanjima

Prije nego uvedemo pojam neprekidnosti preslikavanja na metrickim prosto-rima, podsjetimo se neke opste terminologije preslikavanja.

Definicija 2.2.1

Neka su X i Y proizvoljni skupovi. Pod preslikavanjem skupa X u skupY podrazumijevamo proizvoljno pravilo ili zakon f kojim elementimaskupa X pridruzujemo elemente skupa Y . Ukoliko svakom elementuskupa X pridruzujemo najvise jedan element skupa Y , za preslikava-nje kazemo da je jednoznacno, u suprotnom kazemo da je preslikavanjeviseznacno.

Cinjenicu da preslikavanje f slika X u Y zapisujemo sa f : X Y , pricemu X nazivamo domen preslikavanja ili podrucje originala, a Y nazivamokodomen ili podrucje slika. Ukoliko je E X i F Y , slikom skupa E upreslikavanju f podrazumijevamo skup

f(E) = {f(x) | x E} = {y Y | (x E) y = f(x)} .

Predslika skupa F u preslikavanju f je skup

f1(F ) = {x X | f(x) F} ,

pri cemu ovdje ni u kom slucaju ne podrazumijevamo postojanje inverznogpreslikavanja, vec samo uvodimo notaciju za one elemente skupa X cija jeslika u skupu F .

Definicija 2.2.2

Neka su X i Y proizvoljni skupovi i f : X Y jednoznacno preslikava-nje.Za preslikavanje f kazemo da je surjektivno ili da je surjekcija akoje svaki element skupa Y slika bar jednog elementa skupa X tojest,f(X) = Y .Za preslikavanje f kazemo da je injektivno ili da je injekcija ako serazliciti elementi domena preslikavaju u razlicite elemente kodomena.

2.2. Neprekidnost na metrickim prostorima

58

Definicija 2.2.3

Za prelikavanje f kazemo da je bijektivno ili da je bijekcija ako je isto-vremeno i injektivno i surjektivno.

Za surjektivno preslikavanje kazemo i da je na preslikavanje, a za injek-tivno i da je 1-1 preslikavanje. Preslikavanje idX : X X , zadato saidX(x) = x za x X , naziva se identicko preslikavanje i primjer je bijek-tivnog preslikavanja, a preslikavanje i : X Y gdje je X Y , zadatosa i(x) = x za x X , naziva se inkluzija i primjer je injektivnog, ali ne isurjektivnog preslikavanja.

Definicija 2.2.4

Neka su X i Y proizvoljni skupovi i f : X Y jednoznacno preslikava-nje. Kazemo da je preslikavanje g inverzno preslikavanje preslikavanjaf ako g : Y X i za sve x X i y Y vrijedi

f(g(y)) = y i g(f(x)) = x ,

tj. f g = idY i g f = idX .

Teorem 2.2.1

Preslikavanje f : X Y ima inverzno preslikavanje ako i samo ako je fbijekcija. U tom slucaju je inverzna funkcija jedinstvena i oznacavamoje sa f1, koja je i sama bijekcija.

2.2.2 Neprekidnost preslikavanja

Definicija 2.2.5

Neka su (X, dX) i (Y, dY ) metricki prostori. Za preslikavanje f : X Ykazemo da je neprekidno u tacki x0 X ako

( > 0)( > 0)(x X)(dX(x0, x) < dY (f(x0), f(x)) < ) .

Preslikavanje je neprekidno naX ako je neprekidno u svakoj tacki x X .

59

Metricki prostori

Ako u gornjoj definiciji uzmemo da su X = Y = R, dobijamo poznatu namdefiniciju neprekidnosti realne funkcije realne promjenljive,

( > 0)( > 0)(x X)(|x x0| < |f(x) f(x0)| < ) .Primjer 2.34. Posmatrajmo preslikavanje A : C[0, 1] C[0, 1], definisanosa

Af(x) =

x0

f(t)dt ,

gdje je C[0, 1] prostor neprekidnih funkcija definisanih na [0, 1] sa standard-nom metrikom. Za proizvoljne f, g C[0, 1] i proizvoljno x [0, 1] vrijedi,

|Af(x) Ag(x)| = x0

f(t)dt x0

g(t)dt

x0

|f(t) g(t)|dt

x0

maxt[0,1]

|f(t) g(t)|dt

= d(f, g)

x0

dt d(f, g) .

Dakle,d(Af,Ag) = max

x[0,1]|Af(x) Ag(x)| d(f, g) ,

pa je za proizvoljno > 0 dovoljno izabrati = , za koga ce onda vrijeditida kad god je d(f, g) < , onda je d(Af,Ag) < , te je preslikavanje Aneprekidno na C[0, 1].

Teorem 2.2.2

Neka su (X, dX) i (Y, dY ) metricki prostori i f : X Y . Sljedecatvrdenja su ekvivalentna.

1. f je neprekidna na X .

2. (x X)( > 0)( > 0) f(B(x, )) B(f(x), ).3. Za svaki otvoreni skup V Y je f1(V ) otvoren skup u X .

Dokaz : (1. 2.)Neka je f neprekidna funkcija. Neka je x0 X proizvoljan. Tada vrijedi

( > 0)( > 0) (d(x, x0) < d(f(x), f(x0)) < ) .

2.2. Neprekidnost na metrickim prostorima

60

Drugacije receno, vrijedi

( > 0)( > 0) (x B(x0, ) f(x) B(f(x0), )) ,

odnosno

( > 0)( > 0) (f(x) f (B(x0, )) f(x) B(f(x0), ) ,

ili u skupovnom obliku ovo znaci

f (B(x0, ))) B(f(x0), ) .

(2. 3.)Neka vrijedi iskaz 2. i neka je V proizvoljan neprazan otvoren skup u Y .Neka je x f1(V ) proizvoljan. To znaci da je f(x) V , a zbog otvorenostiskupa V , postoji > 0, takav da je B(f(x), ) V . Na osnovu 2., za takav postoji > 0, tako da vrijedi

f(B(x, )) B(f(x), ) V .

Primjenimo li poznate nam stvari iz preslikavanja, imamo

B(x, ) f1 f(B(x, )) f1(V ) .

Dakle za proizvoljan x f1(V ), postoji kugla B(x, ) f1(V ), pa jef1(V ) otvoren skup.(3. 2.)Neka su x X i > 0 proizvoljni. Tada je B(f(x), ) otvoren skup if(x) B(f(x), ). Na osnovu 3. je onda i f1 (B(f(x), )) otvoren skup.Osim toga je x = f1 f(x) f1 (B(f(x), )), pa zbog otvorenosti, postoji > 0, takav da je B(x, ) f1 (B(f(x), )). Iz posljednjeg onda imamo

( > 0)( > 0)f(B(x, )) B(f(x), ) .

Gornjom teoremom dajemo jednu karakterizaciju neprekidnosti preslikava-nja, a treba se prisjetiti da se u opstoj topologiji upravo iskazom 3. definiseovaj pojam. Zbog bogatije strukture metrickih prostora u odnosu na to-poloske prostore, i definiciju neprekidnosti smo prilagodili toj cinjenici, sciljem lakseg ispitivanja te osobine.

Primjer 2.35. Neka je (X, dX) diskretan metricki prostor i (Y, dY ) proizvo-ljan metricki prostor. Tada je svako preslikavanje f : X Y neprekidno.

61

Metricki prostori

Zaista, neka je x0 X proizvoljno. Za > 0 neka je < 1. Tada jeBX(x0, ) = {x0}, a onda je

f(BX(x0, )) = {f(x0)} BY (f(x0), ) ,

sto prema 2. gornje teoreme znaci neprekidnost preslikavanja f .

Naravno da karakterizacija pojma neprekidnosti ima raznih. Ovdje cemospomenuti jos dvije, a dokaze tih cinjenica ostavljamo citaocu za vjezbu.

Teorem 2.2.3

Neka su (X, dX) i (Y, dY ) metricki prostori i f : X Y . f je neprekidnopreslikavanje ako i samo ako za proizvoljan zatvoren skup F Y , jef1(F ) zatvoren skup u X .

Teorem 2.2.4

Neka su (X, dX) i (Y, dY ) metricki prostori i f : X Y . f je neprekidnopreslikavanje ako i samo ako za proizvoljan A X vrijedi f(A) f(A).

Konstrukciju novih neprekidnih funkcija pomocu dati neprekidnih funkcijadobijamo na osnovu sljedeca dva tvrdenja.

Teorem 2.2.5

Neka su f, g : X Y neprekidna preslikavanja i neka je a R, tada sui preslikavanja a f , f g i f g neprekidna preslikavanja.

Teorem 2.2.6

Kompozicija neprekidnih preslikavanja je neprekidno preslikavanje.

Uobicajeno sa C(X) obiljezavamo skup svih neprekidnih realnih funkcijadefinisanih na X , gdje je X metricki prostor. Takode dogovorno umjestoC([a, b]) pisemo jednostavno C[a, b], za skup svih neprekidnih funkcija defi-nisanih na segmentu [a, b].

2.2. Neprekidnost na metrickim prostorima

62

2.2.3 Uniformna i Lipschitz neprekidnost

Uvedimo jos jedan pojam vezan za metricke prostore, ali i u cvrstoj vezi saneprekidnoscu preslikavanja.

Definicija 2.2.6

Neka su (X, dX) i (Y, dY ) metricki prostori i f : X Y . Za preslikavanjef kazemo da je uniformno (ravnomjerno) neprekidno ako za svako > 0postoji > 0, tako da za sve x X vrijedi f(BX(x, )) BY (f(x), ).

Gornju definiciju smo mogli iskazati i formalnim zapisom.

( > 0)( > 0)(x, y X)(dX(x, y) < dY (f(x), f(y)) < ) .

Ocigledno da fiksiranjem jedne velicine u uslovu (x, y X) dobijamo uslovneprekidnosti preslikavanja f , tj. uniformno neprekidno preslikavanje je ineprekidno, dok obrat u opstem slucaju ne vazi.Zaista, posmatrajmo preslikavanje f(x) = 1

xna (0,+). Neprekidnost po-

smatrane funkcije se ima iz sljedeceg rasudivanja. Neka su x0 (0,+) i > 0 proizvoljni. Stavimo da je a = x0

2i oznacimo sa = min{x0 a, a2}.

Za proizvoljan x (0,+), takav da je |x x0| < , je ocigledno x0 x |xx0| < x0 a, iz cega zakljucujemo da je a < x, a time je a2 < xx0. Sadaimamo 1x 1x0

= |x0 x|xx0 < a2 a2

a2= .

Dakle, f je neprekidna u x0. Pokazimo da f nije uniformno neprekidna na(0,+).Neka je = 1 i neka je > 0 proizvoljan. Izaberimo x0 = min{, 1} i neka jex = x0

2. Tada je |x x0| = x02 2 < , ali1x 1x0

= 1x0 1 = .Razlika pojmova neprekidnosti i uniformne neprekidnosti je ta sto u pojmuneprekidnosti funkcije, postojeci ovisi o proizvoljno izabranom , ali i otacki u kojoj posmatramo neprekidnost, dok kod uniformne neprekidnostinjegov izbor ovisi samo o .Pored navedena (standardna) dva pojma neprekidnosti preslikavanja, spome-nimo i treci koji se cesto susrece u funkcionalnoj analizi.

63

Metricki prostori

Definicija 2.2.7

Neka su (X, dX) i (Y, dY ) metricki prostori i f : X Y . Za preslikavanjef kazemo da je Lipschitz neprekidno sa X u Y ako postoji konstantaC > 0 takva da za sve x, y X vrijedi

dY (f(x), f(y)) CdX(x, y) .

Iz definicije je jasno da je C konstanta, koju nazivamo Lipschitzova konstanta,i ne smije ovisiti o izboru x, y X . Time je ocigledno da je svaka Lipschitzneprekidna funkcija i uniformno neprekidna, dok obrat u opstem slucaju nevazi.

Posmatrajmo ponovo funkciju f(x) =1

x, ali sada na intervalu (a,+), gdje

je a > 0. Za proizvoljne x1, x2 (a,+), na osnovu Lagrangeove teoremepostoji c izmedu x1 i x2 takav da je

1

x1 1x2

= 1c2(x1 x2) .

Izbor broja c nam garantuje da on pripada intervalu (a,+), te vrijedic2 > a2, a tada je 1x 1x0

1a2 |x1 x2| .Gornja nejednakost nam govori da za proizvoljno izabrano > 0, dovoljno jeizabrati = a2 iz cega se onda zakljucuje uniformna neprekidnost funkcijef na (a,+). Medutim, iz posljednje nejednakosti zakljucujemo i da Lipsc-hitzova konstanta M = 1

a2ocigledno ovisi o posmatranom intervalu (a,+),

a samim tim i o izboru elemenata x1 i x2, te ova funkcija nije Lipschitzneprekidna na (a,+).Primjer 2.36. Neka su (X, dX) i (Y, dY ) metricki prostori. Svako kons-tantno preslikavanje sa X u Y je Lipschitz neprekidno, a takvo je i identickopreslikavanje sa X u X .

Primjer 2.37. Posmatrajmo preslikavanje f : R R zadato sa

f(x) =

{x2 sin 1

x2; x 6= 0

0 ; x = 0 .

Pretpostavimo da je dato preslikavanje Lipschitz neprekidno i izaberimo ni-zove xn = (2npi +

pi2)

1

2 i yn = (2npi) 1

2 (n N). Zbog pretpostavke o Lips-chitz neprekidnosti moralo bi postojati 0 < L < + tako da za proizvoljno

2.3. Konvergencija u metrickim prostorima

64

n N vrijedi

L f(xn) f(yn)xn yn

= (2npi + pi2 )1(2npi)

1

2 (2npi + pi2)

1

2

= 4n((2npi)

1

2 (2npi + pi2)

1

2

).

Medutim posljednji izraz tezi u + kada n tezi u +, te je postojanjeLipschitzove konstante L neodrzivo. Dakle, posmatrano preslikavanje nijeLipschitz neprekidno.

Definicija 2.2.8

Neka su (X, dX) i (Y, dY ) metricki prostori i f : X Y . Za preslikavanjef kazemo da je izometrija iz X u Y ako vrijedi

(x, x X) dY (f(x), f(x)) = dX(x, x) .

Ako postoji izometrija iz X u Y , kazemo da se X moze izometricki smjestitiili uloziti u Y . Sa stanovista teorije metrickih prostora, tj. ako nas interesujesamo odnos izmedu objekata (udaljenost), a ne i vrsta objekata, onda nepravimo razliku izmedu prostora X i njegove izometricke slike f(X) Y iprosto pisemo X Y , a citamo X je izometricki ulozen u Y . Primjetimoda je svaka izometrija automatski injektivno preslikavanje. Ako je izometrijai surjektivna, onda kazemo da su prostori izometricni i pisemo X = Y (nepodrazumijevamo skupovnu jednakost).Osim toga je svaka izometrija i Lipschitz neprekidno preslikavanje (Lipschit-zova konstanta je 1).

2.3 Konvergencija u metrickim prostorima

Definicija 2.3.1

Neka je (X, d) metricki prostor. Za niz (xn)nN X kazemo da konver-gira ka x0 X , ako vrijedi

d(xn, x0) 0 , (n) .

Cinjenicu da niz (xn)nN konvergira ka tacki x0, uobicajeno zapisujemo sa

xn x0 (n) ili limn

xn = x0 .

65

Metricki prostori

Gore definisanu konvergenciju nazivamo konvergencija po metrici jer kao stocemo vidjeti, izucavat cemo i neke druge vrste konvergencija.

Lema 2.3.1

Neka je (xn)nN niz u metrickom prostoru (X, d). Sljedeca dva tvrdenjasu ekvivalentna.

1. limn

xn = x0 .

2. Za svako > 0, postoji samo konacno mnogo clanova niza (xn)nNkoji se nalaze van kugle B(x0, ).

Primjer 2.38. Primjetimo da ce u metrickom prostoru sa diskretnom metri-kom konvergentni nizovi biti samo oni nizovi koji su pocev od nekog indeksakonstantni nizovi.

Primjer 2.39. Posmatrajmo prostor C[1, 2] sa standardnom maksimum

metrikom. Njemu pripadaju funkcije fn(x) = (1 + xn)

1

n (n N) i f(x) = x.Za proizvoljno x [1, 2] i proizvoljno n N vrijedi,

0 fn(x)f(x) = (1+xn) 1n x (xn+xn) 1n x = x( n21) 2( n

21) .

Dakle, d(fn, f) = maxx[1,2] |fn(x) f(x)| 2( n2 1) 0 , (n), sto

znaci da je niz (fn)nN konvergentan ka funkciji f po metrici d.Posmatrajmo sada kvadratnu metriku d2 na C[1, 2],

f, g C[1, 2] , d2(f, g) =( 2

1

|f(x) g(x)|2dx) 1

2

.

Kako generalno vrijedi,

d2(f, g) =

( 21

|f(x) g(x)|2dx) 1

2

( 2

1

(maxt[1,2]

|f(t) g(t)|)2dx) 1

2

= d(f, g)

( 21

dx

) 12

= d(f, g) ,

to ce posmatrani niz biti konvergentan i u metrici d2.Kako dati funkcionalni niz nije konstantan, prema prethodnom primjeruovaj niz nece biti konvergentan u diskretnoj metrici. Ovim primjerom samopotvrdujemo cinjenicu da konvergencija ovisi o izboru metrike na datom

2.3. Konvergencija u metrickim prostorima

66

skupu tojest, konvergentan niz u jednoj metrici moze biti divergentan u nekojdrugoj metrici.

Pomocu konvergencije sada mozemo okarakterisati zatvorene skupove, atime i zatvorenje skupa u metrickom prostoru.

Lema 2.3.2

Neka je F X zatvoren skup i neka je (xn)nN F takav da limn

xn =

x0. Tada x0 F .

Dokaz : Neka je F X zatvoren skup, tada je F = F . Ako je (xn)nN Ftakav da lim

nxn = x0, onda za proizvoljno > 0 u kugli B(x0, ) postoji

beskonacno mnogo tacaka posmatranog niza (tj. skupa F ), a to znaci da jex0 tacka nagomilavanja skupa F pa x0 F = F .

Lema 2.3.3

Neka je A proizvoljan podskup metrickog prostora (X, d). Tada vrijedi,

A = {x X | ((xn)nN A) limn

xn = x} .

Jasno je da ako je postojeci niz (xn)nN A, niz razlicitih tacaka takavda limn xn = x, da je tada tacka x tacka nagomilavanja skupa A. Usuprotnom, ako je postojeci niz jedino konstantni niz, tacka x je izolovanatacka skupa.Kao posljedicu gornje leme imamo da je svaka adherentna tacka skupa A ilitacka nagomilavanja ili izolovana tacka. To mozemo iskazati i kompletnijomkarakterizacijom zatvorenja nekog skupa. Naime, za proizvoljan skup A,tacke skupa A su:

izolovane tacke skupa A, tacke nagomilavanja skupa A koje pripadaju skupu A i tacke nagomilavanja skupa A koje ne pripadaju skupu A.

Na osnovu definicije rastojanja tacke od skupa, sada imamo jednu intere-santnu karakterizaciju adherencije skupa.

67

Metricki prostori

Lema 2.3.4

Neka je X metricki prostor i A X proizvoljan podskup. Tada vrijedi

A = {x X| d(x,A) = 0} .

Dokaz : Ako je x A = A A tada, ako x A, jasno d(x,A) = 0. Nekaje x A. Za proizvoljno > 0, postoji a A, takav da je a B(x, ), tj.d(x, a) < . Ovo opet znaci da je d(x,A) = 0.Obratno, neke je za neko x X , d(x,A) = 0. To znaci, na osnovu definicijeinfimuma, da za svako > 0, postoji a A, takav da je d(x, a) < . Ovoopet znaci da je B(x, ) A 6= , tj. x A A = A.

Teorem 2.3.1

Konvergentan niz moze konvergirati samo jednoj tacki.

Dokaz : Neka je (xn)nN X za koga vrijedi xn x i xn x (n ).Na osnovu relacije trougla imamo

0 d(x, x) d(x, xn) + d(xn, x) ,

za proizvoljno n N. Desna strana tezi 0 kada n , pa ocigledno moravrijediti d(x, x) = 0, odnosno x = x.

Teorem 2.3.2

Svaki konvergentan niz je ogranicen.

Dokaz : Neka je (xn)nN X i neka xn x0 (n ). Uzimajuci da je = 1, imamo da postoji n0 N, takav da za svako n n0, vrijedi

d(xn, x0) < 1 .

Oznacimo sa R = max{d(x0, x1), d(x0, x2), ..., d(x0, xn01)}. Neka je sadaR = R + 1. Tada ocigledno vrijedi

(n N) xn B(x0, R) ,

tj. niz je ogranicen.

2.3. Konvergencija u metrickim prostorima

68

Neka je dat proizvoljan nit (xn)nN u metrickom prostoru (X, d) i neka je(nk)kN proizvoljan niz prirodnih brojeva takvih da je

n1 < n2 < < nk < ,tada za niz (xnk)kN kazemo da je podniz niza (xn)nN i pisemo (xnk)kN (xn)nN.

Lema 2.3.5

Ako niz (xn)nN konvergira ka tacki x u metrickom prostoru, tada i svakinjegov podniz (xnk)kN konvergira ka x.

Dokaz : Neka za dati niz (xn)nN X vrijedi xn x, n , tada zasvako > 0, postoji n0 N, tako da za sve n n0 vrijedi d(xn, x) < .Neka je (xnk)kN bilo koji podniz datog niza. Tada postoji k0 N, takav daje nk0 > n0, a tada ce i za svako k k0 vrijediti d(xnk , x) < , sto znaci daxnk x, kada k . Odnos konvergencije niza u podprostoru i nadredenom mu prostoru iskazu-jemo sljedecom vezom.

Teorem 2.3.3

Neka je (X, d) metricki prostor i Y X . Neka je (an)nN Y . Tadaan a (n ) u Y sa podprostor metrikom ako i samo ako an a(n) u X .

Sada sa pojmom konvergencije u metrickim prostorima mozemo dati i do-datne karakterizacije pojmova neprekidnosti i uniformne neprekidnosti.

Teorem 2.3.4

Neka su (X, dX) i (Y, dY ) metricki prostori i f : X Y . Neka je x X ,sljedeca tvrdenja su ekvivalentna

1. Preslikavanje f je neprekidno u x.

2. Za proizvoljan niz (xn)nN X , takav da xn x (n), vrijedif(xn) f(x) u Y , kada n.

Ovu cinjenicu smo mogli iskazati i formulacijom da je f neprekidno preslika-vanje sa X u Y ako i samo ako za proizvoljan niz (xn)nN X , konvergentan

69

Metricki