Odjel za matematiku

Sveu£ili²ta u Rijeci

Ana Jurasi¢

VEKTORSKI PROSTORI 2

Materijali s predavanja

Rijeka, 2013.

Sadrºaj

1 Topolo²ki vektorski prostori 41.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1 Vektorski prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.2 Normirani prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.3 Topolo²ki prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Topolo²ki vektorski prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Linearna preslikavanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4 Kona£nodimenzionalni prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5 Metrizabilnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5.1 Cauchyjevi nizovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.6 Omeenost i neprekidnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.6.1 Omeeni skupovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.6.2 Omeeni linearni operatori . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.7 Polunorme i lokalna konveksnost . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.8 Kvocijentni prostor i kvocijentna topologija . . . . . . . . . . . 31

2 Potpunost 332.1 Baireov teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2 Banach-Steinhausov teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.3 Teorem o otvorenom preslikavanju . . . . . . . . . . . . . . . . 392.4 Teorem o zatvorenom grafu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.5 Bilinearna preslikavanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3 Konveksnost 453.1 Hahn-Banachovi teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.2 Slabe topologije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.2.1 Slaba topologija topolo²kog vektorskog prostora . . . . 523.2.2 Slaba∗-topologija dualnog prostora . . . . . . . . . . . 53

3.3 Kompaktni konveksni skupovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2

4 Dualnost u Banachovim prostorima 554.1 Normirani dual normiranog prostora . . . . . . . . . . . . . . 554.2 Drugi dual Banachovog prostora . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.3 Ortogonalnost u Banachovim prostorima . . . . . . . . . . . . 584.4 Duali podprostora i kvocijentnih prostora . . . . . . . . . . . . 604.5 Adjungirani operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.6 Kompaktni operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3

Poglavlje 1

Topolo²ki vektorski prostori

1.1 Uvod

1.1.1 Vektorski prostori

Prisjetimo se najprije kako se denira struktura vektorskog prostora X =x, y, ... nad poljem Φ = α, β, .... Za polje skalara Φ uzimat ¢emo poljeR realnih brojeva, odnosno polje C kompleksnih brojeva. Elemente poljaΦ nazivamo sklarima. Vektorski prostor nad Φ je neprazan skup X,£ije elemente zovemo vektorima i u kojem su, redom na sljede¢i na£in i sasljede¢im algebarskim svojstvima, denirane dvije operacije - zbrajanje imnoºenje skalarima:

• Svakom paru vektora x i y pridruºuje se vektor x + y (dakle, + :X ×X −→ X, (x, y) 7→ x+ y), tako da je

x+ y = y + x,

x+ (y + z) = (x+ y) + z,

postoji jedinstven vektor 0 ∈ X (nul-vektor) takav da je x+ 0 = x, zasvaki x ∈ X i za svaki x ∈ X postoji jedninstven vektor −x ∈ X takavda je x+ (−x) = 0.

• Svakom paru (α, x), gdje je α ∈ Φ i x ∈ X, pridruºuje se vektor α · x(pi²emo αx) (dakle, imamo preslikavanje Φ×X −→ X, (α, x) 7→ αx),tako da je

1x = x, (posjedovanje jedinice)

α(βx) = (αβ)x (kvaziasocijativnost)

4

i tako da vrijede sljede¢a dva zakona distributivnosti

α(x+ y) = αx+ αy,

(α + β)x = αx+ βx,

gdje su x, y ∈ X i α, β ∈ Φ.

Vidimo da je u odnosu na zbrajanje vektorski prostor X komutativna grupas neutralnim elementom 0. Oznaka 0 koristit ¢e se i za neutralni element zazbrajanje u polju skalara.

Realni vektorski prostor je onaj za koji je Φ = R, a kompleksnivektorski prostor onaj za koji je Φ = C. Ne navedemo li posebno poljeskalara, podrazumijevat ¢emo ova dva slu£aja.

Za vektorski prostor X, A,B ⊆ X, x ∈ X i λ ∈ Φ, deniramo skupove:

x+ A := x+ a | a ∈ A,x− A := x− a | a ∈ A,A+B := a+ b | a ∈ A, b ∈ B,

λA := λa | a ∈ A.

Napomenimo da se moºe dogoditi da je 2A 6= A+ A.Neprazan skup Y ⊆ X zove se potprostor od X (u oznaci Y < X) ako

je Y takoer vektorski prostor (u odnosu na iste operacije, nad istim poljemskalara). Lako se moºe provjeriti da je to slu£aj ako i samo ako je 0 ∈ Y iαY + βY ⊆ Y , za sve α, β ∈ Φ. Trivijalni potprostor vektorskog prostora Xje 0.

Skup C ⊆ X nazivamo konveksnim ako je

tC + (1− t)C ⊆ C,

gdje je 0 ≤ t ≤ 1. Dakle, C sadrºi tx+ (1− t)y, za svaki x, y ∈ C.Skup B ⊆ X je balansiran ako je αB ⊆ B, za svaki α ∈ Φ takav da je

|α| ≤ 1.Netrivijalni vektorski prostor X ima dimenziju n (dimX = n) ako X

ima bazu u1, ..., un. To zna£i da svaki x ∈ X ima jedinstven prikaz oblika

x = α1u1 + ...+ αnun,

gdje su αi ∈ Φ za i = 1, ..., n. Ako je dimX < +∞, kaºemo da je Xkona£nodimenzionalan, ina£e je beskona£nodimenzionalan. Za X =0, po deniciji uzimamo dimX = 0.

Navedimo nekoliko primjera.

5

• Neka je Φn, gdje je n ∈ N, skup svih ureenih n-torki s koordinatamaiz Φ. Tada je Φn vektorski prostor nad Φ dimenzije n, uz uobi£ajeneoperacije s ureenim n-torkama.

• Neka je Φ[x] skup svih polinoma u varijabli x, s koecijentima iz Φ.Tada je Φ[x] vektorski prostor nad Φ (uz uobi£ajene operacije s poli-nomima) i dim Φ[x] =∞.

1.1.2 Normirani prostori

Vektorski prostor X nazivamo normiranim prostorom ako je svakom x ∈X pridruºen nenegativan realan broj ‖x‖, koji nazivamo norma od x, nasljede¢i na£in:

• ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖, za sve x, y ∈ X,

• ‖αx‖ = |α|‖x‖, ako je x ∈ X i α je skalar,

• ‖x‖ > 0, ako je x 6= 0.

Primijetimo da iz ove tri to£ke slijedi da je ‖x‖ = 0 ⇔ x = 0. Terminnorma koristimo i za funkciju x 7→ ‖x‖ sa vektorskog prostora X u skup R.Navedimo nekoliko primjera:

• Na vektorskom prostoru Φn deniramo dvije norme na sljede¢i na-£in. Sa ‖x‖1 =

∑ni=1 |xi| i sa ‖x‖∞ = max|x1|, ..., |xn|, gdje je

x = (x1, ..., xn) ∈ Φn.

• Na vektorskom prostoru C([a, b]) = f | f : [a, b] −→ Φ neprekidna na [a, b],uz standardne operacije zbrajanja funkcija i mnoºenja funkcija skala-rima, deniramo dvije norme na sljede¢i na£in. Sa ‖f‖1 =

∫ ba|f(t)|dt i

sa ‖f‖∞ = max|f(t)| | t ∈ [a, b].

Svaki normirani prostor moºe se smatrati metri£kim prostorom, u kojemje udaljenost d(x, y) izmeu x i y dana sa ‖x−y‖. Vaºna svojstva metri£kefunkcije (metrike) d dana su sa:

• 0 ≤ d(x, y) <∞, za sve x, y ∈ X,

• d(x, y) = 0 ako i samo ako je x = y,

• d(x, y) = d(y, x), za sve x, y ∈ X,

• d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), za sve x, y, z ∈ X.

6

Navedimo neke poznate metri£ke prostore:

• U Rn moºemo uvesti euklidsku metriku

d2(x, y) =( n∑i=1

(xi − yi)2) 1

2

ili metriku

dp(x, y) =( n∑i=1

(xi − yi)p) 1p,

za p ≥ 1, ili metriku

d∞(x, y) = max1≤i≤n

|xi − yi|,

za sve x = (x1, ..., xn), y = (y1, ..., yn) ∈ Rn. Dakle, na istom se skupumogu zadati razli£ite metrike.

• Na vektorskom prostoru C([a, b]) metriku moºemo uvesti formulomd(f, g) = maxa≤t≤b |f(t) − g(t)| ili pak sa tzv. kvadratnom metrikom

d(f, g) = (∫ ba|f(t)− g(t)|2dt) 1

2 , gdje su f, g ∈ C([a, b]).

U metri£kom prostoru X, otvorena kugla sa sredi²tem x ∈ X i radiju-som r > 0 (r ∈ R) je skup

Br(x) = y ∈ X | d(x, y) < r,

a zatvorena kugla je skup Br(x) = y ∈ X | d(x, y) ≤ r. Posebno, ako jer = 1, govorimo o otvorenoj ili zatvorenoj jedini£noj kugli.

1.1.3 Topolo²ki prostori

Pojam metri£kog prostora moºe se dalje poop¢iti do pojma topolo²kog pros-tora.

Navedimo nekoliko vaºnijih pojmova. Podskup metri£kog prostora X jeotvoren ako i samo ako je (mogu¢e prazna) unija otvorenih kugli. Dakle,prazan skup ∅ takoer smatramo otvorenim. Preciznije, skup P ⊆ X je otvo-ren ako za svaki x ∈ P postoji otvorena kugla Br(x) takva da je Br(x) ⊆ P .Familija svih otvorenih skupova metri£kog prostora X je topolo²ka struk-tura ili topologija na X. Dakle, u svakom metri£kom prostoru moºemouvesti topologiju.

Topolo²ki prostor je neprazan skup S u kojem je familija τ otvorenihskupova (podskupova od S) denirana sljede¢im svojstvima:

7

(T1) S je otvoren,

(T2) ∅ je otvoren,

(T3) presjek proizvoljna dva otvorena skupa je otvoren skup,

(T4) unija proizvoljne familije otvorenih skupova je otvoren skup.

Takva familija τ zove se topologija na S. Topolo²ki prostor koji odgovaratopologiji τ ozna£it ¢emo s (S, τ).

Navedimo nekoliko primjera:

• Neka je S = R i τ = U ⊆ R | (∀x ∈ U)(∃ε > 0)〈x − ε, x + ε〉 ⊆ U.Tada je (R, τ) topolo²ki prostor, koji nazivamo standardni jednodi-menzionalni euklidski topolo²ki prostor.

• Neka je (X, d) metri£ki prostor. Familija

τd = U ⊆ X | (∀x ∈ U)(∃ε > 0)Bε(x) ⊆ U

je topologija na X koju nazivamo topologija inducirana metrikomd. Ako je topologija τ inducirana metrikom d, kaºemo da su d i τmeusobno usklaene.

• Neka je X neprazan skup. Topologiju τ0 = ∅, X nazivamo indis-kretna topologija, a topologiju τX = P(X), familija svih podkupovaskupa X, diskretna topologija.

Uvedimo jo² neke nazive koje ¢emo koristiti. Skup E ⊆ S je zatvorenako i samo ako je njegov komplement EC = S\E otvoren. Zatvara£ E odE je presjek svih zatvorenih skupova koji sadrºe E. To je najmanji zatvoreniskup iz S koji sadrºi E. Unutra²njost (interior) E od E je unija svihotvorenih skupova koji su podskupovi od E. To je najve¢i otvoreni skup izS koji je sadrºan u E.

Okolina to£ke p ∈ S je svaki otvoreni skup koji sadrºi p. Navedimo dato£ka p pripada E ako i samo ako svaka okolina od p presijeca E. (S, τ)je Hausdorov prostor, a τ je Hausdorova topologija, ako razli£iteto£ke iz S imaju disjunkstne okoline. Dakle, za svake p, q ∈ S, takve da jep 6= q, postoje U, V ∈ τ takvi da je p ∈ U , q ∈ V i U ∩ V = ∅. Niz xn uHausdorovom prostoru S konvergira to£ki x ∈ S (odnosno limn→∞ xn = x)ako svaka okolina od x sadrºi sve osim kona£no mnogo to£aka xn.

8

Skup K ⊆ S je kompaktan ako svaki otvoreni pokriva£1 od K imakona£an podpokriva£.

Familija τ ′ ⊆ τ je baza topologije τ ako je svaki £lan od τ unija eleme-nata iz τ ′. Familija γ okolina to£ke p ∈ S je lokalna baza u p ako svakaokolina od p sadrºi £lana od γ.

Ako je Y ⊆ S i σ = Y ∩ U | U ∈ τ, tada je σ topologija na Y , ²to jelako provjeriti. Kaºemo da je to topologija koju Y nasljeuje od S.

1.2 Topolo²ki vektorski prostori

Topolo²ki vektorski prostor (ili linearni topolo²ki prostor) jedna je odosnovnih struktura koje se prou£avaju u funkcionalnoj analizi2. Kao ²to samoime navodi, ovi su prostori spoj topolo²ke strukture i algebarskog konceptavektorskog prostora.

Banachovi prostori

Banachov prostor je normirani prostor koji je potpun u metrici deniranojnjezinom normom. To zna£i da svaki Cauchyev niz3 elemenata tog prostorakonvergira u tom prostoru.

Mnogi poznati funkcijski prostori su Banachovi prostori. Spomenimo ihnekoliko:

• Skup c svih konvergentnih nizova realnih brojeva na kojem je normauvedena sa ‖x‖ = supn∈N |xn|, gdje je x = xn niz iz c.

• Hilbertovi prostori. To su potpuni unitarni prostori4.

• Prostori C([a, b]) gdje je ‖x‖ = max|x(t)| | t ∈ [a, b], za x ∈ C([a, b]).

1Familiju U podskupova metri£kog prostora X nazivamo pokriva£ skupa K ⊆ X akoje K ⊆ ∪A∈UA. Kaºemo da je pokriva£ U od K otvoren ako su svi £lanovi A ∈ U otvoreniskupovi. Podpokriva£ nekog pokriva£a skupa K je podskup tog pokriva£a koji i daljepokriva K.

2Funkcionalna analiza je grana matemati£ke analize, koja se bavi prou£avanjemvektorskih prostora (na kojima je denirana norma, topologija itd.) i linearnim preslika-vanjima na tim prostorima.

3Niz xn, gdje je n ∈ N, normiranog prostora X naziva se Cauchyev niz ako za svakiε > 0 postoji N ∈ N takav da za p, q ≥ N vrijedi ‖xp − xq‖ ≤ ε.

4Vektorski prostorX je unitarni prostor, ako je svakom ureenom paru vektora (x, y),gdje su x, y ∈ X, jednozna£no pridruºen njihov skalarni produkt 〈x, y〉 ∈ Φ, uz uvjet davrijede aksiomi skalarnog produkta. Norma od x ∈ X je tada denirana sa ‖x‖ =

√〈x, x〉

pa je svaki Hilbertov prostor Banachov prostor s obzirom na normu generiranu skalarnimproduktom.

9

O nekima od ovih prostora biti ¢e rije£i u nastavku. Svi normirani vektorskiprostori, pa time i svi Banachovi prostori, su topolo²ki vektorski prostori.No, postoje i vaºni prostori, poput ovih navedenih u nastavku, koji imajusvoje prirodne topologije koje se ne mogu uvesti pomo¢u norme. To su, kao inormirani prostori, primjeri topolo²kih vektorskih prostora. Na primjer:

• Prostor C(Ω) svih neprekidnih kompleksnih funkcija na nekom otvore-nom skupu Ω u euklidskom prostoru Rn.

• Prostor H(Ω) svih holomorfnih funkcija5 na nekom otvorenom skupuΩ kompleksne ravnine.

Denicija topolo²kog vektorskog prostora

Neka je τ topologija na vektorskom prostoru X. Neka vrijedi:

(a) za svaku to£ku x ∈ X, skup x je zatvoren skup,

(b) operacije zbrajanja vektora i mnoºenja vektora skalarom neprekidne suu topologiji τ .

Uz te uvjete, τ zovemo vektorskom topologijom na X, a X topolo²kimvektorskim prostorom.

U mnogim tekstovima uvjet (a) je izostavljen iz denicije topolo²kog vek-torskog prostora, jer je zadovoljen u gotovo svakoj primjeni. Vidjet ¢emo(Teorem 1.2.3.) da uvjeti (a) i (b) zajedno povla£e da je τ Hausdorovatopologija.

Neka su X i Y toplo²ki prostori i f : X → Y preslikavanje. Kaºemoda je preslikavanje f neprekidno u to£ki x0 ∈ X ako za svaku okolinuV to£ke f(x0) u Y postoji okolina U to£ke x0 u X takva da je f(U) ⊆ V .Preslikavanje f neprekidno je na skupu A ⊆ X ako je f neprekidno usvakoj to£ki skupa A. Pretpostavka da je zbrajanje vektora neprekidnozna£i da je preslikavanje

(x, y) 7→ x+ y

kartezijevog produkta X ×X u X neprekidno, odnosno da ako su xi ∈ X zai = 1, 2 i ako je V okolina od x1 + x2, tada moraju postojati okoline6 Vi odxi takve da je

V1 + V2 ⊆ V.

5Za funkciju f : Ω→ C kaºemo da je holomorfna ako je derivabilna i derivacija f ′ jeneprekidna na Ω. Za funkciju f kaºemo da je holomorfna u to£ki z0 ako postoji okolinato£ke z0 na kojoj je f holomorfna.

6Postoji okolina ureenog para (x1, x2), oblika V1×V2 (element produktne topologije),koju navedena funkcija zbrajanja vektora preslikava u V1 + V2.

10

Sli£no, pretpostavka da je mnoºenje skalarima neprekidno zna£i daje preslikavanje

(α, x) 7→ αx

od Φ × X u X neprekidno, odnosno da ako je x ∈ X, α skalar i V okolinaod αx, tada postoji r > 0 i okolina7 W od x tako da vrijedi βW ⊆ V uvijekkada je |β − α| < r.

Za podskup E topolo²kog vektorskog prostora kaºemo da je omeen akoza svaku okolinu V od 0 u X postoji broj s > 0 takav da je E ⊆ tV za svakit > s.

Invarijante

Neka je X topolo²ki vektorski prostor. Za svaki a ∈ X i za svaki skalar λ 6= 0deniramo operator translacije Ta i operator mnoºenja skalarom Mλ

formulamaTa(x) = a+ x, Mλ(x) = λx,

gdje je x ∈ X.

Propozicija 1.2.1 Operatori Ta i Mλ su homeomorzmi8 sa X na X.

Dokaz:Aksiomi vektorskog prostora, kako slijedi u dokazu, povla£e da su Ta i Mλ

neprekidne bijekcije sa X na X te da su njihovi inverzi T−a i M 1λ, redom,

neprekidna preslikavanja. Zatvorenost za zbrajanje i mnoºenje skalarom pov-la£i da su Ta(x),Mλ(x) ∈ X. Neka je x′ ∈ X takav da je Ta(x) = x′. Dakle,a + x = x′ pa je x = x′ − a. Kako je −a ∈ X slijedi da je x ∈ X pa smodokazali surjektivnost od Ta. Ako je Ta(x) = Ta(y), tada je a+ x = a+ y paje x = y i vrijedi injektivnost. Time smo dokazali da je Ta bijekcija. Sli£nose dokazuje i da je Mλ bijekcija.

Pretpostavka neprekidnosti operacija vektorskog prostora povla£i da supreslikavanja Ta, T−a, Mλ i M 1

λneprekidna.

Jedna od posljedica Propozicije 1.2.1 je da je svaka vektorska topologija τinvarijantna na translacije (invarijantna je i na mnoºenje skalarom). Tozna£i da je skup E ⊆ X otvoren ako i samo ako je a+E otvoren skup, za svakia ∈ X. Dakle, τ je u potpunosti odreena proizvoljnom lokalnom bazom.

7Postoji okolina ureenog para (α, x), oblika W ′ ×W (element produktne topologije),gdje je W ′ = β ∈ Φ | |β − α| < r. Navedena funkcija mnoºenja skalarima preslikavaW ′ ×W u βW za svaki β ∈W ′.

8Kaºemo da je preslikavanje f homeomorzam ako je f neprekidna bijekcija £ije jeinverzno preslikavanje takoer neprekidno.

11

Obi£no za lokalnu bazu uzimamo bazu okolina to£ke 0. Dakle, lokalna bazatopolo²kog vektorskog prostora X je familija B okolina od 0 takvih dasvaka okolina od 0 sadrºi £lana od B. Otvoreni skupovi u X time su svioni koji su unije translata elemenata od B. Baza topologije τ je skupBτ = x+ V | x ∈ X, V ∈ B.

Primijetimo jo² da je A+B, gdje su A,B ⊆ X, unija translata x+B odB, gdje je x ∈ A.

Kaºemo da je metrika d na vektorskom prostoru X invarijantna ako je

d(x+ z, y + z) = d(x, y),

za sve x, y, z ∈ X.

Tipovi topolo²kih vektorskih prostora

Normirane i Banachove prostore ve¢ smo denirali, a sada ¢emo navesti jo²neke tipove topolo²kih vektorskih prostora. Neka je X topolo²ki vektorskiprostor s topologijom τ .

(a) X je lokalno konveksan ako postoji lokalna baza B koja se sastojiod konveksnih skupova.

(b) X je lokalno omeen ako 0 ima omeenu okolinu.

(c) X je lokalno kompaktan ako 0 ima okolinu £iji je zatvara£ kompak-tan.

(d) X je metrizabilan ako postoji metrika d na X takva da su τ i dusklaene.

(e) X je normabilan ako na X postoji norma takva da je metrika indu-cirana tom normom usklaena s topologijom τ .

(f) X imaHeine-Borelovo svojstvo ako je svaki zatvoren i omeen pod-skup od X kompaktan.

Navedimo neke odnose meu spomenutim svojstvima topolo²kog vektorskogprostora X. Ve¢inu ¢emo dokazati - na vjeºbama ili predavanjima.

(a) Ako jeX lokalno omeen, tadaX ima prebrojivu lokalnu bazu (vjeºbe).

(b) X je metrizabilan ako i samo ako X ima prebrojivu lokalnu bazu (te-orem o metrizabilnosti).

12

(c) X je normabilan ako i samo ako je X lokalno konveksan i lokalno ome-en.

(d) X je kona£nodimenzionalan ako i samo ako je X lokalno kompaktan(vjeºbe).

(e) Ako lokalno omeeni prostor X ima Heine-Borelovo svojstvo, tada jeX kona£nodimenzionalan.

Prostor H(Ω) je beskona£nodimenzionalan i ima Heine-Borelovo svojstvo.Dakle, iz (e) slijedi da nije lokalno omeen pa zatim iz (c) da nije normabi-lan. Takoer, to je kontraprimjer za obrat tvrdnje (a).

Sljede¢i teorem biti ¢e dokazan na vjeºbama.

Teorem 1.2.1 Neka su K i C podskupovi topolo²kog vektorskog prostora X,K je kompaktan, C je zatvoren i K ∩ C = ∅. Tada 0 ima okolinu V takvuda je

(K + V ) ∩ (C + V ) = ∅.

Primijetimo da jeK+V unija translata x+V od V , gdje je x ∈ K. Dakle,K+V je otvoren skup koji sadrºi K. Isto vrijedi i za C+V pa teorem povla£ipostojanje disjunktnih otvorenih skupova koji sadrºe K i C, redom. Kako jeC+V otvoren, to niti zatvara£ od K+V ne sije£e C+V . Posebno, zatvara£od K + V ne sije£e C. Uzmemo li da je K = 0, dobivamo sljede¢i vaºanslu£aj prethodnog teorema.

Teorem 1.2.2 Ako je B lokalna baza topolo²kog vektorskog prostora X, tadasvaki £lan od B sadrºi zatvara£ nekog elementa od B.

Dokaz:Promotrimo Teorem 1.2.1 (i komentare nakon tog teorema) i uzmimo da jeK = 0. Sada je K + V = V . Zatim, V ∩ C = ∅ pa je V ⊆ CC ∈ τ i CC

sadrºi 0.

Koriste¢i £injenicu da je za svaki x ∈ X skup x zatvoren skup i pri-mjenjuju¢i Teorem 1.2.1 na K = x i C = y, gdje su x, y ∈ X i x 6= y,zaklju£ujemo da te to£ke imaju disjunktne okoline (x + V = x + V jeokolina od x, a analogno imamo i za y). Dakle, vrijedi sljede¢i teorem.

Teorem 1.2.3 Svaki topolo²ki vektorski prostor je Hausdorov prostor.

13

Na vjeºbama ¢ete dokazati neka svojstva zatvara£a i unutra²njosti u to-polo²kom vektorskom prostoru. Spomenimo jo² sljede¢e. Lokalna baza B

je balansirana ako su njezini elementi balansirani skupovi te je konveksnaako su njezini elementi konveksni skupovi. Na vjeºbama ¢ete dokazati davrijedi tvrdnja da svaki topolo²ki vektorski prostor ima balansiranu lokalnubazu.

1.3 Linearna preslikavanja

Neka su X i Y vektorski prostori nad istim skalarnim poljem. Proizvoljnufunkciju (preslikavanje) Λ : X → Y nazivamo operator. Kaºemo da jeoperator Λ : X → Y linearan9 ako je

Λ(αx+ βy) = αΛ(x) + βΛ(y),

za sve x, y ∈ X i za sve skalare α i β. Na primjer, operatori mnoºenjaskalarom Mλ su linearni, ali operatori translacije Ta nisu, osim za a = 0.

Linearni operator sa X u Φ10 nazivamo linearnim funkcionalom, doksvaku funkciju sa X u Φ nazivamo funkcionalom.

Navest ¢emo neka svojstva linearnih operatora Λ : X → Y , koja sevrlo jednostavno dokazuju. Pretpostavimo da je A ⊆ X i B ⊆ Y .

(a) Λ(0) = 0.

(b) Ako je A podprostor od X (ili konveksan skup ili balansiran skup), istovrijedi i za Λ(A), gdje je Λ(A) = Λ(x) ∈ Y | x ∈ A slika od A.

(c) Ako je B podprostor od Y (ili konveksan skup ili balansiran skup), istovrijedi i za Λ−1(B), gdje je Λ−1(B) = x ∈ X | Λ(x) ∈ B inverznaslika od B.

(d) SkupΛ−1(0) = x ∈ X | Λ(x) = 0 = N(Λ)

je podprostor od X, koji nazivamo null prostor od Λ ili jezgra ope-ratora Λ.

Pozabavimo se sada neprekidno²¢u linearnih preslikavanja.

9esto za linearni operator Λ umjesto Λ(x) pi²emo Λx.10Polje Φ je vektorski prostor nad samim sobom.

14

Teorem 1.3.1 Neka su X i Y topolo²ki vektorski prostori. Ako je linearnioperator Λ : X → Y neprekidan u 0, tada je Λ neprekidan. Posebno, Λje uniformno neprekidan u sljede¢em smislu: za svaku okolinu W od 0 u Y ,postoji okolina V od 0 u X tako da vrijedi

y − x ∈ V ⇒ Λ(y)− Λ(x) ∈ W.

Dokaz:Kada smo odabrali W , neprekidnost od Λ u 0 povla£i da je Λ(V ) ⊆ W ,za neku okolinu V od 0. Ako je y − x ∈ V , linearnost od Λ povla£i da jeΛ(y)−Λ(x) = Λ(y−x) ∈ W . Dakle, Λ preslikava okolinu x+V od x u pret-hodno dodijeljenu okolinu Λ(x) + W od Λ(x), ²to zna£i da je Λ neprekidnopreslikavanje u x.

Teorem 1.3.2 Neka je Λ linearni funkcional na topolo²kom vektorskom pros-toru X. Neka je Λ(x) 6= 0 za neki x ∈ X. Tada su sljede¢e tvrdnje ekviva-lentne:

(a) Λ je neprekidno preslikavanje.

(b) Null prostor N(Λ) je zatvoren skup.

(c) N(Λ) nije gust u X.

(d) Λ je omeeno preslikavanje u nekoj okolini V od 0.

Dokaz:Kako je N(Λ) = Λ−1(0) i 0 je zatvoren podskup skalarnog polja Φ,slijedi11 da (a) povla£i (b).

Kako x /∈ N(Λ), to je N(Λ) 6= X. Ako je N(Λ) zatvoren skup, tada jeN(Λ) = N(Λ) 6= X pa (b) povla£i12 (c).

Pretpostavimo da vrijedi (c). Dakle, N(Λ) 6= X pa je N(Λ)C6= ∅, od-

nosno postoji x ∈ N(Λ)C. Na vjeºbama ste dokazali da svaka okolina od 0

sadrºi balansiranu okolinu od 0 pa je sada

(x+ V ) ∩N(Λ) = ∅, (1.1)

za neku balansiranu okolinu V od 0. Kako je skup V balansiran, to je Λ(V )balansiran skup u Φ. Dakle, ili je Λ(V ) omeen u Φ, pa vrijedi (d), ili je

11U sklopu kolegija Metri£ki prostori, dokazali ste da za neprekidno preslikavanje f :X → Y , gdje su X i Y topolo²ki prostori, vrijedi da je za svaki zatvoren skup F u Y , skupf−1(F ) zatvoren u X. Analogno vrijedi i za otvorene skupove.

12Skup S u topolo²kom prostoru X je gust u X ako je S = X.

15

Λ(V ) = Φ. U tom slu£aju, postoji y ∈ V takav da je Λ(y) = −Λ(x) pa jex+ y ∈ N(Λ), ²to je u kontradikciji s (1.1). Dakle, (c) povla£i (d).

Kona£no, ako vrijedi (d), tada je |Λ(x)| < M za sve x ∈ V i za nekiM < ∞. Ako je r > 0 i ako je W := (r/M)V , tada je |Λ(x)| < r, za svakix ∈ W . Dakle, Λ(W ) ⊆ Br(0) u Φ pa je Λ je neprekidno u 0. Iz Teorema1.3.1 sada slijedi (a).

1.4 Kona£nodimenzionalni prostori

Meu najjednostavnijim Banachovim prostorima svakako su Rn i Cn, n-dimenzionalni vektorski prostori nad poljima R i C, redom. Za svaki

z = (z1, z2, ..., zn),

vektor u Cn, gdje su zi ∈ C, mogu se uvesti norme

‖z‖2 =( n∑i=1

|zi|2) 1

2 ,

‖z‖1 =n∑i=1

|zi|,

‖z‖∞ = max|zi| | i = 1, ..., n.

Te tri norme induciraju razli£ite metrike na Cn (za n > 1), koje inducirajuistu topologiju na Cn.

Vrijedi i vi²e od toga. Ako je X topolo²ki vektorski prostor nad C idimX = n, tada je X izomorfan13 sa Cn. Moºe se pokazati da je i home-omorfan. To zna£i da je topologija od Cn jedina vektorska topologija kojujedan n-dimenzionalni kompleksni topolo²ki vektorski prostor moºe imati.Takoer se moºe pokazati da su kona£nodimenzionalni potprostori komplek-snih topolo²kih vektorskih prostora uvijek zatvoreni. Sve to vrijedi i akoumjesto kompleksnih skalara uzmemo realne.

1.5 Metrizabilnost

Topologija τ na skupu X je metrizabilna ako postoji metrika d na X kojaje usklaena s τ . Tada kugle radijusa 1

n, gdje je n ∈ N, sa sredi²tem u x £ine

lokalnu bazu u x.

13Dakle, postoji bijektivno linearno preslikavanje sa X u C.

16

Teorem 1.5.1 (Teorem o metrizabilnosti) Neka je X topolo²ki vektor-ski prostor s prebrojivom lokalnom bazom. Tada postoji metrika d na X takvada:

(a) d je usklaena s topologijom τ na X,

(b) otvorene kugle u metrici d sa sredi²tem u 0 su balansirani skupovi,

(c) d je invarijantna metrika na X.

Ako je X lokalno konveksan tada se d moºe odabrati tako da vrijedi i:

(d) sve otvorene kugle su konveksni skupovi.

Dokaz:Na vjeºbama ste dokazali da svaki topolo²ki vektorski prostor ima balansi-ranu lokalnu bazu i da za svaku okolinu U od 0 postoji okolina V od 0 zakoju vrijedi V + V ⊆ U . Dakle, X ima prebrojivu balansiranu lokalnu bazuVn takvu da je

Vn+1 + Vn+1 ⊆ Vn, (1.2)

za n = 1, 2, 3, .... Ako je X lokalno konveksan, lokalna baza se moºe odabratitako da je svaki Vn i konveksan.

Neka je D skup svih

r =∞∑n=1

cn(r)2−n ∈ Q, (1.3)

gdje su cn(r) ∈ 0, 1, za svaki n, i samo kona£no mnogo vrijednosti cn(r) jejednako 1. Tada za svaki r ∈ D vrijedi 0 ≤ r < 1.

Denirajmo skup A(r) na sljede¢i na£in. A(r) = X, ako je r ≥ 1. Zasvaki r ∈ D deniramo

A(r) = c1(r)V1 + c2(r)V2 + .... (1.4)

Svaka od ovih suma je kona£na.Denirajmo funkciju f : X → Φ sa

f(x) = infr | x ∈ A(r), (1.5)

gdje je x ∈ X. Denirajmo metriku d : X ×X → Φ sa

d(x, y) = f(x− y), (1.6)

17

gdje su x, y ∈ X.Dokaz da d ima svojstva iz tvrdnji teorema slijedi iz inkluzije

A(r) + A(s) ⊆ A(r + s), (1.7)

gdje su r, s ∈ D, koju ¢emo dokazati indukcijom. Neka je PN tvrdnja:

Ako je r + s < 1 i cn(r) = cn(s) = 0, za sve n > N , tada vrijedi (1.7).

Dokaºimo da vrijedi P1. Imamo c1(r) = 1, c1(s) = 0 ili c1(r) = 0, c1(s) = 1ili c1(r) = c1(s) = 0 (mogu¢nost c1(r) = c1(s) = 1 otpada jer je tadar + s = 1). U prvom slu£aju je A(r) = V1, A(s) = 0, r = 1

2i s = 0 pa je

A(r) + A(s) = V1 = A(r) = A(r + s). Za ostale slu£ajeve moºemo provestianalogno razmatranje.

Pretpostavimo da vrijedi PN−1 za neki N > 1. Odaberimo proizvoljner, s ∈ D takve da je r+s < 1 i cn(r) = cn(s) = 0, za sve n > N . Denirajmor′ i s′ sa

r = r′ + cN(r)2−N , s = s′ + cN(s)2−N .

Dakle, za n ≤ N − 1 je cn(r) = cn(r′) i cn(s) = cn(s′) pa je

A(r) = A(r′) + cN(r)VN , A(s) = A(s′) + cN(s)VN .

Zbrojimo li prethodne dvije jednakosti, koriste¢i PN−1, dobivamo

A(r) + A(s) ⊆ A(r′ + s′) + cN(r)VN + cN(s)VN . (1.8)

Ako je cN(r) = cN(s) = 0, tada je r = r′ i s = s′ pa dobivamo (1.7). Ako jecN(r) = 0 i cN(s) = 1, tada je desna strana u (1.8) jednaka A(r′+ s′) +VN =A(r′ + s′) + A(2−N) = A(r′ + s′ + 2−N). Kako je r = r′ i s = s′ + 2−N , toje jednako A(r + s). Slu£aj cN(r) = 1 i cN(s) = 0 je analogan. Ako je pakcN(r) = cN(s) = 1, tada je desna strana u (1.8) jednaka A(r′+s′)+VN+VN ⊆A(r′+s′)+VN−1 = A(r′+s′)+A(2−N+1) ⊆ A(r′+s′+2−N+1) = A(r+s), gdjeposljednja inkluzija vrijedi zbog PN−1. Dakle, PN−1 povla£i PN pa vrijedi(1.7).

Pokaºimo sada kako tvrdnje teorema slijede iz (1.7). Kako svaki A(s)sadrºi 0, iz (1.7) slijedi

A(r) ⊆ A(r) + A(t− r) ⊆ A(r + t− r) = A(t), (1.9)

za r < t. Dakle, familija skupova A(r) | r ∈ D je totalno ureena relacijominkluzije.

Dokaºimo sada da vrijedi

f(x+ y) ≤ f(x) + f(y), (1.10)

18

za sve x, y ∈ X. Pretpostavimo da je desna srana u (1.10) < 1. Fiksirajmoε > 0. Tada postoje r, s ∈ D, takvi da je f(x) ≤ r < f(x) + ε

2, f(y) ≤ s <

f(y) + ε2, iz £ega zbrajanjem dobivamo

r + s < f(x) + f(y) + ε.

Kako x ∈ A(r), y ∈ A(s) i (1.7) povla£i x+ y ∈ A(r + s), sada slijedi (1.10)jer je

f(x+ y) ≤ r + s < f(x) + f(y) + ε

i ε je bio proizvoljan.Uvjerimo se da je d metrika. Zbog (1.10), vrijedi

d(x, z) = f(x− z) = f(x− y + y − z)

≤ f(x− y) + f(y − z) = d(x, y) + d(y, z).

Kako je svaki A(r) balansiran, imamo f(−x) = infr ∈ D | −x ∈ A(r) =infr ∈ D | x ∈ A(r) = f(x). Dakle,

d(x, y) = f(x− y) = f(−(x− y)) = d(y, x).

Zatim, f(0) = infr ∈ D | 0 ∈ A(r) = 0 pa je

d(x, x) = 0.

Ako je x 6= 0, kako je Vn balansirana lokalna baza u 0, to postoji Vn =A(2−n) = A(r) takav da x /∈ Vn. Dakle, f(x) ≥ r = 2−n > 0 pa je f(x) = 0ako i samo ako je x = 0. Dakle,

d(x, y) = f(x− y) = 0⇔ x = y.

Imamod(x, y) = f(x− y) ≥ 0.

Zaklju£ujemo da je d metrika. Osim toga, d je invarijantna metrika jer je

d(x+ z, y + z) = f(x+ z − (y + z)) = f(x− y)

= d(x, y).

Otvorene kugle sa sredi²tem u 0 su otvoreni skupovi

Bδ(0) = x ∈ X | d(x, 0) < δ = x ∈ X | f(x) < δ=

⋃r<δ

A(r).

19

Za svakii n ∈ N postoji δ > 0 takav da je δ < 2−n pa je A(r) ⊆ A(δ) ⊆A(2−n) = Vn, a onda je i Bδ(0) ⊆ Vn. Dakle, Bδ(0) je lokalna bazatopologije na X. Topologije generirane bazom B = Vn | n ∈ N i B′ =Bδ(0) | δ > 0 su jednake pa smo dokazali (a).

Kako je svaki A(r) balansiran, to je i svaki Bδ(0) balansiran pa smodokazali (b).

Ako je svaki Vn konveksan, to je i svaki A(r) pa iz (1.9) slijedi da to vrijedii za svaki Bδ(0) pa dakle i za svaki njegov translat. Time smo dokazali (d).

1.5.1 Cauchyjevi nizovi

Neka je d metrika na skupu X. Niz xn u X je Cauchyev niz ako za svakiε > 0 postoji N ∈ N takav da je

d(xm, xn) < ε

za svaki m,n > N . Ako svaki Cauchyev niz u X konvergira14 ka to£ki iz X,kaºemo da je d potpuna metrika na X.

Neka je τ topologija topolo²kog vektorskog prostora X. Cauchyev nizmoºemo denirati i bez pozivanja na metriku. Fiksiramo lokalnu bazu B zaτ . Za niz xn u X kaºemo da je Cauchyev niz ako za svaki V ∈ B postojiN ∈ N takav da je

xn − xm ∈ Vza svaki m,n > N .

Pretpostavimo sada da je X topolo²ki vektorski prostor £ija je topologijaτ usklaena sa invarijantnom metrikom d. Nazovimo prethodno uvedenadva koncepta d-Cauchyevi nizovi i τ -Cauchyevi nizovi, redom. Kako jed invarijantna metrika, vrijedi

d(xn, xm) = d(xn − xm, xm − xm) = d(xn − xm, 0)

i kako su d-otvorene kugle sa sredi²tem u 0 (kugle iz skupa Br(0) | r > 0)lokalna baza za τ , zaklju£ujemo:

Niz xn u X je d-Cauchyev niz ako i samo ako je xn τ -Cauchyev niz.

Svake dvije invarijantne metrike na X, koje su usklaene sa istom topolo-gijom τ , imaju istu familiju Cauchyevih nizova i istu familiju konvergentnihnizova. Time je dokazan sljede¢i teorem.

14Niz xn u topolo²kom prostoru X konvergira ka to£ki x0 ∈ X ako za svaku okolinuO to£ke x0 postoji N ∈ N takav da je xn ∈ O za svaki n ≥ N .

20

Teorem 1.5.2 Neka su d1 i d2 invarijantne metrike na istom vektorskomprostoru X, koje induciraju istu topologiju na X, tada:

(a) d1 i d2 imaju iste familije Cauchyevih nizova,

(b) d1 je potpuna ako i samo ako je d2 potpuna metrika.

Topolo²ki vektorski prostor X nazivamo15 F -prostor ako je njegova to-pologija τ inducirana potpunom invarijantnom metrikom d, a Fréchetovprostor ako je X lokalno konveksan F -prostor. Prostor H(Ω) je beskona£nodimenzionalan Fréchetov prostor sa Haine-Borelovim svojstvom.

Sljede¢e su tvrdnje ponekad korisne.

Teorem 1.5.3 (a) Neka je d invarijantna metrika na vektorskom prostoruX. Tada vrijedi

d(nx, 0) ≤ nd(x, 0),

za svaki x ∈ X i za n = 1, 2, ....

(b) Neka je xn niz u metrizabilnom topolo²kom vektorskom prostoru X.Ako xn → 0 kada n → ∞, tada postoji niz γn pozitivnih skalara,takav da γn →∞ i γnxn → 0 kada n→∞.

Dokaz:Koriste¢i nejednakost trokuta, dobivamo

d(nx, 0) ≤ d(nx, (n− 1)x) + d((n− 1)x, 0)

≤ d(nx, (n− 1)x) + d((n− 1)x, (n− 2)x) + ...+ d(x, 0) =n∑k=1

d(kx, (k − 1)x).

Kako je d invarijantna metrika, to za svaki k vrijedi d(kx, (k−1)x) = d(kx−(k − 1)x, (k − 1)x− (k − 1)x) = d(x, 0). Sada je

d(nx, 0) ≤n∑k=1

d(x, 0) = nd(x, 0).

Time smo dokazali tvrdnju (a).Neka je d invarijantna metrika usklaena s topologijom na X. Kako

xn → 0, to d(xn, 0)→ 0 pa postoji rastu¢i niz nk prirodnih brojeva takavda je d(xn, 0) < 1

k2za n ≥ nk. Deniramo sada niz γn, tako da je γn = 1

15Napomenimo da je ova terminologija u literaturi kori²tena i u ne²to druga£ijem smislu.

21

za n < n1, a γn = k za nk ≤ n < nk+1. Za takav n, kori²tenjem tvrdnje (a),dobivamo

d(γnxn, 0) = d(kxn, 0) ≤ kd(xn, 0) < k · 1

k2=

1

k.

Dakle, γnxn → 0 kada n→∞ pa smo dokazali tvrdnju (b).

1.6 Omeenost i neprekidnost

1.6.1 Omeeni skupovi

Omeen skup u topolo²kom vektorskom prostoru X denirali smo ranije.Moºe se pokazati (vjeºbe) da su kompaktni skupovi omeeni. Kada je Xmetrizabilan, postoji jo² jedna defnicija omeenosti. Ako je d metrika naskupu X, kaºemo da je skup E ⊆ X d-omeen (omeen u metrici d) akopostoji M (0 < M <∞) takav da je d(x, y) ≤M , za sve x, y ∈ E.

Ako je X topolo²ki vektorski prostor, £ija je topologija usklaena s me-trikom d, omeeni skupovi i d-omeeni skupovi ne moraju biti isti, £ak i akoje d invarijantna metrika. Na primjer, ako je d metrika denirana kao u To-eremu 1.5.1, tada je X d-omeen (iM = 1), ali niti jedan topolo²ki vektorskiprostor ne moºe biti omeen, osim trivijalnog (X = 0). Ako je X normiranprostor i d metrika inducirana normom, tada se dvije denicije omeenostipodudaraju. Ako pak d zamijenimo s d1 = d

1+d, ²to je invarijantna metrika

koja inducira istu topologiju, denicije se ne podudaraju.Dokaºimo tvrdnju:

Cauchyevi nizovi su omeeni16.

Dakle17, konvergentni nizovi su omeeni. Neka je xn Cauchyev niz u X.Postoje balansirane okoline V i W od 0, takve da je V + V ⊆ W . Kako jeniz xn Cauchyev, to za V postoji N ∈ N takav da je xn ∈ xN +V , za svakin ≥ N . Uzmimo s > 1 takav da je xN ∈ sV (to moºemo jer je jedno£laniskup uvijek omeen). Tada vrijedi

xn ∈ sV + V ⊆ sV + sV ⊆ sW,

(prva inkluzija vrijedi jer je V balansiran) za svaki n ≥ N . Skup x1, ..., xN−1je kona£an pa je omeen, odnosno postoji t > 0, takav da je x1, ..., xN−1 ⊆

16Za niz realnih brojeva an kaºemo da je omeen ako postoji M > 0 takav da zasve n ∈ N vrijedi |an| ≤ M . Niz xn u topolo²kom prostoru je omeen ako je xn ∈ E,gdje je E omeen skup, za svaki n ∈ N.

17U topolo²kom je prostoru svaki konvergentan niz Cauchyev.

22

tW . Neka je r := maxt, s. Tada je xn ∈ rW , za svaki n ∈ N. Dakle, nizxn je omeen.

Moºe se pokazati da je zatvara£ omeenog skupa omeen (vjeºbe).S druge strane, ako je x 6= 0 i E = nx | n = 1, 2, ..., tada skup E nije

omeen. Naime, postoji okolina V od 0 koja ne sadrºi x pa nx /∈ nV . Dakle,E * nV , za svaki n > 0, pa E nije omeen. Posljedica toga je da niti jedanpotprostor od X, osim 0, nije omeen.

Naredni teorem karakterizira omeenost pomo¢u nizova.

Teorem 1.6.1 Sljede¢a dva svojstva skupa E u topolo²kom vektorskom pros-toru su ekvivalentna:

(a) E je omeen.

(b) Ako je xn niz u E i αn je niz skalara takav da αn → 0 kada n→∞,tada αnxn → 0 kada n→∞.

Dokaz:Neka je xn proizvoljan niz u E.

Neka je E omeen. Neka je V balansirana okolina od 0 u X. Tada postojis > 0 takav da za svaki t > s vrijedi E ⊆ tV . Ako je αn niz skalara takavda αn → 0, tada postoji N ∈ N takav da je |αn| < 1

tza svaki n > N . Sada je

|αn|xn ∈ V . Kako je V je balansiran, slijedi da je αnxn ∈ V za svaki n > N .Dakle, αnxn → 0.

Dokaºimo sada obrat. Ako E nije omeen, tada postoji okolina V od 0i niz skalara rn → ∞, takav da E * rnV za svaki n. Odaberimo po jedanxn ∈ E, takav da xn /∈ rnV . Tada 1

rn→ 0 i 1

rnxn /∈ V pa 1

rnxn 9 0. Dakle,

dobili smo kontradikciju pa slijedi da je E omeen.

1.6.2 Omeeni linearni operatori

Neka su X i Y toplo²ki vektorski prostori i Λ : X → Y linearni operator.Kaºemo da je Λ omeen, ako preslikava omeene skupove u omeene sku-pove, odnosno ako je za svaki omeen skup E ⊆ X i Λ(E) ⊆ Y omeen uY . Ova se denicija ne poklapa s uobi£ajenom denicijom omeene funkcije(prema kojoj je funkcija omeena ako je njezin rang omeen skup).

Teorem 1.6.2 Neka su X i Y toplo²ki vektorski prostori i Λ : X → Ylinearni operator. Meu naredna £etiri svojstva od Λ vrijede implikacije

(a)⇒ (b)⇒ (c).

23

Ako je X metrizabilan, tada vrijedi i

(c)⇒ (d)⇒ (a),

odnosno sva su £etiri svojstva ekvivalentna.

(a) Λ je neprekidan.

(b) Λ je omeen.

(c) Ako xn → 0, tada je skup Λ(xn) | n = 1, 2, ... omeen.

(d) Ako xn → 0, tada Λ(xn)→ 0.

Dokaz:Pretpostavimo da vrijedi (a). Neka je E omeen skup u X. Neka je Wokolina od 0 u Y . Kako je Λ neprekidan i linearan (Λ(0) = 0), postoji V ,okolina od 0 u X, takva da je Λ(V ) ⊆ W . Kako je E omeen, to postojis > 0 takav da je E ⊆ tV , za svaki t > s. Dakle,

Λ(E) ⊆ Λ(tV ) = tΛ(V ) ⊆ tW

pa je Λ(E) omeen skup u Y , odnosno vrijedi (b).Neka vrijedi (b) i neka xn → 0. Kako su konvergentni nizovi omeeni,

slijedi da je xn omeen. Sada iz (b) slijedi da je skup Λ(xn) | n = 1, 2, ...omeen u Y . Dakle, slijedi (c).

Pretpostavimo sada da je X metrizabilan. Neka vrijedi (c). PremaTeoremu 1.5.3, postoji niz γn pozitivnih skalara, takav da γn → ∞ iγnxn → 0. Dakle, i skup Λ(γnxn) je omeen skup u Y , prema (c). PremaTeoremu 1.6.1, imamo

Λ(xn) = γ−1n Λ(γnxn)→ 0

kada n→∞. Dakle, vrijedi (d).Pretpostavimo suprotno, da ne vrijedi (a), odnosno da Λ nije neprekidan.

Tada, postoji okolina W od 0 u Y takva da ne postoji okolina V od 0 u Xtakva da je Λ(V ) ⊆ W , odnosno Λ−1(W ) ne sadrºi niti jednu okolinu od 0 uX. Kako je X metrizabilan, ima prebrojivu lokalnu bazu Vn. Prema Te-oremu 1.5.1, postoji niz xn takav da je xn ∈ Vn i xn → 0. No, Λ(xn) /∈ W ,²to je u kontradikciji s (d). Dakle, vrijedi (a).

24

1.7 Polunorme i lokalna konveksnost

Polunorma na vektorskom prostoru X je funkcija p : X → R, koja zadovo-ljava uvjete:

(a) p(x+ y) ≤ p(x) + p(y),

(b) p(αx) = |α|p(x),

za sve x, y ∈ X i za svaki α ∈ Φ. Svojstvo (a) nazivamo subaditivnost.Naredni teorem pokazat ¢e da je polunorma norma ako vrijedi jo² i uvjet:

(c) p(x) 6= 0 za x 6= 0.

Familiju P polunormi na X nazivamo separiraju¢om ako za svaki x 6= 0postoji barem jedan p ∈ P takav da je p(x) 6= 0.

Promotrimo konveksan skup A ⊆ X, koji je apsorbiraju¢i18, u smisluda za svaki x ∈ X postoji t = t(x) > 0 takav da je x ∈ tA. FunkcionalMinkovskog µA od A deniramo sa

µA(x) = inft > 0 | t−1x ∈ A,

gdje je x ∈ X. Primijetimo da je µA(x) <∞ za svaki x ∈ X, jer je A apsorbi-raju¢i. U nastavku ¢emo pokazati da su polunorme na X upravo funkcionaliMinkovskog na balansiranim konveksnim apsorbiraju¢im skupovima.

Polunorme su usko povezane s lokalnom konveksno²¢u na dva na£ina. Usvakom lokalno konveksnom prostoru postoji separiraju¢a familija neprekid-nih polunormi. Obratno, ako je P separiraju¢a familija polunormi na vek-torskom prostoru X, tada se pomo¢u P moºe denirati lokalno konveksnatopologija na X sa svojstvom da je svaka polunorma p ∈ P neprekidna. Toje £esto kori²teni na£in uvoenja topologije (detalji ¢e biti dani u narednimteoremima).

Teorem 1.7.1 Neka je p polunorma na vektorskom prostoru X. Tada vri-jedi:

(a) p(0) = 0,

(b) |p(x)− p(y)| ≤ p(x− y),

(c) p(x) ≥ 0,

(d) x ∈ X | p(x) = 0 je potprostor od X,

18Moºe se pokazati da je svaka okolina od 0 u topolo²kom vektorskom prostoru apsor-biraju¢a. Svaki apsorbiraju¢i skup sadrºi 0.

25

(e) skup B = x ∈ X | p(x) < 1 je konveksan, balansiran, apsorbiraju¢i ivrijedi p = µB.

Dokaz:Tvrdnja (a) slijedi iz p(αx) = |α|p(x) za α = 0.

Koriste¢i subaditivnost, dobivamo p(x) = p(x− y+ y) ≤ p(x− y) + p(y).Dakle,

p(x)− p(y) ≤ p(x− y).

Zamijenimo li x i y, dobivamo

p(y)− p(x) ≤ p(y − x).

Kako je p(y − x) = | − 1|p(x− y) = p(x− y), slijedi (b).Uvrstimo li u (b) y = 0, koriste¢i (a), dobivamo 0 ≤ |p(x)| ≤ p(x). Dakle,

vrijedi (c).Neka su x, y ∈ x ∈ X | p(x) = 0 i α, β ∈ Φ. Tada je αx + βy ∈ X.

Koriste¢i (c), dobivamo

0 ≤ p(αx+ βy) ≤ |α|p(x) + |β|p(y) = 0

pa je p(αx + βy) = 0, odnosno αx + βy ∈ x ∈ X | p(x) = 0, £ime smodokazali (d).

Dokaºimo da je skup B konveksan. Neka su x, y ∈ B i 0 ≤ α ≤ 1. Vrijedip(αx+(1−α)y) ≤ |α|p(x)+|1−α|p(y) = αp(x)+(1−α)p(y) < α+1−α = 1.Dakle, αx+ (1− α)y ∈ B.

Dokaºimo zatim da je B balansiran. Neka je α ∈ Φ, takav da je |α| ≤ 1.Za y ∈ αB, postoji x ∈ B takav da je y = αx. Sada je p(y) = p(αx) =|α|p(x) ≤ 1 · p(x) < 1 pa je y ∈ B. Dakle, αB ⊆ B, za |α| ≤ 1.

Dokaºimo jo² da je B apsorbiraju¢i. Ako je x ∈ X i s > p(x), tada jep(s−1x) = |s−1|p(x) = 1

sp(x) < 1. Dakle, s−1x ∈ B pa je B apsorbiraju¢i.

Pokaºimo jo² i da je p = µB. Imamo najprije µB(x) = inft > 0 | t−1x ∈B. Kako je inft > 0 | t−1x ∈ B = inft > 0 | t−1p(x) < 1 = inft > 0 |p(x) < t, vrijedi µB(x) ≤ p(x). Ali, ako je 0 < t ≤ p(x), tada je p(t−1x) ≥ 1pa t−1x /∈ B pa je p(x) ≤ µB(x). Dakle, p(x) = µB(x).

Teorem 1.7.2 Neka je A konveksni apsorbiraju¢i skup u vektorskom pros-toru X. Tada vrijedi:

(a) µA(x+ y) ≤ µA(x) + µA(y).

(b) µA(tx) = tµA(x), ako je t ≥ 0.

26

(c) µA je polunorma ako je A balansiran skup.

(d) Ako je B = x ∈ X | µA(x) < 1 i C = x ∈ X | µA(x) ≤ 1, tada jeB ⊆ A ⊆ C i µB = µA = µC.

Dokaz:Pridruºimo svakom x ∈ X skup

HA(x) = t > 0 | t−1x ∈ A ⊆ R.

Ako je t ∈ HA(x) i s > t, tada je i s ∈ HA(x) (jer je 0 ∈ A (jer je Aapsorbiraju¢i) i A je konveksan). Svaki HA(x) je polupravac, £ija je lijevakrajnja to£ka µA(x).

Neka je µA(x) < s, µA(y) < t i u = s + t. Tada je s−1x ∈ A i t−1y ∈ A.Kako je A konveksan i s

u+ t

u= 1, to je

u−1(x+ y) =1

u· x+

1

u· y =

s

u· s−1x+

t

u· t−1y ∈ A.

Dakle, µA(x+ y) ≤ u pa vrijedi (a).Vrijedi µA(tx) = infλ > 0 | λ−1(tx) ∈ A = infλ > 0 | (λ

t)−1x ∈ A =

infλ′t > 0 | (λ′)−1x ∈ A = t infλ′ > 0 | (λ′)−1x ∈ A = tµA(x). Dakle,vrijedi (b).

Neka je A balansiran skup. Dokaºimo da je µA polunorma. Vrijede (a)i (b). Jo² treba provjeriti da li je µA(tx) = |t|µA(x), ako je t < 0. Kako jeA balansiran, slijedi da je A simetri£an, odnosno da ako je y ∈ A tada je i−y ∈ A. Sada je µA(tx) = infλ > 0 | λ−1tx ∈ A = infλ > 0 | −λ−1tx ∈A = −t infλ′ > 0 | (λ′)−1x ∈ A = −tµA(x) = |t|µA(x).

Dokaºimo jo² da vrijedi (d). Ako je x ∈ B, tada je µA(x) < 1 pa je1 ∈ HA(x). Dakle, x ∈ A pa je µA(x) ≤ 1, a onda je i x ∈ C pa imamoB ⊆ A ⊆ C. Iz toga slijedi da je HB(x) ⊆ HA(x) ⊆ HC(x), za svaki x ∈ X,pa je

µC(x) ≤ µA(x) ≤ µB(x).

Kako bismo dokazali da vrijedi jednakost, pretpostavimo da je µC(x) < s < t.Tada je s−1x ∈ C pa je µA(s−1x) ≤ 1. Sada je

µA(t−1x) ≤ s

t< 1.

Dakle, t−1x ∈ B pa je µB(t−1x) < 1, a time i µB(x) ≤ t. Dakle, µC(x) ≥µA(x) ≥ µB(x) pa vrijedi traºena jednakost.

27

Teorem 1.7.3 Neka je B konveksna balansirana lokalna baza topolo²kog vek-torskog prostora X. Svakom V ∈ B pridruºimo funkcional Minkovskog µV .Tada je familija µV | V ∈ B separiraju¢a familija neprekidnih polunormina X.

Dokaz:Kako je V konveksan, balansiran i apsorbiraju¢i (sadrºi 0), slijedi da je µVpolunorma. Ako je x ∈ X i x 6= 0, tada postoji V ∈ B takav da x /∈ V . Zataj V imamo µV (x) ≥ 1 pa je µV separiraju¢a familija.

Dokaºimo sada da je, za svaki V , µV neprekidan. Ako je x ∈ V , tada jei tx ∈ V za neki t > 1, jer je V otvoren skup. Dakle, µV (x) < 1 za svakix ∈ V . Ako je r > 0, iz Teorema 1.7.1 slijedi da je

|µV (x)− µV (y)| ≤ µV (x− y) < r,

za x − y ∈ rV . Kako je za svaki V , koji je okolina od 0 u X, rV takoerokolina od 0 u X, zaklju£ujemo da je µV : X → R neprekidna funkcija.Preciznije, funkcional Minkovskog je uniformno neprekidan funkcional.

Teorem 1.7.4 Neka je P separiraju¢a familija polunormi na vektorskomprostoru X. Svakom p ∈ P i svakom n ∈ N pridruºimo skup

V (p, n) = x ∈ X | p(x) <1

n.

Neka je B skup svih kona£nih presjeka skupova V (p, n). Tada je B konveksnabalansirana lokalna baza topologije τ na X, £ime X postaje lokalno konveksanprostor, takav da vrijedi:

(a) svaka polunorma p ∈ P je neprekidna u toj topologiji,

(b) skup E ⊆ X je omeen ako i samo ako je svaka polunorma p ∈ P

omeena na E.

Dokaz:Denirajmo, A ⊆ X je otvoren ako i samo je A (mogu¢e prazna) unija trans-lata elemenata od B. Time je denirana translacijski invarijantna topologijaτ na X. Svaki skup V (p, n) je konveksan i balansiran pa je B konveksna ibalansirana lokalna baza za τ .

Neka je x ∈ X, x 6= 0. Kako je P separiraju¢a familija, to postoji p ∈ P

takav da je p(x) > 0. Za np(x) > 1 imamo p(x) > 1npa x /∈ V (p, n). Skup

V (p, n) je otvorena okolina od 0 pa je x−V (p, n) okolina od x koja ne sadrºi

28

0. Dakle, x nije element zatvara£a od 0. Slijedi da je 0 zatvoren skup.Kako je τ translacijski invarijantna topologija, zaklju£ujemo da je svaka to£kaiz X zatvoren skup.

Sada dokazujemo da su zbrajanje i mnoºenje skalarom neprekidni. Nekaje U okolina od 0 u X. Tada je

U ⊃ V (p1, n1) ∩ · · · ∩ V (pm, nm), (1.11)

za neke p1, ..., pm ∈ P i n1, ..., nm ∈ N. Stavimo V = V (p1, 2n1) ∩ · · · ∩V (pm, 2nm). Svaka polunorma p ∈ P je subaditivna pa ako su x, y ∈ V tadaje pi(x) < 1

2nii pi(y) < 1

2nite je pi(x + y) ≤ pi(x) + pi(y) < 1

2ni+ 1

2ni= 1

ni,

odnosno x + y ∈ U . Dakle, V + V ⊆ U , ²to dokazuje da je zbrajanjeneprekidno.

Neka je x ∈ X, α ∈ Φ, a U, V okoline od 0 denirane kao gore. Kako jeskup x omeen, to je x ⊆ sV , za neki s > 0. Stavimo t = s

1+|α|s . Ako je

y ∈ x+ tV i |β − α| < 1s, tada je

βy − αx = β(y − x) + (β − α)x ∈ |β|tV + |β − α|sV ⊆ V + V ⊆ U,

jer je |β|t ≤ 1 i V je balansiran. Dakle, ako je y element okoline od x, tada jeβy element okoline od αx, za svaki β za koji je |β − α| < 1

s, ²to dokazuje da

je mnoºenje skalarom neprekidno. Dokazali smo da je X lokalno konveksanprostor.

Dokaºimo (a). Ako je x ∈ V (p, n), tada je p(x) < 1npa je p neprekidna

u 0. Za x − y ∈ V (p, n), |p(x) − p(y)| ≤ p(x − y) < 1npa je p uniformno

neprekidna.Dokaºimo (b). Neka je E ⊆ X omeen. Fiksirajmo p ∈ P. Kako je

V (p, 1) okolina od 0, E ⊆ kV (p, 1) za neki k <∞. Dakle, p(x) < k, za svakix ∈ E pa je svaki p ∈ P omeen na E.

Obratno, neka je svaka polunorma p ∈ P omeena na E. Neka je Uokolina od 0 u X za koju vrijedi (1.11). Postoje brojevi Mi < ∞ takvi daje pi(x) < Mi, za svaki x ∈ E. Ako je n > Mini, za i = 1, ...,m, tada jeE ⊆ nU pa je E omeen.

Napomene:U Teoremu 1.7.4 bilo je nuºno uzeti kona£ne presjeke skupova V (p, n), samiskupovi V (p, n) ne moraju formirati lokalnu bazu. Na primjer, ako jeX = R2

i P = p1, p2, gdje su polunorme denirane sa pi(x) = |xi|, za i = 1, 2 (ovdjeje x = (x1, x2)).

Ako je B konveksna balansirana lokalna baza topologije τ na lokalnokonveksnom prostoru X, tada B generira separiraju¢u familiju P neprekidnihpolunormi na X, kao u Teoremu 1.7.3. Familija P inducira topologiju τ1 na

29

X, kao ²to je opisano u Teoremu 1.7.4. Pitamo se da li je τ = τ1. Odgovorje da. Obrazloºimo. Svaki p ∈ P je τ -neprekidan pa su skupovi V (p, n) ∈ τ .Dakle, τ1 ⊆ τ . Obratno, ako je W ∈ B i p = µW , tada je W = x ∈ X |µW (x) < 1 = V (p, 1). Dakle, W ∈ τ1 za svaki W ∈ B, ²to povla£i da jeτ ⊆ τ1.

Neka je P = pi | i = 1, 2, ... prebrojiva separiraju¢a familija polunormina X. Iz Teorema 1.7.4 slijedi da P inducira topologiju τ s prebrojivom lo-kalnom bazom B (skupova V (p, n) ima prebrojivo mnogo pa time i njihovihpresjeka). Prema Teoremu 1.5.1, τ je metrizabilna (odnosno takav prostor jemetrizabilan). Translacijski invarijantna metrika usklaena s tom topologi-jom moºe se denirati sa

d(x, y) =∞∑i=1

2−ipi(x− y)

1 + pi(x− y).

Pokaºite da je d metrika. Primijetimo da je ovdje d(x, y) ≤∑∞

i=112i

pa seradi o redu koji konvergira ka 1. Kako bismo pokazali da je d usklaena s τ ,pokazat ¢emo da otvorene kugle

Br(0) = x ∈ X | d(0, x) < r,

gdje je r > 0 £ine lokalnu bazu topologije τ . Neka je W ∈ τ okolina od 0 u

X. Tada je W ⊃ ∩ki=1V (pi, ni). Ako je x ∈ Br(0), tada je 2−ipi(x)1+pi(x)

< r, zai = 1, 2, 3, .... Za dovoljno mali r, iz prethodne nejednakosti dobivamo da sup1(x), ..., pk(x) tako mali da Br(0) leºi u svakom od skupova V (pi, ni). Dakle,Br(0) ⊂ W pa otvorene kugle Br(0) £ine lokalnu bazu. Time smo dokazalida je d usklaena s τ .

Teorem 1.7.5 Topolo²ki vektorski prostor X je normabilan ako i samo akonjegovo isodi²te (odnosno 0 u X) ima ima konveksnu omeenu okolinu.

Dokaz:Neka je X normabilan. Tada postoji norma ‖ · ‖ : X → R, takva daje usklaena s topologijom τ na X. Promotrimo otvorene jedini£ne kugleB1(0) = x ∈ X | ‖x‖ < 1. Uvjerite se da se radi o konveksnim skupovima.Radi se i o omeenim skupovima, jer za svaku okolinu V od 0 u X, postojikugla Br(0) koja je sadrºana u V . Zatim je tV ⊇ tBr(0) ⊇ B1(0), za tr > 1.

Obratno, neka je V konveksna omeena okolina 0. Na vjeºbama ste do-kazali da svaka konveksna okolina od 0 sadrºi balansiranu konveksnu okolinuod 0. Dakle, V sadrºi konveksnu balansiranu okolinu U od 0. Naravno, U jei omeen skup. Denirajmo preslikavanje na X sa

‖x‖ = µU(x).

30

Na vjeºbama ste dokazali da za omeen skup U , skupovi rU , gdje je r > 0,£ine lokalnu bazu neke topologije naX. Ako je x 6= 0 tada postoji r > 0 takavda x /∈ rU . Dakle, µU(x) ≥ r. Prema Teoremu 1.7.2, µU je norma. Denicijafunkcionala Minkovskog, zajedno s £injenicom da je U otvoren skup, povla£ida je

x ∈ X | ‖x‖ < r = rU,

za svaki r > 0. Dakle, topologija inducirana ovako deniranom normom po-dudara se s ranije spomenutom topologijom na X.

1.8 Kvocijentni prostor i kvocijentna topologija

Neka je N potprostor vektorskog prostora X. Za svaki x ∈ X deniramoskup koji sadrºi x

π(x) = x+N.

Ti su skupovi elementi vektorskog prostora X/N , koji nazivamo kvocijentniprostor odX modulo N . U tom su prostoru zbrajanje i mnoºenje skalaromdenirani sa

π(x) + π(y) = π(x+ y), (1.12)

απ(x) = π(αx), (1.13)

za x, y ∈ X, α ∈ Φ. Ovdje je π(x)+π(y) = x+N+y+N , ²to je zbog toga ²toje N vektorski prostor jednako x+y+N . Zatim, απ(x) = αx+αN = αx+N .Za α = 0, imamo απ(x) = N , ²to je druga£ije od uobi£ajene denicijeskalarnog mnoºenja.

Kako je N vektorski prostor, operacije (1.12) i (1.13) su dobro denirane.To zna£i da ako je π(x) = π(x′) (²to zna£i da je x− x′ ∈ N) i π(y) = π(y′),tada je

π(x) + π(y) = π(x′) + π(y′),

απ(x′) = απ(x).

Nula u X/N je π(0) = N . Iz (1.12) i (1.13) vidimo da je π linearnopreslikavanje sa X na X/N , £iji je null prostor N . Obi£no π nazivamo kvo-cijentno preslikavanje sa X na X/N .

Neka je τ vektorska topologija na X i N zatvoreni potprostor od X. Tadamoºemo denirati toplogiju τN na X/N sa

τN = E ⊆ X/N | π−1(E) ∈ τ.

31

Takvu topologiju τN nazivamo kvocijentna topologija. Neka njezina svoj-stva dana su narednim teoremom, kojeg ne¢emo dokazivati.

Teorem 1.8.1 Neka je N zatvoreni podprostor topolo²kog vektorskog pros-tora X. Neka je τ vektorska topologija na X i τN = E ⊆ X/N | π−1(E) ∈τ. Tada vrijedi:

(a) τN je vektorska toplologija na X/N . Kvocijentno preslikavanje π : X →X/N je linearno, neprekidno i otvoreno19.

(b) Ako je B lokalna baza za τ , tada je familija BN = π(V ) | V ∈ Blokalna baza za topologiju τN .

(c) Sva naredna svojstva X/N nasljeuje od X: lokalna konveksnost, lo-kalna omeenost, metrizabilnost, normabilnost.

(d) Ako je X F-prostor ili Fréchetov prostor ili Banachov prostor, tada jeto i X/N .

19Otvoreno preslikavanje je ono koje otvorene skupove preslikava u otvorene skupove.

32

Poglavlje 2

Potpunost

2.1 Baireov teorem

Mnogi vaºni teoremi funkcionalne analize ovise o potpunosti sustava kojimase bave. U ovom ¢emo odjeljku iznijeti Baireov teorem o potpunim metri£kimprostorima.

Opi²imo najprije terminologiju koju je uveo Baire. Neka je S topolo²kiprostor. Kaºemo da je skup E ⊆ S nigdje gust (koristi se jo² i nazivmr²av)ako je unutra²njost zatvara£a E prazan skup, odnosno (E) = ∅. Skupoviprve kategorije u S su oni koji su prebrojive unije nigdje gustih skupova.Za svaki podskup od S koji nije prve kategorije kaºemo da je skup drugekategorije u S.

Navedimo neka (o£igledna) svojstva kategorija, koja ¢emo koristiti u nas-tavku.

(a) Ako je A ⊆ B i B je prve kategorije u S, tada je i A prve kategorije uS.

(b) Svaka prebrojiva unija skupova prve kategorije je skup prve kategorije.

(c) Svaki zatvoreni skup E ⊆ S, £ija je unutra²njost prazan skup, je skupprve kategorije u S.

(d) Ako je h : S → S homeomorzam i E ⊆ S, tada E i h(E) imaju istukategoriju u S.

Teorem 2.1.1 (Baireov teorem) Ako je S

(a) potpun metri£ki prostor ili

(b) lokalno kompaktan Hausdorov prostor,

33

tada je presjek svake prebrojive familije gustih otvorenih skupova u S gustskup u S.

Prije dokaza napomenimo da se ovaj teorem obi£no naziva i teorem ka-tegorije. Pojasnimo za²to. Ako je Ei prebrojiva familija nigdje gustih

skupova u S i ako je Vi = EiC, tada je svaki Vi gust i prema Baireovom

teoremu vrijedi⋂Vi 6= ∅. Dakle, S 6=

⋃Ei, odnosno S nije unija prebrojivo

mnogo nigdje gustih skupova. Dakle, potpuni metri£ki prostori, kao i lokalnokompaktni Hausdorovi prostori su druge kategorije.

Dokaz Baireovog toerema:Neka su V1, V2, ... gusti otvoreni skupovi u S. Neka je B0 proizvoljan neprazanotvoren skup u S, odnosno B0 ⊆ τS. Ako za n ≥ 1 odaberemo otvoren skupBn−1 6= ∅, tada (zbog toga ²to je Vn gust pa je Vn∩Bn−1 6= ∅) postoji otvoreniskup Bn 6= ∅ takav da je

Bn ⊆ Vn ∩Bn−1.

U slu£aju (a) za Bn moºemo uzeti otvorene kugle radijusa 1n. U slu£aju (b)

moºemo skup Bn odabrati tako da je Bn kompaktan skup (²to je mogu¢e1 ulokalno kompaktnom Hausdorovom prostoru). Stavimo

K =∞⋂n=1

Bn.

U slu£aju (a) sredi²ta kugli Bn £ine Cauchyev niz koji (budu¢i da je Spotpun prostor) konvergira ka nekoj to£ki iz K. Dakle, K 6= ∅.

U slu£aju (b) K 6= ∅ zbog kompaktnosti2 od Bn i £injenice da svaki silazniniz nepraznih podskupova topolo²kog prostora ima svojstvo da je presjeksvakog kona£nog broja £lanova tog niza neprazan.

Sada imamo

K =∞⋂n=1

Bn ⊆∞⋂n=1

(Vn ∩Bn−1).

1Koristimo lemu: Neka je X lokalno kompaktan Hausdorov prostor, K ⊆ X kompak-tan skup i U ⊆ X otvoren skup takav da je K ⊆ U . Tada postoji otvoreni skup V ⊆ Xsa kompaktnim zatvara£em V takvim da je

K ⊆ V ⊆ V ⊆ U.

2Ovdje koristimu lemu: Neka je X Hausdorov prostor i neka je Kα | α ∈ A familijakompaktnih podskupova od X. Ako je

⋂α∈AKα = ∅, tada postoji kona£an skup F ⊆ A

takav da je⋂α∈F Kα = ∅.

34

Kako je⋂∞n=1Bn ⊆

⋂∞n=1 Bn ⊆ B0, imamo

∅ 6= K ⊆ (∞⋂n=1

Vn)⋂

B0,

£ime smo dokazali da je⋂∞n=1 Vn gust skup u S.

2.2 Banach-Steinhausov teorem

Neka su X i Y topolo²ki vektorski prostori i neka je Γ familija linearnihoperatora

Γ = Λ : X → Y | Λ je linearan operator.Kaºemo da je familija Γ ekvineprekidna ako za svaku okolinu W od 0 u Ypostoji okolina V od 0 u X takva da je Λ(V ) ⊆ W , za svaki Λ ∈ Γ. Ako Γsadrºi samo jedan Λ, radi se o "obi£noj" neprekidnosti.

Dokazali smo (Teorem 1.6.2) da su neprekidni linearni operatori ome-eni. Ekvineprekidne familije imaju svojstvo omeenosti u smislu narednogteorema. Tu moºemo govoriti o uniformnoj omeenosti.

Teorem 2.2.1 Neka su X i Y topolo²ki vektorski prostori i Γ ekvineprekidnafamilija linearnih operatora sa X u Y . Neka je E omeen skup u X. Tadapostoji omeeni skup F u Y takav da je Λ(E) ⊆ F , za svaki Λ ∈ Γ.

Dokaz:Stavimo F =

⋃Λ∈Γ Λ(E). Neka je W okolina od 0 u Y . Kako je Γ ekvinepre-

kidna familija, postoji okolina V od 0 u X takva da je Λ(V ) ⊆ W , za svakiΛ ∈ Γ.

Kako je E omeen, slijedi da postoji s > 0 takav da je E ⊆ tV za svakit > s. Za takav t, vrijedi

Λ(E) ⊆ Λ(tV ) = tΛ(V ) ⊆ tW,

za svaki Λ ∈ Γ. Sada imamo F =⋃

Λ∈Γ Λ(E) ⊆ tW , pa zaklju£ujemo da jeF omeen.

Teorem 2.2.2 (Banach-Steinhaus) Neka su X i Y topolo²ki vektorskiprostori i Γ familija neprekidnih linearnih operatora sa X u Y . Neka jeB skup svih x ∈ X £ije su orbite

Γ(x) = Λ(x) | Λ ∈ Γ

35

omeeni skupovi u Y . Ako je B skup druge kategorije u X, tada je B = X iΓ je ekvineprekidna familija.

Dokaz:Neka je W balansirana okolina od 0 u Y . Tada postoji balansirana okolinaU od 0 u Y takva da je U + U ⊆ W. Deniramo skup

E =⋂Λ∈Γ

Λ−1(U).

Skup E je zatvoren, jer je Λ neprekidan operator i U zatvoren skup.Ako je x ∈ B, tada postoji n ∈ N takav da je Γ(x) ⊆ nU . Dakle,

Λ(x) ∈ nU , za svaki Λ ∈ Γ. Sada je x ∈ Λ−1(nU) za svaki Λ ∈ Γ pa jex ∈ nE. Slijedi da je

B ⊆∞⋃n=1

nE.

Kako je B skup druge kategorije, barem jedan nE mora biti druge ka-tegorije u X. Preslikavanje x 7→ nx je homeomorzam sa X na X pa je Etakoer druge kategorije u X.

Kako je E zatvoren, slijedi da je E 6= ∅, odnosno postoji x ∈ E. Dakle,0 ∈ x− E pa je 0 ∈ (x− E). Slijedi da postoji okolina V od 0 u X takvada je V ⊆ x− E. Sada je

Λ(V ) ⊆ Λ(x)− Λ(E) ⊆ U − U = U + U ⊆ W,

za svaki Λ ∈ Γ, gdje jednakost slijedi iz £injenice da je U simetri£an (jer jebalnasiran). Dakle, Γ je ekvineprekidna familija. Prema Teoremu 2.2.1, Γ jeuniformno omeena pa je svaki Γ(x) omeen u Y , odnosno B = X.

Naredni teorem je posljedica Banach-Steinhausovog teorema. Njime jezapravo re£eno da su F -prostori druge kategorije.

Teorem 2.2.3 Neka je Γ familija neprekidnih linearnih operatora sa F -prostora X u topolo²ki vektorski prostor Y . Ako su skupovi

Γ(x) = Λ(x) | Λ ∈ Γ

omeeni skupovi u Y , za svaki x ∈ X, tada je Γ ekvineprekidna familija.

Dokaz:Iz Teorema 2.1.1 slijedi da je svaki potpuni metri£ki prostor druge kategorijepa je, prema Teoremu 2.2.2, Γ ekvineprekidna familija.

36

Napomenimo da omeenost po to£kama povla£i uniformnu omeenost (usmislu Teorema 2.2.1).

Poseban slu£aj Teorema 2.2.3 dobivamo pretpostavimo li da su X i YBanachovi prostori i da je

supΛ∈Γ‖Λ(x)‖ <∞,

za svaki x ∈ X. Zaklju£ak je da su svi Λ ∈ Γ omeeni linearni operatori.Naime, slijedi da postoji M <∞ takav da je ‖Λ(x)‖ ≤ M , ako je ‖x‖ ≤ 1 iΛ ∈ Γ. Dakle,

‖Λ(x)‖ ≤M‖x‖,za x ∈ X i Λ ∈ Γ.

Naredni se teorem bavi nizovima neprekidnih linearnih operatora.

Teorem 2.2.4 Neka su X i Y topolo²ki vektorski prostori i Λn niz nepre-kidnih linearnih operatora sa X u Y .

(a) Ako je C skup svih x ∈ X za koje je niz Λn(x) Cauchyev u Y i akoje C skup druge kategorije u X, tada je C = X.

(b) Ako je L skup svih x ∈ X u kojima je (postoji limes)

Λ(x) = limn→∞

Λn(x)

i ako je L skup druge kategorije u X, a Y je F -prostor, tada je L = Xi Λ : X → Y je neprekdan linearan operator.

Dokaz:Kako su Cauchyevi nizovi u topolo²kom vektorskom prostoru X omeeni,prema Teoremu 2.2.2, Γ(x) = Λn(x) | n ∈ N je ekvineprekidna familija.

Lako se provjeri da je C podprostor od X. Slijedi da je C gust u X (daC nije gust, tada bi C bio pravi podprostor od X. Pravi podprostori imajupraznu unutra²njost pa bi imali (C) = ∅ pa bi C bio prve kategorije).

Neka je x ∈ X i neka jeW okolina od 0 u Y . Kako je Λn ekvineprekidnafamilija, postoji okolina V od 0 u X takva da je Λn(V ) ⊆ W , za n = 1, 2, ....Kako je C gust skup u X, postoji x′ ∈ C ∩ (x + V ). Ako je niz Λn(x′)Cauchyev u Y , onda postoji n0 ∈ N takav da za m,n ≥ n0 vrijedi

Λm(x′)− Λn(x′) ∈ W.

Sada je

(Λn − Λm)(x) = Λn(x− x′) + (Λn − Λm)(x′) + Λm(x′ − x) ∈ W +W +W

37

pa je Λn(x) − Λm(x) ∈ W + W + W £ime je Λn(x) Cauchyev niz u Y ix ∈ C. Dakle, X ⊆ C pa je X = C. Time smo dokazali (a).

Dokaºimo (b). Kako je Y F -prostor, Y je potpun pa svaki niz u Ykonvergira. Dakle L = C. Prema (a), sada je L = X.

Neka su okoline V od 0 u X iW od 0 u Y , kao u (a). Dakle, Λn(V ) ⊆ W ,za svaki n ∈ N pa je Λ(V ) ⊆ W . Slijedi da je Λ neprekidan.

Dio (b) Teorema 2.2.4 moºe se preformulirati na razli£ite na£ine. Sljede¢iteorem je jedan od njih.

Teorem 2.2.5 Neka je Λn niz neprekidnih linearnih operatora sa F -prostoraX u topolo²ki vektorski prostor Y . Ako postoji limes

Λ(x) = limn→∞

Λn(x),

za svaki x ∈ X, tada je Λ neprekidan linearan operator.

Dokaz:Kako niz Λn(x) konvergira, to je skup Γ(x) = Λn(x) | n ∈ N omeenskup u Y . Prema teoremu 2.2.3, familija Λn je ekvineprekidna. Dakle, zaokolinu W od 0 u Y postoji okolina V od 0 u X, takva da je Λn(V ) ⊆ W ,za svaki n ∈ N. Slijedi da je Λ(V ) ⊆ W pa je Λ neprekidan. O£igledno je daje Λ i linearan.

Sljede¢i teorem je jo² jedna varijanta Banach-Steinhausovog teorema, u£ijem se dokazu primjenjuje Baireov teorem.

Teorem 2.2.6 Neka su X i Y topolo²ki vektorski prostori. Neka je K kom-paktan, konveksan skup u X, Γ familija neprekidnih linearnih operatora saX u Y i neka su orbite

Γ(x) = Λ(x) | Λ ∈ Γ

omeeni skupovi u Y , za svaki x ∈ K. Tada postoji omeeni skup B ⊆ Y ,takav da je Λ(K) ⊆ B, za svaki Λ ∈ Γ.

Dokaz:Neka je B =

⋃x∈K Γ(x). Odaberimo balansirane okoline W i U od 0 u Y ,

takve da je U + U ⊆ W . Neka je E =⋂

Λ∈Γ Λ−1(U). E je zatvoren skup uX.

38

Neka je x ∈ K. Kako je Γ(x) omeen, to je Γ(x) ⊆ nU , za neki n pa jex ∈ nE. Dakle,

K =∞⋃n=1

(K ∩ nE).

Kako je E zatvoren, prema Baireovom teoremu, (K ∩ nE) 6= ∅, za baremjedan n.

Fiksirajmo takav n i to£ku x0 ∈ K ∩ nE. Postoji balnasirana okolina Vod 0 u X takva da je

K ∩ (x0 + V ) ⊆ nE. (2.1)

Uzmimo p > 1, takav da je

K ⊆ x0 + pV. (2.2)

Takav p postoji jer je K kompaktan (na vjeºbama ste dokazali da je kom-paktan skup omeen pa je K − x0 ⊆ pV .)

Neka je x ∈ K. Neka je

z := (1− p−1)x0 + p−1x.

Kako je K konveksan, to je z ∈ K. Takoer,

z − x0 = p−1(x− x0) ∈ V,

zbog (2.2). Dakle, z ∈ nE, zbog (2.1). Kako je Λ(nE) ⊆ nU , za svaki Λ ∈ Γ,i kako je x = pz − (p− 1)x0, imamo

Λ(x) ∈ pnU − (p− 1)nU ⊆ pn(U + U) ⊆ pnW.

Dakle, B ⊆ pnW pa je B omeen.

2.3 Teorem o otvorenom preslikavanju

Neka su S i T topolo²ki prostori i f : S → T . Kaºemo da je funkcijaf otvorena u to£ki p ∈ S ako f(V ) sadrºi okolinu to£ke f(p), za svakuokolinu V od p. Kaºemo da je f otvoreno preslikavanje ako je f(U) ∈ τT ,za svaki U ∈ τS (otvorene skupove preslikava u otvorene).

Preslikavanje f je otvoreno ako i samo ako je otvoreno u svakoj to£ki odS. Zbog invarijantnosti vektorske topologije, linearno preslikavanje jednogtopolo²kog prostora u drugi je otvoreno ako i samo ako je otvoreno u nuli.

Neprekidna bijekcija f : S → T je homeomorzam ako je f otvorenopreslikavanje.

39

Teorem 2.3.1 (Teorem o otvorenom preslikavanju) Neka je:

(a) X F -prostor,

(b) Y topolo²ki vektorski prostor,

(c) Λ : X → Y neprekidan linearan operator,

(d) Λ(X) je druge kategorije u Y .

Tada je:

(i) Λ(X) = Y ,

(ii) Λ je otvoreno preslikavanje,

(iii) Y je F -prostor.

Dokaz:Primijetimo najprije da (ii) povla£i (i). Naime, svaki pravi podprostor imapraznu unutra²njost pa je jedini otvoreni podprostor od Y sam Y .

Dokaºimo (ii). Neka je V okolina od 0 u X. Treba dokazati da Λ(V )sadrºi okolinu od nule u Y .

Kako je X F -prostor, postoji invarijantna metrika d na X usklaena stopologijom τ na X. Denirajmo

Vn = x ∈ X | d(x, 0) < 2−nr, (2.3)

za n = 0, 1, 2, ..., gdje je r > 0 tako mali da je V0 = B0(r) ⊆ V . Dokazat¢emo da postoji okolina W od 0 u Y takva da je

W ⊆ Λ(V1) ⊆ Λ(V ). (2.4)

Kako je V1 ⊇ V2 − V2, vrijedi

Λ(V1) ⊇ Λ(V2)− Λ(V2) ⊇ Λ(V2)− Λ(V2). (2.5)

Dakle, prva inkluzija u (2.4) ¢e biti dokazana dokaºemo li da skup Λ(V2) imanepraznu unutra²njost. Kako je V2 okolina od 0 u X, to je X =

⋃∞k=1 kV2 pa

je Λ(X) =⋃∞k=1 kΛ(V2). Kako je Λ(X) druge kategorije u Y , barem jedan

kΛ(V2) mora biti druge kategorije u Y . Budu¢i da je y 7→ ky homeomorzamsa Y na Y , to je i Λ(V2) druge kategorije u Y . Dakle, (Λ(V2)) 6= ∅.

Da dokaºemo drugu inkluziju u (2.4), ksirajmo y1 ∈ Λ(V1). Neka je, zan ≥ 1, yn ∈ Λ(Vn). Ono ²to smo dokazali za V1 vrijedi i za Vn+1 pa Λ(Vn+1)sadrºi okolinu od nule u Y . Kako svaka okolina od yn presijeca Λ(Vn), imamo

(yn − Λ(Vn+1)) ∩ Λ(Vn) 6= ∅.

40

Dakle, postoji xn ∈ Vn takav da je Λ(xn) ∈ yn − Λ(Vn+1). Stavimo li da jeyn+1 = yn−Λ(xn), imamo yn+1 ∈ Λ(Vn+1). Nastavimo li postupak, dobivamoniz x1, x2, ... za koji vrijedi d(xn, 0) < 2−nr, za n = 1, 2, .... Slijedi da jeudaljenost od x1 + ... + xn do 0 kona£na vrijednst pa sume x1 + ... + xnformiraju Cauchyev niz. Zbog potpunosti od X, taj niz konvergira ka nekomx ∈ X, takvom da je d(x, 0) < r. Dakle, x ∈ V . Budu¢i da je

m∑n=1

Λ(xn) =m∑n=1

(yn − yn+1) = y1 − ym+1

i kako (zbog neprekidnosti od Λ) ym+1 → 0 kada m → ∞, zaklju£ujemo daje y1 = Λ(x) ∈ Λ(V ). Time smo dokazali da je Λ(V1) ⊆ Λ(V ). Sada vrijedi(2.4) pa je Λ otvoreno preslikavanje.

Dokaºimo (iii). Neka je N null prostor od Λ, odnosno N = Λ−1(0) =N(Λ). Kako je skup Λ−1(0) zatvoren, prema Teoremu 1.8.1, X/N je F -prostor. Da bismo dokazali (iii), pokazat ¢emo da postoji izomorzam f :X/N → Y , koji je ujedno i homeomorzam. Denirajmo

f(x+N) = Λ(x),

za x ∈ X. Kako je Λ linearan i bijekcija, slijedi da je f linearan i bijekcijapa je f izomorzam. Osim toga, Λ(x) = f(π(x)), gdje je π kvocijentnopreslikavanje. Ako je V otvoren skup u Y , tada je skup

f−1(V ) = π(Λ−1(V ))

otvoren. Naime, V je otvoren skup i Λ je neprekidno preslikavanje paje Λ−1(V ) otvoren skup. Zatim, π je otvoreno preslikavanje pa je skupπ(Λ−1(V )) otovren. Dakle, f je neprekidno preslikavanje. Ako je E otvorenskup u X/N , tada je

f(E) = Λ(π−1(E))

otvoren skup. Naime, preslikavanje π je neprekidno i E je otvoren pa je skupπ−1(E) otvoren. Kako je Λ otvoreno preslikavanje, to je i Λ(π−1(E)) otvo-ren skup. Dakle, f je otvoreno, neprekidno preslikavanje i bijekcija pa je fhomeomorzam.

Korolar 2.3.1 (a) Ako je Λ neprekidan linearan operator sa F -prostoraX na F -prsotor Y , tada je Λ otvoreno preslikavanje.

(b) Ako vrijedi (a) i Λ je bijekcija, tada je Λ−1 : Y → X neprekidnopreslikavanje.

41

(c) Ako su X i Y Banachovi prostori i ako je Λ : X → Y neprekidno,linearno preslikavanje i bijekcija, tada postoje pozitivni realni brojevi ai b takvi da je

a‖x‖ ≤ ‖Λ(x)‖ ≤ b‖x‖,

za svaki x ∈ X.

(d) Ako su τ1 i τ2 vektorske topologije na vektorskom prostoru X i τ1 ⊆ τ2

te ako su (X, τ1) i (X, τ2) F -prostori, tada je τ1 = τ2.

Dokaz:

(a) Tvrdnja slijedi iz Teorema 2.3.1 i Teorema 2.1.1, jer je sada Y drugekategorije u Y .

(b) Slijedi iz (a).

(c) Slijedi iz (a) i (b). Napomenimo da dvije nejdankosti u (c) jednostavnoizraºavaju neprekidnost od Λ i od Λ−1.

(d) Tvrdnja se dobije primjenjuju¢i (a) na identi£no preslikavanje sa (X, τ2)na (X, τ1).

2.4 Teorem o zatvorenom grafu

Neka su X i Y skupovi i f : X → Y . Graf funkcije f je

Γ(f) = (x, f(x)) | x ∈ X ⊆ X × Y.

Neka su X i Y topolo²ki prostori i neka je τX×Y produktna topologija.To je najmanja topologija koja sadrºi sve skupove U × V , takve da su U iV otvoreni u X i u Y , redom. Baza joj je τX × τY (ista se topologija dobijeako se umjesto τX i τY uzmu samo elementi baza topologija na X, odnosnoY , redom).

Propozicija 2.4.1 Neka je X topolo²ki prostor, Y Hausdorov prostor, af : X → Y neprekidna funkcija. Tada je G = Γ(f) zatvoren skup.

Dokaz:Neka je Ω komplement od G u X × Y . Dakle,

Ω = GC = (x, y) ∈ X × Y | y 6= f(x).

42

Fiksirajmo (x0, y0) iz Ω. Vrijedi y0 6= f(x0). Kako je Y Hausdorov prostor,slijedi da postoje disjunktne okoline V iW oko y0 i f(x0) u Y , redom. Dakle,V ∩W = ∅.

Kako je f neprekidna, postoji okolina U od x0 uX takva da je f(U) ⊆ W .Dakle, okolina U × V od (x0, y0) leºi u Ω pa slijedi da je Ω otvoren skup.Time je G = ΩC zatvoren skup.

Teorem 2.4.1 (Teorem o zatvorenom grafu) Neka vrijedi:

(a) X i Y su F -prostori,

(b) Λ : X → Y je linearan operator,

(c) G = Γ(Λ) = (x,Λ(x)) | x ∈ X je zatvoren skup u X × Y .

Tada je Λ neprekidan operator.

Dokaz:X×Y je vektorski prostor u kojem su operacije zbrajanja i mnoºenja skalaromdenirane po komponentama

α(x1, y1) + β(x2, y2) = (αx1 + βx2, αy1 + βy2).

Kako su X i Y F -prostori, postoje potpune invarijantne metrike dX i dY kojeinduciraju topologije τX i τY , redom. Ako deniramo metriku d na X×Y sa

d((x1, y1), (x2, y2)) = dX(x1, x2) + dY (y1, y2),

tada je d invarijantna metrika na X × Y , usklaena sa produktnom topolo-gijom. Dakle, (X × Y, d) je F -prostor.

Kako je Λ linearan, G je potprostor od X × Y . Zatvoreni podskupovipotpunih metri£kih prostora su su potpuni pa je G F -prostor.

Denirajmo π1 : G→ X i π2 : X × Y → Y sa

π1(x,Λ(x)) = x, π2(x, y) = y.

Tako denirano preslikavanje π1 je neprekidna linearna bijekcija sa F -prostoraG na F -prostor X. Prema teoremu o otvorenom preslikavanju, slijedi da je

π−11 : X → G

neprekidno preslikavanje. Kako je Λ = π2 π−11 i π2 je neprekidan operator,

slijedi da je Λ neprekidan operator.

43

Napomena:Ponekad se pretpostavka (c) provjerava pokazuju¢i da Λ zadovoljava svojstvo(c'):

(c') Neka je xn niz u X takav da postoje limesi

x = limn→∞

xn,

y = limn→∞

Λ(xn).

Tada je y = Λ(x).Dokaºimo da (c') povla£i (c). Odaberimo to£ku (x, y) koja je limes nekog

niza iz G. Kako je X × Y metrizabilan,

(x, y) = limn→∞

(xn,Λ(xn)),

za neki niz xn. Iz denicije produktne topologije slijedi da xn → x iΛ(xn)→ y. Prema (c'), y = Λ(x) pa je (x, y) ∈ G i G je stoga zatvoren.

Jednostavno je pokazati da (c) povla£i (c').

2.5 Bilinearna preslikavanja

Neka su X, Y, Z vektorski prostori i B : X × Y → Z. Pridruºimo svakomx ∈ X i svakom y ∈ Y preslikavanja

Bx : Y → Z, By : X → Z,

denirana saBx(y) = B(x, y) = By(x).

Preslikavanje B je bilinearno ako su Bx i By linearna preslikavanja.

Ako su X, Y, Z topolo²ki vektorski prostori i ako su za svaki x ∈ X iza svaki y ∈ Y preslikavanja Bx i By neprekidna, tada kaºemo da je B se-paratno neprekidno preslikavanje. Ako je B neprekidno preslikavanje(u odnosu na produktnu topologiju od X × Y ), tada je B separatno nepre-kidno. U nekim se slu£ajevima moºe dokazati i obrat, kori²tenjem Banach-Steinhausovog teorema.

Sljede¢i ¢emo teorem izre¢i bez dokaza.

Teorem 2.5.1 Neka je B : X × Y → Z separatno neprekidan bilinearanoperator. Neka je X F -prostor, a Y i Z topolo²ki vektorski prostori. Tadavrijedi

B(xn, yn)→ B(x0, y0)

u Z, kada xn → x0 u X i yn → y0 u Y . Ako je Y metrizabilan, tada je Bneprekidno preslikavanje.

44

Poglavlje 3

Konveksnost

U ovom ¢emo se poglavlju uglavnom baviti lokalno konveksnim topolo²kimvektorskim prostorima.

3.1 Hahn-Banachovi teoremi

Izraz "Hahn-Banachovi teoremi" obi£no se koristi za nekoliko usko povezanihrezultata. Prva dva teorema koja slijede nazivaju se teoremi o dominant-nom pro²irenju. Oni se ne bave topologijom.

Uvedimo najprije neke denicije. Dualni prostor topolo²kog vektor-skog prostoraX je vektorski prostorX∗, £iji su elementi neprekidni linearnifunkcionali na X. Zbrajanje i skalarno mnoºenje u X∗ denirani su sa

(Λ1 + Λ2)(x) = Λ1(x) + Λ2(x),

(αΛ)(x) = α · Λ(x).

Uz te operacije, X∗ postaje vektorski prostor.U nastavku ¢emo koristiti o£iglednu £injenicu da je svaki kompleksni vek-

torski prostor ujedno i realni vektorski prostor. Koristit ¢emo i sljede¢uterminologiju. Aditivni funkcional Λ na kompleksnom vektorskom prostoruX nazivamo realno-linearnim (kompleksno-linearnim) ako je

Λ(αx) = αΛ(x),

za svaki x ∈ X i za svaki realni (kompleksni) skalar α. Ne navedemo liposebno skalarno polje, podrazumijevat ¢emo na oba navedena slu£aja.

Ako je u realni dio kompleksno-linearnog funkcionala f na X, tada je urealno-linearan i

f(x) = u(x)− iu(ix), (3.1)

45

gdje je x ∈ X, jer je z = Re(z)− iRe(iz), za svaki z ∈ C.Obratno, ako je u : X → R realno-linearan na kompleksnom vektorskom

prostoru X i ako je f deniran sa (3.1), slijedi da je f kompleksno linearan.Neka je X kompleksni topolo²ki vektorski prostor. Iz navedenog slijedi

da je kompleksno-linearan funkcional na X element od X∗ ako i samo ako jenjegov realni dio neprekidan i da je svaki neprekidni realno-linearan u : X →R realni dio jedinstvenog f ∈ X∗.

Teorem 3.1.1 Neka vrijedi:

(a) M je potprostor realnog vektorskog prostora X,

(b) za p : X → R vrijedi

p(x+ y) ≤ p(x) + p(y),

p(tx) = tp(x),

za x, y ∈ X i t ≥ 0,

(c) f : M → R je linearan funkcional i f(x) ≤ p(x) na M .

Tada postoji linearno preslikavanje Λ : X → R takvo da je

Λ(x) = f(x),

za x ∈M i−p(−x) ≤ Λ(x) ≤ p(x),

za x ∈ X.

Dokaz:Ako je M 6= X, odaberimo x1 ∈ X, x1 /∈M i denirajmo

M1 = x+ tx1 | x ∈M, t ∈ R.

Jasno je da je M1 vektorski prostor. Kako je

f(x) + f(y) = f(x+ y) ≤ p(x+ y) ≤ p(x− x1) + p(x1 + y),

imamof(x)− p(x− x1) ≤ p(y + x1)− f(y),

za x, y ∈ M . Neka je α najmanja gornja ograda lijeve strane posljednjenejednakosti, za x ∈M . Tada je

f(x)− α ≤ p(x− x1), (3.2)

46

gdje je x ∈M if(y) + α ≤ p(y + x1), (3.3)

gdje je y ∈M .Denirajmo preslikavanje f1 na M1 sa

f1(x+ tx1) = f(x) + tα, (3.4)

za x ∈M i t ∈ R. Tada je f1 = f na M i f1 je linearno preslikavanje na M1.Neka je t > 0. Ako u (3.2) zamijenimo x sa t−1x i u (3.3) zamijenimo

y sa t−1y i pomnoºimo dobivene nejednakosti s t, kombiniraju¢i dobiveno s(3.4), dokazuje se da je

f1 ≤ p

na M1.U drugom dijelu dokaza koristit ¢emo Hausdorov princip maksimal-

nosti1. Neka je P familija svih ureenih parova (M ′, f ′), gdje jeM ′ potprostorod X koji sadrºi M i f ′ je linearan funkcional na M ′, koji je pro²irenje od fi vrijedi f ′ ≤ p na M ′. Parcijalni ureaj na P moºemo uvesti na na£in da je(M ′, f ′) ≤ (M ′′, f ′′) ako jeM ′ ⊆M ′′ i f ′′ = f ′ naM ′. Prema Hausdorovomprincipu maksimalnosti, postoji maksimalna totalno ureena podfamilija Ωod P.

Neka je Φ familija svih M ′ takvih da je (M ′, f ′) ∈ Ω. Tada je Φ potpunoureena relacijom ⊆, a unija M svih £lanova od Φ je potprostor od X. Akoje x ∈ M tada je x ∈M ′, za neki M ′ ∈ Φ. Za takav x denirajmo

Λ(x) = f ′(x),

gdje je f ′ takva funkcija da je (M ′, f ′) ∈ Ω.Lako je provjeriti da je Λ dobro denirana na M , da je linearna i da je

Λ ≤ p. Kada bi M bio pravi potprostor od X, prvi dio dokaza bi nam daodaljnje pro²irenje od Λ, ²to je u kontradikciji s maksimalno²¢u od Ω. Dakle,M = X.

Kona£no, nejednakost Λ ≤ p povla£i da je

−p(−x) ≤ −Λ(−x) = Λ(x),

za svaki x ∈ X. Time je teorem dokazan.

1Hausdorov princip maksimalnosti kaºe da svaki neprazan parcijalno ureen skupA sadrºi maksimalan totalno ureen podskup B (maksimalan u odnosu na svojstvo totalneureenosti).

47

Teorem 3.1.2 Neka je M potprostor vektorskog prostora X. Neka je p po-lunorma na X i f linearni funkcional na M takav da je

|f(x)| ≤ p(x),

za x ∈ M . Tada postoji linearni funkcional Λ na X koji je je pro²irenje odf i za koji vrijedi

|Λ(x)| ≤ p(x),

za x ∈ X.

Dokaz:Ako je skalarno polje R, ovaj teorem slijedi iz Teorema 3.1.1, jer za p sadavrijedi p(−x) = p(x).

Uzmimo da je skalarno polje C. Neka je u = Re(f). Prema Teoremu 3.1.1,postoji realno-linearan funkcional U na X takav da je U = u na M i U ≤ pna X. Neka je Λ kompleksno-linearan funkcional na X, £iji je realni dio U .Iz razmatranja s po£etka ovog poglavlja slijedi da je Λ = f na M .

Kona£no, svakom x ∈ X odgovara α ∈ C, takav da je |α| = 1 i da jeαΛ(x) = |Λ(x)|. Dakle,

|Λ(x)| = Λ(αx) = U(αx) ≤ p(αx) = p(x).

Korolar 3.1.1 Ako je X normirani prostor i x0 ∈ X, tada postoji Λ ∈ X∗takav da je

Λ(x0) = ‖x0‖

i|Λ(x)| ≤ ‖x‖,

za svaki x ∈ X.

Dokaz:Ako je x0 = 0, uzmemo Λ = 0. Ako je x0 6= 0, moºemo primijeniti Teorem3.1.1 uzev²i da je p(x) = ‖x‖, da je M jednodimenzionalni prostor generiransa x0 i f(αx0) = α‖x0‖ na M .

Naredni se toerem naziva teorem separacije. Izre¢i ¢emo ga bez dokaza.

Teorem 3.1.3 Neka su A i B disjunktni, neprazni, konveksni skupovi u to-polo²kom vektorskom prostoru X.

48

(a) Ako je A otvoren skup, postoji Λ ∈ X∗ i γ ∈ R tako da je

Re(Λ(x)) < γ ≤ Re(Λ(y)),

za svaki x ∈ A i za svaki y ∈ B.

(b) Ako je A kompaktan, B zatvoren, a X lokalno konveksan, tada postojiΛ ∈ X∗ te γ1, γ2 ∈ R, tako da je

Re(Λ(x)) < γ1 < γ2 < Re(Λ(y)),

za svaki x ∈ A i za svaki y ∈ B.

Primijetimo da u teoremu nije navedeno skalarno polje. Ako je to R, tada jeRe(Λ) = Λ.

Korolar 3.1.2 Ako je X lokalno konveksan prostor, tada X∗ separira to£kena X.

Dokaz:Neka su x1, x2 ∈ X i x1 6= x2. Primjenom (b) dijela Teorema 3.1.3 zaA = x1, B = x2, dokazuje se tvrdnja korolara.

Naredni teorem dokazat ¢ete na vjeºbama. Koristan je za dokazivanje daje x0 ∈ X, gdje je X lokalno konveksan topolo²ki vektorski prostor, elementzatvara£a nekog potprostora M od X. Naime, tada je dovoljno pokazati daje Λ(x0) = 0, za svaki neprekidan linearan funkcional Λ na X koji iz£ezavana M .

Teorem 3.1.4 Neka je M potprostor lokalno konveksnog topolo²kog vektor-skog prostora X i neka je x0 ∈ X. Ako x0 /∈ M , tada postoji Λ ∈ X∗ takavda je Λ(x0) = 1, a Λ(x) = 0 za svaki x ∈M .

Slijedi teorem o neprekidnom pro²irenju. Taj teorem omogu¢ujepro²irenje neprekidnog linearnog funkcionala sa potprostora na £itav prostor,tako da se o£uva neprekidnost.

Teorem 3.1.5 Ako je f neprekidan linearan funkcional na potporostoru Mlokalno konveksnog prostora X, tada postoji Λ ∈ X∗ takav da je Λ = f naM .

49

Dokaz:Pretpostavimo, bez gubitka op¢enitosti, da f ne is£ezava na M . Neka je

M0 = x ∈M |f(x) = 0.

Odaberimo x0 ∈ M tako da je f(x0) = 1. Kako je f neprekidan, slijedi dax0 nije u M -zatvara£u od M0. Budu¢i da M nasljeuje svoju topologiju odX, slijedi da x0 nije u X-zatvara£u od M0.

Prema teoremu 3.1.4, postoji Λ ∈ X∗ takav da je Λ(x0) = 1 i Λ(x) = 0na M0.

Za x ∈M , zaklju£ujemo da je x− f(x)x0 ∈M0, jer je f(x0) = 1. Dakle,

0 = Λ(x− f(x)x0) = Λ(x)− f(x)Λ(x0) = Λ(x)− f(x),

odnosno Λ = f na M .

3.2 Slabe topologije

Neka su τ1 i τ2 dvije topologije na skupu X i neka je τ1 ⊆ τ2. Dakle, svaki τ1-otvoren skup je i τ2-otvoren. Tada kaºemo da je τ1 slabija od τ2, odnosno daje τ2 ja£a od τ1. U ovakvoj je situaciji, identi£no preslikavanje sa (X, τ2) na(X, τ1) neprekidno, a identi£no preslikavanje sa (X, τ1) na (X, τ2) je otvorenopreslikavanje.

Razmotrimo najprije topologiju kompaktnog Hausdorovog prostora i po-kaºimo da ona posjeduje odreenu £vrsto¢u. Naime, ona se ne moºe oslabitibez naru²avanja Hausdorovog aksioma separacije, niti moºe biti oja£anabez naru²avanja svojstva kompaktnosti. Dokaºimo sljede¢e:

(a) Ako su τ1 ⊆ τ2 topologije na skupu X te je τ1 Hausdorova topologija, aτ2 je kompaktna topologija, tada je τ1 = τ2.

Neka je F ⊆ X τ2-zatvoren. Kako je X τ2-kompaktan, to je i F . Kako jeτ1 ⊆ τ2, slijedi da je F i τ1 kompaktan. Naime, svaki τ1-otvoreni pokriva£ odF je i τ2-otvoreni pokriva£. Kako je τ1 Hausdorova topologija, slijedi da jeF τ1-zatvoren.

Razmotrimo kao primjer kvocijentnu topologiju τN na X/N i kvocijentnopreslikavanje π : X → X/N . Po svojoj je deniciji τN najja£a topologijana X/N koja preslikavanje π £ini neprekidnim. To je ujedno i najslabijatopologija koja preslikavanje π £ini otvorenim preslikavanjem. Ako su τ ′ i

50

τ ′′ topologije na X/N i ako je π neprekidno preslikavanje u odnosu na τ ′, aotvoreno u odnosu na τ ′′, tada je τ ′ ⊆ τN ⊆ τ ′′.

Neka je sada X skup i F neprazna familija preslikavanja f : X → Yf , gdjeje Yf topolo²ki prostor. (U mnogim je slu£ajevima Yf isti za sve f ∈ F.) Nekaje τ familija svih unija kona£nih presjeka skupova f−1(V ), gdje je f ∈ F, aV otvoren skup u Yf . Tada je τ topologija na X i to najslabija topologija naX koja £ini svaki f ∈ F neprekidnim. Ako je τ ′ bilo koja druga topologijas istim svojstvom, tada je τ ⊆ τ ′. Topologija τ naziva se slaba topologijana X inducirana sa F ili F-topologija na X.

Poznati primjer za ovu situaciju je uobi£ajeni na£in topologizacije karte-zijevog produkta X familije topolo²kih prostora Xα. Ako s πα(x) ozna£imoα-tu koordinatu to£ke x ∈ X, tada πα preslikava X na Xα. Produktnatopologija τ na X je, po deniciji, njegova πα-topologija, najslabija topo-logija koja £ini svaki πα neprekidnim. Pretpostavimo sada da je svaki Xα

kompaktan Hausdorov prostor. Tada je, prema Tychonoovom teoremu2 τkompaktna topologija na X, i tvrdnja (a) povla£i da topologija τ ne moºebiti oja£ana bez da se naru²i Tychonoov teorem.

U posljednjoj se re£enici zapravo krije poseban slu£aj naredne tvrdnje:

(b) Ako je F familija preslikavanja f : X → Yf , gdje je X skup, a svaki YfHausdorov prostor, te ako F separira to£ke na X, tada je F-topologija naX Hausdorova topologija.

Ako su p 6= q to£ke iz X, tada je f(p) 6= f(q) za neki f ∈ F. To£kef(p) i f(q) imaju disjunktne okoline u Yf £ije su inverzne slike u odnosu naf otvoreni skupovi (po deniciji) i meusobno disjunktni.

Sljede¢a je tvrdnja vezana za metrizabilnost.

(c) Ako je X kompaktan topolo²ki prostor i ako neki niz fn neprekidnihrealnih funkcija separira to£ke na X, tada je X metrizabilan.

Neka je τ zadana topologija na X. Pretpostavimo, bez gubitka op¢eni-tosti, da je |fn| ≤ 1, za svaki n ∈ N, i neka je τd topologija inducirana na Xmetrikom

d(p, q) =∞∑n=1

2−n|fn(p)− fn(q)|.

To je metrika jer fn separira to£ke. Kako je svaki fn τ -neprekidan i reduniformno konvergira na X×X, d je τ -neprekidna funkcija na X×X. Dakle,kugle

Br(p) = q ∈ X | d(p, q) < r2Tychonoov teorem kaºe da je kartezijev produkt proizvoljne neprazne familije

kompaktnih topolo²kih prostora kompaktan.

51

su τ -otvorene. Dakle, τd ⊆ τ . Kako je τd inducirana metrikom, τd je Ha-usdorova topologija pa iz (a) slijedi da je τ = τd.

Sljede¢i teorem, koji ¢emo koristiti u nekim narednim razmatranjima iz-re¢i ¢emo bez dokaza.

Teorem 3.2.1 Neka je X vektorski prostor i neka je X ′ separiraju¢i vektor-ski prostor linearnih funkcionala na X. Tada X ′-topologija τ ′ £ini X lokalnokonveksnim prostorom £iji je dualni prostor X ′.

U Teoremu 3.2.1 pretpostavljamo zapravo da je X ′ zatvoren za zbrajanje iskalarno mnoºenje te da je Λ(x1) 6= Λ(x2), za neki Λ ∈ X ′, uvijek kada su x1

i x2 razli£ite to£ke iz X.

3.2.1 Slaba topologija topolo²kog vektorskog prostora

Neka je X topolo²ki vektorski prostor s topologijom τ , £iji dual X∗ separirato£ke na X. (Znamo da se to dogaa u svakom lokalno konveksnom topo-lo²kom vektorskom prostoru X.) Tada se X∗-topologija od X naziva slabatopologija od X.

Sa Xw ozna£it ¢emo X topologiziran tom slabom topologijom τw. Teorem3.2.1 povla£i da je Xw lokalno konveksan prostor £iji je dual takoer X∗.

Kako je svaki Λ ∈ X∗ τ -neprekidan i kako je τw najslabija topologija naX sa tim svojstvom, vrijedi τw ⊆ τ . U takvom ¢emo kontekstu toplogiju τobi£no nazivati originalnom topologijom od X. Izraze oblika originalnaokolina, slaba okolina, originalni zatvara£, slabi zatvara£ i sli£no koristit ¢emokako bi bilo jasno u odnosu na koju topologiju se ti izrazi podrazumijevaju3.

Na primjer, neka je xn niz u X. Kada kaºemo da xn → 0 originalno, tozna£i da svaka originalna okolina od nule sadrºi sve xn-ove za dovoljno velikin. Kada kaºemo da xn → 0 slabo, to zna£i da svaka slaba okolina od nulesadrºi sve xn-ove za dovoljno veliki n. Kako svaka slaba okolina od 0 sadrºiokolinu oblika

V = x ∈ X | |Λi(x)| < ri za 1 ≤ i ≤ n, (3.5)

gdje su Λi ∈ X∗ i ri > 0, jasno je da xn → 0 slabo ako i samo ako Λ(xn)→ 0za svaki Λ ∈ X∗.

Svaki originalno konvergentan niz je slabo konvergentan dok obrat obi£none vrijedi.

3Kada je X Fréchetov prostor (posebno, kada je X Banachov prostor) originalna to-pologija od X obi£no se naziva jaka topologija. Za lokalno konveksne prostore, op¢enito,prikladniji je za kori²tenje naziv originalna topologija.

52

Skup E ⊆ X je slabo omeen (dakle, E je omeen podskup od Xw) akoi samo ako svaki V deniran sa (3.5) sadrºi tE za neki t > 0. To je slu£ajako i samo ako za svaki Λ ∈ X∗ postoji broj γ <∞ takav da je |Λ(x)| ≤ γ,za svaki x ∈ E. Drugim rije£ima, skup E ⊆ X je slabo omeen ako i samoako je svaki Λ ∈ X∗ omeena funkcija na E.

Neka je V deniran kao u (3.5) i neka je

N = x ∈ X | Λ1(x) = ... = Λn(x) = 0.

Kako preslikavanje x→ (Λ1(x), ...,Λn(x)), £iji je nulprostor N , preslikava Xu Cn, vrijedi4

dim(X) ≤ n+ dim(N).

Kako je N ⊆ V , to nas vodi sljede¢em zaklju£ku:

Ako je X beskona£nodimenzionalan, tada svaka slaba okolina od 0 sadrºibeskona£nodimenzionalan potprostor. Dakle, Xw nije lokalno omeen.

To u mnogo slu£ajeva povla£i da je slaba topologija strogo slabija odoriginalne topologije. Naravno, te se dvije topologije mogu i podudarati.Teorem 3.2.1 povla£i da je (Xw)w = Xw.

Jo² neke rezultate iz ovog dijela dokazat ¢ete na vjeºbama.

3.2.2 Slaba∗-topologija dualnog prostora

Neka jeX topolo²ki vektorski prostor £iji je dualX∗. Za denicije koje slijedenije vaºno da li X∗ separira to£ke na X ili ne. Vaºno je primijetiti da svakix ∈ X inducira linearni funkcional fx na X

∗, deniran sa

fx(Λ) = Λ(x)

i da familija fx | x ∈ X separira to£ke na X∗. Naime, ako je fx(Λ) =fx(Λ

′), za svaki x ∈ X, tada je Λ(x) = Λ′(x), za svaki x, pa je Λ = Λ′.Linearnost svakog fx je o£igledna.

Sada imamo situaciju opisanu u Teoremu 3.2.1, sa X∗ na mjestu od Xi sa X na mjestu od X ′. X-topologija od X∗ zove se slaba∗-topologijaod X∗. Teorem 3.2.1 povla£i da je to lokalno konveksna vektorska toplogijana X∗ i da svaki linearan funkcional na X∗ koji je slabo∗-neprekidan imaoblik Λ→ Λ(x) za neki x ∈ X.

Slabe∗-topologije imaju vrlo vaºna svojstva. Neka od njih ¢emo navestiu nastavku.

4Koristimo sljede¢i teorem: Neka je f : X → Y , gdje su X i Y vektorski prostori,linearan operator. Tada je zbroj dimenzija jezgre i slike od f jednak dimenziji prostoraX.

53

3.3 Kompaktni konveksni skupovi

Naredni ¢emo teorem izre¢i bez dokaza.

Teorem 3.3.1 (Banach-Alaogluov teorem) Ako je V okolina od 0 u to-polo²kom vektorskom prostoru X i ako je

K = Λ ∈ X∗ | |Λ(x)| ≤ 1 za svaki x ∈ V ,

tada je K slabo∗-kompaktan.

K ponekad nazivamo pol od V . Jasno je da je K konveksan i balansiranskup, jer to vrijedi za jedini£ni krug u C (i za interval [−1, 1] u R).

Ako je X separabilan5, tada se zaklju£ak Banach-Alaogluovog teoremamoºe oja£ati sljede¢im rezltatom (kojeg ¢ete dokazati na vjeºbama).

Teorem 3.3.2 Ako je X separabilan topolo²ki vektorski prostor te ako jeK ⊆ X∗ i K je slabo∗-kompaktan, tada je K metrizabilan u slaboj∗-topologiji.

Napomenimo da ne slijedi da je i X∗ metrizabilan u slaboj∗-topologiji.Navedimo ovdje jo² samo jedan rezultat, koji se dokazuje primjenom

Banach-Alaogluovog teorema.

Teorem 3.3.3 U lokalno konveksnom topolo²kom vektorskom prostoru Xsvaki slabo omeen skup je originalno omeen i obrnuto.

5Topolo²ki prostor je separabilan ako u njemu postoji prebrojiv gust skup.

54

Poglavlje 4

Dualnost u Banachovim

prostorima

4.1 Normirani dual normiranog prostora

Neka su X i Y topolo²ki vektorski prostori. Sa B(X, Y ) ozna£avat ¢emofamiliju svih omeenih linearnih operatora sa X u Y . Familiju B(X,X)kra¢e ¢emo ozna£avati s B(X). Svaki B(X, Y ) je vektorski prostor u odnosuna uobi£ajene denicije zbrajanja i skalarnog mnoºenja funkcija. (To ovisisamo o strukturi vektorskog prostora Y , ne o strukturi od X.) Op¢nito,postoji vi²e na£ina na koje se B(X, Y ) moºe u£initi topolo²kim vektorskimprostorom.

U ovom ¢emo se poglavlju baviti samo sa normiranim prostorima X i Y .U tom se slu£aju i B(X, Y ) moºe normirati na prirodan na£in. Ako je Yskalarno polje, takvo da je B(X, Y ) dualni prostor X∗ od X, tada norma naB(X, Y ) denira topologiju na X∗ za koju se moºe pokazati da je ja£a odnjegove slabe∗-topologije. U ovom ¢emo poglavlju razmatrati upravo odnosizmedju Banachovog prostora X i njegovog normiranog duala X∗.

Teorem 4.1.1 Neka su X i Y normirani prostori. Pridruºimo svakom Λ ∈B(X, Y ) broj

‖Λ‖ = sup‖Λ(x)‖ | x ∈ X, ‖x‖ ≤ 1. (4.1)

Ovakva denicija od ‖Λ‖ pretvara B(X, Y ) u normirani prostor. Ako je YBanachov prostor, to je i B(X, Y ).

Dokaz:Pokaºimo najprije da je B(X, Y ) normirani prostor. Znamo da su podsku-povi normiranog prostora omeeni ako i samo ako leºe u nekom vi²ekratniku

55

jedini£ne kugle. Linearni operatori Λ ∈ B(X, Y ) su omeeni pa slijedi da je‖Λ‖ <∞ za svaki Λ ∈ B(X, Y ).

Ako je α skalar, tada je (αΛ)(x) = α · Λ(x). Dakle,

‖αΛ‖ = |α|‖Λ‖.

Koriste¢i nejednakost trokuta u Y , dobivamo da je

‖(Λ1 + Λ2)(x)‖ = ‖Λ1(x) + Λ2(x)‖ ≤ ‖Λ1(x)‖+ ‖Λ2(x)‖≤ ‖Λ1‖+ ‖Λ2‖,

za svaki x ∈ X za koji je ‖x‖ ≤ 1. Dakle,

‖Λ1 + Λ2‖ ≤ ‖Λ1‖+ ‖Λ2‖.

Ako je Λ 6= 0, tada je Λ(x) 6= 0 za neki x ∈ X pa je ‖Λ‖ > 0. Dakle,B(X, Y ) je normirani prostor.

Pretpostavimo sada da je Y potpun i da je Λn Cauchyev niz u B(X, Y ).Kako je

‖Λn(x)− Λm(x)‖ ≤ ‖Λn − Λm‖‖x‖ (4.2)

i kako ‖Λn−Λm‖ → 0 za dovoljno velike n im, slijedi da je Λn(x) Cauchyevniz u Y za svaki x ∈ X. Dakle, postoji limes

Λ(x) = limn→∞

Λn(x).

Jasno je da je Λ : X → Y linearan operator. Ako je ε > 0, desna strananejednakosti (4.2) ne prelazi vrijednost ε‖x‖, za dovoljno velike m i n. Slijedida je

‖Λ(x)− Λm(x)‖ ≤ ε‖x‖,

za svaki dovoljno velikm. Dakle, ‖Λ(x)‖ ≤ (‖Λm‖+ε)‖x‖ pa je Λ ∈ B(X, Y )i ‖Λ− Λm‖ ≤ ε. Slijedi da Λm → Λ u normi od B(X, Y ), £ime smo dokazalipotpunost od B(X, Y ).

Elemente dualnog prostora X∗ od X ozna£avat ¢emo s x∗ i pisat ¢emo

〈x, x∗〉,

umjesto x∗(x). Ta je oznaka dobro prilagoena simetri£nosti izmeu djelova-nja od X∗ na X i djelovanja od X na X∗. Naredni teorem daje neka osnovnasvojstva dualnosti.

56

Teorem 4.1.2 Neka je B zatvorena jedini£na kugla u normiranom prostoruX. Denirajmo

‖x∗‖ = sup|〈x, x∗〉| | x ∈ B,za svaki x∗ ∈ X∗.

(a) Tako denirana norma £ini X∗ Banachovim prostorom.

(b) Neka je B∗ zatvorena jedini£na kugla u X∗. Za svaki x ∈ X,

‖x‖ = sup|〈x, x∗〉| | x∗ ∈ B∗.

Posljedica toga je da je preslikavanje x∗ → 〈x, x∗〉 omeeni linearnifunkcional na X∗.

(c) B∗ je slabo∗-kompaktan skup.

Dokaz:Kako je B(X, Y ) = X∗, ako je Y sklalarno polje, (a) slijedi iz Teorema 4.1.1.

Fiksirajmo x ∈ X. Iz Korolara 3.1.1 slijedi da postoji y∗ ∈ B∗, takav davrijedi

〈x, y∗〉 = ‖x‖. (4.3)

S druge strane, vrijedi

|〈x, x∗〉| ≤ ‖x‖‖x∗‖ ≤ ‖x‖, (4.4)

za svaki x∗ ∈ B∗. Iz (4.3) i (4.4) slijedi (b).Kako je otvorena jedini£na kugla U u X gusta u B, denicija od ‖x∗‖

daje da je x∗ ∈ B∗ ako i samo ako je |〈x, x∗〉| ≤ 1, za svaki x ∈ U . Tvrdnja(c) sada direktno slijedi iz Teorema 3.3.1.

Napomena: Slaba∗-topologija od X∗ je, po deniciji, najslabija topolo-gija u kojoj su svi funkcionali

x∗ → 〈x, x∗〉

neprekidni. Tvrdnja (b) Teorema 4.1.2 pokazuje da je topologija inducirananormom od X∗ ja£a od njegove slabe∗-topologije. Zapravo je i strogo ja£a,osim ako je X kona£nodimenzinalan, jer zaklju£ak na kraju odjeljka 3.2.1vrijedi i za slabu∗-topologiju.

Ako ne napomenemo druga£ije, u nastavku ¢e X∗ ozna£avati normiranidual od X (kad god je X normiran) i svi topolo²ki koncepti vezani za X∗

odnosit ¢e se na topologiju induciranu normom. No, to ne zna£i da slaba∗-topologija ne¢e takoer imati vaºnu ulogu.

Naredni teorem daje ne²to druga£iji opis norme operatora od onog izTeorema 4.1.1.

57

Teorem 4.1.3 Ako su X i Y normirani prostori i ako je Λ ∈ B(X, Y ), tadaje

‖Λ‖ = sup|〈Λ(x), y∗〉| | ‖x‖ ≤ 1, ‖y∗‖ ≤ 1.

Dokaz:Primijenimo (b) dio Teorema 4.1.2, uzev²i Y na mjestu X-a. Dobivamo

‖Λ(x)‖ = sup|〈Λ(x), y∗〉| | ‖y∗‖ ≤ 1,

za svaki x ∈ X. Kako bismo dokazali teorem, podsjetimo se da je

‖Λ‖ = sup‖Λ(x)‖ | ‖x‖ ≤ 1.

4.2 Drugi dual Banachovog prostora

Normirani dual X∗ Banachovog prostora X je takoer Banachov prostor paima svoj normirani dual, koji ozna£avamo s X∗∗. Dualni prostor X∗∗ od X∗

nazivamo drugi dual od X. Preslikavanje φ : X → X∗∗ denirano sa

〈x∗, φ(x)〉 = 〈x, x∗〉, (4.5)

gdje je x∗ ∈ X∗, naziva se prirodno preslikavanje od X u X∗∗. Svaki x ∈ Xdenira na taj na£in jedinstveni φ(x) ∈ X∗∗ i iz Teorema 4.1.2 (b) vidimo daje

‖φ(x)‖ = ‖x‖, (4.6)

za svaki x ∈ X. Iz (4.5) slijedi da je φ linearno preslikavanje, a iz (4.6) da je φizometrija. Ozna£avamo φ(x) = x∗∗. Kako smo pretpostavili da je X potpunprostor, φ(X) je zatvoren skup u X∗∗. Dakle, φ je izometrija i izomorzamod X na zatvoreni potprostor od X∗∗.

Preslikavanje φ nije nuºno surjektivno. Ako je φ surjektivno preslikavanje,kaºemo da je prostorX reeksivan i ozna£avamoX=X∗∗. Na primjer, svakiHilbertov prostor je reeksivan.

4.3 Ortogonalnost u Banachovim prostorima

Simetri£ni operator 〈x, x∗〉 u Banachovom prostoru igra ulogu sklarnog pro-dukta u Hilbertovom prostoru. Vrijedi Cauchy-Schwartzova nejednakost

|〈x, x∗〉| ≤ ‖x‖‖x∗‖.

58

Kaºemo da je vektor x∗ poravnat sa vektorom x ako i samo ako je 〈x, x∗〉 =‖x‖‖x∗‖. Kaºemo da je vektor x∗ ortogonalan vektoru x ako i samo ako je〈x, x∗〉 = 0.

Neka je X Banachov prostor, M potprostor od X, a N potporostor odX∗. Njihovi anihilatori (ortogonalni komplementi) M⊥ i ⊥N denirani susa

M⊥ = x∗ ∈ X∗ | 〈x, x∗〉 = 0, za sve x ∈M,⊥N = x ∈ X | 〈x, x∗〉 = 0, za sve x∗ ∈ N.

Dakle, M⊥ se sastoji od svih omeenih linearnih funkcionala na X koji is£e-zavaju na M , a ⊥N je podskup od X na kojem is£ezava svaki element od N .Jasno je da suM⊥ i ⊥N vektorski prostori. Kako jeM⊥ presjek null prostorafunkcionala φ(x), gdje x poprima sve vrijednosti izM ,M⊥ je slabo∗-zatvorenpodskup od X∗. Jednostavno je pokazati i da je ⊥N norma-zatvoren1 pod-skup u X.

Naredni teorem opisuje dualnost izmeu navedena dva tipa anihilatora.

Teorem 4.3.1 Vrijedi:

(a) ⊥(M⊥) je norma-zatvara£ od M u X.

(b) (⊥N)⊥ je slabi∗-zatvara£ od N u X∗.

Dokaz:Ako je x ∈ M , tada je 〈x, x∗〉 = 0, za sve x∗ ∈ M⊥. Dakle, x ∈⊥ (M⊥).Kako je ⊥(M⊥) norma-zatvoren, sadrºi norma-zatvara£ M od M . Dakle,M ⊆⊥ (M⊥).

Obrat dokaºimo kontradikcijom. Uzmimo da x /∈ M . Denirajmo line-arni funkcional f(αx+m) = α, gdje je m ∈ M , x ∈ X, α ∈ Φ. Primijetimoda f is£ezava naM . Uzmemo li da je p(x) = ‖x‖ i primijenimo Teorem 3.1.1,slijedi da se f moºe pro²iriti do x∗ iz X∗. Kako je 〈m,x∗〉 = 0 za sve m ∈M ,to je x∗ ∈M⊥. Kako je 〈x, x∗〉 = 1 6= 0, to x /∈⊥ (M⊥) pa smo dokazali (a).

Sli£no, ako je x∗ ∈ N , tada je 〈x, x∗〉 = 0, za sve x ∈ ⊥N pa slijedi da je

x∗ ∈ (⊥N)⊥. Taj slabo∗-zatvoreni potprostor od X∗ sadrºi slabi∗-zatvara£ N

od N . Ako x∗ /∈ N , Teorem 3.1.1 (primjenjen na lokalno konveksan prostorX∗ sa njegovom slabom∗-topologijom) povla£i postojanje od x ∈⊥ N takvogda je 〈x, x∗〉 6= 0. Dakle, x∗ /∈ (⊥N)⊥, £ime smo dokazali (b).

Posljedica ovog teorema je da je svaki norma-zatvoren podskup od X ani-hilator njegovog anihilatora i da isto vrijedi za svaki slabo∗-zatvoreni podskupod X∗.

1Pojam norma-zatvoren ozna£ava da je skup zatvoren u topologiji induciranoj nor-mom.

59

4.4 Duali podprostora i kvocijentnih prostora

Prema Teoremu 1.8.1, ako je M zatvoreni potprostor Banachovog prostoraX, tada je X/M takoer Banachov prostor (u odnosu na normu kvocijentnogprostora). Duali od M i od X/M mogu se opisati pomo¢u anihilatora M⊥

od M kaoM∗ = X∗/M⊥

i(X/M)∗ = M⊥.

Ovo je neprecizna denicija jer bi umjesto jednakosti trebali staviti rela-ciju izometri£ke izomorfnosti. Naredni teorem poja²njava taj odnos. Navo-dimo ga bez dokaza.

Teorem 4.4.1 Neka jeM zatvoreni potprostor Banachovog prostora X. Tadavrijedi:

(a) Teorem 1.3.3 (Hahn-Banach) povla£i postojanje pro²irenja svakog m∗ ∈M∗ do funkcionala x∗ ∈ X∗. Deniramo li

σ(m∗) = x∗ +M⊥,

tada je σ izometri£ki izomorzam od M∗ na X∗/M⊥.

(b) Neka je π : X → X/M kvocijentno preslikavanje. Stavimo da je Y =X/M . Za svaki y∗ ∈ Y ∗ denirajmo

τ(y∗) = y∗(π).

Tada je τ izometri£ki izomorzam od Y ∗ na M⊥.

4.5 Adjungirani operatori

Svakom T ∈ B(X, Y ) pridruºit ¢emo njegov adjungirani operator T ∗ ∈B(Y ∗, X∗) i razmotrit ¢emo kako neka svojstva od T utje£u na pona²anje odT ∗.

Ako su X i Y kona£nodimenzionalni prostori, tada se svaki T ∈ B(X, Y )moºe prikazati matricom [T ]. U tom je slu£aju [T ∗] transponirana matricaod [T ]. Mi se ne¢emo baviti kona£nodimenzionalnim slu£ajem.

Mnoga netrivijalna svojstva adjungiranih operatora ovise o potpunostiod X i Y pa ¢emo pretpostavljati da su X i Y Banachovi prostori, osim unarednom teoremu (koji daje denicju od T ∗).

60

Teorem 4.5.1 Neka su X i Y normirani prostori. Svakom T ∈ B(X, Y )odgovara jedinstveni T ∗ ∈ B(Y ∗, X∗), takav da vrijedi

〈T (x), y∗〉 = 〈x, T ∗(y∗)〉, (4.7)

za sve x ∈ X i za sve y∗ ∈ Y ∗. Vrijedi

‖ T ∗ ‖=‖ T ‖ .

Dokaz:Za y∗ ∈ Y ∗ i T ∈ B(X, Y ), deniramo

T ∗(y∗) = y∗ T.

Rije£ je o kompoziciji dvaju linearnih preslikavanja i T ∗(y∗) ∈ X∗. Zatim,

〈x, T ∗(y∗)〉 = (T ∗(y∗))(x) = y∗(T (x)) = 〈T (x), y∗〉,

pa vrijedi jednakost (4.7). Kako jedankost (4.7) vrijedi za svaki x ∈ X, slijedida je T ∗(y∗) jedinstveno odreen.

Ako su y∗1, y∗2 ∈ Y ∗, tada

〈x, T ∗(y∗1 + y∗2)〉 = 〈T (x), y∗1 + y∗2〉= 〈T (x), y∗1〉+ 〈T (x), y∗2〉= 〈x, T ∗(y∗1)〉+ 〈x, T ∗(y∗2)〉= 〈x, T ∗(y∗1) + T ∗(y∗2)〉,

za svaki x ∈ X. Dakle, T ∗(y∗1 + y∗2) = T ∗(y∗1) + T ∗(y∗2). Sli£no se pokazuje davrijedi T ∗(αy∗) = αT ∗(y∗). Slijedi da je T ∗ : Y ∗ → X∗ linearan operator.

Iz Teorema 4.1.2 i 4.1.3 slijedi

‖T‖ = sup|〈T (x), y∗〉| | ‖x‖ ≤ 1, ‖ y∗ ‖≤ 1= sup|〈x, T ∗(y∗)〉| | ‖x‖ ≤ 1, ‖ y∗ ‖≤ 1= sup‖T ∗(y∗)‖ |‖ y∗ ‖≤ 1 =‖ T ∗ ‖ .

Ako T preslikava X u Y , null prostor i sliku od T ozna£it ¢emo s N(T ) iR(T ), redom. Dakle,

N(T ) = x ∈ X | T (x) = 0,R(T ) = y ∈ Y | T (x) = y, za neki x ∈ X.

Naredni se teorem bavi anihilatorima.

61

Teorem 4.5.2 Neka su X i Y Banachovi prostori i T ∈ B(X, Y ). Tada je

N(T ∗) = R(T )⊥ i N(T ) =⊥ R(T ∗).

Dokaz:Vrijedi

y∗ ∈ N(T ∗)⇔ T ∗(y∗) = 0⇔ 〈x, T ∗(y∗)〉 = 0, za svaki x⇔

⇔ 〈T (x), y∗〉 = 0, za svaki x⇔ y∗ ∈ R(T )⊥.

Sli£no, vrijedi

x ∈ N(T )⇔ T (x) = 0⇔ 〈T (x), y∗〉 = 0, za svaki y∗ ⇔

⇔ 〈x, T ∗(y∗)〉 = 0, za svaki y∗ ⇔ x ∈⊥ R(T ∗).

Korolar 4.5.1 (a) N(T ∗) je slabo∗-zatvoren skup u Y ∗.

(b) R(T ) je gust u Y ako i samo ako je T ∗ injekcija.

(c) T je injekcija ako i samo ako je R(T ∗) slabo∗-gust u X∗.

Dokaz:Prisjetimo se da je M⊥ slabo∗-zatvoren skup u Y ∗, za svaki potprostor Mod Y . Posebno, to vrijedi za R(T )⊥. Dakle, (a) slijedi iz Teorema 4.5.2.

Skup R(T ) je gust u Y ako i samo ako je R(T )⊥ = 0. U tom je slu£ajuN(T ∗) = 0.

Sli£no, ⊥R(T ∗) = 0 ako i samo ako niti jedan nenul x ∈ X ne anihiliraR(T ∗). To zna£i da je R(T ∗) slabo∗-gust u X∗.

Napomena: U dokazu Korolara 4.5.1 koristi se naredni teorem, koji stedokazali na vjeºbama. Teorem: Neka je M potprostor lokalno konveksnogprostora X i x0 ∈ X. Ako x0 /∈ M , tada postoji Λ ∈ X∗ takav da jeΛ(x0) = 1 i Λ(x) = 0, za svaki x ∈M .

Bez dokaza ¢emo izre¢i naredni, vrlo koristan, analogon Korolara 4.5.1(b). Taj nam teorem omogu¢uje da, u kontekstu od T ∗, zaklju£imo da li jeR(T ) = Y odnosno da li T preslikava X na Y .

Teorem 4.5.3 Neka su X i Y Banachovi prostori i T ∈ B(X, Y ). Tada suekvivalentne naredne tvrdnje:

(a) R(T ) = Y .

(b) ‖T ∗(y∗)‖ ≥ c‖y∗‖, za neku konstantu c > 0 i za svaki y∗ ∈ Y ∗.

62

4.6 Kompaktni operatori

Neka su X i Y Banachovi prostori i U otvorena jedini£na kugla u X. Kaºemoda je operator T ∈ B(X, Y ) kompaktan ako je zatvara£ od T (U) kompaktanu Y .

Kako je Y potpun metri£ki prostor, podskupovi od Y £iji su zatvara£ikompaktni skupovi su upravo oni koji su potpuno omeeni2. Dakle, T ∈B(X, Y ) je kompaktan ako i samo ako je T (U) potpuno omeen. Takoer,T je kompaktan ako i samo ako svaki omeeni niz xn u X sadrºi podnizxni takav da T (xni) konvergira k nekoj to£ki iz Y .

Kompaktni se operatori vrlo £esto javljaju u primjenama. Denirajmo jo²neke pojmove. Neka je X Banachov prostor. Tada B(X) nije samo Banachovprostor, ve¢ i algebra3. Ako su S, T ∈ B(X), deniramo ST ∈ B(X) sa

(ST )(x) = S(T (x)),

gdje je x ∈ X. Nejednakost

‖ST‖ ≤ ‖S‖‖T‖

lako se dokazuje.Potencije od T ∈ B(X) mogu se denirati na sljede¢i na£in: T 0 = I,

²to je identi£no preslikavanje na X, dano sa I(x) = x, a T n = TT n−1, zan = 1, 2, 3....

Kaºemo da je operator T ∈ B(X) invertibilan ako postoji S ∈ B(X),takav da je

ST = I = TS.

U tom slu£aju pi²emo S = T−1. Prema teoremu o otvorenom preslikavanju,to je slu£aj ako i samo ako je N(T ) = 0 i R(T ) = X.

Spektar σ(T ) operatora T ∈ B(X) je skup svih skalara λ takvih daoperator T − λI nije invertibilan. Dakle, λ ∈ σ(T ) ako i samo ako vrijedibarem jedna od narednih tvrdnji:

(i) Slika operatora T − λI nije £itav X.

2Neka je X metri£ki prostor. Skup A ⊆ X je potpuno omeen ako za svaki re-alan broj r > 0 postoji kona£an broj n(r) (koji ovisi o r) otvorenih kugli radijusa r,Br(x1), ..., Br(xn(r)), gdje su x1, ..., xn(r) ∈ X, takav da je A ⊆ ∪n(r)k=1Br(xk). U kona£no-dimenzionalnom normiranom prostoru, kao ²to je Euklidov prostor, potpuna omeenostekvivalentna je omeenosti. Podskup potpunog metri£kog prostora je potpuno omedjenako i samo ako mu je zatvara£ kompaktan.

3Algebra je vektorski prostor V , nad poljem Φ, na kojem je denirano mnoºenje.Mnoºenje mora biti obostrano distributivno prema zbrajanju i za svaki α ∈ Φ te za svex, y ∈ V mora vrijediti α(xy) = (αx)y = x(αy).

63

(ii) T − λI nije injekcija.

Ako vrijedi (ii), tada λ nazivamo svojstvenom vrijednosti od T . Odgova-raju¢i svojstveni prostor je N(T −λI). Svaki x ∈ N(T −λI) (osim x = 0)je svojstveni vektor od T i zadovoljava jednadºbu

T (x) = λx.

Navedeni se koncepti pojavljuju u narednom teoremu.

Teorem 4.6.1 Neka su X i Y Banachovi prostori. Vrijedi:

(a) Ako je T ∈ B(X, Y ) i dim(R(T )) <∞, tada je T kompaktan.

(b) Ako je T ∈ B(X, Y ), T je kompaktan i R(T ) je zatvoren, tada jedim(R(T )) <∞.

(c) Kompaktni operatori £ine zatvoreni potprostor od B(X, Y ), u norma-topologiji.

(d) Ako je T ∈ B(X), T je kompaktan i λ 6= 0, tada je dim(N(T − λI)) <∞.

(e) Ako su S, T ∈ B(X) i T je komapaktan, tada su kompaktni i ST i TS.

Dokaz:Tvrdnja (a) je o£igledna.

Kako je Y potpun prostor, slijedi da ako je R(T ) zatvoren, tada je R(T )potpun. Dakle, T je otvoreno preslikavanje od X na R(T ). Ako je T kom-paktan operator, tada je R(T ) lokalno kompaktan pa slijedi4 (b).

Dokaºimo (d). Neka je Y = N(T − λI). Restrikcija od T na Y je kom-paktan operator, £ija je slika Y . Dakle, (d) slijedi iz (b). Dokaz za (e) slijediiz denicije kompaktnog operatora pomo¢u omeenih nizova.

Dokaºimo (c). Ako su S i T kompaktni operatori sa X u Y , onda je to iS+T , jer je suma bilo koja sva kompaktna podskupa od Y kompaktan skup.Slijedi da kompaktni operatori tvore podprostor Σ od B(X, Y ). Kako bismodokazali (c), moramo pokazati da je Σ zatvoren skup. Neka je T ∈ B(X, Y )element zatvara£a od Σ. Odaberimo r > 0 i neka je U otvorena jedini£nakugla u X. Postoji S ∈ Σ, takav da je ‖S − T‖ < r. Kako je S(U) potpunoomeen, postoje x1, ..., xn ∈ U takvi da je S(U) pokriven kuglama radijusar sa sredi²tima S(xi). Kako je ‖S(x)− T (x)‖ < r za svaki x ∈ U , slijedi daje T (U) pokriven kuglama radijusa 3r sa sredi²tima T (xi). Dakle, T (U) jepotpuno omeen, ²to dokazuje da je T ∈ Σ.

4Na vjeºbama ste dokazali da vrijedi Teorem: Svaki lokalno kompaktan topolo²kivektorski prostor X je kona£nodimenzionalan.

64