MFR_2011-2012 - VII - Phat Trien Dong Roi

7/17/2019 MFR_2011-2012 - VII - Phat Trien Dong Roi

http://slidepdf.com/reader/full/mfr2011-2012-vii-phat-trien-dong-roi 1/97



Thuyền rẽ nướ c

Bao so 9 - Kestana - Chuptu ve tinh



VI. Phát triển dòng rối

7.1 .Đặc trưng tích phân7.2. Phươ ng trình Reynolds7.3. Giả thiết Bussinnesq

7.4. Phươ ng trình truyền ứng suất Reynolds7.5. Các dòng suy ra từ phép xấp xỉ lớ p biên7.6. Luật tươ ng tự của bài toán tia rối7.7. Hiện tượ ng học của lớ p biên7.8. Phươ ng pháp k-ε - khép hệ phươ ng trình rối



Ví dụ dòng rối

Khói rốiĐộng cơ tên lửa TITAN IVĐườ ng kính lỗ: 3mChiều c a o tổng: ≈1500mRe0 ≈ 200*106




Sự phát triển của ngọn lử aĐộng cơ trong suốt – t iết diện vuông:

(1400tr/min, Áp suất nạp: 0,5 bars, Propan: Φ=0,9)




Hình thành rối – Phươ ng pháp tia khóiDòng tầng qua lướ i (Re=1500)

Sự bất ổn định của các vùng xoáy Dòng rối




Vận tốc rối Dòng 3D Dòng không dừng - Instationnaire Dòng gián đoạn - Intermittent



7.1. Đặc trư ng tổng hợ p

Rối – Dạng thườ ng gặp trong dòng chảy công nghiệp

Vớ i dòng không nén đượ c, đẳng nhiệt – X uất hiện trạng

thái rối do số Reynolds lớ n

Dòng quá độ từ chảy tầng sang chảy rối – Tổn thất quá

trình hay đột ngột củacác tổ chức, sắp xếp: Tổn thất các đặc trưng 2D

Tổn thất tính đối xứng

Xuật hiện tính bất ổn định

Dòng phức tạp, phụ thuộc vào nhiều đặc tính




Các thông số cơ bản để xác định trạng thái:Trườ ng phân bố: vận tốc, áp suất, nhiệt độ, khối lượ ng riêng,

… “trung bình”

Đại lượ ng rối cơ bản: Nhiễu loạn, thang đơ n vị, …Trao đổi động lượ ng, nhiệt lượ ng, lưu lượ ng

Truyền tải khuếch tán (ô nhiễm, bụi, …)

…

Quá trình “Trung bình” là đủ để tối ưu 1 quá trìnhQuá trình “mịn” hơ n cho phép phát triển quá trình điềukhiển chủ độn g v à bị động (Ví dụ: Giảm ồn, làm mất sự

bất ổn định của sự cháy)




Luôn tồn tại 3 phần không thể tách biệt:

Cơ sở vật lýCác thông số đã biết

của dòng đặc trưng

Mô hình trướ c khi tái

tạo v à dự đoán

Có nhiềumôhình–Nhưng không đưa ra đượ c nghiệm

hoàn chỉnhKhông bảo đảm nghiệm nhận đượ c trong việc á p dụngcode: không biết các hiện tượ ng vật l ý cơ bảnvàmiền áp

dụng đượ c của phươ ng pháp nghiên cứu




Rối – Hiện tượ ng ngẫu nhiên

Nguyên nhân:

Không thể bỏ qua nhiễu động có trườ ng hợ pkhông thể xác định: Điều kiện ban đầu, điều kiện biên,đặc trưng của chất lỏng, …

Dòng rối rất nhạy cảm vớ i các nhiễu động này:Phươ ng trình N-S có các ảnh hưở ng phi tuyến k h i sốReynolds tăng




Rối – Hiện tượ ng ngẫu nhiên

Ví dụ: 40 giá trị của

U(n), n là bướ c lặp củathí nghiệm rối

Hiện tượ ngA=U<10m/s: không phảilà chắc chắn, không phải làkhông thể có

U có giá trị ngẫu nhiên

Nguyên nhân: Các giả thuyết cổ điển trong phươ ng trìnhNavier-Stokes???




Rối – Hiện tượ ng ngẫu nhiên Ví dụ: Mô hình Lorentz (1963)

( ) x y x y x y xz z z xyσ ρ β = − = − − = − +ɺ ɺ ɺ

σ=10;β=8/3 và

ρ=28 Hỗn loạn

σ=10; β=8/3 và ρ<ρ* (ρ*=24,74) Ổn định




Rối – Hiện tượ ng không dừ ng

U(m/s)

Mạch động Trung bình

Thờ i gian (s)




Rối – Hiện tượ ng phi tuyến

Các sóng hài lớ nvànhỏ

Tồn tại nhiều mức đơ n vị khác nhau Đặc tính rối loạn của dòng rối do giớ i hạn của cáccấu trúc nhỏ

Năng lượ ng đượ c chuyển đổi từ các bướ c sóng lớ nđếncácbướ c sóng nhỏ

Năng lượ ng của bướ c sóng lớ n l à năng lượ ng của

dòng trung bình

Nguyên nhân:

Hệ quả:




Rối – Hiện tượ ng tổn thất Do tồn tại độ nhớ t

Chỉ gặp trong chất lỏng nhớ t

Rối – Hiện tượ ng thuộc cơ học môi trườ ng liên tục

Ví dụ: Kích thướ c của mức độ tổn thất nhỏ nhất xấp xỉ1/10mm; vận tốc mạch động xấp xỉ 10% vận tốc ngoàivà tần số ≈ vài tá kHz.Khoảng cách trung bình giữa các phân tử ≈ 10-4 mm;vận tốc chuyển động nhiệt ≈ 500 m/s, tần số của vachạm ≈ 5x106 kHz.




Rối – Hiện tượ ng 3D và xoáy

Rối – Hiện tượ ng khuếch tán

Dòng trung bình có thể 2D hay 1D nhưng nhiễu độngluôn là 3D và xoáy

Đảm bảo sự trộn lẫn động lượ ng, nhiệt lượ ng và khối lượ ng trongchất lỏngNét đặc thù lý thú cho việc thẩm thấu và trộn lẫn (Ví dụ: hóa học,cháy)




Rối – Hiện tượ ng gắn vớ i bản chất dòng chảy

Rối – Hiện tượ ng không dự đoán đượ c

Toán học: Không thể đưa ra một giải pháp chung

cho các phươ ng trình Navier-Stokes Các đặc trưng phi tuyến trong phươ ng trình dẫn đếnsự khuếch đại các nhiễu động. Trong trườ ng hợ p một phươ ng pháp tính toán đượ ccoi là hoàn hảo, các điều kiện ban đầu phải đượ c xácđịnh một cách chi tiết. Các mức độ khác nhau trong dòng chảy cùng tồn tại



Dòng cho trướ c

Thí

nghiệmĐK banđầu và ĐKbiên có thể

Các nghiệmcó thể


Các tiệm cận thống kê Vật lý:

Chọn một thống

kê trướ c khi giải:

Vận tốc, áp suất là hàm ngẫu nhiên (x,y,z,t) hay (x,t) Tại một điểm theo thờ i gian có một hàm ngẫu nhiên theo thờ igian

Tại một điểm ở thờ i điểm xác định có 4 biến ngẫu nhiên




Các tiệm cận thống kê Các phươ ng trình thườ ng đượ c viết vớ i các moment thốngkê: Tổng thể: Chọn c á c mẫu đặc trưng và độc lập

Thờ i gian: Trung bình của chuyển động dừng

Pha đặc trư ng: Đặc trưng tuần hoàn

( ) ( )1

1

, lim ,n

N

i n i N n A x A x t N θ θ →∞

=

= ∑

( ) ( )2

2

1lim ,

T

i iT T

A x A x t dt T −→∞

=

∫

( ) ( )1

1, lim ,

N

i n i N

n

A x t A x t N →∞

=

=

∑




Các tiệm cận thống kê Các phươ ng trình thườ ng đượ c viết vớ i các moment thốngkê:

Không gian hữ u hạn: Trườ ng hợ p đồng chất

Không gian « lọc »: ∆ là chiều rộng của bộ lọc v à G∆ là

nhân

( ) ( )1

lim ,i D D

A t A x t dV

D→∞

=

∫∫∫

( ) ( ) ( ) ( )1

, lim , ', ', 'i i i i i D D

A x t G x x t A x t dV x D

∆→∞

=

∫∫∫




Các tiệm cận thống kê

Ergodique: Moment theo thờ i gian không phụ thuộc

vào lựa chọn thực hiện

Khi thờ i gian tích phân hay thể tích tích phân tiến đến vôcùng – Độ tin cậy càng lớ n

Nhận xét:

Dừ ng và Ergodique: Moment thờ i gian và thống kê lànhư nhau

Giảm đặc tính thốn g k ê từ việc nhận xét tiến triển từ -∞đến ∞ A và B: Hàm ngẫu nhiên theo không gian và thờ i gianα: Thông số chắc chắn




Các tiệm cận thống kê Tuyến tính:

<A+B> = <A> + <B> <αA> = α<A>

<A> là thông số chắc chắn:

<<A>> = <A>

A=<A>+a a=A-<A> <a>=<A>-<<A>>=0 <<A>B>=<A>.<B>

<A.B>=<(<A>+a).(<B+b)>=<A>.<B>+<a.b>

Toán tử trung bình liên quan đến toán tử đạo hàm (tuyếntính):

i i

A A A A

t t x x

∂ ∂∂ ∂= =

∂ ∂ ∂ ∂




Khuấy động rối – Phân biệt

Đối lưu trung bình vớ i vận tốc không đổi U0

Khuấy động v ĩ mô (xoáy)

Khuấy động phân tử (không nhìn thấy)




Khuấy động rối – Phân biệtVĨ MÔ

(Môi trườ ng liên tục)VI MÔ

C.Đ tầng

C.Đ rối

ĐỐI LƯ UKHUẾCH TÁN

(Phân tử)

ĐỐI LƯ UCHUNG

ĐỐI LƯ U RỐIKHUẾCH TÁN

(Phân tử)Chuyển độngrối

Tính giá trịtrung bình Nhiễu cầnmôphỏng




Khuấy động rối – Ví dụ

Giải: Lấy trung bình chung theo N bướ c chân

[l2

/ τ] = [L2

.T-1

]: Hệ số khuếch tán D

Bài toán: Bướ c chân của ngườ i say rượ u Tại t=0, ngườ i đó tại vị trí 0 Mỗi bướ c chân: dài l và cùng thờ i gian τ Các bướ c chân liên tiếpnhauvàcóhướ ng độc lập

Tìm khoảng cách trung bình <d2(t)> sau một N bướ cchân (N=t/ τ)

( ) ( )2

2 2 2 ld t Nl d t t

τ

= ⇒ =




Khuấy động rối – Phân biệt Chuyển động chung – Đối lưu trung bình - L

Khuấy động v ĩ m ô - l Khuấy động phân tử (khuếch tán vi mô) - ξ

Phân biệt:• Trong vết: L~1m;l~0,1m – Khác biệtkhông lớ n• ξ=10-7m – Khácbiệt r õ r iệt





Các phần tử riêng biệt (phân tử)

Mức vi mô: Chiều dài ξ = 10-7m

Vận tốc w=ξ /a=102 m.s-1 (a: Vận tốc âm thanh)

Mức/Thang << so vớ i khuếch tán trong môi trườ ng liêntục Liên hệ giữa chuyển động trong môi trườ ng liên tục

và môi trườ ng phân tử Mô hình vật lý: Luật gradient và sự khuếch tán một đặctrưng của chất lỏng.





Ví dụ:

Khuếch tán động lượ ngĐịnh luật Newton-Stokes: ν=µ / ρ (m2.s-1)

Khuếch tán nhiệt lượ ng

Định luật Fourrier: a=λ / ρcp (m2.s-1) Khuếch tán khối lượ ng

Định luật Fick: D (m2

.s-1

) Thờ i gian khuếch tán trên chiều dài δ

TD(s); δ(m); ν(m2

.s-1

)

TD=δ2

/ ν




Khuấy động rối – Phân biệt Mô phỏng khuấy động rối:

Có thể mô phỏng ảnh hưở ng của khuếch tán rốibằng khuấy động phân tử

• Khuếch tán nhớ t: νT (m2.s-1)• Khuếch tán nhiệt: aT (m2.s-1)

• Khuếch tán khối lượ ng: DT (m2.s-1)

• Giá trị ???

Mô phỏng này có thể ngầm định




Khuếch tán trong môi trườ ng liên tụcVai trò của nhớ t – Cấu trúc nhỏ

Phân loại rối:

Quán tính + các thành phần phi tuyến nổi trội Chuyển động ở cấu trúc lớ n

Vai trò của nhớ t l à chủ yếu để khẳng định rối ở cấu

trúc nhỏ (tiêu tán)




Khuếch tán trong môi trườ ng liên tục Mức kích cỡ và vận tốc của nhiễu rối:

Vận tốc:

u = U+u’

Thờ i gian đặctrưng cho rối:

TT ≈ l/u’ (s)

Thờ i gian để quay lại cấu trúc lớ n hay những xoáy lớ nchỉ tồn tại trong khoảng thờ i gian TT. Liên hệ vớ i khuếch

tán rối: νT ≈ l2 /TT vớ i νT ≈ l.u’




Khuếch tán trong môi trườ ng liên tục

νT là một đặc trưng của dòng chảy chứ không phải của

chất lỏng

Phân biệt giữa L và l không lớ n

Số Reynolds rối: RT=u’.l/ ν= νT / ν; 100≤RT≤107 νT>> ν

RT=(l2 / ν)/(l/u’)=T ν /TT T ν>>TT



7.2. Phươ ng trình Reynolds

Phươ ng trình liên tục:

Phươ ng trình động lượ ng:

0i

i

u

x

∂=

∂

( ) 21i ji i

ie j i j ja cb d

u uu u p f

t x x x xν

ρ

∂ ⋅∂ ∂∂+ = − + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

a. Biến đổi tức thờ i của ρui

b. Thông lượ ng (Biến đổi Euler)c. Gradient áp suất

d. Khuếch tán động lượ ng chuyển động

e. Lực thể tích

Phươ ng trình vi phân – ρ=const




Phươ ng trình vi phân – ρ=const Phươ ng trình liên tục:

Phươ ng trình động lượ ng:

0S

V n d S ⋅ ⋅ =∫∫

( )S S

d b ca

VdV V V n dS ndS f dV t

ρ ρ ρ Ω Ω

∂ + ⋅ = Σ⋅ + ∂ ∫∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫∫

a. Biến đổi tức thờ i của ρui trong Ω

b. Thông lượ ng động lượ ng qua Sc. Lực bề mặt bên ngoài tác động

(Σ: Tenseur ứng suất)

d. Lực thể tích bên ngoài tác động

Ω: Thể tích điều khiển

S: Diện tích bề mặt Ω

n: Pháp tuyến

Ω




Phươ ng trình liên tục

Vận tốc chuyển động: Bị ảnh hưở ng bở i nhiễu

Phươ ng trình động lượ ng

Dòng không nén đượ c

Trung bình + Nhiễu động




Phươ ng trình N-S

Phân tícha=A+a’

Phươ ng trình chuyển động (I)

Trung bình

hóa

Trừ

(I) - (II)

Phươ ng trình

trung bình (II)

Phươ ng trình

nhiễu động (III)

(I)=(II)+(III) Bỏ qua (III)

Mất thông tin

<(III)>=0

Các giả thiết

liên quan đếndòng trung bình

ì




Áp dụng phân tích Reynolds:

'0 0

0 0

i i i

i i i

ii

i i

u U u x x x

U U x x

∂ ∂ ∂= ⇒ + =∂ ∂ ∂

∂∂↓→ ⇒ = ⇒ =∂ ∂

Phươ ng trình liên tục

Sử dụng phép trừ:

'

0 0i i

i i

U u

x x

∂ ∂

= =∂ ∂

Trườ ng trung bình và nhiễu động đều

không nén đượ c

7 2 Ph ì h R ld




Trung bình phươ ng trình động lượ ng:

Phươ ng trình động lượ ng

<ui’.u j’>: Ten-xơ ứng suất Reynolds

Phi tuyến

( )( )

21i ji ii

j i j j

u uu u p

f I t x x x xν ρ

∂ ⋅∂ ∂∂

+ = − + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂

( )( )

2' ' 1i j i ji ii

j j i j j

U U u uU U PF II

t x x x x x

ν

ρ

∂ ⋅ ∂ ⋅∂ ∂∂+ + = − + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

7 2 Ph t ì h R ld




Phươ ng trình động lượ ng – Tích phân

( ) ( )' '

ab

S S

S d c

VdV V V n dS v v n dS t

ndS f dV

ρ ρ ρ

ρ

Ω

Ω

∂ + ⋅ + ⋅ ∂

= Σ⋅ +

∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫

Ω: Thể tích điều khiển

S: Diện tích bề mặt Ω

n: Pháp tuyến

Ωa: Biến đổi động lượ ng trungbình của chuyển động trung bình

b: Ten-xơ Reynolds – đặc trưngcho động lượ ng nhiễu độngtrung bình

7 2 Ph t ì h R ld




a: Đặc trưng cho chuyển động trung bình

Chuyển động trung bình

( )

( )

( )

( )

2 ' 'i ji ji i

i j i j j j

ba

u uU U U U PF

t x x x x x

ρ ρ µ ρ

∂ ⋅∂ ⋅∂ ∂∂ + = − + − +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

( ) i i i j

j

U U DU a U

t x Dt

∂ ∂= + =

∂ ∂

b: Đặc trưng cho ứng suất ở mức độ rốiTij ij

Ung suat roi hayUng suat Reynoldso ung suat - Newton

' ' jii j

j i

Ten x

U U P u u

x xσ δ µ ρ

−

∂∂= − + + − ∂ ∂

( ) ( )T

ij j

b x σ

∂

= ∂

7 2 Ph t ì h R ld




<ui’u j’> = <u j’ui’>: Đối xứngĐặc tính của ứ ng suất Reynolds

<u’2>, <v’2> và <w’2>: Ứ ng suất pháp – Thành phầnđườ ng chéo k=(1/2)(<u’2>+<v’2>+<w’2>): Nửa “vết” của ten-xơ –k: Động năng trên một đơ n vị khối lượ ng của chuyển độngphân tử <u’v’>, <u’w’> và <v’w’>: Ứ ng suất tiếp

Hệ quy chiếu gắn vớ i trục chính của ten-xơ

trị riêngλi=<ui’2> ≥ 0. Ten-xơ đối xứng, ½ xác định dươ ng

Ten-xơ đẳng hướ n g c ó vết =0:

aị j=<ui’u j’>-2/3kδij (aij=0) hay bij=aij /2k

7 2 Phương trình Re nolds




Tính phi tuyến của phươ ng trình Navier-Stokes

Xuất hiện các moment bậc lớ n hơ n 2

Ứ ng suất Reynolds – Khép kín bài toán

Dòng tầng 3D: Dòng rối 3D:

Phươ ng trình liên tụcPhươ ng trình động lượ ng

C.I và C.L

4 phươ ng trình4 biến ui và p

Khép kín bài toán: <ui’u j’> đượ c xấp xỉ /mô hình hóa

Phươ ng trình liên tụcPhươ ng trình động lượ ng

C.I và C.L vớ i Ui

4 phươ ng trình10 biến Ui và P và <ui’u j’>

7 2 Phương trình Reynolds




Đại lượ ng vô hướ ng Nhiệt độ, khối lượ ng riêng, …

Nhiệt độ T: T = <T> + θ. Phươ ng trình truyền nhiệt:

( ) 2 2i

i i i i i

u T T T DT T a a

t x x x Dt x x

∂∂ ∂ ∂+ = ⇒ =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

a: Hệ số khuếch tán nhiệt (m2.s-1)Phươ ng trình truyền nhiệt trung bình:

( ) 2 'i i

i i i i

U T T T u

at x x x x

θ ∂∂ ∂ ∂

+ = −∂ ∂ ∂ ∂ ∂

'i

i i

D T T a u

Dt x x

θ ∂∂

⇒ = − ∂ ∂

7 2 Phương trình Reynolds




Đại lượ ng vô hướ ng

Vec-tơ <θui’>: Ảnh hưở ng trung bình của nhiễu trao đổi

nhiệt vớ i vận tốc ui’

Cần m ô p hỏng vec-tơ <θui’>

Ví dụ: Vùng trộn lẫn vớ i độ chênh nhiệt độ ∆T

v’<0 θ>0

v’>0 θ<0

Thông lượ ng nhiệt

lượ ng rối tiến đến y<0

7 3 Giả thiết Bussinesq



7.3. Giả thiết Bussinesq

Mô phỏng ứng suất Reynolds Bussinesq 1877: Sử dụng ý tưở ng khuếch tán rối

Mô hình còn nhiều hạn chế, nhưng cho phép hiểu mộtcách cơ bản các mô hình phức tạp hơ n

Phân tích vớ imôphỏng khuếch tán phân tử:

ij2' ' 23 ji

i j T T ij

j i

U U u u k S x x

ρ δ µ µ ∂

∂ − − = + = ∂ ∂ Sij: Tỉ lệ biến dạng trong chuyển động trung bình

Các ten-xơ có vết bằng 0

'i T

i

T u a

xθ ∂− =

∂





( )i T

i i i

D T T T T U a a

Dt t x x x

∂ ∂ ∂∂= + = +

∂ ∂ ∂ ∂

aT và νT=µT / ρ: Khuếch tán rối

P+2/3ρk = P*: Áp suất trung bình tươ ng đươ ng

Phươ ng trình trong chuyển động trung bình:

( )2

3

i i i j

j

jiT

j j i i

DU U U U

Dt t x

U U P k

x x x x

ρ ρ

µ ρ

∂ ∂= +

∂ ∂

∂∂∂ ∂ = + + − +

∂ ∂ ∂ ∂





Mô phỏng νT: νT≈l.u’ Mô phỏng đơ n giản nhất l: Chiều d à i của rối

u’: Vận tốc rối Khép kín bài toán:

Mô hình tuyến tính: 1 quan hệ tuyến tính liên hệgiữa νT và đặc trưng của dòng trung bình

Mô hình 1 phươ ng trình: Viết phươ ng trình cho

k≈u’2

và cố định mức hay 1 phươ ng trình mô phỏngcho νT

Mô hình 2 phươ ng trình: 1 phươ ng trình cho k và ε

(tỉ lệ tiêu tán trên một đơ n vị khối lượ ng [L2.T-3])

7 4 Phương trình ứng suất Reynolds



7.4. Phươ ng trình ứ ng suất Reynolds

Phươ ng trình N-S trung bình:

Phươ ng trình N-S tức thờ i:

Phươ ng trình N-S mạch động (ứng suất Reynolds):

( )( )

21i ji ii

j i j j

u uu u p f I

t x x x xν

ρ

∂ ⋅∂ ∂∂+ = − + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

( )( )

2' ' 1i j i ji ii

j j i j j

U U u uU U PF II

t x x x x x

ν

ρ

∂ ⋅ ∂ ⋅∂ ∂∂+ + = − + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

( )

( )

2

' ' ' '' '

'

'1 '

i j i ji i i

j j

j j j

i

i j j

u u u uu U u

u U t x x x

u p III

x x xν

ρ

∂ −∂ ∂ ∂

+ + +∂ ∂ ∂ ∂

∂∂= − +

∂ ∂ ∂

7.4. Phương trình ứng suất Reynolds




Nhân phươ ng trình (III) chỉ số i vớ i u j’vàchỉ số j vớ i ui’rồi cộng lại vớ i nhau:

22

' ' ' ' ' '

' ' ' ' '' '' ' ' '

''1 ' '' ' ' '

i j i j j

k k i

k k

i j k j k i i k k j j i

k k k k

ji j i j i

i j k k k k

u u u u U U u ut x x

u u u u uU u uu u u u x x x x

uu p pu u u u x x x x x x

ν ρ

∂ ∂ ∂+ +∂ ∂ ∂

∂ ∂∂ ∂+ + − −∂ ∂ ∂ ∂

∂∂∂ ∂= − + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂





' ' ' 'i j i j

k ij ij ij ij ij

k

u u u u

U P T Dt x ε ∂ ∂

+ = + + Π + −∂ ∂

Lấy trung bình:

Pij: Lượ ng sản sinh rối – Chuyển đổi năng lượ ng bở i tươ ng tác

vớ i chuyển động trung bình Tij: Chuyển tải rối – K h uếch tán do ảnh hưở ng của nhiễu độngvận tốc

Πij: Gradient áp suất – Trao đổi do tươ ng tác áp suất – vận tốc Dij: Khuếch tán nhớ t - Do nhớ t

εij: Ten-xơ tổn thất – tiêu tán nhiệt





ij

ij ij

2

ij ij

' ' ' '

' ' ' 1 ' '' '

' ' ''2

j ik i k j

k k

i j k

j i

k i j

i j ji

k k k k

U U P u u u u

x x

u u u p pT u u

x x x

u u uu D

x x x x

ρ

ν ε ν

∂ ∂= − +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= − ∏ = − + ∂ ∂ ∂

∂ ∂∂= =

∂ ∂ ∂ ∂

Sự biến đổi tổng thể của ứng suất Reynolds








g g y

Thêm phươ ng trình cho ứng suất Reynolds

Xuất hiện thêm các biến mớ i:

Liên hệ ba:

Liên hệ áp suất-vận tốc:

Liên hệ giữa các gradient vận tốc:

Cần khép kín hệ phươ ng trình

'' ji

k k

uu x x

∂∂

∂ ∂

''i j

pu

x

∂∂

' ' 'i j k u u u

7.5. Các dòng suy ra từ phép xấp xỉ lớ p biên



g y p p p p

2'1T T

u R

u

ν δ δ ν

ν ν δ = = = >>

Dòng xoáy mảnh - Do hướ ng đối lưu làchủ yếu

Số Reynolds ‘‘lớ n’’: Re=U∞

L/ ν và RT=u’l/ ν

Giả thiết

Ma sát rối chủ đạo

Rối là nguyên nhân chính của khuếch tán vớ i mức δ Vai trò của thành Điều kiện dính vớ i trườ ng vận tốc tức thờ i

Gần thành – Khuếch tán nhớ t chủ đạo

Xét vùng đặc trưng bở i δT <<δ

Lớ p biên




g y p p p p

Dòng trong (a-kênh chữ nhật; b-ống)- Vùng vào: δ<<h – Dòng ở giữa và gradient áp suất ≠0

- Vùng thành lập ‘‘établi’’: Các đặc trưng không phụ thuộc v à o x- Khoảng cách để xác lập vùng rối rất nhạy cảm phụ thuộc vào cácđiều kiện vào: tầng/rối, dạng profil, độ nhám thành… Rối đượ c xác

lập tại vị trí có khoảng cách 20-100 lần d Dòng ngoài (c-lớ p biên)- Các đặc trưng phát triển tự do theo mức δ

- Chậm theo x




g y p p p p

Dòng xác lập trong ống kênh Giả thiết:

- b>>h Dòng trung bình 2D

- Dòng trung bình xác lập (khôngphụ thuộc x)- Dòng đối xứng

Ud: Vận tốc đầu vào

Số Reynolds:2

Re d d hU U δ

ν ν = =

00Re U δ

ν = U0: Vận tốc dọc

Hệ số cản cục bộ:

( ) ( )2 2

01 2 1 2 f p f p d c U C U τ ρ τ ρ = =




Dòng xác lập trong ống kênh Phươ ng trình liên tục và điều kiện biên:

Phươ ng trình động lượ ng theo y:

pp(x): Áp suất t ĩ nh trên thành

Gradient áp suất t ĩ nh đồng nhất dọc theo dòng chảy

( ) ( ) ( )0 0 2 0 0dV

V y V y V ydy δ = = = = = ⇒ =

( )2

2'10 ' pd v p xP Pv y dy ρ ρ ρ

∂= − − ⇒ + =∂

1 1 pdpP

x dx ρ ρ

∂=

∂




Dòng xác lập trong ống kênh2

2

' '10 pdpd u vP d U d

x dy dy dy dx

τ ν

ρ

∂= − − + ⇒ =

∂

Dòng xác lập không có gia tốc

Cân bằng giữa gradient áp suất dọc (theo x) và ma sát (theo y)

dτ /dy và dpp /dx là hằng số

( ) ' 'dU

y u vdyτ µ ρ = −




Dòng xác lập trong ống kênh Ma sát tại thành τp=τ(y=0)

Tính bất biến – Vớ i mọi (ρ, ν) và trạng thái của dòng(tầng/rối):

Dòng luôn đượ c tồn tại bở i gradient áp suất

Trong vùng xác lập, ∂P/ ∂x=const Profil của ma sát toàn phần là tuyến tính

( ) 1 p p

pdp y ydx

τ τ τ δ δ

= − ⇒ = −




Dòng xác lập trong ống kênh

( ) ' ' 1 p

p p

dpdU y y u v Rdy R dxτ ρ µ τ τ

= − + = − ⇒ = −

Ống bán kính R:

Profil vận tốc trung bình tầng/rối (I/II) trong ống Re=4000

Cùng vận tốc/lưu lượ ng Cùng gradient áp suất




Dòng xác lập trong ống kênh Vận tốc ma sát uτ: τ = ρ uτ

2

Làm không thứ nguyên vớ i mức δ, uτ

Số Reynolds rối RT=δuτ / ν

RT>>1

Không còn ảnh hưở ng của nhớ t

2 2' ' 1 pdpdU yu v u udy dx

τ τ δ ν δ ρ − + = − = −

( )( )2

' '1

d U uu v y

u u d y

τ

τ τ

ν

δ δ δ

− + = −





1 T

u u

Ru

τ ν τ

ν τ τ

δ δ ν δ

δ ν ν δ = ⇒ = ⇒ = =

Chiềudàycủa nhớ t δ ν

RT: Độ lớ n cần thiết để xét dòng gần thành

Phươ ng trình của profil ma sát viết vớ i y

+

=y/ δ ν

- Xa thành: y+ hữu hạn,RT>>1 τ≈const

- y+

=yuτ / ν – Số Reynolds cục bộ giữa nhớ t – Quán tính

( )

( )

2

' '1 1

T

d U uu v y y

u d y R

τ

τ ν ν δ δ δ

+ + − + = − = −




Dòng xác lập trong ống kênh Phân biệt:

- Vùng trong: y/ δ<0,1 – Không chịu ảnh hưở ng bở i mức δ

- Vùng ngoài: y+>30 – y>>δ ν – không chịu ảnh hưở ng bở i nhớ t

Tại ranh giớ i của hai vùng (trong/ngoài):

Mô phỏng khuếch tán rối:

Vớ i l≈y – v à u≈uτ:

2' ' 1u v uτ − =

' ' T T

dU

u v ludyν ν − = ≈

2 1' '

udU dU u v u yu

dy dy y

τ τ τ κ

κ − = = ⇒ =





( )1 1 lndU

U y Bdy yκ κ

++ +

+ += ⇒ = +

Đặt y+=y/ δ ν và U+=U/uτ

Tích phân vùng sát thành – Luật logarith y+>>1:

κ: Hằng số Von Karman

B: Hằng số tích phân

Tích phân vùng ngoài:Luật logarith: B1=0

Thí nghiệm: B1=0,8

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

ext ext

paroi

11

T

dU dy u y

dU dy u y R

τ ν ν

τ ν

δ δ

δ δ

= = = = <<

κ=0,41 và B=5,2 vớ i s a i số ±5%

( )

0

1

1

ln

u U U dU

y Bdy y u

τ

τ δ κ κ

−= ⇒ = +




Dòng xác lập trong ống kênh Profil vận tốc trung bình của dòng rối xác lập:

Vùng tampon – chuyển tiếp giữay+=5 và y+=30

y+

>30: chuyển động rối đóng vai trò chủđạo. 30<y+<<RT vớ i RT lớ n:

Bỏ qua ảnh hưở ng rối (không phải dòng tầng mà là nhiễu động không

gây ra ảnh hưở ng đáng kể đến ma sát)

Vùng dướ i vùng nhớ t: y+<5

2' ' 1u v uτ − =

2 pudU dy U y hay U y yτ τ ν µ

+ + + +⇒ = = =




Lớ p biên trên thành mỏng

( ) ( )*0 0

0 0 01 1U U U x dy x dy

U U U δ θ

∞ ∞

= − = − ∫ ∫

Vận tốc ngoài U0(x): liên hệ vớ i á p s uất qua phươ ng trình

Bernoulli (Re0>>1) – Trườ ng hợ p đơ n giản nhất U0(x)=const.

Các chiều dày đặc trưng:- δ(x): Chiều dày 99%

- δ*(x): Chiều d à y dịch chuyển- θ(x): Chiều dày động lượ ng- H=δ*/ θ: Hệ số dạng

Giả thiết:- Phát triển liên tục theo x. Chiều dày: δ(x) tăng theo x

- Ma sát thành τp(x) chưa biết (dòng trong – liên hệ vớ i dpp/dx)- Vùng ngoài có giao diện rối/dòng ngoài – Hiện tượ ng ngắt quãng




Lớ p biên trên thành mỏng Các số Reynolds:- Rex=U0x/ ν: Phân biệt vùng quá độ

- Reδ=U0δ / ν; Reδ*=U0δ*/ ν, Reθ=U0θ / ν

Phươ ng trình Von Karman:

U0=const Liên hệ giữa ma sát thành và động lượ ng:

( )2 * 00 0

p dU d U U dx dx

τ θ δ ρ

= +

20 21

2 0

2 p p

f

d d U c

dx U dx

τ τ θ θ

ρ ρ = ⇒ = =




Lớ p biên trên thành mỏng Profil vận tốc trungbình – Rối xác lập

- Vùng sát thành – Vùngdướ i nhớ t

- Vùng tampon và

logarith « tươ ng tự »- V ù n g « vết » khác




Lớ p biên trên thành mỏng Vùng “vết”:

- Cole (1954):

- Vùng ngoài:

Π: Thông số vết W: Hàm vết

( )

( ) 2

yW

W 2sin 2

pU f yu

ν

τ

δ κ δ

π η η

Π = +

=

( ) ( )0 1ln W 2

U U

uτ

η η κ κ κ

− Π Π= − − +




Lớ p biên trên thành mỏng

( ) ( )( )2,584

100,370 log Re f xC x−

=

Ma sát:

- Vớ i uτs/ ν<5 – Lớ p biên rối « mịn ». Công thức Schultz-Grunov5.105<ReL<5.108:

- Thủy lực: Re lớ n, Cf không phụ thuộc vào Re. Schlichting (1979),lớ p biên rối tại mép vào 102<L/s<106:

( ) ( ) 2,5102,87 1,58log f C x x s − = +

7.6. Các quy luật tươ ng tự của tia rối



7.6. Các quy luật tươ ng tự của tia rối



b ou d

H

I1- Cône potentiel

I2- Zone développée

II- Zone d’impact III- Jet de paroiIII- Jet de paroi

I - J e t l i b r e

Paroi d’impact

Y

X

0

ZR

Zg

Rg

7.7. Hiện tượ ng học của lớ p biên



Cân bằng giữa “đối lưu” theo x và “khuếch tán” theo y

Luôn tồn tại chế độ tầng/quá độ /rối

7.7. Hiện tượ ng học của lớ p biên



Lớ p biên tầng: Ổn định hoặc không ổn định (nhiễu)

Lớ p biên quá độ: Vừa có tính chất của tầng vừa cótính chất của rối – t hực nghiệm

Lớ p biên rối: Hiện tượ ng 3D, không dừng, khôngnắm bắt đượ c, khó mô phỏng, phải sử dụng giả thiếtđể đơ n giản hóa

7.8. Phươ ng pháp k-ɛ - khép hệ phươ ng trình rối



Phân tích Reynolds trong phươ ng trình Navier-Stokes thêm phươ ng trình + biến mớ i

Tổng số biến > tổng số phươ ng trình nhận đượ c cầnkhép kín bài toán.

35(10) <ui’u j’uk’>(9) <ui’∂p’/ ∂x j>(6) <∂ui’/ ∂xk.∂u j’/ ∂xk>

10(1) liên tục(3) N.S. trung bình(6) ứng suất Reynolds

(3) Ui(1) P(6) <ui’u j’>

10(6) <ui’u j’>4(1) liên tục(3) N.S trung bình

(3) Ui

(1) P

Số biếnBiến thêmSố PTPT đã cóBiến cần tính

Khép hệ phươ ng trình rối




Tiếp tục tìm đượ c các phươ ng trình mớ i nhưng sẽ chứa

các biến mớ i. Phươ ng trình chính xác của một momen bậc n kéo theo sự môphỏng của một momen bậc cao hơ n.

Để việc “mô phỏng” các biến thêm vớ i trợ giúp của các“luật” bổ sung không kéo theo các biến mớ i Mô hình

đóng





Có 2 dạng mô hình:

Mô hình bậc 1 (mô hình độ nhớ t rối): cơ sở các giả thiếtcủa Boussinesq – mô hình trực tiếp các ứng suất Reynoldstrên cơ sở nhớ t rối µT.Tươ ng đối đơ n giản để sử dụng nhưng chất lượ ng mô hình hóa µT

ảnh hưở ng trực tiếp đến chất lượ ng của dòng trung bình.

Mô hình bậc 2: Các ứng suất Reynolds đượ c tính một

cách trực tiếp. Mô hình hóa dựa trên các moment có bậclớ n hơ n.Việc áp dụng rất tế nhị nhưng bù lại kết quả lại tốt hơ n mô hình trên.





Giải pháp phổ biến nhất trong công nghiệp: RANS.

Cho phép tính dòng trung bình và các đại lượ ng đặc trưngcủa rối (động năng k và tổn thất ε).

Ư u :

Giải đượ c phần lớ n dòng trong công nghiệp Nhượ c : Không dẫn đến các đại lượ ng tức thờ i, giớ i hạncủa mô hình khép kín.Phần lớ n các code tính toán RANS trong công nghiệp đềusử dụng mô hình khép kín bậc 1 dạng k-ε.

RANS




Mô hình rối (k-ε) đượ c sử dụng rộng rãi trong các codetính toán của phần mềm thươ ng mại CFD (FLUENT).

Cần: Lướ i hóa miền tính toán, Áp đặt các điều kiện biên quyết định chất lượ ng kết quảnhận đượ c. Thành lập các phươ ng trình mô hình (2 phươ ng trình):

- 1 phươ ng trình của k – động năng rối

- 1 phươ ng trình của ε – tổn thất rối Xuất hiện c á c hằng số trong hai phươ ng trình đó. Mục đích: địn h r õ căn bản vật l ý của một mô hình để tận

dụng các ưu điểmvàg iớ i hạn.

Mô hình rối k-ε





Ý tưở ng của mô hình rối k-ε:

Các biến: 6 trườ ng vô hướ ng (Ui, P, k, ε)

Độ nhớ t rối mô hình hóa độ nhớ t rối:

2

t

k C µ ν

ε =




Mô hình rối k-εÝ tưở ng chính để thành lập µt : Xét trườ ng hợ p l ý tưở ng rối đồng nhất c ó sự cắt không đổi(cisaillement).

Phươ ng trình động năng mạch động:

t

Dk P

Dt ε = −

Nếu dòng là dừng: đồng nhất giữalượ ng sản sinh Pt và tổn thất ε




Mô hình rối k-εGiả thuyết của Bradshaw: ' 'u v k c± =

' 't dU P u vdy

= − ' ' dU u vdy

ε ⇒ = − 2' ' dU u v ck dy

ε = −

' ' t

dU u v

dy

ρ µ − =

2

t

k c µ ρ

ε ⇒ =

2t

t

k c

µ ν

ε ⇒ = =

Giả thuyết của Boussinesq vớ i ứ ng suất Reynolds:




Mô hình rối k-εPhân biệt thứ nguyên: Khuếch tán rối:

Giả thuyết Boussinesq:

T l uν ≈ ⋅

( )

2 2 3

' ' t

dU dU u uP u v u l

dy dy l lν ε

= − = ≈ ⋅ ≈ ≈

21 ' '

2 i ik u u u= ≈3 2

D

u k C

k l l

ε ε ≈ ⇒ =

2 2

2 2

; ;T

T T

l l k l u u u k u u

k k

hay C µ

ν ε

ν ν ε ε

≈ ⋅ = ≈ ≈

⇒ ≈ =




Mô hình rối k-ε – Xây dự ng phươ ng trình k Phươ ng trình ứng suất Reynolds:

' ' ' 'i j i j

k ij ij ij ij ij

k

u u u uU P T Dt x

ε ∂ ∂+ = + + Π + −∂ ∂

Pij: Lượ ng sản sinh rối – Chuyển đổi năng lượ ng bở i tươ ngtác vớ i chuyển động trung bình

Tij: Chuyển tải rối – K h uếch tán do ảnh hưở ng của nhiễu độngvận tốc

Πij: Gradient áp suất – Trao đổi do tươ ng tác áp suất – vận tốc Dij: Khuếch tán nhớ t

εij: Ten-xơ tổn thất




Mô hình rối k-ε – Xây dự ng phươ ng trình k

ij

ij ij

2

ij ij

' ' ' '

' ' ' 1 ' '' '

' ' ''2

j ik i k j

k k

i j k

j i

k i j

i j ji

k k k k

U U P u u u u

x x

u u u p pT u u

x x x

u u uu D

x x x x

ρ

ν ε ν

∂ ∂= − +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= − ∏ = − +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂

= =

∂ ∂ ∂ ∂

Sự biến đổi tổng thể của ứng suất Reynolds


ố



Mô hình rối k-ε – Xây dự ng phươ ng trình kĐặt i=j trong phươ ng trình ứng suất Reynolds

Phươ ng trình k: 1 ' '2 i ik u u=

:

2' ' ' ' '1 1' '

2

T Chuyen doi

P

i i i k ik i

k k i k k

can mo hinh hoa can mo hinh hoa can mo hinh hoa

U u u u u p Dk k u u

Dt x x x x xν ε

ρ

∂ ∂ ∂ ∂= − − − + −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂


ố



Mô hình rối k-ε – Xây dự ng phươ ng trình k Mô hình hóa thành phần đầu tiên: áp dụng trực tiếpgiả thuyết của Boussinesq

2' '

3 ji i i

k i t ij

k j i k

U U U U u u k

x x x xν δ

∂∂ ∂ ∂− = + − ∂ ∂ ∂ ∂

Quy luật liên kết ten-xơ ứng suất nhớ t vớ i trườ ng vận tốc:

jiij

j i

uu

x xτ µ

∂∂= + ∂ ∂

1977, kết nối ten-xơ Reynolds vớ i trườ ng trung bình

jiij t

j i

U U R

x x

µ ∂∂

= +

∂ ∂


ố



Mô hình rối k-ε – Xây dự ng phươ ng trình k Mô hình hóa thành phần đầu tiên: Khuyết điểm

11

22 11 22 33

33

' ' 2

' ' 2 0

' ' 2

t

t

t

U R u u x

V R v v R R R

y

W R w w

z

ρ µ

ρ µ

ρ µ

∂= − = ∂

∂ = − = ⇒ + + =

∂ ∂

= − =

∂ Thêm vết của tenseur ứng suất hay k:2

3

jiij t ij

j i

U U R k

x x

ρ δ ∂∂

= + −

∂ ∂


ố



Mô hình rối k-ε – Xây dự ng phươ ng trình k Mô hình hóa thành phần thứ hai:

' '' ' '12

ji i k

k j

k uu u u x x

∂∂− = −∂ ∂

Kết nối k ’ vớ i giá trị trung bình của nó k, dướ i dạng thànhphần khuếch tán, bở i một thành phần tỷ lệ vớ i gradient :

' ' t j

k j

k k u

x

ν

σ

∂− =∂

1' ' '2 i i

k u u=

' , ' 0k k k k ≠ = ≠


ì ố ì



Mô hình rối k-ε – Xây dự ng phươ ng trình k Mô hình hóa thành phần thứ ba: (tươ ng tự thành phần 2)

' ' ' ' '1 12i i k i t

i k i i k j

u u u u p k x x x x x

ν ρ σ

∂ ∂∂ ∂ ∂− + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Phươ ng trình k:

2

2

3 ji i

k t ij

k j i k

t

i k j k k

U U U k k U k

t x x x x

k k

x x x x

ν δ

ν ν ε

σ

∂∂ ∂∂ ∂+ = + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂+ + − ∂ ∂ ∂ ∂


Mô hì h ối k Xâ d h ì h



Mô hình rối k-ε – Xây dự ng phươ ng trình ε' '

2 i i

k k

u u

x xε ν

∂ ∂=

∂ ∂

2'' ' ' '2 2 '

' ' ' ' '2

k

k

can mo hinh hoa can mo hinh hoa

ji i k k i ik

j k k i j j j k

i i k k

j k i k

can mo hinh hoacan mo hinh hoa

U t x

uU u u u u U u

x x x x x x x x

u u u u

x x x x

ε ε

ν ν

ε ν ν

∂ ∂+∂ ∂

∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= − + −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂− − +

∂ ∂ ∂ ∂

2 222 ' '

2 i i

k k j k j k

can mo hinh hoa

u u

x x x x x x

ε ν

∂ ∂∂−

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂


Mô hì h ối k Xâ d h t ì h



Mô hình rối k-ε – Xây dự ng phươ ng trình ε

' '' i i

j j

u u x x

ε ν ∂ ∂=∂ ∂

2

1 2

:: : tan

j

j

ji i t t

j i j j j

Dissp Ton that P San sinh Diff Khuech

U t x

U U U k k C C

x x x x x

ε ε ε

ε ε

ε

ε ε

ν ε ν

ε σ ε

∂ ∂+

∂ ∂

∂∂ ∂ ∂ ∂= + + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

ε’ là nhiễu động (không đối xứng) của tổn thất rối ε vàđượ c định ngh ĩ a là:

Phươ ng trình ε:


Mô hì h ối k Xâ d h t ì h




Cµ : trong vùng P=ε giá trị của Cµ đặc trưng cho ứng

suất kéo trong dòng kéo (phụ thuộc v à o số Reynolds rối RTvà dạng dòng). Cε1: đượ c tham khảo từ vùng log của lớ p biên hoặc trongtrườ ng hợ p rối đồng nhất kéo. Cε2 : đượ c xác định thông qua tình huống rối đồng nhấtvà đẳng hướ ng (THI). Cε2 dao động từ 1,8 đến 2. Cε2 = 1,92là giá trị tối ưu trong thực tế. Các số Prandtl σk và σε : nghiên cứu nghiệm của cácphươ ng trình trên biên giớ i tự do của dòng rối.


Mô hì h ối k Xâ d h ơ t ì h




1 20,09; 1,44; 1,92; 1; 1,3k C C C µ ε ε ε σ σ = = = = =

Giá trị của 5 hằng số đượ c xác định từ thực nghiệm vớ i

các dòng đơ n giản (rối giảm tự do, dòng trong ống, …).

Các giá trị đượ c á p dụng thườ ng xuyên:


Mô hì h ối k ε∂ 2k




( )

2

2

1 2

0

1

i

i

ji it

i j j i

ji i t t

j i k i k j j j

ji i t t

j i j j j

U

x

U DU U P

Dt x x x x

U U U Dk k k

Dt x x x x x x x

U U U D k k C C

Dt x x x x xε ε

ε

ν ν ρ

ν ν ν ε

σ

ν ε ε ν

ε ε σ

∂=

∂

∂∂∂ ∂= − + + + ∂ ∂ ∂ ∂

∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂∂ ∂ ∂ ∂= + − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

2

t

k C µ ν

ε =


Mô hình rối k ε Khép hệ phương trình rối




6Không6(1) liên tục(3) N.S. trung bình(1) k

(1) ε

(3) Ui(1) P(1) k

(1) ε

35(10) <ui’u j’uk’>(9) <ui’∂p’/ ∂x j>

(6) <∂ui’/ ∂xk.∂u j’/ ∂xk>

10(1) liên tục(3) N.S. trung bình

(6) ứng suất Reynolds

(3) Ui(1) P

(6) <ui’u j’>

10(6) <ui’u j’>4(1) liên tục(3) N.S trung bình

(3) Ui

(1) P

Số biếnBiến thêmSố PTPT đã cóBiến cần tính

Mô hình rối k-ε - Khép hệ phươ ng trình rối

Documents

MFR_2011-2012 - VII - Phat Trien Dong Roi