MGAN1_U2_A2,A3…_ROOE (1).docx

8/18/2019 MGAN1_U2_A2,A3…_ROOE (1).docx

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1. A partir del triángulo con vértices A (− 2, 1 ), B (4,7 ), C (6, − 3 ) :a. Hallar las ecuaciones de los lados

x(¿¿1, y1)

¿

x(¿¿2, y2)

¿

Primero el lado A (−2, 1 ), B (4,7 )

Para hallar las ecuaciones utilizare la siguiente formula:Primero el lado

y=( y2− y1 x2− x1 )( x− x1 )+ y1Sustituyendo valores

y=

( 7− 1

4 −(− 2 ))( x−(− 2 ))+(1 )

Realizando operaciones

y=(66 )( x+2 )+(1) , y= x+3 Ecuación del lado A,B

x(¿¿1, y1)¿

x(¿¿2, y2)¿

Segundo el lado B (4,7 ), C (6, − 3 ),

Sustituyendo valores y realizando operaciones

y=(− 3 − 76 − 4 )( x− 4 )+7 , y=(− 102 )( x− 4 )+7 , y=− 5 x+20 +7

y=− 5 x+27 Ecuación del lado B,C


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x(¿¿1, y1)

¿

x(¿¿2, y2)

¿

Tercer el lado C (6, − 3 ), A(− 2,1 ),

y=(1 −(− 3 )− 2− 6 )( x− 6 )+3 , y=( 4− 8 )( x− 6 )+(−3 )

y=− 0.5 ( x− 6 )+3 , y=− 0.5 x+3 -3

y=− 0.5 x Ecuación del lado C, A


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b. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el vértice A y

es paralela al lado opuesto BC

Triángulo con vértices A (− 2, 1 ), B (4,7 ), C (6, − 3 ) :Encontrar el a pendiente de la recta de que pasa por los vértices B,C

x(¿¿1, y1)

¿

x(¿¿2, y2)

¿

B (4,7 ), C (6, − 3 )

FORMU A

x2− ¿ x1 y

2− ¿ y1¿m= ¿

Sustituyendo valores tene!os que"

m= − 3 − 76 − 4 =

− 102 # $%

Utilizando la si&uiente 'or!ula (all)ra!os la ecuación que se nos pide en estecaso que pasa por el vértice A

x(¿¿1, y1)

¿

A (− 2, 1 )

y− y1= m( x− x1 )

Sustituyendo valores

y− 1 =− 5 ( x− (− 2 ))

y− 1 =− 5 ( x+2 )


5/33

y=− 5 x− 10 +1

y=− 5 x− 9


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c. ncontrar las ecuaciones de las rectas que pasan por el vértice B y trisecan

el lado opuesto AC

*ri)n&ulo con vértices A+$ ,-., B+/,0., C+1,$2."3ri!ero de4o encontrar los puntos que trisecan la recta A,C

x(¿¿1, y1)¿

x(¿¿2, y2)¿

A+$ ,-., C+1,$2.3ara esto utilizare la si&uiente e5presión al&e4raica

D=(2 x1+ x23 , 2 y1+ y23 )Sustituyendo ten&o que

2 (− 2)+6¿¿1+(− 3 )¿

2 (¿3 ¿) D= ¿

#

2− 3− 4 +6

3, ¿

(¿¿3 )

D=(23 , − 13 ) E=( x1 +2 x23 , y1 +2 y23 )

Sustituyendo tenemos que:

1 +2 (− 3)= ¿3

− 2 +2 (6 )3

, ¿

E= ¿

#

1− 6 = ¿3

− 2 +123

, ¿¿

E=(103 , − 53 ) Ahora hallaremos las ecuaciones de las rectas

x(¿¿1 , y1 )

¿

x(¿¿2 , y2 )

¿

B(4, 7), D (0.67, − 0.33 )


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y=( y2− y1 x2− x1 )( x− x1 )+ y1 y=(− 0.33 − 70.67 − 4 )( x− 4 )+7 # (− 7.33− 3.33 )( x− 4 )+7 # 2.20 ( x− 4 )+7 y= 2.20 x− 1.8 a ecuación de la pri!er recta que pasa por los vértices B, 6

x(¿¿1 , y1 )

¿

x(¿¿2 , y2 )

¿

B+/, 0., E (3.33, − 1.67 )

y=

( y2− y1

x2− x1 )( x− x1 )+ y1

y=(− 1.67 − 73.33 − 4 )( x− 4 )+7 y=(− 8.67− 0.67 )( x− 4 )+7 y= 12.94 ( x− 4 )+7

=12.94 x− 51.76 +7

y= 12.94 x− 44.76


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d. !allar los vértices del triángulo "ormado por las rectas que pasanpor los vértices A , B , C y son paralelas a los lados opuestos.

Triángulo con v rtices A!-",#$, B!%,&$, '!(,-3$:

ncontrando las pendientes con la "ormula

x2− ¿ x1 y2− ¿ y1

¿m= ¿

Triángulo con v rtices A!-",#$, B!%,&$, '!(,-3$:

A (− 2, 1 ), B(4,7 )

m= 7− 14 −(− 2 ) #

66 #-

B (4,7 ), C (6, − 3 )

m= − 3 − 76 − 4 =

− 102 # $%

C (6, − 3 ), A(− 2, 1 )

m=1−(− 3 )− 2− 6 #

4

− 8 #$78%

)a recta *ue +asa +or el v rtice C es +aralela al lado o+uesto A , B

C (6, − 3 )

y− y1= m( x− x1 )

y−(− 3 )= 1 ( x− 6 ) , y+3= x− 6− 3

0 = x− y− 9

la recta *ue +asa +or el v rtice B es +aralela al lado o+uesto C , A

B!%,&$,


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y− y1= m( x− x1 )

y− 7 =− 0.5 ( x− 4 ) , y− 7 =− 0.5 x+2

y=− 0.5 x+2+7 , y=− 0.5 x+9

0 =− 0.5 x− y+9

)a recta *ue +asa +or el v rtice A es +aralela al lado o+uesto B ,C

,A!-",#$

y− 1 =− 5 ( x−(− 2 )) , y− 1 =− 5 ( x+2 )

y=− 5 x− 10 +1

0 =− 5 x− y− 9


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*eniendo ya las ecuaciones de las rectas procederé a encontrar los vérticesutilizando siste!a de ecuaciones si!ult)neas8

• 3ri!ero el vértice que une las rectas deas ecuaciones"

x− y=+ 9

− 0.5 x− y=− 9Resu!iendo nos queda

(− 0.5 ) x− y=+ 9

(1 )− 0.5 x− y=− 9

y= 3

x− 3 =+ 9

x=+ 9 +3

x= 12

• Se&undo los vértices que une las rectas deas ecuaciones"

− 0.5 x− y=− 9

x− y=+ 9

Resumiendo nos queda

(− 5 )0.5 x+ y=+ 9

(1 )5 x+ y=− 9

y= 11

0.5 x+11 =+ 9

0.5 x=+ 9 − 11

x=− 4

• *ercero los vértices que une las rectas deas ecuaciones"

5 x+ y=− 9


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− x+ y=− 9

Resu!iendo nos queda

(− 1 )5 x+ y=− 9

(5 )− x+ y=− 9

y=− 9

x−(− 9 )=+ 9

x=+ 9 − 9

x= 0


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e. Determinar las coordenadas del baricentro# circuncentro# yortocentro

*ri)n&ulo con vértices A+$ ,-., B+/,0., C+1,$2."F rmula !ara encontrar el "aricentro

x= x1 + x2+ x3

3 y=

y1+ y2+ y33

x= − 2 +4 +63

= 83

y= 1 +7− 33

= 53

BaricentroG ( x , y)=( 83

,53

)

#ircuncentro$ediatri%

P AB= A+B

2=(22 , 82)=( 1,4 )

&endiente del lado AB

m= y2− y1 x2− x1

= 7− 14 −(− 2 )=

66

= 1

#omo su mediatri% es !er!endicular al lado AB entonces su !endienteser' m=− 1

cuaci n de la mediatri%

y− y1= m( x− x1 ) y− 4 =− 1 ( x− 1 ) y=− x+5

$ediatri%

PBC =B+C

2=(102 , 42 )=( 5,2 )

m= − 3 − 76 − 4 = − 102 =− 5

#omo su mediatri% es !er!endicular al lado B# entonces su !endiente

ser' m=15


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y− 2 = 15

( x− 5 )

y= 15

x+1

#omo ya ten o dos ecuaciones ya !uedo encontrar las coordenadas del circuncentro, utili%ando ecuaciones simultaneas

15

x+1 = ¿ − x+5

15

x+ x= ¿ 5− 1

x= ¿ 3.33

y=− 3.33 +5 y= 1.67

)as coordenadas del circucentro son ! 3.33,1.67 ¿


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x= 1.33

y=− (1.33 )+3= 1.67 ntonces tenemos que los -rtices del ortocentro sonrtocentro /(+.00,+.17)

". A +artir del triángulo con v rtices A (− 2, 1 ), B (4,7 ), C (6, − 3 ) :

A= !-",#$

B=!%,&$

'=!(,-3$

A= [ (− 2 ) (− 3 )+(6 ) (7 )+(4 ) (1 ) ]− [ (− 2 ) (7 )+(4 ) (− 3 )+(6 ) (1 ) ]2

A= 52 +202

= 722

= 36

A= 36

/ # #

A= 12

/ " "

/ 3 3/ # "

-" 1) *& +

'+, #

-" #% &( -

3-" #


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'. !allar el valor de k para que la recta kx+(k − 1 ) y− 18 = 0 sea

paralela a la recta4 x+3 y+7 = 0

3ara que estas dos rectas sean paralelas de4en tener la !is!a pendiente por loque tene!os que i&ualarlas8

Considere!os entonces que" Ax+By+C = 0 y la 'or!ula !#− A

B

6ónde : A # /B # 2C # 0

9

A # :B # +($-.C # $-;A continuación igualare las +endientes de cada ecuación

− k (k − 1)

= − 43

k

(h− 1)=4

3

3 k = 4 (h− 1 )

3 k = 4 k − 4


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k = 4

). Determinar el valor de k para que la recta k 2 x+(k +1 ) y+3 = 0 sea

perpendicular a la recta 3 x− 2 y− 11 = 0

− k 2

(k +1 )=− 32

k 2

(k +1 )=32

− 2 k 2= 3 (k +1)

0 = 3 k +3 +2 k 2

k = ?

-. !allar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se muevede tal manera que su distancia de la recta 4 x− 3 y+12 = 0 es

siempre igual al doble de su distancia del e e X .

4 x+123

= y

4 x3

+4 = y

/ 4 ( x)3

+

=

!/, $

-# ".(& !-#,".(&$

/ ) %/#)(# 0.33 !#,0.3

3$

)lamemos al +unto desconocido !/, $


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y− 4 ¿2

x− 0 ¿2 +¿2 ¿

d= 2 √ ¿

d= 4 ( x2 )+ y2− 8 y− 16

d= 4 x2+ y2− 8 y+16

&. !allar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve

de tal manera que su distancia de la recta y+2= 0

es siempre iguala su distancia del punto (2, 0 ) .

P!/, $ !",1$

y− 0 ¿2

x− 2 ¿2 +¿¿

d = √ ¿

y− 0 ¿2

x− 2 ¿2 +¿d= ¿

d= x2− 4 x+4 + y2

0 = x2− 4 x+4 + y2


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&. scribir la ecuación de la "amilia de rectas tangentes a un c0rculocuyo centro está en el origen y cuyo radio es ). ra2que treselementos de la "amilia# especi2cando en cada caso el valor delparámetro .

Antes de comenzar con el +rocedimiento, recordemos *ue la Ecuación ordinaria

de la circunferencia es: x− h ¿2 +( y− k )= r 2

¿2ónde:

C (h , k ) es el centro de la circunferenciar= radiodela circunferencia

D ( x , y)un puntogenerico

2e los datos *ue nos dan en el +lanteamiento del e ercicio +odemos deducir *ueC (0,0 )= centro delacircunferencia

r= 4Analizando la situación +odemos im+lementar el +unto gen rico tomando como4ase uno de los valores del e e de las / *ue en este caso tomar5amos el valor 3,

nos *uedar5a de la siguiente manera:C (0,0 ), D (3, y)

Por lo *ue +odemos asumir *ue: y− 0 ¿2= 4 23 − 0 ¿2 +¿

¿

32

+ y2

= 42

9 + y2= 16

y2= 16 − 9

y2= 7

y= √ 7Ahora +uedo decir *ue a tenemos dos +untos con sus coordenadas.

C (0,0 ), D (3, √ 7 )

Por lo tanto ahora a +odemos o4tener la +endiente de la recta *ue +asara +orestos dos +untos

m= y1− y x1− x

m= √ 7 − 03− 0


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m= √ 73

6iguiendo encontrare ahora la ecuación dela recta:

xm(¿¿1− x) y1− y= ¿

x√ 73

(¿¿1 − 0 )

y1− 0= ¿

y= √ 73

x Esta es la recta que pasara por los

puntos C , 2

Ahora tenemos *ue y− √ 7 = − √ 7

3( x− 3 ) Esta ser5a la +rimera

ecuación de la recta tangente a la circunferencia

C (0,0 ), D (− 3, − √ 7 )

y+√ 7= − √ 73

( x+3 )


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C (0,0 ), D (− 3, √ 7 )

m= y1− y x1− x

m= √ 7 − 0− 3 − 0

m= √ 73

y− √ 7 = √ 73

x+2.64


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3. 4n c0rculo tiene su centro en el punto C (− 2, − 4 ) . $alcule su área#

sabiendo que es tangente a la recta x+ y+12 = 0 .7ormula

d r = Ax+By+C

√ A2 +B2

1 ¿2¿

1 ¿2 +¿¿

√ ¿d r =

− 2− 4 +12¿

=6

1.41= 4.25

el radio es igual a 4.25

)a fórmula de la circunferencia es A= π r2

A= (3.1416 )(4.25 )2

A= (3.1416 )(18.0625 )

A5 56.75


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8nstrucciones !"$2emuestre formalmente las siguientes +ro+osiciones, de manera clara, +recisa coherente, argumentando con la +rofundidad necesaria cada +aso. En caso dere*uerir un teorema +revio !+or e em+lo de geometr5a, trigonometr5a o álge4rasu+erior$, incor+órelo a su tra4a o con la de4ida demostración. 'ite sus fuentesde acuerdo con la norma APA.

6. Teorema. Si ϕ es un ángulo entre dos rectas# 1 , 2 # entonces

tan ϕ=m2− m1

1 +m1 m2,m1 m2 ! − 1

2onde m1 es la +endiente del lado inicial 1 m2 es la +endiente

*ue forma el lado terminal 2 , considerando *ue el ángulo ϕ se mide

en sentido contrario a las manecillas del relo , del lado inicial al lado 9nal.

Para demostrar este teorema utilice la siguiente 9gura:

4servemos *ue:∅+" 1= " 2 ,o#ien, ∅= " 2 − " 1 $

tilizando la fórmula:

tan ∅= m2− m11 +m1∗m2

)os datos *ue tenemos son:

;= 3#.


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m1 5 tan 71# y m, 5 tan 7,

Entonces tenemos *ue:

tan ∅= 6.09 − 1.141 +1.14 ∗6.09

tan ∅= 4.957.94

tan ∅= 0.62

1/. Si k es una constante cualquiera di"erente de cero# demuestre

que todo punto que está sobre la recta Ax+By+C = 0 también estará

sobre la recta kAx+kBy+kC = 0 .

2eduzca con ello la condición necesaria su9ciente +ara la coincidencia derectas

)as condiciones +ara *ue las coincidencias de rectas son

8ue sean paralelas. A= Ak , B= Bk ,Ck = C 9 /

Demostrándolo tenemos que

A+B+C = 0

k ( A+B+C = 0)

kA+ % B+ % C = % 0

%A+ % B+ % C = 0

%A+ % B+ % C = A+B+C


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1/. Demuestre que en un triángulo cualquiera las bisectrices de los ángulosinteriores se cortan en un punto que equidista de los tres lados %incentro(.6ea el +unto ; laintersección de las4isectrices e " 6i ; +ertenece e ,es e*uidistantede las rectas!A,B$ !A,'$.'omo ; +ertenecea " , entoncestam4i ne*uidista de lasrectas !AB$ !B'$.

Entonces *uedademostrado *ue la4isectriz *ue +arte delv rtice B +asa +or el+unto ; termina en larecta !A,'$

De2nición. 2e acuerdo

con @aaser !"110, +ág.?1$, un con unto de

+untos de &2

se llama

recta si ha un +unto P0=( x0 , y0 )' &2

un vector no nuloa = (a 1 , a 2 )' ( 2 !el es+acio vectorial 4idimensional$ tales *ue = { P 0 +t a| t ∈ &} .

'onsidere las siguientes rectas: ) # *ue +asa +or !1,1$ es +aralela a !#,#$ ) "*ue +asa +or !1,1$ es +aralela a !-#,-#$ ) 3 *ue +asa +or !#,1$ !1,#$ ) % *ue

+asa +or !1,#$ !",3$ ) 0 *ue +asa +or !1,3$ es +aralela a !",#$ ) ( *ue +asa+or !1,3$ es +aralela a !#,#C"$ ) & *ue +asa +or !-#,"$ es +aralela a !#,1$ ) <*ue +asa +or !1,"$ !","$, ) ? *ue +asa +or !-#,"$ es +aralela a !1,#$.

2etermine la ecuación de las nueve rectas segDn la de9nición anterior

( x , y)= P0 ( x0 , y0 )+t (a 1, a 2)

2onde:


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( x , y)−−−−− es cual)uier infinidad de puntosdelarectaa en contrar . P0 ( x0 , y0 )−−− Coordenadasdel puntoconocido

t −−−−−−− Parametro (cual)uier *alor )ue pertenesca alos numero reales )

(a 1, a 2 )−−−− Coordenadas deun*ertice Director

Encuentre cuatro +untos so4re cada una de las nueve rectas muestre susresultados grá9camente


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< ' que pasa por %1#/( y %/#1(=

( x , y)= P0 ( x0 , y0 )+t (a 1, a 2)

(0,1 )− P0 (1,0 )= t (a 1, a 2)

(0,1 )− (1,0 )= t (− 1,1 )

( x , y)=( 1,0 )+2 (− 1,1 )=( 1,0 )+(−2,2 )=(− 1,2 )

( x , y)=( 1,0 )+5 (−1,1 )=( 1,0 )+(−5,5 )=(− 4,5 )

( x , y)=( 1,0 )+8 (−1,1 )=( 1,0 )+(−8,8 )=(− 7,8 )

( x , y)=( 1,0 )+10 (− 1,1 )=( 1,0 )+(−10,10 )=(− 9,10 )

< ) que pasa por %/#1( y %,#'(=

( x , y)= P0 ( x0 , y0 )+t (a 1, a 2)

¿t (a 1, a 2)2,3 ¿ P 0 (0,1 )¿

(2,3 )− (0,1 )− ¿ t (2,2 )

( x , y)=( 0,1 )+1 (2,2 )=( 0,1 )+(2,2 )=( 2,3 )

( x , y)=( 0,1 )+2 (2,2 )=( 0,1 )+(4,4 )=( 4,5 )


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( x , y)=( 0,1 )+4 (2,2 )=( 0,1 )+(8,8 )=( 8,9 )

( x , y)=( 0,1 )+6 (2,2 )=( 0,1 )+(12,12 )=( 12,13 )

< - que pasa por %/#'( y es paralela a %,#1(=( x , y)=( 0,3 )+3 (2,1 )=( 0,3 )+(6,3 )=( 6,6 )

( x , y)=( 0,3 )+4 (2,1 )=( 0,3 )+(8,4 )=( 8,7 )

( x , y)=( 0,3 )+6 (2,1 )=( 0,3 )+(12,6 )=( 12,9 )

( x , y)=( 0,3 )+8 (2,1 )=( 0,3 )+(16,8 )=( 16,11 )


29/33


30/33


31/33

m= 6− 36− 0 =

36

= 12

m= 12 Pendiente de la recta < 1 y < ,

ntonces: 5= 6

c. Si la pendiente < 3 que pasa por %/#,( y %,#,(# entonces tiene

pendiente / y < 6 que pasa por %+1#,( y pasa (− 1,4 ) tienependiente inde2nida

ml 8=2− 22− 0 =

02

= ¿ /

m 9= 4− 2− 1 +1 =

20

= ¿ Pendiente inde2nida

Si la pendiente de < 3 es /# y la pendiente de < 6 es inde2nida entonces Entonces : 8 ! 9

4 ! 7

d. Si < ) que pasa por %/#1( y %,#'(# y tiene pendiente 1 y < * que pasa

por %+1#,( y pasa por un punto (4,2 ) = tiene pendiente /

m 4=3 − 12− 0 =

22 = 1

m 4= 2− 2

4 −(− 1)= 0

5= 0

Entonces : 8 ! 9

Si < 1 que pasa por %/#/( y es paralela a %1#1(= entonces:

( x , y)= (0,0 )+12

(1,1 ) =!1,1$ !12 ,

12 $= !

12 ,

12 $

< ' que pasa por %1#/( y %/#1(=( x , y)= P0 ( x0 , y0 )+t (a 1, a 2)

(0,1 )− P0 (1,0 )= t (a 1, a 2) (0,1 )− (1,0 )= t (− 1,1 )


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( x , y)=( 1,0 )+ 12

(−1,1 )=( 1,0 )+(− 12

,12

)=( 12

,12

)

Entonces: 1 + 3= {(12 , 12)}

Si < 1 que pasa por %/#/( y es paralela a %'#'(= entonces:< ' que pasa por %1#/( y %/#1(=

m 1= 3 − 03 − 0 =33

= 1

m 3=1 − 00− 1 =

1− 1 =−

1

tan ∅= 1+1− 1 +(−1)

= 2− 2 −1

tan ∅=− 1= 45

1 + 3= ∅

6i m# m" son las +endientes de las rectas ) # )3, entonces,1

m2 im+lica *ue

F# G F".

?e"erencias:

Julio R. [Roberto]. ( 2011,07 ,27). Ecuación general de una recta dados dos puntos [video].Recuperado de https://www. outube.co!/watch"v#J$%&o!' *w

https://www.youtube.com/watch?v=Jz8_omNLKTwhttps://www.youtube.com/watch?v=Jz8_omNLKTw


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