＜＜＜＜ 遞遞遞遞遞遞遞遞 迴迴迴迴迴迴迴迴 關關關關關關關關 係係係係係係係係＞＞＞＞

Why?

＜＜＜＜ 遞遞遞遞遞遞遞遞 迴迴迴迴迴迴迴迴 關關關關關關關關 係係係係係係係係＞＞＞＞

. 教學演示教材教學演示教材教學演示教材教學演示教材 .

＜＜＜＜ 遞遞遞遞遞遞遞遞 迴迴迴迴迴迴迴迴 關關關關關關關關 係係係係係係係係＞＞＞＞

M.C.Escher “Print gallery”

All M.C. Escher works © Cordon Art-Baarn-the Netherlands.

Used by permission. All rights reserved.

M.C.Escher “Print gallery”

Watch Rotate ZoomWatch Rotate ZoomWatch Straight Zoom

遞迴關係遞迴關係遞迴關係遞迴關係

各式問題找各式問題找各式問題找各式問題找遞迴關係遞迴關係遞迴關係遞迴關係

•切割平面切割平面切割平面切割平面

•雪花曲線雪花曲線雪花曲線雪花曲線

•爬樓梯爬樓梯爬樓梯爬樓梯

數學遊戲數學遊戲數學遊戲數學遊戲談遞迴關係談遞迴關係談遞迴關係談遞迴關係

•河內塔河內塔河內塔河內塔

•大象轉彎大象轉彎大象轉彎大象轉彎

評量試題評量試題評量試題評量試題解遞迴關係解遞迴關係解遞迴關係解遞迴關係

•符號意義符號意義符號意義符號意義

•遞迴關係式的意義遞迴關係式的意義遞迴關係式的意義遞迴關係式的意義

•簡單的遞迴關係式簡單的遞迴關係式簡單的遞迴關係式簡單的遞迴關係式

•解遞迴關係式解遞迴關係式解遞迴關係式解遞迴關係式(求一般式求一般式求一般式求一般式)

•計數問題計數問題計數問題計數問題

•生活中生活中生活中生活中，，，，我們時常會碰到與我們時常會碰到與我們時常會碰到與我們時常會碰到與自然數有關的問題自然數有關的問題自然數有關的問題自然數有關的問題，，，，

•例如例如例如例如:

•金氏記錄金氏記錄金氏記錄金氏記錄香檳杯塔的高度香檳杯塔的高度香檳杯塔的高度香檳杯塔的高度為為為為54545454層層層層！！！！

•那需要幾個那需要幾個那需要幾個那需要幾個香檳杯啊香檳杯啊香檳杯啊香檳杯啊？！？！？！？！

• 生活中生活中生活中生活中，，，，我們時常會碰到與自然數有關的問題我們時常會碰到與自然數有關的問題我們時常會碰到與自然數有關的問題我們時常會碰到與自然數有關的問題，，，，

它們往往會隱含它們往往會隱含它們往往會隱含它們往往會隱含固定的規律固定的規律固定的規律固定的規律，，，，像像像像

• 生活中生活中生活中生活中，，，，我們時常會碰到與自然數有關的問題我們時常會碰到與自然數有關的問題我們時常會碰到與自然數有關的問題我們時常會碰到與自然數有關的問題，，，，它們往往會隱含它們往往會隱含它們往往會隱含它們往往會隱含固定的規律固定的規律固定的規律固定的規律，，，，但是但是但是但是當個數增加時當個數增加時當個數增加時當個數增加時，，，，我們數數時我們數數時我們數數時我們數數時似乎有種似乎有種似乎有種似乎有種『『『『喘不過氣來喘不過氣來喘不過氣來喘不過氣來』』』』的感覺的感覺的感覺的感覺，，，，

•排列這樣的三角形排列這樣的三角形排列這樣的三角形排列這樣的三角形，，，，需不需要需不需要需不需要需不需要100100100100顆球呢顆球呢顆球呢顆球呢？！？！？！？！

• 生活中生活中生活中生活中，，，，我們時常會碰到與自然數有關的問題我們時常會碰到與自然數有關的問題我們時常會碰到與自然數有關的問題我們時常會碰到與自然數有關的問題，，，，它們往往會隱含固定的規律它們往往會隱含固定的規律它們往往會隱含固定的規律它們往往會隱含固定的規律，，，，但是當個數增加時但是當個數增加時但是當個數增加時但是當個數增加時，，，，我們數數時我們數數時我們數數時我們數數時似乎有種似乎有種似乎有種似乎有種『『『『喘不過氣來喘不過氣來喘不過氣來喘不過氣來』』』』的感覺的感覺的感覺的感覺，，，，

更別說更別說更別說更別說，，，，在真實世界裡有形形色色的各式型態在真實世界裡有形形色色的各式型態在真實世界裡有形形色色的各式型態在真實世界裡有形形色色的各式型態

• 生活中生活中生活中生活中，，，，我們時常會碰到與自然數有關的問題我們時常會碰到與自然數有關的問題我們時常會碰到與自然數有關的問題我們時常會碰到與自然數有關的問題，，，，它們往往會隱含固定的規律它們往往會隱含固定的規律它們往往會隱含固定的規律它們往往會隱含固定的規律，，，，但是當個數增加時但是當個數增加時但是當個數增加時但是當個數增加時，，，，我們數數時我們數數時我們數數時我們數數時似乎有種似乎有種似乎有種似乎有種『『『『喘不過氣來喘不過氣來喘不過氣來喘不過氣來』』』』的感覺的感覺的感覺的感覺，，，，

事實上事實上事實上事實上，，，，純粹由數學知識發展出來的概念純粹由數學知識發展出來的概念純粹由數學知識發展出來的概念純粹由數學知識發展出來的概念也需要有效的計數方法也需要有效的計數方法也需要有效的計數方法也需要有效的計數方法。。。。

平面上的1條直線最多可把平面分割成2個區域。

平面上的1條直線最多可把平面分割成2個區域。

1

2

平面上的1條直線最多可把平面分割成2個區域。

平面上的2條直線最多可把平面分割成4個區域。

平面上的1條直線最多可把平面分割成2個區域。

平面上的2條直線最多可把平面分割成4個區域。

1

2

4

3

平面上的1條直線最多可把平面分割成2個區域。

平面上的2條直線最多可把平面分割成4個區域。

平面上的3條直線最多可把平面分割成幾個區域？8嗎？8

6嗎？6

7平面上的3條直線最多可把平面分割成 個區域。

35 6

7

8

10

9

11

12

13

14

15

16

平面上的1條直線最多可把平面分割成2個區域。平面上的2條直線最多可把平面分割成4個區域。

平面上的3條直線最多可把平面分割成7個區域。

那平面上的那平面上的那平面上的那平面上的10101010條直線條直線條直線條直線最多最多最多最多可把平面分割成幾個區域呢可把平面分割成幾個區域呢可把平面分割成幾個區域呢可把平面分割成幾個區域呢？？？？

平面上的4條直線最多可把平面分割成11個區域。

平面上的5條直線最多可把平面分割成16個區域。

平面上的平面上的平面上的平面上的 n條直線最多可把平面分割條直線最多可把平面分割條直線最多可把平面分割條直線最多可把平面分割成成成成 a

n個區域個區域個區域個區域，，，，則則則則 a

n之表示式為何之表示式為何之表示式為何之表示式為何？？？？

問題

平面上的平面上的平面上的平面上的 n條直線最多可把平面分割成條直線最多可把平面分割成條直線最多可把平面分割成條直線最多可把平面分割成幾個區域呢幾個區域呢幾個區域呢幾個區域呢？？？？

• 生活中生活中生活中生活中，，，，我們時常會碰到與自然數有關的問題我們時常會碰到與自然數有關的問題我們時常會碰到與自然數有關的問題我們時常會碰到與自然數有關的問題，，，，它們往往會隱含固定的規律它們往往會隱含固定的規律它們往往會隱含固定的規律它們往往會隱含固定的規律，，，，

遞遞遞遞迴迴迴迴關關關關係係係係

•數學課程中數學課程中數學課程中數學課程中，，，，我們將介紹一種數學方法我們將介紹一種數學方法我們將介紹一種數學方法我們將介紹一種數學方法，，，，幫助我們解決這一類問題幫助我們解決這一類問題幫助我們解決這一類問題幫助我們解決這一類問題。。。。

(Recurrence Relation)

三角形數

三角形數之第 n項 an 之表示式為何？

Type 0 1st 2nd 3rd 4th 5th nth

三角形數

Value 1 3 6 10 15 21 an

問題

an＝ a

n－1＋ (n＋1)a2 ＝6 ＝ 3＋3

a3 ＝10 ＝6＋4

a4 ＝15 ＝10＋5

a5 ＝21 ＝15＋6an之遞迴關係式之遞迴關係式之遞迴關係式之遞迴關係式

，其中a0 ＝1

三角形數之第三角形數之第三角形數之第三角形數之第 n項項項項 an 之表示式為何之表示式為何之表示式為何之表示式為何？？？？

Type 0 1st 2nd 3rd 4th 5th nth

三角形數

Value 1 3 6 10 15 21 an

a0 ＝1

a1 ＝3 ＝ 1＋2

問題

a1 ＝1＋2 ＝(1＋2)×2/2

an＝ 1＋2 ＋3 ＋4 ＋5 ＋6＋0＋ (1＋n) ＝ (2＋n)×(1＋n) /2

a2 ＝ 1＋2 ＋3 ＝ (1＋3)×3/2

a3 ＝ 1＋2 ＋3 ＋4 ＝ (1＋4)×4/2

a4 ＝ 1＋2 ＋3 ＋4 ＋5 ＝ (1＋5)×5/2

a5 ＝ 1＋2 ＋3 ＋4 ＋5 ＋6 ＝ (1＋6)×6/2

an之一般式之一般式之一般式之一般式

三角形數之第三角形數之第三角形數之第三角形數之第 n項項項項 an 之表示式為何之表示式為何之表示式為何之表示式為何？？？？

Type 0 1st 2nd 3rd 4th 5th nth

三角形數

Value 1 3 6 10 15 21 an

a0 ＝1＝(1＋1)×1/2

三角形數之第 n項 an 之表示式為何？

Type 1st 2nd 3rd 4th 5th 6th

三角形數

Value 1 3 6 10 15 21

問題

an之遞迴關係式之遞迴關係式之遞迴關係式之遞迴關係式 a

n之一般式之一般式之一般式之一般式

an＝ a

n－1＋ (n＋1)

，其中a0 ＝1

an＝ 1＋2 ＋3 ＋4 ＋5 ＋6＋0＋ (1＋n)

＝ (2＋n)×(1＋n) /2

三角形數a

n＝＝＝＝a

n－－－－1＋＋＋＋(n＋＋＋＋1)

，，，，其中其中其中其中a0 ＝＝＝＝1

像三角形數問題像三角形數問題像三角形數問題像三角形數問題，，，，我們可以看出我們可以看出我們可以看出我們可以看出某些與自然數有關的問題某些與自然數有關的問題某些與自然數有關的問題某些與自然數有關的問題，，，，往往隱含固定的規律往往隱含固定的規律往往隱含固定的規律往往隱含固定的規律，，，，處理這一類的問題通常分成三個步驟處理這一類的問題通常分成三個步驟處理這一類的問題通常分成三個步驟處理這一類的問題通常分成三個步驟：：：：

1.1.1.1.依據題設條件構造一個數列依據題設條件構造一個數列依據題設條件構造一個數列依據題設條件構造一個數列⟨⟨⟨⟨ an⟩⟩⟩⟩

2.2.2.2.建立相鄰項間的遞迴關係建立相鄰項間的遞迴關係建立相鄰項間的遞迴關係建立相鄰項間的遞迴關係((((亦稱為遞迴方程式亦稱為遞迴方程式亦稱為遞迴方程式亦稱為遞迴方程式))))

3.3.3.3.解遞迴方程式解遞迴方程式解遞迴方程式解遞迴方程式，，，，求出一般項求出一般項求出一般項求出一般項an((((用用用用n表示表示表示表示))))

91年指考數學乙年指考數學乙年指考數學乙年指考數學乙

用單位長的不銹鋼條焊接如下圖系列的四面體鐵架，圖中的小圈圈「。」表示焊接點，圖 E_1有兩層共 4 個焊接點，圖 E_2 有三層共 10 個焊接點，圖 E_3 有四層共 20 個焊接點。試問依此規律，推算圖 E_5有六層共多少個焊接點？

問題

像這一題指考題像這一題指考題像這一題指考題像這一題指考題，，，，我們可以看出我們可以看出我們可以看出我們可以看出與自然數有關與自然數有關與自然數有關與自然數有關，，，，我們要找出隱含的固定規律我們要找出隱含的固定規律我們要找出隱含的固定規律我們要找出隱含的固定規律，，，，處理時處理時處理時處理時，，，，可分成三個步驟可分成三個步驟可分成三個步驟可分成三個步驟：：：：

1.1.1.1.依據題設條件構造一個數列依據題設條件構造一個數列依據題設條件構造一個數列依據題設條件構造一個數列⟨⟨⟨⟨ an⟩⟩⟩⟩

2.2.2.2.建立相鄰項間的遞迴關係建立相鄰項間的遞迴關係建立相鄰項間的遞迴關係建立相鄰項間的遞迴關係((((亦稱為遞迴方程式亦稱為遞迴方程式亦稱為遞迴方程式亦稱為遞迴方程式))))

3.3.3.3.解遞迴方程式解遞迴方程式解遞迴方程式解遞迴方程式，，，，求出一般項求出一般項求出一般項求出一般項an((((用用用用n表示表示表示表示))))

問題

用單位長的不銹鋼條焊接如下圖系列的四面體鐵架，圖中的小圈圈「。」表示焊接點，圖 E_1有兩層共 4 個焊接點，圖 E_2 有三層共 10 個焊接點，圖 E_3 有四層共 20 個焊接點。試問依此規律，推算圖 E_5有六層共多少個焊接點？

91年指考數學乙年指考數學乙年指考數學乙年指考數學乙

設設設設n層的不鏽鋼條有層的不鏽鋼條有層的不鏽鋼條有層的不鏽鋼條有En個焊接點個焊接點個焊接點個焊接點，，，，則則則則

E2 ＝＝＝＝10＝＝＝＝ 4＋＋＋＋6

En＝＝＝＝E

n－－－－1＋＋＋＋(1+2+3+…+(n+1))

E3 ＝＝＝＝20 ＝＝＝＝10＋＋＋＋10

E4 ＝＝＝＝ 35 ＝＝＝＝20＋＋＋＋15

E5 ＝＝＝＝ 56 ＝＝＝＝35＋＋＋＋21 En之遞迴關係式之遞迴關係式之遞迴關係式之遞迴關係式，，，，其中其中其中其中E1 ＝＝＝＝4

E1 ＝＝＝＝4

四面體數之第 n項 En 之表示式為何？

Type 0 1st 2nd 3rd 4th nth

四面體數

Value 1 4 10 20 35 En

問題

En ＝En－1＋(1+2+3+…+(n+1))

，其中E0＝1

En之遞迴關係式之遞迴關係式之遞迴關係式之遞迴關係式

四面體數E

n＝＝＝＝E

n－－－－1＋＋＋＋(1+2+3+…+(n+1))

，，，，其中其中其中其中E0 ＝＝＝＝1

Type 0 1st 2nd 3rd 4th nth

四面體數

Value 1 4 10 20 35 En

En ＝En－1＋(1+2+3+…+(n+1))

，其中E0＝1

En之遞迴關係式之遞迴關係式之遞迴關係式之遞迴關係式

Type 1st 2nd 3rd 4th 5th

三角形數

Value 1 3 6 10 15

an之遞迴關係式之遞迴關係式之遞迴關係式之遞迴關係式 a

n之一般式之一般式之一般式之一般式

an＝ a

n－1＋ (n＋1)

，其中a0 ＝1

an＝ 1＋2 ＋3 ＋0＋ (n＋ 1)

＝ (2＋n)×(1＋n) /2

三角形數三角形數三角形數三角形數an

四面體數四面體數四面體數四面體數En

En ＝En－1＋an

，其中E0＝1, a0 ＝1

an＝ a

n－1＋ (n＋1)

1

1 1

21 1

31 3 1

61 4 4 1

105 10 5 11

156 20 15 61 1

217 35 35 211 7 1

288 56 70 561 28 8 1

369 84 126 1261 84 36 9 1

4510 120 210 2521 210 120 45 10 1

巴斯卡三角形

三角形數三角形數三角形數三角形數

四面體數四面體數四面體數四面體數1

3

6

10

15

21

28

36

45

1

4

10

20

35

56

84

120

遞迴關係式 an＝ r an－1＋f (n)

事實上，若我們構造出的遞迴關係式形式如下

則我們可以利用Σ（求級數和）的方法，

求出一般式 an

• 生活中碰到與自然數有關的問題生活中碰到與自然數有關的問題生活中碰到與自然數有關的問題生活中碰到與自然數有關的問題，，，，我們可以藉由數學課程介紹的數學方法我們可以藉由數學課程介紹的數學方法我們可以藉由數學課程介紹的數學方法我們可以藉由數學課程介紹的數學方法，，，，

遞遞遞遞迴迴迴迴關關關關係係係係

• 幫助我們找到它們隱含的固定規律幫助我們找到它們隱含的固定規律幫助我們找到它們隱含的固定規律幫助我們找到它們隱含的固定規律，，，，解決這一類問題解決這一類問題解決這一類問題解決這一類問題。。。。

• 隨著計算機科學的發展隨著計算機科學的發展隨著計算機科學的發展隨著計算機科學的發展，，，，這樣的想法這樣的想法這樣的想法這樣的想法更形重要更形重要更形重要更形重要。。。。

遞迴關係遞迴關係遞迴關係遞迴關係

各式問題找各式問題找各式問題找各式問題找遞迴關係遞迴關係遞迴關係遞迴關係

•切割平面切割平面切割平面切割平面

•雪花曲線雪花曲線雪花曲線雪花曲線

•爬樓梯爬樓梯爬樓梯爬樓梯

數學遊戲數學遊戲數學遊戲數學遊戲談遞迴關係談遞迴關係談遞迴關係談遞迴關係

•河內塔河內塔河內塔河內塔

•大象轉彎大象轉彎大象轉彎大象轉彎

評量試題評量試題評量試題評量試題解遞迴關係解遞迴關係解遞迴關係解遞迴關係

•符號意義符號意義符號意義符號意義

•遞迴關係式的意義遞迴關係式的意義遞迴關係式的意義遞迴關係式的意義

•簡單的遞迴關係式簡單的遞迴關係式簡單的遞迴關係式簡單的遞迴關係式

•解遞迴關係式解遞迴關係式解遞迴關係式解遞迴關係式(求一般式求一般式求一般式求一般式)

•計數問題計數問題計數問題計數問題

遞迴關係以

an＝αan－1＋f (n)及 an＝βan－1＋γan－2

的形式為主，其中α、β、γ為常數，

f(n)是次數小於3的多項式。

α= 1： an = an – 1 + f(n)

degf(n) = 0 →等差數列degf(n) = 1 →與等差級數有關，如三角數degf(n) = 2 →例如四面體數(需用到Σk2)

α≠1： an = αan – 1 + f(n)

f(n) = 0 →等比數列degf(n) = 0 →與等比級數有關，如河內塔，degf(n) = 1, 2 →較難計算

an＝αan－1＋f (n) 形式

1. 假設此式可改成an – kan – 1 = t (an – 1 – kan – 2 )

則(an – kan – 1) = t (an – 1 – kan – 2 )

則bn = an – kan – 1為一公比 t 的等比數列

此時t + k = –β， t k = γ

2. 使用生成函數或特徵方程式的方式解一般式

an＝βan－1＋γan－2形式