遞迴關係－河內塔

(河內塔問題)

相傳在創世紀時代，河內(Hanoi)的一座寺廟裡豎立者三根銀棒，有六十四個大小都不同的金盤(金盤正中央有一小孔)

”大盤在下，小盤在上”依序套在同一根銀棒上。

問題2

問題2

(河內塔問題)

造物主命僧侶把64個金盤全部移到另一根銀棒上，並且規定：每一次只能移動一個金盤，在移動的過程中，較大的金盤不可套在較少的金盤上。當金盤全數搬完，世界末日將降臨，忠誠者得到好報，不忠者受到懲罰。試問搬完64個金盤最少最少最少最少需多少次?

移動最少次數 次

移動最少次數 次

(河內塔問題)

問題3

7

15

31

63

移動最少次數 次

移動最少次數 次

(河內塔問題) 3個金盤為例

移動1次 移動1次 移動1次

移動1次 移動1次 移動1次 移動1次

(河內塔問題) 4個金盤為例

移動7次

移動1次 移動7次

(河內塔問題)

問題3

金盤數n 1 2 3 4 5 6 �

次數an

1 3 7 15 31 63

設an代表搬完n個金盤所需的最少次數，列表計算，仔細觀察、歸納：

建立遞迴關係式：如圖所示，根據搬動的規則，�先將A棒上面n－1個金盤先搬到銀棒B上，則需要搬動a

n－1次。�再將A棒上面最底的第n個金盤搬到銀棒C上，則需要搬動1次。�最後再將B棒上的n－1個金盤搬到銀棒C上，則亦需要搬動a

n－1次。

an＝ a

n－1＋ 1 ＋ an－1

所以合計搬完n個金盤所需的最少次數

遞迴關係式an=2a

n−1+1 ，其中a1=1 請按我

可以再請按我

某些與自然數有關的問題某些與自然數有關的問題某些與自然數有關的問題某些與自然數有關的問題，，，，往往隱含固定的規律往往隱含固定的規律往往隱含固定的規律往往隱含固定的規律，，，，處理這一類的問題通常分成三個步驟處理這一類的問題通常分成三個步驟處理這一類的問題通常分成三個步驟處理這一類的問題通常分成三個步驟：：：：

1. 依據題設條件構造一個數列依據題設條件構造一個數列依據題設條件構造一個數列依據題設條件構造一個數列⟨⟨⟨⟨ an⟩⟩⟩⟩

2. 建立相鄰項間的遞迴關係建立相鄰項間的遞迴關係建立相鄰項間的遞迴關係建立相鄰項間的遞迴關係(亦稱為遞迴方程式亦稱為遞迴方程式亦稱為遞迴方程式亦稱為遞迴方程式)

3. 解遞迴方程式解遞迴方程式解遞迴方程式解遞迴方程式，，，，求出一般項求出一般項求出一般項求出一般項an

(用用用用n表示表示表示表示)

an代表搬完n個金盤所需的最少次數，問題3

遞迴關係式an＝2a

n－1＋ 1 其中a1＝1

當金盤全數搬完當金盤全數搬完當金盤全數搬完當金盤全數搬完，，，，世界末日將降臨世界末日將降臨世界末日將降臨世界末日將降臨，，，，忠誠者得到好報忠誠者得到好報忠誠者得到好報忠誠者得到好報，，，，不忠者受到懲罰不忠者受到懲罰不忠者受到懲罰不忠者受到懲罰。。。。試問搬完試問搬完試問搬完試問搬完64個金盤最少需多少次個金盤最少需多少次個金盤最少需多少次個金盤最少需多少次?

a64＝＝＝＝2a63＋＋＋＋1

＝＝＝＝2(2a62＋＋＋＋1)＋＋＋＋1

＝＝＝＝22(2a61＋＋＋＋1)＋＋＋＋2＋＋＋＋1

＝＝＝＝23(2a60＋＋＋＋1)＋＋＋＋22＋＋＋＋2＋＋＋＋1

� �

＝＝＝＝263＋＋＋＋262＋＋＋＋�＋＋＋＋23＋＋＋＋22＋＋＋＋2＋＋＋＋1

＝＝＝＝264－－－－1

＝＝＝＝18,446,744,073,709,551,615

一般項一般項一般項一般項an＝＝＝＝2n－－－－1

假設移動一次花了一秒，將六十四層塔全部移到另一底盤，

總共需移動a64次，需a64秒，

而a64=264-1=18,446,744,073,709,551,615秒，約需58萬億年。