¿Podrías ser un poco mas

Prof. Erick SedaProf. Erick SedaDomingo 19 de abril de 2009Domingo 19 de abril de 2009

Proyecto AFAMaC, UPRMProyecto AFAMaC, UPRMSESOSESO

¿Podrías ser un poco mas claro en el segundo paso?

La condicional• Forma general

– Si (hipótesis) entonces (conclusión).

• Ejemplo– Si un ángulo mide 30°, entonces es un ángulo – Si un ángulo mide 30°, entonces es un ángulo

agudo.

• Símbolo– Si a entonces b se representa: a b→

El converso• Se intercambian la hipótesis y la conclusión• Ejemplo:

– Para la condicional: “Si un ángulo mide 30°, entonces es un ángulo agudo.” el converso será: “Si un ángulo es agudo entonces mide 30°” es agudo entonces mide 30°”

• Símbolo– Para la condicional: – El converso será:

• Error común– Una condicional cierta no garantiza un converso

cierto.

b a→a b→

La bicondicional• Es un “si y solo si”.• Para que una bicondicional sea cierta, deben

ser ciertas la condicional y su converso.• Ejemplo

– Condicional: Si un ángulo mide 90° entonces es un – Condicional: Si un ángulo mide 90° entonces es un agulo recto.

– Converso: Si un ángulo es recto entonces mide 90°.– Bicondicional: Un agudo será recto si y solo si mide

90°.• Símbolo

– “a” si y solo si “b” se escribe: a b↔

La inversa• Es la negación de ambas: la hipótesis y la

conclusión de una condicional.• Ejemplo

– Para la condicional: “ Si un ángulo mide 30° entonces es un angulo agudo” tenemos que la inversa será: “Si

°es un angulo agudo” tenemos que la inversa será: “Si un angulo no mide 30° entonces no es un angulo agudo”.

– Nota: Nuevamente, una condicional cierta no garantiza una inversa cierta.

• Símbolo– Aunque existen varios el mas común es: ~ ~a b→

La contrapuesta• Podríamos definirla como la inversa del

converso.• Ejemplo

– Para la condicional: “Si un ángulo mide 30° entonces es un angulo agudo” tenemos que la contrapuesta será: “Si un angulo agudo” tenemos que la contrapuesta será: “Si un angulo no es agudo entonces no mide 30°”.

– Nota: Siempre que una condicional cierta la contrapuesta también será cierta.

• Símbolo– Aunque existen varios el mas común es: ~ ~b a→

Ejemplos• Determinar cual de los siguientes

enunciados puede ser escrito como una bicondicional cierta.– Si estoy en Mayagüez entonces estoy en – Si estoy en Mayagüez entonces estoy en

Puerto Rico.– Si ABCD es un rectángulo entonces ABCD es

un cuadrado.– Si x = 2 entonces x2 = 4.

Razonamiento• Deductivo: De lo general a lo particular• Ejemplo

– La suma de los ángulos interiores de un triangulo es 180°. ABC es un triangulo. triangulo es 180°. ABC es un triangulo.

– Conclusión :<A+<B+<C=180 °

Razonamiento• Inductivo: de lo particular a lo general• Ejemplo

– 111=11 es palíndromo– 112=121 es palíndromo– 113=1331 es palíndromo– 113=1331 es palíndromo– 114=14641 es palíndromo– Conclusión– 11n es palíndromo

• Error– 115=161051 que no es palíndromo

Ley del Silogismo

Ejemplo:

Si ABC es un triangulo rectángulo con <C recto entonces <A+<B=90°.

( ) ( ) ( )a b b c a c→ ∧ → → →

entonces <A+<B=90°.

Si <A+<B=90° entonces <A y <B son angulos complementarios.

Conclusión: Si ABC es un triangulo rectángulo con <C recto entonces <A y <B son ángulos complementarios

Problema 1

La guitarra de Jimmy Hedrix a desaparecido y hay cuatro sospechosos. Solo uno de ellos dice la verdad.

Eddie dice que el no la robó.Eddie dice que el no la robó.

Carlos dice que Eddie miente.

Steve dice que Carlos miente.

The Edge dice que Carlos se la robó.

¿Quien dice la verdad?

Problema 2En la comedia de Shakespeare “A Midsummer Night’s Dream” los protagonistas Demetrius y Lisander, y las chicas Helena y Hernia son victimas del mal de los amores de forma tal que cada chico esta locamente enamorado de una de las chicas mientras recibe el amor incodicional de la otra. Dadas estas condiciones, ninguna pareja, chico y chica, Dadas estas condiciones, ninguna pareja, chico y chica, puede quedar sin chaperón en ningun momento. Los cuatro personajes tienen que cruzar un rio en el menor número de viajes utilizando una canoa para dos. Lysander esta herido y no puede remar. El honor de Demetrius, no le permite dejar a Hernia remar antes que el y la debil Helena apenas podrá cruzar el rio remardo dos veces.

¿En cuantos viajes y en que orden cruzaran el río?

Problema 3

¿Cuantas veces se cruzarán las manecillas del reloj entre las 5am y las 5pm?

Problema 4A media noche sincronizo mi reloj y el de mi esposa sin saber que ambos están defectuosos. Mi reloj adelanta un minuto por hora y el de mi esposa minuto por hora y el de mi esposa atrasa dos minutos por hora. Mas tarde durante ese día, descubrimos que existe una hora de diferencia en nuestros relojes. ¿Cuál es la hora correcta?

Problema 5Si dibujáramos 5 segmentos desde el centro de un pentágono regular a cada uno de sus vértices se formarían cinco triángulos isósceles. Si pudiéramos triángulos isósceles. Si pudiéramos pintar uno o mas de estos triángulos de gris, ¿cuantos patrones distintos podríamos formar? (Cada patrón debe ser único y no puede ser la rotación de otro patrón)

Problema 6

Un ama de llaves recibe 20 llaves para abrir 20 habitaciones. ¿Cuál será el numero máximo de intentos que ella tendrá que hacer para saber que llave corresponde a cada habitación?

Problema 7

¿Cuan profundo será un agujero de 5cm de diámetro hecho en una esfera de 13cm de diámetro?

Problema 8Mortimer y tres amigos fueron a una exhibición de afiches en la cual cada uno pudo encontrar un afiche de su ciudad natal . En cada afiche se presentaba un edificio, un festival, una parada o un rascacielos distintivo de cada ciudad. Determine en que orden pagaron los afiches y que afiche compro cada quien si:

1) El que compro el afiche de San Francisco pago justo antes que el que compro el afiche de la parada quien a su vez pago justo antes que compro el afiche de la parada quien a su vez pago justo antes que Bonnie.

2) El que compro el afiche de Nashville pago justo antes que el que compro el afiche del edificio y justo después que Lulu.

3) Los compradores fueron Rafael, alguien de New York, otro que compro el afiche de un festival y otro que pago segundo.

4) El comprador de Chicago es una chica.

Problema 8 (cont.)

Respuestas Problemas1) Carlos2) Rema Helena y viaja con Hernia. Vuelve Helena sola.

Rema Demetrius y viaja con Lysander. Vuelve Hernia sola. Rema Hernia y viaja con Helena.

3) 114) 8pm5) 85) 86) 1907) 12cm8) 1ro Rafael-SF-rascacielos, 2do Lulu-Chicago-parada,

3ro Bonnie-Nashville-festival y 4to Mortimer-NY-edificio

Disecciones

1) Si a un triangulo equilátero le cortamos una cuarta parte como se muestra, ¿como muestra, ¿como podemos disecar el trapecio que nos queda en cuatro partes de igual forma y área?

Disecciones

2) Si a un cuadrado le cortamos una cuarta parte como se muestra, ¿como muestra, ¿como podemos disecar la figura en cuatro partes de igual forma y área?

Disecciones

3) ¿Será posible cortar esta figura es dos parte de forma que tal que al reubicarlas se forme un rectángulo?

Respuestas Disecciones

Investigación

Un rectángulo n x mn x mn x mn x m se divide en nmnmnmnmcuadrados iguales (de manera natural).

¿A través de cuántos cuadrados pasa una ¿A través de cuántos cuadrados pasa una diagonal del rectángulo?

Generalizar a cajas rectangulares de tamaño n x m x pn x m x pn x m x pn x m x p.

Definiciones

• Sean aa y bb la altura y la base respectivamente de un rectángulo

• Sea f(a,b)f(a,b) igual al número de cuadritos a través de los cuales cruza una diagonal

• Sean a,a, bb y cc la altura, la base y la

b=3

a=1

Ejemplo:

• Sean a,a, bb y cc la altura, la base y la profundidad respectivamente de una caja rectangular

• Sea g(a,b,c)g(a,b,c) igual al número de cubos a través de los cuales cruza una diagonal

• Sea m(a,b)m(a,b) el máximo factor común entre aa y bb..

a=2

b=3

c=2

Ejemplo:

Rectángulos con a=1

f(1,1) = 1

f(1,2) = 2

f(1,3) = 3

Observamos que: f(1,n) = n

Rectángulos con a=2f(2,1) = 2 = f(1,2)

Observamos que: f(a,b) = f(b,a) para toda a y b

ya que solo estamos rotando la figura

Caso 1 Caso 2

Si “a través” implica que toca puntos interiores, entonces f(2,2) = 2

Pero si “ a través” implica que toca al menos en un punto, entonces f(2,2) = 4

Como grupo, decidimos estudiar el Caso 1, y dejar e l Caso 2 como una posible variante al problema original, que posteriormente t ambién resolveremos.

f(2,2) = ???

Rectángulos con a=2 (continuación)

f(2,3) = 4

f(2,4) = 4

→+→

=imparbb

parbbbf

;1

;),2(

Concluimos que:

f(2,5) = 6

f(2,6) = 6

f(2,7) = 8

Rectángulos con a=3f(3,1) = f(1,3) = 3

f(3,2) = f(2,3) = 4

f(3,3) = 3

f(3,6) = 6

f(3,4) = 6

f(3,5) = 7

f(3,7) = 9

Concluimos que:

≠+=

=03mod;2

03mod;),3(

bb

bbbf

Para toda aa menor o igual que bb, el número de

Conjetura inicial

≠−+=

=→≤∀0mod;1

0mod;),(

abba

abbbafba

Para toda aa menor o igual que bb, el número de cuadrados a través de los cuales atraviesa una diagonal será igual a bb , si bb es un múltiplo de aa o sino será igual a (a + b (a + b –– 1)1). Nota: aquellos casos donde a>ba>b, pueden ser reescritos como f(b,a)f(b,a) ya que el orden de las dimensiones no ya que el orden de las dimensiones no afecta el resultado.afecta el resultado. ERROR!!!

Rectángulos con a=4f(4,1) = f(1,4) = 4

f(4,2) = f(2,4) = 4

f(4,3) = f(3,4) = 6

f(4,4) = 4

f(4,6) = 8 ≠ 9

f(4,4) = 4

f(4,5) = 8 f(4,7) = 10

Contraejemplo de conjetura inicial

Rectángulos con a=4 (continuación)

f(4,8) = 8 f(4,10) = 12 ≠ 13f(4,8) = 8

f(4,9) = 12

Otro contraejemplo de nuestra conjetura inicial

f(4,10) = 12 ≠ 13

Estudio de los contraejemplos

f(4,10) = 12 ≠ 13f(4,6) = 8 ≠ 9 f(4,10) = 12 ≠ 13f(4,6) = 8 ≠ 9

A pesar de que aa no es factor de bb , en ambos casos observamos un patrón o proyección porque aa y bb tienen un factor común mayor que 1. Si lo factorizamos:

f(4,6) = 2 f(2,3) = 2(4) = 8 ;

de igual forma:

f(4,10) = 2 f(2,5) = 2(6) = 12

Conclusión

[ ] [ ]1),(),( −+== qpkqpfkbaf

pka

bamk

⋅== ),(en donde:

qkb

pka

⋅=⋅=

kbabaf −+=),(que se puede rescribir como:

Demostración Visual

f(5,11) = 5 + 11 – 1 = 15 a=5

b=11b=11

Para llegar desde el punto P hasta el punto Q atravesamos 11cuadritos naranja (b) y subimos 4 cuadritos amarillos (a – 1).

P

Q

Es por esto que f(a,b) = a + b – 1; cuando el máximo factor común entre a y b es 1.

Estudio del Caso 2Caso 1 Caso 2

Regresando al caso 2 en el cual incluimos en la cuenta los cuadrados que son tocados por la diagonal concluimos los siguientes:

•El Caso 2 es distinto al Caso 1 solo en aquellas ocasiones en las cuales la diagonal atraviesa por un vértice

•El número de cuadrados añadidos serán siempre dos por vértice intersecado

•El número de vértices intersecados por la diagonal es igual al máximo factor común entre a y b menos 1.

Conclusión para el Caso 2

)1(2),(* −+−+= kkbabaf

en donde:cuadrados añadidos

),( bamk =

2),(* −++= kbabaf

en donde:

* representa caso 2

),( bamk =

que se puede rescribir como:

La Tercera Dimensión

a=5

c=3

b=11

c=3

Conjetura inicial:

Ejemplo: g(5,11,3) = 17

Observación: Solo funciona cuando el máximo factor común entre cualesquiera dos dimensiones (a, b,a, b, o cc ) es 1.

2),,( −++= cbacbag

Observaciones 3-DI. g(2,2,2) = 2; g(3,3,3) = 3; g(2,4,6) = 8 = 2·g(1,2,3) = 2(4)

Conjetura g(ka,kb,kc) = k[g(a,b,c)]

Justificación: Es una repetición de k cajitas en la diagonal de la caja original

II. g(2,3,4) = g(2,4,3) = g(3,4,2) = g(3,2,4) = g(4,2,3) = g(4,3,2)II. g(2,3,4) = g(2,4,3) = g(3,4,2) = g(3,2,4) = g(4,2,3) = g(4,3,2)

Conjetura: el orden de las dimensiones no importa

Justificación: Es solo una rotación de la caja original

III. Otros casos observados

g(2,3,4) = 6 (contradice el: a + b + c – 2 ) por el 2 y 4

g(4,6,9) = 12 (exige una revisión por tener varios factores comunes)

Conjetura en 3-D

( )( )cba

cbaffcbag

≥≥∀= ,,),,(

Cotejo con ejemplos observados:Cotejo con ejemplos observados:

g(2,3,4) = g(4,3,2) = f(f(4,3),2) = f(6,2) = 2f(3,1) = 2(3) = 6

g(2,4,6) = g(6,4,2) = f(f(6,4),2) = f(2f(3,2),2) = f(2(4),2) =2f(4,1) = 2(4) = 8

g(4,6,9) = g(9,6,4) = f( f(9,6),4) = f(3f(3,2),4) = f(3(4),4) = 4f(3,1) = 4(3) = 12

Contraejemplo: g(8,5,3) = f(f(8,5),3) = f(12,3) = 3f(4,1) = 3(4) = 12

Cuando en realidad g(8,5,3) = 8 + 5 + 3 – 2 = 14 ERROR!!!

De vuelta a 2-DObservación:

Siempre que la diagonal suba un nivel y avance una columna, intersecará un cuadrado adicional, si pasa por los segmentos en lugar de pasar por un vértice. En otras palabras, cuando la diagonal pasa por un vértice, reduce la cuenta de los cuadrados por 1.

3 cuadrados 3 cuadrados 2 cuadrados

Podemos entonces rescribir : kbakbabaf −+=−−−+= )1(1),(

Donde kk es el máximo factor común entre aa y bb ; y (k (k –– 1)1) es el número de vertices intersecados por la diagonal. Esta nueva visión de lo que ocurre cuando k k ≠ 1≠ 1, nos sirve para una nueva conjetura en 3-D. Nota: cuando k = 1k = 1; entonces (k (k –– 1) = 01) = 0 .

Sea, kk el máximo factor común entre aa, bb , y cc , tal que a = kxa = kx , b = kyb = ky , c = kzc = kz . Para k k ≠1≠1.

Tenemos que:

Para k=1k=1, entonces:

Conclusiones en 3-D

[ ]),,(),,( zyxgkcbag =

Para k=1k=1, entonces:

que se puede simplificar a:

)1),(()1),(()1),((2),,( −−−−−−−++= cbmcambamcbacbag

),(),(),(1),,( cbmcambamcbacbag −−−+++=

Cubos que se restan al pasar por vértices

Gracias por su atención.Gracias por su atención.Gracias por su atención.Gracias por su atención.