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Universidad Nacional Experimental de losLlanos Centrales Rómulo Gallegos
Métodos Numéricos
Prof. Eder [email protected]
1. Modelos matemáticos en ingeniería y análisis de error• Modelos matemáticos• Aritmética del computador• Aproximaciones y errores de redondeo• Las series de Taylor y errores de truncamiento
Modelos matemáticos
• Un Modelo matemático es una formulación o una ecuación queexpresa las características esenciales de un sistema físico oproceso en términos matemáticos
fuerzade
funciones,parámetros,
ntesindependie
variables
edependient
Variablef
• Variable dependiente: característica que refleja el comportamiento o estado de unsistema
• Variables independientes: generalmente dimensiones tales como tiempo y espacio, através de las cuales se determina el comportamiento del sistema
• Parámetros: son las propiedades o la composición del sistema• Funciones de fuerza: influencias externas que actúan sobre el sistema
Un modelo matemático simple
• Segunda Ley de Newton
maF m
Fa
• a: variable dependiente• F: función de fuerza• m: parámetro que representa una propiedad del sistema
Por su forma algebraica sencilla puede despejarse directamente
Un modelo matemático más complicado
• Segunda Ley de Newton para determinar la velocidad terminal decaída libre de un cuerpo cerca de la superficie de la Tierra(paracaidista)
m
F
dt
dv cvmgFFF UD
vm
cg
dt
dv
• g: aceleración de la gravedad• c: coef. de arrastre
Sustituyendo F
Es una ecuación diferencial
Solución analítica tmcec
gmtv /1
*Hay casos donde es imposible obtener una solución analítica
Un modelo matemático más complicado
• Solución numérica– Se busca una aproximación a la razón de cambio de la velocidad
con respecto al tiempo con una diferencia finita dividida
ii
ii
tt
tvtv
t
v
dt
dv
1
1
iii
ii tvm
cg
tt
tvtv
1
1
Sustituyendo
Solución numérica
*Es necesario el valor de la velocidad en un tiempo inicial ti
iiiii tttvm
cgtvtv
11
0 2 4 6 8 10 120
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
v, m/s
t, s
Pendienteverdadera
Pendienteaproximada
Un modelo matemático más complicado
• Solución analítica vs. Solución numérica
*mejor solución numérica implica mayor costo computacional
0 2 4 6 8 10 120
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50v,
m/s
t, s
Solucion analiticaSolucion numerica
Aproximaciones y errores de redondeo
Dos errores más comunes en métodos numéricos
• Errores de redondeo: se deben a que la computadora sólo puedepresentar cantidades con un número finitode dígitos
• Errores de truncamiento: representan la diferencia entre unaformulación matemática exacta de unproblema y la aproximación dada por unmétodo numérico
Aproximaciones y errores de redondeo
Cifras significativas
• El concepto de cifra significativa se ha desarrollado para designarformalmente la confiabilidad de un valor numérico
• Las cifras significativas de un número son aquellas que pueden serusadas en forma confiable
Aproximaciones y errores de redondeo
Implicaciones de las cifras significativas en los métodos numéricos
1. Los métodos numéricos obtienen resultados aproximados– Se debe desarrollar criterios para especificar que tan precisos son los
resultados– Una manera de hacerlo es en términos de cifras significativas
2. Ciertas cantidades representan números específicos, , e, √7, pero no sepueden expresar exactamente con un número finito de dígitosEjemplo, = 3.141592653589793238462643… hasta el infinito
– En las computadoras tales números jamás se podrán representar en formaexacta
– A la omisión del resto de cifras significativas se le conoce como error deredondeo
Exactitud y precisiónEXACTITUD: se refiere a qué tan cercano está un valor calculado o medido
del valor verdadero
PRECISIÓN: se refiere a qué tan cercano está un valor individual calculado omedido con respecto a otros
INEXACTITUD: o sesgo, se define como un alejamiento sistemático de laverdad
IMPRECISIÓN: o incertidumbre, se refiere a la magnitud del esparcimiento delos valores
Exactitud y precisión
Los métodos numéricos deber ser:
• Lo suficientemente exactos osin sesgo para que cumplancon los requisitos de unproblema particular deingeniería
• Lo suficientemente precisospara el diseño en ingeniería
Aumenta la exactitud
Aum
enta
la p
reci
sión
Definiciones de error
• Los errores numéricos se generan con el uso deaproximaciones para representar las operaciones ycantidades matemáticas
• Estos incluyen:
– Errores de redondeo: se producen cuando los números tienenun limite de cifras significativas que se usan para representarnúmeros exactos
– Errores de truncamiento: que resultan de representaraproximadamente un procedimiento matemático exacto
Definiciones de error• Error verdadero
– Un defecto de esta definición es que no toma en cuenta el orden de magnituddel valor que se esta probando
• Error relativo porcentual
• Error aproximado
– Los signos de las ecuaciones pueden ser positivos o negativos
– No importa el signo, sino que su valor absoluto sea menor que una toleranciaprefijada s
ónaproximaci-aderovalor verdtE
%100aderovalor verd
tt
E
%100aproximadovaloraproximadoError
a %100actualónAproximaci
anteriorónAproximaci-actualónAproximacia
sa
Definiciones de error
• Estos errores pueden ser relacionados con el número decifras significativas en la aproximación
• Puede tenerse la seguridad de que el resultado escorrecto en al menos n cifras significativas, si
• De esta forma se debe especificar el valor del erroresperado
%105.0 2 ns
Representación de punto flotante yerrores de redondeo
1. Hay un rango limitado para representar cantidades– Hay números grandes positivos y negativos que no pueden ser
representados (overflow)– No pueden representarse números muy pequeños (underflow)
2. Hay sólo un número finito de cantidades que puede serrepresentado dentro de un rango
– El grado de precisión es limitado– Para aquellos que no pueden ser representados exactamente, la
aproximación real se puede lograr: cortando o redondeando
3. El intervalo entre números aumenta tanto como los númeroscrecen en magnitud
– El error cuantificable más grande ocurrirá para aquellos valores quecaigan justo debajo del limite superior de la primera serie deintervalos igualmente espaciados
Manipulación aritmética de números en lacomputadora
• Junto con las limitaciones del sistema numérico de unacomputadora, las manipulaciones aritméticas pueden darcomo resultado errores de redondeo
• Para ilustrar el efecto del error de redondeo en operacionesaritméticas comunes emplearemos una computadoradecimal hipotética con una mantisa de 4 dígitos y exponentede 1 dígito
Manipulación aritmética de números en lacomputadora
Suma• Cuando dos números de punto flotante son sumados, el número de
la mantisa con menor exponente es modificado de tal forma quelos exponentes sean los mismos, para alinear el punto decimal
• Ejemplo: 0.1557 ∙ 101 + 0.4381 ∙ 10-1
0.4381 ∙ 10-1 0.004381 ∙ 101
11
1
1
101600.010160081.010004381.0
101557.0
Manipulación aritmética de números en lacomputadora
Resta
• La pérdida significativa durante la resta de números casi iguales esuna gran fuente de errores de redondeo en métodos numéricos
12
2
2
109550.0100955.0102686.0
103641.0
• Se agrega un cero que no
es significativo
02
3
3
101000.0100001.0107641.0
107642.0
• Se agregan tres ceros queno son significativos
Manipulación aritmética de números en lacomputadora
Multiplicación• Los exponentes se suman y la mantisa se multiplica• Ejemplo:
0.1363 ∙ 103 0.6423 ∙ 10-1 = 0.08754549 ∙ 102 0.8754 ∙ 101
Cálculos grandes• Ciertos métodos requieren un número extremadamente grande de
operaciones aritméticas• Generalmente los cálculos son dependientes de los resultados
previos• En consecuencia, incluso el error de redondeo individual puede ser
pequeño, pero acumulando esos efectos durante el proceso puedeser significativo
Manipulación aritmética de números en lacomputadora
Suma de un número grande y uno pequeño
• Puede no estar realizando la suma• Este tipo de error puede ocurrir cuando se calculan series infinitas• El término inicial dentro de cada serie es a menudo relativamente
grande en comparación con los otros términos, después de sumaralgunos términos estamos en la situación del ejemplo
• Para reducir este tipo de errores se suma la serie en reversa
44
4
4
104000.0104000001.0100000001.0
104000.0
4000001.0
Serie de Taylor y errores de truncamiento
• La serie de Taylor provee un medio para predecir el valor de unafunción en un punto en términos del valor de la función y susderivadas en otro punto
• Es una serie infinita• Se incluye el término residual para considerar todos los términos
desde n+1 hasta el infinito
Rxxn
xfxx
xfxxxfxfxf n
iii
n
iii
iiiii 12
111 !...
!2''
'
1
1
1
!1
nii
n
n xxn
fR
donde :n indica que el residuo es de laaproximación a enésimo orden es un valor cualquiera de x que seencuentra entre xi y xi+i
Serie de Taylor y errores de truncamiento
• El valor práctico de las series de Taylor está en el uso de unnúmero finito de términos que darán una aproximación losuficientemente cercana a la solución verdadera
• La decisión sobre cuantos términos se requieren para obtener unaaproximación razonable se basa en el término residual de laexpansión
Serie de Taylor y errores de truncamiento
Desventajas de la formula del residual
1. El punto no se conoce con exactitud, sólo se sabe que estáentre xi y xi+i
2. Se requiere evaluar la (n+1) derivada de f(x). Pero no se conocef(x)
1
1
1
!1
nii
n
n xxn
fR
Serie de Taylor y errores de truncamiento
• Sin embargo, todavía resulta útil la formula del residual para laevaluación de errores de truncamiento
• Se puede decidir qué tan lejos de x se desea evaluar f(x)
• Se puede controlar la cantidad de términos incluidos en laexpansión
• El residual se expresa usualmente como Rn = O(hn+1)
• O(hn+1) significa que el error de truncamiento es de orden hn+1
• El error es proporcional al paso de h elevado a la (n+1) potencia
Serie de Taylor y errores de truncamiento
El residuo para la expansión en serie de Taylor
...
!3!2''
' 33
20 h
xfh
xfhxfR ii
i
• Truncando la expansión en seriede Taylor después del término deorden cero se obtiene
• El residuo o error de la predicciónconsiste en la serie infinita detérminos que fueron truncados
ii xfxf 1
xi xi+1
f(xi)
R0
Serie de Taylor y errores de truncamiento
21 !2
''h
fR
• Truncando el residuo
• Utilizando el teorema del valormedio
• Se puede hacer la extensión paraordenes superiores
hxfR i'0
hfR '0
xi xi+1
Error numérico total
• El error numérico total es la suma de los errores de truncamiento yredondeo
• En general, para minimizar el error de redondeo se incrementa elnúmero de cifras significativas del computador
• El error de redondeo se incrementa tanto por la cancelación porresta como por un incremento en el número de cálculos
• Por otro lado, el error de truncamiento puede reducirse por untamaño de paso más pequeño
• Disminuir el tamaño de paso puede promover la cancelación porresta e incrementar el número de cálculos
• Así, los errores de truncamiento pueden ser disminuidos mientraslos errores de redondeo ser incrementados