MINICURSO DE SISTEMA ESPECIALISTA NEBULOSO

12 a 15/09/06 Goiânia, GOPesquisa Operacional na Sociedade: Educação, Meio Ambiente e DesenvolvimentoXXXVIII SIMPÓSIO BRASILEIRO PESQUISA OPERACIONALDE

MINICURSO DE SISTEMA ESPECIALISTA NEBULOSO

Luiz Biondi Neto

Departamento de Engenharia Elétrica e Telecomunicações Universidade do Estado do Rio de Janeiro - UERJ

Rua São Francisco Xavier 524, sala 5036 A, 20550-013, Rio de Janeiro, RJ [email protected]

Pedro Henrique Gouveia Coelho



Jorge Luís Machado do Amaral



Maria Helena Campos Soares de Mello

Departamento de Engenharia de Produção – Universidade Federal Fluminense - UFF Rua Passo da Pátria 156, 22210-240, Niterói, RJ

[email protected]

I. Introdução

A Inteligência Computacional (IC) é uma área de pesquisa que visa investigar o desenvolvimento de técnicas computacionais inspiradas em características humanas tais como: percepção, raciocínio, aprendizado ou em mecanismos encontrados na natureza tais como: evolução natural e a adaptação. Na verdade poderíamos dizer que a IC investiga técnicas que permitam aos computadores realizarem tarefas, que normalmente são realizadas por especialistas humanos.

Os principais sistemas inteligentes artificiais inspirados nessas características intrínsecas aos seres vivos são os seguintes:

• Sistema Especialista (S/E) – Raciocínio Inferêncial. • Rede Neural Artificial (RNA) – Rede Biológica de Neurônios. • Algoritmo Genético (AG) – Evolução Natural dos seres vivos. • Lógica Nebulosa (LN) – Raciocínio Incerto e Impreciso. • Sistemas Híbridos (SH) – Combinação de duas ou mais técnicas.

O foco desse trabalho concentra-se na Lógica Nebulosa, Fuzzy, ou difusa e suas aplicações.

Lógica Nebulosa (do inglês Fuzzy Logic) é uma lógica multivalorada capaz de absorver informações vagas, normalmente descritas em uma linguagem natural (línguas faladas ou escritas) e convertê-las para um formato numérico, de fácil manipulação computacional. Procura modelar, os modos imprecisos do raciocínio humano, auxiliando na habilidade humana de tomar decisões.

XXXVIII SBPO [ 2508 ]


Na Lógica Binária, ou Lógica Booleana uma declaração é falsa ou verdadeira, não havendo nada entre esses limites. Entretanto, entre a certeza de ser e a certeza de não ser (Lógica Binária), existem infinitos graus de incerteza (Lógica Fuzzy).

A imperfeição intrínseca à informação, representada numa linguagem natural pode ser tratada por: Teoria das Probabilidades ou Teoria dos Conjuntos Fuzzy. A título de exemplo poderíamos escrever, usando-se a Lógica Fuzzy, a seguinte sentença:

se o tempo de um investimento é longo e o sistema financeiro tem sido não muito estável, então a taxa de risco do investimento é muito alta. Como pode ser visto, a sentença representa uma estrutura “se-então” interligada por

conectivo “e”. As variáveis envolvidas são: o tempo de investimento, o sistema financeiro e o risco de investimento, adjetivadas por longo, não muito estável e muito alta, respectivamente.

Na Lógica Fuzzy, o raciocínio exato ou preciso (Lógica Binária) corresponde a um caso limite do raciocínio aproximado, sendo interpretado como um processo de composição Fuzzy.

A Lógica Fuzzy foi desenvolvida na década de 60 por Lofti A. Zadeh da Universidade da Califórnia em Berkeley. Combina lógica multivalorada, teoria probabilística e inteligência Computacional para poder processar o conhecimento humano, de representação simbólica (lingüística).

A Lógica Fuzzy tem por objetivo principal fazer com que as decisões tomadas pela máquina se aproximem cada vez mais das decisões humanas. Essa característica se acentua, principalmente ao se trabalhar com uma grande variedade de informações vagas, imprecisas e incertas. Antes do surgimento da Lógica Fuzzy essas informações não tinham como ser processadas computacionalmente.

Visando situar melhor o leitor dentro do contexto e evolução da Lógica Fuzzy será mostrado também, a arquitetura e o funcionamento de um sistema especialista tradicional. 2. Fundamentos de Sistemas Especialistas

Ao longo do tempo vários sistemas, baseados nos conceitos de Inteligência Artificial (IA) foram pesquisados, sendo o Sistema Especialista (SE), cuja função é resolver problemas normalmente solucionados por especialistas humanos, o que mais prosperou, fazendo o computador parecer inteligente. O SE é, na verdade, um programa ou um conjunto de programas computacionais que usa a representação do conhecimento ou perícia humana de modo a executar certas funções semelhantemente às realizadas por um especialista humano naquele domínio específico.

Assim o SE necessita de uma vasta base de conhecimento (BC) específica ao domínio do problema e que deve ser preparada adequadamente para ser manipulada por um sistema computacional, representando o conhecimento específico. Esse conhecimento pode ser apresentado de duas formas distintas: factual e heurístico. O conhecimento factual é composto de informações e fatos aceitos pela comunidade científica publicado em livros e periódicos, etc. Por outro lado o conhecimento heurístico é apresentado sob a forma de regras que resultam da intuição e do bom senso dos especialistas, sem necessariamente serem comprovados cientificamente. Em outras palavras o conhecimento heurístico são estratégias diferentes peculiares aos especialistas humanos e que podem contribuir para diminuir o espaço de busca de um problema, proporcionando uma solução final mais rápida.

Normalmente a BC é composta de fatos e de regras. Seu conteúdo deve ser explorado por mecanismos de raciocínio inferencial1, objetivando aplicar o conhecimento específico guardado na BC ao problema investigado. Isso é feito através de um conjunto de técnicas de manipulação de conhecimento denominadas de mecanismos de inferência.

1 Operação lógica pela qual se tira uma conclusão de uma ou várias proposições admitidas como verdadeiras.



É necessário que exista um mecanismo ou uma interface que permita ao usuário do sistema obter as explicações as quais levarão o SE chegar até a conclusão final.

As principais diferenças entre os sistemas de computação convencional e um SE são:

1. Os sistemas convencionais apresentam estrutura de dados ao passo que os SEs representam o conhecimento;

2. Os sistemas convencionais usam algoritmos deterministicos, ao passo que os SEs fazem busca de conhecimento;

3. Os sistemas convencionais o conhecimento fica agregado ao código do programa, ao passo que nos SEs o conhecimento é representado separadamente.

4. Nos sistemas convencionais é muito difícil explicar o raciocínio inferencial, ao passo que nos SEs a explicação dos seus resultados é uma exigência do próprio sistema.

A Figura 1 mostra a arquitetura de um sistema especialista. A BC é composta de um

banco de fatos e de um banco de regras. Cabe ao engenheiro do conhecimento através de entrevistas com o especialista adquirir os conhecimentos específicos do domínio do problema e representá-los de forma adequada para serem manipulados por um computador, montado o banco de fatos e de regras.

A Máquina de Inferência é responsável pelos procedimentos de busca do conhecimento representado na BC, visando obter a solução do problema. Pode ser realizada através de encadeamento para trás ou para frente2, gerando não só a solução imediata do problema, mas também incluindo novos fatos na BC.

Uma interface permite não só a comunicação do engenheiro do conhecimento com o SE, mas também a do usuário no sentido de permitir as consultas, em linguagem natural, necessárias até a obtenção da solução do problema.

BASE DE CONHECIMENTO

FATOS

REGRAS

MÁQUINA DE INFERÊNCIA

USUÁRIO

ENGENHEIRO DO

CONHECIMENTO

ESPECIALISTA

I N T E R F A C E

BASE DE CONHECIMENTO

FATOS

REGRAS

MÁQUINA DE INFERÊNCIA

USUÁRIO

ENGENHEIRO DO

CONHECIMENTO

ESPECIALISTA

I N T E R F A C E

Figura 1 – A arquitetura de um Sistema Especialista

3. Fundamentos de Lógica Fuzzy

A maior parte das informações com as quais se lida no mundo real está na forma de

modelos complexos e que muitas vezes não retratam todas as variáveis envolvidas no processo ou não as levam em consideração no momento em que se faz necessário tomar uma decisão.

2 O mecanismo de inferência que utiliza encadeamento para frente é baseado na busca do sucesso de uma regra (conclusão verdadeira) através da checagem do Antecedente de uma Regra e depois de seu Conseqüente. No caso do encadeamento para trás a solução é encontrada partindo-se do Conseqüente e tentando-se provar o Antecedente.



Observam-se drásticas alterações no ritmo dos eventos, tornando-os mais rápidos e dinâmicos. Assim, há uma necessidade imperiosa de dar maior flexibilidade e capacidade de respostas mais rápidas a situações totalmente novas, exigindo por parte de quem toma decisões fazê-lo sob um leque de incertezas.

O gerenciamento dessa incerteza tem um papel particularmente importante, uma vez que a incerteza de informação na base de conhecimento induz uma incerteza na conclusão.

Torna-se necessário um sistema de inferência que associe uma medida desta ambigüidade, seja compreensível e apropriadamente interpretado pelo usuário. Nesse contexto, a Lógica Fuzzy que é baseada na habilidade que o ser humano tem em tratar informações inexatas, imprecisas, incertas, vagas, fornece aos profissionais das mais diferentes áreas uma ferramenta poderosa para resolver esse problema.

Por outro lado, as linguagens de programação tradicionais, baseadas em Lógica Booleana (binária), são adequadas para resolverem problemas cujo comportamento pode ser representado por modelos matemáticos.

Todavia quando se necessita imitar o comportamento humano no que tange ao seu mecanismo de decisão esses paradigmas de programação baseados na Álgebra de Boole (0 e 1) se mostram pouco eficientes e até mesmo inadequados.

O motivo está ligado ao modelo matemático a ser utilizado para representar o mecanismo de decisão e julgamento do ser humano que incorpora certo grau de incerteza e que, seguramente não segue a mesma linha da Lógica Booleana, notadamente exata.

O ser humano em seu mecanismo de raciocínio, impreciso, faz uso de expressões que de alguma forma adjetivam as variáveis envolvidas no problema, tais como: freqüentemente, muito, pouco, caro, barato, alto, baixo, normal, rápido, lento, etc. e que não se identificam, diretamente, com a forma binária (falso, verdadeiro, branco, preto, sim, não, 0,1), tradicionais nas linguagens de programação e usadas, largamente nos computadores digitais.

Assim, a Lógica Fuzzy é baseada em palavras, não em números, os valores verdades são expressos lingüisticamente: quente, frio, verdade, longe, perto, próximo, rápido, vagaroso, médio, normal, etc.

O uso de variáveis lingüísticas nos deixa mais perto do pensamento humano, simplifica a solução de problemas e consequentemente, proporciona a construção rápida do protótipo dos sistemas.

Possui vários modificadores de predicado como: muito, mais ou menos, pouco, médio, etc. Possui também um amplo conjunto de quantificadores, como: vários, em torno de, usualmente, etc.

Faz uso das probabilidades lingüísticas, como: provável, improvável, que são interpretados como números Fuzzy e manipulados pela sua aritmética.

Manuseia todos os valores entre 0 e 1 (falso e verdadeiro). A partir do método de inferência, ou seja, utilizando-se do conhecimento dos

especialistas para desenvolver um raciocínio dedutivo, modelam-se as incertezas dentro de um processo para tomada de decisão, fundamentado na existência de conexões entre causa e efeito, através de regras, naturais ou não, denominadas “regras de inferência”.

Para compor esse conjunto de regras, são realizadas diversas entrevistas com os especialistas do setor investigado visando transformar o conhecimento prático desses profissionais em regras de inferência.

A inferência “Fuzzy” é o processo pelo qual se obtém as saídas do sistema. Assim um vetor de variáveis de entrada, aciona as regras (proposições fuzzy) e definem a situação (forma) da variável de saída correspondente.

Diversos processos de inferência “Fuzzy” podem ser usados para se obter a saída do sistema fuzzy, sendo que o mais comumente usado é o método MIN-MAX. A função MIN é usada para operar o interior das regras (conectivo E) e a função MAX para efetivamente compor os resultados.



Assim para um dado vetor de entrada que alimenta o sistema é feita uma avaliação do grau de compatibilidade de cada componente de entrada com os conjuntos Fuzzy correspondentes ao seu domínio.

Nesse caso a função MIN valendo-se dos “antecedentes” produz um limite de ativação para o “conseqüente” da regra em estudo.

Usando-se um processo de truncamento no conjunto Fuzzy presente no “conseqüente” são produzidas as ponderações de cada “conseqüente” por seu limite de ativação. Aplicando-se a função MAX (conectivo OU) no conjunto dos conseqüentes, devidamente ponderados e agregados, chega-se ao conjunto Fuzzy resultante.

Construídos os conjuntos Fuzzy para todas as variáveis de entrada e de saída, com seus respectivos adjetivos e domínios, de acordo com informações prestadas pelos especialistas da área. E estabelecendo-se às regras de inferência que definem o problema, obtém-se então a resposta para um determinado conjunto de variáveis que acionam o sistema.

Finalmente, como as variáveis de entrada foram “fuzzificadas”, é necessário realizar a “defuzzificação” nas variáveis de saída, que pode ser feito usando-se o método dos máximos, da média dos máximos e o Método do CENTRÓIDE o mais usado.

4. Definições e Terminologia 4.1 Conjuntos Fuzzy

Com o objetivo de definir os conjuntos Fuzzy analisaremos as seguintes proposições:

• Se forem 14h30min horas, e se ainda não almocei e se tomei um farto café às

08h30min, então eu estou com pouca fome.

• Se forem 16h30min horas, e se almocei muito pouco às 12h00min e se tomei um pequeno café da antes das 07h00min, então eu estou com muita fome.

• Se forem 14h00min horas, e se almocei muito às 13h00min horas e se tomei café

normalmente às 08h00min, então eu estou com muito pouca fome.

A interpretação de “farto, pouca, muita, pequeno, normalmente, muito pouca, etc”, varia de pessoa para pessoa, não são valores exatos, embora todos saibam o seu significado. É importante salientar dentro do contexto das proposições apresentadas que: não ter almoçado é diferente de ter almoçado muito pouco, ter almoçado pouco, ter almoçado muito, ou simplesmente, ter almoçado normalmente.

Usando-se apenas os valores (0 e 1) para representar o grau de pertinência µ da variável na Lógica de Boole, isto é “µ=0”, não pertence ao conjunto e “µ=1” pertence ao conjunto é impossível representar essa variável, que apresenta graus de pertinência diversificados dentro do intervalo 0 e 1.

Assim, uma variável que apresenta essas características é uma variável Fuzzy e pode apresentar valores µ, tais como: 0.2, 0.5, 0.8, 0.9, etc., dependendo de seu grau de pertinência no conjunto.

A lógica que trata essas variáveis, dotadas de certo grau de incerteza, é denominada de Lógica Fuzzy, Lógica nebulosa ou Lógica Difusa.

Na tradicional Lógica de Boole, quando um elemento pertence a um conjunto ele é dito "membro do conjunto", caso contrário não é "membro do conjunto".

A título de exemplo, uma mudança abrupta em 100 ºC de temperatura, mostrada na Figura 2, de "não alta para alta" é contra o senso comum do pensamento humano.



Figura 2 – Representação da variável, usando-se álgebra de Boole

Por outro lado, usando-se a representação através da Lógica Fuzzy, Figura 3, uma

temperatura pode pertencer a um ou mais conjuntos, com um grau de pertinência entre 0 e 100 %.

Figura 3 – Representação da variável, usando-se Conjuntos Fuzzy

Assim, o conjunto Fuzzy A em U é então representado por um conjunto de pares ordenados (µA(u), u), no qual µA(u) é chamada de função de pertinência (membership function-MF) e u ∈ U. A função de pertinência mapeia cada elemento do universo U em um valor entre 0 e 1. U representa o universo de discurso, isto é, o espaço Fuzzy completo de variação de uma variável do modelo.

A = { µA(u) / u } = { (µA(u), u) | u ∈ U }

A Figura 4 representa um conjunto Fuzzy com universo de discurso U discreto.

Figura 4 – Conjunto Fuzzy com Universo Discreto

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Número de Filhos do Casal

Pertinência

UNIVERSO DISCRETO

11

00

100100

ALTAALTA

NÃO ALTANÃO ALTA

TEMP. TEMP. ºº CC

µµ11

00

100100

ALTAALTA

NÃO ALTANÃO ALTA

TEMP. TEMP. ºº CC

µµ

TEMP. TEMP. ºº CC

µµ

100100

1.01.0

0.00.0

0.20.2

0.40.4

0.60.6

0.80.8

2020 5050 150150

MUITO ALTAMUITO ALTAALTAALTANORMALNORMALBAIXABAIXA

TEMP. TEMP. ºº CC

µµ

100100

1.01.0

0.00.0

0.20.2

0.40.4

0.60.6

0.80.8

2020 5050 150150

MUITO ALTAMUITO ALTAALTAALTANORMALNORMALBAIXABAIXA

(1)



O Universo U {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} representa o número de crianças que um casal decide ter. No caso ter 03 filhos é o número de filhos com o maior grau pertinência do conjunto.

A Figura 5 representa um conjunto Fuzzy com universo de discurso U, contínuo

representado pelos números reais de 0 a 100, que indica a idade de uma pessoa.

Figura 5 – Conjunto Fuzzy com Universo contínuo

A = {(µA(u) , u) | u ∈ U }

4.1.1 Características específicas 4.1.1.1 Altura

A altura representa o maior grau de pertinência da função de pertinência.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Idade

Pertinência

UNIVERSO CONTÍNUO

MEIA IDADE

(5,0.1)} (4,0.5), (3,1.0), (2,0.6), (1,0.4), {(0,0.2),A

conjunto do elemento -

pertiência degrau -

/

=

=∑=

i

i

i

n

1ii

µ

µA

u

u

conjunto do elemento -

pertiência degrau -

u

uuU

µ

/)(µA ∫=

4

10

501

1)(

−+

=u

uaµ

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)



4.1.1.2 Normalização

O conjunto Fuzzy está na Forma Normal Mínima se pelo menos um elemento possui “µ (u)=1”.

O conjunto Fuzzy está na Forma Normal Máxima se pelo menos um elemento possui “µ (u)=1” e um elemento “µ (u)=0”.

4.1.1.3 Domínio

É o universo total de valores possíveis dos elementos do conjunto e dependente do contexto, mostrado na Figura 6. Pode ser aberto ou fechado e crescendo monotonicamente da esquerda para direita.

4.1.1.4 Universo de Discurso

É o espaço Fuzzy completo de variação de uma variável do modelo.

4.1.1.5 Conjunto Suporte

É a faixa efetiva de um conjunto Fuzzy que apresenta valores de “µ (u) ≠ 0” , conforme mostra a Figura 6.

4.1.1.6 Conjunto αααα - CUT

É a restrição limite imposta ao domínio, baseada no valor de “µ (u)” de cada elemento, contendo todos os elementos do domínio que possuam “µ (u)” acima de certo valor de α, mostrada na Figura 7.

PesoPeso KgKg

µµ(u)(u)

100100

1.01.0

0.00.00.20.2

0.40.4

0.60.6

0.80.8

9090 110110 160160

PesadoPesado

120120130130140140 150150

DOMÍNIODOMÍNIO

SUPORTESUPORTE

170170PesoPeso KgKg

µµ(u)(u)

100100

1.01.0

0.00.00.20.2

0.40.4

0.60.6

0.80.8

9090 110110 160160

PesadoPesado

120120130130140140 150150

DOMÍNIODOMÍNIO

SUPORTESUPORTE

170170

Figura 6 – Conjunto Suporte e Domínio



Finalmente, sintetizando as principais características específicas dos conjuntos Fuzzy, mostradas na Figura 8, temos o seguinte:

NORMALIDADE - µA(u) = 1

ALTURA - Height(A) = Maxu µA(u)

NÚCLEO - Core(A) = {u| µA(u) = 1 e u ∈ U}

SUPORTE - Supp(A) = {u| µA(u) > 0 e u ∈ U}

CRUZAMENTO - Crossover(A) = {u| µA(u) = 0.5}

αααα-cut - Aα = {u| µA(u) ≥ α, u ∈ U}

PesoPeso KgKg

µµ(u)(u)

100100

1.01.0

0.00.00.20.2

0.40.4

0.60.6

0.80.8

9090 110110 160160

PesadoPesado

120120 130130 140140 150150 170170PesoPeso KgKg

µµ(u)(u)

100100

1.01.0

0.00.00.20.2

0.40.4

0.60.6

0.80.8

9090 110110 160160

PesadoPesado

120120 130130 140140 150150 170170

Faixa Faixa αααααααα -- cutcut

αααααααα -- cut cut = 0.200.20PesoPeso KgKg

µµ(u)(u)

100100

1.01.0

0.00.00.20.2

0.40.4

0.60.6

0.80.8

9090 110110 160160

PesadoPesado

120120 130130 140140 150150 170170PesoPeso KgKg

µµ(u)(u)

100100

1.01.0

0.00.00.20.2

0.40.4

0.60.6

0.80.8

9090 110110 160160

PesadoPesado

120120 130130 140140 150150 170170

Faixa Faixa αααααααα -- cutcut

αααααααα -- cut cut = 0.200.20

Figura 7 – Conjunto Conjunto α - CUT

µµA(u)A(u)

u

.5

1

0Core

Crossover

Supp

α α α α - cut

αααα

Height

µµA(u)A(u)

u

.5

1

0Core

Crossover

Supp

α α α α - cut

αααα

Height

Figura 8 – Características específicas dos Conjuntos Fuzzy



4.2 Funções de Pertinência A Função de pertinência, função verdade ou “membership” de um conjunto Fuzzy

representa as propriedades semânticas do conceito. As principais funções de pertinência a serem investigadas são: linear; curva Z; sigmóide;

pi; beta; gaussiana; trapezoidal; triangular. 4.2.1 Linear A função de pertinência linear não merece maiores explicações, por ser muito simples, podendo ser crescente e decrescente. A Figura 9 representa uma função de pertinência linear crescente.

Figura 9 – Função de pertinência linear crescente

4.2.2 Curva Z A função de pertinência Z é mostrada na Figura 10 e obedece ao seguinte equacionamento:

CCrreesscceennttee

≥

≤≤+

−−

+≤≤

−−

−

≤

=

bx

bxba

ab

xb

baxa

ab

ax

ax

baxf

,0

2 ,2

2 ,21

,1

),,(

2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1LINEAR

Universo de Discurso

Pertinência

(7)



Figura 10 – Função de pertinência Z

4.2.3 Sigmoide A função de pertinência Sigmóide é equacionada da seguinte forma: Sigmóide crescente:

Sigmóide decrescente: As Figuras 11 e 12 representam respectivamente as Sigmóides crescente e decrescente.

Figura 11 - Função de pertinência Sigmóide crescente

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1CURVA Z


Pertinência

0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


Pertinência

SIGMOIDE

CCrreesscceennttee

)(1

1),,(

cxacaxf −−+

=ε

),,(1 caxf−

(8)

(9)



Figura 12 - Função de pertinência Sigmóide decrescente

4.2.4 Sino-PI A função de pertinência Sino-PI é mostrada na Figura 13 e composta por duas Sigmóides, uma crescente (curva 1) e uma decrescente (curva 2). Obedece ao seguinte equacionamento:

Figura 13 - Função de pertinência Sino-PI

4.2.5 Sino-Beta

A função de pertinência Sino-Beta é mostrada na Figura 14 e obedece ao seguinte equacionamento:

0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1SIGMOIDE


Pertinên

cia

DDeeccrreesscceennttee

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


Pertin

ência

SINO - PI

CCuurrvvaa 11

CCuurrvvaa 22

4 xpara

),,(-1 2 Curva

4 xpara1

1),,(1 Curva

)(

>

=

≤+

==−−

caxf

caxfcxaε

(10)

(11)



Figura 14 - Função de pertinência Sino-Beta

4.2.6 Sino-Gaussiana

A função de pertinência Sino-Gaussiana é mostrada na Figura 15 e obedece ao seguinte equacionamento:

Figura 15 - Função de pertinência Sino-Beta

4.2.6 Trapezoidal

A função de pertinência Trapezoidal é mostrada na Figura 16 e obedece ao seguinte equacionamento:

0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


SINO - Gaussiana

Pertin

ência

0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1


SINO - BETA

Pertinência

b

a

cxcbaxf

2

1

1),,,(

−+

=

2

2

2

)(

),,( σεσcx

cxf

−−

=

(12)

(13)



Figura 16 - Função de pertinência Trapezoidal

4.2.7 Triangular

A função de pertinência Triangular é mostrada na Figura 17 e obedece ao seguinte equacionamento:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


Pertinência

TRAPEZOIDAL

−−

−−

=

≤

≤≤−−

≤≤

≤≤−−

≤

=

0,,1,minmax),,,,(

xd 0,

cxc ,cd

xd

cxb 1,

bxa ,ab

ax

a x 0,

),,,,(

cd

xd

ab

axdcbaxf

dcbaxf

−−

−−

=

≤

≤≤−−

≤≤−−

≤

=

0,,minmax),,,(

xc 0,

cxb ,bc

xc

bxa ,ab

ax

a x 0,

),,,(

bc

xc

ab

axcbaxf

cbaxf

(14)

(15)

(16)

(17)



Figura 17 - Função de pertinência Triangular

A Função Verdade de um Conjunto Fuzzy representa as propriedades semânticas do conceito. A modelagem do sistema será tão melhor quanto mais próxima a função verdade mapear o comportamento do fenômeno.

Apesar das diferenças nas curvas, mostradas na Figura 18 os modelos Fuzzy não são muito sensíveis a esta elasticidade.

Figura 18 - Elasticidade da Função de pertinência

Finalmente é importante salientar, que não existe uma regra fechada para o uso das funções de pertinência. A seguir, indicamos algumas utilizações consagradas de certas funções de pertinência.

Linear: Aproximação de conceitos não bem compreendidos; Sigmoide, Z: Modelagem Dinâmica, Problema das Filas, Qualificadores de freqüência - usualmente, maioria, quase todos; Sinos: Qualificadores de quantidade – poucos, alguns; Número Fuzzy: aproximadamente, em torno de; Triangular: Uso corrente, Engenharia de Processos; Trapezoidal: Uso Corrente.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


Pertinência

SINO & TRIANGULAR

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1TRIANGULAR


Pertinência



5. Operações e Propriedades com Conjuntos Nebulosos 5.1 Operações:

Sejam A e B dois Conjuntos Fuzzy em um universo U.

Conjunto vazio:

A = ∅ se e somente se ∀ u ∈ U, µA(u) = 0

Complemento ~A :

µ ~A (u) = 1 - µA(u)

Involução ~(~A):

~(~A) = A � ~(µ ~A (u)) = 1 - (1 - µA(u)) = µA(u)

Conjuntos iguais:

A = B se e somente se ∀ u ∈ U, µA(u) = µB(u)

A subconjunto de B:

A ⊂ B se ∀ u ∈ U, µA(u) < µB(u)

Interseção:

A ∩ B � µA ∩ B (u) = MIN [µA(u) , µB(u)] ∀ u ∈ U

União:

A ∪ B � µA ∪ B (u) = MAX [µA(u) , µB(u)] ∀ u ∈ U

5.2 Propriedades:

Comutatividade:

A∪∪∪∪B = B∪∪∪∪A

A∩∩∩∩B = B∩∩∩∩A

Associatividade:

A∪∪∪∪(B∪∪∪∪C) = (A∪∪∪∪B)∪∪∪∪C

A∩∩∩∩(B∩∩∩∩C) = (A∩∩∩∩B)∩∩∩∩C

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)



Distributividade:

A∩∩∩∩(B∪∪∪∪C) = (A∩∩∩∩B)∪∪∪∪(A∩∩∩∩C)

A∪∪∪∪(B∩∩∩∩C) = (A∪∪∪∪B)∩∩∩∩(A∪∪∪∪C)

Idempotência:

A∪∪∪∪A=A

A∩∩∩∩A=A

Com o objetivo de fixar os conceitos apresentados anteriormente são mostrados nas Figuras 19, 20 e 21 alguns exemplos simples.

10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

UNIVERSO DE DISCURSO

PERTINÊNCIA

COMPLEMENTO DE A

~A

A

10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


PERTINÊNCIA

A INTERSEÇÃO B

A

B

A∩∩∩∩B

Figura 19 – Complemento de A

Figura 20 – A Interseção B

(29)

(30)

(31)

(32)



6. Função de Pertinência 2D Dada uma função de duas entradas, cada uma com seu universo de discurso próprio. A extensão Cilíndrica, representada na Figura 22, é definida como. Seja A um conjunto Fuzzy em X. Sua extensão cilíndrica em (X x Y) é um conjunto Fuzzy

definido por:

Figura 22 – Extensão Cilíndrica

Seja P um conjunto Fuzzy de duas dimensões em (X x Y). Suas projeções, Figura 23, em

X e Y são definidas como:

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

X

Pertinência

C on jun to Fuz z y A

0

0.5

1

X

E x tens ão C ilíndric a A

y

Pertinência

∫=Y) x (X A ),/()((A) yxxcil µ

∫

∫=

=

Y PY

X PX

/)],([maxP

/)],([maxP

yyx

xyx

µ

µ

(33)

(35)

(34)

10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


PERTINÊNCIA

A UNIÃO B

A∪∪∪∪B

B

A

Figura 21 – A União B



Figura 23 – Projeções PX e PY do Conjunto Nebuloso

Uma função de pertinência 2D, normalmente decorre de operações de MIN-AND-∩ ou MAX-OR-∪. Quando esse resultado pode ser decomposto por duas funções analíticas de uma dimensão a função de pertinência 2D é denominada de composta.

As Figuras 24, 25 e 26 representam as operações de interseção e união usando-se extensão cilíndrica.

Figura 25 – Conjunto trapezoidal em Y

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Y

Pertinência

Conjunto Fuzzy TRAPEZOIDAL (Y)

0

0.5

1

X

Função de Pertinência 2D

Y

Pertinência

0

0.5

1

X

Projeção em X

Y

Pertinência

0

0.5

1

X

Projeção em Y

Y

Pertinência

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

X

Pertinência

Conjunto Fuzzy TRAPEZOIDAL (X)

Figura 24 – Conjunto trapezoidal em X



7. Tópicos Avançados

7.1 Complemento

O complemento de um conjunto Fuzzy pode ser especificado da seguinte maneira:

Complemento:

N: [0,1] � [0,1]

Axiomas:

Limites: N(0) = 1, N(1) = 0

Monotonicidade (decrescente):

N(a) >= N(b) se a <= b

Involução:

(N(N(a)) = a

Complemento Sugeno:

-100

10

-10

0

100

0.5

1

X

INTER-MIN = min(trapez(x), trapez(y))

Y -100

10

-10

0

100

0.5

1

X

UNIÃO-MAX = max(trapez(x), trapez(y))

Y

Figura 26 - Interseção e União

1ssa1

a1(a)Ns

−≥+−

=

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1SUGENO

X = a

Com

plem

ento N(a)

s = 20

s = 2

s = 0

s = -0.7

s = -0.95

Figura 27 – Complemento SUGENO

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)



Complemento Yager:

7.2 Axiomas da Interseção (Normas - T)

Na teoria dos Conjuntos Fuzzy a Interseção é tratada por uma família de operadores chamados de Normas T.

Seja T(x, y) uma função T : [0,1] X [0,1] →→→→ [0,1], que satisfaz a ∀∀∀∀ x, y, z, w ∈∈∈∈ [0,1], tal que:

T(0,0) = 0 limites

T(x,0) = T(0,x) = 0

T(x,1) = T(1,x) = x

T(x,y) = T(y,x) comutatividade

T[T(x,y),z] = T[x,T(y,z)] associabilidade

T(z,w) ≤ T(x,y) se z ≤ x e w ≤ y monotonicidade (crescente)

7.2.1 Operadores das normas T Os principias operadores das normas T são: mínimo; produto algébrico; produto limitado e produto drástico, representado nas Figuras 29 e 30.

Mínimo – Tmin (a,b) = Min (a,b) = a ∩ b = a AND b

Produto Algébrico – TPA (a,b) = ab

positivo é w

)a(1(a)N w

1w

W −=

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1YAGER

X = a

Com

plem

ento N(a)

w = 0.4

w = 0.7

w = 1

w = 1.5

w = 3

Figura 28 – Complemento YAGER

(41)

(42) (43)

(44)

(45)

(46)

(47)

(48)

(49)



Produto Limitado – TPL (a,b) = 0 ∪∪∪∪ (a + b – 1) = 0 OR (a + b – 1)

Produto Drástico – TPD (a,b) =

Usando-se funções trapezoidais em X e Y teremos o mínimo, o produto algébrico, o

produto limitado e o produto drástico representados nas Figuras 31, 32 33 e 34.

0 0.5 10

0.5

10

0.5

1

X = a

Mínimo

Y = b 0 0.5 10

0.5

10

0.5

1

X = a

Produto Algébrico

Y = b

Figura 29 – Mínimo e Produto Algébrico

=

=

<

1 a se b

1 b se a

1 ba, se 0

0 0.5 10

0.5

10

0.5

1

X = a

Produto Limitado

Y = b 0 0.5 10

0.5

10

0.5

1

X = a

Produto Drástico

Y = b

Figura 30 – Produto Limitado e Produto Drástico

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

X

Pertinência

Conjunto Fuzzy TRAPEZOIDAL(X)

Figura 31 – Conjunto Fuzzy trapezoidal (X)

(50)

(51)



Figura 32 – Conjunto Fuzzy trapezoidal (Y)

7.3 Axiomas da União (Normas – S ou Co-Normas - T)

Na teoria dos Conjuntos Fuzzy a União é tratada por uma família de operadores chamados de Normas S ou Co-Normas - T.

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Y

Pertinência


0 10 200

10

200

0.5

1

X = xY = y 0 10 200

10

200

0.5

1

X = xY = y

Mínimo Produto A lgébrico

0 10 200

10

200

0.5

1

X = xY = y 0 10 200

10

200

0.5

1

X = xY = y

Mínimo Produto A lgébrico

Figura 33 – Mínimo e Produto Algébrico

0 10 200

10

200

0.5

1

X = xY = y 0 10 200

10

200

0.5

1

X = xY = y

Produto Lim itado Produto Drástico

0 10 200

10

200

0.5

1

X = xY = y 0 10 200

10

200

0.5

1

X = xY = y

Produto Lim itado Produto Drástico

Figura 34 – Produto Limitado e Produto Drástico



Seja S(x,y) uma função S: [0,1] X [0,1] →→→→ [0,1], que satisfaz a ∀∀∀∀ x, y, z, w ∈∈∈∈ [0,1], tal que:

S(1,1) = 1 limites S(x,0) = S(0,x) = x S(x,1) = S(1,x) = 1 S(x,y) = S(y,x) comutatividade S[S(x,y),z] = S[x,S(y,z)] associatividade

S(z,w) ≤ S(x,y) se z ≤ x e w ≤ y monotonicidade (crescente)

7.3.1 Operadores – Normas S

Máximo – Smax (a,b) = Max (a,b) = a ∪∪∪∪ b = a OR b

Soma Algébrica – SSA (a,b) = a + b - ab

Soma Limitada – SSL (a,b) = 1 ∩∩∩∩ (a + b) = 1 AND (a + b)

Soma Drástica – SSD (a,b) =

0 0.5 10

0.5

10

0.5

1

X = a

Máximo

Y = b 0 0.5 10

0.5

10

0.5

1

X = a

Soma Algébrica

Y = b

Figura 36 – Máximo e Soma Algébrica

=

=

>

0 a se b

0 b se a

0 ba, se 1

0 0.5 10

0.5

10

0.5

1

X = a

Soma Limitada

Y = b 0 0.5 10

0.5

10

0.5

1

X = a

Soma Drástica

Y = b

Figura 37 – Soma Limitada e Soma Drástica

(52) (53) (54)

(55) (56)

(57)

(60)

(61)

(58)

(59)



Usando-se funções trapezoidais em X e Y teremos o máximo, soma algébrica, soma limitada e soma drástica, representados nas Figuras 38, 39 40 e 41.

Figura 39 – Conjunto Fuzzy trapezoidal (Y)

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Y

Pertinência


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

X

Pertinência

Conjunto Fuzzy TRAPEZOIDAL(X)

Figura 38 – Conjunto Fuzzy trapezoidal (X)

0 10 200

10

200

0.5

1

X = xY = y 0 10 200

10

200

0.5

1

X = xY = y

Máximo Soma Algébrica

0 10 200

10

200

0.5

1

X = xY = y 0 10 200

10

200

0.5

1

X = xY = y

Máximo Soma Algébrica

Figura 40 – Máximo e Soma Algébrica



A Tabela 1 mostra algumas transformações importantes usando-se normas T e normas S.

Tabela 1 - Transformações

TIPO INTERSEÇÃO Normas - T UNIÃO Normas - S

ZADEH Min (µ a[x] + µ b[y]) Max (µ a[x] + µ b[y])

MÉDIA (µ a[x] + µ b[y])/2 (2*Min (µ a[x] + µ b[y]) + 4*( Max ( µ a[x] + µ b[y])))/6

MÉDIA 2 média 2 média 2

MÉDIA 1/2 média 1/2 média 1/2

PRODUTO/SOMA (µ a[x] * µ b[y]) (µ a[x] + µ b[y]) - (µ a[x] * µ b[y])

PRODUTO/SOMA LIMITADA Max(0, µ a[x] + µ b[y]-1) Min(1, µ a[x] + µ b[y])

8. Raciocínio Fuzzy

Num sistema Fuzzy o conhecimento é representado através de regras ou proposições. As

regras são declarações que relacionam as variáveis do modelo com os conjuntos Fuzzy. Regra ≡ Antecedente + Conseqüente ≡ Condição + Ação. Antecedente – Uma ou mais cláusulas ligadas pelos operadores AND, OR, NOT. Conseqüente – Conclusão. [Se a pressão arterial do indivíduo é alta e o indivíduo é velho e o indivíduo é fumante]

então [o custo do plano de saúde é muito alto]. O raciocínio Fuzzy, que imita as características do ser humano é realizado através da

inferência, que permite tirar conclusões (deduzir, concluir) partindo de fatos conhecidos. Isso é realizado por operações (Min-Max).

9. Variáveis Lingüísticas

As variáveis lingüísticas representam o conhecimento em inferência Fuzzy. As variáveis

de entrada e saída de um sistema Fuzzy são lingüísticas.

0 10 200

10

200

0.5

1

X = xY = y 0 10 200

10

200

0.5

1

X = xY = y

Soma Lim itada Soma Drás tica

0 10 200

10

200

0.5

1

X = xY = y 0 10 200

10

200

0.5

1

X = xY = y

Soma Lim itada Soma Drás tica

Figura 41 – Soma Limitada e Soma Drástica



10. Fuzzyficação

Transformação da forma determinística (número) em forma Fuzzy (pertinência). Nesse caso as variáveis são adjetivadas.

11. Regras

Relacionam os antecedentes com os conseqüentes. Se considerarmos um sistema de controle as regras relacionam o estado atual do processo

com a ação de controle adequada para levá-lo ao estado desejado (seguinte). Se estivermos tratando de um sistema de decisão, previsão ou diagnóstico leva a

conclusão. As regras podem ser condicionais e incondicionais Condicionais Se w é Z, então x é Y

O conseqüente está relacionado com o grau de verdade do antecedente. x é membro de Y no grau que w é membro de Z.

Se (w é Z) e (j é W) e (u é S) então x é Y Neste caso, a posição de x dentro de Y é determinada pela composição dos

valores verdade de todo o antecedente. Incondicionais x é Y

x é o subconjunto mínimo de Y

Um ponto importante está relacionado com a ordem de execução das regras. Para

modelos com somente regras condicionais ou incondicionais, a ordem é irrelevante. Se o modelo contém ambos a ordem é importante dependendo se a regra incondicional é

aplicada antes ou depois da condicional. As regras incondicionais devem ser executadas antes, são geralmente usadas como

“DEFAULT” isto é, se nenhuma regra condicional é executada, então o valor da solução é determinado pela regra incondicional. Se nenhuma regra condicional possui um antecedente com força maior que a interseção máxima das regras incondicionais, as condicionais não contribuirão para a solução do modelo.

O particionamento do espaço de entrada, mostrado na Figura 42, indica a forma como as regras estão relacionadas com este espaço. Nesse caso temos duas variáveis de entrada fuzzyficadas com três adjetivos e, portanto 3 2 = 9 regras.

Figura 42 – Particionamento do Espaço de Entrada



Finalmente, é desejável que:

� Qualquer combinação das variáveis de entrada deva ativar pelo menos uma regra;

� Duas ou mais regras com as mesmas entradas devam ter saídas mutuamente exclusivas, caso contrário as regras são inconsistentes;

� Não devem existir regras vizinhas com saídas cujas funções de pertinência não apresentem interseção.

12. Inferência

A Inferência Fuzzy é o procedimento de avaliação das regras que relacionam as variáveis

e que levam a conclusão final do sistema. AND – Modelado como interseção através de normas-T. OR – Modelado como união através de normas-S.

Esse procedimento é feito em duas fases: Avaliação da implicação de cada regra e a composição das conclusões de todas as regras em um valor consolidado.

O método de Inferência Fuzzy, mais comumente usada é o Min-Max no qual : Min – Norma -T Max – Norma - S

13. Defuzzyficação

Transformação da forma fuzzificada (lingüística) para forma determinística ou precisa

(numérica), determinando o valor real da saída. O cálculo do Centroide é o método mais usado para defuzzyficação. Supondo-se um universo de discurso discreto, a saída precisa ℜ é dada pelo centro de

gravidade do conjunto de conseqüente obtido pela composição das regras. Nesse caso n indica o é o número de quantização da saída, di representa o valor da variável de saída para o intervalo de quantização i e µA(di) o grau de pertinência.

Assim, encontra o ponto de equilíbrio da região Fuzzy calculando a média ponderada das Regiões.

Suponha a variável de saída Fuzzificada, mostrada na Figura 43, a qual se deseja

encontrar o valor preciso, pelo método de Defuzzificação do Centróide.

∑

∑

=

=←ℜn

i

iA

n

i

iAi

d

dd

0

0

)(

)(

µ

µ(62)

1.01.0

1.01.0 16.016.0

ℜℜℜℜℜℜℜℜ 9.43489.4348

1.01.0

1.01.0 16.016.01.01.0 16.016.0

ℜℜℜℜℜℜℜℜ 9.43489.4348

Figura 43 – Método do Centróide



ℜℜℜℜ = (0*0 +1*0 +2*0 +3*0.5 +4*0.5 +5*0.5 +6*0.5 +7*0.5 +8*0.8 +9*1 +10*1 +11*1 +12*1 +13*1 +14*0.6 +15*0.3+16*0 ) / (0 +0 +0 +0.5 +0.5 +0.5 +0.5 +0.5 +0.8 +1.0 +1.0 +1.0 +1.0 +1.0 +0.6 +0.3 +0.0) ℜℜℜℜ = 86.8 / 9.2 = 9.4348

Um outro método usado para se realizar a defuzzyficação é o da Altura Máxima,

mostrado na Figura 44. Nesse caso, encontra-se o ponto do domínio com grau Pertinência Máximo. Existindo Plateau determina-se a média do Plateau.

Com o objetivo de tornar mais claro e objetivo os conceitos que foram mencionados nos

itens de 8 à 13, admitiremos um sistema hipotético envolvendo duas variáveis de entrada, pressão (P) e temperatura (T) e uma variável de saída que representa a ação em uma válvula de regulagem (V), representadas na Figura 45.

Num certo tempo (t), são aplicadas ao sistema as seguintes entradas hipotéticas: P(t) e T(t).

As regras de inferência definidas pelos especialistas da área são as seguintes:

R1: Se a pressão (t) é baixa e a temperatura (t) é fria então a ação da válvula é positiva moderada (PM). R2: Se a pressão (t) é normal e a temperatura (t) é fria então a ação da válvula é nula (NUL).

A Figura 45 mostra também a aplicação das entradas P(t) e T(t) nas variáveis de entrada

P e T devidamente “fuzzyficadas”. Aplicando-se as regras de inferência preestabelecidas pelos especialistas a entrada P esta

responde com um grau de pertinência de (0.81) para o conjunto de baixa pressão e (0.32) para o conjunto de pressão normal. O mesmo raciocínio se aplica a entrada T obtendo-se um grau de pertinência 0.67.

Usando-se o método Min-Max, podemos verificar o seguinte efeito na variável de saída, também devidamente “fuzzificada” . O mínimo entre 0.81 e 0.67 é 0.67 que limita o conjunto de saída positiva moderada (PM) em 0.67.

O mínimo entre 0.32 e 0.67 é 0.32 que limita o conjunto de saída nula (NUL) em 0.32. A Saída V está “fuzzificada” e precisa ser tratada por um método de “defuzzyficação”, por exemplo, o método do centróide para obter-se a resposta desejada, no caso V = 24.

1.01.0

1.01.0 16.016.0

AAmaxmax = (9+10+11+12+13) / 5 = 11.0= (9+10+11+12+13) / 5 = 11.0

1.01.0

1.01.0 16.016.0

1.01.0

1.01.0 16.016.01.01.0 16.016.0

AAmaxmax = (9+10+11+12+13) / 5 = 11.0= (9+10+11+12+13) / 5 = 11.0

Figura 44 – Método da Altura Máxima

(63)

(64)



Figura 45 - Sistema Fuzzy

15. Estudo de Caso

A ferramenta computacional usada foi o Tool box FUZZY do MatLab 7.0. O caso investigado abordará o tema de previsão de chuva.

Variável de saída – (Previsão) Adjetivos: improvável; pouco provável; provável; muito provável; certo.

Variáveis de entrada

Variável 1 – Situação do fenômeno El Nino. Variável 2 – Posição da zona de convergência intertropical. Variável 3 – Variação da temperatura do oceano.

Adjetivos: desfavorável; neutro; favorável.

Inferência – Min-Max Min – Norma T. Max – Norma S.

A Figura 46 representa a tela de abertura do sistema permitindo ao usuário definir

adequadamente as variáveis de entrada, saída e as regras. A Figura 47 representa a composição de uma variável de entrada. As demais são

definidas semelhantemente. A Figura 48 representa a definição da variável de saída, na qual podem ser visualizados

os 05 adjetivos usados em sua modelagem. A Figura 49 mostra a tela de inserção das regras. As Figuras 50, 51 e 52 representam a saída do sistema para diversos valores exatos das

três variáveis de entrada. Finalmente, a Figura 53 mostra a ação das regras atuando nas variáveis 1 e 2. A

ferramenta permite visualizar quaisquer combinações das variáveis envolvidas.

1.01.0

1.01.0

TEMPTEMP

PRESPRES

KgmMKgmM--22

OO CC

BB NORMNORM ALTALT

FRIAFRIA NORMNORM

55 8080

105105 180180

1.01.0

AAÇÇÃO ÃO DA DA

VALV.VALV.

CmSCmS--11

-- MODMOD ZRZR

--8080 8080

0.530.53

0.200.20

0.400.4000

+MOD+MOD

M. ALTM. ALT

0.400.40

0.200.20

1.01.01.01.0

1.01.0

TEMPTEMP

PRESPRES

KgmMKgmM--22

OO CC

BB NORMNORM ALTALT

FRIAFRIA NORMNORM

55 8080

105105 180180

1.01.0

AAÇÇÃO ÃO DA DA

VALV.VALV.

CmSCmS--11

-- MODMOD ZRZR

--8080 8080

0.530.53

0.200.20

0.400.4000

+MOD+MOD

M. ALTM. ALT

0.400.40

0.200.20

V= 24



Figura 46 – Tela de abertura da ferramenta computacional

Figura 47 – Tela de definição das variáveis de Entrada



Figura 48 – Tela de definição da variável de Saída

Figura 49 – Tela de definição das Regras de Inferência



Figura 50 – Saída inicial do Sistema Fuzzy

Figura 51 – Saída do Sistema Fuzzy

55.855.855.855.8



80.880.880.880.8

Figura 52 – Saída do Sistema Fuzzy

Figura 53 – Variável 2 x Variável 1



REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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