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MINISTERIO DE EDUCACIÓN
DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN DE SAN MIGUELITO
INSTITUTO RUBIANO
Departamento de Matemática
II TRIMESTRE
“EXPRESIONES ALGEBRAICAS, LÍNEAS PARALELAS Y
PERPENDICULARES”
7 GRADO
PROFESORES:
ELIDA ACOSTA
OSCAR RUBATTINO
INDIRA HERNÁNDEZ
ASCANIO TEJADA
OCTUBRE 2020
2
PRESENTACIÓN ….............................................................................................................. 3
INDICACIONES GENERALES …...............................................................................................…...................................... 4
OBJETIVOS GENERALES …................................................…....................................... 5
OBJETIVOS ESPECÍFICOS ….............................................…..................................... 5
INDICADORES DE LOGRO …....................................................….......................................... 5
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
LOS NÚMERO REALES …..................................................…........................................ 6
INTRODUCCIÓN AL ALGEBRA ...............................................…........................................ 6
TÉRMINO ALGEBRAICO ......................................................................................…........................................ 7
CLASIFICACIÓN DE LOS TÉRMINOS ALGEBRAICOS 10
GRADO DE UN TÉRMINO …................................................….......................................... 12
TÉRMINOS HOMOGÉNEOS Y HETEROGÉNEOS …..................................... 14
CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS ….......................................... 16
POLINOMIO ORDENADO …................................................................................. 19
VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA …........................................ 20
GEOMETRÍA
RESEÑA HISTÓRICA …..................................................................................... 24
RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES …......................................... 25
ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA TRANSVERSAL 32
TEOREMA DE THALES …................................................................................... 37
TEOREMA DE PITÁGORAS …...................................................................................... 42
3
PRESENTACIÓN
Atendiendo el escenario actual en el que nos encontramos por la situación de salud
debido al coronavirus, insistimos en que no olvides cumplir con todas las medidas de
salubridad y sanitización por el bien tuyo, de tu familia y del país. ¡Cuídate!
Te exhortamos a que no descuides tus estudios y cumplas con tus metas como
estudiante.
4
INDICACIONES GENERALES
Te presentamos una Guía Didáctica, en la que encontrarás los temas del II Trimestre
juntamente con algunas prácticas que tienen sus respuestas para que evalúes tus
aprendizajes.
Este trabajo requiere que aportes mucho entusiasmo y deseos de superación.
Requiere cumplir algunas indicaciones:
❖ Lea con mucha atención las indicaciones.
❖ Revisa cuidadosamente el material las veces que lo consideres necesario.
❖ Resuelve las actividades asignadas a conciencia.
❖ Resuelve las pruebas asignadas porque son parte de tu evaluación.
5
OBJETIVOS GENERALES:
❖ Familiarizase con el lenguaje algebraico.
❖ Identificar expresiones algebraicas.
❖ Clasificar las expresiones algebraicas.
❖ Trazar rectas paralelas y perpendiculares.
❖ Aplicar el teorema de Thales y Teorema de Pitágoras.
OBJETIVOS ESPECIFÍCOS:
❖ Defina el concepto de algebra.
❖ Valoriza las expresiones algebraicas.
❖ Ordena expresiones algebraicas.
❖ Encuentra el grado de una expresión algebraica.
❖ Determina los ángulos que se forman entre dos rectas cortadas por
una recta transversal en la solución de problemas geométricos.
❖ Aplica las propiedades de perpendicularidad y paralelismo.
❖ Aplica teorema de Pitágoras.
❖ Aplica el teorema de Thales.
INDICADORES DE LOGRO
❖ Identifica las partes de un término algebraico.
❖ Clasifica los términos algebraicos de acuerdo a sus características.
❖ Clasifica las expresiones algebraicas.
❖ Traduce expresiones verbales en expresiones simbólicas algebraicas.
❖ Valoriza las expresiones algebraicas con seguridad.
❖ Encuentra el grado de un polinomio.
❖ Ordena las expresiones algebraicas.
❖ Identifica líneas paralelas y perpendiculares.
❖ Traza líneas paralelas y perpendiculares.
❖ Aplica las propiedades fundamentales de perpendicularidad y
paralelismo.
❖ Identifica los ángulos formados por rectas paralelas cortadas por
transversales.
❖ Resuelve problemas aplicando el teorema de Thales.
❖ Resuelves problemas aplicando el teorema de Pitágoras.
6
1.1 LOS NÚMEROS REALES:
El conjunto de números reales está formado por los números Naturales, Enteros,
Racionales y los Irracionales. Por lo que debes tener siempre presente que los números
Reales son todos los números que conoces.
N = {1,2,3,…..} N es el conjunto de los números naturales
Z = {…..-3,-2,-1, 0,1, 2,3,4,5,6,….} Z es el conjunto de los números entero.
Q = { ...-2,-1,-5/6, -3/4, -1/2, 0, 2/3, 4/5, 1, 2…} Q el conjunto de los números
racionales.
I = { √2, √5 , √8, 𝜋 , . ,} I es el conjunto de los números irracionales. Si observas
los conjuntos y los comparas puedes decir que los números naturales están dentro de los
enteros, esto escrito en forma matemática es N ⊂ 𝐙 también vemos que los enteros
están dentro de los racionales Z ⊂ Q (el conj. Z está incluido dentro del conj. Q)
Podemos decir que el conjunto de los números Reales está formado por los números
Racionales y los Irracionales.
1.2 INTRODUCCIÓN AL ALGEBRA:
Breve reseña histórica. Álgebra es una palabra del
vocablo Árabe (al – Jabr- al) que significa
reducción. Sus orígenes se remontan a los antiguos
babilonios quienes desarrollan un sistema
aritmético que fuera capaz de aplicar fórmulas en la
solución de problemas. También en la época
antes de Cristo los griegos, chinos, indios, y egipcios resolvían algunos problemas por
métodos geométricos ejemplo:
7
Rhind - Papyrus y los elementos de Euclides. En esa época se reconoce a Diofanto de
Alejandría como padre del Álgebra. Podemos decir que el Álgebra es la rama de
matemática que estudia las cantidades de forma general.
En las expresiones algebraicas aparecen letras, números, símbolos, signos y más.
En álgebra un número seguido por una letra indica una multiplicación o una letra seguida por otra letra indica multiplicación o dos paréntesis seguidos también es
multiplicación.
Ejemplos de expresiones algebraicas: C = 2𝜋𝑟 ; A = bh/ 2 ; -5x2 +7 4a +2b – c -8ab2 + 9b – 5c + 4 ; -7a ; 11x – 8y +3 . En álgebra generalmente se utilizan las letras minúsculas del abecedario y se les da el
nombre de variables porque son cantidades desconocidas que se les puede asignar
diferentes valores dependiendo de la situación. Hay símbolos que tienen valores fijos
que no cambian, a ellos se les llama constante. Ejemplos de constante 𝛑 que tiene un
valor fijo 𝝅 = 3.141, la fuerza de gravedad. g = 9.8 m/s2. Recuerda las constantes
solo tienen un único valor.
1.3 TÉRMINO ALGEBRAICO:
Un término algebraico es una expresión algebraica donde no aparece ningún signo de
suma o resta que separe ninguna parte de la expresión.
Ejemplos de términos algebraicos:
1) ꟷ8ab3 2) 7m2n5 3) 4
5 x2y3
Si observas no aparece ningún signo de suma o resta que separe en las expresiones.
PARTES DE UN TÉRMINO ALGEBRAICO
Un término algebraico está formado por el signo, la parte numérica y la parte literal. A
la parte numérica también se le llama coeficiente.
Ejemplos: En ꟷ8x3y el signo es negativo ꟷ, la parte numérica o coeficiente es ꟷ8
parte literal x3y.
8
ACTIVIDAD Nº 1
COMPLETE EL SIGUIENTE CUADRO.
Recuerde: siempre que en álgebra cuando no aparece parte numérica su valor es uno (1). Ejemplos:
I. En ꟷx3y5 la parte numérica es ꟷ1
II. En m7n6p13 la parte numérica es 1
TÉRMINO
SIGNO
COEFICIENTE
PARTE LITERAL
ꟷ13x5y2
25ab
m5n2p7
ꟷ 0.42mn2
8ab4cd
ꟷ 5/4 x3y2z7
En 2m4n2p_ signo positivo
5a parte numérica o coeficiente 𝟐
𝟓
Parte literal m4n2p
a
9
MINISTERIO DE EDUCACIÓN
DIRECCIÓN REGIONAL DE SAN MIGUELITO INSTITUTO RUBIANO
EJERCICIO DE MATEMÁTICA
ÁREA ÁLGEBRA
N0MBRE:____________________________ NIVEL 7°______________
VALOR: __________________ FECHA _______________
INDICACIÓN GENERAL: Lea correctamente antes de resolver, escriba todas sus operaciones en forma clara y ordenada I. LLENAR ESPACIOS VALOR: 10 PUNTOS
1. El símbolo del conjunto de los números reales es__________________________
2. La palabra álgebra es una palabra del vocablo_____________________________
3. Rama de la matemática que estudia las cantidades en forma general___________
4. En álgebra a las letras minúsculas se les llama____________________________
5. Las cantidades con valores fijos se les llama ______________________________
6. Los términos algebraicos están formados por __________ __________ ________
7. En un término algebraico la parte numérica se le llama______________________
8: En .-13 x4y5z la parte literal es_________________________________________
9. En – 2x4y5z el coeficiente es__________________________________________
II. COMPLETA EL SIGUIENTE CUADRO VALOR 15 PUNTOS
Término
Signo
P. numérica Coeficiente
Parte literal
ꟷ7x5y4z10
0.06ab5c7
5
8m6n4p
9x2y5z6
ꟷab15c8d3
10
1.4 CLASIFICACIÓN DE LOS TÉRMINOS ALGEBRAICOS
Los términos algebraicos de acuerdo a su forma se clasifican de la siguiente forma:
a) TÉRMINO ENTERO: Es aquel en donde no aparece ninguna variable en su
denominador.
Ejemplos de términos entero: 6a ; ꟷ11ab ; 4x3 ; 7mn
5
b) TÉRMINO FRACCIONARIO: Un término es fraccionario cuando encontramos
por lo menos una letra o variable en su denominador. Ejemplos:
3x2y . ; ꟷ 5mn4p ; 0.8 abc ; ꟷab2 ; 1 . 4y3 2m3n d3c2 m 2ab c) TÉRMINO RACIONAL: Un término es racional cuando no aparece ninguna letra
o variable en el denominador. Ejemplos:
6ab3 ; ꟷ 7mn ; 0.25x ; 𝟒
𝟓 x6 ;
𝟗𝐦𝟔
𝟓
d) TÉRMINO IRRACIONAL: Un término es irracional cuando tiene por lo menos
una letra o variable bajo un signo radical. Ejemplos:
2√𝟓𝒙 ; 7m√𝒏 ; 8a√𝒃
e) TÉRMINOS OPUESTOS: Dos términos son opuestos cuando tienen la misma parte
literal y el valor absoluto de su parte numérica es igual. Ejemplos:
I. ꟷ14abc y 14abc son términos opuestos porque -14 y 14 son opuestos.
II. 6m2n3 y ꟷ6m2n3 son términos opuestos porque 6 y - 6 son opuestos.
11
f) TÉRMINOS SEMEJANTES: Dos o más términos son semejantes cuando la parte
literales idéntica es decir las mismas letras con sus mismos exponentes. Ejemplos:
I. 5ab2c3 y – 4ab2c3 son semejantes porque los dos tienen la misma parte literal
es decir: la parte literal de los dos es ab2c3
II ꟷ8x4y3z5 ; 0.25x4y3z5 ; 5/6 x4y3z5 son semejantes la parte literal de
todos los términos es x4y3z5
III. m5n4p7 ; ¼ m5n4p7 ; ꟷ 2m5n4p7son semejantes su parte literal es m5n4p7
IV ꟷ3ab4c y 9ab2c4 no son semejantes porque en ab4c2 y ab2c4 los
exponentes de b y los de c no son iguales en los dos términos.
ACTIVIDAD N.º 2
ESCRIBE AL LADO DE CADA TÉRMINO SU OPUESTO.
1) 5
4 x3 ______________ 4) 0.75x4yz2______________
2) ꟷ a7b5c ______________ 5) 9x5y3 _______________
3) 15ab
7 ____ __________ 6) 6mnp ______________
Así como observas las figuras
que solo cambian de tamaño,
los términos semejantes solo
cambian la parte numérica.
- 2a 5a
12
1.5 GRADO DE UN TÉRMINO
El grado de un término puede ser de acuerdo a una letra o
variable y grado absoluto.
Grado de acuerdo a una letra o variable es igual a el valor
del exponente de la letra o variable señalada. Ejemplos:
a) El grado de ꟷ10m5n4p de acuerdo a n es 4, porque el
exponente de n es 4.
b) El grado de acuerdo a x de 7x6y3z es 6 porque ese
es el valor del exponente de x.
c) El grado absoluto de ꟷ 9m8n5p12 de acuerdo a p es 12
porque ese es el valor del exponente de p.
ACTIVIDAD Nº 3
ESCRIBE TRES TÉRMINOS SEMEJANTES A CADA TÉRMINO DADO
1. ꟷ 8ab5c3 _______________________________________
2. 0.34x5y4z ______________________________________
3. ꟷm2n4p ________________________________________
4. 4
5 x3y7__________________________________________
5. a3b4c2__________________________________________
6. 2xayb___________________________________________
13
GRADO ABSOLUTO DE UN TÉRMINO: Es igual a la suma de los exponentes de
todas las variables o letras de ese término.
Ejemplos:
I. El grado absoluto de ꟷ9m7n5p2 es igual a 7+ 5 +2 = 14
II. En 5x4y3 el grado absoluto es 7 porque 4 + 3 = 7 ;
III. En 2ab5c8d3 el grado absoluto es 17 porque 1 + 5+8 + 3 = 17
Recuerde: Cuando en una variable (letra) no aparece exponente su valor es 1.
ACTIVIDAD Nº5
ENCUENTRE EL GRADO ABSOLUTO DE LOS SIGUIENTES TÉRMINOS.
1) 7m5n4 ____________ 5) 1/6 a2 b8c3 ___________ 9) ꟷ4x5_____________
2) 2b5c9d10___________ 6)ꟷ13m3n5p13 ___________ 10) x12y5z11__________
3)ꟷ24n13p2___________ 7) 0.5x7y9z ___________ 11) ꟷ4b20c13_________
4) 5m6n7p9___________ 8) ꟷab8c7d ____________ 12) 35xyz ___________
ACTIVIDAD N.º 4
COMPLETA EL CUADRO SIGUIENTE.
ESCRIBE EL GRADO DE ACUERDO A LAS VARIABLES b, c, m, p, x, y.
TÉRMINO
b
c
m
p
x
y
7m4n5
ꟷ0.92ab7c5
4/3 x3y7z
ꟷ6m10np8
3x2y13z5
24 a10b21c4
14
1.6 TÉRMINOS HOMOGÉNEOS Y HETEROGÉNEOS
De acuerdo a el grado absoluto de los términos algebraicos ellos se clasifican en
términos homogéneos y heterogéneos.
TÉRMINOS HOMOGÉNEOS: Dos o más términos son homogéneos cuando ellos
tienen el mismo grado absoluto. Ejemplos;
1) 6y3x4z ; -5ab7 ; 0.3m5np2 son términos homogéneos porque los tres términos
tienen el mismo grado absoluto es decir, la suma de los exponentes de cada término es
8 si observamos en: 6x3y4z 3 + 4 + 1 = 8 el grado absoluto es 8 también en ꟷ5ab7 1
+7 = 8 su grado absoluto es 8 y en 0.3m5np2 5 +1 +2 = 8.
2) Los términos 2x6 ; 4m3n3 y 2/3r4st ; ꟷ0.52p2q2r2 son homogéneos, porque la
suma de los exponentes de cada término es 6.
TÉRMINOS HETEROGÉNEOS: Dos o más términos son heterogéneos cuando
tienen distintos grados absolutos.
Ejemplos:
1) 5x4y3z5 y ꟷ7x9y3z4 son heterogéneos porque tienen diferente grado absoluto.
2) 4m7n3 y 9m2n3 son heterogéneos porque tienen diferente grado absoluto.
ACTIVIDAD Nº 6 COMPARA LOS SIGUIENTES PARES DE TÉRMINOS EN HOMOGÉNEOS O HETEROGÉNEOS 1) 3ab3c5 y ꟷ2m7np___________________ 5) 0.7x2y10z5 y 4abc7___________________
2) 12m8n5 y 7/6x2y3z3_________________ 6) ꟷab3c5d9 y 0.2m4n9_________________
3) ꟷ2x15 y 6x5y5z5_____________________ 7) 2r4s7t y 10ab5c6__________________
4) 8.2r7s5t13 y 4/5m15n10_________________ 8) ꟷ11x y y 4.5 m2 __________________
15
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EJERCICIO DE MATEMÁTICA
ÁREA ÁLGEBRA
N0MBRE:____________________________ NIVEL 7°______________
VALOR: __________________ FECHA _______________
INDICACIÓN GENERAL: Lea correctamente antes de resolver, escriba todas sus operaciones en forma clara y ordenada IDENTIFICAR TÉRMINOS ALGEBRAICOS VALOR 15 PUNTOS.
A. Identifica los términos algebraicos en entero, fraccionario e irracional, colocando X en el espacio correspondiente.
TÈRMINO
ENTERO
FRACCIONARIO
IRRACIONAL
ꟷ6x4y3z
3ab√5𝑥
7𝑥𝑦
3𝑧
ꟷ 4xy
𝑚
5m7n4p2
0.45abc
ꟷx6y5z10
8mn√7𝑚
B. Identifica los términos en semejantes, homogéneos, heterogéneos, opuestos.
1) 3abc4 y ꟷ5m2n4 __________________ 5) 10m3n4p yꟷ 7m3n4p____________
2) 5rst2 y ꟷ 5rst2 ____________________ 4) 0.8ab7 y 4x3y5 ______________
5) 9m3n5 y ꟷm3n5____________________ 6) 7 x3y z y 3xyz ________________
7) 11mnp2 y 5ab2_____________________
16
1.7 CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Las expresiones algebraicas de acuerdo a la cantidad de términos que tienen se
clasificanen monomios y polinomios.
a) Monomios: Expresiones algebraicas que tienen un solo término es decir no
aparecen los signos de ꟷ ó + para separar.
Ejemplos: ꟷ4ab ; 𝟕
𝟓 m3n4p : 0.32x : ꟷ8x2y3
b) Polinomios: Expresiones algebraicas con dos o más términos, los términos se
separan por los signos + y ꟷ .
Ejemplos:
ꟷ +
Otros ejemplos:
1) 11m ꟷ 3m2
2) x4 + x2 ꟷ 3x + 6
3) 7m2 ꟷ 8mn + 5n2
4) 3x5y ꟷ 7x 4y2 + x3 y3 + 2x2y4 + 5xy5 ꟷ 4y6
Atendiendo la cantidad de términos que tienen los polinomios se les nombra de la
siguiente forma. Los polinomios que tienen dos términos se les llama binomios.
En la siguiente expresión 4a + 5b encontramos dos términos 4a y 2b otros ejemplos
de binomios 7xy ꟷ 9 ; 13x5 + 2x3 ; ꟷ 8ab ꟷ c .
Los polinomios con tres términos se les llama trinomios.
Ejemplos: 3x ꟷ 9y + 5xy ; 11m2 ꟷ 2mn + 5 ; 8ab2 ꟷ7b + 1
Las expresiones con cuatro o más términos se les llama sencillamente polinomios.
Ejemplos: 4a ꟷ 3b + 5c + 9 ; ꟷ6m2n2 + 2mn3 + 5m3n ꟷ 5n ꟷ 1
4a b 5c 3 términos
17
ACTIVIDAD Nº 7
DE ACUERDO A LA CANTIDAD DE TERMINOS CLASIFIQUE LAS SIGUIENTES EXPRESIONES
EN MONOMIO O POLINOMIO
1) 4a + 2b ꟷ3c ___________________ 5) 3x2y3 ꟷ 2x3 + 5y +7 ____________________
2) _4 m5n3p _____________________ 6) a ꟷ 5b _____________________________
3) 0.5x4 ꟷ 0.23x3 __________________ 7) 3x5y3z7√3𝑥 __________________________
4) ꟷ15m6n4p8s3 ____________________ 8) 0.2a ꟷ 6.4b +2.3 ab ____________________
ACTIVIDAD Nº 8
CLASIFIQUE LOS POLINOMIOS EN BINOMIO, TRINOMIO Y POLINOMIO.
1) 6ab ꟷ 5b2 + 7 ____________________ 6) 15m3 + 2mn ________________
2) ꟷ3x2 + 5y +4xy -10.__________________ 7) 9x ꟷ 11y + 18 ________________
3) 5 √3𝑥 +7x2 + 13x ꟷ 8x -1_____________ 8) 6x ꟷ9 + 13x +10y ______________
4) 7m ꟷ 1 8 __________________________ 9) 0.15 m4 + 1.7m3 ꟷ8m___________
5) ꟷx4 + 0.3x3 +x2 _____________________ 10) -4x3 + 10x5 __________________
18
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DIRECCIÓN REGIONAL DE SAN MIGUELITO
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ÁREA ÁLGEBRA
N0MBRE:____________________________ NIVEL 7°______________
VALOR: 25 puntos FECHA _______________
INDICACIÓN GENERAL: Lea correctamente antes de resolver, escriba todas sus operaciones en forma clara y ordenada. I. LLENAR ESPACIOS VALOR: 10 PUNTOS
1. Los términos con igual parte literal son __ ______________________________
2. El grado de un término algebraico puede ser________________ ______________
3. En 7m9n4p2 el grado de acuerdo a m es igual a __________________________
4. El grado absoluto de ꟷ 6ab5c3 es igual a ____________________________
5. Los términos con igual grado absoluto son ______________________________
6. Las expresiones algebraicas se clasifican en________________ _____________
7. Las expresiones con dos o más términos se llaman _________________________
8. Los polinomios con dos términos se llaman________________________________
II. CLASIFICA LAS EXPRESIONES EN MONOMIO Y POLINOMIO VALOR 15
PUNTOS
1. 7ab4c5_________________________ 5. 13a ꟷ 0.5b ____________________
2. 3m4n√5 ________________________ 6. x + y ꟷ z +3xy ꟷ 7yz + 4__________
3. 4x3 + 7x2 ꟷ5x ꟷ6________________ 7. 20mn5xy7 _____________________
4. 6ab2c5 ꟷ13ac5 ___________________
CLASIFICA LOS POLINOMIOSDE ACUERDO A LA CANTIDAD DE TÉRMINOS
1) ꟷ3x + 7b ______________________ 5) 15m + 8n ꟷ6xy + 7_________________
2) 5x3 + 4x2 ꟷx5 __________________ 6) a + b ꟷ 3c + 8d – 4_________________
3) 8mn + 25n4___________________ 7) 9x + 6y ꟷ 2xy ____________________
4) 7+5a ꟷ 11b ___________________ 8) 3x2 ꟷx4 +7x5 +6x __________________
19
1.8 POLINOMIO ORDENADO
Los polinomios se pueden ordenar en forma ascendente y en forma descendente.
Un polinomio está ordenado en forma
ascendente de acuerdo a una letra o variable
cuando sus términos se van colocando en
orden desde el término que tiene el menor
exponente de acuerdo a la variable indicada
hasta colocar el término con el mayor
exponente.
Ejemplos:
a) Ordene el siguiente polinomio de acuerdo a x en orden ascendente.
5x4 ꟷ 7x2 + 8x ꟷ x3 +6 ordenado en forma ascendente resulta:
+ ꟷ ꟷ +
b) Ordene el polinomio en forma ascendente
con respecto a m. 3n5 +8m4n + +7m3n2 ꟷ6m2n3 +4mn4
ordenado resulta 3n5 + 4mn4 ꟷ6m2n3 + 7m3n2 + 8m4n
Un polinomio está ordenado en forma descendente de acuerdo a una variable o letra
Cuando se colocan los términos ordenándolos desde el término de mayor exponente
de esa letra o variable hasta el término con el menor exponente de la misma letra en
forma ordenada.
Ejemplo:
a) Ordene el siguiente polinomio en forma descendente de acuerdo a la letra y.
8 + 6y3+ 4y ꟷ7y5 + 2y4 ꟷ 3y2 ordenado resulta 7y5 + 2y4 + 6y3 ꟷ 3y2 + 4y + 8
b) Ordene el polinomio en forma descendente con respecto a la letra y.
12y2z3 ꟷ4y5z3 + 4y4z2 +3yz ꟷ 4y3z2
ordenado ꟷ 4y5z3 + 4y4z2 ꟷ 4y3z2 + 12y2z3 +3yz
6 8x 7x2 x3 5x4
20
1.9 VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA
El valor numérico de una expresión algebraica es igual a el valor que toma la expresión
al reemplazar cada variable por un valor asignado y resolver las operaciones indicadas.
Recuerde siempre que en algebra un número seguido por una letra indica multiplicación
Y también una letra seguida por otra o una letra seguida por un paréntesis o dos
paréntesis seguidos indican multiplicación. También se debe tomar en cuenta el orden
de resolver las operaciones. Primero se debe resolver potencias y radicales,
multiplicación y división por último suma y resta.
Ejemplos: Encuentra el valor numérico de:
1) ꟷ 5ab cuando a=3 ; b= -2
al reemplazar cada letra tenemos: ꟷ5ab= ꟷ5(3)(ꟷ2) = + 30
2) 6x3y cuando x= 2 ; y =5
al reemplazar cada letra 6x3y = 6(23)(5) = 6(8)(5) = 240
ACTIVIDAD Nº 9
ORDENAR POLINOMIOS.
ORDENE LOS SIGUIENTES POLINOMIOS EN FORMA ASCENDENTE
1) 6x4 + 9x ꟷ3x5 +4x3 ꟷ 5x2 __________________________________________________
2) 9m7 + 13m4 ꟷ8m + 4m6 ꟷ3m2 + 8m5 ꟷ2m3___________________________________
3) 5b2 + 7b3 ꟷ3b + 6b4 ꟷ 9 ___________________________________________________
4) 2x4y + 5x2y3 ꟷ4x5 ꟷ 8x3y2 + 3xy4 ꟷ 7y5 _______________________________________
ORDENE LOS SIGUIENTES POLINOMIOS EN FORMA DESCENDENTE.
1) ꟷ5x2 + 6x4 +9x ꟷ3x5 + 4x __________________________________________________
2) ꟷ9 + 7b3 + 6b4 ꟷ 5b2 ꟷ 3b __________________________________________________
3) 9m7 + 13m4 ꟷ 8m + 4m6 ꟷ 3m2 + 8m5 +2m3____________________________________
4) 3xy4 ꟷ 4x5 + 5x2y3 + 2x4y ꟷ 8x3y2 + 7y5 _______________________________________
21
3) 3m2n ꟷ 4n3 + 15 cuando m= 4 ; n= 2 cuando reemplazamos cada letra
3m2n ꟷ 4n3 + 15 = 3(42)(2) ꟷ 4(23) +15
= 3(16)(2) ꟷ4(8) + 15
= 96 ꟷ 32 + 15
= 79
ACTIVIDAD N° 10
ENCUENTRE EL VALOR NUMÉRICO DE LAS SIGUIENTES EXPRESIONES.
Si x = 3 y= 2 Z = 1 a= ꟷ2 b= 5
1) 4x2y z = ____________________________ 5) 8a ꟷ ab __________________________
2) 7ab ꟷ 5a + 20 ______________________ 6) 10√3𝑥 __________________________
3) 2x ꟷ3y + 5z _______________________ 7) 6ab ꟷ 5a +8b______________________
4) 6y4 ꟷ20x __________________________ 8) 4ab ꟷ 2x3 _________________________
22
MINISTERIO DE EDUCACIÓN
DIRECCIÓN REGIONAL DE SAN MIGUELITO INSTITUTO RUBIANO
EJERCICIO DE MATEMÁTICA
ÁREA ÁLGEBRA
N0MBRE:____________________________ NIVEL 7°______________
VALOR: 20 puntos FECHA _______________
INDICACIÓN GENERAL: Lea correctamente antes de resolver, escriba todas sus operaciones en forma clara y ordenada I ORDENAR POLINOMIOS Valor 10 puntos Ordena el polinomio en orden ascendente de acuerdo a la variable X 7x6 + 4x2 ꟷ 5x + 2x5 ꟷ6x3 + 9x4 ꟷ 8 Ordena el polinomio en orden descendente de acuerdo a la variable m 7n5 ꟷ 4m3n2 + 9mn4 ꟷ2m2n3 + 6m4n ꟷ 12m5 II VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN Valor 10 puntos Halla el valor numérico de las siguientes expresiones.
1) 5x + 3yz ꟷ 4xy2 si x = 4 y = 2 z= 1
2) 3m2n3 si m = ꟷ2 n =1 z = 2
23
Tema #1: Perpendicularidad y paralelismo
• Perpendicularidad y paralelismo
• Ángulos formados cuando una recta transversal corta dos rectas paralelas
• Teorema de Thales
• Teorema de Pitágoras
24
2.1 RESEÑA HISTÓRICA
Sabías que… La geometría es una de las ramas de la matemática más antigua que hay.
Sin ella no se hubiesen podido construir las pirámides de Egipto. En el siglo III a.C.
Euclides ya había configurado la geometría en forma de axiomas y con construcciones,
lo que estableció una norma entre los matemáticos al seguir la geometría euclidiana
descrita en los elementos de Euclides.
En la antigüedad estos trabajos sirvieron para el estudio de la Astronomía y la
cartografía: Estudio que hoy utilizaremos con precisión.
Euclides de Alejandría es uno de los grandes representantes de la geometría de la
antigüedad.
25
2.2 RECTAS PARALES Y RECTAS PERPENDICULARES
Objetivo: Aplicar la perpendicularidad y el paralelismo en la solución de ejercicios y
problemas
Indicadores de logro:
1. Define líneas paralelas y perpendiculares
2. Traza líneas paralelas y perpendiculares
3. Aplica las propiedades fundamentales de la perpendicularidad y el paralelismo
26
Perpendicularidad y Paralelismo
Perpendicularidad
Definición Dos rectas en un mismo plano son perpendiculares si al unirse, intersecarse o cortarse
forman 4 ángulos rectos o sea de 90° (noventa grados). Para indicar la perpendicularidad
entre dos rectas utilizaremos el símbolo ∟
AB ⊥ CD ⟹ CD ⊥ AB
El símbolo ∢ indica: ángulo.
Así:
El ángulo CD mide noventa grados: 𝑚 ∢ 𝐶𝐷 = 90°
El ángulo AC mide noventa grados: 𝑚 ∢ 𝐴𝐶 = 90°
El ángulo AD mide noventa grados: 𝑚 ∢ 𝐴𝐷 = 90°
El ángulo CD mide noventa grados: 𝑚 ∢ 𝐵𝐷 = 90°
Las rectas se nombran con letras “mayúsculas” del alfabeto
recta AB = AB
El símbolo utilizado para perpendicularidad es ⊥ y se lee “Es perpendicular a”
Usaremos el símbolo para indicar una recta
Usaremos el símbolo para indicar un segmento
El círculo pequeño sobre el número indicará grado:
75° se leerá setenta y cinco grados
90° se leerá noventa grados.
90° 90°
90° 90°
C
D
B A
27
Ojo: si al intersecarse dos rectas No forman ángulos de 90°, entonces se les llama
“rectas oblicuas”.
Trazo de rectas perpendiculares con el juego de geometría
Rectas paralelas:
Dos o más rectas en un mismo plano son paralelas si no tienen punto en común
El símbolo de paralelismo es // y se lee “Es paralela a”
O sea
E F
G H
Si EF ∥ GH ⟹ GH ∥ EF
Trazado de rectas paralelas con juego de geometría
Usaremos letras mayúsculas para indicar rectas
Coplanares: que están en un mismo plano.
Podemos indicar una recta
*Por medio de 2 letras en sus extremos
*Por medio de una sola letra.
A B recta AB : AB
𝑙1 recta 𝑙1 : 𝑙1 con un subíndice en 𝑙
𝑙1 𝑙1 90°
𝑙2
𝑙1
𝑙1 𝑙1
28
Propiedades del Paralelismo
1. Propiedad Reflexiva: toda recta es paralela con ella misma
A B
AB ∥ AB
2. Propiedad simétrica: Si una recta es paralela a otra, esta es paralela a la anterior.
A B
C D
AB ∥ CD entonces CD ∥ AB
3. Propiedad transitiva: Si una recta es paralela a otra y está a una tercera, entonces la
primera es paralela a la tercera.
A B
C D
E F
Si AB ∥ CD y CD ∥ EF entonces AB ∥ EF
Principios
1. Dos rectas paralelas están a igual distancia una de la otra.
2. Dos rectas paralelas no tienen puntos en común. (Por más que se prolonguen no se
intersecan)
Propiedad de la perpendicularidad
Propiedad simétrica: Si una recta es perpendicular a otra, esta es perpendicular a la primera.
C
A B
29
D
Si AB ⊥ CD entonces CD ⊥ AB
Propiedad: Si AB es perpendicular a CD y a su vez CD es perpendicular a EF,
entonces AB es paralela a EF
A B
E F
AB ⊥ CD y CD ⊥ EF entonces AB ∥ EF
Nota:
1. Todo ángulo llano mide 180°
2. Los ángulos opuestos por el vértice miden lo mismo
3. Los ángulos correspondientes miden lo mismo
4. Los ángulos rectos (perpendiculares) miden 90 °
Ejemplos
A. Las rectas rs y uv son paralelas porque no se cortan y están a igual
distancia una de otra en todos sus puntos
r s
u v
C
D
30
B. Las rectas paralelas P P1 y P2P3 son perpendiculares pues al cortarse
forman 4 ángulos de 90°, compruébalo con tu transportador.
P2
P P1
P3
C. Los cables eléctricos de alta tensión, por seguridad, deben ser paralelos unos a otros
(o sea no deben tocarse “por nada”).
Ejercicio (Rectas paralelas y perpendiculares)
Realiza las siguientes actividades A B
1. Escribe la medida del ∢𝐴𝐷𝐶
𝑚∢𝐴𝐷𝐶 =
2. Cómo son AB y DC
3. La recta AD ( AD ) es ___________________ D C
a la recta DC ( DC ).
31
B. En el siguiente dibujo
¿Cuáles de las rectas son paralelas?
C. En el siguiente dibujo determina un par de rectas perpendiculares
T
P Q
R S
V
D. En el siguiente dibujo
C
F
A B
Traza una recta paralela a AC que pase por F
Traza una recta perpendicular a AB que pase por E
Traza una recta perpendicular a AC que pase por D
Traza una recta paralela a AB que pase por C
C
B
A
D E F
D E
A
B
32
2.3 ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS CORTADAS
POR UNA TRANSVERSAL
Objetivos:
→ Identificar los tipos de ángulos determinados por dos rectas paralelas cortadas
por una transversal.
→ Utilizar las relaciones entre los ángulos determinados por dos rectas paralelas y
una transversal para resolver ejercicios y problemas.
Indicadores de logro
1. Identifica diferentes tipos de ángulos al trazar rectas paralelas cortadas por una
transversal
2. Encuentra la medida de ángulos entre 2 rectas paralelas cortadas por una
transversal.
33
Ángulos entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal y
ángulos resultantes.
Cuando una transversal (o secante) interseca o corta dos rectas paralelas se forman los
siguientes ángulos; o sea:
Sean 𝑅1 y 𝑅2 2 rectas paralelas cortadas por una transversal T; entonces se forman
los siguientes ángulos, indicados con números, donde la recta T corta a 𝑅1 y donde T
corta a 𝑅2
T
1 2
4 3
5 6
8 7
A) Ángulos opuestos por el vértice:
∢1 y ∢3 En la recta 𝑅1 cortada por la transversal T.
∢2 y ∢4
∢5 y ∢7 En la recta 𝑅2 cortada por la transversal T.
∢6 y ∢8
B) Ángulos alternos internos: ∢4 y ∢6
∢5 y ∢3
Están en el interior de las paralelas 𝑅1 y 𝑅2.
Están en lados opuestos de la transversal.
C) Ángulos alternos externos: ∢1 y ∢7
∢2 y ∢8
Están en el exterior de las rectas paralelas 𝑅1 y 𝑅2.
Están en lados opuestos de la transversal
D) Ángulos correspondientes: ∢1 y ∢5
Un ángulo es interno y el otro externo; ∢4 y ∢8
están del mismo lado de la transversal
∢2 y ∢6
∢3 y ∢7
E) Ángulos conjugados internos ∢4 y ∢5
Son internos; están del mismo lado de la transversal ∢3 y ∢6
𝑅1
𝑅2
Exterior
Interior
Exterior
34
F) Ángulos conjugados externos ∢1 y ∢8
Son externos; están del mismo lado de la transversal ∢2 y ∢7
G) Ángulos internos ∢3, ∢4, ∢5, ∢6
Ángulos ubicados entre las 2 rectas paralelas
H) Ángulos externos ∢1, ∢2, ∢7, ∢8
Ángulos ubicados fuera de las 2 rectas paralelas
Ejemplos
A) Dada la siguiente figura
r 1 2
4 3
s 5 6
8 7
Determine:
1) Dos parejas de ángulos alternos internos
∢4 𝑦 ∢6 , ∢5 𝑦 ∢3
2) Dos parejas de ángulos correspondientes
∢1 𝑦 ∢5 , ∢3 𝑦 ∢7
3) Dos parejas de ángulos alternos externos
∢1 𝑦 ∢7 , ∢2 𝑦 ∢8
4) Dos parejas de ángulos conjuntos internos
∢4 𝑦 ∢5 , ∢3 𝑦 ∢4
5) Dos pares de ángulos opuestos por el vértice
∢4 𝑦 ∢2 , ∢5 𝑦 ∢7
6) Dos ángulos internos
∢5 𝑦 ∢3
7) Dos ángulos externos
∢1 𝑦 ∢7
Recta r paralela a
recta s : 𝑟 ∥ 𝑠
35
B) Según la figura dada escriba el nombre de las siguientes parejas de ángulos:
ℎ ∥ 𝑓 , T recta transversal
1 2 7 8 Recta h paralela a recta f
4 h ∥ f
t (recta transversal)
a) ∢1 𝑦 ∢5 _________ángulos correspondientes______________
b) ∢3 𝑦 ∢6 _________ángulos alternos externos______________
c) ∢2 𝑦 ∢7 _________ángulos alternos internos_______________
d) ∢3 𝑦 ∢8 _________ángulos conjugados externos____________
C) Llene los espacios en blanco con la respuesta correcta
1. Cuando una secante o transversal corta a 2 paralelas se forman ocho (8) ángulos.
2. Dos rectas que por más que se prolonguen nunca se unen, se llaman paralelas .
3. Dos rectas que al cortarse forman un ángulo de 90° se llaman perpendiculares .
4. La propiedad reflexiva me dice que toda recta es paralela con ella misma.
6
3
5
h f
t
36
Taller (Asignación)
Rectas paralelas cortada por una transversal
A. Llenar los espacios con la respuesta correcta
1. Dos rectas que al cortarse forman cuatro ángulos rectos: ___________________________
2. Dos rectas _____________________ son aquellas que por más que se prolongan no tienen
punto en común.
3. La propiedad transitiva del paralelismo permite deducir que si PQ ∥ MN y FG ∥ MN
entonces _______________
B. En la siguiente figura
P 2 30° q
3 4
r 6 5 s
7 8
𝑚∢1 =
𝑚∢3 =
𝑚∢4 =
𝑚∢2 =
𝑚∢6 =
𝑚∢5 =
𝑚∢7 =
𝑚∢8 =
Completa la siguiente tabla
Ángulos Internos Ángulos Externos Ángulos opuestos por el vértice
37
2.4 TEOREMA DE THALES
Objetivos:
▪ Aplicar el Teorema de Thales en la resolución de ejercicios y problemas
▪ Utilizar el teorema de Thales para dividir un segmento en partes iguales.
Indicadores de logro
1. Sustenta con seguridad el Teorema de Thales
2. Calcula la longitud de un segmento aplicado a el Teorema de Thales
3. Resuelve problemas aplicando el Teorema de Thales
38
Teorema de Thales
Si tres (3) o más rectas paralelas intersecan dos rectas secantes, entonces los segmentos
determinados por las rectas paralelas en una de las secantes, son proporcionales a los
segmentos determinados en la otra secante.
Dados:
A D
Las 2 rectas secantes
B E 𝑟1 y 𝑟2 intersecan
a las rectas paralelas
AD, BE y CF
C F
El Teorema de Thales dice que los segmentos formados en una de las rectas rojas son
proporcionales a los respectivos segmentos formados en la otra recta roja: 𝐴𝐵𝐵𝐶
𝐷𝐸𝐸𝐹
Además, se obtienen las siguientes proporciones :
𝐴𝐵
𝐷𝐸 =
𝐵𝐶
𝐸𝐹 ;
𝐴𝐶
𝐴𝐵 =
𝐷𝐹
𝐷𝐸 ;
𝐴𝐶
𝐵𝐶 =
𝐷𝐹
𝐸𝐹
𝐴𝐶
𝐷𝐹 =
𝐴𝐵
𝐷𝐸 ;
𝐴𝐶
𝐷𝐹 =
𝐵𝐶
𝐸𝐹
Ejemplos
1. Determinar
𝑙1 ∥ 𝑙2 ∥ 𝑙3
6cm 8
×=
6
3
6 ×= 8 ∙ 3
×=8∙3
6
×=24
6
×= 4
𝑙1
𝑙2
𝑙3
8cm
×
𝑟1 𝑟2
3cm
39
2. Alexis construyó dos apartamentos en forma de trapecio, como se muestra a
continuación ¿Cuánto vale x?
3. Hallar el valor de X en el problema dado
20
4=
𝑥
7
4𝑥 = 20 ∙ 7
4𝑥 = 140
𝑥 =140
4
El segmento uw (x) mide 35 𝑥 = 35
x
8m
m
10m
m
27m
m
10+8
27=
10
𝑥
18
27=
10
𝑥
18𝑥 = 27 ∙ 10
𝑥 =27∙10
18
𝑥 =270
18
𝑥 = 15
El valor de x es 15 cm
U 7 V
W
X
4
r s t
𝑟𝑡
𝑟𝑠=
𝑢𝑤
𝑢𝑣
20
40
Ejercicio (Teorema de Thales)
1. Determine la medida del segmento x si:
𝑙1 ∥ 𝑙2 , 𝑙2 ∥ 𝑙3
𝑙1 3cm x
𝑙2 12cm 4cm
𝑙3
Respuesta:
2. Determina EF si AD ∥ BE y BE ∥ CF
Datos
𝐴𝐶 = 2 𝐴𝐵
𝐷𝐹 = 40𝑐𝑚
Entonces
𝐴𝐶 = 2 (16𝑐𝑚)
𝐴𝐶 = 32𝑐𝑚
3. Determine el valor de los segmentos pedidos en base a la figura
EF =?
D
A
E
B
F
C
A
B
C D
E
F
41
4. 𝐴𝐵 =?
D
A
B
C
E
F
42
2.5 TEOREMA DE PITÁGORAS
Objetivo: Aplicar el teorema de Pitágoras en la resolución de ejercicios y de problemas.
Indicadores de logros:
1. Representa el Teorema de Pitágoras de forma gráfica
2. Aplica el Teorema de Pitágoras según su definición
43
Teorema de Pitágoras
El Teorema de Pitágoras se utiliza en triángulos rectángulos. En un triángulo rectángulo
el lado más largo se llama hipotenusa y los lados que forman el ángulo recto reciben el
nombre de catetos, ósea:
Teorema de Pitágoras
En un triángulo rectángulo el cuadrado de la medida de la hipotenusa es igual a la suma
de las medidas de los cuadrados de los catetos
O sea:
Ejemplos:
Cuando calculamos la hipotenusa c usamos la fórmula
𝑐 = √𝑎2 + 𝑏2
Cuando calculamos el cateto b usamos:
𝑏 = √𝑐2 − 𝑎2
Cuando calculamos el cateto 𝒂 usamos:
𝑎 = √𝑐2 − 𝑏2
Debemos tener en cuenta las letras de los lados del triángulo.
Ejemplos: Determinar el valor desconocido aplicando el teorema de Pitágoras
1.
cateto
cateto
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2
A
C B
𝑏 = 12
𝑎 = 5
𝑐 =?
44
Solución
𝑎 = 5 , 𝑏 = 12 𝑐 =?
Calculando el valor de la hipotenusa C
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 Comprobación
𝑐 = √𝑎2 + 𝑏2 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2
𝑐 = √52 + 122 132 = 52 + 122
𝑐 = √25 + 144 169 = 25 + 144
𝑐 = √169 169 = 169
𝑐 = 13
2.
P R Calculemos el valor
Desconocido del cateto q
𝑞2 = 𝑝2 − 𝑟2
𝑞 = √𝑝2 − 𝑟2
𝑞 = √202 − 162
𝑞 = √400 − 256
𝑞 = √144
𝑞 = 12
𝑟 = 16
𝑝 = 20
𝑞 =?
Q
Comprobación
𝑞2 = 𝑝2 − 𝑟2
(12)2 = (20)2 − (16)2
144 = 400 − 256
144 = 144
45
3.
Solución
𝑘 =? 𝑙 = 8, 𝑚 = 17
Calculando el valor del
cateto desconocido
𝑘 = √𝑚2 − 𝑙2
𝑘 = √(17)2 − (8)2
𝑘 = √289 − 64
𝑘 = √225
𝑘 = 15
𝑙 = 8
𝑘 =?
L
K M
Comprobación
𝑘2 = 𝑚2 − 𝑙2
(15)2 = (17)2 − (8)2
225 = 289 − 64
225 = 225
46
Taller (Teorema de Pitágoras)
A. Completa la siguiente tabla. Toma en cuenta que a, b y c representan las medidas,
respectivamente de los catetos y de la hipotenusa.
𝑎 𝑏 𝑐
9cm 12cm
7cm 6cm
5cm 8cm
24m 74m
B. Una escalera está apoyada en una pared. Según la ilustración. Determine la longitud de
la escalera.
C. Determine el valor desconocido en cada figura:
a)
4m
A
B C
𝑏 = 13 𝑚𝑚
𝑎 = 12 𝑚𝑚
𝑥
47
b) 𝑚 =?
c) David quiere podar un árbol que tiene un tronco de 7m de altura. Para ello coloca
una escalera a 1m de distancia del árbol. ¿Cuál es el largo de la escalera?
𝑛 = 16 𝑐𝑚
1m
7m
48
d) Obtenga el valor desconocido de w en el siguiente triángulo rectángulo y compruebe
su valor obtenido
e) Obtenga el valor desconocido de k en el siguiente triángulo rectángulo y compruebe
su valor obtenido
V
W U
𝑢 = 20𝑚
𝑣 = 29𝑚
K
J L
𝑗 = 8𝑚
𝑘 =?
49
Bibliografía
1. Matemática 7° Editorial Susaeta, Panamá, República de Panamá
2. Felix H. Cuevas, Aritmética Fundamental Práctica, Matemática 7°
Editorial Imprelibros, S.A. Colombia, 2006
3. Equipo Pedagógico de Editorial Santillana Matemática 7°,
Serie “ser competentes” – Editorial Santillana, Panamá, 2014
4. Pedro Saez, Teoría Análisis y práctica de aritmética, Algebra y Geometría,
Matemática 7°, Editorial Sibauste 2004
5. Equipo Pedagógica de Editorial Santillana, Matemática 7°
Puentes del Saber, Editorial Santillana 2014.
6. Matemática, Algebra y Geometría II año , Diana L.De Lajón
7. Algebra de Baldor.
8. Matemática 7. Santillana.
COLABORADORES:
ELIDA ACOSTA: [email protected]
OSCAR RUBATTINO: [email protected]
INDIRA HERNÁNDEZ: [email protected]
ASCANIO TEJADA: [email protected]
