Un mistero

Qualche anno fa tenni un discorso alla Cornell University. Suuna delle mie diapositive PowerPoint apparve la scritta: Dio un matematico?. Sentii uno degli studenti seduti in primafila esclamare: Oh Dio, spero di no!.

Quella mia domanda retorica non era n un tentativo flo-sofico di definire Dio per il mio pubblico n un'astuta macchi-nazione per intimidire le persone affette da fobia per la mate-matica. Stavo semplicemente presentando un mistero in cui dasecoli si dibattono alcune tra le menti pi originali: i poteri inapparenza onnipresenti e onnipotenti della matematica, carat-teristiche che in genere si associano soltanto a una divinit.Come disse una volta il fisico inglese James Jeans (1877-1946), Sembra che l'universo sia stato progettato da un mate-matico puro.1 Sembra, insomma, che la matematica sia quasitroppo efifcace per descrivere e spiegare non solo il cosmo ingenerale, ma persino alcune delle attivit umane pi caotiche.

I fisici che tentano di formulare teorie dell'universo, glianalisti di borsa che si rompono la testa per prevedere ilprossimo crollo dei mercati, i neurobiologi che costruisconomodelli del funzionamento del cervello, gli esperti di stati-stica dell'intelligence militare che cercano di ottimizzare

Dio un matematico

l'allocazione delle risorse, tutti costoro utilizzano la mate-matica. E, anche se si servono di formalismi elaborati in dif-ferenti branche matematiche, fanno tutti riferimento a ununico sistema matematico globale coerente. Che cosa da allamatematica questi incredibili poteri? Come possibile sichiese una volta Einstein che la matematica, un prodottodella mente umana che indipendente dall'esperienza [il cor-sivo mio], si accordi in maniera tanto eccellente agli ogget-ti della realt fsica?2

Questo senso di assoluta meraviglia non nuovo. Gi alcu-ni filosofi dell'antica Grecia, Pitagora e Piatone in particolare,manifestavano il loro stupore di fronte all'apparente capacitdella matematica di dar forma all'universo e di governarlo, e diesistere, a quanto sembrava, al di sopra del potere degli uominidi alterarla, dirigerla o influenzarla. Anche il filosofo ingleseThomas Hobbes (1588-1679) non riusciva a nascondere lasua ammirazione. Nel Leviatano, l'imponente opera in cuiespose ci che considerava il fondamento della societ e del go-verno, Hobbes individua nella geometria il paradigma del ra-gionamento razionale:

Se allora tale verit consiste nel giusto ordinamento dei nominelle nostre affermazioni, un uomo che cerca la verit precisadeve ricordarsi per che cosa sta ogni nome che utilizza e posi-zionarlo di conseguenza, altrimenti si trover intrappolatonelle parole, come un uccello in un rametto di vischio, chepi cerca di divincolarsi e pi rimane invischiato. E cos ingeometria (che l'unica scienza che Dio ha voluto finora do-nare al genere umano) gli uomini cominciano con lo stabilirei significati delle loro parole, chiamando definizioni questasistemazione di significati e collocando tali definizioni all'ini-zio del calcolo.3

Un mistero

Millenni di ricerche matematiche portentose e di specula-zioni flosofiche erudite hanno contribuito relativamentepoco a far luce sull'enigma del potere della matematica.Anzi, in un certo senso il mistero si addirittura infittito. Ilnoto fisico matematico di Oxford Roger Penrose, per esem-pio, oggi identifica addirittura un triplo mistero. Penrosedistingue tre mondi: il mondo delle nostre percezionicoscienti, il mondo fisico e il mondo platonico delleforme matematiche.4 Il primo mondo la sede di tutte lenostre immagini mentali: come percepiamo i volti dei no-stri figli, come godiamo di un tramonto mozzafiato o comereagiamo di fronte a orripilanti immagini di guerra. anche il mondo che contiene l'amore, la gelosia e i pregiu-dizi, le nostre percezioni della musica, degli odori del cibo edella paura. Il secondo mondo quello che in genere chia-miamo realt fisica. Oggetti reali come fiori, pastiglie diaspirina, nuvole bianche e aviogetti appartengono a questacategoria, cos come vi appartengono galassie, pianeti,atomi, cuori di babbuino e cervelli umani. Il mondo plato-nico delle forme matematiche, che per Penrose altrettantoreale quanto quello fisico e mentale, la patria della mate-matica. E qui che troveremo i numeri naturali 1, 2, 3, 4...,tutte le figure e i teoremi della geometria euclidea, le legginewtoniane del moto, la teoria delle stringhe, la teoriadelle catastrofi e i modelli matematici del comportamentodei mercati finanziari. E a questo punto, osserva Penrose,sorgono i tre misteri. Primo, il mondo della realt fsicasembra obbedire a leggi che risiedono nel mondo delleforme matematiche. Era questo il mistero che lasciava per-plesso Einstein.

Il Premio Nobel per la Fisica Eugene Wigner (1902-1995) ne era altrettanto sbalordito:

.^

Do un matematico

II miracolo dell'idoneit del linguaggio della matematica allaformulazione delle leggi della fisica un dono meravigliosoche non comprendiamo n meritiamo. Dovremmo essernegrati e sperare che rimarr valido nella ricerca futura e che siestender, nel bene e nel male, per il nostro piacere e forseanche per il nostro sconcerto, a vaste branche del sapere.5

Secondo, la stessa mente che percepisce la sede delle nostrepercezioni consce emersa in qualche modo dal mondo fisi-co. Come ha fatto la mente a nascere, in senso letterale, dallamateria?. Saremo mai in grado di formulare una teoria della co-scienza che sia coerente e convincente quanto lo , per fare unesempio, la teoria dell'elettromagnetismo? Alla fine, ed il terzomistero, il cerchio si chiude. Quelle menti che percepisconosono state capaci di accedere al mondo matematico scoprendoo creando ed esprimendo una raccolta preziosa di forme e con-cetti matematici astratti.

Penrose non offre una spiegazione per nessuno dei tre mi-steri. Conclude invece laconicamente: Senza dubbio i miste-ri non sono tre ma uno, la cui vera natura al momento nonriusciamo nemmeno a intravedere. Questa un'ammissionemolto pi umile della risposta data dal preside nella comme-dia Forty Years On (scritta dall'autore inglese Alan Bennett) auna domanda in qualche modo simile:

Foster: Sono ancora un po' confuso riguardo alla Trinit, signore.Preside: Tre in uno, uno in tre, assolutamente chiaro. Perqualsiasi dubbio al riguardo rivolgiti al tuo professore di mate-matica.

Il mistero ancora pi intricato di quanto ho appena espo-sto. Ci sono in realt due facce della capacit con cui la mate-

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matica riesce a spiegare il mondo che ci circonda (una capa-cit che Wigner chiamava l'irragionevole efficacia della ma-tematica), e sono una pi straordinaria dell'altra. In primoluogo, c' un aspetto che si potrebbe definire attivo. Quan-do i fisici si aggirano per il labirinto della natura, fanno usodella matematica per illuminare la strada: gli strumenti cheadoperano e sviluppano, i modelli che costruiscono e le spie-gazioni che trovano sono tutti riconducibili alla matematica.Questo, in apparenza, in s un miracolo. Newton osservuna mela che cadeva, la Luna e le maree sulla riva del mare(non sono nemmeno sicuro che vide mai queste ultime!),non delle equazioni matematiche. Eppure, da tutti quei fe-nomeni naturali riusc a ricavare leggi matematiche della na-tura chiare, concise e incredibilmente precise. Allo stessomodo, quando il fisico scozzese James Clerk Maxwell (1831-1879) ampli la cornice della fisica classica per includervitutti i fenomeni elettrici e magnetici che erano noti attornoal 1860, lo fece per mezzo di quattro equazioni matematichesoltanto. Rifletteteci solo un attimo. La spiegazione di un in-sieme di risultati sperimentali sull'elettromagnetismo e sullaluce la cui descrizione in precedenza aveva richiesto interi vo-lumi, si riduceva a quattro equazioni succinte. La teoria ge-nerale della relativit di Einstein ancora pi stupefacente: l'esempio perfetto di una teoria matematica straordinaria-mente precisa su qualcosa di tanto fondamentale quanto lo la struttura dello spazio e del tempo.

Ma c' anche un lato passivo nella misteriosa efficaciadella matematica, ed un aspetto cosi sorprendente che quel-lo attivo impallidisce al confronto. I concetti e le relazioniche i matematici studiano per ragioni puramente teoriche senza assolutamente valutare un'eventuale applicazione prati-ca - si rivelano a distanza di decenni (a volte di secoli) come

Dio un matematico

soluzioni inaspettate a problemi che hanno le loro basi nellarealt fsica! Com' possibile? Consideriamo il buffo caso diGodfrey Harold Hardy (1877-1947), un eccentrico matema-tico inglese. Hardy era cos orgoglioso del fatto di lavorareesclusivamente nell'ambito della matematica pura che pro-clam con enfasi: Nessuna mia scoperta ha aggiunto qualco-sa, n verosimilmente aggiunger qualcosa, direttamente o in-direttamente, nel bene e nel male, alle attrattive del mondo.6Indovinate un po'? Si sbagliava. Uno dei risultati da lui otte-nuti si reincarn con il nome di legge di Hardy-Weinberg inonore di Hardy e del fisico tedesco Wilhelm Weinberg (1862-1937) , un principio fondamentale da cui hanno attinto igenetisti per studiare l'evoluzione delle popolazioni.7 Sempli-ficando, la legge di Hardy-Weinberg stabilisce che se in unapopolazione numerosa gli accoppiamenti avvengono in modototalmente casuale (e in assenza di influenze esterne quali mi-grazioni, mutazioni e selezioni), allora la composizione gene-tica della popolazione resta costante nel passaggio da una ge-nerazione all'altra. Persino l'opera apparentemente astrattache Hardy comp nell'ambito della teoria dei numeri lostudio delle propriet dei numeri naturali trov applicazioniinattese. Nel 1973, il matematico inglese Clifford Cocks siserv della teoria dei numeri per ottenere un progresso rivolu-zionario nel campo della crittografia, l'elaborazione di codicicifrati.8 La scoperta di Cocks rese obsoleta un'altra afferma-zione di Hardy. Nella sua famosa Apologi di un matematico,pubblicata nel 1940, Hardy aveva proclamato: Nessuno haancora scoperto un uso bellico della teoria dei numeri. Anco-ra una volta, Hardy era in errore. I codici cifrati sono assoluta-mente fondamentali per le comunicazioni militari. PersinoHardy, dunque, una delle voci pi critiche nei confronti dellamatematica applicata, fu trascinato (probabilmente scal-

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ciando e strepitando, se fosse stato ancora in vita) a produrreteorie matematiche utili a livello pratico.

Ma questa solo la punta di un iceberg. Keplero e Newtonscoprirono che i pianeti del nostro sistema solare percorronoorbite di forma ellittica, curve che erano state studiate dal mate-matico greco Menecmo (circa 350 a.C.) due millenni prima. Legeometrie di nuovo tipo che Georg Friedrich Bernhard Rie-mann present per la prima volta durante l'esame di abilitazio-ne all'insegnamento del 1854 si rivelarono proprio gli strumen-ti di cui Einstein aveva bisogno per spiegare la struttura delcosmo. Un linguaggio matematico chiamato teoria dei grup-pi, elaborato dal giovane prodigio francese variste Galois(1811-1832) al solo scopo di determinare la risolvibilit delleequazioni algebriche, diventato oggi il linguaggio adottato dafisici, ingegneri, linguisti e persino antropologi per descriveretutte le simmetrie del mondo.9 Oltretutto, il concetto di formematematiche di simmetria ha, in un certo senso, capovolto l'in-tero procedimento scientifico. Per secoli, il percorso seguito percomprendere i meccanismi di funzionamento del cosmo eracominciato con una raccolta di fatti sperimentali e osservativi apartire dai quali gli scienziati, procedendo per tentativi ed erro-ri, cercavano di formulare le leggi generali della natura. La pro-cedura era quella di iniziare da osservazioni locali e di costruireil puzzle tassello per tassello. Nel XX secolo, con il riconosci-mento del fatto che alla base della struttura del mondo subato-mico ci sono motivi matematici ben definiti, i fisici modernihanno cominciato a seguire il percorso opposto. Hanno messoal primo posto i princpi matematici di simmetria, sostenendoche le leggi della natura e gli stessi costituenti fondamentalidella materia dovrebbero seguire determinati modelli, e da que-sti requisiti hanno dedotto le leggi generali. Come fa la natura asapere di obbedire a queste simmetrie matematiche astratte?

Dio un matematico

Nel 1975 Mitchell Jay Feigenbaum, all'epoca giovane fisicomatematico presso il Los Alamos National Laboratory, stavagiocando con la sua calcolatrice tascabile HP-65. Mentre esa-minava il comportamento di una semplice equazione, notche una sequenza di numeri che comparivano nei calcoli siapprossimava sempre pi a un valore particolare: 4,669...Quando esamin altre equazioni, si accorse con stupore chequello strano numero si ripeteva nuovamente. Di l a pocoFeigenbaum giunse alla conclusione che la sua scoperta rap-presentava qualcosa di universale, qualcosa che, in qualchemodo, segnava il punto di transizione dall'ordine al caos,anche se non era in grado di darne una spiegazione.10 In prin-cipio, come prevedibile, i fisici si mostrarono scettici. In findei conti, perch mai lo stesso numero avrebbe dovuto carat-terizzare il comportamento di quelli che apparivano come si-stemi decisamente diversi? Dopo sei mesi di valutazioni daparte di esperti, il primo articolo scientifico di Feigenbaumsull'argomento fu rifiutato. Non molto tempo dopo, tuttavia,alcuni esperimenti mostrarono che quando l'elio liquidoviene riscaldato dal basso si comporta esattamente come pre-visto dalla soluzione universale proposta dal fisico matemati-co. N quello, si scopr, era l'unico sistema che sottostava allascoperta di Feigenbaum. Il sorprendente numero di Feigen-baum faceva la sua comparsa nella transizione di un fluido daun flusso ordinato a un moto turbolento e persino nel com-portamento dell'acqua che gocciola da un rubinetto.

L'elenco di tali anticipazioni matematiche su ci che ge-nerazioni dopo risulter necessario in svariate discipline molto lungo. Uno degli esempi pi affascinanti dell'interazio-ne tra matematica e mondo (fisico) reale lo fornisce la storiadella teoria dei nodi, ovvero lo studio matematico dei nodi.Un nodo matematico simile a un comune nodo di corda i

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cui due capi sono uniti. In altre parole, un nodo matematico una curva chiusa senza estremit libere. Per quanto strano,l'impulso principale all'elaborazione della teoria dei nodivenne da un errato modello dell'atomo sviluppato nel XIX se-colo. Una volta che quel modello fu abbandonato, appenadue decenni dopo il suo concepimento, la teoria dei nodicontinu a evolversi nella forma di una branca relativamenteoscura della matematica pura. Il fatto sorprendente che que-sto studio astratto ha trovato inaspettate applicazioni moder-ne in ambiti che spaziano dalla struttura molecolare del DNAalla teoria delle stringhe, che tenta di conciliare il mondo su-batomico con la gravita. Torner su questa notevole vicendanel Capitolo 8, poich la sua circolarit rappresenta forse lamiglior dimostrazione di come alcune branche della matema-tica possano emergere da tentativi di spiegare la realt fisica, siperdano poi nel regno astratto della matematica e alla fine ri-tornino inaspettatamente alle loro origini ancestrali.

Scoperti o inventati?

Gi la breve descrizione che ho dato fin qui fornisce proveschiaccianti del fatto che l'universo o governato dalla matema-tica o, come minimo, suscettibile di essere analizzato tramite lamatematica. Come questo libro mostrer, anche molta partedell'attivit umana, se non tutta, sembra emergere da una strut-tura matematica sottostante, persino dove meno ce lo si aspetta.Esaminiamo un esempio tratto dal mondo della finanza, la for-mula di Black-Scholes per il calcolo del prezzo delle opzioni.11La formula valse il Premio Nobel per l'Economia ai suoi creatori(Myron Scholes e Robert Carhart Merton; Fischer Black morprima che il premio fosse assegnato). L'equazione chiave del mo-

Dio un matematico

dello consente di comprendere come si assegna un prezzo alleopzioni azionarie (le opzioni sono strumenti finanziari che per-mettono di acquistare o vendere azioni in un momento futuro aun prezzo concordato). C' per un fatto sorprendente. Al cuoredi questo modello sta un fenomeno che i fisici studiano da de-cenni: il moto browniano, lo stato di agitazione che manifesta-no minuscole particelle sospese nell'acqua, come il polline, onell'aria, come le particelle di fumo. Per di pi, come se non ba-stasse, la stessa equazione si applica al moto delle centinaia dimigliaia di stelle che formano un ammasso stellare. Non , perattingere al linguaggio di Alice nel paese delle meraviglie, qualcosadi stranissimo, e sempre pi stranissimo? Dopotutto, qualeche sia il comportamento del cosmo, gli affari e la finanza sonomondi creati dalla mente dell'uomo.

Consideriamo ora un problema ben noto ai costruttori dicircuiti stampati e ai progettisti di computer. Costoro usanotrapani laser per ricavare decine di migliaia di fori nelle loroschede. Per minimizzare i costi, i progettisti di computer vo-gliono impedire che i loro trapani si comportino come turistiper caso. Il loro problema trovare il tour pi breve tra ifori, quello che permetta di visitare una sola volta ciascunpunto da perforare. Il fatto che i matematici studiano que-sto stesso problema, noto come il problema del commessoviaggiatore, fin dagli anni Venti del secolo scorso. In sostan-za, se un venditore, o un politico impegnato in una campagnaelettorale, ha bisogno di visitare un certo numero di cittspendendo il meno possibile, e se il costo del viaggio tra cia-scuna coppia di citt noto, allora il viaggiatore deve trovareun metodo per calcolare il modo pi economico di far tappain tutte le citt e tornare al punto di partenza. Il problema delcommesso viaggiatore fu risolto per il caso di 49 citt degliStati Uniti nel 1954. Nel 2004 stato risolto per il caso di

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24.978 citt della Svezia.12 In altre parole, l'industria elettro-nica, le imprese di corrieri che utilizzano furgoni e persino icostruttori giapponesi di macchinette pachinko (che devonoinserirvi migliaia di chiodi) si devono affidare alla matematicaper compiti semplici come ricavare dei fori, programmare unitinerario o progettare tsicamente un computer.

La matematica penetrata persino in aree che tradizional-mente non vengono associate alle scienze esatte. Per esempio,il Journal of Mathematical Sociology (che nel 2006 giuntoal suo tredicesimo volume) orientato a uno studio matema-tico di strutture sociali, organizzazioni e gruppi informalicomplessi. Gli articoli della rivista si occupano di argomentiche partono da un modello matematico per predire l'opinio-ne del pubblico a un altro per prevedere le interazioni all'in-terno di gruppi sociali.

Procedendo nella direzione opposta dalla matematicaverso le scienze umanistiche il campo della linguistica com-putazionale, che in origine coinvolgeva soltanto scienziatiinformatici, oggi un'attivit di ricerca interdisciplinare cheriunisce linguisti, psicologi cognitivi, logici ed esperti di intel-ligenza artificiale, tutti impegnati nello studio della comples-sit delle lingue che si sono evolute per via naturale.

E un perfido trucco di cui siamo vittime? Un trucco tale percui tutti i tentativi umani di comprensione conducono allafine a scoprire i campi sempre pi raffinati della matematica inbase ai quali sono stati creati l'universo e le sue complesse crea-ture, ovvero noi stessi? La matematica davvero, come amanoripetere gli educatori, il manuale nascosto, quello che il profes-sore usa per insegnare mentre ai suoi studenti da una versionemolto pi modesta in modo tale da apparire pi saggio? O, perusare una metafora biblica, in un certo senso la matematica ilfrutto ultimo dell'albero della conoscenza?

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Come ho fatto notare brevemente all'inizio di questo capi-tolo, l'irragionevole efficacia della matematica ci pone di fron-te a interessanti enigmi: la matematica ha un'esistenza che completamente indipendente dalla mente umana? Noi stiamosemplicemente scoprendo delle verit matematiche, esattamen-te come gli astronomi scoprono galassie in precedenza ignote?Oppure la matematica non altro che uri invenzione umana?Se davvero la matematica esiste in un mondo astratto, qualerapporto c' tra quel mondo mistico e quello fisico? Come fa ilcervello umano, con i suoi limiti, a ottenere accesso a quelmondo immutabile, che sta al di fuori dello spazio e deltempo? D'altra parte, se la matematica una mera invenzioneumana che non esiste al di fuori delle nostre menti, come sispiega il fatto che l'invenzione di tante verit matematicheabbia dato miracolosamente risposte in anticipo a domandesul cosmo e sulla vita dell'uomo che non sono nemmeno stateposte se non molti secoli dopo? Non sono interrogativi facili.Come mostrer esaustivamente in questo libro, anche mate-matici, scienziati cognitivi e filosofi moderni non concordanosulle risposte. Nel 1989, il matematico francese Alain Connes,vincitore di due dei pi prestigiosi premi matematici, la Meda-glia Fields (1982) e il Premio Crafoord (2001), espresse conchiarezza la sua opinione in proposito:

Prendiamo per esempio i numeri primi [i numeri divisibilisolo per uno e per se stessi], che a mio parere costituisconouna realt pi stabile della realt materiale che ci circonda. Ilmatematico impegnato nella propria attivit pu essere para-gonato a un esploratore che si mette in marcia per scoprire ilmondo. L'esperienza rivela fatti fondamentali. Facendo sem-plici calcoli, per esempio, ci si rende conto che la serie dei nu-meri primi sembra proseguire senza fine. Compito del mate-

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matico, allora, dimostrare che esiste un'infinit di numeriprimi. Si tratta, naturalmente, di un vecchio risultato ottenu-to da Euclide. Una delle conseguenze pi interessanti di que-sta dimostrazione che se un giorno qualcuno dovesse soste-nere di aver trovato il pi grande numero primo, sar facilemostrare che si sbaglia. Lo stesso vale per ogni dimostrazione.Dunque noi ci imbattiamo in una realt che altrettanto in-contestabile quanto la realt fisica.13

Anche Martin Gardner, famoso autore di numerosi testi dimatematica ricreativa, sposa l'idea della matematica comescoperta. Per lui non ci sono dubbi: i numeri e la matemati-ca hanno un'esistenza propria, indipendentemente dal fattoche gli uomini ne siano o meno a conoscenza. Se due dino-sauri raggiungessero altri due dinosauri in una radura ha os-servato con arguzia, ci sarebbero quattro dinosauri anche senon ci fossero uomini a osservarli e gli animali fossero troppostupidi per saperlo.14 Connes ha sottolineato che secondo isostenitori dell'idea della matematica come scoperta (che,come vedremo, conforme alla concezione platonica), unavolta che un concetto matematico, per esempio quello di nu-meri naturali 1, 2, 3, 4..., stato compreso, allora ci si trovadavanti a dati innegabili, quali 32 + 42 = 52, a prescindere daquello che ne pensiamo. Ci ci da l'impressione, come mini-mo, di essere in contatto con una realt esistente.

Altri non sono d'accordo. Recensendo un libro in cui Con-nes presentava le sue idee, il matematico inglese Sir MichaelAtiyah (che ha vinto la Medaglia Fields nel 1966 e il PremioAbel nel 2004) ha osservato:

probabile che qualsiasi matematico simpatizzi con Con-nes. Tutti noi abbiamo la sensazione che i numeri interi o i

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cerchi esistano realmente in un senso astratto e che la visioneplatonica [che sar descritta in dettaglio nel Capitolo 2] siaestremamente seducente. Ma possiamo davvero difenderetale concezione? Se l'universo fosse stato unidimensionale oaddirittura discreto, difficile immaginare come si sarebbepotuta evolvere la geometria. Potrebbe sembrare che nel casodegli interi ci si muova su un terreno pi solido, e che conta-re sia un concetto realmente primordiale. Immaginiamoper che l'intelligenza non avesse trovato sede nell'uomo main una enorme medusa solitria e isolata, sprofondata negliabissi dell'Oceano Pacifico. Questa creatura non avrebbe al-cuna esperienza degli oggetti individuali, solo dell'acqua chela circonda. Movimento, temperatura e pressione le forni-rebbero i dati sensoriali fondamentali. In un continuum cosiperfetto, il concetto di discreto non nascerebbe, n ci sareb-be nulla da contare.15

Perci, secondo Atiyah, L'uomo ha creato [il corsivo mio] lamatematica idealizzando e astraendo elementi del mondo fisi-co. Della stessa idea sono il linguista cognitivista GeorgeLakoff e lo psicologo Rafael Nunez. Nel loro libro Da doveviene la matematica, concludono: La matematica una partenaturale dell'uomo. Nasce dal nostro corpo, dal nostro cervel-lo, e dalle nostre esperienze quotidiane del mondo.

Il punto di vista di Atiyah, Lakoff e Niinez fa sorgere un'al-tra domanda interessante. Se la matematica un'invenzioneinteramente umana, davvero universale? In altre parole, seesistesse una civilt extraterrestre, avrebbe inventato la stessamatematica? Cari Sagan (1934-1996) pensava che la rispostaa quest'ultima domanda fosse s. Nel suo libro Cosmo, quandodiscute del tipo di segnale che una civilt intelligente trasmet-terebbe nello spazio, conclude:

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estremamente improbabile che un qualsiasi processo fisiconaturale possa trasmettere messaggi radio che contengano sol-tanto numeri primi. Se ricevessimo un siffatto messaggio nededurremmo l'esistenza di una civilt lontana che quantomeno aveva una passione per i numeri primi.

Ma un fatto certo? Nel suo recente libro A New Kind ofScience, il fisico matematico Stephen Wolfram afferma chequella che chiamiamo la nostra matematica potrebbe rap-presentare solo una possibilit tra una ricca variet di saporidella matematica. Per esempio, invece di usare regole basatesulle equazioni matematiche, potremmo adottarne altre di di-verso tipo, rappresentate da semplici programmi per compu-ter. Inoltre, di recente alcuni cosmologi hanno discusso dellapossibilit che il nostro universo sia soltanto un membro diun multiverso, un gigantesco insieme di universi. Se questomultiverso esiste davvero, ci dobbiamo aspettare che gli altriuniversi posseggano la nostra stessa matematica?

I biologi molecolari e gli scienziati cognitivi mettono sultavolo un'altra prospettiva ancora, basata sugli studi delle fa-colt cerebrali. Per alcuni di questi ricercatori, la matematicanon molto differente dal linguaggio. A detta loro, in questoscenario cognitivo, dopo che gli uomini trascorsero untempo lunghissimo a osservare due mani, due occhi, due seni,nella nostra specie emersa la definizione astratta del numero2, in modo molto simile a quello in cui la parola uccello hafinito per rappresentare molti animali volanti dotati di dueali. Scrive il neuroscienziato francese Jean-Pierre Changeux:Secondo me il metodo assiomatico [che si impiega, peresempio, nella geometria euclidea] l'espressione di facoltcerebrali legate all'uso del cervello umano. Ci che distingueil linguaggio, infatti, proprio il suo carattere generativo.16

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Ma se la matematica semplicemente un altro linguaggio,come possiamo spiegare il fatto che mentre i bambini appren-dono facilmente le lingue, molti di loro trovano tanto difficilestudiare la matematica? La bambina prodigio scozzeseMarjory Fleming (1803-1811) descrisse in maniera deliziosail tipo di difficolt che gli scolari incontrano con la matemati-ca. La Marjory, che non visse abbastanza a lungo per festeg-giare il suo nono compleanno, lasci dei diari che compren-devano pi di novemila parole di prosa e cinquecento versipoetici. A un certo punto si lamenta: Adesso vi racconterl'orribile e tremenda afflizione che mi da la tabella pitagorica;non potete immaginarla. La cosa pi diabolica 8 x 8 e 7 x 7 ; una cosa che la natura stessa non pu tollerare.17

Alcuni degli elementi delle complesse questioni che ho pre-sentato possono essere riformulati in modo diverso: esiste unaqualche differenza di tipo fondamentale tra la matematica ealtre espressioni della mente umana come le arti visive o lamusica? E se non ci sono, perch la matematica mostra unacoerenza e una consequenzialit grandiose che non sembranoappartenere a ogni altra creazione umana? La geometria diEuclide, per esempio, rimane valida oggi (dove si applica)quanto lo era nel 300 a.C; rappresenta verit che ci sonoimposte. Al contrario, non siamo obbligati ad ascoltare lastessa musica che ascoltavano gli antichi greci n ad accettarel'ingenuo modello del cosmo di Aristotele.

Sono molto poche le odierne discipline scientifiche chefanno ancora uso di idee vecchie di tremila anni. D'altrocanto, le ricerche matematiche pi recenti possono far riferi-mento a teoremi pubblicati da un anno o da una settimana,ma possono anche far ricorso alla formula per calcolare l'a-rea della superfcie di una sfera, che fu dimostrata da Archi-mede attorno al 250 a.C! Nel XIX secolo il modello dell'a-

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tomo basato sulla teoria dei nodi sopravvisse per due decen-ni scarsi perch nuove scoperte dimostrarono che era infon-dato. cos che la scienza progredisce. Newton attribu ilmerito della sua grandiosa visione (o forse no! Si veda il Ca-pitolo 4) ai giganti sulle cui spalle stava. Forse avrebbe dovu-to anche chiedere scusa a quei giganti di cui aveva reso obso-leta l'opera.

Per la matematica diverso. Anche se cambia il formalismonecessario per dimostrare certi risultati, i risultati matematicinon cambiano. In effetti, come ha detto una volta il matemati-co Ian Stewart, C' una parola nella matematica per definire irisultati del passato che sono cambiati: quella parola errori.18E questi errori sono giudicati tali non a causa di nuove scoper-te come avviene nelle altre scienze, ma di un'applicazione piattenta e rigorosa delle stesse vecchie regole matematiche. Cifa della matematica la lingua madre di Dio?

Qualora pensiate che comprendere se la matematica fu in-ventata oppure scoperta non sia importante, consideratequanto diventa insidiosa la differenza tra inventato e sco-perto nella seguente domanda: Dio stato inventato o sco-perto?. O, ancor pi provocatoriamente, nella domanda:Dio cre gli uomini a sua immagine, oppure gli uomini in-ventarono Dio a loro immagine?.

In questo libro prover ad affrontare molti di questi inter-rogativi (e parecchi altri) e le loro allettanti risposte. Allo stes-so tempo, passer in rassegna ci che abbiamo compreso gra-zie all'opera di alcuni dei pi grandi matematici, fisici, filoso-fi, scienziati cognitivi e linguisti dei secoli passati e di quelloattuale. Mi affider anche alle opinioni, agli ammonimenti ealle riserve di molti pensatori moderni. Questo viaggio ecci-tante inizia dalla prospettiva pionieristica di alcuni dei pi an-tichi filosofi.