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Una dispensa consigliatissima di teoria della misura.
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Misura e integrale
di Lebesgue
Mario Poletti
Elettronica e Telecomunicazioni
Pisa, 2011/12
Indice
1 Misura e integrale di Lebesgue 11.1 Rettangoli e plurirettangoli in Rn . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Misura di Jordan in Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Misura di Lebesgue in Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Proprieta` della misura di Lebesgue in Rn . . . . . . . . . . . 61.5 Funzioni da Rn in R misurabili ed integrabili secondo Riemann 151.6 Funzioni da Rn in R misurabili ed integrabili secondo Lebesgue 171.7 Misurabilita` e fasce di livello . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.8 Funzioni limitate su insiemi limitati: significato analitico del-
lintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.9 Funzioni limitate su insiemi limitati: uso per lo studio del-
lintegrabilita` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.10 Funzioni continue: misurabilita` e condizioni di integrabilita` . 431.11 Esempi di funzioni integrabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.12 Asserti veri quasi ovunque. Il Teorema di Lebesgue . . . . . . 521.13 Funzioni definite quasi ovunque. I Teoremi di Fubini e Tonelli 551.14 Un teorema su GL(R, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591.15 Applicazioni lineari e misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611.16 Diffeomorfismi di classe C1 e misura . . . . . . . . . . . . . . 641.17 Diffeomorfismi di classe C1 e integrale . . . . . . . . . . . . . 671.18 Traslazioni e dilatazioni di funzioni misurabili ed integrabili . 70
Capitolo 1
Misura e integrale diLebesgue
In questo Capitolo ricordiamo brevemente le definizioni di misura di Jordanper sottinsiemi di Rn e di integrale di Riemann per funzioni da Rn in R, eintroduciamo le nozioni di misura di Lebesgue e di integrale di Lebesgue.
Tutti gli insiemi misurabili secondo Jordan, lo risulteranno anche secondoLebesgue, e le due corrispondenti misure coincideranno.
Tutte le funzioni integrabili secondo Riemann, lo risulteranno anchesecondo Lebesgue, e i due corrispondenti integrali coincideranno.
Lintegrale di Lebesgue viene definito in maniera solo apparentemente in-tuitiva, come differenza delle misure delle parti positiva e negativa compresetra il dominio e il grafico.
Vantaggio: la semplicita` dellesposizione, e la trasformazione in ovvii dimolti risultati usuali.
Costo: giustificare lequivalenza tra la definizione data e le definizioniusuali. Tale costo viene pagato:
nella Sezione 1.7, la cui lettura puo` essere omessa, con leccezionedellenunciato del Teorema 1.7.1;
e nella Sezione 1.8, nel quale la dimostrazione del Teorema 1.8.3puo` essere omessa.
1.1 Rettangoli e plurirettangoli in Rn
Le considerazioni che seguono sono comuni alla misura di Jordan ed a quelladi Lebesgue: introducono le nozioni di rettangolo e plurirettangolo in Rn, ela definizione della loro misura.
Sianoa1, b1, . . . , an, bn R
2 1 Misura e integrale di Lebesgue
tali chea1 < b1, . . . , an < bn
e sia
R = [a1, b1] [an, bn]. .........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
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. ......... . ......... . ......... . ......... . .........
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............................................................ .
............................................................a1 b1
a2
b2R
H R si dice un rettangolo di Rn ,
R si dice misurabile sia secondo Jordan che secondo Lebesgue,
N si pone, sia secondo Jordan che secondo Lebesgue,
mis R = (b1 a1) (bn an)
Sia R1, . . . , R una famiglia finita di rettangoli di Rn, a due a due prividi punti interni in comune, e sia
P =j=1
Rj
. ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
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. ............................................................
. ............................................................
R1 R2
R3
R4
R5
H P si dice un plurirettangolo di Rn
P si dice misurabile sia secondo Jordan che secondo Lebesgue,
N si pone, sia secondo Jordan che secondo Lebesgue,
mis P =j=1
mis Rj
1.2 Misura di Jordan in Rn 3
Nota. La definizione di mis P e` una buona definizione: seQ1, . . . , Q e` una seconda famiglia finita di rettangoli di Rn, a duea due privi di punti interni in comune, tale che
P =j=1
Qj
si ha infatti (dimostrazione omessa)
j=1
mis Qj =j=1
mis Rj
1.2 Misura di Jordan in Rn
Le considerazioni che seguono dicono quali sottinsiemi di Rn siano chiamatimisurabili secondo Jordan, e come se ne definisca la misura secondo Jordan.
SiaA Rn
un sottinsieme limitato di Rn;
H si pone
J-misi A =
0 se @ plurirettangoli P Asup{mis P : P plurirettangolo A} (0,+)
se plurirettangoli P A;
il numero J-misi A si dice la J-misura interna di A;
si pone
J-mise A = inf{mis P : P plurirettangolo A} [0,+) ;il numero J-mise A si dice la J-misura esterna di A;
ovviamente si haJ-misi A 6 J-mise A ;
N seJ-misi A = J-mise A ,
allora
O A si dice misurabile secondo Jordan;M il numero J-misi A = J-mise A R si dice la J-misura di A,
e si denota conJ-mis A .
4 1 Misura e integrale di Lebesgue
SiaA Rn
un sottinsieme non limitato di Rn;
H se per rettangolo R di Rn, linsieme limitato
A R
risulta misurabile secondo Jordan, allora A si dice misurabile se-condo Jordan;
N in tal caso si definisce la J-misura di A tramite:
J-mis A = sup{J-mis (A R) : R rettangolo di Rn} [0,+] .
1.3 Misura di Lebesgue in Rn
Le considerazioni che seguono dicono quali sottinsiemi di Rn siano chia-mati misurabili secondo Lebesgue, e come se ne definisca la misura secondoLebesgue.
Nota: Per gli insiemi misurabili secondo Jordan, la specificazione secon-do Jordan sara` sempre fatta; per gli insiemi misurabili secondo Lebesgue,la specificazione secondo Lebesgue verra` sistematicamente omessa. In par-ticolare la frase A e` misurabile significhera` sempre A e` misurabile secondoLebesgue.
H Sia un aperto limitato di Rn
O si dice misurabile se = si pone
mis = 0
M se 6= si pone
mis = sup{mis P : P plurirettangolo } (0,+)
Sia K un chiuso limitato (ossia un compatto) di Rn
O K si dice misurabileM si pone
mis K = inf{mis P : P plurirettangolo K} [0,+)
1.3 Misura di Lebesgue in Rn 5
Sia A un sottinsieme limitato di Rn; si pone
misi A = misura interna di A =
sup{mis K : K chiuso limitato A}mise A = misura esterna di A =
inf{mis : aperto limitato A}
si ha0 6 misi A 6 mise A < +
se
O misi A = mise A
allora
A si dice misurabileM si pone
mis A = misi A = mise A [0,+)
N Sia A un sottinsieme qualsiasi di Rn; se
O per ogni rettangolo R, linsieme limitato
A R
e` misurabile
allora
A si dice misurabileM si pone
mis A = sup{mis (A R) : R rettangolo} [0,+]
Le considerazioni che seguono, provano che tutti gli insiemi misurabilisecondo Jordan, lo sono anche secondo Lebesgue, e le due corrispondentimisure coincidono.
Tali considerazioni giustificano labbandono della misura secondo Jor-dan.
1.3.1 Teorema: Sussistono gli asserti (provare per esercizio):
6 1 Misura e integrale di Lebesgue
a) Sia A Rn un insieme limitato; si ha:
0 6 J-misi A 6 misi A 6 mise A 6 J-mise A
1.4 Proprieta` della misura di Lebesgue in Rn 7
M misj=1
Aj =j=1
mis Aj
(ossia: la misura di Lebesgue e` numerabilmente additiva)
1.4.3 Teorema(caratterizzazione degli insiemi misurabili e di misura nul-la): Sia A Rn ; sono equivalenti gli asserti:
a) A e` misurabile, e mis A = 0
b) per ogni > 0,
O o esiste una famiglia finita di rettangoli
R1, . . . , Rh
tale che
A hj=1
Rj
hj=1
mis Rj < ,
M o esiste una successione di rettangoli
R1, R2, R3, . . .
tale che
A j=1
Rj
j=1
mis Rj < .
Dai Teoremi 1.4.2 e 1.4.3 si deducono i seguente Corollari.
1.4.4 Corollario 1)(completezza di mis ): Sia A Rn un insieme misu-rabile tale che
mis A = 0 ;
allora per B A si ha: B e` misurabile, mis B = 0.
Il fatto che tutti i sottinsiemo di un insieme di misura nulla siano misurabili(ed abbiano ovviamente misura nulla), si esprime dicendo che mis e` unamisura completa.
1.4.5 Corollario 2): Sia
A1, A2, A3, . . .
una successione di sottinsiemi misurabili di Rn. Si ha:
8 1 Misura e integrale di Lebesgue
Hj=1
Aj e` misurabile
misj=1
Aj 6j=1
mis Aj
Cenno. Si ponga
B1 = A1 Bj = Aj \ (A1 Aj1) j = 2, 3, 4 . . .e si osservi che: ogni Bj e` misurabile, tali Bj sono a due a due disgiunti,j=1
Aj =j=1
Bj .
Nj=1
Aj e` misurabile
Cenno. Sia a Rn; si ha
a j=1
Aj per ogni j, a Aj
per ogni j, a / Rn \Aj a Rn \ j=1
(Rn \Aj)
Ne seguej=1
Aj = Rn \ j=1
(Rn \Aj)
1.4.6 Corollario 3): Sia A Rn. Sono equivalenti gli asserti:a) A e` misurabile,b) esiste una successione A1, A2, A3, . . . di sottinsiemi limitati e misu-
rabili di A, tale che A1 A2 A3 . . .
A =k=1
Ak
Cenno. a)b). Si ponga ad esempioAk = A ([k, k] [k, k]) .
b)a). A e` misurabile in quanto unione numerabile di misura-bili.
1.4 Proprieta` della misura di Lebesgue in Rn 9
In tal caso, se A1, A2, A3, . . . e` una qualsiasi successione di sottinsiemilimitati e misurabili di A, tale che
A1 A2 A3 . . .
A =k=1
Ak
allora si hamis A = lim
kmis Ak
Cenno. Si osservi che, posto A0 = , si ha
O A =k=1
(Ak \Ak1)
gli insiemi Ak \ Ak1, con k = 1, 2, 3, . . . , sono misurabile e a due adue disgiunti
M mis A =k=1
mis (Ak \Ak1) = limk
mis Ak
Le considerazioni seguenti forniscono una caratterizzazione dei sottinsie-mi misurabili di Rn in termini di chiusi e di insiemi di misura nulla; preci-samente provano che gli insiemi misurabili sono tutti e soli quelli descrittiparametricamente dalla formula(
h=1
Kh
) ,
ove K1,K2,K3, . . . e` una famiglia numerabile qualsiasi di chiusi, e e` unqualsiasi insieme misurabile di misura nulla.
1.4.7 Teorema(struttura degli insiemi misurabili): Si provino per eserciziole seguenti considerazioni:
Considerazione 1). Sia K Rn un insieme chiuso (sia limitato che nonlimitato); allora K e` misurabile.
Considerazione 2). Sia K1,K2,K3, . . . Rn una qualsiasi successione dichiusi, e sia Rn un qualsiasi insieme misurabile di misura nulla;allora (
h=1
Kh
)
e` misurabile.
10 1 Misura e integrale di Lebesgue
Considerazione 3). Sia A Rn un qualsiasi insieme limitato; esiste unasuccessione di chiusi (ovviamente limitati)
K1,K2,K3, . . . A ,tale che:
h=1
Kh A (asserto ovvio),
misi A = mish=1
Kh
Cenno. Si ricordi che
misi A = sup{mis K : K chiuso, K A} ;esiste quindi una successione di chiusi
K1,K2,K3, . . . Atale che
|misi Amis Kh| < 1/h h = 1, 2, 3, . . . ;una tale successione verifica le proprieta` richieste.
Considerazione 4). Sia A Rn un qualsiasi insieme misurabile e limi-tato; esistono una successione di chiusi (ovviamente limitati)
K1,K2,K3, . . . A ,ed un insieme
Amisurabile
con mis = 0
tali che:
A =
( h=1
Kh
) .
Cenno. Siano K1,K2,K3, . . . come nella Considerazione 3); e sia
= A \h=1
Kh ;
essendo A misurabile si ha che e` misurabile e che
mis = mis Amish=1
Kh = misi Amish=1
Kh = 0 .
1.4 Proprieta` della misura di Lebesgue in Rn 11
Considerazione 5). Sia A Rn un qualsiasi insieme misurabile (ancheno limitato); esistono una successione di chiusi (sceglibili limitati)
K1,K2,K3, . . . A ,ed un insieme
Amisurabile
con mis = 0
tali che:
A =
( h=1
Kh
) .
Cenno. Si considerino gli insiemi misurabili e limitati
Am = A [m,m] [m,m]
n
;in conformita` alla Considerazione 4), si ponga
Am =
( h=1
Kmh
)m ;
una scelta di Kh (limitati) e di e` la seguente:
Kh =h
m,r=1
Kmr, =h
m=1
m .
ESERCIZI
H Sia A1, A2, A3, . . . una successione di sottinsiemi misurabili di Rntale che
limj
mis Aj = 0
si provi che
misj=1
Aj = 0
Sia A Rn; se esiste una successioneA1, A2, A3, . . .
di sottinsiemi misurabili di Rn tale che
12 1 Misura e integrale di Lebesgue
O A Aj j = 1, 2, 3, . . . lim
jmis Aj = 0
allora
M A e` misurabile, e mis A = 0
Sia A Rn; se
O per ogni > 0, esiste una successione
A1, A2, A3, . . .
di sottinsiemi misurabili di Rn tale che
A j=1
Aj
j=1
mis Aj <
allora
M A e` misurabile, e mis A = 0
In R2, sia A = [1, 5]{3}; si provi che A e` misurabile, e mis A = 0.
In R2, sia A = R {3}; si provi che A e` misurabile, e mis A = 0.
In R2, siaA =
R {q}
si provi che A e` misurabile, e mis A = 0.
In R3, sia A = [1, 5] [2, 4] {3}; si provi che A e` misurabile, emis A = 0.
In R3, siaA =
RR {q}
si provi che A e` misurabile, e mis A = 0.
Sia A un sottinsieme numerabile di Rn; si provi che
O A e` misurabile
1.4 Proprieta` della misura di Lebesgue in Rn 13
M mis A = 0Cenno. Siccome A e` numerabile, i suoi elementi possono
essere scritti sotto forma di successione
a1, a2, a3, . . .
e quindi
A =j=1
{aj}
ove ogni mis {aj} = 0 Si consideri Q R; si provi che
O Q e` misurabileM mis Q = 0
(si ricordi che Q e` numerabile)
Si consideri Qn Rn; si provi cheO Qn e` misurabileM mis Qn = 0
(si ricordi che Qn e` numerabile)
In R, si consideri una successione
q1, q2, q3, . . .
costituita da tutti e soli gli elementi di
(0, 1) Qe sia
> 0 (ad esempio = 101000)
Per j = 1, 2, 3, . . . , sia
Aj
un intervallo aperto
(0, 1)3 qj
tale che mis Aj < /2j
Si ponga
A =j=1
Aj K = [0, 1] \A
Si osservi che
14 1 Misura e integrale di Lebesgue
O A e` un aperto tale che
A (0, 1)
in A sono stati messi tutti i razionali q (0, 1), ciascunoinsieme ad un intervallo aperto (0, 1), e quindi
A = [0, 1]
M invece di riempire tutto (0, 1), tale A occupa una minimaparte di (0, 1); si provi infatti che
mis (0, 1) = 1 mis A <
Cenno. mis A 6j=1
mis Aj 1
Si provi che:
O se P1, P2 sono plurirettangoli tali che
P1 A P2allora
mis P1 < 1 6 mis P2Cenno. Siccome A e` un aperto limitato non vuoto, si ha
sup{mis P : P plurirettangolo A} = mis A < ne segue mis P1 < .
Siccome P2 e` chiuso, si ha
P2 A (0, 1) Q = [0, 1]ne segue mis P2 > 1.
1.5 Funzioni da Rn in R misurabili ed integrabili secondo Riemann 15
non esistono plurirettangoli P1 K4 se P2 e` un plurirettangolo tale che K P2 allora
1 < mis P2se ne deduca che:
O A e` un aperto limitato non misurabile secondo Jordan;M K e` un chiuso limitato non misurabile secondo Jordan.
Sia > 0; si provi che esiste un aperto A Rn tale cheA = Rn mis A < .
N Siano A Rn, B Rm due insiemi misurabili; si provi cheO se mis A = 0 oppure se mis B = 0, allora mis AB = 0 ;
in generale si ha (dimostrazione omessa)
AB e` misurabileM mis A B = (mis A) (mis B) (con la convenzione 0 = 0 = 0).
1.5 Funzioni da Rn in R misurabili ed integrabilisecondo Riemann
Le considerazioni che seguono dicono quali funzioni daRn inR siano chiama-te integrabili secondo Rieman, e come se ne definisca lintegrale di Riemann.
Sia A Rn un insieme J-misurabile (ossia misurabile secondo Jordan),e sia
f(x) : A Runa funzione a valori reali. Si considerino gli insiemi
SGP(f) Rn R
SGN(f) Rn R
. ............................................................................................................. . ..........................................
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............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
q qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
. ......................................................................................... .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................... .................
................... ...........................................
.
.........
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.........
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.........
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........
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..........
Rn
R
f(x)
SGP(f)
SGN(f)AA
16 1 Misura e integrale di Lebesgue
definiti daSGP(f) = sottografico positivo di f =
{(x, ) AR : 0 6 f(x), 0 6 6 f(x)}SGN(f) = sovragrafico negativo di f =
{(x, ) AR : f(x) 6 0, f(x) 6 6 0}Se
H SGP(f) e SGN(f) sono entrambi J-misurabiliallora
N f si dice una funzione misurabile secondo Riemann o una funzioneR-misurabile su A
Se
H SGP(f) e SGN(f) sono entrambi J-misurabili, e inoltre si haJ-mis SGP(f) < + J-mis SGN(f) < +
allora
f si dice una funzione integrabile secondo Riemann o una funzioneR-integrabile su A
si pone
N R-Af = R-
Af(x)dx = integrale di Riemann di f su A =
J-mis SGP(f) J-mis SGN(f)Il seguente ben noto Teorema riassume tutto quanto dellIntegrale di
Riemann e` utile.
1.5.1 Teorema(R-integrabilita` di una funzione continua su un intervallochiuso e limitato): Siano < R, e sia
f : (, ) Runa funzione continua.
SiaF : (, ) R
una primitiva di f .Per a, b R tali che
< a < b < ,
si ha:
f e` R-integrabile su [a, b]; R-
[a,b]
f = F (b) F (a).
1.6 Funzioni da Rn in R misurabili ed integrabili secondo Lebesgue 17
1.6 Funzioni da Rn in R misurabili ed integrabilisecondo Lebesgue
Le considerazioni che seguono dicono quali funzioni daRn inR siano chiama-te integrabili secondo Lebesgue, e come se ne definisca lintegrale di Lebesgue.Come per la misura, anche per lintegrale le precisazioni secondo Lebesgue edi Lebesgue saranno sistematicamente omesse.
Sia A Rn un insieme misurabile, e sia
f(x) : A R
una funzione a valori reali. Si considerino gli insiemi
SGP(f) Rn R
SGN(f) Rn R
. ............................................................................................................. . ..........................................
.
............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
q qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
. ......................................................................................... .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................... .................
................... ...........................................
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.........
.
.........
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.........
.
.........
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.........
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.........
.
.........
.
.........
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.........
........
.
...........
...........
...........
..........
Rn
R
f(x)
SGP(f)
SGN(f)AA
definiti da
SGP(f) = sottografico positivo di f =
{(x, ) AR : 0 6 f(x), 0 6 6 f(x)}SGN(f) = sovragrafico negativo di f =
{(x, ) AR : f(x) 6 0, f(x) 6 6 0}Se
H SGP(f) e SGN(f) sono entrambi misurabili
allora
N f si dice una funzione misurabile su A
Se
H SGP(f) e SGN(f) sono entrambi misurabili, e inoltre si ha
mis SGP(f) < + mis SGN(f) < +
18 1 Misura e integrale di Lebesgue
allora
f si dice una funzione integrabile su A
si pone
NAf =
Af(x)dx = integrale di f su A =
mis SGP(f)mis SGN(f)
1.6.1 Teorema (provare per esercizio). Si ha
f integrabile {
f e` misurabile
|f | e` integrabile
e in tal caso si ha Af
6 A|f |
1.6.2 Teorema (provare per esercizio). Sia : A R una funzione{tale che (x) > 0 per x Aintegrabile su A
Si ha { |f(x)| 6 (x) per x Af misurabile su A
f integrabile su A
Il Teorema seguente, ovvia conseguenza del Teorema 1.3.1, stabilisce cheogni funzione misurabile secondo Riemann lo e` anche secondo Lebesgue, eche ogni funzione integrabile secondo Riemann lo e` anche secondo Lebesgue,ed i due corrispondenti integrali coincidono.
Tale Teorema giustifica labbandono dellintegrale secondo Riemann.
1.6.3 Teorema: Sia A un sottinsieme J-misurabile di Rn (e quindi inparticolare anche misurabile), e sia
f : A R
una funzione. Sussistono gli asserti:
a) Se f e` R-misurabile, allora f e` anche misurabile;
b) Se f e` R-integrabile, allora:
f e` anche integrabile,Af = R-
Af .
1.7 Misurabilita` e fasce di livello 19
Come conseguenza immediata di tale Teorema e del Teorema 1.5.1 otte-niamo il seguente rassicurante Corollario.
1.6.4 Corollario(integrabilita` di una funzione continua su un intervallochiuso e limitato): Siano < R, e sia
f : (, ) Runa funzione continua.
SiaF : (, ) R
una primitiva di f .Per a, b R tali che
< a < b < ,
si ha:
f e` integrabile su [a, b] secondo Riemann, e quindi e` anche integrabilesu [a, b] (ossia integrabile secondo Lebesgue);
quanto al calcolo di [a,b]
f ,
ossia al colcolo dellintegrale (di Lebsgue) di f su [a, b], si ha:
[a,b]f = R-
[a,b]
f = F (b) F (a).
1.7 Misurabilita` e fasce di livello
Questa sezione e` dedicata alla dimostrazione del seguente Teorema chericonduce la misurabilita` di una funzione alla misurabilita` di sottinsiemiopportuni del proprio dominio.
1.7.1 Teorema: Sia A un sottinsieme misurabile di Rn, e sia
f : A Runa funzione.
Sono equivalenti gli asserti:
a) f e` misurabile su A,b) per ogni < R, la fascia di livello compreso tra e di f ,
ossia linsieme{a A : < f(a) 6 }
e` misurabile.
Nota: La dimostrazione e` data al punto 1.7.9, e necessita dei Lemmi da1.7.2 a 1.7.8.
20 1 Misura e integrale di Lebesgue
Come detto, per la dimostrazione occorrono vari Lemmi. Oggetto di taliLemmi sono:
un sottinsieme A di Rn, una funzione
f : A R .
A priori nessuna ipotesi di misurabilita` o limitatezza viene richiesta; in cia-scuno degli enunciati verranno specificate le particolari ipotesi su A e suf .
1.7.2 Lemma: Siaf(a) 6= 0, a A .
Se:
a)
{SGP(f) SGN(f) e` misurabilemis SGP(f) SGN(f) = 0
,
allora:
b)
{A e` misurabile
mis A = 0
Cenno. Dimostriamo lAsserto equivalente
b) a) ,
ossia dimostriamo che se:
o A e` non misurabile, o A e` misurabile, e mis A > 0,
allora:
o SGP(f) SGN(f) non e` misurabile, o SGP(f) SGN(f) e` misurabile, e mis SGP(f) SGN(f) > 0 .
A tal fine:
si provi per esercizio che e` sufficiente dimostrare lAsserto sottolulteriore ipotesi f(a) > 0 per a A, si provi per esercizio che per dimostrare lAsserto cos` modificato,
e` sufficiente considerare un rettangolo (certamente esistente)
R = [a1, b1] [an, bn] [0, b]
1.7 Misurabilita` e fasce di livello 21
tale cheA ([a1, b1] [an, bn])
sia: o non misurabile, o misurabile con misura > 0, e dimostrareche
SGP(f) ([a1, b1] [an, bn] [0, b]) o e` non misurabile, o e` misurabile con misura > 0.
si provi per esercizio che per dimostrare il sussitere della condizionesufficiente descritta nellitem precedente, e` a sua volta sufficientedimostrare lAsserto sotto le ulteriori ipotesi:
f(a) > 0 per a A, A limitato, f limitata su A;
Le considerazioni che seguono, provano lAsserto sotto tali ulteriori ipo-tesi; si osservi che adesso SGP(f) e` limitato.
Per h = 1, 2, 3, . . . si ponga
h = {a A : f(a) > 1/h} ;ovviamente si ha:
1 2 3
A =h=1
h.
Se per h fossemise (h) = 0 ,
allora si avrebbe che h sarebbe misurabile, con mis h = 0, e quindi ancheA sarebbe misurabile, con mis A = 0.
Esiste pertanto h tale che
mise h = > 0
Sia
{aperto limitato
SGP(f) ;
per a h, si ha che
{a} [0, 1/h]{
e` un compatto
;
esiste quindi un aperto Ba 3 a tale cheBa [0, 1/h] ;
22 1 Misura e integrale di Lebesgue
si consideri laperto0 =
ah
Ba ;
ovviamente si ha
h 0, 0 [0, 1/h] ;
si ha alloramis 0 > mise h = > 0
(1/h) 6 mis (0 [0, 1/h]) 6 mis .Ne segue che
mise SGP(f) > (1/h) > 0 ;pertanto SGP(f) o e` non misurabile, o e` misurabile con misura > 0.
1.7.3 Teorema: (usa 1.7.2) Si consideri linsieme
T D(f) = {a A : f(a) 6= 0} (T D sta per true domain) .Se:
SGP(f) SGN(f) e` misurabile, mis SGP(f) SGN(f) = 0,
allora:
T D(f) e` misurabile, mis T D(f) = 0.
Cenno. Si pongaA = T D(f) ,
e siaf : A R
la restrizione di f a A.Tenuto conto che
SGP(f) SGN(f) = (SGP(f) SGN(f)) \
ove = {a A : f(a) = 0} {0}
essendo sottinsieme di Rn {0}, e` misurabile, con misura = 0, lasserto siottiene applicando il Lemma 1.7.2 a f : A R.
1.7 Misurabilita` e fasce di livello 23
1.7.4 Lemma: Sia
A misurabile.Sia
f1, f2, f3, . . . : A Runa successione di funzioni, tale che:
per a R si ha
0 6 f1(a),6 f2(a) 6 f3(a) 6 6 f(a) ,
per a A si hasup fh(a) = f(a) .
Se:
per h, SGP(fh) e` misurabile,allora:
anche SGP(f) e` misurabile.Cenno. Siccome A e` misurabile, allora per h, q = 1, 2, 3, . . . ,
SGP(fh + 1/q)
e` misurabile.Per a A si ha:[ h=1
{a} [0, fh(a) + 1/q]]{
o = {a} [0, f(a) + 1/q)o = {a} [0, f(a) + 1/q]
q = 1, 2, . . .
e pertanto
q=1
[ h=1
{a} [0, fh(a) + 1/q]]
= {a} [0, f(a)] .
Ne segue che:
SGP(f) =aA{a} [0, f(a)] =
q=1
[ h=1
SGP(fh + 1/q)
].
Siccome per h, q = 1, 2, 3, . . . ,
SGP(fh + 1/q)
e` misurabile, allora anche SGP(f) risulta misurabile.
24 1 Misura e integrale di Lebesgue
1.7.5 Lemma: Sia:
A limitato, f(a) > 0 per a A, f limitata su A.
Allora:
per ogni
{ SGP(f)chiuso (e quindi compatto, essendo SGP(f) limitato)
,
esistono
K
{ Achiuso (e quindi compatto, essendo A limitato)
g : K R g(a) > 0 per a Ktali che:{
SGP(g) e` chiuso (e quindi compatto, essendo SGP(g)) limitato)
SGP(g) SGP(f).
Cenno. Sia : Rn R Rn
la proiezione. e` continua.Si ponga
K = () ;
essendo compatto, e continua, si ha che K e` compatto. Ovviamente siha anche K A.
Esiste ed e` univocamente determinata una famiglia di insiemi
a [0,), a K ,
tale che =
aK
({a} a) ;
siccome e` chiuso e limitato, se ne deduce facilmente che a e` chiuso elimitato.
Consideriamo quindi la funzione
g : K R
1.7 Misurabilita` e fasce di livello 25
definita dag(a) = max a, a A .
E` subito visto che
SGP(g) SGP(f) .Le considerazioni seguenti provano che SGP(g) e` chiuso.
Sialimh
(ah, h) = (a0, 0) ,
con (ah, h) SGP(g) ,
ossia conah K, 0 6 h 6 g(ah), h .
Essendolimh
ah = a0 ,
ed essendo K chiuso, si ha
a0 K .
Per provare che SGP(g) e` chiuso, resta da provare che0 [0, g(a0)] .
Se invece fosse:0 > g(a0) ,
1) esisterebbe > 0 tale che
g0(a) < 0 ;2) essendo
limh
h = 0 ,
si avrebbe definitivamente rispetto ad h:
g(a0) < 0 < h 6 g(ah) ;3) come conseguenza, per qualsiasi sottosuccessione convergente
g(ahj )
di g(ah), si avrebbe:
g(a0) < 0 6 limj
g(ahj ) .
26 1 Misura e integrale di Lebesgue
Lasserto 3) cos` ottenuto, e` assurdo: infatti
essendo compatto, la successione
(ah, g(ah))
ha una sottosuccessione(ahj , g(ahj )
)convergente, e posto
limj
(ahj , g(ahj )
)= (b0, 0) ,
si hab0 = a0, 0 [0, g(a0)] ;
e quindi in particolare:
limj
g(ahj ) = 0 6 g(a0) .
Pertanto si ha:0 [0, g(a0)] .
1.7.6 Lemma: (usa 1.7.4 e 1.7.5) Sia:
A limitato, f(a) > 0 per a A, f limitata su A.
Allora:
esistonoK
{ Amisurabile
g : K R g(a) > 0 per a Ktali che:
SGP(g) e` misurabile
SGP(g) SGP(f)misi SGP(f) = mis SGP(g)
.
1.7 Misurabilita` e fasce di livello 27
Cenno. Siano
1,2,3, . . .
{ SGP(f)chiusi
,
tali chemisi SGP(f)mis h < 1/h .
Per il Lemma 1.7.5, per h = 1, 2, 3, . . . , esistono
Kh
{ Achiuso
gh : Kh R gh(a) > 0 per a Khtali che: {
SGP(gh) e` chiuso
h SGP(gh) SGP(f).
Sia
K =h=1
Kh ;
per h = 1, 2, 3, . . . siah : K R
la funzione definita da
h(a) =
{gh(a) se a Kh0 se a 6 Kh
;
per h = 1, 2, 3, . . . siagh : K R
la funzione definita da
gh(a) = sup{1(a), . . . , h(a)} .Si ha:
K e` limitato e misurabile, 0 6 g1 6 g2 6 g3 6 . . . , SGP(gh) e` misurabile;
inoltre, essendo per a K e per h:gh(a) 6 f(a) ,
possiamo considerare la funzione
g : K R g(a) = sup gh(a) .
28 1 Misura e integrale di Lebesgue
Per il Lemma 1.7.4, si ha cheSGP(g)
e` misurabile.Si osservi che:
h SGP(g) SGP(f), h si ha
misi SGP(f)mis SGP(g) 6 misi SGP(f)mis h < 1/h ;
ne seguemisi SGP(f)mis SGP(g) = 0 .
1.7.7 Teorema: (usa 1.7.2 e 1.7.6) Sia:
f(a) > 0 per a A.Se:
a) SGP(f) e` misurabile,
allora:
b) A e` misurabile.
Cenno. Parte 1) In questa parte, dimostriamo lasserto sotto le ulte-riori ipotesi:
A limitato, f limitata su A.
Sotto tali ipotesi, per il Lemma 1.7.6, esistono
K
{ Amisurabile
g : K R g(a) > 0 per a Ktali che:
SGP(g) e` misurabile
SGP(g) SGP(f)misi SGP(f) = mis SGP(g)
;
essendo SGP(f) misurabile, si ha
mis SGP(g) = mis SGP(f) ,
1.7 Misurabilita` e fasce di livello 29
e quindi {SGP(f) \ SGP(g) e` misurabilemis SGP(f) \ SGP(g) = 0
.
Ne segue che {SGP(f|(A\K)) e` misurabile
mis SGP(f|(A\k)) = 0;
allora per il Lemma 1.7.2 si ha che A \ K e` misurabile, e quindi anche Arisulta misurabile.
Parte 2) In questa parte, utilizzando il risultato della Parte 1), dimo-striamo lasserto in generale, ossia senza ipotesi di limitatezza ne per A neper f .
Per h = 1, 2, 3, . . . , si ponga
Ah = A ([h, h] [h, h]) ,e sia
fh : Ah Rla funzione definita da:
fh(a) =
{f(a) se f(a) 6 1
1 se f(a) > 1a Ah .
Si ha
SGP(fh) = SGP(f) ([h, h] [h, h] [0, 1]) ;quindi SGP(fh e` misurabile. Per il risultato provato nella Parte 1), linsieme
Ah = A ([h, h] [h, h])e` allora misurabile per h; conseguentemente, A risulta misurabile. 1.7.8 Lemma: Sia
f(a) 6= 0 per a A.Se:
SGP(f) SGN(f) e` misurabile,allora:
per > 0, i sottinsiemi di A{a A : f(a) > }, {a A : f(a) < }
sono misurabili.
30 1 Misura e integrale di Lebesgue
Cenno. Si ponga
P = {a A : f(a) > } ,e sia
f : P Rla funzione definita da
f(a) = f(a) > 0 a P .
Si ha:
SGP(f) = ([SGP(f) (Rn (,+))] (0, . . . , 0, ))insieme di misura nulla ;
ne segue cheSGP(f)
e` misurabile, e allora, per il Teorema 1.7.7 anche
P = {a A : f(a) > }e` misurabile.
La misurabilita` dellinsieme
{a A : f(a) < }si ottiene applicando le considerazioni precedenti alla funzione f .
Utilizzando i risultati precedenti possiamo fornire la dimostrazione delTeorema 1.7.1.
1.7.9 Dimostrazione del Teorema 1.7.1: (per comodita` riportiamolenunciato del Teorema) Sia:
A misurabile.
Sono equivalenti gli asserti:
a) f e` misurabile su A,
b) per ogni < R, linsieme
{a A : < f(a) 6 }
e` misurabile.
1.8 Funzioni limitate su insiemi limitati: significato analitico dellintegrale 31
Cenno. a)b). Dal Lemma 1.7.8 segue che per > 0, gli insiemi{a A : f(a) > }, {a A : f(a) < }
sono misurabili; essendo A misurabile, allora anche i loro complementari inA, ossia gli insiemi
{a A : f(a) 6 }, {a A : f(a) > }sono misurabili.
Con considerazioni di routine basate sulla misurabilita` di tali insiemi, equindi delle loro unioni e intersezioni numerabili, si ottiene lasserto.
b)a). Per R > 0 si pongaR = SGP(f) ([R,R]n [0, R]) .
Per h = 1, 2, 3, . . . si ponga
PR,s = {a A : (s 1)R/h < f(a) 6 sR/h} [R,R]n s = 1, . . . , h ;si ponga inoltre
PR,0 = {a A : f(a) = 0} [R,R]n ;ovviamente
PR,0, PR,1, . . . , PR,h
sono una partizione di A [R,R]n in insiemi misurabili.Si considerino gli insiemi misurabili
IR,h = (PR,0 [0, 0]) (
hs=1
PR,s [0, (s 1)R/h])
ER,h = (PR,0 [0, 0]) (
hs=1
PR,s [0, sR/h]) .
Si osservi che:
IR,h R ER,h, mis ER,h mis IR,h 6 mis (A [R,R]
n)h
;
ne segue che
R =
( h=1
IR,h
) insieme di misura nulla ,
e quindi che R e` misurabile per R > 0. Di conseguenza, anche SGP(f) e`misurabile.
Analogamente si prova la misurabilita` di SGN(f).
32 1 Misura e integrale di Lebesgue
1.8 Funzioni limitate su insiemi limitati: significa-to analitico dellintegrale
Sia A un sottinsieme misurabile e limitato di Rn, e sia
f : A Runa funzione limitata, ossia una funzione per la quale M > 0 tale che
M 6 f(x) 6M per ogni x A .La seguente Nota (dimostrazione immediata) prova che per una tale
funzione le nozioni di misurabilita` e integrabilita` sono equivalenti.
1.8.1 Nota: Sono equivalenti gli asserti
a) f e` misurabile
b) f e` integrabile
La seguente Definizione introduce le nozioni di quasi-partizioni di Lebe-sgue dell insieme misurabile e limitato A, e di somme inferiori e superioridi Lebesgue della funzione limitata f .
1.8.2 Definizione: Una famiglia finita
P1, . . . , Pr
di sottinsiemi misurabili di A, tale che
H A =rj=1
Pj
N per ogni j1 6= j2 si ha mis (Pj1 Pj2) = 0si dira` una quasi-partizione di Lebesgue di A.
SeP1, . . . , Pr
e` una quasi-partizione di A, i reali
rj=1
(mis Pj) infPjf
rj=1
(mis Pj) supPj
f
si diranno le somme di Lebesgue di f , rispettivamente inferiore e superiore,relative alla quasi-partizione P1, . . . , Pr.
Il seguente Teorema fornisce il significato analitico della integrabilita` edellintegrale per funzioni limitate su insiemi limitati.
1.8 Funzioni limitate su insiemi limitati: significato analitico dellintegrale 33
1.8.3 Teorema: Sono equivalenti gli asserti:
a) f e` integrabile su A,
b) sup {s R : s = somma inferiore di Lebesgue di f} =inf {s R : s = somma superiore di Lebesgue di f} .
In tal caso si ha
HAf = sup {s R : s = somma inferiore di Lebesgue di f} =
inf {s R : s = somma superiore di Lebesgue di f}
N (mis A) infA f 6Af 6 (mis A) supA f
Cenno. a)b). Sia M > 0 tale che per a A si abbia
M < f(a) < M .
Per h = 1, 2, 3, . . . si considerino le seguenti fasce di livello di f :
Ps = {a A : M + (s 1)2M/h < f(a) 6 M + s2M/h}s = 1, . . . , h .
Essendo f integrabile, e quindi misurabile, per il Teorema 1.7.1 la famiglia
P1, . . . , Ph
e` una quasi-partizione (piu` precisamente, una partizione) di Lebesgue di A;inoltre
hs=1
(mis Ps) infPsf,
hs=1
(mis Ps) supPs
f
sono le somme dli Lebesgue di f , rispettivamente inferiore e superiore,relative alla quasi partizione
P1, . . . , Ph .
Per h si ha quindi:
0 6hs=1
(mis Ps) supPs
f hs=1
(mis Ps) infPsf 6
6hs=1
(mis Ps) (M + s2M/h)hs=1
(mis Ps) (M + (s 1)2M/h) =
= (mis A) (2M/h) ;
34 1 Misura e integrale di Lebesgue
ne segue b).
b)a). Sostituendo eventualmente due quasi-partizioni di Lebesgue, conla quasi-partizione fornita dalle intersezioni di ciascun membro della primacon ciascum membro della seconda, si prova che per h = 1, 2, 3, . . . esisteuna quasi-partizione di Lebesgue
Ph1, . . . , Phsh , Nh1, . . . , Nhrh ,Mh1, . . . ,Mhqh
tale che:
0 6 infPhi f 6 supPhi f , infNhj f 6 supNhj f 6 0, infMhl f 6 0 6 supMhl f ,
e che
0 6
shi=1
(mis Phi) supPhi
f +rhj=1
(mis Nhj) supNhj
f +qhl=1
(mis Mhl) supMhl
f
shi=1
(mis Phi) infPhi
f +rhj=1
(mis Nhj) infNhj
f +qhl=1
(mis Mhl) infMhl
f
6< 1/h .
Si ha:
I+h =
(i
Phi [0, infPhif
)
) SGP(f)
(
i
Phi [0, supPhi
f ]
)
j
Mhj [0, supMhj
f ]
= E+h
Ih =
(l
Nhl (supNhl
f, 0]
) SGN(f)
j
Mhj ( infMhj
f, 0]
(l
Nhl (infNhl
f, 0]
)= Eh
Ih = I+h Ih SGP(f) SGN(f) E+h Eh = EhRelativamente a SGP(f) SGN(f) si ha:
1.9 Funzioni limitate su insiemi limitati: uso per lo studio dellintegrabilita` 35
I =h=1
Ih = SGP(f) SGN(f) h=1
Eh = E,
I, E sono misurabili in quanto unioni numerabili di misurabili, per h si ha:
mis (E \ I) 6 mis (Eh \ Ih) = mis Eh mis Ih =
=shi=1
(mis Phi)
(supPhi
f infPhi
f
)+
rhj=1
(mis Nhj)
(supNhj
f infNhj
f
)+
+qhl=1
(mis Mhl)
(supMhl
f infMhl
f
)< 1/h ;
pertanto SGP(f) SGN(f) e` misurabile, e di conseguenza anche SGP(f) eSGN(f) sono misurabili; in particolare f e` misurabile, e per le condizioni dilimitatezza e` integrabile.
Relativamente aAf = mis SGP(f)mis SGN(f) ,
per h si ha:shi=1
(mis Phi) infPhi
f +rhj=1
(mis Nhj) infNhj
f +qhl=1
(mis Mhl) infMhl
f =
= mis I+h mis Eh 6 mis SGP(f)mis SGN(f) 6 mis E+h mis Ih 6
6shi=1
(mis Phi) supPhi
f +rhj=1
(mis Nhj) supNhj
f +qhl=1
(mis Mhl) supMhl
f
e quindi per le ipotesi si ha:Af = sup {s R : s = somma inferiore di Lebesgue di f} =
inf {s R : s = somma superiore di Lebesgue di f} .Lultimo asserto e` banale.
1.9 Funzioni limitate su insiemi limitati: uso perlo studio dellintegrabilita`
Sia A un sottinsieme misurabile (anche non limitato) di Rn, e sia
f : A R
36 1 Misura e integrale di Lebesgue
una funzione (anche non limitata).In questa sezione viene indicata una strategia per ricondurre lo studio
della misurabilita` e integrabilita` di f e il calcolo delleventuale integrale dif , a verifiche di integrabilita` e al calcolo di eventuali integrali di opportunefunzioni limitate su insiemi misurabili e limitati.
La seguente Defininizione introduce il concetto di successione fondamen-tale per f su A.
1.9.1 Definizione: Una successione
A1, A2, A3, . . .
di insiemi limitati e misurabili, tale cheA1 A2 A3 A
A =k=1
Ak
f limitata su Aksi dira` una successione fondamentale per f su A.
Il seguente Teorema riconduce lo studio della misurabilita` di f allenozioni di successioni fondamentali e di funzioni limitate su insiemi limitati.
1.9.2 Teorema: Sono equivalenti gli asserti:
a) f e` misurabile su A
b) esiste una successione fondamentale A1, A2, A3, . . . per f su A, taleche
f e` integrabile su AkCenno. ab). Si consideri ad esempio la successione definita da
Ak = A ([k, k] [k, k]) {x A : |f(x)| 6 k}ba). Provare per esercizio.
c) data comunque una successione fondamentale A1, A2, A3, . . . per f suA, si ha che
f e` integrabile su Ak .Nopta: b) e` utile quando si deve dimostrare che f e` misurabile. c) e` utilequando si e` ormai dimostrato che f e` misurabile.
Il Teorema 1.9.2 giustifica la seguente Procedura per appurare se f siao non sia misurabile su A.
1.9 Funzioni limitate su insiemi limitati: uso per lo studio dellintegrabilita` 37
1.9.3 Procedura:
Step 1) Si cerca una successione fondamentale per f su A;
se non esiste alcuna tale successione (caso ben difficilmente in-contrabile), allora per b) del Teorema 1.9.2, f e` non misura-bile su A;
altrimenti si considera una qualsiasi successione fondamentaleA1, A2, A3, . . . per f su A, e si passa a Step 2);
Step 2) si controlla lintegrabilita` o meno di f su ciascun Ak;
se k tale che f non e` integrabile su Ak (caso ben difficil-mente incontrabile), allora per c) del Teorema 1.9.2 f e` nonmisurabile su A; altrimenti, ossia se f e` integrabile su ciascun Ak, per b) del
Teorema 1.9.2, f e` misurabile su A.
Una volta appurato che f e` misurabile, ed individuata una qualsiasisuccessione fondamentale A1, A2, A3, . . . per f su A, il seguente Teoremadice come appurare se f sia o non sia integrabile, e in caso affermativo,come calcolarne lintegrale.
1.9.4 Teorema: Sia f misurabile su A, e sia
A1, A2, A3, . . .
una qualsiasi successione fondamentale per f su A.
H Si osservi che:O per c) del Teorema 1.9.2,le funzioni
f, |f | : A R
sono integrabili su ciascun Ak,M e che inoltre si ha:
A1
|f | 6A2
|f | 6A3
|f | 6 .
Sono equivalenti gli asserti:a) f e` integrabile su A
b) limk
Ak
|f | < +
Cenno. Si osservi che, essendo f misurabile su A, si ha
f integrabile |f | integrabile mis SGP (|f |) < +
38 1 Misura e integrale di Lebesgue
Si osservi che, posto A0 = , si ha
SGP (|f |) =k=1
SGP(fupslope(Ak\Ak1))
mis SGP (|f |) =k=1
Ak\Ak1
|f | = limk
Ak
|f |
Se f integrabile su A, si ha
Af = lim
k
Ak
f
Cenno. Si osservi che, essendo f integrabile su A, si haAf = mis SGP (f)mis SGN(f) =k=1
mis SGP(fupslope(Ak\Ak1)
) k=1
mis SGN(fupslope(Ak\Ak1)
)=
k=1
(mis SGP
(fupslope(Ak\Ak1)
)mis SGN (fupslope(Ak\Ak1))) =k=1
Ak\Ak1
f = limk
Ak
f
Attenzione: Se f e` misurabile su A, ma f non e` integrabile su A, datauna successione fondamentale per f su A,
O puo` esistere finito limk
Ak
f
M tale limite puo` variare cambiando la successione fondamentale.
LEsercizio seguente fornisce un esempio di tale situazione.
1.9.5 Esercizio: Sia
A = [1, 0) (0, 1] R ,
e siaf : A R
la funzione definita da
f(x) =1x, per x A .
1.9 Funzioni limitate su insiemi limitati: uso per lo studio dellintegrabilita` 39
Siano ah, bh due successioni di reali tali che:
1 > a1 > a2 > a3 > limh
ah = 0
1 > b1 > b2 > b3 > limh
bh = 0
si ponga:Ah = [1,ah] [bh, 1] .
H Si verifichi che A1, A2, A3, . . . e` una successione fondamentale perf su A.
Si provi che f e` integrabile su Ah.Cenno. Qui e in seguito utilizzare il Corollario 1.6.4.
Dallitem precedente si deduce che f e` misurabile su A. Se ne deduce che
f, |f |sono integrabili su Ah.
Si ricordi che la funzione
ln |x| : R \ {0} Re` una primitiva della funzione continua
1x
: R \ {0} R . Si ha:
Ah
|f | =
[1,ah]
1xdx+
[bh,1]
1xdx =
=
[1,ah]1x
dx+
[bh,1]
1x
dx =
= ln ah ln bh = ln 1ahbh
.
Dallitem precedente si ottiene
limh
Ah
|f | = + ;
quindi f non e` integrabile su A.Come conseguenza, dalla successione
A1
f,
A2
f,
A2
f, . . .
possiamo solo aspettarci stranezze.
40 1 Misura e integrale di Lebesgue
Si ha: Ah
f =
[1,ah]1x
dx+
[bh,1]
1x
dx =
= ln ah ln bh = ln ahbh.
Sia R; per h > e si ponga
ah =e
h, bh =
1h
;
si verifichi che con tale scelta di ah, bh si ottiene
limh
A1
f = .
Cosa accade ponendo
ah =1h, bh =
1h2
?
Cosa accade ponendo
ah =1h2, bh =
1h
?
N Cosa accade ponendo
ah =
1
2hper h pari
13h
per h dispari, bh =
1h
?
Il Teorema che segue, usando il Teorema 1.9.4, prova che la somma diapplicazioni integrabili e` integrabile, e che i multipli reali di applicazioniintegrabili sono integrabili. In particolare prova che:
linsieme I (A,R) definito daI (A,R) = {f : A R : f e` integrabile su A} ,
e` un sottospazio dello spazio vettoriale F (A,R) di tutte le funzionida A in R;
lapplicazione : I (A,R) R
f Af
e` una applicazione lineare.
1.9 Funzioni limitate su insiemi limitati: uso per lo studio dellintegrabilita` 41
1.9.6 Teorema. Siano f, g : A R due funzioni integrabili su A, e siac R. Si ha
H f + g , cf sono integrabili su A
NA
(f + g) =Af +
Ag ,
A
(cf) = cAf
Cenno. Sia A1, A2, A3, . . . una successione fondamentale sia per f cheper g su A; ad esempio si puo` scegliere
Ak = A ([k, k] [k, k]){x A : |f(x)| < k} {x A : |g(x)| < k}
Si consideri Ak; si verifichi che
O f, g sono integrabili su Ak inf
({somme superiori di Lebesgue di f su Ak}+{somme superiori di Lebesgue di g su Ak}
)>
inf {somme superiori di Lebesgue di f + g su Ak}Cenno. Siano Q1, . . . , Q e R1, . . . , R quasi-partizioni di Le-
besgue di Ak. Si osservi che la famiglia
Pij = Qi Rj i = 1, . . . , j = 1, . . . ,
e` una quasi-partizione di Ak.Si ha
i
(mis Qi) supQi
f +j
(mis Ri) supRj
g >
ij
(mis Pij) supPij
f +ij
(mis Pij) supPij
g =
ij
(mis Pij) (
supPij
f + supPij
g
)>
ij
(mis Pij) supPij
(f + g)
se ne deduca che
Ak
f+Ak
g > inf {somme superiori di Lebesgue di f + g su Ak}
42 1 Misura e integrale di Lebesgue
analogamente si provi che
sup({somme inferiori di Lebesgue di f su Ak}+{somme inferiori di Lebesgue di g su Ak}
)6
sup{somme inferiori di Lebesgue di f + g su Ak}Ak
f +Ak
g 6 sup{somme inferiori di Lebesgue di f + g su Ak}e che
sup{somme inferiori di Lebesgue di f + g su Ak} 6inf {somme superiori di Lebesgue di f + g su Ak}
se ne deduca che
f + g e` integrabile su AkAk
(f + g) =Ak
f +Ak
g
e quindi che
M |f + g| e` integrabile su Ak|f |+ |g| e` integrabile su AkAk
|f + g| 6Ak
(|f |+ |g|) =Ak
|f |+Ak
|g|
Si osservi che
O A1, A2, A3, . . . e` una successione fondamentale per f + g su A taleche f + g e` integrabile su Ak
f + g e` misurabile su A
limk
Ak
|f + g| 6 limk
(Ak
|f |+Ak
|g|)
=Ak
|f |+Ak
|g|
e quindi che
f + g e` integrabile su A
MA
(f + g) = limk
Ak
(f + g) =
limk
(Ak
f +Ak
g
)=Af +
Ag
Analogamente e piu` semplicemente si procede per cf .
1.10 Funzioni continue: misurabilita` e condizioni di integrabilita` 43
1.10 Funzioni continue: misurabilita` e condizionidi integrabilita`
Sia A Rn un insieme misurabile e siaf(x) : A R
una funzione a valori reali.
1.10.1 Teorema. Se
f e` continua su A,allora
f e` misurabile su A.
Cenno. Sia R e siaA = {x A : f(x) < } .
Ovviamente A e` la controimmagine dellaperto
(, ) Rtramite lapplicazione f ; essendo f continua, esiste un aperto Rn taleche
A = A ;ne segue che A e` misurabile in quanto intersezione di due misurabili (siverifichi che ogni aperto di Rn e` misurabile).
Lasserto segue adesso dal Teorema 1.7.1.
1.10.2 Teorema. Se
A e` limitato, f e` limitata su A, f e` continua su A,
allora
f e` integrabile su A.
1.10.3 Teorema. Sia
A limitato, f limitata su a, f uniformemente continua su A.
44 1 Misura e integrale di Lebesgue
Per il Teorema 1.10.2 f e` integrabile su A.Le considerazioni che seguono danno una ulteriore interpretazione ana-
litica diAf , e nello stesso tempo indicano un modo per approssimare
Af .
H Definizione: sia > 0; datiO una quasi-partizione P1, . . . , Pr di A in insiemi misurabili,
ciascuno di diametro 6 M c1 P1, . . . , cr Pr
allorarj=1
(mis Pj) f (cj)
si dice una -somma di Lebesgue di f
Per > 0, > 0 tale che per ogni -somma di Lebesgue di frj=1
(mis Pj) f (cj)
si ha Af
rj=1
(mis Pj) f (cj)
< Cenno. Sia > 0. Tenuto conto che f e` uniformemente conti-
nua, esiste > 0 tale che, per x1, x2 A tali che d(x1, x2) 6 ,si ha
|f(x1) f(x2)| < 1 + mis A .Sia
rj=1
(mis Pj) f (cj)
una -somma di Lebesgue di f .Si verifichi che
Orj=1
(mis Pj) infPjf 6
rj=1
(mis Pj) f (cj) 6rj=1
(mis Pj) supPj
f
rj=1
(mis Pj) infPjf 6
Af 6
rj=1
(mis Pj) supPj
f
se ne deduca che
Af
rj=1
(mis Pj) f (cj)
6rj=1
(mis Pj)
(supPj
f infPjf
)
1.10 Funzioni continue: misurabilita` e condizioni di integrabilita` 45
si tenga conto che
per ogni Pj si ha
0 6 supPj f infPj f =sup{ |f (x1) f (x2)| : x1, x2 Pj} 6 1 + mis A
se ne deduca che
M
Af
rj=1
(mis Pj) f (cj)
<
N SiaO 12, 3, . . . una successione tale che{
k > 0limk
k = 0
per k sia
rkj=1
(mis Pkj) f (ckj) una k-somma di Lebesgue di f
si provi che
MAf = lim
k
rkj=1
(mis Pkj) f (ckj)
1.10.4 Esercizio. Sia K Rn un compatto, e sia
f : K R
una funzione continua su K;
H si ricordi che f e` limitata su K si ricordi che f e` uniformemente continua su K, e si applichino adf tutte le considerazioni del precedente Teorema 1.10.3
N si supponga inoltre che K sia anche connesso; si provi che c Ktale che
Kf = (mis K)f(c)
1.10.5 Esercizio. Sia f : Rn R una funzione continua, nulla fuori diun rettangolo
R = [a1, b1] [an, bn]Per k = 1, 2, 3, . . . si considerino
46 1 Misura e integrale di Lebesgue
H la quasi-partizione di R
Rk,j1...jn =[a1 +
j1 1k
(b1 a1), a1 + j1k
(b1 a1)] [
an +jn 1k
(bn an), an + jnk
(bn an)]
conj1, . . . , jn {1, . . . , k}
N ck,j1...jn Rk,j1...jnSi provi che
Rnf = lim
k
kj1,...,jn=1
mis Rkn
f (ck,j1...jn)
Cenno. Si osservi cheRnf = lim
k
kj1,...,jn=1
(mis Rk,j1...jn) f (ck,j1...jn)
1.11 Esempi di funzioni integrabili
Sia R.Esempio 1. Si consideri la funzione continua
(t) : (0,+) R
definita da(t) =
1t
Per il comportamento su (0, 1]
H si osservi che (t) e` misurabile su (0, 1]
si osservi che la successione
[1/k, 1] k = 1, 2, 3, . . .
e` fondamentale per (t) su (0, 1]
si verifichi che
1.11 Esempi di funzioni integrabili 47
O se = 1 si ha[1/k,1]
(1/t)dt = [ ln t]1
1/k= ln k
M se 6= 1 si ha[1/k,1]
(1/t)dt =[
1+ 1
1t1
]11/k
=1
+ 1(1 k1)
tenuto conto che|(t)| = (t)
se ne deduca che
O 1/t integrabile su (0, 1] < 1e che in tal caso si ha
M
(0,1](1/t)dt =
11
N si generalizzi il risultato precedente da (0, 1] ad un qualsiasi (0, r]con 0 < r
Per il comportamento su [1,+)H si osservi che (t) e` misurabile su [1,+) si osservi che la successione
[1, k] k = 1, 2, 3, . . .
e` fondamentale per (t) su [1,+) si verifichi che
O se = 1 si ha [1,k]
(1/t)dt = [ ln t]k
1= ln k
M se 6= 1 si ha[1,k]
(1/t)dt =[
1+ 1
1t1
]k1
=1
+ 1(
1k1
1)
tenuto conto che|(t)| = (t)
se ne deduca che
48 1 Misura e integrale di Lebesgue
O 1/t integrabile su [1,+) > 1e che in tal caso si ha
M
[1,+)(1/t)dt =
1 1
N si generalizzi il risultato precedente da [1,+) ad un qualsiasi[r,+) con 0 < r
1.11.1 Esempio 2. Come conseguenza dellEsempio 1, si provino gli as-serti:
H sia < 1 e sia
f(t) : (0, r] R con 0 < r
una qualsiasi funzione tale che{f misurabile su (0, r]
|f(t)| 6 1/t per t (0, r]
allora f(t) e` integrabile su (0, r]
N sia > 1 e sia
f(t) : [r,+) R con 0 < r
una qualsiasi funzione tale che{f(t) misurabile su [r,+)|f(t)| 6 1/t per t [r,+)
allora f(t) e` integrabile su [r,+)
Esempio 3. Si consideri la funzione continua
(x) : Rn \ {0} Rdefinita da
(x) =1x
Per ottenere risultati sulla integrabilita` di , occorrono alcune premesse:
H I(0, 1) Rn e` chiuso e limitato (ossia compatto), quindi e` misura-bile
O si ponga n = mis I(0, 1) (omettiamo il calcolo di n)M si verifichi che n 6= 0
1.11 Esempi di funzioni integrabili 49
N sia 0 < r, si provi che
O I(0, r) e` misurabile mis I(0, r) = n rn
se ne deduca che
mis(I(0, r) \ I(0, r)
)= mis {x Rn : x = r} = 0
Cenno. Per 0 < < r si ha
I(0, r) \ I(0, r) I(0, r) \ I(0, )
M mis I(0, r) = n rn
H sia 0 < r, e sia() : [r,+) R
la funzione definita da
() =I(0,)\I(0,r)
(1/x) dx
allora
O per 0 > r e per h > 0 si ha
(0 + h) (0)h
=1h
I(0,0+h)\I(0,0)
(1/x) dx =
1h
I(0,0+h)\I(0,0)
(1/x) dx =
1h n ((0 + h)n n0 )
1x0
ove x0 e` un opportuno elemento tale che
0 6 x0 6 0 + h
come conseguenza si ottiene
limh0+
(0 + h) (0)h
=
n 10 limh0+
0 + h)n n0h
= n 10 n n10
50 1 Misura e integrale di Lebesgue
analogamente si verifichi che, per 0 > r e per h < 0 taleche r < 0 + h, si ha
limh0
(0 + h) (0)h
= n 10 n n10
allora la funzione
() : [r,+) Re` derivabile per 0 [r,+), e si ha
(1)(0) = n nn10 se = n si ha
() = n n ln + c con c R opportuno
(r) =
{n n ln r + c0
c = n n ln re quindi
() = n n ln(r
)M se 6= n si ha
() =n
n n n + c con c R opportuno
(r) =
n
n n rn + c
0
c = nn n r
n
e quindi() =
n
n n (n rn)
N sia 0 < r < s, allora
O se = n si haI(0,s)\I(0,r)
(1/x) dx = n n ln(sr
)M se 6= n si ha
I(0,s)\I(0,r)(1/x) dx = n
n n (sn rn)
1.11 Esempi di funzioni integrabili 51
Possiamo ora ottenere risultati sullintegrabilita` di :
H si provi che la successione
Ak = I(0, 1) \ I(0, 1/k) k = 1, 2, 3, . . .e` fondamentale per su I(0, 1) \ {0}
si verifichi cheAk
= n n ln k se = nAk
=n
n n (
1(
1k
)n)se 6= n
tenuto conto che || = , se ne deduca che
O 1x e` integrabile su I(0, 1) \ {0} < ne che in tal caso si ha
MI(0,1)\{0}
(1/x) dx = nn n
N si generalizzi il risultato precedente, da I(0, 1)\{0} ad un qualsiasiI(0, r) \ {0} con r > 0
H si provi che la successione
Ak = I(0, k) \ I(0, 1) k = 1, 2, 3, . . .e` fondamentale per su Rn \ I(0, 1)
si verifichi cheAk
= n n ln k se = nAk
=n
n n (kn 1) se 6= n
tenuto conto che || = , se ne deduca che
O 1x e` integrabile su Rn \ I(0, 1) > n
e che in tal caso si ha
MRn\I(0,1)
(1/x) dx = n n n
52 1 Misura e integrale di Lebesgue
N si generalizzi il risultato precedente, da Rn \ I(0, 1) ad un qualsiasiRn \ I(0, r) con r > 0
1.11.2 Esempio 4. Come conseguenza dellEsempio 3, si provino gli as-serti:
H sia < n e sia
f(x) : I(0, r) \ {0} R con 0 < runa qualsiasi funzione tale che{
f(x) misurabile su I(0, r) \ {0}|f(x)| 6 1/x per x I(0, r) \ {0}
allora f(x) e` integrabile su I(0, r) \ {0}N sia > n e sia
f(x) : Rn \ I(0, r) R con 0 < r
una qualsiasi funzione tale che{f(x) misurabile su Rn \ I(0, r)|f(x)| 6 1/x per x Rn \ I(0, r)
allora f(x) e` integrabile su Rn \ I(0, r)
1.12 Asserti veri quasi ovunque. Il Teorema diLebesgue
Sia A Rn un insieme misurabile non vuoto.Sia P (x) un asserto dipendente da x A, tale cheH per ogni x A, lasserto P (x) e` o vero o falso
Se
linsieme{x A : P (x) e` falso}
e` misurabile, e ha misura nulla
allora
N P (x) si dice un asserto vero quasi ovunque (q.o.) su A
1.12 Asserti veri quasi ovunque. Il Teorema di Lebesgue 53
Ad esempio, sia : R R
la funzione definita da
(t)
{ |t| se t Q|t| se t / Q
e sia P (t) lasserto definito per ogni t R da
P (t) = (t) > 0
allora{t R : P (t) e` falso} = Q
e quindi lasserto P (t) e` vero quasi ovunque su R.
1.12.1 Teorema (di Lebesgue, o della convergenza dominata). Sia
f1, f2, f3, . . . : A R
una successione di funzioni integrabili su A, e sia
f : A R
una funzione qualsiasi.
Se
H per q.o. a A si halimk
fk(a) = f(a)
N esiste : A R tale cheO e` integrabile su A (x) > 0 q.o. su AM per ogni k si ha
|fk(x)| 6 (x) q.o. su A
allora si ha (dimostrazione omessa)
H f e` integrabile su A
limk
Afk =
Af
N limk
A|f fk| = 0
Esempi: Come applicazione del Teorema di Lebesgue, si verifichi che
54 1 Misura e integrale di Lebesgue
H 1.12.2 Lemma: Se
O f : A R e` un funzione integrabile A1 A2 A3 A e` una sucessione di insiemi
misurabili tali che
mis
(A \
k=1
Ak
)= 0
allora
M limk
Ak
f =Af
Cenno. Si ponga
fk(x) =
{f(x) se x Ak
0 se x A \Ak(x) = |f(x)|
e si applichi 1.12.1.
N 1.12.3 Teorema(integrazione per parti generalizzata): Siano
f, g : [a, b] Rtali che
O f, g C0[a, b] f, g C1(a, b) f (1), g(1) sono integrabili su (a, b)
allora
f (1)g, fg(1) sono integrabili su (a, b)
M
(a,b)f (1)g = [f(t)g(t)]
b
a
(a,b)fg(1)
Cenno. Siano
[a1, b1] [a2, b2] [a3, b3] (a, b)tali che
k=1
[ak, bk] = (a, b)
Su ogni [ak, bk] si ha (usuale integrazione per parti)[ak,bk]
f (1)g = [f(t)g(t)]bk
ak
[ak,bk]fg(1)
Usando 1.12.2, si passi al limite per k .
1.13 Funzioni definite quasi ovunque. I Teoremi di Fubini e Tonelli 55
1.13 Funzioni definite quasi ovunque. I Teoremidi Fubini e Tonelli
Sia A Rn un insieme misurabile non vuoto.Siano
H A un insieme tale che mis H = 0f : A \H R una funzione
allora
H f : A \H R si dice un funzione definita quasi ovunque su A
N f : A \H R si denota con la sigla
f : A R d.q.o.
Ad esmpio, si puo` considerare la funzione
f : R R d.q.o.
definita da
f(t) =eit
sin t
per la quale si ha H = {kpi : k Z}.Siano
H f : A R il prolungamento banale di f ad A, definito da
f(x) =
{f(x) x A \H
0 x H
N f : Rn R il prolungamento banale di f ad Rn, definito da
f(x) =
{f(x) x A \H
0 x / A \H
56 1 Misura e integrale di Lebesgue
si verifichi che
H sono equivalenti gli asserti
a) f : A \H R e` misurabile su A \H
b) f : A R e` misurabile su A
c) f : Rn R e` misurabile su Rn
in tal caso
f : A R d.q.o. si dice misurabile su A
N sono equivalenti gli asserti
a) f : A \H R e` integrabile su A \H
b) f : A R e` integrabile su A
c) f : Rn R e` integrabile su Rn
in tal caso
OA\H
f =Af =
Rnf
f : A R d.q.o. si dice integrabile su A
M si pone Af =
A\H
f =Af =
Rnf
1.13 Funzioni definite quasi ovunque. I Teoremi di Fubini e Tonelli 57
1.13.1 Teorema (di Fubini). Sia f : Rm Rn R una funzione inte-grabile su Rm Rn.
.
.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
R
. ........................................................................................................................................................................................................................................... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ............................................................................................................................................................................................................................................................ Rn
.
...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
Rm
.
..................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................
.
...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.
...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.
............................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................
......................
....................
...................
............................................................................................................................
. ......................................................................................................................................................................................................................................................................................... ........... ........... ........... ........... ........... ........... ........... ...........r r
r
sf(x, y) R
Rm {y}
x Rm
y Rn
(x, y) Rm Rn
Si ha (dimostrazione omessa)
H per q.o. y Rn, la funzioneRm Rx f(x, y)
e` integrabile su Rm
la funzione definita q.o.
Rn R
y Rm
f(x, y)dx
e` integrabile su Rn
NRmRn
f(x, y)dxdy =Rn
[Rm
f(x, y)dx]
dy
Risultati analoghi sussistono scambiando i ruoli di Rm,Rn.
1.13.2 Teorema (di Tonelli). Sia f : Rm Rn R una funzionemisurabile su Rm Rn. Se
H per q.o. (x, y) Rm Rn si ha f(x, y) > 0
58 1 Misura e integrale di Lebesgue
H per q.o. y Rn, la funzioneRm Rx f(x, y)
e` integrabile su Rm
la funzione definita q.o.Rn R
y Rm
f(x, y)dx
e` integrabile su Rn
allora (dimostrazione omessa)
N f(x, y) e` integrabile su Rm Rn
Risultato analogo sussiste scambiando i ruoli di Rm,Rn.
Come esempio di applicazione del Teorema di Fubini si ha
1.13.3 Corollario. Sia f C1(Rn) una funzione tale chelimx
f(x) = 0
e sia j {1, . . . , n} tale chef
xj
sia integrabile su Rn. Si ha Rn
f
xj= 0
Cenno. Supponiamo j = 1. Per 1.13.1 si haRn
f
x1=Rn1
[R
f
x1(x1, x2, . . . , xn) dx1
]dx2 dxn
Per ogni (x2, . . . , xn) Rn1 tale che la funzioneR R
x1 fx1
(x1, x2, . . . , xn)
sia integrabile, tenuto conto di 1.12.2, si haR
f
x1(x1, x2, . . . , xn) dx1 = lim
R+
[R,R]
f
x1(x1, x2, . . . , xn) dx1 =
limR+
(f(R, , x2, . . . , xn) f(R, , x2, . . . , xn)) = 0
Ne segue lasserto.
1.14 Un teorema su GL(R, n) 59
1.13.4 Corollario. Sia Rn un aperto non vuoto, e sia f C1() unafunzione a supporto compatto. Per j = 1, . . . , n si ha
f
xj= 0
Cenno. Sia f il prolungamento banale di f a Rn. Si ha
f C1(Rn), supp f = supp f, fxj
=(f
xj
)e
f
xj=Rn
(f
xj
)e=Rn
f
xj
Applicando 1.13.3 ad f , si ottiene lasserto.
1.13.5 Teorema. Sia Rn un aperto non vuoto, e siano f, g C1()due funzioni, una delle quali a supporto compatto. Per j = 1, . . . , n si ha
f
xj g =
f g
xj
Cenno. Si ha fg C1(); inoltre supp fg e` compatto. Applicando1.13.4 ad fg, si ottiene lasserto.
1.14 Un teorema su GL(R, n)
Sia GL(R, n) il gruppo lineare di ordine n suR, ossia il gruppo moltiplicativodelle matrici invertibili di Rnn.
Si considerino le matrici di GL(R, n) dei seguenti tre tipi
tipo 1. tutte le matrici della famiglia
P =(e(1), . . . , e(n)
) Sn
tipo 2. tutte le matrici della famiglia
T = (e1, e2 . . . , en) R, 6= 0
tipo 3. la matrice
= (e1 + e2, e2 . . . , en)
e le matrici di GL(R, n) dei seguenti tre tipi
tipo I . tutte le matrici della famiglia(e(1), . . . , e(n)
) Sn
60 1 Misura e integrale di Lebesgue
tipo II . tutte le matrici della famiglia
(e1, . . . , er1, er, er+1, . . . , en)
con r {1, . . . , n} e R, 6= 0tipo III. tutte le matrici della famiglia
(e1, . . . , er1, er + es, er+1, . . . , en)
con r, s {1, . . . , n}, s 6= r e R, 6= 0Si verifichi che
H per r {1, . . . , n} e R, 6= 0 si ha(e1, . . . , er1, er, er+1, . . . , en) = PTP
ove e` la permutazione che scambia 1 con r
(Cenno. Controllare che le applicazioni lineari associate allematrici a primo e secondo membro assumono gli stessi valori suglielementi della base canonica di Rn.)
per r, s {1, . . . , n}, s 6= r e R, 6= 0 si ha(e1, . . . , er1, er + es, er+1, . . . , en) = P1T1TP
ove e` una qualsiasi permutazione tale che
(r) = 1, (s) = 2
N 1 = (e1 e2, e2 . . . , en) = T1T1Sia L GL(R, n); si verifichi che
H il procedimento di diagonalizzazione di Gauss, operante sulle co-lonne di L, prova che
H1, . . . ,H di Tipo I,II,III, 1, . . . , n R non nullitali che
LH1 H = (1e1, . . . , nen)
(1e1, . . . , nen) = K1 Kn con K1 Kn di Tipo IIse ne deduca il seguente
N Teorema. 1, . . . , di Tipo 1,2,3, tali cheL = 1
1.15 Applicazioni lineari e misura 61
1.15 Applicazioni lineari e misura
Per ogni basea1, . . . , an
di Rn si ponga
Par (a1, . . . , an) = parallelepipedo di lati a1, . . . , an =
{1a1 + + nan : 0 6 1, . . . n 6 1}Sia
L = (a1, . . . , an) GL(R, n)si ponga
(L) = mis Par (a1, . . . , an)
Si provi che
H LL([0, 1] [0, 1]) = Par (a1, . . . , an) se R e` un rettangolo di Rn si ha
mis LL(R) = (L) mis R
Cenno. Successivamente per Z, Q, R, con > 0,si provi che
mis LL([0, ] [0, 1] [0, 1]) = (L)
Si tenga conto che mis e` invariante per traslazioni.
se P e` un plurirettangolo di Rn si ha
mis LL(P ) = (L) mis P
se e` un aperto limitato di Rn si ha
mis LL() = (L) mis
Cenno. Per k = 1, 2, 3, . . .
O dati j1, . . . , jn Z, si ponga
Rk,j1...jn =[j1k,j1 + 1k
]
[jnk,jn + 1k
] sia Pk il plurirettangolo unione dei rettangoli Rk,j1...jn tali
cheRk,j1...jn
62 1 Misura e integrale di Lebesgue
M sia Qk il plurirettangolo definito da
Qk =k=1
P
Si verifichi che
O Q1 Q2
=k=1
Qk
LL (Q1) LL (Q2) LL ()
M LL () =k=1
LL (Qk)
se K e` un chiuso limitato di Rn si ha
mis LL(K) = (L) mis KCenno. Per k = 1, 2, 3, . . .
O sia Pk il plurirettangolo unione dei rettangoli Rk,j1...jn taliche
Rk,j1...jn K 6= M sia Qk il plurirettangolo definito da
Qk =k=1
P
Si verifichi che
O Q1 Q2 K
K =k=1
Qk
LL (Q1) LL (Q2) LL (K)
M LL (K) =k=1
LL (Qk)
se A e` un insieme limitato e misurabile di Rn si ha
mis LL(A) = (L) mis A
1.15 Applicazioni lineari e misura 63
N se A e` un insieme e misurabile di Rn si ha
mis LL(A) = (L) mis A(con la convenzione (L) =)
Si verifichi che (vedi Sezione 1.14)
H per ogni matrice P di Tipo 1 si ha
(P) = 1 = |det (P)|
per ogni matrice T di Tipo 2 si ha
(T) = || = |det (T)|
per la matrice di Tipo 3 si ha
() = 1 = |det |Cenno. Vedi giochino geniale pg 187 di Rudin.
e quindi che
per ogni matrice di Tipo 1,2,3 si ha
() = |det |
si verifichi inoltre che
per ogni L1, L2 GL(R, n) si ha (L1L2) = (L1) (L2)
Cenno. Si osservi che per ogni A misurabile si ha
mis LL1L2(A) = (L1L2) mis Amis LL1L2(A) = mis LL1 (LL2(A)) =
(L1) mis (LL2(A)) = (L1) (L2) mis A
se ne deduca che
1.15.1 per ogni L GL(R, n) si ha(L) = | detL|
Cenno. Si ricordi che 1, . . . , di Tipo 1,2,3 tali cheL = 1
64 1 Misura e integrale di Lebesgue
1.15.2 per ogni L GL(R, n) ed ogni sottinsieme misurabile Adi Rn si ha
LL(A) e` misurabile
mis LL(A) = (L) mis A = | detL| mis A
N 1.15.3 per ogni base a1, . . . , an di Rn si ha
mis Par (a1, . . . , an) = | det (a1, . . . , an) |
1.16 Diffeomorfismi di classe C1 e misura
Siano , Rn due aperti non vuoti, e sia :
un diffeomorfismo di classe C1.Siano
J(y) : Rnn lapplicazione jacobiana di : J1(x) : Rnn lapplicazione jacobiana di 1 :
Siccome e` un diffeomorfismo di classe C1, le applicazioni
det J(y) : Rdet J1(x) : R
sono continue.Sia B un insieme misurabile non vuoto; si verifichi cheH det J(y) e` misurabile su B (e` continua su )
esiste una successione K1,K2,K3, di compatti tale cheK1 K2 K2 K3 K3
=k=1
Kk
Cenno. Se = , ossia se = Rn, si puo` porreKk = [k, k] [k, k]
Se 6= , si puo` porreKk = {b : d(b, ) > 1/k} ([k, k] [k, k])
1.16 Diffeomorfismi di classe C1 e misura 65
per k = 1, 2, 3, . . . si ponga
Bk = B Kk
si verifichi che
B1, B2, B3, . . . e` una successione fondamentale per det J(y) suB
per k = 1, 2, 3, . . . si verifichi che
det J(y) e` uniformemente continua su Bk (e` continua sulcompatto Kk)
data una successione 1, 2, 3, . . . tale che > 0, lim = 0, e
una successione
rkj=1
(mis Pk,j) |det J(yk,j)|
di -somme di Lebesgue di detJ(y) su Bk, si haBk
|det J(y)| dy = lim
rkj=1
(mis Pk,j) |det J(yk,j)|
(vedi Teorema 1.10.3)
per , j
O (Pk,j) e` un insieme misurabile (dimostrazioneomessa)
e, per grande,
Pk,j e` un insieme molto vicino ad yk,j sullinsieme Pk,j le due applicazioni
(y)
(yk,j) +LJ(yk,j)(y yk,j)
sono quasi uguali
(Pk,j) quasi =(yk,j) +LJ(yk,j)(Pk,j yk,j) =(yk,j)LJ(yk,j)(yk,j) +LJ(yk,j)(Pk,j)
66 1 Misura e integrale di Lebesgue
M mis (Pk,j) quasi =mis LJ(yk,j)(Pk,j) = (mis Pk,j) |det J(yk,j)|
(vedi 1.15.2)
per ogni , la famiglia
(Pk,j) j = 1, . . . , rk
e` una quasi partizione di (Bk) (dimostrazione omessa)
per ogni grande si ha
mis (Bk) =rkj=1
mis (Pk,j) quasi =
rkj=1
(mis Pk,j) |det J(yk,j)|
la differenza tra i due membri quasi = tende a 0 per che tendea (dimostrazione omessa)
mis (Bk) =Bk
|det J(y)|dy
se ne deduca che
(B) e` misurabile, e si ha
mis (B) = limk
mis (Bk) = limk
Bk
|det J(y)|dy
N mis (B) < + det J(y) e` integrabile su B;e che in tal caso si ha
mis (B) =B|det J(y)| dy
Usando i risultati precedenti si provino i seguenti due teoremi.
1.16.1 Teorema. Sia B un sottinsieme non vuoto di . Sussistono gliasserti:
H (B) e` misurabile B e` misurabileN sono equivalenti gli asserti
O (B) e` misurabile e mis (B) < +M B e` misurabile e det J(y) e` integrabile su B
1.17 Diffeomorfismi di classe C1 e integrale 67
in tal caso si ha
mis (B) =B|det J(y)| dy
1.16.2 Teorema. Sia A un sottinsieme non vuoto di . Sussistono gliasserti:
H A e` misurabile 1(A) e` misurabileN sono equivalenti gli asserti
O A e` misurabile e mis A < +M 1(A) e` misurabile e det J(y) e` integrabile su 1(A)
in tal caso si ha
mis A =1(A)
|det J(y)|dy
1.17 Diffeomorfismi di classe C1 e integrale
Siano , Rn due aperti non vuoti, e sia :
un diffeomorfismo C1. Siano
J(y) : Rnn lapplicazione jacobiana di : J1(x) : Rnn lapplicazione jacobiana di 1 :
Sia : R R
il diffeomorfismo C1 definito da
(y, ) = ((y), )
Le applicazioni jacobiane di
: R R 1 : R Rsono
J(y, ) =(J(y) 0
0 1
): R R(n+1)(n+1)
J1(x, ) =(J1(x) 0
0 1
): R R(n+1)(n+1)
Sia A un insieme misurabile non vuoto, e siaf(x) : A R
68 1 Misura e integrale di Lebesgue
una funzione.Si ricordi che 1(A) e` un insieme misurabile (vedi Teorema 1.16.2),
e si consideri la funzione
(f )(y) = f((y)) : 1(A) R
Si verifichi che
H SGP (f) = (SGP (f )) SGN(f) = (SGN(f ))se ne deduca che
N f(x) e` misurabile su A f((y)) e` misurabile su 1(A)(Cenno: si applichi a e a SGP (f ) il Teorema 1.16.1)
Da qui innanzi si suppone che
f(x) : A R
sia misurabile su A, o equivalentemente che
f((y)) : 1(A) : R
sia misurabile su 1(A).Si osservi che
gli insiemi
A+ = {x A : 0 6 f(x)} A = {x A : f(x) 6 0}1(A+) 1(A)
sono misurabili
Relativamente a SGP (f) e SGP (f )H si verifichi che sono equivalenti gli asserti
(a) SGP (f) e` misurabile e mis SGP (f) < +(b) SGP (f ) e` misurabile
e det J(y, ) e` integrabile su SGP (f )(Cenno: si applichi a e a SGP (f ) il Teorema 1.16.1)
si ponga
F (y, ) = prolungamento banale di |det J(y, )|da SGP (f ) a Rn R
1.17 Diffeomorfismi di classe C1 e integrale 69
si supponga che sussista lasserto (b); usando il Teorema di Fubini,si ha
O mis SGP (f) =SGP (f)
|det J(y, )| dyd =RnR
F (y, )dyd =Rn
(R
F (y, )d)
dy1(A+)
( f((y))0
|det J(y, )| d)
dy =1(A+)
f((y)) |det J(y)| dy
in particolare si ha che
M f((y)) |det J(y)| e` integrabile su 1(A+) si supponga che f((y)) |det J(y)| sia integrabile su 1(A+); si
ha
O per (y, ) Rn R si ha F (y, ) > 0 per y Rn, F (y, )
come funzione di y
e` integrabile su R
R
F (y, )d come funzione di y
= prolungamento banale
di f(y) | det J(y)| da 1(A+) a Rn
tenuto conto delle ipotesi,R
F (y, )d come funzione di y
e` integrabile su Rn
per il Teorema di Fubini, F (y, ) e` integrabile su Rn Rin particolare si ha che
M sussiste lasserto (b)
se ne deduca che
N sono equivalenti gli asserti
(a) SGP (f) e` misurabile e mis SGP (f) < +(c) f((y)) |det J(y)| e` integrabile su 1(A+)
e che in tal caso si ha
mis SGP (f) =1(A+)
f((y)) |det J(y)| dy
70 1 Misura e integrale di Lebesgue
Relativamente a SGN(f) e a SGN(f ), un procedimento analogoprova che
sono equivalenti gli asserti(a) SGN(f) e` misurabile e mis SGN(f) < +(c) f((y)) |det J(y)| e` integrabile su 1(A)
e che in tal caso si ha
mis SGP (f) = 1(A)
f((y)) |det J(y)|dy
Se ne deducano i seguenti teoremi.
1.17.1 Teorema. Sia f misurabile su A. Sono equivalenti gli asserti
H f(x) e` integrabile su AN f((y)) |det J(y)| e` integrabile su 1(A)
e in tal caso si haAf(x)dx =
1(A)
f((y)) |det J(y)|dy
1.17.2 Teorema. Sia f misurabile su A. Sono equivalenti gli asserti
H f((y)) e` integrabile su 1(A)N f(x) det J1(x) e` integrabile su A
e in tal caso si ha1(A)
f((y))dy =Af(x) det J1(x)dx
1.18 Traslazioni e dilatazioni di funzioni misura-bili ed integrabili
Si consideri una funzionef(x) : Rn R
Siano R, 6= 0 a Rn
Supponendo = 2
1.18 Traslazioni e dilatazioni di funzioni misurabili ed integrabili 71
e che il grafico di f(x) sia
. ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................Rn
.
............................................................................................................................................................................................................................................................................
R
f(x)
b1 0 b2
c
. ....................................................................................................................... ...................
................................................................................................................................................................................................................................................
........................
......................
...........................................
.......................
........................ ......................... ........................... ............................ ............................. ............................... ................................ ................................. ................................... .................................... ..................
. ..................................
. ..............................
si verifichi che il grafico di f(x) e`
. ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................Rn
.
............................................................................................................................................................................................................................................................................
R
f(x)
1b1 0
1b2
c
. ...................................................................................................................................................................................................................... ...................
....................................................................................................................................................................................
.........................
.......................
......................
......................................................... .................. .................. ......